Chuyên đề bồi dưỡng HSG CHUYÊN ĐỀ 6: BẤT ĐẲNG THỨC A MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN: 1) Bất đẳng thức cauchy cho hai, ba số không âm x y xy x yz xyz x2 y xy ) dấu = xảy x = y x2 y z xyz ) dấu = xảy x = y = z (hoặc (hoặc 2) Một số hệ BĐT cauchy 1 1 a) ( x y ) x y 1 1 b) ( x y z ) x y z x y z c) yz zx x y 1 x y x y 1 x y z x yz 1 yz zx x y ( x y z ) a b2 a b a b2 c2 a b c d) 3 x y e) ; x2 + y2 + z2 xy + yz + xz y x f) (a + b + c)2 3(ab + bc + ca) g) x2 + y2 + z2 (x + y + z)2 3(x2 + y2 + z2) 1 1 * Chú ý : Nếu a + b + c = a3 b3 c3 3abc vaø 3abc a b c 2 3) Bất đẳng thức Bunhia-copxki: b) (a b c )( x y z ) (ax by cz ) 4) Bất đẳng thức Svacsơ x y a b x y z dấu = xảy a b c dấu = xảy a) (a b )( x y ) (ax by ) x y z ( x y z )2 x y z a, b, c > dấu = xảy a b c abc a b c B BÀI TẬP * Một số tập ba cạnh tam giác Cho a, b, c ba cạnh tam giác Bài 1: a2 + b2 + c2 2(ab + bc + ca) Bài 2: a2 + b2 + c2 + 2abc < với a + b + c = Bài 3: (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) < abc Bài 4: a(b – c)2 + b(c – a)2 + c(a – b)2 + 4abc > a3 + b3 + c3 Bài 5: Bài 6: Bài 7: Bài 8: Bài 9: a b c 3 bc a c a b a bc 4a 9b 16c 26 bc a c a b a bc a b c thỏa abc = Chứng minh: a (b c) b (a c) c (a b) 2 2 Bài 3: Cho a, b, c > thỏa abc = Chứng minh: 3 a (b c) b (a c) c (a b) 1 d) 1 1 ; a b 1 g) 3 a b ab a3 b3 c3 Bài 4: Cho a, b, c > thỏa ab + bc + ca = Chứng minh: ab bc ca a4 b4 c4 Bài 5: Cho a, b, c > thỏa ab + bc + ca Chứng minh: b 3c c 3a a 3b a3 b3 c3 Bài 6: Cho a, b, c > thỏa a + b + c = Chứng minh: 2 (1 a ) (1 b) (1 c) a b c Bài 7: Cho a, b, c > Chứng minh: 3 b 1 c 1 a 1 a b c Bài 7: Cho a, b, c > Chứng minh: 12 b 1 c 1 a 1 a3 b3 c3 Bài 8: Cho a, b, c > thỏa abc = Chứng minh: (1 b)(1 c) (1 c)(1 a ) (1 a )(1 b) Bài 9: Cho a, b, c > thỏa ab + bc+ ca = chứng minh a b ThuVienDeThi.com b2 c c2 Bài 10: Cho a, b, c > thỏa a2 + b2 + c2 = chứng minh 1 3 8a 8b 8c 2 a b c Bài 11: Cho a, b, c > thỏa ab bc ca chứng minh: bc ca ab ab bc ca Bài 12: Cho a, b, c > thỏa a + b + c = chứng minh: 3 ab bc ac 1 1 Bài 13: Cho a, b, c dương thỏa a + b + c = chứng minh: 2 30 a b c ab bc ca Trang - - a2 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Bài 14: Cho a,b,c số dương Chứng minh: bc ca ab b c a 4 a b c bc ca ab 2a 2b 2c 3 ab bc ca a b c Bài 16: Cho a,b,c số dương Chứng minh: 2 (b c) (c a ) (a b) 4(a b c) Bài 15: Cho a,b,c số dương Chứng minh: a b3 c ab bc ca b c a a3 b3 c3 abc Bài 18: Cho a, b, c dương chứng minh: 2 2 2 a ab b b bc c c ac a 3 a b c3 Bài 19: Cho a,b,c > thỏa mãn abc = Chứng minh (a 1)(b 1) (b 1)(c 1) (c 1)(a 1) Bài 17: Cho a, b, c dương chứng minh: 4 a b c a b c a b 2c a b c a b c Bài 21: Cho a,b,c số dương thỏa mãn abc = Chứng minh 1 a 2 b 2 c 2 1 Bài 22: Cho a, b, c > thỏa a + b + c = abc chứng minh a 2b 3c 2a 3b c 3a 2b c 16 1 1 1 1 Bài 23: Cho a,b,c > thỏa chứng minh: a b c 2a b c a 2b c a b 2c a b c Bài 24: Cho a, b, c > thỏa a + b + c = chứng minh 1 1 b a 1 c b 1 a c Bài 25: Cho x, y > thỏa xy = chứng minh ( x y 1)( x y ) 8 xy Bài 20 : Cho ba số dương a, b, c chứng minh: Bài 26: Cho x, y, z > thỏa x + y + z = chứng minh x y z x 1 y 1 z 1 a3 b3 b3 c3 c3 a3 abc 2ab 2bc 2ac 1 1 3 Bài 28: Cho a, b, c > chứng minh: 3 a b abc b c abc c a abc abc 1 Bài 29: Cho a, b, c > chứng minh: a(1 b) b(1 c) c(1 a) abc Bài 27: Cho a, b, c > chứng minh: Bài 30: Cho a, b, c > a + b + c = chứng minh: a 1 b 1 c 1 3 b2 c2 a2 Bài 31: Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh: 1 p 2 ( p a)( p b)( p c) ( p a) ( p b) ( p c ) Bài 32: Cho a, b, c > a + b + c = Chứng minh: Bài 33: Cho a, b, c > a + b + c = chứng minh: bc5 ca4 ab3 6 1 a 2b 3c a2 1 b2 c 82 a b c Trang - - ThuVienDeThi.com Chuyên đề bồi dưỡng HSG Trang - - ThuVienDeThi.com .. .Chuyên đề bồi dưỡng HSG a b c 6 p b p c p a p p p Bài 11: D = 9 p a p b p c ba c b a c Bài 12: E = 0 p b p c p a ab bc ac Bài 13: F = 4p p c p a p b Bài 10: ... Trang - - a2 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Bài 14: Cho a,b,c số dương Chứng minh: bc ca ab b c a 4 a b c bc ca ab 2a 2b 2c 3 ab bc ca a b c Bài 16: Cho a,b,c... ab3 6 1 a 2b 3c a2 1 b2 c 82 a b c Trang - - ThuVienDeThi.com Chuyên đề bồi dưỡng HSG Trang - - ThuVienDeThi.com