Toán 10 Chuyên đề 6: Bất đẳng thức36158

Chuyên đề bồi dưỡng HSG CHUYÊN ĐỀ 6: BẤT ĐẲNG THỨC A MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN: 1) Bất đẳng thức cauchy cho hai, ba số không âm x y  xy x yz  xyz x2  y  xy ) dấu = xảy x = y x2  y  z  xyz ) dấu = xảy x = y = z (hoặc (hoặc 2) Một số hệ BĐT cauchy 1 1 a) ( x  y )     x y   1 1 b) ( x  y  z )      x y z   x y z    c) yz zx x y 1   x y x y 1    x y z x yz  1      yz zx x y ( x  y  z )  a  b2  a  b  a  b2  c2  a  b  c  d)     3     x y e)   ; x2 + y2 + z2  xy + yz + xz y x f) (a + b + c)2  3(ab + bc + ca) g) x2 + y2 + z2  (x + y + z)2  3(x2 + y2 + z2) 1 1 * Chú ý : Nếu a + b + c = a3  b3  c3  3abc vaø    3abc a b c 2 3) Bất đẳng thức Bunhia-copxki: b) (a  b  c )( x  y  z )  (ax  by  cz ) 4) Bất đẳng thức Svacsơ x y  a b x y z dấu = xảy   a b c dấu = xảy a) (a  b )( x  y )  (ax  by ) x y z ( x  y  z )2 x y z a, b, c > dấu = xảy      a b c abc a b c B BÀI TẬP * Một số tập ba cạnh tam giác Cho a, b, c ba cạnh tam giác Bài 1: a2 + b2 + c2  2(ab + bc + ca) Bài 2: a2 + b2 + c2 + 2abc < với a + b + c = Bài 3: (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) < abc Bài 4: a(b – c)2 + b(c – a)2 + c(a – b)2 + 4abc > a3 + b3 + c3 Bài 5: Bài 6: Bài 7: Bài 8: Bài 9: a b c   3 bc a c  a b a bc 4a 9b 16c    26 bc a c  a b a bc a b c thỏa abc = Chứng minh:    a (b  c) b (a  c) c (a  b) 2 2 Bài 3: Cho a, b, c > thỏa abc = Chứng minh:   3 a (b  c) b (a  c) c (a  b)  1  d) 1   1    ;  a  b  1 g) 3    a  b ab a3 b3 c3 Bài 4: Cho a, b, c > thỏa ab + bc + ca = Chứng minh:    ab bc ca a4 b4 c4 Bài 5: Cho a, b, c > thỏa ab + bc + ca  Chứng minh:    b  3c c  3a a  3b a3 b3 c3 Bài 6: Cho a, b, c > thỏa a + b + c = Chứng minh:    2 (1  a ) (1  b) (1  c) a b c Bài 7: Cho a, b, c > Chứng minh:   3 b 1 c 1 a 1 a b c Bài 7: Cho a, b, c > Chứng minh:    12 b 1 c 1 a 1 a3 b3 c3 Bài 8: Cho a, b, c > thỏa abc = Chứng minh:    (1  b)(1  c) (1  c)(1  a ) (1  a )(1  b) Bài 9: Cho a, b, c > thỏa ab + bc+ ca = chứng minh a b ThuVienDeThi.com  b2  c   c2 Bài 10: Cho a, b, c > thỏa a2 + b2 + c2 = chứng minh   1 3  8a  8b  8c 2 a b c Bài 11: Cho a, b, c > thỏa ab  bc  ca  chứng minh:    bc ca ab ab bc ca Bài 12: Cho a, b, c > thỏa a + b + c = chứng minh:   3 ab bc ac 1 1 Bài 13: Cho a, b, c dương thỏa a + b + c = chứng minh: 2     30 a  b  c ab bc ca Trang - -  a2  Chuyên đề bồi dưỡng HSG Bài 14: Cho a,b,c số dương Chứng minh: bc ca ab b c   a    4    a b c bc ca ab 2a 2b 2c   3 ab bc ca a b c    Bài 16: Cho a,b,c số dương Chứng minh: 2 (b  c) (c  a ) (a  b) 4(a  b  c) Bài 15: Cho a,b,c số dương Chứng minh: a b3 c    ab  bc  ca b c a a3 b3 c3 abc    Bài 18: Cho a, b, c dương chứng minh: 2 2 2 a  ab  b b  bc  c c  ac  a 3 a b c3    Bài 19: Cho a,b,c > thỏa mãn abc = Chứng minh (a  1)(b  1) (b  1)(c  1) (c  1)(a  1) Bài 17: Cho a, b, c dương chứng minh: 4    a  b  c a  b  c a  b  2c a  b  c a b c Bài 21: Cho a,b,c số dương thỏa mãn abc = Chứng minh   1 a 2 b 2 c 2 1    Bài 22: Cho a, b, c > thỏa a + b + c = abc chứng minh a  2b  3c 2a  3b  c 3a  2b  c 16 1 1 1   1 Bài 23: Cho a,b,c > thỏa    chứng minh: a b c 2a  b  c a  2b  c a  b  2c a b c Bài 24: Cho a, b, c > thỏa a + b + c = chứng minh   1 1 b  a 1 c  b 1 a  c Bài 25: Cho x, y > thỏa xy = chứng minh ( x  y  1)( x  y )  8 xy Bài 20 : Cho ba số dương a, b, c chứng minh: Bài 26: Cho x, y, z > thỏa x + y + z = chứng minh x y z    x 1 y 1 z 1 a3  b3 b3  c3 c3  a3    abc 2ab 2bc 2ac 1 1  3   Bài 28: Cho a, b, c > chứng minh: 3 a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc 1    Bài 29: Cho a, b, c > chứng minh: a(1  b) b(1  c) c(1  a)  abc Bài 27: Cho a, b, c > chứng minh: Bài 30: Cho a, b, c > a + b + c = chứng minh: a 1 b 1 c 1   3  b2  c2  a2 Bài 31: Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh: 1 p    2 ( p  a)( p  b)( p  c) ( p  a) ( p  b) ( p  c ) Bài 32: Cho a, b, c > a + b + c = Chứng minh: Bài 33: Cho a, b, c > a + b + c = chứng minh: bc5 ca4 ab3   6 1 a 2b 3c a2  1  b2   c   82 a b c    Trang - - ThuVienDeThi.com Chuyên đề bồi dưỡng HSG Trang - - ThuVienDeThi.com .. .Chuyên đề bồi dưỡng HSG a b c   6 p b p c p a p p p Bài 11: D =   9 p a p b p c ba c b a c Bài 12: E =   0 p b p c p a ab bc ac Bài 13: F =    4p p c p a p b Bài 10: ... Trang - -  a2  Chuyên đề bồi dưỡng HSG Bài 14: Cho a,b,c số dương Chứng minh: bc ca ab b c   a    4    a b c bc ca ab 2a 2b 2c   3 ab bc ca a b c    Bài 16: Cho a,b,c... ab3   6 1 a 2b 3c a2  1  b2   c   82 a b c    Trang - - ThuVienDeThi.com Chuyên đề bồi dưỡng HSG Trang - - ThuVienDeThi.com