Đối với bất đẳng thức hoặc bài toán cực trị mà vai trò các biến không bình đẳng thì việc xác định điểm rơi không hề dễ.Có kỹ thuật giải quyết là “Tham số hóa”... Kỹ thuật đơn giản như [r]
(1)CHUYÊN ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC TOÁN LỚP 9 A BẤT ĐẲNG THỨC
I Tóm tắc lý thuyết bản
1 Chuyển vế đổi dấu
2 Nhân ( chia) hai vế cho số dương BĐT chiều Nhân ( chia) hai vế cho số âm BĐT ngược chiều
4 Nghịch đảo hai vế bất đẳng thức mà hai vế dấu BĐT ngược chiều
5 Cộng vế hai bất đẳng thức chiều (Chú ý khơng có phép biến đổi trừ vế)
6 Nhân vế hai bất đẳng thức chiều mà hai vế không âm
II Các phương pháp chứng minh BĐT bản. 1 Phương pháp biến đổi tương đương
Từ BĐT đề yêu cầu chứng minh, ta biến đổi đến bất đẳng thức đúng, BĐT chứng minh
Bài 1: Chứng minh
2
2 2 1
a b c d a c b d
Giải
2
2 2 2 2
2 2
1
(2)
a b c d a b c d a c b d
a b c d ac bd
Vậy để chứng minh BĐT(1) ta phải chứng minh BĐT (2) Nếu VP= ac + bd < (2)
Nếu ac bd 0 thì
2
2 2
2
2 2 2 2 2 2
2
a b c d ac bd
a c a d b c b d a c abcd b d ad bc
(2)BĐT cuối ta có
2 2
2 2 1
a b c d a c b d
2 Phương pháp Sử dụng bất đẳng thức biết 2.1 Sử dụng BĐT suy từ BĐT (a-b)2 0
Đây PP thường thi tuyển 10 Ví dụ :
a Từ
2
2
1 1
0 (1)
2 4
a a a a a
.
b Với x > ta có
2
1
1 1 1 2
2 x
x
x x x x x x x
x x
(Người đề lấy BĐT , từ khai triển , kết hợp vài BĐT sẻ có tốn đề thi Vì người học khó chờ hội trúng đề mà cần nắm PP giải, biết lựa chọn BĐT xuất phát giải bài) Ví dụ ta có tốn sau
Bài 2: Cho số a;b;c thỏa mãn a+b+c =
3
2 Chứng minh a2 + b2 +c2
3
Giải:
2
1 1
0 (1)
2 4
a a a a a
.
Tương tự ta có:
2 (2); (3)
4
b b c c
Lấy (1) +(2)+(3) được:
2 2 2 3 2
4 4 4
a b c a b c a b c a b c
(3)Bài 3: Cho x 1; y Chứng minh
1
4 y x x y
xy
Giải: Ta có :
1
4 y x x y
xy
4
1 3
(*)
4
x y y
y x x
xy xy x y
Ta có :
12 1 2 1
2
x
x x x x x x x
x
(1)
22 4.2 4 4 4
4 y
y y y y y y y
y
(2)
Cộng BĐT (1) với BĐT (2) theo vế
4
1
(*) y
x
x y
Vậy
1
4 y x x y
xy
Dấu “=”
2
1
x x
2
4
y y 2.2 Dùng BĐT CƠ-Si cho hai số khơng âm
Với x; y khơng âm ta có: x +y xy .Dấu “=” x = y
2.2.1 Kỹ thuật : Tách hạng tử chứa biến thành tổng số với hạng tử chứa biến cho hạng tử nghịch đảo hạng tử khác có biểu thức cho.
Chú ý: *
( ) ( )
( ) ( )
k k
f x f x k
f x f x
*
( ) ( ) ( ) ( )
2
( ) ( ) ( ) ( )
k f x q g x k f x q g x kq
(4)Bài 4: Cho < x < Chứng minh
9
7
x B
x x
Nhận xét: Với ĐK toán biểu thức ”số hạng” dương khả
dùng BĐT Cô si.Muốn dùng Cô SI với biểu thức
9
x x
biểu thức “ số hạng “
thứ hai mẫu phải chứa x tử phải chứa –x Ta làm nháp sau: Nháp: Xét B’ =
9
2
x x
x x
có dạng ý
Khi đó: B – B’ =
9
1
2
x x x
x x x x
B = B’ + 1.
Giải: Xét B’ =
9
2
x x
x x
Khi đó: B – B’ =
9
1
2
x x x
x x x x
B = B’ + 1.
B =
9
2
x x
x x
+ 1.
Do < x < nên
9
0;
2
x x
x x
Áp dụng BĐT Cơ si có:
B
9
2
2
x x
x x
= + =
Bài : Cho < x < Chứng minh :
3
4 1 xx
Giải:
3
B
1 x x
(5)Xét
3 4(1 )
'
x x
B
x x
B – B’ = B=B’+5=
3 4(1 ) 4(1 )
5 5
1
x x x x
x x x x
Dấu
3 4(1 )
1
x x
x x
Giải x1 4 ;x2 4
2.2.2 Kỹ thuật : Nhân chia biểu thức với số khác không.
Chú ý: Dạng A =
n n
kx q mx
, ta xét biểu thức q A sau dùng Cơ Si
Bài : Với x Chứng minh A=
9
5 30
x x
Ta có: 3A =
9.( 9)
3
5
x x
x x
Do x 9 nên x – Áp dụng BĐT Cơ si ta có:
9
9( 9)
2
x x
x
Suy ra:
3A
1
5 10 x
x A 30
2.2.3 Kỹ thuật dự đoán điểm rơi
Điểm rơi BĐT giá trị biến mà dấu “=” xảy
Bài 7: Cho x;y;z số dương thỏa mãn x+y+z = Chứng minh
(1 ) (1 ) (1 )
x x y y z z
Nhận xét:Bài toán cho vai trò x;y;z , nên điểm rơi x=y=z =
1 3
(6)-Nếu dùng cho x –x dấu xảy x= 1-x x =
2(sai so với dự
đoán)
Điểm rơi Khi x =
1
3 1-x=
3 ta phải áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 1-x 2x.
Giải: Ta có
2 (1 ) 1
(1 )
2 2 2
x x x x x
x x
Tương tự cho số hạng lại , cộng BĐT được:
VT
1 1
2
2 2 2 2 2
x y z x y z
2.3 Dùng bất đẳng thức Bunhiacôpky dạng phân thức. 2
2
, , ; ,
a b a b
a b R x y R x y x y
(1) Dấu đẳng thức xảy
a x=
b y
Từ ta suy bất đẳng thức thường sử dụng “Với x > 0, y > 0, ta có:
1
xy x y (2) Dấu = x = y
Hai bất đẳng thức dùng phải chứng minh.(Dùng PP tương đương)
Bài 8: Cho số thực dương x, y, z thỏa x + y + z = Chứng minh :
1 1 xy xz
Giải:
Từ x + y + z = suy y + z = – x Với a; b dương ta có
1
a b a b (*)
Ta chứng minh (*) (*)
2 2 2
4
( ) 4 ( )
a b
a b ab a ab b ab a ab b a b
ab a b
(7)Áp dụng :
1 4 4
4
xyxz xy xz x y z x x x x
Mà x24xx24x 4 x 22 4
Do :
2
2 1
1 4 4
1
4 4
xy xz x y z x y z x x x x
Đẳng thức xảy
1
2
1
xy xz
x x
y z x y z
5 Phương pháp đổi biến
Bẳng cách dự đoán dấu “=” xảy nhiều toán BĐT ta đổi qua biến dễ làm Chủ yếu dùng PP tương đương sau đổi biến
Bài 9: Cho a b 3, a1 Chứng minh rằng: C = b3 a3 6b2 a29b0. Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy a = 1; b =
Do ta đặt a 1 x, với x Từ giả thiết suy b 2 x
Ta có:C = b3 a3 6b2 a29b = (2x)3 (1 x)3 6(2x)2 (1 x)29(2x)
= x3 2x2x = x x( 1)20 (vì x 0).
Đẳng thức xảy x = x = tức a = 1, b = a = 0, b = Vậy C
0
Bài 10: Cho a b c 3 Chứng minh rằng: A = a2b2c2ab bc ca 6. Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy a = b = c =
Do ta đặt:
2 2
2 2 2 2 2 2 2
2
a b c d ac bd
a c a d b c b d a c abcd b d ad bc
, ( x, y R ) Từ giả thiết suy ra: c 1 x y
(8)= (1x)2(1y)2(1 x y )2(1x)(1y) (1 y)(1 x y ) (1 x y )(1x)
= x2xy y 26 = x y y
2
1 6 6
2
Đẳng thức xảy y = x y
1 0
x = y = hay a = b = c =1 Vậy A
6
Bài 11: Cho a > ; b > Chứng minh:
2
8
1
a b
a b
Ở BĐT điều kiện bất đẳng thức Vì a > 1và b > nên ta đặt a = + x; b =1+y (với x; y >0) Khi ta có :
12 12 2 1 2 1
1 1
4
x y x x y y
x y x y
x y x y
x y x y
Bài 12: Cho ba số thực dương a, b, c CMR: ba+c+ b
c+a+
c a+b≥
3
Đặt:
¿
b+c=x
c+a=y
a+b=z
⇒
¿a=y+z − x
2
b=z+x − y
2
c=x+y − z
2 ¿{ {
¿
Khi bất đẳng thức (1) trở thành: y+2z − xx +z+x − y
2y +
x+y − z
2z ≥
1
Ta có:
y+z − x
2x +
z+x − y
2y +
x+y − z
2z =
1 2(
y x+
x y)+
1 2(
z x+
x z)+
1 2(
z y+
y z)−
(9)Hay ba+c+ b
c+a+
c a+b≥
3
2 (đpcm)
4 Phương pháp làm trội Bổ trợ:
a)Tổng hữu hạn.
Một tổng gồm số hạng viết theo quy luật từ số hạng đến số hạng cuối , gọi tổng hữu hạn
Ví dụ: A=
1 1
2018.2019
1.2 2.3 tổng hữu hạn.
Để tính tổng hữu hạn ta biến đổi số hạng thành hiệu hai số hạng
Ví dụ: Tính A=
1 1
2018.2019
1.2 2.3
(Ta áp dụng công thức
1
( )
n
a a n n a n với a n số tự nhiên)
Ta có:
A=
1 1
2018.2019
1.2 2.3 =
1 1 1 1 1 2018
1 2 3 4 2018 2019 2019 2019
b)Tích hữu hạn.
Một tích gồm thừa số viết theo quy luật từ thừa số đến thừa số cuối ,gọi tích hữu hạn
VD: B=
1 1
1 1
3 15 n 2n
là tích hữu hạn.
(10)VD: Rút gọn
1 1
1 1
3 15
B
n n
Giải: Ta có
2
2 2
2
1 1
1 1
3 15
2 ( 1) 2.2 3.3 4.4 ( 1)( 1)
3 15 1.3 2.4 3.5 ( 2)
B
n n
n n n
B
n n n n
B=
2 ( 1) 2( 1)
1 ( 2)
n n
n n
a)Để Chứng minh BĐT: A >k, vế trái A tổng(hoặc tích) hữu hạn ta khơng tìm cách để tính Ta phải biến đổi A > A1(làm
trội xuống) mà A1 tổng (hoặc tích hữa hạn) mà ta tính được.
Bài 13: C/m:
1 1 22
45 3(1 2) 5( 3) 7( 4) 40399( 2019 2020)
Giải: Ta có
1 1 1 1
(2 1).1 2 2 2
(2 1)( 1) 4 4 1 4 4 1
n n n n n n
n n
n
n n n n n n n n n n n
Áp dụng:
Với n = có
1 1
2
3( 2)
Với n = có
1 1
2
5( 3)
Với n = 2019 có
1 1
2
4039( 2019 2020) 2019 2020
Cộng tất BĐT
VT <
1 1 1 1 22
1
2 2020 2025 45 45
(11)Bài 14: CM:
1 1
2 3 (n 1) n (Với n N n 1)
HD: Mỗi số hạng tổng có dạng
1
(k 1) k CM
VT < nên ta làm trội xuống sau:
1 k 1 1 1 1 1
k ( ) k ( )( ) k ( )( )
k(k 1) k k
(k 1) k k k k k k k k k
1 k 1
( )
k k k k k
b)Để Chứng minh BĐT: B < m , vế trái B tổng hữu hạn(hoặc tích) ta khơng tìm cách để tính Ta phải biến đổi B < B1 (làm
trội lên) mà B1 tổng (hoặc tích hữa hạn) mà ta tính được.
Bài 15: Với n số tự nhiên n C/m :
5 .2 1
2 2 1
n
n n
HD:
2
(2 1) (2 1)
2
2
2 4 4 1 2 1
k k
k k
k k k k
5 Phương pháp dùng BĐT phụ để chứng minh.
Với điều kiện M P Chứng minh A B
Ta chứng minh phụ sau : (A- B) + (P-M) (*)
Lập luận : Vì P – M nên A B
Bài 16: Cho x2 + y2 x+y Chứng minh : x + y 2 Giải:
Trước hết ta chứng minh BĐT phụ sau:
(12)Vì x2 + y2- x – y 2-x-y x + y 2,.Dấu “=” x=y = 1.
Bài 17: Cho x ; y hai số dương thỏa : 2x+ 2y = Chứng minh :
2 x y
Giải:Trước hết ta chứng minh BĐT phụ sau:
2
3 2 2 6
2 x y x y
x y x y
2
x y Dấu “=” x=1; y =
Bài 18: Cho a+b Chứng minh :
2
2 a b Giải:
Trước hết ta chứng minh BĐT phụ sau:
(a2 +b2 -
1
2)+ (1-a-b) =a2 +b2 –a-b+
1 2=
2
1
0
2
a b
BĐT đúng.
Vì –a-b
2
2 a b 6./ Phương pháp phản chứng.
Ví dụ 5: Cho < a;b,c < CMR : có bất đẳng thức sau sai:
a( – b) >
1
4 ; b(1-c) >
4 , c( 1-a) >
Giải : Giả sử bất đẳng thức đúng, nhân vế ta
a( – b) b(1-c) c( 1-a) >
1 64 (*)
mà a(1-a) = -a2 + a = -(a2 –a + ¼ -1/4 ) = -(a-1/2)2 + ¼ ¼ a( 1-a)
1
(1) tương tự b( b-1)
1
(2) , c( 1-c)
1
(13)a(1-b) b (1-c)c(1-a)
1 1
4 464(mâu thuẩn với BĐT (*)
Vậy ta có ĐCCM
B./ BÀI TỐN TÌM GTNN –GTLN CỦA MỘT BIỂU THỨC I./Chú ý:
-Dạng toán gắn liền với bất đẳng thức, phải biết sử dụng BĐT để làm toán dạng
- Biểu thức A k với k số khơng đổi, có giá trị biến để dấu xảy
minA =k
- Biểu thức B m với m số không đổi, có giá trị biến để dấu xảy ra
maxA = m
- Giá trị biến để dấu BĐT xảy ta gọi “điểm rơi”
II./ Một số kỹ thuật biến đổi để giải toán. II.1: Kỹ thuật dự đoán điểm rơi.
Đối với toán mà vai trị biến điểm rơi xảy biến
Bài 1. Cho x, y 0 , x y 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2
1
P
xy x y
.(Trích tuyển 10 Khánh Hịa năm học 2012-2013-Đề không chuyên) Nhận xét:
-Biểu thức P gợi lên dùng BĐT Bunhiacoopky dạng phân thức “Với x > 0, y > 0, ta có:
1
x y x y Dấu = x = y
-Vai trò x y điểm rơi tại
1 x y
2
(14)-Nhưng
1 x y
2
2
2
1
2
1
2
x y
1
4 1
2 xy
Đểdùng
BĐT số hạng thứ hai với 2
1
x y phải Ta phải chia xy cho
2
1 2xy Từ ta có giải
Với x, y 0 , ta có
2
2
1 1
(x y) (x y) 4xy
xy (x y) x y x y
Đẳng thức xảy x y
Do đó, với x, y 0 x y 1 , ta có
2 2
1 1 1
P
xy x y 2xy 2xy x y
2
1
4
2xy 2xy x y 2xy
(Đến ta lại tiếp tục nhận xét : phải cần biến đổi
1
???? 2xy )
Ta có (x-y)2 x2+y2 2xy x2+y2 +2xy 2xy +2xy (x+y)2 4xy
2
1 2
(x y ) 4xy (x y ) 2xy 2xy P 2+4 =
Đẳng thức xảy
2
x y
1
x y 2xy x y
2 x y
Vậy
1
P x y
2
II.2 Kỹ thuật tham số hóa
(15)Kỹ thuật đơn giản sau Trong cực trị biến x;y có vai trị khác ta đặt x = ty sau thay vào GT tốn ta tính biến y theo t
Tiếp tục thay vào biểu thức ta tìm cực trị biến
Bài 2:Cho số thực dương a;b thỏa mãn: ab a b a b Tìm GTNN P = a+b
Giải:
Với a>b>0 , đặt a=tb (t > 0) thay vào ĐK:
1 ( 1)
t
tbb tb b tb b b
t t
đó :
2
( 1) ( 1) 4
( 1)
1
( 1) ( 1)
t t t t t t t
a b b t
t t
t t t t t t
Dấu :
2
1
3
1 2 2
a
t t
t t
t b
Vậy P =
2
2 a
b
II.3 Kỹ thuật khai thác GT
Nhiều toán cực trị , biểu thức đề cho bí biến đổi, ta cần khai thác GT để biến đổi biểu thức cần tìm cực trị
Bài 3: Cho a;b;c dương thảo điều kiện a+b+c = Tìm GTLN Q= 2a bc 2b ca 2c ab
Nhận xét đề bài:
Vì GT cho số dương dùng BĐT si.
Vai trị biến điểm rơi a=b=c =
3 ( a+b+c =2)
Mỗi số hạng dạng thức bậc hai muốn dùng cô si phải dạng tích,
2a +bc viết (2a+bc) , điểm rơi 2a+bc khơng kg
(16)Giải:
Ta có 2a + bc = (a+b+c).a + bc = a2 +ab + ac + bc = (a+b)(a+c)
Theo BĐT cô si ta có
2
2 ( )(a )
2
a b a c a b c a bc a b c
Tương tự:
2
2 (b )(b )
2
b a b c b a c b ac a c
2
2 (c )(b )
2
c a b c c a b c ab a c
Cộng vế ba BĐT Q
4( ) 4.2
4
2
b a c
Vậy max Q = a=b=c =
Bài 4: Cho x; y số dương thỏa mãn (4x +6y +2019) (x-y+3) =0 Tìm GTNN
P = xy – 5x +2020
Nhận xét : Nhiều lúc hình thức “rất dễ sợ” bình tỉnh nhiền nhận sẻ thấy rấtđơn giản
GT toán x; y dương 4x+6y+ 2019 >0 ( ngày thi tuyển 10 đó) x-y + =
Với GT ta dễ dàng rút- đưa biểu thức biến Giải:
x; y dương 4x+6y+ 2019 >0 ( ngày thi tuyển 10 đó) x-y + =
y =x+3 thay vào P = x(x+3) – 5x + 2020 = x2 -2x + 1+2019 = (x-1)2 + 2019
2019
Vậy P = 2019 x = y =
(17)mới điểm tựa cho em mà Hãy nhớ “ Mỗi hành động xuất phát từ suy nghĩ mà ra” Vì ngẫm nghĩ để hiểu rõ vấn đề rồi tìm lời giải!
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức.Q= 2 1 x x x Giải
Điều kiện xác định x1 Cách 1:
Ta có Q=
2 2
2 2 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x (*)
Đặt y =
1
x Q = 1- y + y2 =
3 2 y
Vậy Q =
1
y x
Cách 2:
Q 2
2 x x x x
x
2 2 1 x x
x
2 4 x x Vì 1
4 2 x x
Dấu xảy x 10 x1 Q
Vậy Q =
3
x
Cách 3: Ta coi y giá trị Q để 2
2 1 x x x y
1
2
y x x x (y1)x2 (2y 1)xy10 (1)
Do phương trình (1) phải có nghiệm
Nếu y = ta có (1- 1)x2 + ( 2.1-1) x + 1- = => x = 0
Vậy y = giá trị Q
(18) = ( 2y –1)2 – ( y- 1)(y- 1) 0 ( 2y –1 – 2y +2)( 2y –1 + 2y – 2)
4y - 3 0 y
y =
phương trình ( 1) có nghiệm kép x = Ta lại có
3
.Vậy Q =
3
x
(Chú ý Cách giải thứ , toán dạng biểu thức hữu tỷ bậc hai giải được- Vậy gặp dạng ta giải cách 3)
Ví dụ 2:
Tìm GTLN của: A x 1 y 2 biết x + y = (ĐK: x 1; y 2)
Cách : Ta nghĩ dạng tổng (a+b) với GT x+y = , sử dụng GT ta phải nghĩ dùng a2 + b2
Ta biết (a-b)2 (a+b)2 2(a2 + b2) dấu = a = b
Vậy ta áp dụng có giải
2
2 1 2 2 1 2 2.(4 3) 2
A x y x y A 2 A
MaxA = x1 y x – = y – = – x – = – x hay x = 2;
y=
5 2.
Cách :Vì biểu thức chứa bậc hai, ta bình phương
2 1 2 1. 2 2 3 ( 1)( 2) ( 1)( 2)
1 ( 1)( 2) ( 1) ( 2) 1
A x x y y x y x y x y
x y x y
(19)MaxA = x1 y x – = y – = – x – = – x hay x =
3 2;
y=
5 2.
Cách 3:Nhiều toán cực trị biểu thức vơ tỷ( tức biểu thức có chứa căn thức), cách đặt thức biến ta đưa biểu thức hữu tỷ ( gọi PP hữu tỷ hóa)
Đặt x1 a x1a2 x a 21 ; y b y 2b2 y b 22
Vì x+y = a2 + b2 =1
Ta có A = a+ b A2 = a2 +b2 +2ab=1+2ab 1+ a2 +b2 =2 A 2 A 2.
Dấu = a = b x1 y x – = y – = – x – = – x hay x = 2;
y=
5 2.
Vậy max A = x =
3 2; y=
5 .
Ví dụ : Với x, y số dương thỏa mãn điều kiện x 2y , tìm giá trị nhỏ
nhất biểu thức:
2 x y M
xy
Nhận xét :
-Sai lầm thường gặp :
2 2
x y x y x y
M
xy xy xy y x
sau dùng Cơ si
2 2
x y x y x y x y
M
xy xy xy y x y x
(20)Lý sai: x y x 2y mà.
Sửa sai:
-Điểm rơi x = 2y
1
2
y y
x y Còn
2 x y
y y Vậy muốn dùng Cô si
cho
y
x ta phải tìm số k để x y .k =
1
2 2.k =
2 k =
4 Tóm lại phải
dùng Cô si cho
y
x số 4 x
y
+Tương tự ta có nhiều cách giải khác
Cách 1:
Ta có M =
2 2
3
( )
4
x y x y x y x y x
xy xy xy y x y x y
Vì x, y > , áp dụng bdt Cô si cho số dương ;
x y
y x ta có 4
x y x y
y x y x ,
dấu “=” xảy x = 2y
Vì x ≥ 2y
3
2
4
x x
y y , dấu “=” xảy x = 2y
Từ ta có M ≥ +
3 2=
5
2, dấu “=” xảy x = 2y
Vậy GTNN M
5
2, đạt x = 2y
Cách 2:
Ta có M =
2 2 4 3
( )
x y x y x y x y y
xy xy xy y x y x x
Vì x, y > , áp dụng bdt Cô si cho số dương
4 ; x y
y x ta có
4
2
x y x y
y x y x ,
(21)Vì x ≥ 2y
1 3
2
y y
x x
, dấu “=” xảy x = 2y
Từ ta có M ≥
4-3 2=
5
2, dấu “=” xảy x = 2y
Vậy GTNN M
5
2, đạt x = 2y
Cách 3:
Ta có M =
2 2 2
2 2
2 3 3
4 4 4
4
x x x x x
y y y y
x y x x
xy xy xy xy xy xy y
Vì x, y > , áp dụng bdt Co si cho số dương
2 ; x
y
ta có
2
2 2 .
4
x x
y y xy
, dấu “=” xảy x = 2y
Vì x ≥ 2y
3
2
4
x x
y y , dấu “=” xảy x = 2y
Từ ta có M ≥
xy xy +
3 2= 1+
3 2=
5
2, dấu “=” xảy x = 2y
Vậy GTNN M
5
2, đạt x = 2y
Cách 4(không sử dụng BĐT Cơ Si)
Ta có M =
2 ( 4 4 ) 42 3 ( 2 )2 4 3
x y x xy y xy y x y xy y
xy xy xy
=
( )
4
x y y
xy x
Vì (x – 2y)2 ≥ 0, dấu “=” xảy
x = 2y
x ≥ 2y
1 3
2
y y
x x
(22)Từ ta có M ≥ +
-3 2=
5
2, dấu “=” xảy x = 2y
Vậy GTNN M
5
2, đạt x = 2y
Tải thêm tài liệu tại:
https://vndoc.com/tai-lieu-hoc-tap-lop-9