Chuyên đề 5: BẤT ĐẲNG THỨC TÓM TẮT GIÁO KHOA I Số thực dương, số thực âm: • Nếu x số thực dương, ta ký hiệu x > • Nếu x số thực âm, ta ký hiệu x < • Nếu x số thực dương x= 0, ta nói x số thực không âm, ký hiệu x ≥ • Nếu x số thực âm x= 0, ta nói x số thực không dương, ký hiệu x ≤ Chú ý: • Phủ định mệnh đề "a > 0" mệnh đề " a ≤ " • Phủ định mệnh đề "a < 0" mệnh đề " a ≥ " II Khái niệm bất đẳng thức: Định nghóa 1: Số thực a gọi lớn số thực b, ký hiệu a > b a-b số dương, tức a-b > Khi ta ký hiệu b < a a > b ⇔ a−b > Ta có: • Nếu a>b a=b, ta viết a ≥ b Ta coù: a ≥ b ⇔ a-b ≥ Định nghóa 2: Giả sử A, B hai biểu thức số Mệnh đề : " A lớn B ", ký hiệu : A > B " A nhỏ B ", ký hiệu :A < B " A lớn hay B " ký hiệu A ≥ B " A nhỏ hay B " ký hiệu A ≤ B gọi bất đẳng thức Quy ước : • Khi nói bất đẳng thức mà không rõ ta hiểu bất đẳng thức • Chứng minh bất đẳng thức chứng minh bất đẳng thức III Các tính chất bất đẳng thức : ⎧a > b Tính chất 1: ⇒a>c ⎨ ⎩b > c Tính chất 2: Hệ 1: Hệ 2: Tính chất 3: Tính chất 4: Hệ 3: Hệ quaû 4: a > b ⇔ a+c > b+c a > b ⇔ a−c > b−c a+c > b ⇔ a > b−c ⎧a > b ⇒ a+c > b+d ⎨ ⎩c > d ⎧ac > bc neáu c > a>b⇔⎨ ⎩ac < bc neáu c < a > b ⇔ −a < − b ⎧a b ⎪⎪ c > c neáu c > a>b⇔⎨ ⎪ a < b neáu c < ⎪⎩ c c 19 DeThiMau.vn Tính chất 7: ⎧a > b > ⇒ ac > bd ⎨ ⎩c > d > 1 a>b>0⇔0< < a b * n a > b > 0, n ∈ N ⇒ a > b n Tính chất 8: a > b > 0, n ∈ N * ⇒ Tính chất 5: Tính chất 6: n a >nb Hệ 5: Nếu a b hai số dương : a > b ⇔ a2 > b2 Nếu a b hai số không âm : a ≥ b ⇔ a2 ≥ b2 IV Bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối : ⎧ x x ≥ ( x ∈ R) Định nghóa: x = ⎨ ⎩− x x < Tính chaát : x ≥ , x = x , x ≤ x , -x ≤ x Với a, b ∈ R ta có : • a+b ≤ a + b • a−b ≤ a + b • a + b = a + b ⇔ a.b ≥ • a − b = a + b ⇔ a.b ≤ V Bất đẳng thức tam giác : Nếu a, b, c ba cạnh tam giác : • a > 0, b > 0, c > • b−c < a < b+c • c−a < b< c+a • a−b < c < a+b • a>b>c⇔ A> B >C VI Các bất đẳng thức : a Bất đẳng thức Cauchy: a+b ≥ ab Cho hai số không âm a; b ta có : Dấu "=" xảy a=b a+b+c ≥ abc Cho ba số không âm a; b; c ta có : Dấu "=" xảy a=b=c Tổng quát : Cho n số không âm a1,a2, an ta coù : a1 + a2 + + an n ≥ a1 a2 an n 20 DeThiMau.vn Dấu "=" xảy a1 = a2 = = an Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức : Ta thường sử dụng phương pháp sau Phương pháp biến đổi tương đương Phương pháp 1: Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh đến bất đẳng thức biết Ví dụ: Chứng minh bất đẳng thức sau: a + b + c ≥ ab + bc + ca với số thực a,b,c a + b + ≥ ab + a + b với a,b Phương pháp 2: Phương pháp tổng hợp Xuất phát từ bất đẳng thức biết dùng suy luận toán học để suy điều phải chứng minh Ví dụ 1: a) Cho hai số dương a b thoả mãn 3a + 2b = Chứng minh: ab ≤ 24 b) Cho hai số dương a b thoả mãn ab = Chứng minh: 4a + 9b ≥ 12 Ví dụ 2: Cho x, y số thực dương thỏa mãn điều kiện x + y = Chứng minh rằng: + ≥5 x 4x ⎛ x y ⎞⎛ y z ⎞⎛ z x ⎞ Ví dụ 3: Cho x,y,z số dương Chứng minh rằng: ⎜ + ⎟ ⎜ + ⎟ ⎜ + ⎟ ≥ ⎝ y z ⎠⎝ z x ⎠⎝ x y ⎠ a+b+c a+b+c a+b+c Ví dụ 4: Cho ba số dương a, b, c Chứng minh : + + ≥9 a b c b+c c+a a+b Ví dụ 5: Cho a,b,c >0 abc=1 Chứng minh : + + ≥ a + b + c +3 a b c ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC TÌM GTLN & GTNN CỦA MỘT HÀM SỐ Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn hàm số : y = (x + 2)(3 − x) với −2 ≤ x ≤ Ví dụ 2: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn xyz = Tìm GTNN biểu thức P = (x + 1)(y + 1)(z + 1) Ví dụ 3: Tìm GTNN hàm số a) y = x + + x − b) y = x + + x − + 2x − Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = 10x + 5y − 10xy − 10x + 14 với x, y ∈ Heát - 21 DeThiMau.vn TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN ĐỀ SỐ 1: , x > x2 Câu 1: Giátrị nhỏ hàm số y = 2x + (A) (B) (C) 2 (D) 3 , x > laø x3 (A) 2 (B) (C) (D) 3 Câu 3: Giá trị nhỏ hàm số y = x + , x > laø x−2 (B) − (C) − 2 (D) + (A) + x+3 Câu 4: Giá trị nhỏ hàm số y = x + , x > −1 laø x +1 (A) 2 + (B) 2 − (C) 2 (D) −2 2 Câu 5: Giá trị lớn biểu thức S = − 5x − 2y + 2xy + 8x + 2y với x, y ∈ laø 1 (C) − (A) −9 (B) (D) 9 Câu 2: Giá trị nhỏ hàm số y = 3x + -Heát - 22 DeThiMau.vn ... bất đẳng thức : Ta thường sử dụng phương pháp sau Phương pháp biến đổi tương đương Phương pháp 1: Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh đến bất đẳng thức biết Ví dụ: Chứng minh bất. .. b ⇔ a.b ≤ V Bất đẳng thức tam giác : Nếu a, b, c ba cạnh tam giác : • a > 0, b > 0, c > • b−c < a < b+c • c−a < b< c+a • a−b < c < a+b • a>b>c⇔ A> B >C VI Các bất đẳng thức : a Bất đẳng thức Cauchy:... chất 8: a > b > 0, n ∈ N * ⇒ Tính chất 5: Tính chất 6: n a >nb Hệ 5: Nếu a b hai số dương : a > b ⇔ a2 > b2 Nếu a b hai số không âm : a ≥ b ⇔ a2 ≥ b2 IV Bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt