V N ð 10 B T ð NG TH C D ng Ch ng minh b t ñ ng th c b ng ñ nh nghĩa Ch ng minh r ng: a) a + 2b + 2ab + b + 10 > 0, ∀ a, b b) a + 4b + 3c + 14 > 2a + 12b + 6c a) N u a + b ≥ ab ( a + b ) ≤ a3 + b3 b) N u a + b ≥ c) N u a > 0, b > 3 a b + ≥ a + b b a a b 1 + 2≥ + b a a b d) N u a + b ≥ 0, a ≠ 0, b ≠ a) a + b + c + d + e ≥ a ( b + c + d + e ) , ∀a, b, c, d , e b) N u a+b+c≥0 a 3+ b3 + c ≥ 3abc H = ( a + b ) + c3 − 3ab ( a + b ) − 3abc = a + b3 a + b ≥ Hư ng d n: Ch ng t r ng 2 ( a + b + c ) ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) a) + 2a ≥ a + 2a , ∀a b) a + b ≥ a 3b + ab3 , ∀a, b a2 + b2 + c2 a + b + c ≥ , ∀a, b, c 3 c) d) N u a < b < c a 2b + b 2c + c a < a c + b2 a + c 2b D ng S d ng phương pháp bi n ñ i tương ñương a) Cho s a, b, c b t kỳ, ch ng minh r ng a + b + c ≥ ab + bc + ca b) Cho s a, b, c tho mãn a + b + c = Ch ng minh r ng − Hư ng d n: Ph i ch ng minh − ( ) a + b8 + c 1 ≥ + + a 3b3c a b c ( a + c ) + (b + d ) 2 ( )( ) ≤ a + b + c + d , ∀ a , b, c , d (ð i h c – A – 1980) Cho a > c, b > c, c > Ch ng minh r ng ( Hư ng d n: Bình phương hai v đ đưa b t ñ ng v d ng c − ) a) Cho b n s a, b, c, d tuỳ ý Ch ng minh r ng ( ac + bd ) ≤ a + b c + d b) Ch ng minh r ng ( a + b + c ≤ ab + bc + ca ≤ a + b + c c) Bi t a > 0, b > 0, c > Ch ng minh r ng ≤ ab + bc + ca ≤ a) a b c 1 1 + + ≥ + − v i m i a, b,c dương bc ca ab a b c DeThiMau.vn c ( a − c ) + c ( b − c ) ≤ ab ( a − c )( b − c ) ) ≥ b) Cho a, b, c thu c [ 0; 1] Ch ng minh r ng a + b + c ≤ + a 2b + b 2c + c a Hư ng d n: S d ng ≤ (1 − a )(1 − b )(1 − c ) a) Cho hai s dương x, y tho mãn xy ≤ Ch ng minh r ng b) Áp d ng ch ng minh r ng n u 1 + ≤ + x + y + xy < x ≤ 1, ≤ y < 1, < z ≤ 1 + + ≤ 2 1+ x 1+ y 1+ z + xyz 1 1 1 1 10 a) Cho z ≥ y ≥ x > Ch ng minh r ng y + + ( x + z ) ≤ ( x + z ) + x z y x z b) Cho a < 1, b < Ch ng minh r ng a + b < + ab D ng S d ng b t ñ ng th c ñã bi t Ch ng minh r ng (1 – 6): 11 a) N u a, b, c, d ≥ a+b+c+d ≥ abcd n + 1 c) > n !, v i n ∈ ℕ, n > 1 1 b) N u a, b, c > ( a + b + c ) + + ≥ a b c n d) N u a ≥ 1, b ≥ a b − + b a − ≤ ab 12 a) N u s a, b tho mãn 3a + 4b = 3a + 4b ≥ b) N u s x, y , z tho mãn x + y + z = x − y + z ≤ 29 c) Cho a + b = Ch ng minh r ng a + b ≥ d) N u a, b, c, x, y, z dương a b c + + = x + y + z ≥ x y z 13 a) N u a b hai s dương a + b ≥ ( ) a+ b+ c 4ab + ab b) N u a1 , a2 , , an ≥ tho mãn a1a2 an = (1 + a1 )(1 + a2 ) (1 + an ) ≥ 2n c) N u a > b > a + ≥ b (a − b) d) 3a + 7b3 ≥ 9ab , ∀ a ≥ 0, b ≥ 1 14 a) N u a, b, c, ba s dương a + b + c = a + + + ≥ 64 a b c DeThiMau.vn b) (ðHBKHN, 1990) N u a, b, c s dương a + b3+ c3≥ a bc + b ac + c ab b) N u x + y = x + y ≤ 15 a) N u x + y = x + y ≥ 16 a) N u x, y, z , p, q s dương x y z + + ≥ py + qz pz + qx px + qy p + q b) N u a, b, c ba c nh c a m t tam giác p< p−a + p−b + p − c ≤ p D ng Áp d ng b t ñ ng th c đ tìm min, max 17 a) Tìm max c a A = x (1 − x ) v i ≤ x ≤ b) Tìm c a B = x + , ( x > 2) x−2 ðáp s : Amax = 1 ⇔x= ðáp s : Bmin = + ⇔ x = + c) V i ≤ x ≤ 3, ≤ y ≤ 1, tìm max c a C = ( − x )(1 − y )( x + y ) ðáp s : Cmax = ⇔ x= 17 ,y= 12 21 18 a) (ð 115.II) Cho xy + yz + zx = Tìm c a F = x + y + z b) Cho a ≥ 3, b ≥ 4, c ≥ Tìm max c a f = 19 a) Tìm c a M = x + ab c − + bc a − + ca b − abc v i x > x−3 b) Tìm max c a N = x (1 − x ) v i ≤ x ≤ c) V i ≤ x ≤ 5, ≤ y ≤ 3, ≤ z ≤ 1, tìm c a P = ( − x )( − y )(1 − z )( x + y + z ) 20 a) (ð 73 III) Cho 36 x + 16 y = Tìm max c a A = y − x + b) (ð 53 III) Cho x + y = Tìm max c a A = x + y + y + x x + y = 16 21 (ð 94 II) Cho u + v = 25 Tìm giá tr l n nh t c a u + v xu + yv ≥ 20 DeThiMau.vn