Toán học Vấn đề 6: Cực trị của hàm số39242

Mr:BB_Barack-Biladen Sdt:01674885583 Vấn đề CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TÓM TẮT GIÁO KHOA I Định nghóa Giả sử hàm số f  x  xác định tập D  ฀ x0  D 1) x0 gọi điểm cực đại hàm số f  x  tồn khoảng  a; b  chứa điểm x0 cho  a; b   D vaø f  x   f  x0  , x   a; b  \  x0  Khi f  x0  gọi giá trị cực đại hàm số f  x  2) x0 gọi điểm cực tiểu hàm số f  x  tồn khoảng  a; b  chứa điểm x0 cho  a; b   D vaø f  x   f  x0  , x   a; b  \  x0  Khi đó, f  x0  gọi giá trị cực tiểu hàm số f  x  Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung cực trị II Điều kiện để hàm số có cực trị 1) Điều kiện cần Giả sử hàm số f  x  đạt cực trị điểm x0 Khi đó, f  x  có đạo hàm x0 f '  x0   2) Điều kiện đủ Dấu hiệu Giả sử hàm số f  x  liên tục khoảng  a; b  chứa điểm x0 có đạo hàm khoảng  a; x0   x0 ; b  Khi đó:  Nếu f '  x  đổi dấu từ âm sang dương x qua điểm x0 hàm số đạt cực tiểu điểm x0  Nếu f '  x  đổi dấu từ dương sang âm x qua điểm x0 hàm số đạt cực đại điểm x0 Dấu hiệu Giả sử hàm số f  x  có đạo hàm khoảng  a; b  chứa điểm x0 , f '  x0   f  x  có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 Khi đó:  Nếu f ''  x0   hàm số đạt cực đại điểm x0  Nếu f ''  x0   hàm số đạt cực tiểu điểm x0 III Các phương pháp tìm cực trị hàm số Phương pháp  Tìm f '  x   Tìm điểm xi  i  1, 2,  mà đạo hàm hàm số hàm số liên  tục đạo hàm Lập bảng xét dấu f '  x  Nếu f '  x  đổi dấu x qua xi hàm số đạt cực trị xi Phương pháp  Tìm f '  x   Giải phương trình f '  x   tìm nghiệm xi  i  1, 2,   Tính f ''  xi  DeThiMau.vn Mr:BB_Barack-Biladen Sdt:01674885583 Neáu f ''  xi   hàm số đạt cực đại điểm xi Nếu f ''  xi   hàm số đạt cực tiểu điểm xi A CÁC VÍ DỤ Ví dụ Với giá trị tham số m hàm số sau có cực đại cực tiểu 1) y   m  x3 3x mx m 2) y  x 2m x m x 1 1) y   m 2 x Giải 3x mx m Tập xác định: D  ฀ Đạo hàm: y '  3 m 2 x2 x m Hàm số có cực đại cực tiểu y ' hay g  x    m  x x m có hai nghiệm phân biệt m  m 2 m     m 2m  ' 3m  m  m   3   Vậy giá trị cần tìm là:  m vaø m  2 x 2m x m 2) y  x 1 Taäp xác định: D ฀ \  1 Đạo hàm: y '  x 2 x m  x  1 Hàm số có cực đại cực tieåu y ' hay g  x   x 2 x m2 có hai nghiệm phân biệt khác –1  ' m2 m     m 1 m m   g   Vậy giá trị cần tìm là:  m Ví dụ Với giá trị tham số m hàm số sau cực trò 1) y   m 3 x3 2mx mx x m 2) y  xm 1) y   m 3 x Giaûi 2mx Tập xác định: D  ฀ DeThiMau.vn Mr:BB_Barack-Biladen Sdt:01674885583 Đạo hàm: y '   m 3 x 4mx y '   m 3 x 4mx (1)  Xeùt m  : y '   12 x   x   y ' đổi dấu x qua x0   Hàm số có cực trị  m  không thỏa  Xét m  : Hàm số cực trị  y ' không đổi dấu  phương trình (1) vô nghiệm có nghiệm kép m 3 m    m ' 4m m   Vậy giá trị cần tìm m  mx x m 2) y  xm Tập xác định: D ฀ \  m Đạo hàm: y '  mx  2m x  x  m y '   g  x   mx 2 2m x (1)  x  m  Hàm số cực trị  y ' không đổi dấu  phương trình (1) vô nghiệm có nghiệm kép  Xét m  : y '  0, x m m thỏa  Xét m  : Yêu cầu toán  ' m : vô nghiệm  m Vậy giá trị cần tìm là: m  x mx m Chứng minh với m hàm số luôn có cực x 1 trị khoảng cách điểm cực trị không đổi Giải Tập xác định: D  ฀ \ 1 Ví dụ Cho hàm số y  Đạo hàm: y '  x2  2x  x  1 y m  x   x  y m  Vậy y '  luôn có hai nghiệm phân biệt m  Hàm số luôn có cực trị Tọa độ điểm cực trị A  0;  m  , B  2; m  y '  Khoảng cách hai điểm A, B là: AB   0 4 m m 2 = const (ñpcm) DeThiMau.vn Mr:BB_Barack-Biladen Ví dụ Cho hàm số y  Sdt:01674885583 x mx Định m để hàm số đạt cực đại x  xm Giải Tập xác định: D ฀ \  m Đạo haøm: y '  x  2mx m  x  m Điều kiện cần Hàm số đạt cực đại x  y '   m  4m  m     m  m  m 4m    m  Điều kiện đủ + Với m  : x2  x y '   x  1 x  x   Bảng biến thiên x y'  + 0 CÑ - -  +   y  CT  Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu x   m không thỏa + Với m  : x  x 6 x y '  x   x  3  Bảng biến thiên x y'  + CÑ -  +  y   CT  Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại x   m thoả yêu cầu toán Vậy giá trị cần tìm là: m  DeThiMau.vn Mr:BB_Barack-Biladen Sdt:01674885583 Cách khác Ta có: y x xm Tập xác định: D ฀ \  m y ' 1 y'   x  m 2  x  m  y '    Hàm số đạt cực đại x     y ''     m  4m 1  m        m m   0     m 3  m m    m m  Vậy giá trị cần tìm là: m  ax bx ab Ví dụ Cho hàm số y  Tìm giá trị a, b cho hàm số đạt cực trị ax  b x  x  Giải Hàm số xác định ax b a x  2abx b a 2b y'   ax  b   Điều kiện cần Hàm số đạt cực trị x  vaø x   y '      y '     b  a 2b 0  b2   8ab b a 2b 16a  0   4a  b  b a   8a  a   4a a  Điều kiện đủ Với a 2, b , ta có: b a 2b  b   8ab b a 2b 16a  4a b  a   b  DeThiMau.vn Mr:BB_Barack-Biladen x2  x y '   x  x   x  + 0 CĐ Sdt:01674885583 Bảng biến thieân x y'  -   +  y  CT  Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại x  đạt cực tiểu x  Vậy giá trị cần tìm là: a 2, b m x3  2m 1 x Ví dụ Cho hàm số y  3m  x Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía trục tung (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Đà Nẵng, 2000) Giải Tập xác định: D  ฀ x 2  2m 1 x m 3m Đạo hàm: y '  Hàm số có cực đại cực tiểu nằm hai phía trục tung y ' hay g  x   x 2  2m 1 x m 3m có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thoả x1 0 x2 3.g    m 3m  m Vậy giá trị cần tìm là: m Ví dụ Cho hàm số y  x3 ax 12 x 13 (a laø tham số) Với giá trị a đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu, điểm cách trục tung (Trích ĐTTS vào Đại học Quốc gia Hà Nội, 1997) Giải Tập xác định: D  ฀ x 2ax 12  x ax  Đạo hàm: y '  Hàm số có cực đại cực tiểu cách trục tung y ' hay g  x   x ax có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thoả x1 x2  a 72 0, a   a a x  x   Vậy giá trị cần tìm là: a  Ví dụ Cho hàm số y x3 điểm có hoành độ x  m x mx Định m để hàm số đạt cực đại cực tiểu DeThiMau.vn Mr:BB_Barack-Biladen Sdt:01674885583 (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Y Dược TPHCM, 1996) Giải Tập xác định: D  ฀ Đạo hàm: y '  x2 x m Yêu cầu toán y ' hay g  x   x x m có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thoả m x1 x2   m    4m   2 m  m  m 1.g  m  m 2m   S m   1 m  2  Vậy giá trị cần tìm là: m  Ví dụ Cho hàm số y  x3  m 1 x  3m 2 m 1 x m Định m để hàm số đạt cực tiểu điểm có hoành độ nhỏ Giải Tập xác định: D  ฀ x  m 1 x  3m m 1 Đạo hàm: y '  x  m 1 x Yêu cầu toán y ' hay g  x    3m m 1 coù hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thoả  x1 1 x2   x1 x2 1  2 1 3.g 1   3m m   m (a)  '      3.g 1 S  1  3m 12    3m m m   9  m  1  3m m 1    3  3m m   m 1 m     m  m  m (b) Kết hợp (a) (b) ta có giá trị cần tìm là: m   m Ví dụ 10 Cho hàm soá y  x3 3x 2  C  Hãy xác định tất giá trị a để điểm cực đại điểm cực tiểu đồ thị (C) hai phía khác đường tròn (phía y 2ax 4ay 5a phía ngoài): x  (Trích ĐTTS vào Trường Đại học An Ninh, 2000) DeThiMau.vn Mr:BB_Barack-Biladen Sdt:01674885583 Giải Tập xác định: D  ฀ Đạo haøm: y ' 3 x x y  x  y '   x  y   Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A  0;  , B  2; 2  Đặt  Ca  : x  y 2ax 4ay 5a Hai điểm A, B hai phía hai đường tròn  Ca  PA / Ca  PB / Ca    5a 8a 3 5a 4a   5a 8a (do 5a  4a 0, a )  a Caùch khaùc Phương trình đường tròn  Ca  viết lại: a   y 2a   x   Ca  có tâm I  a; 2a  bán kính 2 R 1 Ta có: IB   a 2 5a 2  2a 2 4a 2  36   5 a     1 R 5 5   Điểm B nằm  Ca  Do đó: Điểm A nằm phía đường tròn  Ca  IA  a2 2 2a   5a 8a  a Ví dụ 11 Cho hàm số y  mx  m 1 x  m  x Với giá trị m 3 hàm số có cực đại cực tiểu đồng thời hoành độ điểm cực đại cực tiểu x1 , x2 thoả x1 2 x2 Giải Tập xác định: D  ฀ Đạo hàm: y '  mx 2  m 1 x  m  Haøm số có cực đại cực tiểu y ' hay mx   m 1 x  m  có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 m  m    2m 4m '  m 1 3m  m    DeThiMau.vn Mr:BB_Barack-Biladen Sdt:01674885583 m      6 (*)  m   2 Theo định lí Vi-ét theo đề bài, ta coù:  m  1 x1 x2 (1) m 3 m  2 x1.x2  (2) m x1 2 x2 (3) 3m 4 m Từ (1) (3), ta có: x1  , x2 m m Thế vào (2), ta được: 3 m  2 3m 4 m    m m m  3m 8m (do m  )  m   (thoaû (*))   m  2 Vậy giá trị cần tìm là: m  m   Ví dụ 12 Cho hàm số y  x3   m  1 x  m  m  x  2m  m   Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu viết phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu (Trích ĐTTS vào Học viện Kó thuật Mật mã, năm 1999) Giải Tập xác định: D  ฀ Đạo hàm: y '  x   m  1 x  m  m      y '   x   m  1 x  m  m   (1)  Haøm số có cực đại cực tiểu  y '  có hai nghiệm phân biệt       '   m  1  m  m    m  8m    m   17  m   17 Laáy y chia cho y’, ta coù: 2 y   x  m  1 y ' m  8m  x  m3  5m  3m  3 Goïi A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  điểm cực trị đồ thị hàm số x1 , x2 nghiệm (1)     Ta coù: 2   y1   x1  m  1 y '  x1   m  8m  x1  m  5m  3m  3   y '  x1      y1        2 m  8m  x1  m3  5m  3m  3  DeThiMau.vn  Mr:BB_Barack-Biladen Sdt:01674885583 Tương tự ta có: 2 y2   m  8m  x2  m3  5m  3m  3 Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại cực tiểu là: 2 y   m  8m  x  m3  5m  3m  3         Ví dụ 13 Cho hàm số y  x3 x  m  x m Định m để hàm số có cực đại cực tiểu đồng thời hai giá trị cực trị dấu Giải Tập xác định: D  ฀ x 12 x  m  Đạo hàm: y '  y '  x 12 x  m  (1)  Hàm số có cực đại cực tiểu  y '  có hai nghiệm phân biệt  ' 36  m   m m (*) Laáy y chia cho y’, ta coù: y   x 2.y '  m 2 x m Goïi A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  điểm cực trị đồ thị hàm số x1 , x2 nghiệm (1) Theo định lí Vi-ét, ta có: x1  x2 4, x1 x2 m Ta coù:   x1  y '  x1   m  x1 m  y1   y1  m  x1 m   y '  x1    Tương tự ta có: y2   m  x2 Yêu cầu toán y1 y2   m  x1 m   m 2  m  x2 m   m   x1 1 x2 1   m   4 x1 x2   m   4  m  2.4 17  m   m  2 2  x1 x2  0   m   4m 17  17 So với điều kiện (*) ta có giá trị cần tìm là:  m Ví dụ 14 Cho hàm soá y  x3 3x m2 x m Tìm tất giá trị tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số đối xứng qua đường thẳng y  x 2 (Trích ĐTTS vào Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001) 10 DeThiMau.vn Mr:BB_Barack-Biladen Sdt:01674885583 Giải Tập xác định: D  ฀ Đạo hàm: y '  3x x m2 y '  x x m (1)  Haøm số có cực đại cực tiểu  y '  có hai nghiệm phân biệt  ' 3m 3 m Goïi A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  điểm cực trị đồ thị hàm số I trung điểm đoạn AB Do x1 , x2 nghiệm (1) nên theo định lí Vi-ét, ta có: x1 x2 , x1.x2  m2 Hai điểm A, B đối xứng qua đường thaúng  :y x 2  AB    I   Đường thẳng  AB có hệ số góc là: k1  3 2 y2  y1 x2  x1   x2  x1   m  x2  x1  k2   x2  x1 x2  x1   x1 x2  x1 x2  x1 x2  m m2  m2 2m   AB k1.k2 2m     m Với m  : y1  x1   x  y2  2  Đồ thị hàm số có hai cực trị A  0;0  , B  2; 4  y '  3x x  Trung điểm AB là: I 1; 2  T a có: I  Vậy: m  thoả yêu cầu toán Ví dụ 15 Cho hàm số y  x 2mx 2m m Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu, đồng thời điểm cực đại cực tiểu lập thành tam giác (Trích ĐTTS vào Học viện Quan hệ Quốc tế, 1997) Giải Tập xác định: D  ฀ Đạo hàm: y ' 4 x3 4mx 11 DeThiMau.vn Mr:BB_Barack-Biladen Sdt:01674885583 x    x  m  * Hàm số có cực đại cực tiểu y ' có ba nghiệm phân biệt y’ đổi dấu x qua nghiệm  Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác m Khi :  x  y m 2m y '   m y m m 2m  x  y '  Đồ thị hàm số có điểm cực đại laø A  0; m  2m  vaø hai điểm cực tiểu  B  m ; m4 m2   2m , C m ; m4 m2 2m   AB  AC Các điểm A, B, C lập thành tam giác    AB  BC AB BC  m m 4m  m  m3 3  m  3 (do m  ) Vaäy giá trị cần tìm là: m  3 Ví dụ 16 Cho hàm số y  kx  k 1 x 2k Xác định giá trị tham số k để đồ thị hàm số có điểm cực trị (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội, 1999) Giải Tập xác định: D  ฀ Đạo hàm: y '  4kx3  k 1 x x   k  *  2kx  Hàm số có cực trị y ' có nghiệm y’ đổi dấu x qua nghiệm  Phương trình (*) vô nghiệm có nghiệm x  k  k     k    k k k  k     2k  k 1  ' Vậy giá trị cần tìm là: k  k y '  Ví dụ 17 Cho hàm số y x mx 2 mà cực đại Xác định m để đồ thị hàm số có cực tiểu (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Cảnh sát, 2000) Giải Tập xác định: D  ฀ Đạo hàm: y ' 2 x3 2mx x  y '    x  m  * 12 DeThiMau.vn Mr:BB_Barack-Biladen Sdt:01674885583 Hàm số có cực tiểu mà cực đại y ' có nghiệm y’ đổi dấu từ âm sang dương x qua nghiệm  Phương trình (*) vô nghiệm có nghiệm kép x  m Vậy giá trị cần tìm là: m  x  mx  Ví dụ 18 Cho hàm số y  Tìm m để điểm cực tiểu đồ thị hàm số nằm x 1 parabol  P  : y  x  x  Giải m3 x 1 Tập xác định: D  ฀ \ 1 Ta coù: y  x  m   Đạo hàm: y '  x2  x  m   x  1 y '   g  x   x2  x  m    x  1 (1) Hàm số có cực đại cực tiểu  y '  có hai nghiệm phân biệt khác  m    '    m       m  3 (*) m  3  g 1  m   Khi đó: m3   x1   m   y1   m   m    m   m   m  y'    m3   x2   m   y2   m   m   m   m   m   Bảng biến thiên x  y’ x1 + y1  x2 - - +   y   y2 Từ bảng biến thiên, ta thaáy: xCT  x2   m  yCT  y2  m   m    Điểm cực tiểu A  m  3; m   m   A P  m   m   1 m    1 m    m    m    m  2 (thỏa (*)) Vậy giá trị cần tìm là: m  2 13 DeThiMau.vn Mr:BB_Barack-Biladen Sdt:01674885583 Ví dụ 19 Cho hàm số y  x   m  1 x  m  4m  Tìm tất giá trị tham số x 1 m hàm số cho có cực trị Tìm m để tích giá trị cực đại cực tiểu đạt giá trị nhỏ (Trích ĐTTS vào Đại học Quốc gia Hà Nội, 1999) Giải m 3m Ta có: y  x m x 1 Tập xác định: D  ฀ \ 1 Đạo hàm: y '  x m 3m x   x  1 Hàm số có cực đại cực tiểu y ' hay g  x   x 2 x m 3m  x  1 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khaùc ' m 3m     m (*) 3m  g 1  m  Goïi A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  điểm cực trị đồ thị hàm số x1 , x2 nghiệm (1) Khi đó:  x  m 3m   x2  m 3m y '  Ta coù: y1 m m 3m y2 m 3m m   y1 y2  m m 3m m  1 m  m 3m   m 3m   5m 14m   m   Min  y1 y2  5 , đạt m  5 So với điều kiện (*) ta có giá trị cần tìm là: m  x   m 1 x 3m Với giá trị m hàm số cho Ví dụ 20 Cho hàm số y  x 1 có cực đại cực tiểu đồng thời giá trị cực đại giá trị cực tiểu dấu (Trích ĐTTS vào Trường Cao đẳng Sư phạm TPHCM, 2000) Giải 2m  x m Ta có: y  x 1 Tập xác định: D  ฀ \ 1 14 DeThiMau.vn Mr:BB_Barack-Biladen Đạo hàm: y '  Sdt:01674885583 x 2m x   x  1 x 2 x 2m có hai nghiệm Hàm số có cực đại cực tiểu y ' hay g  x   phân biệt x1 , x2 khác ' 2m 2    m (*) 2m  g 1   Goïi A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  điểm cực trị đồ thị hàm số x1 , x2 nghiệm (1) Khi đó:  2m y1  x1   y '   2m y2  x2   Hai giaù trị cực trị dấu y1 y2   2m  m 2m  2m 2m  2m m m 2m 2m  2m m  m 2m m 2m   1 m   2m   m 10m  m m So với điều kiện (*) ta có giá trị cần tìm là:  m Cách khác Tập xác định: D  ฀ \ 1 Đạo hàm: y '  m 2 x 2m x   x  1 Hàm số có cực đại cực tiểu y ' hay g  x   x 2 x 2m có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác y ' đổi dấu x qua hai nghiệm ñoù ' 2m 2    m (*) 2m  g 1   Hai giá trị cực trị dấu  Đồ thị hàm số cắt trục hoành hai điểm phân biệt y hay x   m 1 x 3m  x 1 coù hai nghiệm phân biệt khác   m 1  3m    m 1 3m 1  m m   m  m  10m  2m 2 So với điều kiện (*) ta có giá trị cần tìm là:  m Ví dụ 21 Xác định p cho hàm số y   x  3x  p có giá trị cực đại M giá trị cực x4 tiểu m với m  M  4 p Ta coù: y   x   x4 Tập xác định: D  ฀ \ 4 m Giaûi 15 DeThiMau.vn Mr:BB_Barack-Biladen Đạo hàm: y '  Sdt:01674885583  x  x  p  12  x  4 y '   g  x    x  x  p  12   x  4 (1) Hàm số có cực đại cực tiểu  y '  có hai nghiệm phân biệt khác  4  p   '  16   p  12      p  (*) p   g     p  Goïi A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  điểm cực trị đồ thị hàm số x1 , x2 nghiệm (1) Khi đó: 4 p  x    p  y     p    5   p 1    p y'     4 p  5   p  x2    p  y2     p   4 p  Bảng biến thieân x  -    x1 y’  +   x2 + y2  - y  y1  Từ bảng biến thiên, ta thaáy: M  y2  5   p m  y1  5   p Do đó: m  M   5   p  5   p    p   p  (thoả (*))   Vậy giá trị cần tìm là: p  Ví dụ 22 Cho hàm số y  x   0; 2m  x  m x 2m 5m Tìm m  để hàm số đạt cực tiểu x Giải Tập xác định: D  ฀ \ 0 x  2m 5m Đạo hàm: y '  x2 Bảng biến thiên x y’  + x1 CÑ - - 2m + x2    y 16 DeThiMau.vn Mr:BB_Barack-Biladen  Sdt:01674885583 CT  Hàm số đạt cực tiểu x   0; 2m  y ' hay g  x   x 2m 5m có hai nghiệm phân biệt x1 , x2  x1  x2  thoaû: x1  x2 m   1.g    1.g  2m    m     m m   m m  m     2m 5m 2m  5m  1  m  m   Vậy giá trị cần tìm là:  m m Ví dụ 23 1) Cho hàm số y  ta có: 2m u '  x0  u  x0   v '  x0  v  x0  u  x Chứng minh y '  x0   vaø v '  x0   v  x x  3x m 2) Chứng tỏ hàm số: y  đạt cực đại x1 đạt cực tiểu x2 x2 ta có : y  x1   y  x2  x1 x2 Giải 1) Ta có: u ' x v  x  u  x v ' x y'   v  x  Do đó: y '  x0    u '  x0  v  x0  u  x0  v '  x0  u '  x0  v  x0  u  x0  v '  x0  u '  x0   v '  x0  u  x0  (đpcm) v  x0  2) Theo kết câu 1) nên ta có: y  x1  4 x1 , y  x2  4 x2  y  x1  y  x2  x1 x2 (ñpcm) 17 DeThiMau.vn Mr:BB_Barack-Biladen Sdt:01674885583 x 2mx x 1 Tìm giá trị m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu khoảng cách từ hai y điểm đến đường thẳng x  (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, 2001) Giải Tập xác định: D ฀ \  1 Ví dụ 24 Cho hàm số y  Đạo hàm: y '  x 2m x   x  1 Hàm số có cực đại cực tieåu y ' hay g  x   x 2 x 2m có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác -1 ' 3 2m (*)  m  1  g   2m 3 Goïi A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  điểm cực trị đồ thị hàm số x1 , x2 nghiệm (1) Theo định lí Vi-ét, ta có: x1  x2 2, x1.x2 Mặt khác: y1 2 x1 2m , y2 2 x2 2m Đặt  :x y Yêu cầu toaùn  d  A,  d  B,  x  y  1 x2 y2 2  x1 2m x2   3x1 2m  2m   3x1 2m   3x2 2m   x1 x2  4m m 2m  x1  3x2 2    x1 x2   3  x1 x2     4m 2m  x2  4m (thoả (*)) Vậy giá trị cần tìm là: m  x   m  x 3m Ví dụ 25 Cho hàm số y  x 1 1) Tìm để hàm số có cực đại cực tiểu 2 2) Giả sử y có giá trị cực đại, cực tiểu yCĐ , yCT Chứng minh: yCĐ  yCT  1) Tập xác định: D ฀ \  1 Đạo hàm: y '  Giaûi x 2 x 2m  x  1 Hàm số có cực đại cực tiểu y ' hay g  x   x 2 x 2m có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác -1 18 DeThiMau.vn Mr:BB_Barack-Biladen Sdt:01674885583 '  1  g   2m 1   m 2m  Vậy giá trị cần tìm là: m  2) Goïi A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  điểm cực trị đồ thị hàm số x1 , x2 nghiệm (1) Theo định lí Vi-ét, ta có x1  x2 2, x1.x2 2m Mặt khác: y1  x1 m , y2  x2 Do đó: 2 yCĐ  yCT  y12  y22   x1 m    x1 x2 2  m  x2 m   m  x1 x2  2   x1 x2  x1 x2   m 2  m  x1   4m   m   m  x2   m  2  2m  16m  f  m   2m  16m  8, m   Xét hàm số: f '  m   4m  16  0, m   Bảng biến thiên x f ' m   + f  m  Từ bảng biến thiên, ta thấy f  m   2 Vậy: yCĐ  yCT    , m    ;     (ñpcm) Ví dụ 26 Cho hàm số y  mx   m2 1 x 4m3 m Tìm giá trị m để đồ thị hàm xm số tương ứng có điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ  II  điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ  IV  mặt phẳng toạ độ (Trích ĐTTS vào Trường Đại học Y Dược TPHCM, 2001) 19 DeThiMau.vn Mr:BB_Barack-Biladen Sdt:01674885583 Giải 4m xm  Tiệm cận xiên: y mx Ta có: y  mx  m  0 Tập xác định: D  ฀ \ m Đạo hàm: y '  mx 2m x 3m3  x  m y '  g  x  mx 2 2m x 3m3 x m  (*) Giả sử A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2   x1  x2  điểm cực trị đồ thị hàm số x1 , x2 nghiệm (*)  A thuộc góc phần tư thứ (II) Yêu cầu toán    B thuộc góc phần tư thứ (IV) x1 x2  1    2  y2 y1   Hệsố góc tiệm cận xiên nhỏ  3 1 m.g   3m4 m (a)  2  y Đồ thị hàm số không cắt trục Ox hay mx   m2 1 x 4m3 m m    m2 1 4m  4m3 m   m  1  (b)    m m m  5   3 m (c) x m  vô nghiệm m   15m 2m  Từ (a), (b) (c) ta có giá trị cần tìm là: m  x  m  m 1 x m3 xm 1) Chứng minh đồ thị hàm số cho luôn có điểm cực đại cực tiểu với giá trị m Xác định toạ độ điểm cực trị 2) Chứng tỏ có điểm A mặt phẳng toạ độ cho điểm cực đại đồ thị ứng với giá trị thích hợp m điểm cực tiểu đồ thị ứng với giá trị thích hợp khác Tìm toạ độ A (Trích ĐTTS vào TTĐT Cán Y tế TPHCM, 2000) Giải 1) Tập xác định: D  ฀ \ m Ví dụ 27 Cho hàm số y  Đạo hàm: y '  x  2mx m  x  m 20 DeThiMau.vn ... Ví dụ 19 Cho hàm số y  x   m  1 x  m  4m  Tìm tất giá trị tham số x 1 m hàm số cho có cực trị Tìm m để tích giá trị cực đại cực tiểu đạt giá trị nhỏ (Trích ĐTTS vào Đại học Quốc gia... điều kiện (*) ta có giá trị cần tìm là: m  x   m 1 x 3m Với giá trị m hàm số cho Ví dụ 20 Cho hàm số y  x 1 có cực đại cực tiểu đồng thời giá trị cực đại giá trị cực tiểu dấu (Trích ĐTTS... điểm cực đại cực tiểu là: 2 y   m  8m  x  m3  5m  3m  3         Ví dụ 13 Cho hàm số y  x3 x  m  x m Định m để hàm số có cực đại cực tiểu đồng thời hai giá trị cực trị