Một số vấn đề về bất đẳng thức trung bình số học hình học và áp dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRƯƠNG MINH NHẬT MỘT Số VẤN ĐỀ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC TRUNG BÌNH Số HỌC - HÌNH HỌC VÀ ÁP DỤNG ••• LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Đinh 2020 TRƯƠNG MINH NHẬT MỘT Số VAN ĐỀ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC TRUNG BÌNH Số HỌC - HÌNH HỌC VÀ ÁP DỤNG ••• Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN: PGS TS ĐINH THANH ĐỨC Mục lục •• MỞ đầu TÀI LIỆU THAM KHẢO QUYET ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) MỞĐẦU Bất đẳng thức trung bình số học- trung bình hình học (AM-GM) hệ thức tốn học Nó sử dụng cho việc giải nhiều toán tạo nhiều hệ thức khác quan trọng toán học Bất đẳng thức AM-GM coi bất đẳng thức nguyên thủy thứ hai sau bất đẳng thức tam giác Euclid - “Vị cha đẻ hình học” sử dụng ý tưởng từ phương pháp hình học để chứng minh bất đẳng thức AM-GM tổng quát vối n = Vào thời kì cận đại, Cauchy xem người phát đưa phép chứng minh hay độc đáo cho bất đẳng thức AM-GM tổng quát dựa phép quy nạp Tốn học Nhưng có lẽ điều người biết thực tế trưốc vào năm 1729, C Maclaurin (1698-1746), nhà toán học người Scotland chứng minh bất đẳng thức này, nhiên ông không trọng việc đặt tên bất đẳng thức tổng quát mà chứng minh nên giối nhắc đến Cauchy nhiều nói tối bất đẳng thức AM-GM Tại trường phổ thông Việt Nam, bất đẳng thức đưa vào giảng dạy từ sốm vối tên gọi bất đẳng thức Cô-si (Cauchy) thời lượng cho dạng bất đẳng thức không nhiều, thầy cô không trọng tối việc cho học sinh nắm kĩ thuật giải bản, không đưa dạng cách giải tổng quát mà lại dành phần lốn thời gian cho việc làm tập cụ thể Vì phần đơng học sinh có nhiều em giỏi cảm thấy lo lắng đối mặt vối tốn có liên quan đến bất đẳng thức AM-GM trưốc em chưa giải tập giống Trong kì thi tuyển sinh 10, tuyển học sinh giỏi, kì thi Olympic việc giải đa phần toán bất đẳng thức, toán giá trị lốn nhất, giá trị nhỏ nhất, khó khăn khơng có cơng cụ mạnh mẽ bất đẳng thức AM-GM Thậm chí sống có nhiều ứng dụng bất đẳng thức này, ví dụ việc xây nhà cho diện tích lốn nhất, khơng gian rộng nhất, Từ lý nên chọn đề tài “Một số vấn đề bất đẳng thức trung bình số học - trung bình hình học áp dụng” cho luận văn Luận số học văn - trung tìm bình hiểu hình học nghiên từ cứuđịnh bất hình đẳng phương thứcán trung dạy bình học theo định hưống sáng tạo nhằm bồi dưỡng tư sáng tạo cho học sinh, nâng cao hiệu trình dạy học Luận văn trình bày 87 trang, gồm: Lời nói đầu, chương, Kết luận Tài liệu tham khảo Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương 1: Trung bình số học - Trung bình hình học Trong chương này, chúng tơi tập trung trình bày số kết Bất đẳng thức AM-GM số kết liên quan Các kết chương trình bày dựa vào [7], [9], [8], Chương 2: Áp dụng bất đẳng thức trung bình số học - trung bình hình học Trong chương này, chúng tơi trình bày số kĩ thuật quan trọng việc sử dụng AM-GM: Kỹ thuật cân hệ số, Kỹ thuật AM-GM ngược dấu; vối việc vận dụng bất đẳng thức AM - GM vào giải tốn đại số, hình học, số học, tổ hợp, Các kết chương trình bày dựa vào [10], [8], [11] Luận văn hoàn thành dưối hưống dẫn khoa học Thầy PGS.TS Đinh Thanh Đức Lời đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Thầy tận tình giúp đỡ, hưống dẫn động viên tơi suốt q trình hồn thành luận văn Tiếp đến, xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng chức năng, Phịng Đào tạo sau đại học, Khoa Tốn Thống kê tạo điều kiện cho chúng tơi hồn thành khóa học Và tơi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô tham gia giảng dạy bạn học viên cao học Tốn khóa 21 Mặc dù cố gắng hạn chế thời gian trình độ nên bên cạnh kết đạt được, luận văn tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý thẳng thắn chân thành quý thầy bạn để luận văn hồn thiện Ngày 29 tháng năm 2020 Học viên thực Trương Minh Nhật Chương Trung bình so học - Trung bình hình học Trong chương này, chúng tơi tập trung trình bày số kết về: Các dạng trung bình bản, số khái niệm tính chất hàm lồi, Bất đẳng thức AM-GM sử dụng AM-GM công cụ để chứng minh số bất đẳng thức Các kết chương trình bày dựa vào [7],[9], [8], 1.1 Các giá trị trung bình Trong phần này, chúng tơi trình bày khái niệm trung bình Các kết chương trình bày dựa vào [3], [5], [8] 1.1.1 Giá trị trung bình thơng thường Trong mục này, tập trung xem xét khái niệm trung bình hai nhiều số khơng âm Vối hai số khơng âm a, b ta kí hiệu a+b A ^2 ; G , / a1 + b2 ab ab; Q = V 2— trung bình số học1, trung bình hình học 2, trung bình tồn phương hai số khơng âm a, b Nếu thêm giả thiết a, b số thực dương, ta kí hiệu H= 11 + - T ab trung bình điều hịa hai số dương a, b Tổng quát, vối n số thực dương cho trưốc a1,a2, ,an, ta định nghĩa trung bình số học, trung bình hình học, trung bình tồn phương,trung bình điều hịa Trong tài liệu Việt Nam, nguôi ta thường quen gọi "The Arithmetic Mean" trung bình cộng; 2Trong tài liệu Việt Nam, người ta thường quen gọi "The Geometric Mean" trung bình nhân n số thực dương a1, a2, , an định nghĩa sau a +a + ••• +a n r _ nl — ; An — M + a2 + V2 n +a Q Qn v '; Gn — V a1 • a2 • • • an n H = _ 11 T-^- + ••• + a a (1.1) a n Trung bình số học có tính chất sau: Mệnh đế 1.1 ([5]) Cho h — (hi, h2, , hn), a — (ai,a2, , an), b — (b1, b2, , bn), a + h — (a1 + hi, a2 + h2, , an + hn) gồm n số hạng dương Ả > Khi đó, Tính cộng tính An (a + b) — An (a) + An (b) TínhkếthỢp An (a) — An (Am, , Am, am+1, , an), A _ a1 + • • • + am Am — ~ m Tính liên tục lim An (a + h) — An (a) h -0' Tính An (Ảa) — ẢAn (a) Tính nội a < An (a) < max a, a — min{ai, , an} max a — max{a1, , an } Dấu bằngxảy rakhi a làhằngsố Tính đơn điệu a < b An (a) < An (b) Dẩu đẳng thức xảy a — b Tính phản xạ Neu a số, có nghĩa — a với i E {1,2, , n}, An (a) — a Tính đối xứng An (a1, , an) khơng đoi hốn vị thứ tự vị trí phần tử a Trung bình hình học có tính chất tương tự trung bình số học Mệnh đế 1.2 ([5]) Cho h — (hi,h2, , hn), a — (a1, a2, , an), b — (bi, b2, , bn), a + h — (a1 + h1, a2 + h2, , an + hn) gồm n số hạng dương Ả > Khi đó, Tính liên tục lim An (a + h) — An (a) h -0' Tính An (Ảa) — ẢAn (a) Tính nội a < An (a) < max a, a = min{ai, , an} max a = max{ai, , an } Dấu bằngxảy rakhi a làhằngsố Tính đơn điệu a < b An (a) < An (b) Dấu đẳng thức xảy a = b Tính phản xạ Neu a số, có nghĩa = a với i E {1,2, , n}, An (a) = a Tính đối xứng An (ai, , an) khơng đoi hốn vị thứ tự vị trí phần tử a Kết dưối đây, cho ta mối quan hệ đại lượng trung bình Định lý 1.1 Cho n số thực dương ai, a2, , an với n A Ta có n A An A Gn A Hn, Q An, Gn, Qn, Hn định nghĩa (1.1) 1.1.2 Giá trị trung bình trọng số Trong mục này, ta xem xét hai n số thực dương p= p1,p2, ,pn vàa=(a1,a2, ,an) Khi đó, trung bình số học trung bình hình học a có trọng số p Oi + P2a2 + • • • + Pnan pi + P2 + + Pn An a; q (1.2) i Pi +- - - -+ pn Gn a; p (1.3) xác định sau Rõ ràng, trung bình trọng số trở thành trung bình thông thường Pi = i vối mọii E {i,2, ,n} Các kết dưối đây, đưa số tính chất quan trọng đại lượng trung bình Mệnh đề 1.3 ([5]) Cho số dương a = (ai, , an), b = (bi, , bn) w = (wi, ,wn) (a) Kí hiệu b-i = (b-i, , b-i) Khi đó, -i\ / An (a; w) _v / ,_i\ ab < ——,—7 An (b;w) < max ab , với ab i = (b) Neu Wn = w1 + + wn = n > _ z z w) > ——— Ỵ'w( ựữị — y/aj) n+1 1 R gọi hàm lõm I vối cặp số thực dương a, ộ thỏa mãn a + ộ = 1, ta ln có f ax + ộ ( y) > af (x) + ộf (y\ vối x, y thuộc I Dấu xảy x = y Ví dụ 1.2.2 • Hàm số y = xr, vối r E (0;1), hàm lõm (0; +^); • Hàm số y = logax, vối a E (0; +^) \ {1}, hàm lõm (0; +^) 10 Từ định nghĩa hàm lồi, lõm ta có kết sau Mệnh đề 1.5 [8] Nếu hàm số f (x) khả vi I f (x) hàm lồi I f f (x) hàm đơn điệu tăng I Kết dưối cho điều kiện cần đủ đề hàm số lồi (lõm, tương ứng) Định lý 1.2 [8] Nếu hàm số f (x) khả vi I f (x) hàm lồi I f (x) >0 (tương ứng f (x) < 0)trên I 1.3 Bất đẳng thức AM- GM toán liên quan 1.3.1 Bất đẳng thức AM-GM Trưốc hết, xem xét mối liên hệ An, Gn trường hợp n = thông qua ví dụ sau Ví dụ 1.3.1 Cho hai số thực khơng âm —, b Khi đó, a -+ >Vã> (1.4) Dấu xảy - = b Chứng minh bất đẳng thức đơn giản, thông qua việc bình phương hai vế (1.4), ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương vối (-+b)2 > 4-b ( b)2>0 (1.5) Rõ ràng, bất đẳng thức (1.5) vối -, b > Do đó, (1.4) Dấu xảy - = b Một cách tổng quát, có kết sau, thường biết đến vối tên gọi Bất đẳng thức AM-GM Bất đẳng thức Cauchy Định lý 1.3 [7][Bất đẳng thức AM-GM] Với n số thực dương—1, —2, , —n ta ln có —1 + —2 + • • • + —n > n n—1 —2 • • • —n (1.6) Có nhiều để chứng minh bất đẳng thức trên, khoảng 50 cách đây, chúng tơi trình bày cách chứng minh phương pháp quy nạp kiểu Cauchy Để hoàn thành chứng minh quy nạp kiểu Cauchy, cần thực bưốc sau • Bưốc sở, kiểm tra P2 1283 Phân tích: Giống ví dụ trên, ta giả sử CD = a cố định CI = x thay đổi vối < x < a Bây giờ, ta tìm cách tính tích CN • NK theo a, x từ áp dụng AM - GM 1284 Chứng minh Gọi J giao điểm CM vối DN Dễ thấy 1285 1286 JDC + JCD = 45O + 45O = 90o MI ± CD nên N trực tâm tam giác MCD Khi nên M, K, I, C đồng viên, điều kéo theo CN • NK = NM • NI = (MI — NI) NI = (IC — ID) ID = (x — (a — x)) (a — x) Bây giờ, áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có (2x - a) (2a - 2x) (2x—a+2a—2x)2 CN • NK = (x — (a — x) (a — x) a2 8" 1287 MKC = MIC = 90o 1288 1289 Đẳng thức xảy 2x a = 2a 2x 1290 3a 1291 x = —T 1292 1293 CD2 Vậy —— giá xảytrị nhỏ IC = ^của CD.tích 84 CN • NK 1295 Ví dụ 2.5.5 Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O; R) cố định Kẻ đường cao BD tam giác ABC Chứng minh 1294 1296 1297 BD < 8^3 Phân tích: Tam giác ABC cân nội tiếp đường tròn (O; R) cố định nên ta đặt AH = x cách đó, ta tính BD theo x liệu cố định Từ đó, vối cách tính theo x mà ta tìm được, ta kỳ vọng có cách sử dụng AM - GM để đánh giá 1298 Chứng minh Giả sử đường cao AH cắt (O) E Đặt AH = x E (0; 2R), 1299 AC 1300 BD = BC sin ACB = 2CH sin AEC = 2CH • 1301 AE H CH2 1302 = HA HE ,'A "' 2R ựx + x (2R — x) 1303 ựx (2R — x) • 1304 1305 \Rv 1306 1307 1308 »4/2x2 (2R — x) Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có BD = L • 2x2 (2R - x) 1310 R 1311 = —ỵ/x • x • (4R — 2x) 1309 //x 1312 - —R • 1313 +x+4R—2xV=1 / 64 R = 8R —3 = —R • 27 = 1314 ậy nên bất đẳng thức ban đầu chứng minh hoàn toàn V □ Ví dụ 2.5.6 Cho tam giác ABC cố định có D, E, F theo thứ tự thuộc cạnh BC, CA, AB cho AD, BE, CF đồng quy Tìm vị trí điểm D, E, F cho diện tích tam giác DEF đạt giá trị lốn 1315 1317 1316 1318 Phân tích: Dựa điều kiện đồng quy, ta nghĩ đến việc đặt DB = x EC = y FA = z DC = x' EA = y FB = z 1319 tính diện tích tam giác DEF dựa diện tích tam giác ABC x, y, z Lưu ý xyz = theo định lý Ceva nên sở để ta tìm cách AM - GM 1320 DB EC FA Chứng minh Gọi = x, = y, = 1323 DC EA FB 1321 1322 điểm đồng quy AD, BE, CF I Đặt 1324 z theo Định lý Ceva, ta phải có xyz = Áp dụng Định lý hàm sin, ta có SAEF _ sin EAF • AE • AF _ AF AE 1325 _z S 1326 1327 Hoàn toàn1331 tươn 1328 ABC = 2sinBAC • AB • AC = AB AC = g tự, ta có 1329 z+1 + y 1330 1334 x 1335 1338 1336 S 1337 ABC x 1341 + • z +1342 1340 1339 1343 1346 1344 SCDE 1345 y S 1347 1348 1349 1350 1351 ABC x+1 1352 Kết hợp điều trên, ta suy y + 1332 S 1353 S BDF 1333 DEF = SABC — SAEF — SBFD — SCDE _ S xSy+Ị)+ y(z+1~)+z (x+ ) 1 1355 (x+ ) y+ (z+ ) 1356 = S xyz +1 _= _2SABC 1 1 (x (z 1357 = ABC + ) (y + ) + ) = (x + ) 1 ) ( y + ) (z + 1354 1358 Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có 1359 1360 1361 — tức I 1362 trọng tâm 1363 (x + 1) (y + 1) (z + 1) > 2Ậ/X • 2ựỹ • 2^/Z — S Cho nên SDEF < Đẳng thức xảy x — y — z Ví dụ 2.5.7 Cho hình chữ nhật ABCD Trên AB, BC, CD, DA lấy điểm M, N, P, Q tuỳ ý Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1364 MN2 + NP2 + PQ2 + QM2 1365 1366 Phân tích: Biểu thức có dạng bình phương gợi ý cho việc sử dụng định lý Pythagoras để biểu diễn bình phương trên, từ đó, sử dụng AM - GM để đánh giá 1367 Chứng minh Áp dụng định lý Pythagoras bất đẳng thức AM - GM, ta có 1368 MN2 + NP2 + PQ2 + QM2 = BM2 + BN2 + CN2 + CP2 + DP2 + DQ2 + AQ2 + AM2 AM + BM )2 + (BN + CN )2 + (CP + DP )2 + 1369 1370 1371 1372 1373 2+2+ (DQ + AQ)2 + -2 + AB2 BC2 CD2 DA2 2 = 22- + + + = AB + BC 1374 1375 Đẳng thức xảy 1376 AM = BM 1377 BN = CN 1378 < 1379 CP = DP 1380 DQ = AQ 1381 y M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA □ Ví dụ 2.5.8 Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh a Trên hai cạnh AB, AD lấy điểm M, N cho tam giác chu vi tam giác AMN 2a Tìm vị trí M, N để diện tích tam giác AMN lốn 1382 1384 1385 1383 Phân tích: Điều kiện ràng buộc AM + AN + MN = 2a AM2 + AN2 = MN2 làm ta liên tưởng đến việc đặt AM = x, AN = y biểu diễn MN theo x, y để thu điều kiện ràng buộc hai biến x, y Rồi từ đó, ta dễ dàng tìm vị trí M, N để SAMN = xy đạt giá trị lốn bất đẳng thức AM - GM 1386 Chứng minh Đặt AM = x AN = y Khi đó, theo định lý Pythagoras, ta có 1387 MN = / AM2 + AN2 = ựx2 + y2 1388 Theo điều kiện cho, ta phải có 1389 1390 a = AM + AN + MN = x + y + ỵ/x2 + y2 Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có 1392 1391 a = x + y + x2 + y2 > '2^7xy + -ỵ/2 xy = + 72 vxy Từ đó, ta suy S AMN=xy í 2a — 2+72 a2 ( 72 + 1)2 1393 1394 Vậy giá trị lớn —2 xảy diện tích tam giác AMN — 1395 AM = AN = + vĩ) ay/z + 72 13961397 hai điểm M, N thoả mãn điều kiện 1398 1399 Ví dụ 2.5.9 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC mặt bên SAB tam giác đều, mặt phẳng (SAB) vng góc với đáy Gọi I trung điểm đoạn thẳng SC M, N thuộc SA, SB với M = A, M = S cho MN song song với AB Một mặt phẳng (a) qua MN vng góc với (ABI) Tìm vị trí điểm M để diện tích thiết diện tạo (a) S.ABC đạt giá trị lớn 1400 1401 Phân tích: Dựa vào hình vẽ tính chất tốn tìm cực trị, ta nghĩ đến việc đặt đại lượng thay đổi theo M x tính diện tích thiết diện phụ thuộc theo x 1402 Chứng minh Dễ thấy AS = AB = AC nên A ACS cân A, kéo theo AI ± SC Tương tự, ta có BI ± SC Giả sử (a) cắt CA, CB theo thứ tự Q, P 1403 (a) ± (ABI) nên 1404 (a) II SC 1405 Từ đó, ta suy 1406 1407 MQ II SC II NP Khi 1408 AQ AM BN BP CQ = SM = SN = CP 1409 nên theo định lý Thales đảo, ta phải có 1410 PQ II AB II MN 1411 Vì SC± AB nên MN±MQ Vậy MNPQ hình chữ nhật SMNPQ = MN • MQ Cũng theo Định lý Thales, ta phải có 1412 MA MQ 1413 1414 ~SA SC 1415 SM a - a MN ~SA ~ÃB 1416 1417 SMNPQ = MQ • MN = x (a — x) • xx - MQaa= -SC, aa Lưu ý SC, AB cố định nên áp dụng AM SC • AB a2 - + a— 12) SC • AB a2 SC • AB GM, ta có 1418 1419 1420 Đẳng thức xảy x = a — x x = 1421 SA hay M trung điểm đoạn □ 2.6 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM vào giải toán thực tế Ví dụ 2.6.1 Để thiết kế bể cá khơng có nắp đậy hình hộp chữ nhật có chiều cao 60 cm, thể tích 96.000 cm3, người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành 70.000đồng/m2 loại kính để làm mặt đáy có giá thành 100.000 đồng/m2 Tính chi phí thấp để làm bể cá 1422 1423 Lời giải Gọi x (m) chiều dài hình chữ nhật đáy (x > 0) Khi chiều 0,096 0,6x Khi diện tích mặt xung quanh 1,2 Chi phí để làm mặt xung quanh rộng 1424 1425 25x (x+ 25x) 70 • 1,2 Diện tích mặt đáy x (x + 25x) 25x Chi phí để làm mặt đáy = 84 ( x+ x) (nghìn đồng) 2Ẻ 25 • 100 • 25 = 16 (nghìn đồng) Chi phí để làm bể cá thấp chi phí làm mặt bên thấp Xét hàm số f (x) = x + _ , x > 25x Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có „z' f (x) = x + 4._/ > 2d x • -=- = ^ 25x 25x Dấu ”=” xảy 42 x = _ < > x = - 25x Vậy chi phíthấp 84 • + 16 = 83 • 200 đồng □ Ví dụ 2.6.2 Một hộp có dạng hình hộp chữ nhật tích 48 chiều dài gấp đơi chiều rộng Chất liệu làm đáy mặt bên hộp có giá thành gấp ba lần giá thành chất liệu làm nắp hộp Gọi h chiều cao hộp để giá thành hộp thấp Xác định h Lời giải Gọi chiều rộng hộp x, vối x > Chiều dài hình hộp 2x Thể tích hộp 24 V = x 2x h = 48 h x2 Tổng diện tích mặt đáy mặt bên hộp 2 2x2 + 6xh = 2x2 + 6x • 24 24 = x + x2 Diện tích nắp hộp 2x Giá thành hộp thấp f (x) = ^2x2 + 1426 + 2x2 144 x 1427 đạt giá trị nhỏ vối x > Ta có 1428 0.2 432 1430 , 216 , 216 1429 J _2 o 216 216 1431 □ Ví dụ 2.6.3 Một người thợ muốn làm thùng dạng hình hộp chữ nhật khơng nắp, đáy hình vng tích 2,16 m3 Biết giá vật liệu để làm đáy mặt bên thùng 90000 đồng/m2 36000 đồng/m2 Để làm thùng vối chi phí mua vật liệu thấp người thợ phải chọn kích thưốc thùng bao nhiêu? 1432 1433 Lời giải Giả sử thùng hình hộp ABCD AB'CD', đáy AB'CD' Đặt AB' = x AA = y (x, y > 0) 1434 Khi 1437 y = -X- 1436 x Chi phí mua vật liệu đóng thùng 1438 16 V = x2y = 2,16 1435 A = • 36000xy + 90000X2 = 311040 + 90000X2 1439 - Á p dụng AM - GM, ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ x = 1,2 m y = 1,5 m □ 1440 Ví dụ 2.6.4 Ơng A dự định sử dụng hết 6,5 m2kính để làm bể cá kính có dạng khối hình hộp chữ nhật chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng( mối ghép có kích thưốc khơng đáng kể) Bể cá có dung tích lốn (kết làm tròn đến hàng phần trăm)? 1441 Lời giải Gọi chiều rông bể cá x (m), chiều cao y (m) vối x > 0, y > 1443 Khi đó, chiều dài bể cá 2x (m) Diên tích kính sử dụng 1442 1444 S = 2- + 2-y + 4-y m2 1445 Theo ta có 1446 2x + 2xy + 4xy = 6,5 y= 2- 65 6- 13 4- 12- Thể tích bể cá 1447 (13 - / ,, _ ,„2 13 - 4x2 _ x V (x) = - - (■”’) 1448 1451 \ x 1449 Ta có x 13 - 4x2 1450 V (x)= l = Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có 1452 8x2 + 13 - 4x2 + 13 - 4x2V 8x2(13 - 4x2)(13 - 4x2) < ( 263 145327 1454 13^/39 V(x) < < 6)1 ô 1.50, ã 27 54 kết làm tròn đến hàng phần trăm Dấu “=” xảy 8x2 = 13 13 = 739 12 = 4x2 x = Suy1455 1456 1457 Vậy bể cá có dung tích lốn 1,50 m3 Ví dụ 2.6.5 Ơng An có khu đất hình elip vối độ dài trục lốn 10 m độ dài trục bé m Ông An muốn chia khu đất thành hai phần, phần thứ hình chữ nhật nội tiếp elip dùng để xây bể cá cảnh phần lại dùng để trồng hoa Biết chi phí xây bể cá 1000000 đồng 1m2 chi phí trồng hoa 1200000 đồng 1m2 Hỏi ơng An thiết kế xây dựng vối tổng chi phí thấp gần bao nhiêu? 1458 1459 Lời giải Gắn mảnh vườn hình elip ơng An vào hệ trục tọa độ Độ dài trục lốn 10 m độ dài trục bé m nên ta có a = b = Phương trình elip 1460 1461 1462 22 E) : ẩ + ! ( (): = + 25 16 1463 Diện tích elip S(E) = nab = 20n 1464 Hình chữ nhật ABCD nội tiếp elip Đặt AB = 2x vối < x < 1465 Khi AD = 8ỵl - 25 Diện tích hình chữ nhật ABCD 1466 SABCD - 16x 1467 Diện tích phần lại trồng hoa 1468 1469 S hoa = 20n - 16x ự1 - 25 Tổng chi phí xây dựng 16000000 • x\Ị1 - 25 + 1200000 • ^20n - 16xự1 - 25) 1470 1471 „ _ r x2 1472 24000000n - 32000005ỳ1 - 25 1473 Mặt khác, áp dụng Bất đẳng thức AM-GM, ta có: 1476 1474 22 1475 vV vV 25 25 16000000 • - 25 < 16000000 • 2— = 8000000 — ~ _ r T = 24000000n - 3200000 • x - 25 m x2 > 24000000n — 8000000 = 67398223.69 14771478 Do đó, 1479 1480 Dấu ”=” xảy 1481 xL = V1 - 25 x = x2 1482 1483 Vậy tổng chi phí thiết kế xây dựng 67.398.224 đồng 5x22 (thỏa mãn) , _ thấp gần vối số 1484 KET LUẬN Luận văn "Một số vấn đề bất đẳng thức trung bình số học - hình học áp dụng" đạt kết sau: 1485 Hệ thống lại kết liên quan bất đẳng thức trung bình số học - hình học Trình bày hai kĩ thuật quan trong việc áp dụng bất đẳng thức trung bình số học - hình học Hệ thống hóa tập sử bất đẳng thức trung bình số học - hình học cơng cụ quan trọng 1486 Trình bày vấn đề áp dụng bất đẳng thức AM-GM vào giải toán thực tế (Mục 2.6) 1487 Tài liệu tham khảo 1488 [1] E F Beckenbach, R Bellman, Inequalities, Springer-Verlag, Berlin- Heidelberg-New York, 1961 1489 [2] F Z Said, AM-GM and Cauchy-Schwarz inequalities, Thesis of Master of Mathematics, Algeria, 2019 [3] G H Hardy, J E Littlewood, G Polya, Bất đẳng thức, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2002 [4] J Wilson, Using the ArithmeticMean-Geometric Mean Inequality in Problem Solving, University of Georgia, 2012 [5] P S Bullen, Handbook of Means and Their Inequalities, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 2003 [6] S J Miller, The Arithmetic and Geometric Mean Inequality, The Ohio State University, Columbus, 2003 [7] V Cirtoaje, Algebraic Inequalities - Old and New Methods, GIL Publishing House, 2006 [8] Nguyễn Văn Mậu, Bất đẳng thức: Định lý áp dụng, NXB Giáo dục, 2005 [9] P Đ Chính, Bất đẳng thức, NXB Giáo dục, 1993 [10] P K Hung, Secrets in Inequalities (Volume 1), GIL Publishing House, 2007 [11] Trần Phương, Những viên kim cương bất đẳng thức, NXB Tri thức, 2009 1490 Áp dụng bất đẳng thức — > 1491 xy (x + y) 1492 ì • ?> 1493 ựbc x/õc(4 — ac) Tiếp tục áp dụng AM - GM, ta 1494 1495 1+1+ > J 11 ựãẽ \Ị tyãb \/bc ựãb \/bc n+1 tyãc y a+b+c n 14964 = x0 + — > 2x 1497 xo 1498 x0 < Ả/2 1499 > Dấu “ = ” xảy 1500 x0n = — x0 + 1501 x0 = Nh □ 1502 ưng x0 = khơng thoả mãn (2.11) Do x0 < Ả/2 1503 Ví dụ 2.4.2 Chứng minh phương trình x4—ax3+a2x2— a3x+a4 = 0, (2.12) 1504 1505 vối a > 0, có nghiệm khơng âm 1506 Chứng minh Giả sử phương trình cho có nghiệm x1, x2, x3, x4 > Theo 1507 địnhlýVi-et ta có 1508 I x1 1510 + x2 + x3 + x4 = a, 1509 x1x2x3x4 = a ... chọn đề tài ? ?Một số vấn đề bất đẳng thức trung bình số học - trung bình hình học áp dụng? ?? cho luận văn Luận số học văn - trung tìm bình hiểu hình học nghiên từ cứuđịnh bất hình đẳng phương thức? ?n...TRƯƠNG MINH NHẬT MỘT Số VAN ĐỀ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC TRUNG BÌNH Số HỌC - HÌNH HỌC VÀ ÁP DỤNG ••• Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN: PGS... toán học Bất đẳng thức AM-GM coi bất đẳng thức nguyên thủy thứ hai sau bất đẳng thức tam giác Euclid - “Vị cha đẻ hình học? ?? sử dụng ý tưởng từ phương pháp hình học để chứng minh bất đẳng thức AM-GM