Một số vấn đề về bất đẳng thức vi biến phân hữu hạn chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ĐẶNG THANH QUANG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN HỮU HẠN CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ĐẶNG THANH QUANG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN HỮU HẠN CHIỀU Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Lê Quang Thuận Bình Định - 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn thạc sỹ với đề tài “Một số vấn đề bất đẳng thức vi biến phân hữu hạn chiều" kết trình đọc tài liệu, nghiên cứu làm rõ hướng dẫn TS Lê Quang Thuận Trường Đại học Quy Nhơn Luận văn không trùng lặp với luận văn thạc sỹ khác chuyên ngành Bình Định, ngày 21 tháng 07 năm 2019 Học viên Đặng Thanh Quang i Mục lục Lời cam đoan Mở đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian vectơ Euclide n-chiều 1.2 Một số không gian hàm 1.3 Tập lồi hàm lồi 1.4 Ánh xạ đa trị 1.5 Ánh xạ đa trị đơn điệu cực đại 4 10 15 15 16 18 21 21 21 Bất đẳng thức vi biến phân tiến hóa 3.1 Bất đẳng thức vi biến phân tiến hóa 3.2 Sự tồn nghiệm EVI 27 27 28 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 Bất 2.1 2.2 2.3 2.4 đẳng thức vi biến phân Bất đẳng thức vi biến phân Phân loại bất đẳng thức vi biến phân Liên hệ DVIs với số lớp toán khác Một số cách tiếp cận DVIs 2.4.1 Tiếp cận DVIs từ Lipschitz ODEs 2.4.2 Cách tiếp cận DVIs từ DIs MỞ ĐẦU Các hệ động lực không trơn cung cấp cơng cụ mơ hình hóa để mơ tả thay đổi không liên tục theo trường véc tơ quỹ đạo trạng thái Sự tiến hóa quỹ đạo hệ thống thường mô tả thông qua ánh xạ đa trị dẫn đến nhiều cách đặt toán khác Chẳng hạn như, ta xem sách lý thuyết bất biến, hệ Filippov, q trình qt (sweeping process), học khơng trơn, báo trình lồi đóng, bất đẳng thức vi biến phân, Các bất đẳng thức vi biến phân cung cấp công cụ tốn học để mơ hình hóa tiến hóa quỹ đạo trạng thái, ngồi phương trình vi phân, số quan hệ đại số Nói chung, bất đẳng thức vi biến phân bao gồm phương trình vi phân thơng thường (ODE), sử dụng để mô tả chuyển động biến trạng thái, bất đẳng thức biến phân (VI), thể ràng buộc mối quan hệ phải thỏa mãn biến trạng thái Các bất đẳng thức vi biến phân nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Với mong muốn tìm hiểu điều kiện cho tồn nghiệm số vấn đề liên quan, học viên chọn đề tài “Một số vấn đề bất đẳng thức vi biến phân hữu hạn chiều” để nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ Trong luận văn này, ngồi mục lục, mở đầu kết luận, nội dung luận văn trình bày ba chương: Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức chuẩn bị để làm sở cho lập luận chứng minh chương sau Chương Bất đẳng thức vi biến phân Trong chương này, chúng tơi trình bày tồn nghiệm lớp bất đẳng thức vi biến phân số vấn đề liên quan Chương Bất đẳng thức vi biến phân tiến hóa Trong chương này, chúng tơi tìm hiểu tồn nghiệm lớp bất đẳng thức vi biến phân phụ thuộc thời gian hay bất đẳng thức vi biến phân tiến hóa Bất đẳng thức vi biến phân bao gồm phương trình vi phân thường kết hợp với bất đẳng thức biến phân liên quan đến ánh xạ đa trị có giá trị thay đổi theo thời gian Luận văn hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn hướng dẫn thầy, TS Lê Quang Thuận Nhân đây, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy hướng dẫn Thầy không hướng dẫn nghiên cứu khoa học mà cịn thơng cảm tạo điều kiện, động viên tơi suốt q trình làm đề tài Tơi xin chân thành cảm ơn khoa Tốn, phịng Đào tạo sau đại học, Trường Đại học Quy Nhơn giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để hồn thành khóa học với luận văn Cuối cùng, tơi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, người thân quan tâm, giúp đỡ ln sát cánh bên tơi Trong q trình viết luận văn chắn không tránh khỏi hạn chế thiếu sót Rất mong nhận góp ý quý thầy cô, quý bạn đồng nghiệp để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn Quy Nhơn, ngày 21 tháng 07 năm 2019 Học viên Đặng Thanh Quang Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức cần thiết để chuẩn bị cho lập luận chương sau 1.1 Không gian vectơ Euclide n-chiều Định nghĩa 1.1 Xét không gian véc tơ Euclide n-chiều Rn Với fi » » fi — y1 ffi — x1 ffi — ffi — ffi — y2 ffi — x2 ffi — ffi — ffi n x “ — ffi P R , y “ — ffi P Rn , — ffi — ffi — ffi — ffi – fl – fl xn yn tích vơ hướng hai vectơ x y Rn xác định xx, y y :“ x1 y1 ` x2 y2 ` ă ă ă ` xn yn Chuẩn vectơ x P Rn định nghĩa }x} “ a xx, xy Hình cầu đơn vị ( Rn định nghĩa Bn :“ x P Rn : }x} ď Định nghĩa 1.2 Cho A Ď Rn Hàm khoảng cách d pă, Aq : Rn ẹ R c nh ngha d px, Aq “ inf }x ´ a} : a P A , x P Rn ( Cho λ P R Khi λA :“ tλa : a P Au Cho A, B Ă Rn Khi A ` B :“ ta ` b : a P A, b P B u Bao đóng clpAq phần intpAq định nghĩa sau: clpAq “ č pA ` Bn q , intpAq :“ ta P A : D ą 0, a ` Bn Ă Au ą0 Biên tập A định nghĩa bdpAq “ clpAqzintpAq Định nghĩa 1.3 Cho f : Rn Ñ R Y t`8u hàm Miền hữu hiệu hàm f , ký hiệu domf , tập xác định domf “ x P Rn : f pxq ă `8 ( ( Định nghĩa 1.4 Tập epif “ px, aq P Rn ˆ R : f pxq ď a gọi đồ thị hàm f 1.2 Một số không gian hàm Trong luận văn này, khơng gian tuyến tính hàm khả tích Lebesgue f : r0, T s Ñ Rn kí hiệu L1 pr0, T s , Rn q Nó khơng gian Banach với chuẩn żT }f ptq}dt, f P L1 pr0, T s , Rn q }f }L1 “ Không gian tuyến tính hàm bình phương khả tích Lebesgue f : r0, T s Đ Rn kí hiệu L2 pr0, T s , Rn q Nó khơng gian Hilbert với tích vơ hướng żT xf, g y “ xf psq, g psqyds tích vơ hướng sinh chun }f }L2 ă T ‹ “ ˝ }f ptq} dt‚ , f P L2 pr0, T s , Rn q Không gian Banach hàm liên tục x : ra, bs Ñ Rn với chuẩn }x} “ maxt}xptq} | t P ra, bsu kí hiệu C pra, bs, Rn q Định nghĩa 1.5 Hàm x : ra, bs Ñ Rn gọi liên tục tuyệt đối với ” 2ı ą 0, tồn δ ą cho với họ đếm đoạn rời tk , tk Ă ra, bs thỏa mãn ÿ´ ¯ tk ´ tk ă δ k ta có ÿ }xptk q ´ xptk q} ă k Mỗi hàm liên tục tuyệt đối liên tục có biến phân bị chặn Mỗi hàm Lipschitz liên tục tuyệt đối Nếu x : ra, bs Ñ Rn liên tục tuyệt đối khả vi hầu khắp nơi có đạo hàm x9 hàm khả tích Lebesgue Hơn nữa, ta có żt2 xpt2 q ´ xpt1 q “ x9 ptqdt t1 với t1 , t2 P ra, bs , t1 ă t2 Không gian hàm liên tục tuyệt đối đoạn ra, bs vào Rn kí hiệu ACpra, bs , Rn q Đây không gian định chuẩn với chuẩn żb }x9 ptq}dt, x P ACpra, bs , Rn q }x}AC :“ }xpaq} ` a Định nghĩa 1.6 Một tập X Ď C pra, bs , Rn q gọi đồng liên tục hay liên tục đồng bậc với ą 0, tồn δ ą cho }xpt2 q ´ xpt1 q} ă với x P X t1 , t2 P ra, bs thỏa mãn |t2 ´ t1 | ă δ Định lý 1.1 pArzela ´ Ascoliq Nếu tập X Ď C pra, bs , Rn q bị chặn đồng liên tục chứa dãy hội tụ txi |i “ 1, 2, u Ď X; nghĩa tồn x P C pra, bs , Rn q cho }xi ´ x}C Ñ i Ñ Hệ 1.1 Mỗi tập bị chặn hàm liên tục tuyệt đối X cho }x9 ptq} ď b, @x P X chứa dãy hội tụ Định lý 1.2 Giả sử dãy xi P L1 pra, bs , Rn q hội tụ tới hàm x hầu khắp nơi }xi ptq} ď φptq, t P ra, bs , i “ 1, 2, φ P L1 pra, bs , Rn q Khi đó, x P L1 pra, bs , Rn q xi hội tụ tới x theo chuẩn L1 ` ˘ Định lý 1.3 Giả sử α P AC r0, T s , R thỏa mãn |α9 ptq| ď lptqαptq ` ρptq, t P r0, T s , ` ˘ ` ˘ l P L1 r0, T s , Rn , lptq ě 0, ρ P L1 r0, T s , Rn Khi đó, şt lpsqds ˇ ˇ ˇ ˇ ˇαptqˇ ď e0 ˇαp0qˇ ` żt şt şs ˇ ˇ lpτ qdτ ´ lpτ qdτ ˇρpsqˇ e0 ds, t P r0, T s 1.3 Tập lồi hàm lồi Trong mục này, chúng tơi trình bày số tính chất tập lồi hàm lồi không gian hữu hạn chiều Rn Định nghĩa 1.7 Một tập C Ă Rn gọi lồi @x1 , x2 P C, @λ P r0, 1s, ta có λx1 ` p1 ´ λq x2 P C Mệnh đề 1.1 Giả sử Cα Ă Rn , α P I, tập lồi, với I tập số Khi đó, tập C “ Ş Cα tập lồi α PI Chứng minh Lấy x1 , x2 P C λ P r0, 1s Khi đó, x1 , x2 P Cα , @α P I Do Cα lồi, nên λx1 ` p1 ´ λq x2 P Cα , @α P I Từ đó, ta có λx1 ` p1 ´ λq x2 P C Vậy, C tập lồi Định nghĩa 1.8 Véc tơ x P Rn gọi tổ hợp lồi véc tơ x1 , x2 , , xm P Rn tồn λi ě 0, i “ 1, 2, , m, m ř i“1 λi “ cho x “ m ř λi xi i“1 Định nghĩa 1.9 Giả sử A Ď Rn Giao tất tập lồi chứa A gọi bao lồi tập A, kí hiệu copAq 25 Định nghĩa 2.1 Một ánh xạ H : Rm Ñ Rm gọi đơn điệu plus tập lồi K Ď Rm H đơn điệu K tức xu ´ u ˜, H puq ´ H pu˜qy ě 0, @u, u˜ P K (2.39) @u, u ˜ P K, xu ´ u˜, H puq ´ H pu˜qy “ ðñ H puq “ H pu˜q (2.40) điều kiện thêm vào Ta biết H ánh xạ đơn điệu tập lồi đóng K SOLpK, H q rỗng tập lồi Hơn nữa, H đơn điệu plus K H puq véc tơ với u P SOLpK, H q miễn tập nghiệm không rỗng Một lớp lớp ánh xạ đơn điệu plus lớp ánh xạ hợp đơn điệu mạnh định nghĩa sau Định nghĩa 2.2 Một ánh xạ H : Rm Ñ Rm gọi ánh xạ hợp đơn điệu mạnh K H biểu diễn dạng H “ ET ˝ Ψ ˝ E (2.41) E P R ˆm Ψ : R Đ R ánh xạ đơn điệu mạnh EK theo nghĩa tồn η ą cho xu ´ u ˜, Ψpuq ´ Ψpu˜qy ě η }u ´ u˜}2 , @u, u˜ P EK (2.42) Với lớp ánh xạ hợp đơn điệu mạnh, tập nghiệm VI khơng rỗng có tính chất phát triển tuyến tính Định lý 2.3 ( [4]) Cho K Ď Rm tập lồi đóng khơng rỗng F ánh xạ hợp đơn điệu mạnh K Giả sử F “ ET ˝ Ψ ˝ E (2.43) E P R ˆm Ψ : R Ñ R ánh xạ đơn điệu mạnh liên tục EK Nếu K8 X ker E “ t0u tập nghiệm SOLpK, r ` F q tập lồi không rỗng với r P Rm tồn ρ ą cho }SOLpK, r ` F q} ď ρp1 ` }r}q, @r P Rm (2.44) 26 Chứng minh Theo [2, Theorem 2.3.16], tính khơng rỗng tập nghiệm SOLpK, r ` F q suy ta chứng tỏ K8 X r´pr ` F pKqq˚ s “ t0u Lấy v phần tử khác không K8 X r´pr ` F pKqq˚ s Khi đó, ta có với x P K τ ą 0, x ` τ v P K cho v T r ` pEv qT ΨpEx ` τ Ev q ď 0, @τ ą Do tính đơn điệu mạnh Ψ, tồn số ηΨ ą cho ηΨ τ }Ev }2 ď τ pEv qT ΨpEx ` τ Ev q ´ ΨpExq ď ´τ v T r ´ τ pEv qT ΨpExq Do bất đẳng thức với τ ą nên ta phải có Ev “ Từ suy ‰ v P K8 X ker E Mâu thuẫn chứng tỏ tập nghiệm SOLpK, r ` F q khơng rỗng Tính lồi tập nghiệm SOLpK, r ` F q suy từ Bổ đề 2.1 F đơn điệu Cuối cùng, ta chứng minh ánh xạ nghiệm SOLpK, r ` F q thỏa mãn điều kiện phát triển tuyến tính (2.44) Bằng phản chứng, ta giả sử khơng tồn ρ yêu cầu Khi đó, tồn dãy trk u Ď Rm tuk u Ď K cho với k, xu ´ uk , rk ` F puk qy ě 0, @u P K }uk } ą k p1 ` }rk }q Dãy tuk u rõ ràng không bị chặn }rk } }rk } ` 1 ă ă }uk } }uk } k Do F ánh xạ hợp đơn điệu mạnh, điều kiện xu ´ uk , rk ` F puk qy ě 0, @u P K viết thành xuk ´ u, E T ΨpEuk qy ď xu ´ uk , rk y, @u P K Lấy v P K8 , v ‰ Khi đó, uk ` τ v P K với τ ą Do vậy, ta có ´τ xv, rk y ´ τ xEv, ΨpEuk qy ď Từ đây, cho k Ñ 8, ta gặp điều mâu thuẫn 27 Chương Bất đẳng thức vi biến phân tiến hóa Trong chương này, chúng tơi tìm hiểu tồn nghiệm lớp bất đẳng thức vi biến phân phụ thuộc thời gian hay bất đẳng thức vi biến phân tiến hóa Bất đẳng thức vi biến phân bao gồm phương trình vi phân thường kết hợp với bất đẳng thức biến phân liên quan đến ánh xạ đa trị có giá trị thay đổi theo thời gian Các kết trình bày chương tham khảo từ tài liệu tham khảo [6] 3.1 Bất đẳng thức vi biến phân tiến hóa (EVI) Xét ánh xạ đa trị S : r0, 8q Ñ Rds giả thiết S ptq tập đóng, lồi không rỗng với t ě Lớp bất đẳng thức vi biến phân tiến hóa (EVI) xem xét chương có dạng sau: x9 ptq “ f pt, xptqq ` Gη ptq, (3.1a) v ptq “ Hxptq ` Jη ptq, v ptq P S ptq, (3.1b) ď xv ´ v ptq, η ptqy, @v P S ptq (3.1c) Trong phương trình xptq P Rn ký hiệu biến trạng thái, η(t), v ptq P Rds , f : r0, 8q ˆ Rn Đ Rn khả tích Lebesgue theo thời gian t Lipschitz toàn cục theo x (với hệ số Lipschitz thay đổi theo thời gian) Hơn nữa, G P Rnˆds , H P Rds ˆn , J P Rds ˆds ma trận hằng, J ma trận nửa xác định dương 28 3.2 Sự tồn nghiệm EVI Trong mục này, quan tâm đến việc nêu điều kiện đảm bảo tồn nghiệm cho EVI (3.1) Trước tiên, thấy điều kiện (3.1b) (3.1c) viết dạng η ptq P ´NS ptq pHxptq ` Jη ptqq (3.2) Từ dạng này, để đảm bảo tính liên tục x thời điểm ban đầu t “ 0, giới thiệu tập ràng buộc trạng thái ban đầu sau: Sadm $ ’ & , ˇ ˇ d s ˇ Dη P R cho :“ x0 P Rn ˇˇ ’ % ˇ η P ´NS p0q pHx0 ` Jη q - Tập Sadm gọi miền chấp nhận trạng thái ban đầu Định nghĩa 3.1 Hàm x : r0, T s Ñ Rn gọi nghiệm mạnh hệ (3.1) với điều kiện ban đầu xp0q P Sadm liên tục tuyệt đối thỏa mãn (3.1a) với hầu khắp t ě (3.1b), (3.1c) với t P r0, T s Định nghĩa 3.2 Hàm liên tục x : r0, T s Ñ Rn gọi nghiệm yếu hệ (3.1) với điều kiện ban đầu xp0q P Sadm tồn dãy nghiệm mạnh txk u8 k “1 hệ (3.1) với điều kiện ban đầu xk p0q P Sadm cho txk u8 k“1 hội tụ tới x r0, T s Sử dụng Mệnh đề 1.2 Mệnh đề 1.3, ràng buộc (3.1b) (3.1c) viết lại dạng sau cho η ptq: @ D v ´ v ptq, η ptq ě 0, @v P S ptq ðñ η ptq P ´B ψS ptq pHxptq ` Jη ptqq ðñ Hxptq ` Jη ptq P B σS ptq p´η ptqq ´ ¯ ðñ Hxptq P B σS ptq ` J p´η ptqq ´ ¯´1 ðñ ´η ptq P B σS ptq ` J pHxptqq Bây giờ, ta xét ánh xạ đa trị Φ định nghĩa Φ : r0, 8q ˆ Rds Đ Rds ´ ¯´1 pt, v q ÞĐ B σS ptq ` J pv q 29 Khi đó, hệ thống EVI (3.1) viết tương đương dạng bao hình thức vi phân sau: x9 ptq P f pt, xq ´ GΦpt, Hxptqq (3.4) Ta chứng minh Φpt, ‚q ánh xạ đa trị đơn điệu cực đại với t ě Tuy nhiên, nhân với G, ánh xạ GΦpt, H ‚q nói chung khơng đơn điệu cực đại Trong trường hợp f pt, xq “ Ax ` uptq, hệ tuyến tính bất biến thời gian xác định ma trận pA, G, J, H q thụ động (passive) Φ khơng phụ thuộc thời gian t, tính đơn điệu cực đại ánh xạ đa trị vế phải (3.4) chứng minh [1] Nội dung chương làm rõ Định lý 3.1 sau Định lý thiết lập [6] kết mở rộng [1, Theorem 3] Định lý 3.1 ( [6]) Xét bất đẳng thức vi biến phân tiến hóa (3.1) giả sử điều kiện sau đúng: pA1q Ma trận J nửa xác định dương tồn ma trận xác định dương đối ´ ¯ ´ ¯ J J xứng P cho ker J ` J Ď ker P G ´ H pA2q Tồn hàm không âm, bị chặn cốt yếu địa phương ρ : r0, 8q Ñ r0, 8q cho }f pt, x1 q ´ f pt, x2 q } ď ρptq}x1 ´ x2 }, @x1 , x2 P Rn pA3q Với t ě 0, rgeH Ş rintprgepB σS ptq qq ‰ H ´ ¯ pA4q Với t ě v P rge H X rge B σS ptq ` J , ta có ´ rgepJ ` J J q X B σS ptq ` J ¯´1 pv q ‰ H pA5q rgeJ Ď rgeH, S : r0, 8q Đ Rds có giá trị lồi đóng ánh xạ S X rgeH thay đổi cách liên tục tuyệt đối theo thời gian; có nghĩa là, tồn hàm liên tục tuyệt đối địa phương µ : r0, 8q Ñ R` cho ` ˘ ˇ ˇ dHaus S pt1 q X rge H, S pt2 q X rge H ď ˇµ pt1 q ´ µ pt2 qˇ , @t1 , t2 ě ´ ¯ Khi đó, với T P r0, 8q xp0q thỏa mãn Hxp0q P rge B σS p0q ` rge J , tồn nghiệm yếu hệ (3.4), hệ (3.1), đoạn r0, T s 30 Để chứng minh Định lý 3.1, cần chứng minh kết trung gian thông qua bổ đề sau Bổ đề 3.1 Với t ě 0, ánh xạ v ÞĐ pB σS ptq ` J q´1 pv q đơn điệu cực đại Chứng minh Đầu tiên, để ý với t ě 0, σS ptq tuyến tính phiếm hàm lồi Do đó, BσS ptq đơn điệu cực đại với t ě 0, rintpdomBσS ptq q ‰ H S ptq lồi rintpS ptqq ‰ H Ma trận J định nghĩa ánh xạ đơn điệu, liên tục đơn điệu cực đại Ngồi ra, dom J Rds Bây giờ, ta có pB σS ptq ` J q đơn điệu cực đại rintpdomB σS ptq q Ş rintpdomJ q ‰ H Vì thế, pB σS ptq ` J q´1 đơn điệu cực đại tốn tử ngược bảo tồn tính đơn điệu cực đại Bổ đề 3.2 Với t ě x P Rn , xét λ1 , λ2 P Φpt, Hxq Khi đó, λ1 ´ λ2 P kerpJ ` J J q Chứng minh Với i “ 1, 2, xét λi P pB σS ptq ` J q´1 pHxq Ta có Hx ´ Jλi P B σS ptq pλi q Do B σS ptq đơn điệu cực đại, ta có xHx ´ Jλ1 ´ Hx ` Jλ2 , λ1 ´ λ2 y ě hay xJ pλ1 ´ λ2 q, λ1 ´ λ2 y ď Từ suy λ1 ´ λ2 P kerpJ ` J J q với giả thiết J nửa xác định dương Với λα P´ Φpt, Hx ¯ q (với t x cố định), Bổ đề 3.2 suy hình chiếu J λα rge J ` J , kí hiệu PJ pλα q, với α Ký hiệu λim :“ PJ pλα q Khi đó, λα viết lại sau: λα :“ λim ` λker α , ´ ¯ J với λker α P ker J ` J Bổ đề 3.3 Với t ě x P domΦpt, H ‚q, ta đặt λim pt, xq :“ PJ pΦpt, Hxqq Khi λim pt, xq “ arg }λ} (3.5) λPΦpt,Hxq ánh xạ đơn trị x ÞĐ λim pt, xq liên tục Lipschitz với t ě Tức là, λim pt, xq phần tử có chuẩn nhỏ tập Φpt, Hxq phụ thuộc vào x liên tục Lipschitz 31 Chứng minh Đầu tiên chứng tỏ điều kiện (A1) (A4) đảm bảo λim pt, xq thuộc tập Φpt, Hxq Để thấy điều này, ta xét λ P Φpt, Hxq Vì (A4) nên tồn ´ ¯ ´ λ P rge J ` J J X B σS ptq ` J ¯´1 pHxq Từ Bổ đề 3.2 suy ´ λ ´ λ P ker J ` J im J ¯ ´ ker J ¯ ñ λ ` λ ´ λ P ker J ` J ´ ¯ ´ ¯ J im J ñ J `J λ “ J `J λ , ´ ¯ im J ñ λ ´ λ P ker J ` J đ λim “ λ λim pt, xq P Φpt, Hxq Tiếp theo, Φpt, ‚q toán tử đơn điệu cực đại, tập Φpt, Hxq lồi đóng Do đó, chứa phần tử chuẩn nhỏ (xem [3, Theorem ]) ta kí hiệu phần tử ˜ Khơng tính tổng quát, ta giả sử λ ˜ ‰ λi m pt, xq Khi đó, với λ P Φpt, Hxq λ ta có ˜ λ´λ ˜ y ě xλ, ´ ¯ ˜ “ λim ` λ ˜ ker với ‰ λ ˜ ker P ker J ` J J Do Bổ đề 3.2, giả thiết λ Thay λ “ λim vào bất đẳng thức ta A E A E ˜ ker , ´λ ˜ ker ě ñ ´ λ ˜ ker , λ ˜ ker ě λim ` λ ˜ ker “ Ta gặp điều mâu thuẫn Do vậy, λ ˜ “ λim điều λ Cuối cùng, để chứng tỏ tính liên tục Lipschitz ánh xạ x ÞÑ λim pt, xq, ˙ ˆ xét véc tơ xa , xb gọi λim i “ PJ ´ ¯´1 pHxi q B σ S pt q ` J ´ im Hxi ´ Jλim i P B σS ptq λi với i “ a, b Khi ¯ tính đơn điệu B σS ptq với t ě ta có A Hxa ´ Jλim a ´ Hxb ` im Jλim b , λa ´ λim b E ě0 tương đương B ´ J λim a ´ λim b ¯ F , λim a ´ λim b A E im ď H pxa ´ xb q , λim ´ λ a b 32 Do J ma trận nửa xác định dương, tồn cJ ą cho B ´ F ›2 › ¯ › im im im im im im › ›λa ´ λb › ď cJ J λa ´ λb , λa ´ λb A E im im ď cJ H pxa ´ xb q , λa ´ λb › › › im im › ď c }xa ´ xb } ›λa ´ λb › (3.6) với c ě Điều chứng minh ánh xạ x ÞÑ λim pt, xq liên tục Lipschitz ´1 T ker Vì giả sử kerpJ ` J J q Ď kerpP G ´ H J q, nên Gλker H λα α “P Điều cho phép viết lại (3.4) sau: x9 ptq “ f pt, xq ´ Gλim ptq ´ P ´1 H J λker α ptq ´ ¯ ` ˘ “ f pt, xq ` P ´1 H J ´ G PJ λα ptq ´ P ´1 H J λα ptq ´ ¯ ` ˘ ´1 J “ f pt, xq ´ P P G ´ H PJ λα ptq ´ P ´1 H J λα ptq, (3.7) λα ptq P Φpt, Hxptqq Gọi R bậc hai ma trận P (A1) Khi đó, R xác định dương đối xứng Với phép biến đổi tọa độ z “ Rx, hệ (3.7) có dạng ´ ¯ ´ ¯ ` ˘ 9z ptq “ Rf t, R´1 z ` R´1 H J ´ RG PJ λα ptq ´ R´1 H J λα ptq ´1 (3.8) λα ptq P Φpt, HR z ptqq hệ tọa độ Bổ đề 3.4 Đối với t ě 0, toán tử a tr R1 H J pt, HR1 ăq l n điệu cực đại Chứng minh Chúng ta sử dụng [5, Theorem 12.43] (A3) để đưa đến kết Ta cn chng t rng pt, ăq l n iu cc đại với t ě 0, rgepHR´1 q X rintpdompΦpt, ‚qqq ‰ H Điều kiện Bổ đề 3.1 Điều kiện thứ hai điều kiện ràng buộc (A3) nên domΦpt, ‚qq “ rgepB σS ptq ` J q Như hệ Bổ đề 3.3 Bổ đề 3.4, ta viết (3.8) sau z9 ptq P g pt, z q ´ Ψpt, z q, (3.9) ´ ¯ ´ ¯ g pt, z q :“ Rf t, R´1 z ´ R´1 H J ´ RG PJ λα ptq ` ˘ (3.10) 33 Lipschitz toàn cục (theo biến thứ 2) ´ ¯ Ψpt, z q :“ R´1 H J Φ t, HR´1 z ptq (3.11) đơn điệu cực đại với t ě Bổ đề 3.5 Cho g˜ : r0, T s Ñ Rn hàm liên tục tuyệt đối địa phương Tồn hàm liên tục tuyệt đối địa phương z˜ : r0, T s Ñ Rn nghiệm mạnh bao hàm thức vi phân z9 ptq P ´Ψpt, z˜q ` g ptq, z˜p0q P dom Ψp0, ‚q theo nghĩa Định nghĩa 3.1 Chứng minh Để chứng minh định lý này, ta chứng tỏ điều kiện pH1q ´ pH2q [6, Theorem 4] Để kiểm tra (H1), ta quan sát phần tử có chuẩn bé ζ pt, z q Ψpt, z˜q, với t ě 0, z˜ P domΨpt, ‚q, thỏa mãn › › › ›› ´ ¯›› › › › ´1 J › ›› im ´1 t, R z˜ ›› , ›ζ pt, z q› ď ›R H › ›λ ´ (3.12) ¯ λim pt, xq P Φpt, Hxq λim pt, xq P NS ptq Hx ´ Jλim pt, xq Bằng cách sử dụng định nghĩa nón pháp tuyến kiện λim pt, xq P rgepJ ` J J q, nhận › ›2 A E › im › im im ›λ pt, xq› ď cJ λ pt, xq, Jλ pt, xq A E ď cJ λim pt, xq, Hx ´ vt , @vt P S ptq cJ số giới thiệu (3.6) Sử dụng bất đẳng thức CauchySchwarz, có }λim pt, xq}2 ď cJ }Hx ´ vt }, @vt P S ptq (3.13) Tiếp theo, cố định w0 P S p0q X rgeH chọn vt0 P S ptq X rgeH cho ` ˘ }w0 ´ vt0 } “ d w0 , S ptq X rge H , 34 luôn tồn S ptq X rgeH, với t ě 0, tập đóng lồi Đặt vt “ vt0 , nhận }λim pt, xq} ď cJ }H }}x} ` cJ }vt0 ´ w0 } ` }w0 } Vì dpw0 , S ptqq ď dHaus pS p0q X rgeH, S ptq X rgeH q ď |µptq ´ µp0q|, bất đẳng thức cuối (A5), có được: ˇ ˇ ` ˘ ˇ ˇ im ˇλ pt, xqˇ ď c1 |x| ` c2 µptq ` c3 |w0 | ` |µ0 | , với số c1 , c2 , c3 ě Bằng cách thay bất đẳng thức (3.12) với x “ R´ 1˜ z , điều kiện (H1) khẳng định Đối với giả thiết (H2), chứng tỏ có hàm liên tục tuyệt đối địa phương µ ˜ cho với số t1 , t2 ě cố định đó, ánh xạ Ψ thỏa mãn ` ˘ ˇ ˇ dsvm Ψ pt1 , ăq , pt2 , ăq pt1 q ´ µ ˜ pt2 qˇ , (3.14) dsvm pΨ1 , Ψ2 q kí hiệu khoảng cách ánh xạ đa trị Ψ1 Ψ2 Trong điều sau đây, ta chứng tỏ tồn số c cho ` ˘ ` dsvm pt1 , ăq , pt2 , ¨q ď cdHaus S pt1 q X rge H, S pt2 q X rge H , (3.15) theo giả thiết (A5), bất đẳng thức (3.14) Để chứng minh điều này, ta quan sát ` ˘ dsvm pt1 , ăq , pt2 , ăq $A , E ’ / J & H pλ1 ´ λ2 q , z2 ´ z1 ´ ¯´1 ˇ ˇ ˇ ˇ , λi P B σS pti q ` J p q “ sup Hz , i “ 1, i ’ / % ` ˇH J λ1 ˇ ` ˇH J λ2 ˇ # @ D+ xλ1 ´ λ2 , Hz2 ´ Jλ2 ´ Hz1 ` Jλ1 y ´ λ1 ´ λ2 , J pλ1 ´ λ2 q ˇ ˇ ˇ ˇ “ sup ` ˇH J λ1 ˇ ` ˇH J λ2 ˇ λi PNS pt q pHzi ´Jλi q i # + xλ1 ´ λ2 , Hz2 ´ Jλ2 ´ Hz1 ` Jλ1 y ˇ ˇ ˇ ˇ ď sup (3.16) ` ˇH J λ1 ˇ ` ˇH J λ2 ˇ λi PNS pt q pHzi ´Jλi q i bất đẳng thức cuối J nửa xác định dương Để tính tốn cận cho biểu thức tử số, đặt vi :“ Hzi ´ Jλi P S pti q X rgeH Ta làm 35 rge J Ă rge H Lấy wi P S pti q X rgeH cho ` ˘ |w1 ´ v2 | “ d v2 , S pt1 q X rge H ` ˘ |w2 ´ v1 | “ d v1 , S pt2 q X rge H Sử dụng kiện xλ1 , w1 ´ v1 y ď λ1 P NS pt1 q pv1q, có xλ1 , v2 ´ v1 y “ xλ1 , v2 ´ w1 ` w1 ´ v1 y ď xλ1 , v2 ´ w1 y x x Ta kí hiệu λH :“ H λ1 phép chiếu trực giao λ1 rgeH, cho λ1 vectơ bất ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ Hˇ ˇ T ˇ J p kỳ thỏa mãn H H λ1 “ H λ1 tồn số cH cho ˇλ1 ˇ ď cH ˇH λ1 ˇ ´ ¯ H K J Vì λ1 ´ λ1 P rgepH q “ ker H v2 , w1 P rge H, có ´ J ¯ A E xλ1 , v2 ´ v1 y ď xλ1 , v2 ´ w1 y “ λH , v ´ w 1 ˇ ˇ ˇ ˇ ` ˘ ˇ ˇ J H ă |v2 ´ w1 | ď cH ˇH λ1 ˇ d v2 , S pt1 q X rge H ˇ ˇ ` ˘ ˇ ˇ ď cH ˇH J λ1 ˇ d Haus S pt1 q X rge H, S pt2 q X rge H ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ď cH H J ă pt2 q µ pt1 qˇ Tương tự thế, có › › ˇ ˇ › › xλ2 , v1 v2 y cH H J ă ˇµ pt2 q ´ µ pt1 qˇ , ˆ› › › ›˙ ˇ › J › › J › ˇˇ xλ1 ´ λ2 , v2 ´ v1 y ď cH ›H λ1 › ` ›H λ2 › µ pt2 q ´ µ pt1 qˇ Từ suy $ ˆ› › › ›˙ , ˇ ˇ ’ ’ / ˇµ pt2 q ´ µ pt1 qˇ ››H J λ1 ›› ` ››H J λ2 ›› / ’ / c & H ` ˘ › dsvm pt1 , ăq , pt2 , ăq sup / ` H J λ1 › ` ›H J λ2 › / λi PNS pt q pHzi ´Jλi q ’ ’ / i % ˇ ˇ ď cH ˇµ pt2 q ´ µ pt1 qˇ 36 Tiếp theo, ta sử dụng kết Bổ đề 3.5 để nhận cận cho }z1 ptq´z2 ptq} với t ě 0, zi , i “ 1, 2, thỏa mãn z9 ptq P ´Ψpt, zi q ` g˜i ptq (3.17) với số hàm liên tục tuyệt đối địa phương g˜i : r0, 8q Đ Rn Để tính tốn cận này, ta thy rng tớnh n iu ca pt, ăq cho ta điều sau ›2 @ D d ›› z1 ptq ´ z2 ptq› “ z91 ptq ´ z92 ptq, z1 ptq ´ z2 ptq dt @ D ď g˜1 ptq ´ g˜2 ptq, z1 ptq ´ z2 ptq › › › › ď ›g˜1 ptq ´ g˜2 ptq› ¨ ›z1 ptq ´ z2 ptq› , bất đẳng thức tính đơn điệu pt, ăq, v bt ng thc th hai l vỡ BĐT Cauchy - Schwarz Bây đặt Z ptq :“ }z1 ptq ´ z2 ptq}2 , bất đẳng thức viết lại › ›a Z9 ptq ď ›g˜1 ptq ´ g˜2 ptq› Z ptq Từ suy żt › › › › ›z1 ptq ´ z2 ptq› ď ›z1 p0q ´ z2 p0q› ` › › ›g˜1 psq ´ g˜2 psq› ds (3.18) Xét dãy nghiệm với z1 ptq “ z p0q, t v zi`1 păq vi i thu nghiệm bao hàm thức vi phân ` ˘ ` ˘ z9i`1 ptq P ´Ψ t, zi`1 ` g t, zi ptq với điều kiện ban đầu zi p0q “ z p0q, i P N Với giả thiết (A2) Bổ đề 3.3, ta suy với khoảng compact r0, T s, tồn số ρT cho › ` › › ˘ ` ˘›› › ›g t, zi ptq ´ g t, zt´1 ptq › ď ρT ›zi psq ´ zi´1 psq› Khi đó, từ (3.18) có, với t P r0, T s , żt › › ›zi`1 ptq ´ zi ptq› ď › › ρT ›zi psq ´ zi´1 psq› ds, cách quy nạp dẫn đến ` ˘i › › ρ t T ›zi`1 ptq ´ zi ptq› ď }z2 ´ z1 }L8 pr0,T s,Rn q , i! Do đó, dãy tzi u8 i“1 hội tụ khoảng compact r0, T s, z ptq :“ lim zi ptq iÑ8 37 nghiệm yếu bao hàm thức vi phân (3.9) Tính chứng minh cách dễ dàng cho bao hàm thức vi phân (3.9) tính đơn điệu tốn tử Ψpt, ‚q Điều hoàn thành chứng minh Định lý 3.1 38 KẾT LUẬN Trong luận văn này, tìm hiểu tồn nghiệm số dạng bất đẳng thức vi biến phân không gian Euclide hữu hạn chiều Rn Đóng góp học viên luận văn đọc tài liệu viết lại cách rõ ràng có hệ thống từ tài liệu tham khảo Nội dung Luận văn chúng tơi trình bày chương với vấn đề sau: 1) Trong Chương 1, chúng tơi trình bày cách hệ thống kiến thức không gian vectơ Euclide n- chiều, giải tích lồi, giải tích đa trị sử dụng chương sau 2) Trong Chương 2, chúng tơi trình bày tồn nghiệm lớp bất đẳng thức vi biến phân kết hợp phương trình vi phân thường với bất đẳng thức biến phân 3) Trong Chương 3, chúng tơi tìm hiểu tồn nghiệm lớp bất đẳng thức vi biến phân phụ thuộc thời gian hay bất đẳng thức vi biến phân tiến hóa Bất đẳng thức vi biến phân bao gồm phương trình vi phân thường kết hợp với bất đẳng thức biến phân liên quan đến ánh xạ đa trị có giá trị thay đổi theo thời gian 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] M Camlibel and J Schumacher, Linear passive systems and maximal monotone mappings, Math Program Ser B, 157, pp 397–420, 2016 [2] F Facchinei and J-S Pang, Finite-Dimensional Variational Inequalities and Complementarity Problems, Springer, New York, 2003 [3] D Luenberger, Optimization by Vector Space Methods, John Wiley & Sons, New York, 1969 [4] J.-S Pang and D Stewart, Differential variational inequalities, Math Program Ser A, 113, pp 345–424, 2008 [5] R Rockafellar and R.-B Wets, Variational Analysis, 3rd ed., Grundlehren Math Wiss 317, Springer-Verlag, Berlin, 2009 [6] A Tanwani, B Brogliato, and C Prieur, Well-posedness and ouput regulation for implicit time-varying evolution variational inequalities, SIAM J Control Optim., 56(2), 751-781, 2018 ... đẳng thức vi biến phân Bất đẳng thức vi biến phân Phân loại bất đẳng thức vi biến phân Liên hệ DVIs với số lớp toán khác Một số cách tiếp cận DVIs 2.4.1 Tiếp cận DVIs... Chương Bất đẳng thức vi biến phân Trong chương này, trình bày tồn nghiệm lớp bất đẳng thức vi biến phân Bất đẳng thức vi biến phân bao gồm phương trình vi phân thường kết hợp với bất đẳng thức biến. .. Chương Bất đẳng thức vi biến phân tiến hóa Trong chương này, chúng tơi tìm hiểu tồn nghiệm lớp bất đẳng thức vi biến phân phụ thuộc thời gian hay bất đẳng thức vi biến phân tiến hóa Bất đẳng thức vi