Về một số bất đẳng thức đối với hàm lồi tổng quát và áp dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN THỊ TUYẾT LAN VỀ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI VỚI HÀM LỒI TỔNG QUÁT VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN THỊ TUYẾT LAN VỀ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI VỚI HÀM LỒI TỔNG QUÁT VÀ ÁP DỤNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460102 Người hướng dẫn PGS TS ĐINH THANH ĐỨC i Mục lục MỞ ĐẦU 1 HÀM LỒI 1.1 Định nghĩa 1.2 Các tính chất HÀM LỒI TỔNG QUÁT 2.1 2.2 16 Hàm J-lồi tổng quát 16 2.1.1 Định nghĩa 16 2.1.2 Một số bất đẳng thức hàm J-lồi tổng quát 18 Hàm lồi tổng quát 22 2.2.1 Giới thiệu vài kết 22 2.2.2 Các đặc trưng hàm lồi tổng quát 25 2.2.3 Đạo hàm hàm lồi tổng quát 28 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ ÁP DỤNG 31 3.1 Giới thiệu lịch sử nguyên lý trội 31 3.2 Bất đẳng thức giao hoán 34 3.3 Một số kết khác 37 3.4 Áp dụng 40 3.4.1 Bất đẳng thức mở rộng Lim 40 ii 3.4.2 Bất đẳng thức mở rộng Petrovi´c 42 3.4.3 Một bất đẳng thức hàm lồi tổng quát 43 3.4.4 Bất đẳng thức dạng Hermite-Hadamard 44 3.4.5 Bất đẳng thức liên hệ hàm lồi hàm lồi tổng quát 47 3.4.6 Bất đẳng thức trung bình 48 KẾT LUẬN 51 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 iii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn với đề tài Về số bất đẳng thức hàm lồi tổng quát áp dụng cơng trình nghiên cứu khoa học hướng dẫn PGS TS Đinh Thanh Đức, nội dung không chép chưa cơng bố hình thức nào, kết khơng phải riêng tơi trích dẫn nguồn gốc rõ ràng Bình Định, ngày tháng năm 2020 Học viên thực đề tài Trần Thị Tuyết Lan MỞ ĐẦU Các hàm lồi ([1], [3]) có nhiều tính chất đáng ý sử dụng rộng rãi nhiều lý thuyết ứng dụng thực tiễn, đặc biệt giải tích lồi tối ưu hoá Các bất đẳng thức hàm lồi tổng quát ([10]) chủ đề hấp dẫn với nhiều kết phong phú thu hút quan tâm nhiều nhà nghiên cứu Trong năm gần đây, nhiều cơng trình nghiên cứu ứng dụng hướng để tiếp cận bất đẳng thức hàm lồi tổng quát áp dụng nhà toán học tìm hiểu phát triển Để có nhìn chi tiết tổng kết kết đạt cho bất đẳng thức hàm lồi tổng quát áp dụng việc giải tốn có liên quan, tơi chọn đề tài “Về số bất đẳng thức hàm lồi tổng quát áp dụng” Hàm lồi tổng quát ([10]) có vai trị quan trọng nhiều lĩnh vực nghiên cứu toán lý thuyết toán ứng dụng Đặc biệt bất đẳng thức hàm lồi tổng qt có nhiều tính chất đặc biệt ứng dụng thực tiễn Hàm lồi đời vào cuối kỷ thứ 19 Những người đặt móng cho hm li cú th k n l O Hăolder (1889), O Stolz (1893) J Hadamard (1893) Vào đầu kỉ 20, Jensen lần nhận thấy tầm quan trọng nghiên cứu cách có hệ thống hàm lồi Sau đó, hàm lồi bất đẳng thức hàm lồi tổng quát nhận nhiều quan tâm nghiên cứu phát triển mạnh mẽ, trở thành hướng nghiên cứu quan trọng giải tích tốn học Trong luận văn này, ta tổng kết số kết đáng lưu ý số bất đẳng thức hàm lồi tổng quát áp dụng Trình bày cách có hệ thống, chi tiết kiến thức số bất đẳng thức hàm lồi tổng quát áp dụng từ việc nêu định lý, chứng minh định lý áp dụng Luận văn bao gồm: Mở đầu, Nội dung, Kết luận, Tài liệu tham khảo Nội dung luận văn gồm ba chương Chương 1: Hàm lồi Chương trình bày định nghĩa hàm lồi, hàm lõm, ví dụ số tính chất hàm lồi Chương 2: Hàm lồi tổng quát Chương trình bày định nghĩa, tính chất, định lý hàm J-lồi, hàm J-lồi tổng qt sau chúng tơi giới thiệu định nghĩa tính chất, định lý hàm lồi tổng quát Chương 3: Một số bất đẳng thức áp dụng Chương trình bày nguyên lý trội, bất đẳng thức giao hoán, số bất đẳng thức khác suy từ nguyên lý trội bất đẳng thức giao hoán, cuối số áp dụng bất đẳng thức hàm lồi tổng quát Luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn giúp đỡ tận tình thầy hướng dẫn PGS TS Đinh Thanh Đức, Trường Đại học Quy Nhơn Tôi xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Tốn q thầy giáo giảng dạy lớp cao học Tốn giải tích khóa 21 giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho q trình học tập thực đề tài Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn đến người thân, bạn bè giúp đỡ động viên để hồn thành khóa học luận văn Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý q thầy giáo để luận văn hoàn thiện Chương HÀM LỒI Hàm lồi có nhiều tính chất đặc biệt, thực hữu ích, đáng ý sử dụng nhiều lý thuyết ứng dụng thực tiễn, đặc biệt giải tích lồi tối ưu hóa Trong chương này, chúng tơi trình bày định nghĩa hàm lồi, lõm, ý nghĩa hình học, số ví dụ hàm lồi, lõm sau trình bày số tính chất thú vị chúng Các kiến thức chương chủ yếu tham khảo tài liệu tài liệu [1], [3], [6] 1.1 Định nghĩa Cho I ⊂ R khoảng (khoảng mở khoảng đóng nửa khoảng) Định nghĩa 1.1.1 (Hàm lồi hàm lõm) Một hàm f : I → R gọi (i) lồi với a, b ∈ I , t ∈ [0, 1] ta có f ((1 − t)a + tb) ≤ (1 − t)f (a) + tf (b) (1.1) (ii) lồi ngặt với a, b ∈ I , a = b, t ∈ [0, 1] ta có f ((1 − t)a + tb) < (1 − t)f (a) + tf (b) (1.2) (iii) lõm −f hàm lồi, nghĩa f ((1 − t)a + tb) ≥ (1 − t)f (a) + tf (b) (1.3) Nhận xét 1.1.2 (Ý nghĩa hình học hàm lồi) Từ định nghĩa hàm lồi hàm lõm, ta rút ý nghĩa hình học chúng sau: - Cho f hàm lồi, đoạn thẳng nối hai điểm thuộc đồ thị hàm số f (x) khơng nằm phía đồ thị f (x) - Cho f hàm lõm, đoạn thẳng nối hai điểm thuộc đồ thị hàm số f (x) khơng nằm phía đồ thị f (x) Hình 1.1: Đồ thị hàm lồi Thật vậy, hàm F (t) = (1 − t)f (a) + tf (b) với t ∈ [0, 1] hàm số đoạn thẳng nối hai điểm (a, f (a)) (b, f (b)) Từ Định nghĩa 1.1.1, ta suy F (t) ≥ f ((1 − t)a + tb) với t ∈ [0, 1] Do đó, đoạn thẳng F ln phía trùng đồ thị f [a, b] 39 n Từ Định lý 3.2.1, ta thay y1 = · · · = yn = n−1 xi vào bất đẳng i=1 thức (3.8) ta n n f (xi ) ≥ 2nf i=1 n − n xi − i=1 max f (xi ) , f i=1 n n xi , g f (xi ) , f i=1 n (3.21) n xi i=1 với hàm lồi tổng quát f : J → R (J ⊂ R khoảng mở) liên hệ vòng tròn với hàm g : f (J)2 → R Bất đẳng thức (3.21) khái quát bất đẳng thức Jensen cho hàm lồi Thật vậy, lớp hàm lồi ta lấy max {f (xi ) , f (yi ) , g (f (xi ) , f (yi ))} = λf (xi ) + (1 − λ)f (yi ) với λ ∈ [0, 1], từ (3.21) ta có bất đẳng thức Jensen Kết sau định lý tương tự Định lý 3.2.1 cho hàm lồi tổng quát tăng Định lý 3.3.3 Cho J ⊂ R khoảng mở, xi , yi ∈ J (i = 1, , n) số thực thỏa mãn x1 ≥ · · · ≥ xn , k y1 ≥ · · · ≥ yn , (3.22) (k = 1, , n) (3.23) k yi ≤ i=1 xi i=1 Nếu f : J → R hàm lồi tổng quát tăng với liên hệ vòng tròn với hàm g : f (J)2 → R n n f (yi ) ≤ i=1 n f (xi ) − i=1 max {f (xi ) , f (yi ) , g (f (xi ) , f (yi ))} i=1 (3.24) 40 n n n f (xi ) ≥ i=1 f (yi ) − i=1 max {f (xi ) , f (yi ) , g (f (xi ) , f (yi ))} i=1 (3.25) Ngược lại, xi , yi ∈ J (i = 1, , n) thỏa mãn (3.22) (3.24) với hàm lồi tổng quát với liên hệ vịng trịn f : J → R (3.23) Định lý 3.3.4 Cho J ⊂ R khoảng mở, xi , yi ∈ J (i = 1, , n) số thực thỏa mãn x1 ≥ · · · ≥ xn , y1 ≥ · · · ≥ yn (3.26) Khi đó, điều kiện cần đủ để n n f (xi ) ≥ i=1 f (yi ) − n max{f (a), f (b), g(f (a), f (b))} (3.27) i=1 với hàm lồi tổng quát tăng f : J → R liên hệ với hàm g : f (J)2 → R (a, b ∈ J a ≤ xi ≤ b với i = 1, , n), k k yi ≤ i=1 xi (k = 1, , n) (3.28) i=1 Định lý hoàn toàn tương tự với Định lý 3.2.2 với hàm lồi tổng quát tăng 3.4 Áp dụng Trong phần này, đưa số hệ kết trước nguyên lý trội 3.4.1 Bất đẳng thức mở rộng Lim a Bất đẳng thức Lim ([5]) 41 Định lý 3.4.1 Cho a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ a + b số thực, f : [0, ∞) → R hàm lồi liên tục Khi f (a) + f (b + c) ≥ f (a + b) + f (c) (3.29) Chứng minh Từ Định lý 3.1.1 với n = 2, x1 = c, x2 = a + b, y1 = b + c, y2 = a ta có f (x1 ) + f (x2 ) ≤ f (y1 ) + f (y2 ) ⇔ f (c) + f (a + b) ≤ f (b + c) + f (a) ⇔ f (a) + f (b + c) ≥ f (a + b) + f (c) b Bất đẳng thức mở rộng Lim Định lý 3.4.2 Cho x > 0, y > 0, z > x + y số thực, f : R0+ → R hàm lồi tổng quát với liên hệ Khi f (x) + f (y + z) ≥ 2[f (x + y) + f (z)] − max{f (a), f (b), g(f (a), f (b))} với g : f R0+ → R mối liên hệ với f a, b ∈ R0+ (a ≤ x, y + z ≤ b) Chứng minh Áp dụng Định lý 3.3.2 với n = 2, x1 = y + z , x2 = x, y1 = z , y2 = x + y , ta có x1 > x2 , y1 > x2 x1 > y1 , x1 + x2 = y1 + x2 Vì f lồi tổng quát với liên hệ nên theo Định lý 3.3.2 ta suy f (y + z) + f (x) ≥ 2[f (z) + f (x + y)] − max{f (a), f (b), g(f (a), f (b))} với a, b ∈ R0+ (a ≤ x, y + z ≤ b) 42 3.4.2 Bất đẳng thức mở rộng Petrovi´ c a Bất đẳng thức Petrovi´ c ([5]) Định lý 3.4.3 Cho f : [0, a] → R hàm lồi [0, a] (a ∈ R, a > 0) n xi ∈ [0, a] Khi Lấy xi ∈ [0, a] (i = 1, , n) cho i=1 n f n xi + (n − 1)f (0) ≥ i=1 f (xi ) (3.30) i=1 n xi = suy xi = với i = 1, , n Khi Chứng minh Nếu i=1 hiển nhiên ta có bất đẳng thức cần chứng minh n xi = 0, đặt Trường hợp i=1 xj xi α1i = , α2i = n j=i n xi xi i=1 i=1 n xi , ∈ [0, a] Vì f hàm Ta có α1i , α2i > α1i + α2i = Hơn nữa, i=1 lồi nên ta có n f (xi ) = f α1i n ≤ α1i f xi + α2i xi i=1 i=1 n ⇒ n f (xi ) ≤ f i=1 n n xi i=1 n α1i + f (0) i=1 α2i i=1 n α2i = n − α1i = 1, Ta có: + α2i f (0) ∀i = 1, n i=1 i=1 n ⇒ n f (xi ) ≤ f i=1 xi + (n − 1)f (0) i=1 b Bất đẳng thức mở rộng Petrovi´ c 43 Định lý 3.4.4 Cho J ⊂ R khoảng mở, f : J → R hàm lồi tổng quát với liên hệ Nếu a1 , , an ∈ J bất đẳng thức sau xác định f (a1 + · · · + an ) + (n − 1)f (0) ≥ ≥ [f (a1 ) + · · · + f (an )] − n max{f (a), f (b), g(f (a), f (b))} với n ∈ N, với g : f (J)2 → R mối liên hệ với f a, b ∈ J (a ≤ a1 + · · · + an , ≤ b) Chứng minh Khơng tính tổng qt, ta giả sử a1 ≥ · · · ≥ an Áp dụng Định lý 3.3.2 với x1 = a1 + · · · + an , xi = 0(i = 2, , n), yi = (i = 1, , n), ta có x1 ≥ · · · ≥ xn , k k yi ≤ i=1 y ≥ · · · ≥ yn n xi (k = 1, , n − 1), i=1 n yi = i=1 xi i=1 f lồi tổng quát với liên hệ nên suy f (a1 + · · · + an ) + (n − 1)f (0) ≥ ≥ [f (a1 ) + · · · + f (an )] − n max{f (a), f (b), g(f (a), f (b))} với a, b ∈ J (a ≤ a1 + · · · + an , ≤ b) 3.4.3 Một bất đẳng thức hàm lồi tổng quát Định lý 3.4.5 Cho J ⊂ R khoảng mở, f : J → R hàm lồi tổng quát với liên hệ Khi f (x) + f (y) + f (z) + 3f x+y+z ≥ 44 ≥4 f x+y y+z +f x+z +f −6 max {f (a), f (b), g(f (a), f (b))} với g : f (J)2 → R mối liên hệ với f a, b ∈ J (a ≤ x, y, z ≤ b) x+y+z ≥ y ≥ z x+y+z Áp dụng Định lý 3.3.2 với n = x1 = x, x2 = x3 = x4 = , x+y y+z x+z x5 = y , x6 = z , y1 = y2 = , y3 = y4 = , y5 = y6 = 2 ta có Chứng minh Khơng tính tổng qt, ta giả sử x ≥ x1 ≥ · · · ≥ x6 , k y ≥ · · · ≥ y6 k yi ≤ i=1 xi (k = 1, , 5), yi = i=1 i=1 xi i=1 f lồi tổng quát với liên hệ nên suy f (x) + f (y) + f (z) + 3f ≥4 f x+y +f y+z x+z +f x+y+z ≥ −6 max {f (a), f (b), g(f (a), f (b))} với a, b ∈ J (a ≤ x, y, z ≤ b) 3.4.4 Bất đẳng thức dạng Hermite-Hadamard a Bất đẳng thức Hermite-Hadamard ([3]) Định lý 3.4.6 Cho f : [a, b] → R hàm lồi [a, b] Khi ta có f a+b ≤ b−a b f (x)dx ≤ a f (a) + f (b) Chứng minh Vì f hàm lồi [a, b] nên ta có f (ta + (1 − t)b) ≤ tf (a) + (1 − t)f (b) (3.31) 45 với t ∈ [0, 1] Lấy tích phân theo t [0, 1] ta 1 f (ta + (1 − t)b)dt ≤ f (a) 1 ⇔ (1 − t)dt tdt + f (b) 0 1 f (ta + (1 − t)b)dt ≤ f (a) + f (b) 2 Đổi biến x = ta + (1 − t)b suy 1 f (ta + (1 − t)b)dt = b−a f (x)dx Khi đó, ta bất đẳng thức thứ hai (3.31), tức b−a b f (x)dx ≤ a f (a) + f (b) Mặt khác, f lồi nên ta có f( a+b ta + (1 − t)b + (1 − t)a + tb ) = f( )≤ 2 ≤ [f (ta + (1 − t)b) + f ((1 − t)a + tb)] Lấy tích phân theo t [0, 1] ta a+b f( )≤ 2 1 f (ta + (1 − t)b)dt + = b−a f ((1 − t)a + tb)dt 0 b f (x)dx a Như ta chứng minh bất đẳng thức thứ (3.31) f a+b ≤ b−a b f (x)dx a b Bất đẳng thức dạng Hermite-Hadamard 46 Định lý 3.4.7 Cho J ⊂ R khoảng mở, f : J → R hàm lồi tổng quát với liên hệ, x∗ ∈ R cho gp(a,b) fy (x) ≥ x∗ y với y ∈ R Nếu a < b (a, b ∈ J) 2f a+b − max{f (λ), f (ρ), g(f (λ), f (ρ))} ≤ b−a ≤ max{f (a), f (b), g(f (a), f (b))} b f (x)dx ≤ a (3.32) với n ∈ N, với g : f (J)2 → R λ, ρ ∈ J Chứng minh Vì f hàm lồi tổng quát với liên hệ nên ta có f (ta + (1 − t)b) ≤ max{f (a), f (b), g(f (a), f (b))} với t ∈ [0, 1] Lấy tích phân theo t [0, 1] ta f (ta + (1 − t)b)dt ≤ max{f (a), f (b), g(f (a), f (b))} Đổi biến x = ta + (1 − t)b ta b−a b f (x)dx ≤ max{f (a), f (b), g(f (a), f (b))} a Vì gp(a,b) fy (x) ≥ x∗ y nên từ Định lý 3.38 ta có f (ta+(1−t)b) ≥ 2f (x)+x∗ (ta+(1−t)b−x)−max{f (λ), f (ρ), g(f (λ), f (ρ))} với t ∈ [0, 1] λ, ρ ∈ J Lấy tích phân theo t [0, 1] ta f (ta+(1−t)b)dt ≥ 2f (x)+x∗ Thay x = a+b ta f (ta + (1 − t)b)dt ≥ 2f ( a+b − x −max{f (λ), f (ρ), g(f (λ), f (ρ))} a+b ) − max{f (λ), f (ρ), g(f (λ), f (ρ))} 47 Đổi biến x = ta + (1 − t)b ta b−a b f (x)dx ≥ 2f ( a a+b ) − max{f (λ), f (ρ), g(f (λ), f (ρ))} Hình 3.1: 3.4.5 Bất đẳng thức liên hệ hàm lồi hàm lồi tổng quát Chú ý tập hàm lồi hàm tựa lồi tập tập hàm lồi tổng quát Xem hình 3.1, 3.2 Ký hiệu GK(J) lớp tất hàm lồi tổng quát với liên hệ K(J) lớp tất hàm lồi khoảng mở J ⊂ R Định lý 3.4.8 (Mối quan hệ GK(J) K(J)) Cho J ⊂ R khoảng mở, xi , yi ∈ J (i = 1, , n) số thực cho x1 ≥ · · · ≥ xn , y1 ≥ · · · ≥ yn , p1 , , pn ∈ R số không âm thỏa mãn k k p i yi ≤ i=1 n pi xi (k = 1, , n − 1), i=1 n pi xi = i=1 p i yi i=1 Khi đó, với hàm lồi f : J → R bất đẳng thức sau n n pi f (yi ) ≤ i=1 pi f (xi ) i=1 (3.33) 48 với hàm lồi tổng quát với liên hệ f : J → R bất đẳng thức sau n n pi f (xi ) ≥ i=1 n pi f (yi ) − i=1 pi max{f (a), f (b), g(f (a), f (b))} i=1 (3.34) với g : f (J)2 → R f hàm lồi tổng quát với liên hệ, a, b ∈ J (a ≤ xi ≤ b for i = 1, , n) Hình 3.2: Các hàm lồi tổng quát Chứng minh Áp dụng Định lý 3.1.1 Định lý 3.2.2 ta suy điều cần chứng minh 3.4.6 Bất đẳng thức trung bình Định lý 3.4.9 (Bất đẳng thức trung bình số học) Cho a = (a1 , , an ) ∈ Rn , > với i = 1, , n Khi M (a) = a1 + · · · + an n gọi trung bình số học a, min{a1 , , an } ≤ M (a) ≤ max{a1 , , an } 49 Định nghĩa 3.4.10 (Trung bình có trọng [12]) Cho F hàm đơn điệu nghiêm ngặt khoảng J ⊂ R Cho p1 , , pn số không âm cho p1 + + pn > 0, a1 , , an ∈ F (J) Biểu thức Mn (F ; a, p) = F n −1 (ai ) i=1 pi F n i=1 pi (3.35) gọi trung bình có trọng a = (a1 , , an ) với trọng số p = (p1 , , pn ) Từ định nghĩa trung bình có trọng ta có bất đẳng thức sau: Định lý 3.4.11 Cho J ⊂ R khoảng, hàm F, G : J → R đơn điệu nghiêm ngặt, F (J) = G(J), hàm G−1 (F ) J-lồi tổng quát Nếu G hàm giảm có hàm d : J n → J cho Mn (F ; a, p) ≥ a1 , , an , G d G−1 (a1 ) , , G−1 (an ) (3.36) với n ∈ N, với a1 , , an ∈ F (J), với p1 , , pn ∈ R0+ cho p1 + · · · + pn > Nếu G hàm tăng có hàm g : J n → J cho Mn (F ; a, p) ≤ max a1 , , an , G g G−1 (a1 ) , , G−1 (an ) (3.37) với n ∈ N, với a1 , , an ∈ F (J), với p1 , , pn ∈ R0+ cho p1 + · · · + pn > Chúng tơi trình bày bất đẳng thức khái qt cho bất đẳng thức trung bình Cho F đơn điệu ngặt khoảng D ⊂ R, n ∈ N, I tập {1, , n}, a1 , , an ∈ F (D), p1 , , pn ≥ cho p1 + · · · + pn > Nếu H : F (D) → R hàm liên tục đặt α(H; F ; a, p, I) = H ◦ F i∈I pi F −1 (ai ) i∈I pi (3.38) 50 Định lý 3.4.12 Nếu hàm F liên tục hàm H(F ) J-lồi tổng quát I, J tập khác {1, , n} có hàm g : H(F )2 → R cho α(F, I ∪ J) ≤ max{α(F, I), α(F, J), g(α(F, I), α(F, J))} (3.39) α(F, I) = α(H; F ; a, p, I) với a, p cố định Nếu H(F ) J-lõm tổng quát có hàm d : H(F )2 → R cho α(F, I ∪ J) ≥ min{α(F, I), α(F, J), d(α(F, I), α(F, J))} (3.40) 51 KẾT LUẬN Trong luận văn chúng tơi trình bày số bất đẳng thức hàm lồi tổng quát áp dụng cụ thể là: Trình bày số kiến thức hàm lồi: khái niệm hàm lồi, hàm lõm, ý nghĩa hình học, ví dụ minh họa, số tính chất hàm lồi Trình bày khái niệm hàm J-lồi, J-lồi tổng quát số tính chất hàm J-lồi, J-lồi tổng qt Sau trình bày hàm lồi tổng qt: khái niệm, tính chất, đặc trưng Trình bày nguyên lý trội, bất đẳng thức giao hoán, số bất đẳng thức khác suy từ nguyên lý trội bất đẳng thức giao hoán, cuối số áp dụng bất đẳng thức hàm lồi tổng quát 52 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A Wayne Roberts, Dale E Varberg (1973), Convex Functions, London: Academic Press [2] A W Marshal, I Olkin and B C Arnold, Inequalities (2011), Theory of Majorization and Its Applications, 2nd Edition, Springer-Verlag [3] Constantin P Niculescu, Lars-Erik Persson (2006) Convex Functions and Their Applications A Contemporary Approach, Springer Science+Business Media, Inc [4] D S Mitrinovi´c (1970),Analytic Inequalities, Springer Verlag, Berlin and New York [5] Marek Kuczma, An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities, 2009 [6] Martin Mu˜ noz (2010), Rademacher’s Theorem [7] M R Taskovi´c, Nonlinear Functional Analysis, (Fundamental Elements of Theory) First Book: Monographs, Zavod za udˇzbenike i nastavna sredstva, Beograd 1993, 792 p.p., (Serbo-Croation) English summary: Comments only new main results of this book, Vol (1993), 713-752 53 [8] M R Taskovi´c, Nonlinear Functional Analysis, Second Book, Monographs-Global Convex Analysis: General convexity, Variational methods and Optimization, Zavod za udˇzbenike i nastavna sredstva and Vojnoizdavaˇcki zavod, Beograd 2001, (In Serbian) [9] M R Taskovi´c (2005), Theory of transversal point, spaces and forks, Fundamental Elements and Applications, Monographs of a new mathematical theory, VIZ-Beograd, (In Serbian) English summary: 1001–1022 [10] M R Taskovi´c (2012), Inequalities of General Convex Functions and Applications, Mathematica Moravica, Vol 16-1, 37–116 [11] R.N Mukherjee L.V Reddy (2001), Semi continuity and generalized convex functions, 77-84 [12] P S Bullen (1987), Handbook of Means and Their Inequalities, Kluwer Academic Publishers ... về: hàm J -lồi tổng quát, số tính chất bất đẳng thức hàm J -lồi tổng quát; hàm lồi tổng quát đặc trưng 31 Chương MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ ÁP DỤNG Chương này, chúng tơi trình bày ngun lý trội, bất. .. Một số bất đẳng thức áp dụng Chương trình bày nguyên lý trội, bất đẳng thức giao hoán, số bất đẳng thức khác suy từ nguyên lý trội bất đẳng thức giao hoán, cuối số áp dụng bất đẳng thức hàm lồi. .. J -lồi tổng quát J-lõm tổng quát, f hàm J-trong tổng quát (general J-inner function) 18 2.1.2 Một số bất đẳng thức hàm J -lồi tổng quát Các định lý sau cho ta thấy số bất đẳng thức hàm J -lồi tổng