Đs9 chủ đề 7 bất đẳng thức – cực trị ( 5 buổi )

50 BUỔI CHINH PHỤC VÀO 10 GIAI ĐOẠN 2021-2022 ĐS9-CHỦ ĐỀ 7.BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ ( BUỔI ) A.CẦN NHỚ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA BẤT ĐẲNG THỨC a  b  b  a Nếu số thực a, b, c thỏa mãn a  b b  c ta có a  c Nếu a, b hai số thực thỏa mãn a  b với số thực c ta có a c  b c Nếu a, b hai số thực thỏa mãn a  b với số thực c ta có • Nếu c  ac  bc a b  c c • Nếu c 0 ac bc • Nếu c  ac  bc a b  c c a  b   ac  bd Nhân hai vế hai bất đẳng thức chiều  c  d  Nghịch đảo hai vế: a  b    1  a b Nâng lên lũy thừa: a  b   a n  b n , n  * Khai bậc n: a  b   n anb BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI x 0 , x  x , x  x ,  x  x với x   Với a, b   ta có: • a  b  a  b Đẳng thức xảy ab 0 • a  b  a  b Đẳng thức xảy ab 0 BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC Nếu a, b, c ba cạnh tam giác ABC thì: • a  0, b  0, c  • bc  a  b c ; ca b  c a ; a  b  c  a  b (bất đẳng thức tam giác)  C  (quan hệ cạnh góc tam giác) • a  b  c  A  B GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT FB:TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - ĐT,ZALO 0945943199 50 BUỔI CHINH PHỤC VÀO 10 GIAI ĐOẠN 2021-2022 Cho biểu thức F  x, y, z  với biến x, y, z thỏa mãn điều kiện D cho trước Ta nói M giá trị lớn F thỏa mãn hai điều kiện sau: • F  x, y , z  M  1 với x, y, z thỏa mãn điều kiện D • Tồn  x0 , y0 , z0  thỏa mãn D F  x0 , y0 , z0  M Hay nói cách khác dấu đẳng thức  1 có xảy Tương tự cho giá trị nhỏ F D Đối với tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức, cần đủ hai điều kiện nêu định nghĩa B.CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Phương pháp biến đổi tương đương Phương pháp Giả sử ta cần chứng minh bất đẳng thức A B Ta biến đổi tương đương bất đẳng thức thành bất đẳng thức mà phổ biến dạng sau: + Sử dụng định nghĩa bất đẳng thức: A B  A  B 0 + Dạng tổng bình phương: A B  mX  nY  kZ 0 , với số m, n, k dương + Dạng tích hai thừa số dấu: A B  X n Y n 0 + Xây dựng bất đẳng thức từ điều kiện ban đầu: Nếu x, y , z   a; b  ta nghĩ tới bất đẳng thức sau đây:  x  a   x  b  0 ;  x  a   y  a   z  a  0 ;  x  b   y  b   z  b  0 Bài tập mẫu Ví dụ 1: Cho a, b, c số thực Chứng minh rằng: a2  b2  c2  a  b  c    3   • Định hướng Giải cách xét hiệu vế trái vế phải phân tích thành tổng bình phương • Lời giải Xét hiệu hai vế bất đẳng thức:  a  b2  c    a  b  c  a2  b2  c2  a  b  c     3    a  b  Suy a  b2  c2  a  b  c    3   2 2   b  c   c  a 0a, b, c Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a b c FB:TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - ĐT,ZALO 0945943199 50 BUỔI CHINH PHỤC VÀO 10 GIAI ĐOẠN 2021-2022 Nhận xét: Biến đổi tương đương bất đẳng thức bậc hai thường xuất đại lượng  a  b  ;  b  c  2 ;  c  a  với điều kiện dấu đẳng thức xảy a b c Do trước biến đổi bất đẳng thức ta nên dự đoán dấu đẳng thức xảy để từ có định hướng hợp lí Ví dụ 2: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b3 a  b Chứng minh rằng: a  b  ab  • Định hướng Ta nhân hai vế giả thiết với biểu thức a  b  ab để làm xuất a  b3 a  b  ab , ta cần chứng minh a  b3 1 a  b3 • Lời giải 3 3 2 2 Ta có: a  b a  b   a  b   a  ab  b   a  b   a  ab  b    a  b3   a  ab  b  a  b  a  ab  b  a  b3 a  b3 Vì b   2b3   a  b3  a  b3  a  b3 1 a  b3 Vậy bất đẳng thức chứng minh: a  b  ab  Ví dụ 3: Chứng minh với số thực x ta ln có:  x 1 x  x 1   x  1 x  x  • Lời giải 2 1 1   Vì x  x   x     với x x  x   x     với x 2 2   nên bất đẳng thức xác định với x Nếu x  , ta đặt x  t ,  t   bất đẳng thức trở thành:   2t 1 t  t     2t  1 t  t    2t  1 t  t    2t  1 t  t  Bất đẳng thức có dạng bất đẳng thức đề nên ta xét hai trường hợp: + Nếu  x   x  1 x  x   ;  x  1 x  x  0 Suy  x  1 x  x    x  1 x  x  Nên bất đẳng thức FB:TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - ĐT,ZALO 0945943199 50 BUỔI CHINH PHỤC VÀO 10 GIAI ĐOẠN 2021-2022 + Nếu x  hai vế dương, nên bình phương hai vế ta được:  x 1 x  x  1   x  1 x  x  1  x  x2  3x   x4  x  3x   x 0 Mà x  nên bất đẳng thức Vậy bất đẳng thức chứng minh Ví dụ 4: Chứng minh với số thực a, b ta có: ab  a    b    12a  24a  3b  18b  36  • Lời giải Cách Gọi P vế trái bất đẳng thức cho, ta có: P ab  a    b    12a  24a  3b  18b  36 a  a    b  b    12   b  b    12  b  b    12  a  a    3 2   b  3  3   a  1       Vậy bất đẳng thức chứng minh Cách Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 ab  a    b    12  a  1   b      x a  a    x   a  1 0  Đặt   y b  b    y   b  3 0 Khi bất đẳng thức trở thành: xy  12  x  1   y       x  3  y  12   Bất đẳng thức cuối ln x  0 ; y  0 Vậy bất đẳng thức chứng minh Dạng 2: Phương pháp sử dụng tính chất tỉ số, tính chất giá trị tuyệt đối tính chất tam thức bậc hai chứng minh bất đẳng thức Phương pháp giải: a) Một số tính chất tỉ số + Với số thực dương a, b bất kì, ta ln a b  + Với số thực dương a, b, c, d bất kì, ta có: FB:TỐN HỌC SƠ ĐỒ - ĐT,ZALO 0945943199 1  a b 50 BUỔI CHINH PHỤC VÀO 10 GIAI ĐOẠN 2021-2022 - Nếu a a a c   b b bc - Nếu a a a c   b b bc - Nếu a c a a c c    b d b bd d b) Một số tính chất giá trị tuyệt đối bất đẳng thức • a a ; a 0 • a b   b a b  a b • a b     a  b • a  b  a  b Dấu xảy a, b dấu • a  b  a  b Dấu xảy a, b dấu • a  b  a  b Dấu xảy a b 0 a b 0 • Cho số thực a1 , a2 , a3 , , an a1  a2  a3   an  a1  a2   an • Cho số thực a, b 0 a b  2 b a Dấu xảy a b c) Một số tính chất tam thức bậc hai thường dùng bất đẳng thức Cho tam thức bậc hai f  x  ax  bx  c với a 0 Khi đó, ta có: b    với  b  4ac f  x  ax  bx  c a  ax    a  4a  Từ đó, ta có số tính chất sau: Tính chất 1: Đa thức có nghiệm  b  4ac 0 Tính chất 2: Nếu  b  4ac 0 af  x  0 Tính chất 3: Nếu  b  4ac  đa thức có hai nghiệm x1 , x2  x1  x2  thì: • af  x  0 với giá trị x1 x x2 • af  x   với giá trị x  x1 x  x2 Bài tập mẫu a) Sử dụng tính chất tỉ số Ví dụ 1: Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: 1 a b c   2 a b b c c a FB:TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - ĐT,ZALO 0945943199 50 BUỔI CHINH PHỤC VÀO 10 GIAI ĐOẠN 2021-2022 • Lời giải Do a, b, c số dương nên ta có: a  Áp dụng tính chất tỉ số ta được: a b a a a c   a b c a b a b c Tương tự, ta có: b b a b c c b c     ; a b c b c a b c a b c c  a a b c Cộng vế với vế ba bất đẳng thức kép ta được:  a b c   2 a b b c c a Vậy tốn chứng minh Ví dụ 2: Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: 1 1  3   3 a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc • Định hướng Dự đốn đẳng thức xảy a b c Cần phải thay đại lượng mẫu bên vế trái đại lượng nhỏ cho biểu thức thu nhỏ vế phải • Lời giải 3 2 Ta có: a  b  ab  a  b   a  b   a  ab  b   ab  a  b   a  b   a  ab  b  ab   a  b   a  2ab  b   a  b   a  b  0 3 3 Suy a  b ab  a  b   a  b  abc ab  a  b   abc  a  b3  abc ab  a  b  c   1 c   a  b  abc ab  a  b  c  abc  a  b  c  Từ ta được: Chứng minh tương tự ta có: 3 b  c  abc 3 c  a  abc  a  ; bc  a  b  c  abc  a  b  c   b  ac  a  b  c  abc  a  b  c  Cộng vế với vế bất đẳng thức ta được: 1 1  3   3 a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc FB:TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - ĐT,ZALO 0945943199 50 BUỔI CHINH PHỤC VÀO 10 GIAI ĐOẠN 2021-2022 Dấu xảy a b c Vậy bất đẳng thức chứng minh Khi phân tích toán ta cần ý đến yếu tố đẳng thức xảy đâu, tính đồng bậc bất đẳng thức, chọn chiều đánh cho hợp lí, Ví dụ 3: Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a a a   3 Chứng minh  bc  ca  ab a b c     a  bc  b  ca  c  ab • Lời giải a b c Đặt x  ; y ; z , suy ta có x  y  z 3 x, y , z 0  bc  ca  ab Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: Mà ta có: x y z    1 x 1 y 1 z x x y y z z    ; ; 1 x 1 x  y  z 1 y 1 x  y  z 1 z 1 x  y  z Cộng vế với vế bất đẳng thức ta được: x y z    1 x 1 y 1 z Dấu xảy a 3 , b c 0 hoán vị Vậy bất đẳng thức chứng minh b) Sử dụng tính chất giá trị tuyệt đối Ví dụ 4: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c b c a      1 b c a a b c • Lời giải Ta có: a b c b c a a 2c  b a  c 2b  a 2b  c 2a  b 2c  a  b   b  c   c  a         b c a a b c abc abc Vì a, b, c ba cạnh tam giác nên ta có: a  b  c ; b  c  a ; c  a  b Do ta suy  a  b   b  c   c  a   abc Hay  a  b  b  c  c  a Suy abc 1 a b c b c a      1 b c a a b c Vậy bất đẳng thức chứng minh Ví dụ 5: Cho a, b, c số thực thỏa mãn a  b  c 3 Chứng minh rằng: a  ab  b  b2  bc  c  c  ca  a 3 FB:TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - ĐT,ZALO 0945943199 50 BUỔI CHINH PHỤC VÀO 10 GIAI ĐOẠN 2021-2022 • Lời giải Chứng minh tốn phụ: a  ab  b 2  a  b  Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với:  a  b  ab  a  b  2ab   a  2ab  b  0   a  b  0 (luôn đúng) Vậy a  ab  b   a  b Từ bất đẳng thức ta có: 2 a  ab  b  Chứng minh tương tự ta được:  a  b b  bc  c  bc ; 2  a b a b  2 c  ca  a  a c Cộng vế với vế bất đẳng thức ta được: a  ab  b  b2  bc  c  c  ca  a   a  b  c 3 Dấu xảy a b c 1 Bất đẳng thức chứng minh c) Sử dụng tính chất tam thức bậc hai Ví dụ 5: Cho a, b số thực Chứng minh rằng: a 2b   a   b  4ab  a 4ab3 • Định hướng Bất đẳng thức có hai biến biến a có bậc cao 2, ta biến đổi bất đẳng thức theo hướng xuất tam thức bậc hai có biến a sau: b 2  1 a  4b   b  a  4b 0 Ta xem vế trái bất đẳng thức tam thức bậc hai, ý  b  1  , ta cần chứng minh biệt thức  tam thức có giá trị âm • Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với  b  1 a  4b   b  a  4b 0 Xét đa thức f  a   b  1 a  4b   b  a  4b 2 Khi ta có:   4b   b     b  1 4b  64b 0 2 Do ta có  b  1 f  a  0 Mà  b  1  nên ta được: f  a   b  1 a  4b   b  a  4b 0 FB:TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - ĐT,ZALO 0945943199 50 BUỔI CHINH PHỤC VÀO 10 GIAI ĐOẠN 2021-2022 Vậy bất đẳng thức chứng minh Dạng 3: Phương pháp phản chứng Phương pháp giải: Bước 1: Giả sử điều cần chứng minh sai (phủ định lại mệnh đề cần chứng minh) Bước 2: Từ điều giả sử ta suy số tính chất quan hệ mới, mà tính chất mâu thuẫn với điều cho trái với tính chất ta biết Bước 3: Ta kết luận điều giả sử ban đầu sai Vậy toán chứng minh Chú ý: Trong bước suy luận phản chứng nêu trên, bước quan trọng cần tạo mệnh đề phủ định điều cần chứng minh thực xác • Một số đẳng thức bất đẳng thức cần nhớ: 2 a  b  c   ab  bc  ca   a  1  a  b 2  a  b  2   b  c   c  a 0 2   b  1   c  1 0 2   b  c    c  a  0 Bài tập mẫu Ví dụ 1: Cho a, b, c ba số thực thỏa mãn điều kiện sau: ab  bc  ca  2015  a  b  c  abc 20153 Chứng minh ba số a, b, c có số lớn 2015 • Lời giải Xét biểu thức P  a  2015   b  2015   c  2015  abc  2015  ab  bc  ca   20152  a  b  c   20153 2015  2015  a  b  c    ab  bc  ca    Giả sử khẳng định tốn sai, có hai trường hợp + Trường hợp thứ ba số a, b, c 2015 , ta có: a  2015 0 ; b  2015 0 ; c  2015 0 Suy P 0 , điều mâu thuẫn với bất đẳng thức + Trường hợp thứ hai có hai số lớn 2015, chẳng hạn a, b Khi ta a  2015 ; b  2015  a  2015  ; b  2015  Do ta có  a  2015   b  2015    c  2015  P  a  2015  b  2015 0 Suy c  2015 , dẫn đến abc  20153 điều mâu thuẫn với giả thiết abc 20153 Vậy điều giả sử khơng thể xảy Do tốn chứng minh Ví dụ 2: Cho 2015 số tự nhiên a1 , a2 , , a2015 khác thoả mãn điều kiện: FB:TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - ĐT,ZALO 0945943199 50 BUỔI CHINH PHỤC VÀO 10 GIAI ĐOẠN 2021-2022 1 1     89 a1 a2 a3 a2015 Chứng minh 2015 số tự nhiên ln tồn hai số • Lời giải Giả sử 2015 số tự nhiên a1 , a2 , , a2015 khơng có hai số Khơng tính tổng qt, ta chọn a1  a2   a2015 Khi ta có: a1 1 , a2 2 , …, a2015 2015 Suy ta 1 1 1 1          a1 a2 a3 a2015 2015 Mặt khác ta chứng minh được: 1 1 2     1      2015 2 2015 1   1 2     3 2015  2014   2  1   1  Suy  1 3   2015  2014   2015   89 1 1      89 a1 a2 a3 a2015 Bất đẳng thức thu mâu thuẫn với giả thiết tốn Vậy điều ta giả sử khơng xảy hay tốn chứng minh Ví dụ 3: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện abc 1 Chứng minh rằng: 1   1  8a  8b  8c • Lời giải Đặt x  1 ; y ; z  8c  8a  8b 1 y2  x2 1 z2 Suy a  ; b  ; c  Khi ta được:  x, y, z  8y 8x 8z 2 2 2 Vì abc 1 nên ta có: x y z   x    y    z  bất đẳng thức cần chứng minh x  y  z 1 Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh sai, tức ta có bất đẳng thức x  y  z  Khi áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta  x   x  y  z   x  y  z    x  y    x  z   2  y  z  FB:TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - ĐT,ZALO 0945943199  x  y  x  z 