Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Chuyên đề nâng cao BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ VỚI TỨ GIÁC I Kiến thức cần nhớ 1 Quan hệ giữa góc và cạnh của một tam giác Trong một tam giác, góc đối diện[.]
Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Chuyên đề nâng cao BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ VỚI TỨ GIÁC I Kiến thức cần nhớ Quan hệ góc cạnh tam giác Trong tam giác, góc đối diện với cạnh lớn góc lớn Trong tam giác, cạnh đối diện với góc lớn cạnh lớn ABC, AC > AB Quan hệ đường xiên hình chiếu Trong đường vng góc đường xiên kẻ từ điểm nằm đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vng góc ngắn đường xiên Trong hai đường xiên kẻ từ điểm nằm đường thẳng đến đường thẳng : + Đường xiên có hình chiếu lớn lớn + Đường xiên lớn có hình chiếu lớn Bất đẳng thức tam giác Trong tam giác, độ dài cạnh lớn hiệu nhỏ tổng độ dài hai cạnh |b - c| < a < b + c; |a - b| < c < a + b ; |a – c| < b < a + c Bất đẳng thức đại số Với a, b ta có: Dấu "=" xảy a = b II Một số ví dụ Ví dụ Cho tứ giác lồi ABCD có AC + AD BC + BD Chứng minh AD < BD Giải Gọi I giao điểm AC BD Trong tam giác IAD có : AD < IA + ID Tương tự : BC < IB + IC Từ AD + BC < AC + BD Theo giả thiết: AC + AD W: www.hoc247.net (1) BC + BD (2) F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Cộng (1) (2) vế với vế ta : AD + BC + AC + AD < AC + BC + BD + BD => AD < BD Ví dụ Cho tứ giác ABCD có độ dài cạnh AB, BC, CD, DE a, b, c, d Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh : Giải ( Trên tia đối tia PB lấy điểm E cho PE = PB Ta có BCP = EDP (c.g.c) => DE = BC = b Ta có MP đường trung bình AABE nên Xét ADE có AE < AD + DE => AE Suy d + b (1) Chứng minh tương tự, ta có : (2) Từ (1) (2), suy : Dấu xảy ABCD hình bình hành Nhận xét Từ trên, bạn đọc giải toán sau : Cho tứ giác ABCD có độ dài cạnh a, b, c, d Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh : điều kiện cần đủ để ABCD hình bình hành Ví dụ Cho hình chữ nhật ABCD có chu vi không nhỏ 2V2 Lấy M, N, p, Q thứ tự thuộc đoạn thẳng AB, BC, CD, DA Chứng minh chu vi tứ giác MNPQ không nhỏ Giải (h.43) W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Cách Áp dụng bất đẳng thức : ta có ; Tương tự ta có Từ (1) (2) (3) (4) cộng vế với vế ta : hay chu vi tứ giác MNPQ không nhỏ Cách Gọi I, K, H trưng điểm MQ, MP, PN Áp dụng tính chất đường trung tuyến tam giác vng đường trung bình tam giác ta : Mà Vậy chu vi tứ giác MNPQ không nhỏ III Bài tập tự luyện Cho tam giác ABC nhọn có H trực tâm Chứng minh Cho hình vng ABCD Lấy điểm M thuộc cạnh CD Tia phân giác góc ABM cắt AD N Chứng minh Trong tất tứ giác lồi với hai đường chéo có độ dài cho góc hai đường chéo có độ lớn cho, xác định tứ giác có chu vi nhỏ W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Cho đoạn thẳng AB = a M điểm đoạn thẳng AB, vẽ hình vng AMCD BMEF Xác định vị trí điểm M để tổng đạt giá trị nhỏ Cho tam giác ABC vuông A M điểm nằm cạnh huyền BC Gọi D, E theo thứ tự hình chiếu M AB, AC lìm vị trí M để DE có độ dài nhỏ Cho tứ giác ABCD điểm M thuộc cạnh AD Chứng minh MB + MC max { AB + AC ; DB + DC} Cho hình chữ nhật ABCD Lấy điểm M thuộc miền hình chữ nhật, chứng minh : MA + MB + MC + MD < AB + AC + AD Cho hình thang ABCD (AB// CD) có AB < CD Chứng minh : Cho hình thang ABCD (AB// CD) có Chứng minh AC > BD 10 Cho tứ giác ABCD Gọi I, J theo thứ tự trung điểm AC, BD Chứng minh : AC + BD + IJ < AB + BC + CD + AD. W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng I Luyện Thi Online Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90% -Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học -Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn II Khoá Học Nâng Cao HSG Học Toán Online Chuyên Gia -Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG -Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia III Kênh học tập miễn phí HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video giảng miễn phí -HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động -HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |