Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Chuyên đề nâng cao TÍNH CHẤT CHIA HẾT TRÊN TẬP HỢP SỐ NGUYÊN Các bài toán về chia hết và chia còn dư trên tập hợp số nguyên là loại toán cơ bản, trọng tâm của p[.]
Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Chuyên đề nâng cao TÍNH CHẤT CHIA HẾT TRÊN TẬP HỢP SỐ NGUN Các tốn chia hết chia cịn dư tập hợp số nguyên loại toán bản, trọng tâm phần số học Các đề thi học sinh giỏi, thi tuyển vào lớp chuyên, lớp chọn khơng thể thiếu loại tốn Chúng ta nhắc lại định nghĩa, tính chất hệ thống phương pháp chứng minh chia hết tập hợp số nguyên ĐỊNH NGHĨA Cho a, b Z b Nếu có số nguyên q cho a = bq ta nói a chia hết cho b, kí hiệu a b Ta cịn nói a bội b b ước a Người ta chứng minh : Với hai số nguyên tuỳ ý a b (b 0) tồn cặp số nguyên q r cho a = bq + r r |b| Số r gọi số dư phép chia a cho b Nếu r = a b Một số tính chất chia hết suy từ định nghĩa Với a, b, c, k Nếu a a Z a Nếu a b, b c a c Số chia hết cho số nguyên khác Nếu a b b a a = ±b Nếu a b ka b MỘT SỔ ĐỊNH LÍ VỀ TÍNH CHẤT CHIA HẾT Nếu a m, b m a ± b m Nếu a m, b m a ± b m Nếu a m, b n ab mn Đặc biệt: a b (n N) Nếu a m, a n mà (m, n) = a mn Nếu a m, a n mà (m, n) a BCNN(m, n) Nếu ab : m mà (a, m) = 1, b : m Đặc biệt: Nếu ab p a p b p (với p số nguyên tố) Nếu p a p (với p số nguyên tố) CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHIA HẾT TRÊN TẬP HỢP CÁC SỐ NGUYÊN a) Phương pháp : Phân tích biểu thức bị chia thành tích Để chứng minh biểu thức A(n) với n số nguyên chia hết cho số nguyên a thành nhân tử chứng minh có nhân tử chia hết cho a 0, ta phân tích A(n) Lưu ý : Tích hai số nguyên liên tiếp chia hết cho ; Tích ba số nguyên liên tiếp chia hết cho Tổng quát: Tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho n Ví dụ Chứng minh : a) Hiệu số có ba chữ số với tổng chữ số chia hết cho W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai b) Hiệu số có ba chữ số với số viết theo thứ tự ngược lại chia hết cho 99 Giải a) Gọi số có ba chữ số Ta có - (a + b + c) = 100a + 10b + c - (a + b + c) = 99a + 9b = 9.(11a + b) b) Gọi số có ba chữ số abc Ta có - = (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 99a - 99c = 99.(a - c) 99 Ví dụ Chứng minh : a) Bình phương số nguyên trừ số ngun chia hết cho b) Lập phương số nguyên trừ số nguyên chia hết cho Giải Gọi số nguyên n a) Ta có (vì tích hai số ngun liên tiếp) b) Ta có Tích (n - 1).n.(n + 1) tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2, cho Mặt khác (2, 3) = nên tích chia hết cho 2.3 tức chia hết cho Ví dụ Cho n N , Chứng minh 8n - 8n + đồng thời số nguyên tố Giải Xét tích tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho Dễ thấy Ta có ( (vì n , 3) = nên Do Suy N*) hợp số đồng thời số nguyên tố b) Phương pháp : Biểu diễn biểu thức bị chia dạng tổng Để chứng minh biểu thức A(n) a (n, a Z) ta biểu diễn A(n) dạng tổng nhiều hạng tử chứng minh hạng tử chia hết cho a Ví dụ Chứng minh với n z Giải Ta có W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Hạng tử thứ tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2, cho 3, cho Mặt khác 2, 3, đôi nguyên tố nên hạng tử chia hết cho 2.3.5 tức chia hết cho 30 Hạng tử thứ hai 5n(n - 1)(n + 1) có tích ba số ngun liên tiếp nên chia hết cho 2, cho Ngồi cịn chia hết cho (vì có chứa thừa số 5) nên hạng tử thứ hai chia hết cho 30 Từ suy A 30 Lưu ý: Qua ví dụ 39 ví dụ 41 ta thấy : Tổng quát: Nếu p số ngun tố ma(*) Ví dụ Cho a, b chia hết cho p với số nguyên a Đây định lí nhỏ Fec- z, chứng minh : Giải a) Ta có Theo ví dụ 39 Do A Theo ví dụ 41 Ví dụ Chứng minh x số lẻ giá trị biểu thức ln chia hết cho Giải Vì x số lẻ nên x = 2k + (k Ta có k(k +1) Z) tích hai số ngun liên tiếp Do 4k(k + 1) ; 8k : nên A : Ví dụ Chứng minh với n z giá trị biểu thức Giải Ta có (theo ví dụ 39); c) Phương pháp : Sử dụng đẳng thức mở rộng Ta sử dụng đẳng thức mở rộng để chứng minh tính chia hết W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai số Với a, b N ta có : chia hết cho a - b với a chia hết cho b với a ± b chia hết cho a + b với n lẻ a -b Ví dụ 45 Chứng minh : a) với n số tự nhiên chia hết cho ; b) với n số tự nhiên lẻ Giải a) Vì n nên n = 4k (k N) Do Ta có Vì n lẻ nên Ví dụ Tìm tất số tự nhiên n để Giải Ta có A n số tự nhiên lẻ Ví dụ Tìm số dư chia Giải Ta thấy 100 chia cho dư nên ta đặt 100 = 3k + (k N) Ta có Vậy số dư phép chia d) Phương pháp 4: Xét số dư Để chứng minh biểu thức A(n) chia hết cho a hay không chia hết cho a ta xét trường hợp số dư chia n cho a Chẳng hạn chia số n cho số dư 0, 1, 2, 3, n biểu diễn : n = 5k ; n = 5k + ; n = 5k + ; n = 5k + ; n = 5k + W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Để cho gọn ta ghép trường hợp n = 5k + n = 5k + thành 5k ± ; trường họp n = 5k + n = 5k + thành 5k ± Lưu ý : Nếu a b chia cho m có số dư a - b m Ví dụ 10 Chứng minh với n e N A = 2n + 7; Giải Nếu n = 3k Ta có 8k - - hay 8k - 7;2 nên A Nếu n = 3k + Vì 8k - ; nên A Nếu n = 3k + Vì 7;5 nên A Vậy với n Ví dụ 11 Chứng minh với n N ta ln có A Z giá trị biểu thức chia hết cho Giải Nếu n = 5k B Nếu n = 5k ± nhân tử cuối Nếu n = 5k ± nhân tử thứ hai Vậy trường hợp B Trường hợp đặc biệt xét số dư phép chia trường hợp chia số cho Số dư tuỳ theo số bị chia chẵn hay lẻ Ta có nhận xét với a, b, c Z thì: Nếu tổng a + b + c số chẵn ba số a, b, c có số chẵn Nếu tổng a + b + c số lẻ ba số a, b, c số lẻ Ví dụ 12 Cho a, b, c Z thoả mãn điều kiện a + b + c Chứng minh : Giải Để vận dụng điều kiện a + b + c W: www.hoc247.net ta biến đổi biểu thức A dạng có biểu thức a + b + c F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Do a + b + c nên số a, b, c có số chẵn Suy 2abc Mặt khác (a + b + c)(ab + bc + ca) nên A 4 e) Phương pháp : Dùng ngun lí Đi-rích-lê(*) Có ngun lí tốn học phát biểu đơn giản vận dụng linh hoạt phong phú Đó nguyên lí Đi-rich-lê : "Nếu ta nhốt n thỏ vào n - lồng tồn lồng có hai thỏ" Sau ta vận dụng ngun lí để giải tốn chia hết Trong toán cần nắm vững đâu "thỏ" cách tạo số "lồng" Ví dụ 13 Chứng minh 101 số nguyên tồn hai số mà hiệu chúng tận hai chữ số Giải Chia 101 số nguyên cho 100 (coi 100 100 lồng) ta 101 số dư (101 số dư coi 101 thỏ) Theo ngun lí Đi-rich-lê có hai số dư trùng Hiệu hai số có số dư số chia hết cho 100 Do hiệu tận hai chữ số Ví dụ 14 Cho ba số nguyên tố lớn Chứng minh tồn hai số có tổng hiệu chia hết cho 12 Giải Một số nguyên tố lớn phải số lẻ không chia hết cho Khi chia số cho 12 số dư bốn số : 1, 5, 7, 11 Chia loại số dư thành hai nhóm (hai lồng) : nhóm dư dư 11 nhóm dư dư Đem ba số nguyên tố chia cho 12 ta ba số dư (coi ba thỏ) Có ba số dư mà chứa hai nhóm nên theo ngun lí Đi-rich-lê tồn hai số dư thuộc nhóm - Nếu hai số dư hiệu chúng chia hết cho 12 Nếu hai số dư khác tổng chúng chia hết cho 12 f) Phương pháp : Phương pháp quy nạp toán học Với mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n ta dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh Phương pháp gồm ba bước : Chứng minh mệnh đề với số tự nhiên (chẳng hạn = 1) Giả sử mệnh đề với n = k (đây giả thiết quy nạp), ta phải chứng minh mệnh đề với n = k + - Kết luận : Mệnh đề với số tự nhiên n Ví dụ 53 Chứng minh với n W: www.hoc247.net N F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Giải • Với n = A(0) =1+0 — 1=0: Vậy (1) với n = • Giả sử (1) với n = k nghĩa (đây giả thiết quy nạp), ta phải chứng minh (1) với n = k + 1, nghĩa phải chứng minh Ta có Vì • Do A với n N Ví dụ 15 Chứng minh với n N Giải • Với n = B(0) = 12 + 121 = 133 133 Vậy (1) với n = • Giả sử (1) với n = k nghĩa (đây giả thiết quy nạp), ta phải chứng minh Ta có Vì • Do B nên 133 với n N BÀI TẬP TỰ LUYỆN Chứng minh : a) Tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho ; b) Tích số nguyên liên tiếp chia hết cho 120 Cho n Z, chứng minh : a) A b) B = Chọn số tự nhiên chia hết cho 24 ; chia hết cho 120 có tổng 999 Chứng minh W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Cho n N, chứng minh : a) chia hết cho 17 ; b) chia hết cho 31 ; c) chia hết cho 40 Chứng minh : Cho n Z Chứng minh giá trị biểu thức A = a) Tìm số nguyên tố p để chia hết cho số nguyên tố b) Tìm số tự nhiên n để đồng thời số nguyên tố Cho ba số nguyên a, b, c Chứng minh tích p = (a - b)(b - c)(c - a) Chứng minh 92 số tự nhiên, số có chữ số chọn hai số cho viết kề ta số có chữ số Chứng minh số có chữ số chia hết cho 91 10 Chứng minh số thành lập cho chữ số giống chia hết với n nguyên dương W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng I Luyện Thi Online Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90% -Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học -Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn II Khoá Học Nâng Cao HSG Học Toán Online Chuyên Gia -Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, yêu thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG -Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia III Kênh học tập miễn phí HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video giảng miễn phí -HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động -HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |