Thông tin tài liệu
Phương pháp giải toán chia hết tập hợp số nguyên z Bùi Minh Nguyên THCS Vạn Phúc Ninh Giang- Hải Dương: 03203760723 Phần I: Đặt vấn ®Ị I - Lý chän ®Ị tµi - Sè học - môn học lâu đời đầy hấp dẫn toán học Nhà toán học vĩ đại người Đức Carl Friedrich Gauss đà nói: "Toán học ông hoàng, số học bà chúa" Cho đến lời Chúng ta đà biết môn số học, học sinh học chủ yếu bậc tiểu học Lên cấp II đến lớp kết thúc Tuy số học môn học cần thiết phải rèn luyện kỳ thi cuối cấp kỳ thi học sinh giỏi môn số học chiếm tỷ lệ không nhỏ Trong nhà trường THCS việc phát bồi dưỡng học sinh giỏi vấn đề thường xuyên có tính chất liên tục để chất lượng học sinh giỏi ngày nâng lên Trong trình bồi dưỡng học sinh giỏi năm qua, nhận xét thấy việc vạch phương pháp để giải toán chia hết, dạng có liên quan đến chia hết có sử dụng tổng hợp phương pháp Bên cạnh toán, số học không đà làm say mê lòng người học toán làm toán Thông qua toán số học mà loài người đà phát tính chất hay quy luật đẹp Với đề tài phần thân hy vọng giúp nâng cao chất lượng làm toán chia hết Z II - Giới hạn đề tài: Sáng kiến kinh nghiệm chủ yếu tập trung vào việc bồi dưỡng học sinh giỏi, nhằm nâng cao chất lượng häc sinh giái nhµ trêngTHCS III - Mơc tiêu đề tài: - Trang bị cho học sinh cách có hệ thống phương pháp giải toán chia hết Z - Rèn luyện kỹ giải toán chia hết Z DeThiMau.vn Phương pháp giải toán chia hết tập hợp số nguyên z Bùi Minh Nguyên THCS Vạn Phúc Ninh Giang- Hải Dương: 03203760723 - Phát huy khả suy luận, tư lôgic, óc phán đoán, tính linh hoạt sáng tạo học sinh - Thúc đẩy trình nâng cao chất lượng dạy học trường phổ thông đặc biệt công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Phần II: Giải vấn đề Nội dung I - Những vấn đề lý thuyết có liên quan Định nghĩa phép chia hÕt trªn Z a, b Z; b 0, tån t¹i q Z; a = bq a b Các tính chất: a, b, c, m, n Z 2.1: a b th× a b (b 0) 2.2: a a víi a 2.3: a 1; a 2.4 0 a; 2.5: a b vµ b a a b; (a; b 0) 2.6: a b vµ b c a c, c 2.7: a b vµ b c (a b ) c ; c 2.8 : a c k.a c (k 0; c 0) a 0 a b; (a; b 0) Tỉng Qu¸t c (i = 1, n ) ; k 0; c n k a c i 1 i i 2.9: a m vµ b n ab mn (m 0; n 0) 2.10: a b an bn víi n N 2.11: a m ; a n vµ (m,n) = a m,n 2.12: ab m; (b,m) = a m C¸c dÊu hiƯu chia hết DeThiMau.vn Phương pháp giải toán chia hết tập hợp số nguyên z Bùi Minh Nguyên THCS Vạn Phúc Ninh Giang- Hải Dương: 03203760723 N = a n a n 1 a n 2 a a1 a0 anan-1an-2 …….a2a1a0 3.1: N a0 (hoặc a0 chẵn) 3.2: N a 3.3: N (an + an-1+ … +a2+a1+a0) 3.4: N (an + an-1+ … +a2+a1+a0) a Chó ý: NÕu N th× N 3.5: N a1 a0 3.6: N a a1 a0 8 Chó ý: N th× N 3.7: N 25 a1 a0 25 3.8: N 125 a a1 a0 125 Chó ý: N 25 N 5 N 5 N 125 3.9: N 11 (a0 a a ) (a1 a3 a5 )11 3.10: N 101 (a1 a0 a5 a ) (a3 a a7 a6 )101 3.11: N (a a1 a0 a8 a7 a6 ) (a5 a a3 a11 a10 a9 ) N 13 (a a1 a0 a8 a7 a6 ) (a5 a a3 )13 3.12: N 13 (a a1 a0 a5 a a3 ) 37 II - Mét sè phương pháp giải toán chia hết Z A (n) lµ mét biĨu thøc phơ thc n (n Z n V DeThiMau.vn Z) Phương pháp giải toán chia hết tập hợp số nguyên z Bùi Minh Nguyên THCS Vạn Phúc Ninh Giang- Hải Dương: 03203760723 Phương pháp 1: Dùng định lý vÒ chia cã d Trong phÐp chia n cho k sè d cã thĨ lµ 0, 1, 2, … ,k -1 hc 0; 1; 2; … ; k k lẻ Để chứng minh A (n) k ta xÐt mäi trêng hỵp vỊ sè d ta chia n cho k VÝ dô 1: Chøng minh r»ng tÝch cđa sè nguyªn liªn tiÕp chia hết cho Giải: Gọi số nguyên liên tiếp là: n; n + 1; n +2; (n Z) Ta cã: A (n) = n(n+1) (n+2) XÐt trường hợp: n =3q; n =3q + 1; n = 3q+2 - n = 3q A (n) - n = 3q+1 n+2 = 3q+3 =3(q+1) (n+2) A(n) - n = 3q+2 n+1 = 3q+3 =3(q+1) (n+1) A(n) VËy: A(n) 3; n Z hay : n (n+1)(n+2) n Z VÝ dô 2: Chøng minh r»ng: a5 - a 5; a Z Gi¶i: Ta cã: A (n) = a5 - a = a(a4 - 1) = a(a2 - 1)(a2+1) Xét trường hợp số dư phép chia a cho ta * a = 5k; a = 5k 1; a = 5k (k Z) * a= 5k A (n) * a= 5k +1 a2-1 = (5k +1)2 - =5M (M béi sè cña 5) Suy ra: a2-1 hay A (n) * a =5k -1 a2 -1 =(5k-1)2 -1 = 5N (N béi sè cña 5) Suy ra: a2-1 hay A (n) * a = 5k + a2 +1 = (5k+2)2 +1 =5B (B béi sè cña 5) Suy ra: a2+1 hay A (n) DeThiMau.vn Phương pháp giải toán chia hết tập hợp số nguyên z Bùi Minh Nguyên THCS Vạn Phúc Ninh Giang- Hải Dương: 03203760723 * a = 5k -2 a2 +1 = (5k-2)2 +1 = 5L (L béi sè cña 5) Suy ra: a2+1 hay A (n) VËy: a5 - a ; a Z Phương pháp 2: Để chøng minh A(n) k ta cã thĨ ph©n tÝch k thõa sè : k = p.q A(n) p A(n) q - NÕu (p,q) = 1; ta tìm cách chứng minh: - Nếu (p,q) ta ph©n tÝch A(n) = B(n) C(n) råi ta tìm cách chứng minh: B ( n) p C (n) q VÝ dô 1: Chøng minh r»ng: a5 - a 30; a Z Giải Ta có: 30 = 6.5 (6.5) =1 ta phải chứng minh a5 - a a5 -a ThËt vËy: + Theo vÝ dô phương pháp ta đà chứng minh được: a5 -a (1) + Ta thÊy: a5 -a = a(a2 -1)(a2+1) = a(a-1)a(a+1)(a2+1) NhËn thÊy: (a-1)a(a+1) lµ tÝch cđa sè tù nhiªn liªn tiÕp Theo vÝ dơ 1: Phương pháp (a-1)a(a+1) (a-1)a(a+1) Mà (2,3) =1 (a-1)a(a+1) VËy: a5 -a (2) Tõ (1) vµ (2) suy a5-a 30 (®pcm) VÝ dơ 2: Chøng minh r»ng: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n 24; n N Giải DeThiMau.vn Phương pháp giải toán chia hết tập hợp số nguyên z Bùi Minh Nguyên THCS Vạn Phúc Ninh Giang- Hải Dương: 03203760723 A(n) = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n = n(n3 + 6n2 + 11n + 6) = n (n n ) (5n 5n) (6n 6) =n(n+1)(n2+5n)+(6n+6) = n(n+1)(n+2)(n+3) Ta thÊy: 24=3.8 (3,8) =1 ta chứng minh cho A(n) vµ A(n) ThËt vËy: n; n+1; n+2; n+3 số tự nhiên liên tiếp Suy ra: * n(n+1)(n+2) (Theo vÝ dơ - Ph¬ng ph¸p 1) Hay A(n) * n(n+1)(n+2)(n+3) (Dựa vào phương pháp để chứng minh) Vì n(n+1)(n+2)(n+3) có môt số chia hết cho cã mét sè chia hÕt cho Hai sè nµy kh¸c n(n+1)(n+2)(n+3) 2.4 A(n) (4) Tõ (3) vµ (4) n4 6n3 +11n2 +6n 24 (®pcm) VÝ dơ 3: Chøng minh r»ng: abc deg chia hÕt cho 23 vµ 29 nÕu abc 2deg Giải Ta có: Mà abc deg 1000abc deg abc 2deg abc deg = 1000.2 abc deg = 2001 deg = 23.29.3 deg Ta thÊy: abc deg 23; abc deg 29 (®pcm) VÝ dơ 4: Chøng minh r»ng: abcabc chia hÕt cho 7; 11; 13 Giải Ta có: abcabc = 1000 abc abc DeThiMau.vn Phương pháp giải toán chia hết tập hợp số nguyên z Bùi Minh Nguyên THCS Vạn Phúc Ninh Giang- Hải D¬ng: 03203760723 = 1001 abc = 7.11.13 abc abcabc 7; abcabc 11 vµ abcabc 13 (đpcm) Phương pháp 3: Để chứng minh A(n) k ta biến đổi A(n) thành tổng nhiều hạng tử chứng minh hạng tử chia hết cho k NghÜa lµ: A(n) B(n) C (n) D(n) B ( n) k A(n) k C ( n) k D ( n) k VÝ dô 1: Chøng minh r»ng: A(n) = n3-13n víi n Z Gi¶i A(n) = n3 - 13n = n3 - n -12n = n(n2 - 1) - 12n = n(n - 1)(n+1) - 12n Ta cã: n-1; n; n+1 lµ sè nguyªn liªn tiÕp nªn: (n 1)n(n 1) 2 (n 1)n(n 1) 3 (n 1)n(n 1) (2,3) L¹i cã: -12n A(n) hay (n3-13n) (®pcm) VÝ dơ 2: Chøng minh r»ng: 2n(16-n4) 30 víi n N Gi¶i A(n) = 2n(16-n4) = 32n - 2n5 = 32(n-n5) + 30n5 = - 32(n5- n) + 30n5 Theo vÝ dụ 1: Phương pháp n5 -n 30 n N 10 DeThiMau.vn Phương pháp giải toán chia hết tập hợp số nguyên z Bùi Minh Nguyên THCS Vạn Phúc Ninh Giang- Hải Dương: 03203760723 Suy ra: Mà 32(n n) 30 A(n) 30 30n 30 VËy: 2n(16-n4) 30 với n N (đpcm) Phương pháp 4: Để chứng minh A(n) k Ta phân tích A(n) thành nhân tử chứng minh nhân tử chia hết cho k Nghĩa A(n) B(n).C (n) B(n) k C (n) k A(n) k Sử dụng phương pháp ta dùng công thức: (an-bn) (a-b) Với n N; a b (an+bn) (a+b) víi n lỴ; a - b (an-bn) (a+b) víi n ch½n; a - b (a+1)n BSa+1 (a-1)2n = BSa+1; (a-1)2n+1+=BSa-1 VÝ dô 1: Chng minh r»ng: 3+33+35+37 + + 32n-1 30 Giải Đặt A(n) = : 3+ 33 +35+37+ … + 32n-1 = 3(1+32) + 35(1+32) + … + 32n-3(1+32) = 3.10 +35.10 + … + 32n-3.10 = 30 + 30.34 + … + 30.32n-4 A(n) = 30(30+34+ … + 32n-4) VËy: + 33+35+37+ … n+ 32n-1 30 (®pcm) VÝ dơ 2: Chøng minh r»ng: 5n+2+26.5n+82n+1 59 n N Gi¶i Ta cã: 5n+2+26.5n+82n+1 = 5n.52+26.5n+82n.8 = 5n(25+26) +64n.8 = 5n.51+64n.8 = 5n(59-8)+64.8 = 5n 59+8(64n-5n) 11 DeThiMau.vn Phương pháp giải toán chia hết tập hợp số nguyên z Bùi Minh Nguyên THCS Vạn Phúc Ninh Giang- Hải Dương: 03203760723 Vì (64n-5n) (64-5) 64n-5n 59 8(64n-5n) 59 Hay 8(64n-5n)=59 (M béi sè cña 59) 5n+2+26.5n+82n+1 = 5n 59 +59M =59(5n+M) 59 (M béi sè cña 59) VËy: 5n+2 +26.5n+82n+1 59 n N (®pcm) VÝ dô 3: Chøng minh r»ng: 16n - 17 với n N; n chẵn Giải Vì n chẵn n = 2m (m N) A(n) = 16n -1 = (162)m-1 Suy ra: (162)m-1 (162-1) (162)m-1 255 Mµ 255 17 (162)m -1 17 Suy ra: 16n -1 17 n ch½n; n N VÝ dô 4: Chøng minh r»ng 1.4+2.42+3.43+4.44+5.45+6.46 Giải Đặt A = 1.4+2.42+3.43+4.44+5.45+6.46 = 1(1+3)+2(1+3)2+3(1+3)3+4(1+3)4+5(1+3)5+6(1+3)6 Ta cã: (3+1)n = BS3+1 Suy ra: 1(1+3) = BS3+1 2(1+3)2 = BS3+2 3(1+3)3 = BS3+3 4(1+3)4 = BS3+4 5(1+3)5 = BS3+5 6(1+3)6 = BS3+6 VËy: A - BS3+1 + + +4 + 5+6 = BS3+21 Mµ 21 Suy ra: 1.4+2.42+3.43+4.44+5.45+6.46 12 DeThiMau.vn (đpcm) Phương pháp giải toán chia hết tập hợp số nguyên z Bùi Minh Nguyên THCS Vạn Phúc Ninh Giang- Hải Dương: 03203760723 Phương pháp 5: Dùng phương pháp quy nạp Nguyên lý quy nạp Một mệnh đề A(n) phụ thuộc vào số tự nhiên n Nếu A(n) ®óng víi n = n0 (n0 cã thĨ lµ 1; số tự nhiên xác định) Giả sử A(n) với n=k Ta phải chứng minh A(n) ®óng víi n=k+1 Suy ra: A(n) ®óng víi sè tù nhiªn n VÝ dơ 1: Chøng minh rằng: Với n nguyên dương A(n) = 7n+2+82n+1 19 Giải Với n = A(1) = 73+83 = 343+512 A(1) = 19.45 A(1) 19 Giả sử A(n) với n = k Ta có: A(k) = 7k+2 +82k+1 19 Ta chøng minh A(n) ®óng víi n = k+1 A(k+1) = 7k+3 + 2k+3 = 7.7k+2+ 82.82k+1 = 7.7k+2 +64.82k+1 = 7.7k+2+7.82k+1+57.82k+1 = 7(7k+2+82k+1)+19.3.82k+1 = 7.A(k) + 19.3.82k+1 V× A(k) 19 (Theo giả thiết quy nạp) 7.A(k) 19 A(k) 19 19 19 19.3.82k+1 19 Theo nguyên lý quy nạp: A(n) 19 n nguyên dương Vậy: A(n) = 7k+2 +82k+1 19 n nguyên dương Ví dụ 2: Chứng minh rằng: 16n-15n-1 225; n N Đặt A(n) = 16n-15n-1 N=1 th× A(1) = 16n-15n-1 = 225 A(1) 225 13 DeThiMau.vn Phương pháp giải toán chia hết tập hợp số nguyên z Bùi Minh Nguyên THCS Vạn Phúc Ninh Giang- Hải Dương: 03203760723 Giả sử A(n) với n = k Ta cã: A(k) = 16k-15k-1 225 Ta ph¶i chøng minh A(n) ®óng víi n=k+1 Ta cã: A(k+1) = 16k+1-15(k+1) -1 = 16k.16-15k -16 = 16k-15K-1+15.16k-15 = (16k-15k-1) + 15(16k-1) = A(k) +15 (16k-1) A(k) 225 (Theo gi¶ thiÕt quy n¹p) (16k-1) 16-1 16k -1 15(16k -1) 15.15 15(16k-1) 225 Suy : A(k+1) 225 Theo nguyên lý quy nạp A(n) 225; n N VËy: 16n -15n -1 225; n N Phương pháp 6: Dùng nguyên tắc Dirichlê Nguyên tắc Dirichlê phát biểu dạng hình ảnh sau: "Nếu nhốt k thỏ vào m chuồng mà k>m phải nhèt chó thá vµo chung mét chng" VÝ dơ 1: Chøng minh r»ng m+1 sè nguyªn bÊt kú thÕ nµo cịng cã sè cã hiƯu chia hÕt cho m Gi¶i Khi ta chia mét sè bÊt kú cho m số dư m số sau: 0; 1; 2; 3; … ; m-1 Chia m+1 sè cho m phải có m+1 số dư Theo nguyên tắc Dirichlê phải có số có số d b»ng HiƯu cđa sè cã cïng sè d lµ mét sè chia hÕt cho m 14 DeThiMau.vn Phương pháp giải toán chia hết tập hợp số nguyên z Bùi Minh Nguyên THCS Vạn Phúc Ninh Giang- Hải Dương: 03203760723 Ví dụ 2: Chøng minh r»ng m sè nguyªn bÊt kú bao giê cịng cã sè chia hÕt cho m hc tổng nhóm số m số chia hết cho m Giải Gọi m số nguyên lµ: a1; a2; a3 … ,am - NÕu m (i = 1, m ) mệnh đề chứng minh - Nếu không chia hết cho m (i = 1, m ) ta lµm nh sau Ta thành lập tổng: S1 = a1 S2 = a1+a2 S3 = a1+a2 +a3 …………………………… Sk = a1+a2 +a3 + … ak …………………………… Sm = a1+a2+ … +ak+ + am Nếu có tổng Sk (1
Ngày đăng: 31/03/2022, 09:45
Xem thêm:
