Đề tài Phương pháp giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ40273

ĐINH VĂN QUYẾT A MỞ ĐẦU Dạy học toán trường THPT trình tư sáng tạo Song song với việc dạy học định lí khái niệm Tốn học, người thầy cịn phải dạy rèn luyện cho học sinh quy tắc phương pháp giải toán, với dạy học giải tập toán Trong thực tế dạy học toán trường THPT, khơng nhiều học sinh có kĩ vận dụng lí thuyết để giải nhiều lớp tốn cách xác khoa học Từ nhận thức tơi xin đưa vài ý kiến kinh nghiệm xung quanh việc giải tập tốn I Vị trí, chức tập toán học Ở trường THPT, dạy toán dạy hoạt động tốn học Đối với học sinh, xem việc giải tốn hình thức chủ yếu hoạt động toán học Các toán trường phổ thơng phương tiện có hiệu thay việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển lực tư duy, hình thành kĩ , kĩ xảo ứng dụng Toán học vào thực tiễn Phát triển tư duy, rèn luyện thao tác trí tuệ, hình thành phẩm chất tư khoa học II Dạy học phương pháp tìm tịi lời giải tốn Trong mơn Tốn trường THPT có nhiều tốn chưa có khơng có thuật tốn để giải Đối với tốn hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ, cách tìm tịi lời giải Khơng có thuật toán tổng quát để giải toán Chúng ta thơng qua dạy học giải số toán cụ thể mà truyền cho học sinh cách thức, kinh nghiệm việc suy nghĩ tìm tịi giải tốn Thơng thường việc tìm lời giải tốn tiến hành theo bốn bước sau: - Tìm hiểu nội dung tốn - Xây dựng chương trình giải - Thực chương trình giải - Kiểm tra nghiên cứu lời giải Sau tơi trình bày phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình B NỘI DUNG Phương pháp giải phương trình cách đặt ẩn phụ * Phương pháp Bước 1: Đặt ẩn phụ tìm điều kiện ẩn phụ Bước 2: Chuyển PT cho PT ẩn phụ Giải PT chứa ẩn phụ tìm nghiệm thỏa điều kiện ẩn phụ Bước : Tìm nghiệm PT ban đầu thỏa hệ thức đặt ẩn phụ * Một số dạng thường gặp I PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng dạng : GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ DeThiMau.vn ax  bx  cx  bx  a  0, (a  0) ĐINH VĂN QUYẾT PT không nhận x = nghiệm nên chia hai vế PT cho x ta   1  a  x2    b  x    c  x   x  1 Đặt aån phuï : t  x  ; t   t   x  x x PT trở thành : at  bt  c  2a  0, ( t  2) Giải PT tìm t , từ tìm x  VD : x  x3  x    Giaûi : PT không nhận x = nghiệm nên chia hai vế PT cho x2   1  ta  x     x    x   x  1 Đặt ẩn phuï : t  x  ; t   t   x  x x t  3 ta coù PT : 3t  7t     2 t   t  3  x  t 3   3  x  x    x  x 2 ( không thỏa ĐK) Phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng lệch dạng: ax  bx3  cx  bx  a  0, (a  0) PT không nhận x = nghiệm nên chia hai vế PT cho x ta   1  a  x2    b  x    c  x   x  1 Đặt ẩn phụ : t  x  ; t   t   x  x x PT trở thành : at  bt  c  2a  0, ( t  2) Giải PT tìm t , từ tìm x  VD : x  x3  x  x    Giaûi : PT không nhận x = nghiệm nên chia hai vế PT cho x ta   1  3 x2     x     x   x  1 Đặt ẩn phuï : t  x  ; t   t   x  ta có PT : x x GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ DeThiMau.vn ĐINH VĂN QUYẾT  1  t   x    x  x    x  x 3t  4t      1  37 t   x  x    x   3 Phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng tỉ lệ dạng: ax  bx3  cx  bkx  ak  0, (a  0, k  0) PT không nhận x = nghiệm neân   k  a  x2    b  x    c  x   x  Đặt ẩn phụ : t  x  chia hai vế PT cho x2 ta k k2  t   x  2k x x PT trở thành : at  bt  c  2ak  0, ( t  2) Giaûi PT tìm t , từ tìm x Phương trình bậc bốn hệ số không đối xứng dạng : ax  bx3  cx  dx  e  0, (a  0) Biến đổi PT cho dạng : A( x  b1 x  c1 )  B( x  b1 x  c1 )  C  Đặt ẩn phuï : t  x  b1 x  c1 , thu PT : At  Bt  C  Giải PT tìm t , tìm x Phương trình dạng : a (ax  bx  c)  b(ax  bx  c)  c  x Đặt ẩn phuï : y  ax  bx  c 2 ay  by  c  x ta coù heä :  ax  bx  c  y Trừ vế PT hệ ta PT hệ quả, từ tìm x a b px  qx  r ,     p q 6) PT daïng : ax  bx  c  Đặt ẩn phụ : t  px  qx  r , (t  0) PT (1) trở thành PT bậc hai ẩn t Từ tìm t , tìm x  VD1 :Giải phương trình: x  10 x   x  x   Giải: Đặt t  x  x  3,  t    2t  t   Phương trình vô nghiệm   Vậy phương trình cho vô nghiệm  VD2: Giải phương trình: x  5x x2 5x  Giải: ĐK: x  5x x Đặt t  x x , (t x 0) GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ DeThiMau.vn t  3  (1)  t  t     t  ĐINH VĂN QUYẾT x  t   x2  5x    x2  5x      x  5 7) PT daïng: a  cx  b  cx  d (a  cx)(b  cx)  e;(c  0; d  0) (a  cx)  ĐK :  (b  cx)  Đặt aån phuï : t  a  cx  b  cx , (t  0)  (a  cx)(b  cx)  t  a  b PT trở thành dạng : 2t  d (t  a  b)  2e, (t  0) Giải PT tìm t từ suy x  VD :  Giaûi: x    x  ( x  1)(3  x)  ĐK: 1  x  Đặt ẩn phuï: t   x   x , (t  0)  (1  x)(3  x)  t  t   t  2t    t   x  1 *t    x  *t   PTVN 8) PT daïng : x  a  b  2a x  b  x  a  b  2a x  b  cx  d ;(a  0) ĐK : x  b  Đặt aån phuï : t  x  b , t   x  t  b Thay vào PT (2) ta có PT t  a  t  a  c(t  b)  d Giải PT cần xét hai trường hợp : t  a vaø  t  a x  23 x 6 x 9  x 6 x 9   VD : Giải: ĐK : x  Đặt ẩn phụ : t  x  9, t   x  t   t   t   (t  32) Xét hai trường hợp: t  12t  32  t   x  73 TH 1:    t   x  25 t  GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ DeThiMau.vn ĐINH VĂN QUYẾT t  TH :   t   x  13 0  t  9) PT daïng : a.P( x)  bQ( x)  c P( x).Q( x)  0, (abc  0) Nếu P( x)  Q( x)  Neáu P( x)  , chia hai vế PT cho P(x) đặt t  Q( x) , (t  0) P( x) PT trở thành at  bt  c  Giải PT tìm t , suy x 10) PT dạng : a  P( x)  Q( x)   b   P( x)  Q( x)  2a P( x).Q( x)  c  0, (a  b  0) (5)  P( x)  ĐK :  Q( x)  Đặt ẩn phụ : t  P( x)  Q( x)  P( x)  Q( x)  P( x).Q( x)  t PT trở thành at  bt  c  Giải PT tìm t , suy x 11) PT daïng : k f ( x)  k g ( x)  c ; đó: f ( x)  g ( x)  a (a laø số) Đặt hai ẩn phụ : u  k f ( x); v  k g ( x) u  v  c Thu hệ :  k k u  v  a  VD : Giaûi phương trình:  Giải: TXĐ 47  x  35  x   35 47  D ;  2  u  47  x  Đặt:  v  35  x  u  v   Ta thu hệ phương trình: u  v  82 u  0; v   S  u  v  S  S      P  Đặt  uv  P  P  32 P  87    P  29   u    S   v   x  17 TH1:     P   u   x  23   v  GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ DeThiMau.vn ĐINH VĂN QUYẾT S  TH2:  vô nghiệm  P  29 12) Phương trình chứa bậc hai luỹ thừa bậc hai dạng : a f  x   b  g  x    c (6) ÑK: f  x   u  f  x   Đặt hai ẩn phụ:  v  g  x  PT cho trở thành hệ phương trình hai ẩn  VD: Giải phương trình x   x2  x  Giaûi: TXĐ: D   6;   x   x2  x  x    x  2  2 u  v u  x   u  v  v  u        v  x  u  v  u  v  v  u   * uvx   17 * u  v 1   x    13 13) Phương trình chứa bậc ba luỹ thừa bậc ba daïng : ax  b  r (ux  v)3  dx  e (7) Đặt ẩn phụ : ax  b  uy  v  (uy  v)3  ax  b PT cho trở thành hệ : r (uy  v)  arx  br  r (ux  v)  uy  (ar  u ) x  br Trừ theo vế PT hệ tìm u , v , x  VD : 3 x   x3  36 x  53 x  25 II PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT Tích hai số 1(Các số dương khác 1) a Đối với mũ : a A f ( x )  b.B f ( x )  c A.B=1 Đặt : t  A f ( x )   B f ( x )  t Thu phương trình : at  ct  b  với t > Giải phương trình tìm t , suy x GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ DeThiMau.vn 5   VD1 :   x 21   21  ĐINH VĂN QUYẾT x  x3  Giải : Chia hai vế PT cho x đặt 5  t 21  x   t  8t    t    x  log 5 x 21 4  3 b Đối với logarit (cơ số dương khác 1) log a f ( x)  log b g ( x)  c với a.b=1 Đặt t  log a f ( x)  log b g ( x)   log a g ( x) Khi đưa phương trình số  VD : log 2    x  x  log 2  *  log 2       x  x  11     *   1     Giải: Nhận xeùt: 1  log 2  x2   x   x  x  log 2  x   x      1 x  x  1   x2   x  x2   x  1   1  x  x    x2  x   3      x   x  * 1 x    x    1       x x  x     2   1    1 hn  *  x    2 x  1  2  2   2 1  Đặt toàn PT ẩn phụ t PP : - Đặt toàn phương trình ẩn phụ , chẳng hạn ẩn t - Chuyển PT hệ PT , giải tìm t sau tìm x    VD : log x  log  x   Giải: ĐK: x>0 t  log x Đặt t  log x  log  x   t  log  x     GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ DeThiMau.vn ĐINH VĂN QUYẾT x   x  3t   1    t t t   1  x   t   t t 1  3        1       t t Vế trái hàm số nghịch biến ,vế phải hàm số không đổi , suy phương trình có nghiệm t = Vậy x= nghiện PT cho Đặt ẩn phụ ẩn x PP : - Có thể đặt ẩn phụ t ẩn củ x - Đưa PT PT ẩn phụ t xem x tham số - Giải tìm t theo x , sau tìm x  VD :  x   log32  x  1   x  1 log3  x  1  16  Giải: ĐK: x>-1 Đặt: t  log  x  1   x   t   x  1 t  16  80  t1  4  x   1  81  '   x  3  0x   t   log  x  1  * x2 x2  Xét PT(*) ta có: VP : y  4  y'   0x  2 x2  x  2 haøm số nghịch biến  ; 2   2;   VT : y  log  x  1 hàm số đồng biến  1;   Suy PT(*) có nghiệm x=2 Vậy PT có hai nghiệm: x  2; x  80 81 III PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC DẤU HIỆU Ẩn phụ t  sin ax t  cos ax  t  sin x  cos x Điều kiện ẩn phụ Biểu thức cần tính 1  t  Phụ thuộc vào toán cụ thể  t  sin x.cos x  t 1 ; GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ DeThiMau.vn ĐINH VĂN QUYẾT t  cos x  sin x  t  t  tan x  cot x t 2 1 t2 sin x.cos x  ; tan x  cot x  t  tan x  cot x  t  3t t  tan x  cot x tR tan x  cot x  t  Phương trình dạng : a  sin x  cos x   b sin x.cos x  c   Đặt ẩn phuï : t  sin x  cos x  cos  x   4  ĐK ẩn phụ : Suy :   t  2; sin x.cos x  t 1 ; Thu PT ẩn phụ t sau : at  b(t  1)  c  bt  2at  (b  2c)  * Chú ý 1: Nếu phương trình daïng : a  cos x  sin x   b sin x.cos x  c   đặt ẩn phụ: t  cos x  sin x  cos  x   4  ÑK ẩn phụ :  t  1 t2 Suy : sin x.cos x  Thu PT ẩn phụ t sau : b(1  t )  c  bt  2at  b  2c  * Chú ý 2: Phương trình có dấu giá trị tuyệt đối dạng a sin x  cos x  b sin x.cos x  c at  Thì ta đặt: t  sin x  cos x ;0  t   sin x.cos x  t 1 * Chú ý 3: Phương trình có dấu giá trị tuyệt đối dạng a cos x  sin x  b sin x.cos x  c GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ DeThiMau.vn ĐINH VĂN QUYẾT Thì ta đặt: t  cos x  sin x ;0  t   sin x.cos x  1 t2  VD1 : Giải phương trình  sin x  cos x   2sin x      Giaûi : Đặt ẩn phụ : t  sin x  cos x  cos  x   4  ĐK ẩn phụ :   t  2; t 1 ; Suy : sin x.cos x  Thu PT ẩn phụ t nhö sau: t  1 4(t  1) 3t     2t  3t     1 t  2     1   Với t  sin x  cos x  cos  x    1  cos  x    4 4     1   1    cos  x    Với t  sin x  cos x  cos  x    4 4 2    VD2: Giải phương trình sin x  cos x  sin x.cos x  t 1  Giải: Đặt t  sin x  cos x ;0  t   sin x.cos x  2 t  t 1 Thu phương trình: t    t  2t     t  3 *t  3 : PTVN    1   *t   sin x  cos x   cos  x     cos  x    4 4 2    VD3: Giải phương trình  sin x  cos3 x  sin x  Giaûi:  sin x  cos3 x  sin x    sin x  cos x 1  sin x.cos x   3sin x.cos x   Đặt: t  sin x  cos x  cos  x   4  Điều kiện:   t   sin x.cos x  t 1 Thu phương trình: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ DeThiMau.vn 10 ĐINH VĂN QUYẾT t  1  t  1  t  2t      t  1  t  2t    t  2   x   k      *t   cos  x     cos  x     4 4    x    k  Phương trình dạng: a sin x  b sin x.cos x  c cos x  d * Cách giải : B1 :Kiểm tra cos x = có phải nghiệm PT hay khoâng ? B2 : Khi cos x  chia hai vế PT cho cos x đặt ẩn phụ t = tan x ta thu PT sau : at  bt  c  d (1  t )  (a  d )t  bt  c  d   VD1: Giải phương trình:   3sin x   sin x cos x  cos x   Giải: Nhận thấy cos x  không nghệm phương rình ta chia hai vế phương trình cos x  ta thu phương trình:   tan x   tan x     tan x  1 x      tan x   x     VD2 : Giải phương trình:   k   k 3sin x  sin x cos x  cos x   Giải: Nhận thấy cos x  không nghệm phương rình ta chia hai vế phương trình cos x  ta thu phương trình: tan x  tan x    tan x  tan x  tan x   x  k  tan x     x    k tan x      VD3: Cho PT: 2sin x  sin x.cos x  cos x  m Tìm m để PT cho có nghiệm  Giải: Nếu x  Nếu x    phương trình:  k  cos x   m  vaäy m=2 giá trị cần tìm  k  cos x   m  ta chia hai vế phương trình cho cos x  Thu GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ DeThiMau.vn 11 ĐINH VĂN QUYẾT tan x  tan x   m 1  tan x     m  tan x  tan x  m   2 Ñaët t  tan x; t  R    m  t  t  m   m  m    1  10 Phương trình có nghiệm   10 m     2 Vậy phương trình có nghiệm  10  10 m 2 Phương trình dạng: a  tan x  cot x   b  tan x  cot x   c  Đặt ẩn phụ: t   tan x  cot x   Điều kiện: t  sin x 2 sin x Khi đó: tan x  cot x  t  Thu phương trình: a  t    bt  c   at  bt  c  2a   VD: Tìm m để phương trình sau có nghiệm  tan x  cot x   m  tan x  cot x     Giaûi: Đặt ẩn phụ: t   tan x  cot x   Điều kiện: t  sin x 2 sin x Khi đó: tan x  cot x  t  3t  Thu phương trình:  t    mt    3t  mt    m  t 2 3t  ; t   ; 2   2;    f '  t   t   ; 2   2;   Xét hàm số f  t   t Vậy hàm số nghịch biến khoảng xác định, ta có: f(-2) = f(2) = -4 Kết luận phương trình cho có nghiệm khi: m   ; 4   4;   GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ DeThiMau.vn 12 ... Phương trình vô nghiệm   Vậy phương trình cho vô nghiệm  VD2: Giải phương trình: x  5x x2 5x  Giải: ĐK: x  5x x Đặt t  x x , (t x 0) GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ...  với t > Giải phương trình tìm t , suy x GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ DeThiMau.vn 5   VD1 :   x 21   21  ĐINH VĂN QUYẾT x  x3  Giải : Chia hai vế PT cho x đặt 5  t...  Giải: Nếu x  Nếu x    phương trình:  k  cos x   m  vaäy m=2 giá trị cần tìm  k  cos x   m  ta chia hai vế phương trình cho cos x  Thu GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ẨN