Đề tài Kinh nghiệm giải bài toán bằng cách lập phương trình

Toán học là một môn khoa học cơ bản trí tuệ cao nhất, là chìa khoá mở cửa cho tất cả các nghành khoa học khác . Toán học chiếm ưu thế quan trọngtrong các trường phổ thông.nó đòi hỏi người thầy một sự lao động sáng tạo,nghệ thuật giúp học sinh hứng thú say mê với bộ môn . Trong chương trình đại số lớp 9. Việc giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình Phương trình bậc hai vẫn là mảng kiến thức lớn có nội dung phong phú đa dạng,học sinh thường gặp trong các kì thi tốt nghiệp ,thi học sinh giỏi,thi vào lớp 10 . để giúp học sinh hạn chế bớt khó khăn khi làm dạng bài tập này. nên tôi suy nghĩ và thực hiện nội dung ” Giải bài tập bằng cách lập hệ phương trình phương trình Trong khuôn khổ SKKN này tôi đưa ra một số bài tập đặc trưng cho từng dạng giúp học sinh nắm bắt được dạng bài tập này có kĩ năng giải bài tập dễ dàng hơn

ĐẶT PHẦN I VẤN ĐỀ

A/ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Toán học là một môn khoa học cơ bản trí tuệ cao nhất, là chìa khoá mở cửa cho tất cả các nghành khoa học khác Toán học chiếm ưu thế quan trọngtrong các trường phổ thông.nó đòi hỏi người thầy một sự lao động sáng tạo,nghệ thuật giúp học sinh hứng thú say mê với bộ môn

Trong chương trình đại số lớp 9 Việc giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình Phương trình bậc hai vẫn là mảng kiến thức lớn có nội dung phong phú đa dạng,học sinh thường gặp trong các kì thi tốt nghiệp ,thi học sinh giỏi,thi vào lớp 10

để giúp học sinh hạn chế bớt khó khăn khi làm dạng bài tập này nên tôi suy nghĩ và thực hiện nội dung ” Giải bài tập bằng cách lập hệ phương trình -phương trình "

Trong khuôn khổ SKKN này tôi đưa ra một số bài tập đặc trưng cho từng dạng giúp học sinh nắm bắt được dạng bài tập này có kĩ năng giải bài tập dễ dàng hơn

B/ PHẠM VI - PHƯƠNG PHÁP -TÀI LIỆU THAM KHẢO:

I/ Phạm vi nghiên cứu của đề tài.

Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 8 - 9 trường phổ thông THCS Thị xã Hoà bình Nội dung "Giải bài toán bằng cách lập phương trình- Hệ Phương trình "

II/ Phương pháp nghiên cứu :

Qua thực tế giảng dạy thông qua chương trình sách giáo khoa sách tham khảo Thông qua các chuyên đề bồi dưỡng giáo viên qua dự giờ trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp

III/ Tài liệu tham khảo:

- Toán bồi dưỡng học sinh giỏi đại số 8 -9

- Một số vấn đề phát triển đại số 8- 9

- Toán luyện giải các bài tập đại số 8,9

- Toán chọn lọc

PHẦN II NỘI DUNG CỤ THỂ

A/ LÍ LUẬN CHUNG:

Giải bài toán bằng cách lập phương trình - hệ phương trình là dạng toán tương đối khó với học sinh Đòi hỏi học sinh phải có sự phân tích suy luận để tìm mối quan hệgiữa các đại lượng biết chuyển từ ngôn ngữ mẹ đẻ sang ngôn ngữ toán học, chuyển từ hành văn sang phép toán Nhiều học sinh ngại làm dạng bài tập này hoặc trình bày không rõ ràng vì kĩ năng phân tích tổng hợp của học sinh còn yếu , không tìm được mối quan hệ giữ các giữ liệu nên không lập được phương trình hoặc lập sai

Do đó trong quá trình giảng dạy giáo viên phải tuân theo các yêu cầu sau :

Có kĩ năng giải phương trình - hệ phương trình

- Hiểu đề bài phân tích kĩ tránh sai sót

- Có lập luận chặt chẽ , toàn diện

- Trình bày khoa học rõ ràng , phù hợp với thực tế

Để đạt được yêu cầu sau học sinh tuân theo các bước cơ bản sau :

Bước 1: Lập phương trình hoặc hệ phương trình

- Chọn một đại lượng chưa biết làm ẩn ( nếu lập phương trình một ẩn )

- Chọn 2 đại lượng chưa biết làm 2 ẩn ( nếu lập hệ phương trình )

- Dùng ẩn số và các đại lượng đã cho , các công thức liên quan để biểu diễn các số liệu khác

- Tìm mối quan hệ giữa các số liệu để thiết lập phương trình - hệ phương trình

Bước 2 : Giải phương trình hoặc hệ phương trình

Bước 3 : Nhận định kết quả - trả lời

So sánh kết quả tìm được với điều kiện của ẩn xem có thích hợp không ?

Trả lời

Trong 3 bước trên bước một là then chốt Để làm tốt bước một đòi hỏi học sinh phải đọc kĩ đề xác định dạng bài , các đại lượng tham gia , tóm tắt bằng kí hiệu đại lượng đã biết đại lượng phải tìm

B- CÁC DẠNG BÀI TOÁN CỤ THỂ:

I/ Dạng toán tìm số: (Biết tổng,hiệu,ti số, phân số…)

Bài toán 1: hai số hơn kém nhau 12 đơn vị Nếu chia số lơn cho 5 số nhỏ cho 7 thì

thương thư nhát lớn hơn thương thư 2 là 4 đơn vị Tìm hai số đó

Hướng dẫn học sinh tìm lơì giảI:

Hai số hơn kém nhau 12 đơn vị thì suy ra biết hiệu hai số là 12 vậy hai số phải tìm là

số lớn và số bé

Phân biệt thương thứ nhất: Số lớn : 5

Thương thứ hai: Số bé : 7

Trong bài này học sinh lúng túng nhầm lẫn không phân biệt thương nhất thương thương thứ thương thứ hai  lập phương trình sai

*Bài giải

*Lập phương trình 1 ẩn

Gọi số lớn là: x (x>12)

Thì số bé là: x-12

Chia số lớn cho 5 ta có: 5x

Chia số nhỏ cho 7 ta có: x712

Thương thứ nhất lớn hơn thuơng thứ hai là 4 đơn vị nên ta có phương trình:

4 7

12



 x x

*Giải phương trình ta được x=40

vậy x=40 thoả mãn với điều kiện của ẩn vậy số lớn là 40

số bé là 40-12=28

Bài toán trên giải bằng cách lập hệ phương trình như sau:

gọi số lớn là x (x>12)

và số bé là y (y<x) ta có phương trình x-y=12 (1)

Chia số lớn cho 5 ta được: 5x

chia số nhỏ cho 7 ta được: 7y

thương thứ nhất lớn hơn thương thứ hai là 4 đơn vị nên có phương trình:

4

7

5  

y

x

(2)

từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:











4 7 5

12

y x y x

giải hệ phương trình ta được 





 28 40

y x

II/ dạng toán tăng giảm, thêm bớt

Bài toán 2: Một phòng có 360 ghế ngồi được xếp thành từng dãy và số ghế mỗi

dãy như nhau Nếu số dãy tăng thêm 1 và số ghế mỗi dãy tăng thêm 1 thì trong phòng có 400 ghế Tính số dãy, số ghế mỗi dãy?

* hướng dẫn tìm lời giải:

- Dạng bài này rất thực tế xong học sinh vẫn lúng túng khi diễn đạt, yêu cầu học sinh chỉ dược mỗi quan hệ giữa 3 đại lượng:

+ tổng số ghế trong phòng

+ số dãy ghế

+ số ghế trong 1 dãy

Công thức liên quan số ghế trong 1 dãy = tổng số ghế : số dãy

- Học sinh hay sót tìm diều kiện của ẩn (x N)

- Học sinh biểu thị được 3 đại lượng này ở 2 giai đoạn

Lời giải

 Cách 1 : (lập hệ phương trình)

- gọi số dãy ghế là x (dãy) x > 0 ; x  N

- và số ghế trong một dãy là y (ghế) y > 0 ; y  N

Ban đầu Sau khi tăng

ta có phương trình: xy = 360 (1)

- nếu số dãy tăng thêm 1 ta có: x+1 (dãy)

- số ghế trong 1 dãy tăng thêm 1 ta có: y+1 (ghế)

- thì tổng số ghế trong một phòng là 400 ghế ta có phương trình:

(x+1)( y+1) = 400 (2)

từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 











400 ) 1 )(

1 ( 360

y x xy

giải hệ phương trình ta được 





 24 15

y x

hoặc 





 15 24

y x

 Cách 2 : ( lập phương trình một ẩn)

- Gọi số dãy ghế là x (dãy) x>0 ; x N

- Thì số ghế mỗi dãy là: 360x (ghế)

- Khi tăng thêm một dãy thì có (x+1) dãy

- mỗi dãy tăng thêm 1 ghế có: 360 1

x (ghế)

- ta có phương trình: (x+1)(360 1

x ) = 400

* giải phương trình ta được: x1 = 15 ; x2 = 24 (t/m đk)

* trả lời: nếu số dãy là 15  số ghế một dãy là: 24

15

360

 (ghế) nếu số dãy là 24  số ghế 1 dãy là: 15

24

360

 (ghế) vậy số dãy là 15 thì số ghế mỗi dãy là 24

hoặc số dãy là 24 thì số ghế mỗi dãy là 15

lưu ý: nhiều học sinh trả lời ngay số dãy là 24 số ghế là 15 như vậy sẽ mất nghiệm (không đủ các khả năng sảy ra)

III/ dạng toán chuyển động: (cùng chiều, ngược chiều, đến sớm muộn, trước sau,

chuyển động dưới nước)

Bài toán 3: Quãng đường AB dài 200 km Hai ôtô cùng khởi hành từ A đến B Mỗi

giờ ôtô thứ nhất chạy chậm hơn ôtô thứ hai 10 km nên đến B chậm hơn 1giờ Tính v mỗi xe

* hướng dẫn tìm lời giải: giáo viên cần lưu ý cac dữ kiện sau:

- xác định 2 chuyển động cùng chiều từ A đến B Công thưc liên quan

S = vt

- xe thứ nhất chạy chậm hơn xe thứ 2 là 10 km/h nên: v2 - v1 = 10

- lưu ý cụm từ: đến B chậm hơn do đó thời gian xe thứ nhất nhiều hơn xe thứ 2 là 1 giờ nên t1 = t2 + 1

- học sinh biết tóm tắt: SAB = 200 km

v2 - v1 = 10

t1 - t2 = 1 tính v1 ? v2 ?

* Lời giải:

Cách 1: lập phương trình một ẩn

- Gọi vận tốc ôtô đi nhanh là x(km/h), x  0

- Thì vận tốc ôtô đi chậm là x - 10

- Thời gian ôtô đi nhanh là: 200/x (h) thì thời gian ôtô đi chậm là:

10

200



x (h)

- Xe ôtô đi chậm đến B châm hơn ôtô thứ 2 là 1h nên có phương trình:

1

200 10

200





x

+ Giải phương trình ta được: x1 = 50 ; x2 = - 40 (loại)

Vậy vận tốc xe ôtô đi nhanh là 50 km/h Vận tốc xe ôtô đi chậm là 50 - 10 = 40 km/h

- Chú ý: Có thể chọn v xe đi chậm là x thì điều kiện của ẩn sẽ khác

* Cách 2: Lập hệ phương trình:

- Gọi v xe đi nhanh là x (km/h) ; x > 10 Và v xe đi chậm là y (km/h) ; 0 < y < x

- Mỗi giờ xe đi nhanh đi hơn xe đi chậm 10 km nên có PT (1): x - y = 10 (1)

- Thời gian cua xe đi nhanh là:

x

200

(h) Và thời gian của xe đi chậm là: 200y (h)

- Ta có PT: 200 200  1

x

+ Ta có hệ PT: 











) 2 ( 1 200 200

) 1 ( 10

x y y x

+ Giải hệ phương trình ta được: x = 50 ; y = 40

+ Vậy v ôtô đi nhanh là 50km/h v ôtô đi chậm là 40km/h

Bài toán 4: chuyển động dưới nước ( có v nước)

Một tàu thuỷ chạy trên khúc sông dài 80km Cả đi lẫn về hết 8h20p Tính v tàu lúc nước yên lặng ( biết v nước là 4km/h )

* Hướng dẫn tìm lời giải:

G cần khắc sâu nhưng điểm sau:

- v tàu luc nước yên lặng  v thực của tàu

- Đây là toán chuyển động dưới nước có v nước nên phải biểu diễn:

v xuôi = v thực + v nước

v ngược = v thực - v nước

- Điều kiện của ẩn: v thực > v nước ( điều này h/s rất hay quên)

- Đơn vị thời gian chưa thống nhất (phải đổi ra giờ)

- H/s phải biết tóm tắt 3 đại lượng S, v, t ( xuôi, ngược, thực )

Lời giải:

+ Lập phương trình 1 ẩn:

Gọi v thực của tàu là x (km/h), x > 4 thì v khi xuôi là: x + 4 (km/h) Vận tốc khi ngược là x- 4 (km/h)

- Thời gian xuôi là: 804



- Thời gian ngược là: 804



x (h)

- Thời gian cả đi lẫn về hết 8h20p = 253 (h) nên có PT: 804 804 253





 x x

+ Giải PT: ta được x = 20 ; x = - 0.8 ( loại)

+ Vậy v thực của tàu là 20km/h

IV/ Dạng toán về số và chữ số:

Bài toán 5: Tìm số tự nhiên có 2 chữ số, tổng hai chữ số bằng 8 Nếu đổi vị trí hai

chữ số cho nhau thì số tự nhiên đó giảm đi 16 đơn vị

* Hướng dẫn học sinh giải:

- xác đinh dạng toán và kiến thức liên quan:

+) gọi số tự nhiên có hai chữ số là ab (a,b  N, 0 < a  9 ; 0 b 9)

+) ab = 10a + b

Bước 1: chọn ẩn ( như trên )

Bước 2: lập hệ phương trình:

Chữ số hàng chục Chữ số hàng đơn vị Tổng

Nhìn vào bảng ta dễ dàng có được hệ PT là:











































4 8 36

10

10

8

36

8

b b a

b

b

ba

b

Lời giải:

- gọi số tự nhiên có 2 chữ số là ab ( a,b N, 0 < a  9; 0 b 9 ) Vì tổng 2 chữ số là 8

Ta có PT: a + b = 8 (1)

- đổi chỗ 2 chữ số cho nhau ta có số mới là: ba

- Theo bài gia ta có phương trình: ab ba 36  a b 4 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 











4 8

b a b a

+ Giải hệ phương trinh ta được a = 6 ; b = 2 thoả mãn với điều kiện của ẩn

Vậy số phải tìm là 62

V/ Bài toán có nội dung hình học:

Bài toán 6: Một khu vườn hinh chữ nhật có chu vi là 280 m Người ta làm một lối đi

xung quanh vườn (thuộc đất của vườn) có chiều rộng là 2m, vì vậy diện tích trồng trọt là 4256m2 Tính kích thước của vườn

* Hướng dẫn học sinh giải:

Minh hoạ bằng hinh vẽ:

- phân tích thấy rõ kích thước của vừơn bị bớt đi 4m

- kiếm thức hình học liên quan: chu vi =( D + R )  2

Diện tích = D  R

Lời giải:

Cách 1:

* Lập PT :

- Gọi chiều dài của khu vườn hình chữ nhật ban đầu là x (m), x>70, thì chiều rộng khu vườn la 140 - x (m)

Diện tích lối đi là: (140 - 4 ) 4 = 544 (m2)

Theo bài ra ta có phương trình: x( 140 - x) - 544 = 4256

* giải phương trinh trên ta được: x1 = 80 ; x2 = 60

*nhận đinh kết quả và trả lời: x2 = 60 không thoả mãn với điều kiện của ẩn;

Vậy chiều dài của khu vườn là 80m, và chiều rộng của khu vườn là:

140 - 80 = 60 (m)

Cách 2:

* Lập hệ PT:

- Gọi chiều dài khu vườn là x(m), x > 70

Và chiều rộng khu vườn là y(m); 0 < y < x

- vì chu vi khu vườn là 280m , ta có PT: x + y = 140 (1)

- kich thước cua khu vườn trồng trọt là: x - 4 (m) và y - 4 (m)

- Do diện tich khu vườn trồng trọt là 4256(m2 )ta có PT:

( x - 4 )( y - 4 ) = 4256 (2)

- Từ (1) và (2) ta có hệ PT:















4256 ) 4 )(

4 ( 140

y x y x

 Giải hệ phương trình ta được kết qua như cách 1

VI/ Toán về tim thời gian mỗi đơn vị làm một mình xong công việc:

(toán quy về đơn vị)

Bài toán 7: Hai máy bơm cùng bơm nước vào một bể thì 12 phút đầy bể Nếu máy

bơm 1 bơm trong 10 phút, máy bơm 2 bơm trong 6 phút thì được 7/10 bể Hỏi mỗi may bơm làm một mình thì bơm dầy bể trong mấy phút

Hướng dẫn học sinh giải:

- Đọc đề, xác định yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm, dạng toán đề ra hương giải:

+ Coi dung tích của bể là một đơn vị thể tích

+ Tinh vận tốc mỗi vòi chaỷ trong một phút

+ Xác đinh mối liên quan để lập PT, hệ PT

lời giải:

* Lập hệ phương trình:

C

C' D'

2m

2m

S = 4256 m2

2m 2m

- Gọi thời gian vòi 1 chảy một minh đầy bể là x ( phút), x > 12 thời gian vòi 2 chảy 1 mình đầy bể là y (phút), y > 12

- Mỗi phút vòi 1 chảy được 1/x phần bể Mỗi phút vòi 2 chảy được 1/y bể

- Vì 2 vòi cung chảy vào bể thì sau 12 phút bể đầy ta có PT:

11 121

y

- Trong 10 phút vòi 1 chảy ra được 10/x phần bể và trong 6 phút vòi 2 chảy được 6/y phần bể Theo bài ra ta có phương trình:

106 107

y

- Từ (1) và (2) ta có hệ PT:















10 7 6 10

12 1 1 1

y x

y x

* Giải hệ PT ta được: x = 20 ; y = 30

* Nhận đinh kết quả và trả lời:

Vì x = 20; y = 30 thoả mãn điều kiện của ẩn ; vậy thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể

là 20 phút và thời gian vòi 2 chảy một mình là 30 phút

VII/ Toán cổ :

Bài toán 8:

Một đàn em nhỏ đứng bên sông

To nhỏ ban nhau chuyện chia hồng Mỗi người năm trái thừa năm trái Mỗi người sáu trái một người không Hỏi người bạn trẻ dang dừng bước

Có mấy em thơ có mấy trái hồng ? Hướng dẫn giải

-Tóm tắt dữ kiện bài toán :

Số trái / người Kết quả Cách chia thứ nhất 5 Dư năm trái

Cách chia thứ hai 6 Một người không được chia

* Giải toán bằng cách lập PT:

- Đặt x là số em đứng bên sông ; x > 0 , x nguyên

+ Theo cách thứ nhất số hồng là : 5x + 5

+ Theo cách thứ hai số hồng là : 6( x -1 )

- Vì số hồng không đổi nên ta có : 5x +5 = 6( x - 1)

- Giải phương trình ta được : x = 11 Nguyên, dương Thoả mãn điều kiện đầu bài Vậy số em bé là 11 em số trái hồng là : 6 ( 11 -1) = 60

VIII/ Dạng toán phần trăm :

Bài toán 9:

Tháng đầu 2 tổ sản xuất được 720 chi tiết máy Trong tháng sau tổ 1 vượt mức 15% , Tổ 2 vượt mức 12% nên sản xuất được 819 chi tiết máy Tính số chi máy của mỗi tổ trong tháng đầu

 Hướng dẫn tìm lời giải:

- Tổng số chi tiết máy của hai tổ trong tháng đầu : 720

- Vượt mức 15% => sản phẩm tháng sau = Sản phẩm tháng đầu + 15% sản phẩm tháng đầu

- Có thể trọn số sản phẩm của một tổ làm ẩn => tính được số sản phẩm của tổ kia hoặc chọn sản phẩm cả 2 tổ làm 2 ẩn => lập hệ PT:

* Lời giải:

Cách 1: Lập PT 1 ẩn

- gọi số tri tiết máy của tổ 1 trong tháng đầu là x (chi tiết) ; x  z* 0 < x < 720

- Thì số tri tiết máy của tổ 2 trong thang đầu là: 720 - x

- Tháng 2 tổ 1 sản xuất được: x + 15% x (chi tiết)

- Tháng 2 tổ 2 sản xuất được: 720 - x + (720 - x) 12%

- Tháng 2 cả hai tổ sản xuất được 819 chi tiết nên có phương trình:

x + 15% x + 720 - x +( 720 - x ) 12% = 819 99

100

12 ) 720 ( 100

15







* giải phương trình ta được: x = 420 ( thoả mãn đk)

- Vậy tháng đầu tổ 1 sản xuất được 420 chi tiết máy Tổ 2 sản xuất được trong tháng đầu là: 720 - 420 = 300 ( chi tiết máy )

Cách 2: Lập hệ PT:

- Gọi số chi tiết máy trong tháng đầu của tổ 1 là x ( chi tiết ) 0 < x < 720 

Z

số chi tiết máy tháng đầu của tổ 2 là y ( chi tiết ) 0 < y < 720 

Z y

Ta có PT: x + y = 720 (1)

- Tháng 2 tổ 1 sản xuất được: x + x15% (chi tiết)

- Tháng 2 tổ 2 sản xuất được: y + y12% (chi tiết)

100

12 100

15



 y x

(2)

- Từ (1) và (2) ta có hệ PT: 











99 100 12 100 15

720

y x y x

* Gải hệ phương trình ta được: 





 300 420

y x

(thoả mãn với điều kiện) Vậy: Tháng đầu tổ 1 sản xuất được 420 chi tiết máy

Tháng đầu tổ 2 sản xuất được 300 chi tiết máy

C- KẾT QUẢ THỰC HIỆN:

- So sánh kết quả của năm học 2005 - 2006 với năm học trước khi tôi chưa đi sâu nghiên cứu chuyên đề này Tôi thấy kết quả năm học 2005 - 2006 khá hơn rõ rệt: Năm học 2004 - 2005 kết quả đạt 85% - 90% từ trung bình trở lên Năm học này lời giải của học sinh rõ ràng chặt chẽ điều kiện của ẩn toàn diện hơn

- Kết quả bài kiểm tra về giải toán bằng cách lập hệ phương trình ( chương 2 )

Kết quả kiểm tra về giải toán bằng cách lập phương trình ( chương 3 ) như sau: Điểm

K lớp

Tổng số học sinh 1 -2 3-4 5 -6 7- 8 9 -10