SKKN Hướng dẫn học sinh giải phương trình vô tỷ bằng cách đặt ẩn phụ đưa về giải hệ phương trình, góp phần nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 ở trường THCS Nga Tiến 1 MỤC LỤC TRANG I P[.]
MỤC LỤC TRANG I.Phần mở đầu……………………………………………………………… 1.Lí chọn đề tài…………………………………………………………….2 2.Mục đích nghiên cứu……………………………………………………… 3.Đối tượng nghiên cứu……………………………………………………….2 5.Phương pháp nghiên cứu……………………………………………………2 II.Nội dung sáng kiến kinh nghiệm……………………………………… 1.Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm……………………………………3 2.Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm……………… 3.Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề…………………………… 4.Kết thực đề tài…………………………………………………… 10 III.Kết luận, kiến nghị……………………………………………………….11 IV.Tài liệu tham khảo ……………………………………………………….12 V.Phụ lục …………………………………………………………………… 13 SangKienKinhNghiem.net I.MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Toán học mơn khoa học mang tính trừu tượng, mơ hình ứng dụng rộng rãi gần gũi lĩnh vực đời sống xã hội, khoa học lí thuyết khoa học ứng dụng Tốn học mơn học giữ vai trò quan trọng suốt bậc học phổ thơng Tuy nhiên, mơn học khó, khơ khan địi hỏi học sinh phải có nỗ lực lớn để chiếm lĩnh tri thức cho Chính vậy, giáo viên dạy tốn việc tìm hiểu cấu trúc chương trình, nội dung sách giáo khoa, nắm vững phương pháp dạy học Để từ tìm biện pháp dạy học có hiệu việc truyền thụ kiến thức Toán học cho học sinh cơng việc cần phải làm thường xun Trong chương trình Tốn bậc THCS, chun đề phương trình chuyên đề xuyên suốt năm học học sinh, tốn “Tìm x biết ” dành cho học sinh lớp 6, đến việc cụ thể hóa vấn đề phương trình cuối năm học lớp hoàn thiện nội dung phương trình đại số lớp Đây nội dung quan trọng bắt buộc học sinh bậc THCS phải nắm bắt có kĩ giải phương trình cách thành thạo Phương trình vơ tỷ đề tài lý thú vị đại số, lôi nhiều người nghiên cứu say mê tư sáng tạo để tìm lời giải hay, ý tưởng phong phú tối ưu Tuy nghiên cứu từ lâu phương trình vơ tỷ mãi cịn đối tượng mà người đam mê tốn học ln tìm tịi học hỏi phát triển tư 2.Mục đích nghiên cứu: Mỗi loại tốn phương trình vơ tỷ có cách giải riêng phù hợp Điều có tác dụng rèn luyện tư toán học mềm dẻo, linh hoạt sáng tạo Bên cạnh đó, tốn giải phương trình vơ tỷ thường có mặt kỳ thi học sinh giỏi toán cấp THCS 3.Đối tượng nghiên cứu: Có nhiều phương pháp giải phương trình vơ tỷ như; Phương pháp nâng lên lũy thừa; Phương pháp đưa phương trình trị tuyệt đối; Phương pháp đánh giá; phương pháp hàm số; Phương pháp sử dụng biểu thức lên hợp – trục thức….Song đối tượng học sinh lớp 9, sau học giải hệ phương trình tơi mạnh dạn giới thiệu phương pháp “ Hướng dẫn học sinh giải phương trình vơ tỷ cách đặt ẩn phụ đưa giải hệ phương trình, góp phần nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi Toán trường THCS Nga Tiến” Phương pháp nghiên cứu: Để thực đề tài: “ Hướng dẫn học sinh lớp giải phương trình vơ tỷ cách đặt ẩn phụ đưa giải hệ phương trình” tơi sử dụng phương pháp sau: + Phương pháp thu tập thông tin: trước hết sưu tầm phân loại dạng phương trình vơ tỷ sau chọn dạng phương trình vơ tỷ đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình Cung cấp “ngân hàng” tập sau chọn lọc cho học sinh giao cho em nhà tự tìm tịi cách giải khác SangKienKinhNghiem.net + Phương pháp thống kê xử lý số liệu: Trong ngân hàng tập chọn tập điển hình sau hướng dẫn em cách phân tích, nhận biết, sở để đặt ẩn phụ đưa dạng hệ phương trình hướng dẫn giải chi tiết + Phương pháp đánh giá: Sau tập ( Ví dụ) hướng đẫ em cách đánh giá cách làm phương pháp với phương pháp đặt ẩn phụ đưa giải hệ , từ rút tính ưu việt cách giải II.NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lý luận: a) Khái niệm phương trình vơ tỷ: + Phương trình vơ tỷ phương trình có chứa ẩn dấu + Giải phương trình vơ tỷ dùng phép biến đổi để cho tìm giá trị ẩn thỏa mãn phương trình + Các giá trị tìm ẩn giọi nghiệm b) Các khái niệm phép biến đổi tương đương hệ phương trình: ax by c , , , a x b y c * Hệ phương trình bậc hai ẩn: + Nếu hai phương trình có nghiệm chung (x0;y0) (x0;y0) gọi nghiệm hệ + Nếu hai phương trình cho khơng có nghiệm chung hệ vơ nghiệm + Giải hệ phương trình tìm tất tập nghiệm *Hệ phương trình tương đương: Hai hệ phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm * Hệ đối xứng loại I: Là hệ chứa hai ẩn x,y mà ta thay đổi vai trị x,y cho hệ phương trình khơng thay đổi f ( x, y ) f ( x, y ) f ( y , x ) g ( x, y ) g ( x, y ) g ( y , x ) * Hệ đối xứng loại II: Là hệ chứa hai ẩn x,y mà ta thay đổi vai trò x,y cho phương trình trở thành phương trình hệ Thực trạng vấn đề nghiên cứu: Trong chương trình Tốn bậc THCS, chun đề phương trình chuyên đề xuyên suốt năm học học sinh, tốn “Tìm x biết ” dành cho học sinh lớp 6, đến việc cụ thể hóa vấn đề phương trình cuối năm học lớp hồn thiện nội dung phương trình đại số lớp Đây nội dung quan trọng bắt buộc học sinh bậc THCS phải nắm bắt có kĩ giải phương trình cách thành thạo Phương trình vơ tỷ loại tốn khó, có nhiều dạng tồn nhiều phương pháp giải khác Song với nội dung phạm vi kiến thức bậc học THCS học sinh khó tiếp cận đa dạng phương pháp gây nhiều khó khăn giải phương trình vơ tỷ Tuy nhiên chương trình Đại số em học giải hệ phương trình , cụ thể hệ bậc hai ẩn tơi mạnh dạn áp dụng phương pháp hướng dẫn học sinh giải phương trình vơ tỷ cách đặt ẩn phụ đưa giải hệ phương trình SangKienKinhNghiem.net Các giải pháp: a) Các bước tiến hành: + Bước 1: Hướng dẫn học sinh phân tích , tìm mối quan hệ biểu thức dấu căn, từ định đặt “ ” làm ẩn phụ Đặt a x , b x tìm mối quan hệ x x từ tìm hệ theo a; b + Bước 2: Hướng dẫn học sinh giải chi tiết thông qua toán cụ thể lưu ý dạng toán cần ĐK, dạng tốn khơng cần ĐK + Bước 3: Học sinh tự luyện thơng qua hệ thống tập có hướng đẫn giải chi tiết b) Các dạng tập điển hình Bài tốn 1: Giải phương trình: x x * Nhận xét: Ta thấy hiệu hai biểu thức dấu số nguyên: (x + 2) – (x – 6) = nên đặt a = x ; b = x ta đưa hệ bậc ẩn đơn giản * Cách giải: Điều kiện: x ≥ Đặt a = x ; b = x ( a,b khơng âm) Ta có hệ: a b a a b 2 b a b a b x x Vậy: x7 x 6 1 x Do x = thỏa mãn điều kiện x ≥ nên nghiệm phương trình Bài tốn 2: Giải phương trình: x x * Nhận xét: Ta thấy hiệu hai biểu thức dấu số nguyên: (x – 1) – (x – 2) = nên đặt a = x ; b = x ta đưa hệ bậc ẩn đơn giản * Cách giải: Đặt a = x ; b = x ta có hệ: a b a b a b a b 3 2 ab (a b) 3ab a b a ab b a a b b Nếu: a= ; b = suy x = Nếu: a = ; b = suy x = Vậy phương trình có hai nghiệm x = x = Bài tốn 3: Giải phương trình: 1 x x 1 2 * Nhận xét: Ta thấy tổng hai biểu thức dấu số nguyên SangKienKinhNghiem.net * Cách giải: Điều kiện: x ≤ 1 x ta có hệ: x;b= 2 a b a b 1 a b 1 2 a b a (1 a ) a a 2a Đặt a = a a a 2 b 1 b b3 Từ ta tìm giá trị x là: 1 17 ; ; ( Thỏa mãn ĐK) 2 Bài tốn 4: Giải phương trình: - x2 + = x (1) * Nhận xét: Ta thấy đặt y = x – y2 + = x từ ta đưa phương trình hệ đối xứng * Cách giải: Điều kiện: x ≤ Đặt y = x ( Với y ≥ ); ta có hệ: x y x2 y 2 y x x y x y x2 y x2 y x y 0 x y 1 x y 1 x y 2 x y 0 1 x x y + Nếu : x y 1 y 1m x2 y + Nếu : Kết hợp với ĐK: x ≤ y ≥ suy phương trình ( 1) có hai nghiệm : x = x = 1 Bài tốn 5: Giải phương trình: x3 + = x * Nhận xét: Ta thấy đặt y = x y3 + = 2x x3 + =2y từ ta đưa phương trình hệ đối xứng * Cách giải: Đặt y = x từ ta có hệ: x3 y (1) x3 y 3 y x x y 2( y x) (2) Ta có: (2) ( x y )( x xy y 2) x y Vì: x2 +xy + y2 +2 = x y y Suy : x = y; vào phương trình (1) ta có: SangKienKinhNghiem.net x3 – 2x + = ↔ x = x = 1 Vậy phương trình có nghiệm là: x = ; x = 1 Bài tốn 6: Giải phương trình: x 35 x3 x 35 x3 30 * Cách giải: Đặt y = 35 x3 từ ta có hệ: xy x y 30 xy x y 30 x y xy x y 30 3 xy x y 35 x y xy x y 35 x y 125 x x Từ suy ra: y y Vậy phương trình có nghiệm x = x= c) Hệ thống tập luyện tập có hướng dẫn giải Bài tốn 7: Giải phương trình: x 35 x3 x 35 x3 30 Hướng Dẫn: Đặt y 35 x3 x3 y 35 xy ( x y ) 30 , giải hệ ta 3 x y 35 Khi phương trình chuyển hệ phương trình sau: tìm ( x; y ) (2;3) (3;2) Tức nghiệm phương trình x {2;3} Bài tốn 8: Giải phương trình: 1 x x Hướng Dẫn: Điều kiện: x Đặt 1 x u x v 0u 1,0 v 1 u v u v Ta đưa hệ phương trình sau: u v v v Giải phương trình thứ 2: (v 1) v , từ tìm v thay vào tìm 2 2 nghiệm phương trình Bài tốn 9: Giải phương trình sau: x x Hướng Dẫn: Điều kiện: x Đặt a x 1, b x 1(a 0, b 5) ta đưa hệ phương trình sau: a b (a b)(a b 1) a b a b b a SangKienKinhNghiem.net 11 17 2x 2x Bài toán 10: Giải phương trình: 5 x 5 x Hướng Dẫn: Điều kiện: 5 x Đặt u x , v y u , v 10 Vậy x 1 1 x 1 x 1 x x (u v) 10 2uv u v 10 Khi ta hệ phương trình: 4 2 8 2(u v) (u v) 1 u v uv Bài tốn 11: Giải phương trình: 629 x 77 x Hướng Dẫn: ĐK: 77 x 629 u 629 x Đặt (u; v 0) v 77 x u v 8, u v 706 Đặt t = uv t 128t 1695 t 15 t 113 Với t = 15 x = Với t = 113 x = 548 Bài toán 12:Giải phương trình: x3 x x3 x Hướng Dẫn: Với điều kiện: x3 x x3 x (1) u x3 x Đặt Với v > u ≥ v x3 x Phương trình (1) trở thành u + v = Ta có hệ phương trình uv 3 2 v u uv 3 u v u v v u (v u )(v u ) x3 x x3 x x3 x x x SangKienKinhNghiem.net x3 x ( x 1)( x x 2) x (do x x x) Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = {1} 2 Bài tốn 13: Giải phương trình: x x 3 1 x 1 x x (*) Hướng Dẫn: Điều kiện: x0 x0 2 Với điều kiện (*),đặt u x ; v x , với u ≥ 0, v 1 x2 1 u4 Ta có: x v Do dó ta có hệ uv uv u v2 u v uv uv 3 u v 2 2u v u v 2 2u.v 2u v uv uv 2u.v 2u v 2u v 16 u.v 65 9 81 u v 194 u.v 18 u v 194 u.v 18 u v nghiệm phương trình 2 194 0(a ) y y 18 y y 194 0(b) 18 (b) vơ nghiệm (a) có nghiệm SangKienKinhNghiem.net 97 3 1 y1 ; y2 u y u y Do đó: 1 v1 y v y1 1 97 3 Vì u ≥ nên ta chọn u y 1 x 1 97 1 3 x 97 3 97 3 1 Vậy phương trình cho có nghiệm x 1 9 Bài tốn 14: Giải phương trình: 18 x 64 x 97 3 Hướng Dẫn: Với điều kiện 18 18 x x 18 64 x 64 5 64 x x (*) Đặt u 18 x , v 64 x , với u ≥ 0, v ≥ u 18 x v 64 x Suy Phương trình cho tương đương với hệ: uv uv 2 2 u v 82 u v 2(uv) 82 v 0, v v 0, v Đặt A = u + v P = u.v, ta có: S 4 2 S P P 82 P 0, S S 4 S 4 p 32 P 87 P P 29 P0 P0 (1) Với S = 4, P = u v nghiệm phương trình: y 1 y2 y y SangKienKinhNghiem.net u u v v Do ta có: 18 x 18 x 64 x 64 x 18 x 18 x 81 64 x 81 64 x 17 63 thoả mãn (*) x x 5 (2) Với S = 4, P = 29 không tồn u v Suy Vậy phương trình cho có nghiệm là: 17 x1 x 63 4.Kết thực đề tài: Qua việc dạy chuyên đề giải phương trình vơ tỉ hoc sinh lớp 9C trường THCS Nga Tiến nói chung đội tuyển học sinh giỏi nói riêng, sau dạy xong chuyên đề nhận thấy thu số kết + Học sinh không ngại gặp dạng tốn giải phương trình vơ tỉ + Hoc sinh thấy hứng thú mơn tốn đặc biệt giải phương trình vơ tỉ + Học sinh có kỹ giải thành thạo số dạng phương trình vơ tỷ cách đặt ẩn phụ để đưa giải hệ phương trình Kết HSG tốn trường THCS Nga Tiến qua năm từ triển khai đề tài Năm học Số HS Giải tỉnh Giải huyện dự thi Nhất 2012-2013 2013-2014 2014-2015 2015-2016 2016-2017 Nhì Ba KK Nhất Nhì Ba 1 1 2 1 KK 1 III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận: Để gặt hái thành tích cao học tập Học sinh nhân vật trung tâm việc bồi dưỡng đào tạo, nhân tố giữ vai trò định thành công hay thất bại giáo viên làm cơng tác giảng dạy Vì em người học, người thi người đem lại thành tích 10 SangKienKinhNghiem.net Tuy nhiên, để giúp cho học sinh gặt hái thành cơng, địi hỏi em phải có nỗ lực lớn Một tâm học tập hết khả thân Chính vậy, động viên, quan tâm, giúp đỡ lãnh đạo ngành, gia đình em giáo viên lớn Nhất lứa tuổi học sinh lớp 9, đặc điểm tâm lí lứa tuổi em có tác động khơng nhỏ đến việc học tập em Nhận thức rõ điều đó, giáo viên cần phải dành quan tâm lớn đến em, thường xuyên động viên, uốn nắn kịp thời để giúp cho em có tâm lớn công việc học tập Đặc biệt với học sinh tham gia học tập mơn Tốn, mơn học khó, có học sinh lựa chọn tham gia thi mơn Người giáo viên giảng dạy tốn phải người có nhìn tổng qt mơn tốn bậc học mình, phải người giải toán thường xuyên, cặp nhật thường xuyên thuật toán, thủ thuật giải tốn hiệu Nói tóm lại kiến thức thầy phải vững vàng, thầy thực phải người giỏi toán Cần phải lên kế hoạch giảng dạy cách chi tiết, chuẩn mực Cặp nhật thường xuyên kiến thức mà em vừa học để bồi dưỡng ngay, đặc biệt phải kích thích em say sưa học tập, tự giác học tập, phát huy tố chất tốt em để công việc học tập em đạt hiệu cao Trên phương pháp “ Hướng dẫn học sinh lớp giải phương trình vơ tỷ cách đặt ẩn phụ đưa giải hệ phương trình” khn khổ chương trình cấp THCS, mà cụ thể lớp Ngồi phương pháp mà tơi chắt lọc nêu trên, chắn nhiều phương pháp giải khác mà thân tơi, lực cịn hạn chế thời gian nghiên cứu chưa nhiều nên đề tài khơng cịn sơ suất Chính vậy, tơi mong có đóng góp, bổ sung đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện Kiến nghị: Không XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ HIỆU TRƯỞNG Nga Sơn, ngày 12 tháng năm 2017 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Lưu Đức Toàn Mai Văn Tuấn 11 SangKienKinhNghiem.net TÀI LIỆU THAM KHẢO TT Tên tài liệu Tác giả Để học tốt Đại số Lê Hồng Đức Tài liệu chuyên toán THCS-Tốn Vũ Hữu Bình Nâng cao phát triển tốn Vũ Hữu Bình Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS Nguyễn Đức Tấn 12 SangKienKinhNghiem.net DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SKKN ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên: Lưu Đức Tồn Chức vụ đơn vị cơng tác: Phó hiệu trưởng trường THCS Nga Tiến, Nga Sơn TT Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá xếp loại Kết Năm học Giúp học sinh khai thác toán chứng minh hai tam giác chương trình hình học lớp Huyện B 19981999 Hướng dẫn học sinh số phương pháp giải phương trình vơ tỉ Huyện A 20002001 Hướng dẫn học sinh số phương pháp giải phương trình bậc cao Huyện Tỉnh A B 20022003 Hướng dẫn học sinh làm dụng cụ thí nghiệm vật lý từ vật liệu đơn giản Huyện Tỉnh A B 20052006 Hướng dẫn học sinh khắc phục số sai lầm thường mắc phải sử dụng bất đẳng thức cô si Huyện Tỉnh A B 20092010 Một số biện pháp bồi dưỡng đội ngũ giáo viên dạy học sinh giỏi trường THCS Nga Tiến Huyện Tỉnh A C 20112012 Bồi dưỡng kỹ sử dụng kỹ thuật dạy học thông qua việc phát huy vai trị nhóm chun mơn hoạt động dự thăm lớp trường THCS Nga Tiến Huyện B 20122013 Giúp học sinh lớp trường THCS Nga Tiến làm tốt toán số học dạng tìm số thơng qua phương pháp chặn giá trị Huyện Tỉnh A B 20132014 13 SangKienKinhNghiem.net ... sau học giải hệ phương trình tơi mạnh dạn giới thiệu phương pháp “ Hướng dẫn học sinh giải phương trình vơ tỷ cách đặt ẩn phụ đưa giải hệ phương trình, góp phần nâng cao chất lượng bồi dưỡng học. .. để đặt ẩn phụ đưa dạng hệ phương trình hướng dẫn giải chi tiết + Phương pháp đánh giá: Sau tập ( Ví dụ) hướng đẫ em cách đánh giá cách làm phương pháp với phương pháp đặt ẩn phụ đưa giải hệ ,... phương pháp hướng dẫn học sinh giải phương trình vơ tỷ cách đặt ẩn phụ đưa giải hệ phương trình SangKienKinhNghiem.net Các giải pháp: a) Các bước tiến hành: + Bước 1: Hướng dẫn học sinh phân tích