NGUYỄN HỮU ĐIỂN PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC NHÀ XUẤT BẢN KHOA HỌC KỸ THUẬT Hà Nội 2001 LỜI NÓI ĐẦU Trong hoạt động của mình, con người luôn luôn đối mặt với một câu hỏi tìm giá trị cực đại hoặc cực tiểu của một đối tượng hình học nào đó về độ dài, diện tích, bề mặt hoặc thể tích, Ngay trong tự nhiên, những hình có dạng đều, chúng mang những tính chất rất đặc biệt, trong nó chứa ẩn những tính chất ¨cực trị¨ mà các hình khác không có được như tam giác đều, hình vuông, lục[.]
Những ví dụ thực tế
Trong bài toán mở đường, mục tiêu là chọn hướng mở một con đường đi qua một thành phố sao cho tổng khoảng cách từ con đường đến hai điểm dân cư đã có là nhỏ nhất Việc tối ưu hóa khoảng cách này không chỉ giúp tiết kiệm thời gian di chuyển mà còn nâng cao hiệu quả giao thông trong khu vực.
Lời giải Giả sử AC ≥ BC
(C là vị trí thành phố, còn
B và A là vị trí của hai điểm dân cư) Xét điểm D đối xứng với B qua điểm
C (Hình 1.2) Con đường ta cần tìm có thể cắt đoạn
ABtạiE hoặc cắt đoạnAD tạiF.
2) Trường hợp thứ hai: tương tự như phần trên (x là khoảng cách từ A đến CF, y là khoảng cách từ B đến CF), diện tích
S ACD =S AF C +S DF C nghĩa là
Giá trị x+y sẽ nhỏ hơn khi các giá trị CE hoặc CF lớn Độ dài đạt cực đại khi E=F=A, nếu AC lớn hơn BC Trong trường hợp AC, đường đi qua B hoặc A đều có độ dài như nhau.
Kết luận: Con đường phải đi qua điểm dân cư cách thành phố xa
8 Chương 1 Phương pháp bất đẳng thức hơn, còn nếu thành phốCcách đều hai điểm dân cư thì con đường đi qua bất kỳ điểm dân cư nào.
Rất nhiều bất đẳng thức được mô tả tương ứng trong hình học như là các bài toán cực trị J
Ví dụ 1.3 (Bài toán đẳng chu) Từ tất cả các hình chữ nhật với chu vi dã cho, thì hình vuông có diện tích lớn nhất.
Để tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình chữ nhật với chu vi cố định là 2a, ta cần xem xét tổng x + y của hai cạnh Trong khi tổng này là hằng số, diện tích xy lại là một biến số Trung bình cộng của hai cạnh được tính là m = x + y.
2 , ta nhận đượcx=m+d, y=m−d, vì vậy xy= (m+d)(m−d) =m 2 −d 2 = (x+y) 2
Vìd 2 là một số dương nên ta có
2 ở đây dấu bằng chỉ xẩy ra khid= 0hoặc làx=y=m.
Vì x+y cố định, từ đây suy ra√ xy, cũng như diện tíchxy đạt giá trị lớn nhất khix=y J
Bất đẳng thức Côsi có nhiều ứng dụng quan trọng trong việc giải quyết các bài toán thực tế Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét một số bất đẳng thức cần thiết cho các bài toán sau này Đặc biệt, cần lưu ý rằng bất đẳng thức Côsi đạt được sự chính xác khi tất cả các số dương trong đẳng thức đều bằng nhau Kết luận này sẽ giúp chúng ta giải quyết các bài toán cực trị hình học hiệu quả hơn.
Ví dụ 1.4 (Bài toán cổ) Bên cạnh một con sông đào thẳng người ta phải làm một khu vườn hình chữ nhật có diện tích cho trướcS.
Trung bình cộng và trung bình nhân
Người ta muốn rào khu vườn bằng hàng rào ngắn nhất là bao nhiêu, biết rằng về phía sông thì không phải làm hàng rào.
Độ dài của cạnh khu vườn, ký hiệu là x, vuông góc với con kênh Từ đó, độ dài của hàng rào sẽ được tính dựa trên giá trị của x.
Theo bất đẳng thức Côsi ta cóP ≥ r 2x.S x Như vậy P đạt giá trị nhỏ nhất làP min = 2√
2 Từ đây ta cũng tính ra được cạnh kia của hình chữ nhật J
Bài toán đào mương yêu cầu xác định độ dài của đáy lớn của một hình thang cân, trong đó đáy và cạnh bên có cùng độ dài, để tối ưu hóa diện tích mặt cắt ngang Mục tiêu là tìm ra kích thước tối ưu để diện tích mặt cắt lớn nhất, từ đó đảm bảo khả năng thoát nước hiệu quả nhất.
Lời giải.(Bạn đọc tự vẽ hình) Đặtxlà độ dài của hình chiếu cạnh bên hình thang xuống đáy lớn (bề rộng mương) Khi đó
3(a+x)(a+x)(a+x)(3a−3x), 0< x < a áp dụng bất đẳng thức Côsi trên hai lần với các sốa+x, a+x, a+x, 3a−3xta tìm đượcS max = 3√
2 như vậy cạnh lớn của hình thang có chiều dài2a, góc nhọn của nó là60 ◦ J
1.2 TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN
Giải một bài toán hình học cực trị theo nguyên tắc luôn luôn có thể đưa về chứng minh bất đẳng thức đại số, trong đó giá trị
Chương 1 trình bày phương pháp bất đẳng thức nhỏ nhất, hay còn gọi là giá trị lớn nhất, như một lời giả cho bài toán Nhiều bất đẳng thức tương ứng với các bài toán cực trị trong hình học Việc chứng minh bất đẳng thức Côsi có thể thực hiện bằng nhiều phương pháp khác nhau, và trong bài viết này, chúng tôi sẽ tiến hành chứng minh theo cách hình học.
1 Hãy chứng minh với bất kỳ hai số dương a1 ≥ 0, a2 ≥ 0 a 1 +a 2
2 ≥√ a1a2 đẳng thức chỉ xẩy ra khi và chỉ khia1=a2.
Chứng minh:(Hình1.3) Với hai số dương a1 và a2 ta lấy nửa đường tròn tâm O và đường kính AB với độ dài đường kính là
E D a- 1 a 2 Hình 1.3. và OE vuông góc với AB cắt đường tròn lần lượt tại D và E
2 Từ hình tam giác vuông ABD ta có |CD| = p
|AC|.|CB| = √ a 1 a 2 hoặc là |CD|là trung bình nhân, còn |OE| là trung bình cộng của hai số a1 và a2 Từ
|OE| ≥ |CD|, đẳng thức chỉ xẩy ra khi C ≡ O(a1 = a2), suy ra a 1 +a 2
2.Cho hai số dươnga 1 vàa 2 Hãy chứng minh ra 2 1 +a 2 2
+ 1 a2 các đẳng thức chỉ xẩy ra khia 1 =a 2
1.2 Trung bình cộng và trung bình nhân 11
Các bất đẳng thức trên lần lượt là trung bình tổng bình phương, trung bình cộng, trung bình nhân, trung bình điều hoà
Chứng minh rằng với nửa đường tròn tâm O và đường kính |BC| = a1 - a2, ta chọn điểm A trên đường kéo dài của đường kính BC sao cho |CA| = a2 Tiếp theo, vẽ AE là tiếp tuyến của đường tròn, và thiết lập OD và EF vuông góc với BC.
Từ tam giác vuôngAOE ta biểu diễn
Từ tam giác vuôngAODta lại có
12 Chương 1 Phương pháp bất đẳng thức
Như vậy|AO|là trung bình cộng,|AE|là trung bình nhân,|AD|là trung bình bình phương,|AF|là trung bình điều hoà của hai sốa1 vàa2.
Từ|AD|>|AO|>|AE|>|AF|suy ra bất đẳng thức ra 2 1 +a 2 2
Dễ dàng kiểm tra vớia1=a2 >0ta có những đẳng thức sau: ra 2 1 +a 2 2
Ta minh hoạ bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân theo cách khác.
3 Cho hình thangABCD có các cạnh đáy là AB =a, CD = bvà đường chéo cắt nhau tạiO (Hình1.5) Chứng minh rằng a.KLlà đường trung bình của hình thang, thìKL= a+b
2 b EF là đường đi quaO và song song với các đáy hình thang, thì
. c.GHlà đường song song với đáy và chia hình thang thành hai hình đồng dạng, thìGH =√ ab. d M N là đường song song với đáy và chia hình thang thành hai
1.2 Trung bình cộng và trung bình nhân 13 phần diện tích bằng nhau, thìM N ra 2 +b 2
Chứng minh a Dễ thấyKL là tổng của hai đường trung bình của hai tam giác có đáy AB và
DC. b Từ hai tam giác đồng dạng
AOE và ACDta có EO b = AO
Từ hai tam giác đồng dạng BF O vàBCDta có F O b = AO
AC = a a+b, vậyEO= ab a+b Suy ra
1 a+ 1 b c Từ hình thang GHCD đồng dạngABHG ta có GH a = b
Từ công thức GH = √ab, ta có thể suy ra rằng khi kéo dài cạnh bên AD và BC cắt nhau tại điểm P, sẽ tạo ra các tam giác đồng dạng MNP, DCP và ABP Đặt S_MNCD = S1 và S_DCP = S2, từ đó có thể áp dụng tính chất của các tam giác đồng dạng để phân tích thêm.
Tương tự từ sự đồng dạng củaM N P vàABP có
14 Chương 1 Phương pháp bất đẳng thức
Trong (1.1) thay S 2 ta nhận được
2M N 2 −b 2 = M N 2 a 2 Từ đó suy raM N ra 2 +b 2
Từ những bất đẳng thức trên ta đưa ra một số hệ quả mà rất hay được dùng trong chứng minh các bài toán cực trị trong hình học.
I Nếua1+a2 =klà một hằng số, thì a) tícha 1 a 2 có giá trị lớn nhất bằng k 2
4 vớia 1 =a 2 ; b) tổnga 2 1 +a 2 2 có giá trị nhỏ nhất bằng k 2
II Nếua1a2=klà một hằng số, thì a) tícha 1 +a 2 có giá trị nhỏ nhất bằng2√ kvớia 1 =a 2 ; b) tổnga 2 1 +a 2 2 có giá trị nhỏ nhất bằng 2k
2 vớia1=a2; III Nếua 2 1 +a 2 2 =klà một hằng số, thì a) tícha1a2 có giá trị lớn nhất bằng k
2 vớia1=a2;b) tổnga 1 +a 2 có giá trị nhỏ nhất bằng√
Dùng trung bình cộng và trung bình nhân
Phần này bạn đọc tự vẽ lấy hình theo chỉ dẫn, vì không thể vẽ hết ra đây và những hình trong các bài tập sau rất đơn giản.
Khối lăng trụ có diện tích xung quanh lớn nhất trong tất cả các khối lăng trụ nội tiếp trong hình chóp nón khi chiều cao của nó bằng nửa chiều cao của hình chóp nón Điều này chứng minh rằng việc tối ưu hóa kích thước của khối lăng trụ sẽ mang lại diện tích xung quanh tối đa, tạo ra sự tương quan chặt chẽ giữa chiều cao và diện tích của các hình khối này.
1.3 Dùng trung bình cộng và trung bình nhân 15
Lời giải Ta ký hiệur vàh là độ dài bán kính đáy và chiều cao của lăng trụ, cònRvàHlà bán kính đáy và chiều cao của hình chóp nón
(những đại lượng của hình chóp cố định) Khi đó ta có R r = H
H(H−h), và diện tíchScủa mặt xung quanh lăng trụ ta có
Hh(H−h), 0< h < H áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai sốhvàH−h, như Hệ quả I a) ta nhận đượcS max = 1
Trong một hình cầu, tất cả các khối trụ tròn nội tiếp đều có thể được phân tích để tìm ra hình trụ tròn có chiều cao gấp hai lần bán kính đáy của nó Hình trụ này sẽ có chu vi xung quanh lớn nhất so với các hình trụ khác Việc chứng minh điều này không chỉ giúp hiểu rõ hơn về hình học không gian mà còn khẳng định tính tối ưu của hình trụ trong các bài toán liên quan đến hình cầu.
Để tính diện tích xung quanh của hình trụ nội tiếp hình cầu, ta sử dụng công thức S = 2πrh, trong đó r là bán kính đáy và h là chiều cao của hình trụ Theo bất đẳng thức Côsi, với điều kiện r² + h² = R² (R là bán kính của hình cầu), ta có thể suy ra rằng h = 2r Từ đó, diện tích xung quanh của hình trụ đạt giá trị tối đa là Smax = 2πR².
Trong tất cả các hình chữ nhật có độ dài đường chéo đã cho, hãy xác định hình chữ nhật có diện tích lớn nhất và hình chữ nhật có chu vi lớn nhất.
Lời giải.Nếu ký hiệux vày là độ dài các cạnh của hình chữ nhật, diện tích và chu vi của nó sẽ là
S=xy, P = 2(x+y) a) Ta cóx 2 +y 2 =d 2 , áp dụng hệ quả III.b) ta cóx =y√ 2
2d 2 , nghĩa là hình vuông có diện tích lớn nhất.
Để tối đa hóa chu vi của hình chữ nhật, diện tích của nó cũng cần đạt giá trị lớn nhất Theo công thức tính chu vi, ta có P = 2(d² + 2xy) = 4(d² + 2S) Kết quả cho thấy hình chữ nhật tối ưu chính là hình vuông, từ đó cho ra Pmax = 2√.
Ví dụ 1.9 Trong tất cả các hình nón ngoại tiếp hình cầu bán kính r, hãy tìm hình chóp nón có thể tích nhỏ nhất.
Lời giải Đặt 2α độ lớn của góc giữa đường sinh của hình nón và đáy của nó Khi đó ta có
3πr 3 1 tg 2 α(1−tg 2 α),0< α 0)là nhỏ nhất Sử dụng hệ quả II.a) chox 2 và Q 2 x 2 ta tìm đượcSmin= 2(1+2√
Q, nghĩa là khi đáy của hình hộp là hình vuông J
Ví dụ 1.15 Hãy tìm đoạn thẳng ngắn nhất, mà nó chia một tam giác ra hai phần diện tích bằng nhau.
Các bước phương pháp bất đẳng thức
Để giải bài toán, đầu tiên chúng ta xác định đoạn thẳng ngắn nhất cắt hai cạnh của góc α, tạo ra tam giác có diện tích S đã cho Tiếp theo, chúng ta vẽ một đường thẳng bất kỳ cắt các cạnh của góc, tạo thành tam giác với diện tích S Gọi x và y lần lượt là độ dài của các đoạn trên cạnh của góc, còn m là độ dài của đoạn thẳng bị chặn bởi hai cạnh của góc.
Từ định lý Côsinm 2 =x 2 +y 2 −2xycosα Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta nhận đượcm 2 ≥2xy(1−cosα) Nhưng vì2S =xysinα, suy ram 2 ≥4S(1−cosα) sinα = 4Stgα
2. Suy ra đoạn ngắn nhất với tính chất ta cần tìm có độ dài m 2 = 4Stgα
2 Cuối cùng lời giả của bài toán là : đoạn ngắn nhất có độ dài2 r
2, ở đâyS là diện tích của tam giác, cònα là góc nhỏ nhất trong tam giác đó J
1.4 CÁC BƯỚC PHƯƠNG PHÁP BẤT ĐẲNG THỨC
1 Đặt các đại lượng tương ứng của đối tương hình học thành các biến số theo yêu cầu bài toán.
2 Tìm mối liên hệ những đại lượng vừa gán trên bằng những tính chất hình học của từng đối tượng.
3 Áp dụng bất đẳng thức cho mối liên hệ vừa thiết lập.
4 Từ bất đẳng thức ta rút ra kết luận về giá trị nhỏ nhất (hoặc
20 Chương 1 Phương pháp bất đẳng thức lớn nhất).
Bất đẳng thức cơ bản
Để áp dụng hiệu quả phương pháp bất đẳng thức, cần khéo léo biến đổi các đại lượng hình học thành những biến số, từ đó sử dụng kiến thức hình học để xác định mối liên hệ giữa chúng dưới dạng biểu thức đại số Tiếp theo, chúng ta sẽ áp dụng các bất đẳng thức cần thiết để giải quyết bài toán.
Bất đẳng thức Côsi phát biểu rằng tổng các số x1, x2, , xn chia cho n luôn lớn hơn hoặc bằng căn bậc hai của tích các số đó, tức là x1 + x2 + + xn / n ≥ √(x1x2 xn) với mọi x1, x2, , xn ≥ 0 Đẳng thức chỉ xảy ra khi tất cả các số x1, x2, , xn bằng nhau Phía bên trái của bất đẳng thức được gọi là trung bình cộng, trong khi phía bên phải là trung bình nhân của các số.
2 Bất đẳng thức Côsi - Bulnhiakovski - Svars:
(x1y1+x2y2+ +xnyn) 2 ≤(x 2 1 +x 2 2 + +x 2 n )(y 1 2 +y 2 2 + +y 2 n ) với những số thực bất kỳ x1, x2, , xn, y1 6= 0, y 2 6= 0, , y n 6= 0. Đẳng thức chỉ đạt được khi x1 y 1 = x2 y 2 = = xn y n
3 Bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình bình phương:
(x1+x2+ +xn n ) 2 ≤ x 2 1 +x 2 2 + +x 2 n n Đẳng thức xẩy ra khix 1 =x 2 = =x n
Ví dụ áp dụng phương pháp bất đẳng thức
với mọi số thứca1, a2, , an, b1, b2, , bn, c1, c2, , cnđẳng thức chỉ xẩy ra khia1:b1: :c1=a2 :b2 : :c2= =an:bn: :cn
Bất đẳng thức Minkovski có ý nghĩa hình học quan trọng, cho rằng trong tất cả các đường gấp khúc nối hai điểm cho trước, đoạn đường thẳng nối hai điểm này là ngắn nhất Cụ thể, cho O là điểm đầu của hệ tọa độ vuông góc trong không gian và Ai (1 ≤ i ≤ n) là các điểm có tọa độ Ai(a1+ +an, b1+ +bn, , c1+ +cn), bất đẳng thức Minkovski có thể được diễn đạt một cách tương đương với các điều kiện trên.
1.6 VÍ DỤ ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP BẤT ĐẲNG THỨC
Chứng minh rằng trong một tam giác vuông, nếu tổng độ dài của cạnh huyền và một cạnh góc vuông là một số cố định, thì diện tích của tam giác sẽ đạt giá trị lớn nhất khi góc kẹp giữa hai cạnh này bằng 60 độ.
Lời giải.Lấyxlà độ dài của một cạnh góc vuông, cònk−xsẽ là độ dài cạnh huyền Khi đóS = 1
2 Như vậy, ta áp dụng bất đẳng thức Côsi cho x, x, k−2x, vàSđạt lớn nhất khix= k
Ví dụ 1.17 Trên nửa đường tròn đường kính AB = 2R, hãy tìm điểmC trên đường tròn sao cho tích|AC|.|CD| (vớiCD ⊥ AB) có giá trị lớn nhất.
22 Chương 1 Phương pháp bất đẳng thức
Lời giải.ĐặtABC\=α Khi đó ta tìm
|AC|.|CD|=f(α) = 4R 2 sin 2 α.cosα hoặc là f 2 (α) = 16R 4 sin 4 αcos 2 α= 64R 4 sin 2 α
3 ) 3 đẳng thức xẩy ra khisinα√6
Trong số tất cả các tam giác có cùng chu vi \(2p\) và độ dài một cạnh \(a\), tam giác có diện tích lớn nhất là tam giác đều Diện tích của tam giác này đạt giá trị tối đa khi các cạnh của nó bằng nhau.
Lời giải cho bài toán tam giác có độ dài cạnh x được xác định, trong đó cạnh thứ ba là 2p−a−x Diện tích tam giác được tính bằng công thức S = p p(p−a)(a−p+x)(p−x), hoặc S^2 = p(p−a)(a−p+x)(p−x) với điều kiện 0 < x < p−a Bằng cách áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số a−p+x và p−x, ta tìm ra giá trị diện tích tối đa Smax = 1.
2 nghĩa là một tam giác cân.
2(p−a) Ta lại áp dụng bất đẳng thức Côsi cho a
3 , nghĩa là một tam giác đều J
Trong một mảnh hình tròn được cắt bởi một dây cung, nhiệm vụ là xây dựng một hình chữ nhật nội tiếp có diện tích lớn nhất Việc tối ưu hóa diện tích hình chữ nhật này không chỉ đòi hỏi sự hiểu biết về hình học mà còn cần áp dụng các phương pháp tính toán hợp lý để đạt được kết quả tối ưu.
1.6 Ví dụ áp dụng phương pháp bất đẳng thức 23
Lời giải.(Hình1.7) Đặt|OE|=r,|OH|=a,|OK|=x,|KF|=y, y = √ r 2 −x 2 Diện tích của hình chữ nhật CDEF là
S = 2y(x−a) = 2(x−a)√(r² − x²), hay S² = (x−a)²(r² − x²) Để áp dụng bất đẳng thức Côsi, cần thêm hai biến mới α và β sao cho (x−a) + (x−a) + α(x+r) + β(r−x) không phụ thuộc vào x Điều này có nghĩa là chọn α và β sao cho 2 + α − β = 0.
Khi đó tích (x−a)(x−a)α(x+r)β(r−x) lớn nhất (Bất đẳng thức Côsi) vớix−a=α(r+x) =β(r−x)từ các đẳng thức này loại trừαvàβ ta nhận đượcx= a±√ a 2 + 8r 2
Hai giá trị của x tương ứng tồn tại hai hình chữ nhật, nội tiếp mảnh hình tròn đối nhau bởi dây cung Điều kiện |x| < r dẫn đến
|a±√ a 2 + 8r 2 | R) được nhúng vào bình Để tối đa hóa lượng nước tràn ra ngoài, cần xác định kích thước của a và b.
1.6 Ví dụ áp dụng phương pháp bất đẳng thức 27
Chiều cao của phần hình hộp nhúng vào nước được ký hiệu là x, và thể tích nước tràn ra tương ứng là Vx Mặt đáy của hình hộp sẽ cắt mặt phẳng của bình tạo thành một đường tròn có bán kính r = √.
R 2 −x 2 , trong nó nội tiếp hình chữ nhật với kích thước a và b Như vậy a 2 +b 2 = 4r 2 = 4(R 2 −x 2 )và như vậyx = 1
√4R 2 −a 2 −b 2 Từ bất đẳng thức Côsi
, trở thành đẳng thức khia=b= 2R√
3 Trong trường hợp này tràn nhiều nước nhất J
Hình chữ nhật với chiều dài 1 và chiều rộng d được chia thành 4 hình chữ nhật bởi hai đường thẳng vuông góc Trong số này, ba hình chữ nhật có diện tích không nhỏ hơn 1, trong khi hình chữ nhật thứ tư có diện tích khác.
4 không nhỏ hơn 2 Hãy tìm sốdnhỏ nhất có thể.
S3 vàS4 là diện tích của các hình chữ nhật sao cho S1, S2, S3 ≥ 1 vàS4 ≥2 Khi đóS1S4 =S2S3 và
2 Hình chữ nhật với cạnh1và3+2√
2có thể chia theo hình vẽ J
Ví dụ 1.25 Giả sửA 1 , B 1 vàC 1 là chân những đường cao, hạ từM thuộc đáyABC trong tứ diệnDABC, tới các mặt bênBCD, ACD
28 Chương 1 Phương pháp bất đẳng thức vàABD Vị trí củaM như thế nào để tứ diệnM A1B1C1có thể tích lớn nhất ?
Lời giải cho bài toán này bắt đầu bằng việc cố định điểm M0 trên mặt phẳng ABC và xác định A0, B0, C0 là chân các đường vuông góc từ M0 xuống các mặt BCD, ACD và ABD Đặt V0 và V là thể tích của các tứ diện M0A0B0C0 và M1A1B1C1, với x = |MA1|, y = |MB1|, z = |MC1| Do các góc tại các đỉnh M0 và M trong các tứ diện này bằng nhau, ta có thể rút ra các mối quan hệ giữa các thể tích và các cạnh tương ứng.
Bài tập
1.26 Chứng minh rằng trong tất cả các hình hộp bình hành với thể tích đã cho thì hình lập phương có diện tích bề mặt nhỏ nhất.
1.27 Trong tất cả khối tứ diện mà đỉnh 3 mặt tam diện vuông và cho tổng độ dài 6 cạnh, hãy tìm khối tứ diện có thể tích lớn nhất.
1.28 Cho mặt phẳngαvà hai điểmAvàBở hai phía củaα Qua
AvàBhãy dựng hình cầu, mà nó cắt mặt phẳngαmột đường tròn nhỏ nhất.
Trong tam giác ABC, cho điểm X và ký hiệu x, y, z là khoảng cách từ X đến các cạnh BC, CA và AB Để tìm vị trí của điểm X sao cho tổng a) a x + b y + c z đạt giá trị nhỏ nhất; b) ha x + hb y + hc z cũng đạt giá trị nhỏ nhất.
Trong tứ diện ABCD, với một điểm bất kỳ X, ký hiệu d1, d2, d3 và d4 lần lượt là khoảng cách từ X đến các cạnh của tứ diện Câu hỏi đặt ra là: Vị trí nào của X sẽ khiến tích d1 d2 d3 d4 đạt giá trị cực đại?
1.31 Cho một góc tam diện có đỉnh tạiO và một sốa Hãy tìm những điểmA, BvàC(trên các cạnh của tam diện) sao cho
|OA|+|OB|+|OC|=a và thể tích của tứ diệnOABC là lớn nhất.
Từ điểm M trong góc tam diện tại đỉnh O, vẽ mặt phẳng α cắt các cạnh tại các điểm A, B và C Để tìm vị trí của mặt phẳng α sao cho tích |OA| p |OB| q |OC| r nhỏ nhất, cần phân tích mối quan hệ giữa các đoạn thẳng và các hệ số p, q, r Việc tối ưu hóa tích này sẽ giúp xác định vị trí lý tưởng cho mặt phẳng α trong không gian.
Phương pháp bất đẳng thức
PHƯƠNG PHÁP PHÉP BIẾN HÌNH
2.1 Bài toán thực tế 30 2.2 Các bước phương pháp phép biến hình 36 2.3 Một số kiến thức về phép biến hình 36 2.4 Áp dụng phương pháp phép biến hình 39 2.5 Bài tập 50
Các ví dụ dưới đây minh họa sự kết hợp giữa phương pháp phân tích hình học và bất đẳng thức, đồng thời áp dụng các phép biến đổi hình học cơ bản để giải quyết các bài toán cực trị hình học.
Bài toán trạm cấp nước yêu cầu xác định vị trí tối ưu để xây dựng trạm xử lý nước dọc theo bờ sông, nhằm cung cấp nước cho hai điểm dân cư cùng phía Mục tiêu là tối thiểu hóa độ dài đường ống dẫn nước từ trạm đến hai điểm dân cư Việc lựa chọn vị trí thích hợp không chỉ tiết kiệm chi phí mà còn nâng cao hiệu quả cung cấp nước.
Trong thực tế, đường ngắn nhất giữa hai điểm dân cư là đường thẳng Tuy nhiên, bài toán đặt ra là tìm đường ống nối hai điểm dân cư có dòng sông Do đó, đường ống cần được thiết kế phù hợp với địa hình và điều kiện thực tế.
Bài toán thực tế 31 đường gấp khúc liên quan đến hai điểm dân cư nằm ở hai bên bờ sông Trong trường hợp này, bài toán trở nên đơn giản hơn, vì đường nối giữa hai điểm sẽ cắt dòng sông, và điểm cắt đó chính là vị trí của trạm xử lý nước.
Bài toán liên quan đến hai điểm dân cư nằm cùng một phía bờ sông Dựa trên gợi ý từ trường hợp trước, trong thiết kế, chúng ta giả định một điểm dân cư sẽ được chuyển sang bên kia bờ sông Câu hỏi đặt ra là vị trí nào cho điểm dân cư mới ở bên kia sông là thích hợp nhất? Để đảm bảo tính chất của điểm dân cư, vị trí chuyển sang cần có khoảng cách phù hợp.
Hình 2.1. cách từ đó đến dòng sông là như nhau Hay nói cách khác ta lấy điểm đối xứng của một điểm dân cư (Hình2.1).
Trong bài viết này, chúng ta có hai điểm dân cư A và B, với điểm C là đối xứng của B qua dòng sông Đường nối A và C cắt dòng sông tại điểm D, nơi đặt trạm xử lý nước Đáng chú ý, đối với mọi điểm E khác trên bờ sông, tổng chiều dài ống dẫn nước AE + EB + EC luôn lớn hơn chiều dài đường thẳng AC, cho thấy sự hiệu quả của việc đặt trạm tại điểm D.
Mấu chốt giải bài toán là sử dụng phép đối xứng qua trục trong hình học, một phương pháp đã được Hêrông phát hiện từ lâu Đường đi từ các điểm dân cư tới nhà máy xử lý nước tạo với dòng sông các góc bằng nhau, tương tự như cách tia sáng tới và tia sáng phản xạ tạo góc bằng nhau với mặt phẳng phản xạ Phương pháp này không chỉ là lời giải tối ưu mà còn có nhiều ứng dụng thực tiễn.
32 Chương 2 Phương pháp phép biến hình
Trong bài toán trạm cấp xăng, có một bãi đỗ ô tô của xí nghiệp vận tải nằm gần giao điểm giữa đường quốc lộ và đường ống dẫn dầu, tạo thành một góc nhỏ hơn 45 độ Mục tiêu là xác định vị trí tối ưu để xây dựng trạm cung cấp xăng trên đường ống, nhằm giúp các xe xuất phát từ bãi đỗ lấy xăng và ra đường quốc lộ với quãng đường ngắn nhất.
Điểm dân cư A và điểm lối thoát ra đường quốc lộ đều nằm cùng phía với đường ống dẫn dầu Tương tự như trong bài trước, chúng ta xác định điểm B đối xứng của A qua đường ống dẫn dầu (Hình 2.2).
Từ điểm B, hạ một đường vuông góc xuống quốc lộ sẽ cắt đường ống dẫn dầu tại điểm D, với chân đường vuông góc tại điểm C Điểm D là vị trí xây dựng trạm cung cấp xăng và đường.
AD+DClà con đường ngắn nhất ta phải mở Thật vậy,Elà điểm bất kỳ trên đường ống dẫn dầu, thì ta
Hình 2.2. luôn cóAE+EC 0 +EC 0 > BD+DC(do BC là đường thẳng ngắn nhất từBđến đường quốc lộ) J
Trong các trường hợp này, chúng ta coi các dòng sông, đường ống dẫn dầu và đường quốc lộ là không có bề rộng, do đó không cần phải xem xét yếu tố này trong quá trình giải quyết Hãy xem xét một ví dụ khác để làm rõ hơn.
Bài toán vị trí cầu qua sông rộng yêu cầu xác định vị trí tối ưu để xây cầu nối hai khu dân cư nằm ở hai bên bờ sông Mục tiêu là giảm thiểu quãng đường di chuyển giữa hai điểm dân cư, với cầu được xây dựng vuông góc với bờ sông Việc lựa chọn vị trí cầu hợp lý sẽ giúp tối ưu hóa lộ trình và tiết kiệm thời gian di chuyển cho người dân.
Giả sử hai bờ sông tạo thành hai đường thẳng song song, nếu dòng sông không có bề rộng thì bài toán sẽ rất đơn giản, chỉ cần nối hai điểm dân cư lại Điều này gợi ý cho chúng ta cách bỏ qua bề rộng của dòng sông Trong thiết kế, người ta có thể di chuyển một trong hai thành phố về phía bờ sông một đoạn bằng chiều rộng của dòng sông, tức là coi dòng sông không còn bề rộng nữa.
Giả sử ta tịnh tiến về phía bờ sông điểm dân cư B tới C một đoạn bằng chiều rộng của dòng sông TừC nối với
Tại điểm D, một đầu cầu được xác định, và từ D, một đường vuông góc được kẻ sang bên kia bờ sông, cắt tại điểm E, tạo thành một đầu cầu kết nối hai bờ.
B Ta phải chứng tỏ lộ trình ADEB là ngắn nhất Thật vậy, đối với mọi vị trí
Hình 2.3. cầu ở chỗ khácF Gta có
AF +F G+GB+F C+F G > AC +F G+DC+DE
+DE+EB chỉ ra rằng các lộ trình khác sẽ dài hơn Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sử dụng các phép đối xứng qua trục và phép tịnh tiến để di chuyển điểm dân cư Dưới đây là một ví dụ minh họa cho phương pháp này.
Phương pháp phép biến hình
Bài toán thực tế
Các ví dụ dưới đây minh họa sự kết hợp giữa phương pháp phân tích hình học và bất đẳng thức Việc áp dụng các phép biến đổi hình học cơ bản giúp giải quyết các bài toán cực trị trong hình học một cách hiệu quả.
Trong bài toán trạm cấp nước, có hai khu dân cư nằm cạnh một dòng sông, và mục tiêu là xây dựng một trạm cung cấp nước từ dòng sông cho cả hai khu vực này Để tối ưu hóa, cần xác định vị trí đặt trạm xử lý nước trên bờ sông sao cho chiều dài đường ống dẫn nước tới hai khu dân cư là ngắn nhất.
Trong thực tế, đường ngắn nhất giữa hai điểm dân cư là đường thẳng Tuy nhiên, bài toán đặt ra là tìm đường ống nối hai điểm dân cư qua một con sông Do đó, đường ống cần được thiết kế phù hợp để vượt qua trở ngại này.
2.1 Bài toán thực tế 31 đường gấp khúc Giả sử hai điểm dân cư ở hai phía khác nhau của bờ sông thì bài toán trở lên quá dễ, vì đường nối hai điểm có cắt dòng sông và điểm cắt đó chính là trạm sử lý nước.
Bài toán đặt ra là xác định vị trí thích hợp cho một điểm dân cư khi chuyển từ bờ sông này sang bờ sông kia Để đảm bảo tính chất của điểm dân cư, cần xem xét khoảng cách và điều kiện địa lý của khu vực chuyển đổi.
Hình 2.1. cách từ đó đến dòng sông là như nhau Hay nói cách khác ta lấy điểm đối xứng của một điểm dân cư (Hình2.1).
Trong bài viết này, chúng ta xem xét hai điểm dân cư A và B, cùng với điểm C đối xứng với B qua dòng sông Đường nối AC cắt dòng sông tại điểm D, nơi đặt trạm xử lý nước Đáng chú ý, với mọi điểm E khác trên bờ sông, tổng chiều dài ống dẫn AE + EB + EC luôn lớn hơn chiều dài đường thẳng AC.
Mấu chốt của bài toán là sử dụng phép đối xứng qua trục trong hình học, một phương pháp đã được Hêrông nghiên cứu từ lâu Đường đi từ các điểm dân cư tới nhà máy xử lý nước tạo với dòng sông các góc bằng nhau, tương tự như nguyên lý tối ưu của tia sáng Cả tia sáng tới và tia sáng phản xạ đều tạo một góc bằng nhau với mặt phẳng phản xạ Do đó, cách giải này không chỉ điển hình mà còn có nhiều ứng dụng thực tiễn.
32 Chương 2 Phương pháp phép biến hình
Trong bài toán trạm cấp xăng, có một bãi đỗ ô tô của xí nghiệp vận tải nằm tại giao điểm giữa đường quốc lộ và đường ống dẫn dầu, với góc cắt nhỏ hơn 45 độ Mục tiêu là xác định vị trí tối ưu để xây dựng trạm cung cấp xăng trên đường ống, nhằm đảm bảo các xe xuất phát từ bãi đỗ có thể lấy xăng và ra quốc lộ với quãng đường ngắn nhất.
Điểm dân cư A và điểm lối thoát ra đường quốc lộ nằm cùng một phía với đường ống dẫn dầu Tương tự như trong bài trước, chúng ta sẽ lấy điểm B đối xứng của A qua đường ống dẫn dầu (Hình 2.2).
Từ điểm B, hạ một đường vuông góc xuống quốc lộ sẽ cắt đường ống dẫn dầu tại điểm D, với chân đường vuông góc tại điểm C Điểm D là vị trí xây dựng trạm cung cấp xăng và đường.
AD+DClà con đường ngắn nhất ta phải mở Thật vậy,Elà điểm bất kỳ trên đường ống dẫn dầu, thì ta
Hình 2.2. luôn cóAE+EC 0 +EC 0 > BD+DC(do BC là đường thẳng ngắn nhất từBđến đường quốc lộ) J
Trong các trường hợp này, chúng ta coi các dòng sông, đường ống dẫn dầu và đường quốc lộ là không có bề rộng, vì vậy khi giải quyết vấn đề, chúng ta không cần chú ý đến yếu tố này Hãy xem xét một ví dụ khác.
Để tối ưu hóa quãng đường giữa hai điểm dân cư nằm ở hai bờ sông rộng, cần xác định vị trí xây cầu sao cho cầu được đặt vuông góc với bờ sông Việc này giúp giảm thiểu khoảng cách di chuyển giữa hai khu dân cư qua cầu, từ đó tạo ra lộ trình ngắn nhất và thuận tiện nhất cho người dân.
Trong bài toán này, giả sử hai bờ sông tạo thành hai đường thẳng song song Nếu dòng sông không có bề rộng, việc nối hai điểm dân cư sẽ rất đơn giản Điều này gợi ý cho chúng ta cách bỏ qua bề rộng của dòng sông Trong thiết kế, người ta có thể chuyển một trong hai thành phố về phía bờ sông một đoạn bằng chiều rộng của dòng sông, từ đó coi dòng sông như không còn bề rộng nữa.
Giả sử ta tịnh tiến về phía bờ sông điểm dân cư B tới C một đoạn bằng chiều rộng của dòng sông TừC nối với
Tại điểm D, một đầu cầu được xác định, từ đó kẻ một đường vuông góc cắt bờ sông bên kia tại điểm E, tạo thành một đầu cầu kết nối hai bờ.
B Ta phải chứng tỏ lộ trình ADEB là ngắn nhất Thật vậy, đối với mọi vị trí
Hình 2.3. cầu ở chỗ khácF Gta có
AF +F G+GB+F C+F G > AC +F G+DC+DE
+DE+EB là các lộ trình có độ dài tối thiểu, trong khi các lộ trình khác chỉ có thể dài hơn Để giải quyết các bài toán liên quan, chúng ta sử dụng các phép đối xứng qua trục và phép tịnh tiến để di chuyển điểm dân cư Dưới đây là một ví dụ minh họa cho phương pháp này.
Các bước phương pháp phép biến hình
1 Dùng một phép biến hình biến đổi một phần của dữ kiện bài toán đến vị trí mới thích hợp.
2 Phân tích và so sánh hệ thống đối tượng mới hình thành, tìm ra mối liên hệ và lời giải cho đòi hỏi của bài toán.
3 Dựa vào tính chất của phép biến đổi hình học ta chứng minh hoặc xây dựng được kết quả lời giải của bài toán ban đầu.
Một số kiến thức về phép biến hình
Trong phần này, chúng ta sẽ ôn lại một số kiến thức cần thiết, chỉ giới hạn trên mặt phẳng, nhưng những khái niệm này cũng có thể áp dụng tương tự trong không gian Các bạn có thể tự nghiên cứu và tìm kiếm thêm sách tham khảo về chuyên đề này để mở rộng hiểu biết của mình.
1 Phép dời hình: Một phép biến hìnhf trong mặt phẳngP được gọi làmột phép dời hình, nếu trong mặt phẳngP với hai điểm bất kỳM, N và hai ảnh lần lượt của chúng làM 0 =f(M), N 0 =f(N) ta luôn có|M 0 N 0 |=|M N|.
Phép dời hình có những tính chất quan trọng như sau: nó biến một đường thẳng thành một đường thẳng, một tia thành một tia, và một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó Ngoài ra, phép dời hình còn có khả năng biến một tam giác thành một tam giác bằng nó, biến một góc thành một góc bằng, và biến đường tròn này thành đường tròn khác, giữ nguyên tâm của các đường tròn tương ứng.
2.3 Một số kiến thức về phép biến hình 37
2 Định nghĩa một số phép dời hình cơ bản
Phép đối xứng qua một trục là quá trình biến đổi mỗi điểm M thành điểm M 0 thông qua một đường thẳng cố định d, sao cho đoạn thẳng M M 0 nằm trong cùng mặt phẳng và vuông góc với d Hình thức biến đổi này được gọi là phép đối xứng qua trục.
- Phép đối xứng qua tâm: Trong mặt phẳng cho điểm O cố định, phép biến hình biến mỗi điểmM thành một điểmM 0 sao cho
Olà trung điểm củaM M 0 gọi làphép đối xứng tâmO(Hình2.6b).
- Phép tịnh tiến:Cho một véc tơ
→v , phép biến hình biến mỗi điểmM thànhM 0 sao cho −−−→
M M 0 = −→v gọi là phép tịnh tiến theo véc tơ−→v Véc tơ
→v gọi là véc tơ tịnh tiến (Hình2.7).
- Phép quay:Cho điểmOcố định và một góc định hướng α (góc định
Hình 2.7. hướng có số đo dương là góc từ cạnh thứ nhất đến cạnh thứ hai của góc đi ngược chiều kim đồng hồ).
Một phép quay tâm O với góc quay α là một phép biến hình sao cho a) biến điểmO thành chính nó;
38 Chương 2 Phương pháp phép biến hình b) biến mỗi M thành điểm M 0 sao cho OM = OM 0 và góc định hướng(−−→
3 Tính chất những phép dời hình cơ bản
1 Những phép đối xứng qua trục, đối xứng qua tâm, tịnh tiến và phép quay đều là các phép dời hình, nên có tất cả các tính chất của phép dời hình.
2 Điểm và đường đồng nhất. a) mọi điểm trên trục đối xứng đều là điểm kép. b) Phép đối xứng qua tâm biến đường thẳng qua tâm thành chính nó, biến một đường thẳng không đi qua tâm thành đường thẳng song song với chính nó, biến một vectơ thành một vectơ đối của nó. c) Qua phép tịnh tiến véc tơ−→v 6=−→
Trong không gian 0 chiều, các đường thẳng sẽ nhận véc tơ −→v làm phương và biến thành chính nó Điểm kép duy nhất trong phép quay là tâm O, và đường thẳng đi qua tâm sẽ có ảnh của nó cũng đi qua tâm.
3 Tích của chính nó. a) Tích của phép đối xứng trục với chính nó là phép đồng nhất. b) Tích của phép đối xứng qua tâm với chính nó là đồng nhất. c) Tích của hai phép tịnh tiến theo véc tơ là một phép tịnh tiến với véc tơ bằng tổng hai véc tơ đã cho.
4 Xác định các phép dời hình. a) Phép đối xứng trục xác định nếu cho biết trục đối xứng của nó.b) Phép đối xứng qua tâm xác định nếu biết tâm đối xứng của nó.c) Phép tịnh tiến xác định nếu ta biết được véc tơ tịnh tiến của nó.
Áp dụng phương pháp phép biến hình
2.4 ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHÉP BIẾN HÌNH
Trong không gian, với đường thẳng l, điểm A và B không nằm trong cùng mặt phẳng, chúng ta cần tìm điểm X trên đường thẳng l sao cho tổng khoảng cách |AX| + |XB| là nhỏ nhất Khi đó, điểm X thỏa mãn điều kiện này sẽ tạo thành hai đoạn thẳng AX và XB, tạo với đường thẳng l những góc bằng nhau.
Trong không gian, phép đối xứng qua trục có thể được coi như phép quay toàn bộ mặt phẳng một góc 180 độ Chúng ta áp dụng ý tưởng này để giải bài toán liên quan đến Hình 2.9, trong đó phép quay không phải là 180 độ.
Gọi α là mặt phẳng được xác định bởi đường thẳng l và điểm A Chúng ta sẽ xem xét phép quay ϕ trong không gian, với trục quay là l, biến đổi điểm B thành B0 trên mặt phẳng α sao cho đoạn AB0 cắt đường thẳng l Gọi X0 là điểm giao nhau của đoạn thẳng này.
AB 0 vàl Khi đó với mọi điểm bất kỳXcủalta có|BX|=|B 0 X|và
|AX|+|XB|=|AX|+|XB 0 | ≥ |AB 0 |=|AX 0 |+|X 0 B 0 |=|AX 0 |+
X 0 B|Đẳng thức chỉ đạt được khiX = X 0 VìAX 0 và X 0 B 0 tạo ra góc bằng nhau vớil, nên các đoạn thẳngAX 0 và X 0 B cũng có tính chất đó J
Trong bài toán này, cho góc Opq và hai điểm A, B nằm trong góc, nhiệm vụ là xác định hai điểm C và D trên các cạnh p và q sao cho tổng độ dài của đoạn gấp khúc ACDB đạt giá trị ngắn nhất.
40 Chương 2 Phương pháp phép biến hình
Lời giải cho bài toán là xác định điểm đối xứng A 0 của A qua đường thẳng P và điểm đối xứng B 0 của B qua đường thẳng q Đối với các điểm bất kỳ C thuộc p và D thuộc q, độ dài của đường gấp khúc ACDB sẽ bằng với độ dài của đoạn đường A 0 CDB 0.
Dễ thấy nếu A 0 B 0 không có điểm chung vớipvàq, thì đường gấp khúc có độ dài ngắn nhất vớiC =D =O.
NếuA 0 B 0 cắtptại điểmC0, còn cắtq tại điểmD0, thì đường ta phải tìm là
Hai điểm dân cư nằm cách nhau bởi nhiều con sông có lòng sông rộng khác nhau Để kết nối hai điểm này một cách hiệu quả, cần thiết phải xây dựng các cây cầu và thiết lập một tuyến đường nhằm rút ngắn khoảng cách di chuyển giữa hai địa điểm.
Để giải bài toán, chúng ta giới hạn trong ba dòng sông và áp dụng phép tịnh tiến cho mỗi bề rộng của dòng sông Từ điểm B, chúng ta thực hiện tích các phép tịnh tiến đã xác định để đến điểm B0 Sau đó, nối B0 với A để cắt bờ sông tại P1 Tương tự như khi làm với một dòng sông, ta nối đường cần tìm AP1 và dựng đường vuông góc với dòng sông để xây cầu, cắt bờ bên kia tại Q1 Cuối cùng, từ Q1, nối với điểm mà B đã tịnh tiến đến.
2.4 Áp dụng phương pháp phép biến hình 41 qua phép tịnh tiến của lòng sông gần nhất và cắt tại P2, từ P2 lại dựng cầu đếnQ2và cứ tiếp tục như thế cho đến hết các dòng sông. Tương tự cho chứng minh một dòng sông con đường ta dựng theo cách trên nối từAđếnB là ngắn nhất J
Trong tam giác ABC, cho hai điểm bất kỳ M và N, bài toán đặt ra là tìm đường đi ngắn nhất từ M đến N, đồng thời đường đi này phải cắt các cạnh AB, BC và AC của tam giác.
Lời giải.(Hình2.12) LấyM 0 đối xứng với M qua AB, M 00 và A 0 đối xứng tương ứng của M 0 và A qua BC, và
Để tìm điểm đối xứng N 0 của N qua AC, chúng ta xác định các điểm X, Y và Z trên các cạnh AB, BC và CA sao cho tổng t = |M X| + |XY| + |Y Z| + |ZN| đạt giá trị nhỏ nhất Điểm X 0 được xác định là điểm đối xứng của X qua đường thẳng BC, và tổng t sẽ tương ứng với độ dài của đường gấp khúc.
M 00 X 0 Y ZN 0 , nối M 00 với N 0 Tiếp tục ta phải xét các trường hợp phụ thuộc vào một trong những đoạn thẳng BA 0 , BC và AC cắt
M 00 N 0 Ví dụ, nếu M 00 N 0 cắt BA 0 ở điểm X 0 0 , BC- ở điểm Y0 và
Khi AC ở điểm Z0, đường ngắn nhất sẽ là M X0 Y0 Z0 N, trong đó X0 là điểm đối xứng của X00 qua BC Nếu M00 N0 cắt BA0 tại điểm X00 mà không giao với BC và AC, ta sẽ đặt
Y 0 =Z 0 =Cvà chọnX 0 như ở trên và tiếp tục lặp lại chứng minh trên J
Ví dụ 2.10 (Bài toán Steiner) Trong mặt phẳng cho tam giácABC, hãy tìm điểmX, sao cho tổngt(X) =|AX|+|BX|+|CX|nhỏ nhất.
Lời giải.- NếuX là điểm ngoài tam giácABC, thì tồn tại điểmX 0
Trong chương 2, chúng ta sẽ khám phá phương pháp biến hình trong tam giác, với điều kiện t(X 0 ) < t(X) Nếu không có đoạn thẳng nào từ các đỉnh AX, BX và CX cắt cạnh của tam giác ABC, thì X 0 sẽ được ký hiệu là đỉnh gần nhất của tam giác ABC với điểm X.
Nếu C ≡ X 0, thì ít nhất một trong các góc ACX hoặc BCX là góc tù, giả sử góc ACX lớn hơn 90 độ Khi đó, độ dài |AX| sẽ lớn hơn độ dài |AC| Theo tính chất cạnh của tam giác, ta có |BX| + |CX| lớn hơn |BC|, từ đó suy ra rằng t(X) lớn hơn t(C).
Nếu một trong AX, BX hoặc CX cắt cạnh của tam giácABC Giả sửAX cắtBC tạiX 0 Khi đó|AX|>|AX 0 |và
|BX|+|CX|>|BC|=|BX 0 |+|CX 0 | từ đó suy rat(X)> t(X 0 ).
Như vậy, bài toán đưa về tìm điểm X trong tam giácABC sao chot(X)nhỏ nhất Hình 2.13.
Không mất tính tổng quát, với\BCA =γ,\ABC =β,\BAC =α, ta giả thiếtγ ≥αvàγ ≥β Khi đóαvàβ là các góc nhọn.
Ký hiệu ϕ là phép quay 60 ◦ , tâm A theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ) Với mỗi điểm
M trong mặt phẳng, ta ký hiệu
M 0 là ảnh củaM trong phép quay ϕ Khi đó tam giácAM M 0 là tam giác đều Suy ra, tam giác ACC 0 Hình 2.14. là đều.
Cho X là điểm bất kỳ trong tam giácABC (Hình2.14) Khi đó
|AX|=|XX 0 |, từϕ(X) =X 0 vàϕ(C) =C 0 ta có|CX|=|C 0 X 0 |.Suy ra,t(X) =|BX|+|XX 0 |+|X 0 C 0 |, nghĩa làt(X)trùng với đường
2.4 Áp dụng phương pháp phép biến hình 43 gấp khúcBXX 0 C 0
Ta xét ba trường hợp sau
1 γ < 120 ◦ Khi đóBCC\ 0 = γ + 60 ◦ < 180 ◦ Vì α là nhọn và BAC\ 0 =γ+60 ◦ 0, mà trong nó không có điểm nào để hàm sốf(x)có giá trị nhỏ hơn (lớn hơn)f(c) Nói cách khác với mọixthuộc khoảng(c−, c+)đều có bất đẳng thức f(x)≥f(c) (f(x)≤f(c)).
3.1 Hàm số và các giá trị cực trị của hàm số 53
Giá trị cực tiểu và cực đại địa phương của hàm số tại điểm x = c được xác định là giá trị của y = f(x) tại điểm này Thông thường, chúng ta chỉ đề cập đến giá trị cực đại hoặc cực tiểu mà không phân biệt Một hàm số có thể sở hữu nhiều giá trị cực đại và cực tiểu, như minh họa trong Hình 3.1.
Trong khoảng [a, b], hàm f(x) có giá trị cực đại tại điểm D và cực tiểu tại điểm A Điểm B cũng đạt cực đại nhưng trong khoảng xác định nhỏ hơn, trong khi điểm C là cực tiểu trong miền xác định nhỏ hơn Các điểm B và C được gọi là các điểm cực trị địa phương, còn A và D được xem là các điểm cực trị toàn cục.
Điểm E có đạo hàm bằng không nhưng không phải là giá trị cực đại hoặc cực tiểu của hàm f(x), cho thấy rằng điều kiện f'(x) = 0 chỉ là điều kiện cần, không đủ để xác định điểm cực trị Các điểm làm cho đạo hàm bằng không được gọi là điểm dừng của hàm số Nhiều nghiên cứu đã được thực hiện để tìm hiểu đặc trưng của các điểm cực trị và điểm dừng của hàm Dưới đây là một số định lý cơ bản liên quan.
2 Điều kiện cần để tồn tại một điểm cực trị địa phương. Định lý 3.1 (Phecma) Cho một hàm sốf(t) xác định, liên tục và
Nếu t0 là điểm trong đoạn ∆, tại đó hàm số f đạt giá trị cực đại hoặc cực tiểu, thì đạo hàm f'(t0) = 0 Đặc biệt, nếu hàm f liên tục trên đoạn [a, b] và có đạo hàm trong đoạn (a, b), đồng thời phương trình f'(t) = 0 không có nghiệm trong (a, b), thì giá trị cực đại và cực tiểu của hàm f sẽ xuất hiện tại hai đầu đoạn thẳng [a, b] mà không có điểm nào khác.
3 Điều kiện đủ tồn tại cực trị địa phương. Định lý 3.2 Nếu một hàm sốy = f(x)có đạo hàm bậc hai tại lân cận điểm x = x0, mà f 0 (x0) = 0 và f 00 (x0) 6= 0, thì hàm số có giá trị cực trị tại điểmx=x0: là cực tiểu khif 00 (x0)>0; là cực đại khi f 00 (x0)
