...7.11.Lời giải.Từ bài trước suy ra với cố định cạnh|AB|=h thể
tích lớn nhất của tứ diệnABCDbằng
V = 1 3h. p(p−h) 3√3 = p 9√3h(p−h).
10.7. Lời giải và gợi ý chương 7 195 Bởi vì h(p−h) ≤ h+p−h 2 2 = p 2 4 Ta nhận được V ≤ p3 36√3, đẳng thức đạt được khih= p
2. Suy ra tứ giác trong không gian phải
tìm có cạnh bằng nhau và bằng góc giữa cặp hai cạnh. J
...7.12.Lời giải.Cho α là mặt phẳng quaB, mà nó vuông góc với
AB. Hình chiếu của 4ACD trên α là 4BEF (Hình 10.16a). Khi
đó thể tích V của tứ diện tạo bởi ABCD bằng 1
3|AB|.SBEF Điều
đó suy ra từ những thể tích của những tứ diện ABCD và ABEF
bằng thể tích của tứ diệnABCF. Suy raV cực đại, khi diện tích của
4BEF lớn nhất. Bởi vì từ tất cả các tam giác với chu vi đã cho tam
giác đều có diện tích lớn nhất, bài toán được giải chỉ cần khi chu vi
của4BEF là cực đại. Cho mục đích đó ta gấp mặt phẳngF DCE
Hình 10.16
vàCEB trênABF D(Hình10.16b), khi đó chu vi của4BEF bằng
|B1B2|. Nó sẽ trở lên lớn nhất khi, khi những đoạn thẳngAD, CD
vàCB2tạo thành cùng một gócγvới cạnhAB, nhưcosγ = h
2p−h.
Vậy từ bài toán đẳng chu của4BEF suy ra nó có diện tích cực đại
với|BE|=|BF|=|EF|hoặc là khi|AD|=|CD|=|CB|và những
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Tuyển tập 30 năm tạp chí Toán học và Tuổi trẻ, NXBGD, 1997.
[2] Các đề thi vô địch toán các nước, Xv. Cônhiagin, G.A.Tônôian, If. Sarưgin, NXB GD 1996.
[3] Các bài toán hình học phẳng, V.V. Praxolov, Tập II, NXB Hải phòng 1997.
[4] Problem-Solving Through Problems, Loren C. Larson, Spring-Verlag, 1983.
[5] Extremani zadacha v geometriata, O.Muskarov, L. Stoianov, ¨Narodna Prosveta¨, Sophia 1989 (Tiếng Bungari).
[6] Phương pháp Đirichlê và ứng dụng, N. H. Điển, NXB KHKT 1999.
[7] Phương pháp qui nạp toán học, N. H. Điển, NXB GD 2000.
MỤC LỤC
Lời nói đầu. . . . 3
Chương 1.Phương pháp bất đẳng thức. . . . 5
1.1.Những ví dụ thực tế. . . 5
1.2.Trung bình cộng và trung bình nhân. . . 9
1.3.Dùng trung bình cộng và trung bình nhân. . . 14
1.4.Các bước phương pháp bất đẳng thức. . . 19
1.5.Bất đẳng thức cơ bản. . . 20
1.6.Ví dụ áp dụng phương pháp bất đẳng thức. . . 21
1.7.Bài tập. . . 29
Chương 2.Phương pháp phép biến hình. . . . 30
2.1.Bài toán thực tế. . . 30
2.2.Các bước phương pháp phép biến hình. . . 36
2.3.Một số kiến thức về phép biến hình. . . 36 2.4.Áp dụng phương pháp phép biến hình. . . 39 2.5.Bài tập. . . 50 Chương 3.Phương pháp hàm số. . . . 52 3.1.Hàm số và các giá trị cực trị của hàm số. . . 52 3.2.Những bài toán có tính thực tế. . . 55
3.3.Các bước của phương pháp hàm số. . . 60
3.4.Ví dụ áp dụng phương pháp hàm số. . . 61
3.5.Bài tập. . . 72
198 Phương pháp giải các bài toán cực trị trong hình học
Chương 4.Phương pháp đường mức. . . . 74
4.1.Hàm những biến điểm. . . 74
4.2.Các dạng đường mức. . . 78
4.3.Các bước của phương pháp đường mức. . . 80
4.4.Ví dụ áp dụng phương pháp đường mức. . . 80
4.5.Bài tập. . . 87
Chương 5.Phương pháp cho cố định từng phần. . . . 89
5.1.Giới thiệu phương pháp và bài toán thực tế. . . 89
5.2.Phương pháp biến đổi từng phần. . . 96
5.3.Ví dụ phương pháp biến đổi từng phần. . . 97
5.4.Bài tập. . . 102
Chương 6.Những điểm có tính chất cực trị trong tam giác. . . . .
104 6.1.Những điểm đặc biệt trong tam giác. . . 104
6.2.Ví dụ áp dụng. . . 105
6.3.Bài tập. . . 117
Chương 7.Bài toán đẳng chu. . . . 119
7.1.Bài toán đẳng chu cơ bản. . . 119
7.2.Ví dụ. . . 122
7.3.Bài tập. . . 128
Chương 8.Những bài toán khác. . . . 129
8.1.Bài tập tổng hợp. . . 129
Mục lục 199
Chương 9.Một số đề thi trong nước và quốc tế. . . . 141
9.1.Đề thi vào đại học và học sinh giỏi trong nước. . . 141
9.2.Đề thi vô địch một số nước và quốc tế. . . 151
Chương 10.Lời giải và gợi ý. . . . 173
10.1.Lời giải và gợi ý chương 1. . . 173
10.2.Lời giải và gợi ý chương 2. . . 175
10.3.Lời giải và gợi ý chương 3. . . 179
10.4.Lời giải và gợi ý chương 4. . . 187
10.5.Lời giải và gợi ý chương 5. . . 189
10.6.Lời giải và gợi ý chương 6. . . 193
10.7.Lời giải và gợi ý chương 7. . . 194
Tài liệu tham khảo. . . . 196
NGUYỄN HỮU ĐIỂN
PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC
Chịu trách nhiệm xuất bản: PGS. TS. TÔ ĐĂNG HẢI
Biên tập và sửa bản in: ĐỖ THỊ CẢNH, ĐỖ PHÚ
Sửa bản in: LÊ MINH
Vẽ bìa: HƯƠNG LAN
In 1500 bản khổ 14,5×20,5 cm tại Xí nghiệp in 19 - 8 số 3 đường Nguyễn Phong Sắc - Nghĩa Tân - Cầu Giấy - Hà Nội.
giấy phép xuất bản số 84-21 Cục Xuất bản cấp ngày 7/2/2001. In xong nộp lưu chiểu tháng 10 năm 2001.