Phương pháp giải các bài toán chia hết ở lớp 6 docx

A/ ĐẶT VẤN ĐỀ: Trong chương trình toán 6, giải các bài toán chia hết là dạng bài tập mới và tương đối khó đối với học sinh.. Là giáo viên trực tiếp giảng dạy toán 6 nhiều năm, tôi nhận t

A/ ĐẶT VẤN ĐỀ:

Trong chương trình toán 6, giải các bài toán chia hết là dạng bài tập mới và tương đối khó đối với học sinh Cái khó ở đây là tuy lượng kiến thức không nhiều nhưng các bài tập thì lại đa dạng, phong phú

Là giáo viên trực tiếp giảng dạy toán 6 nhiều năm, tôi nhận thấy khi làm các bài tập về chia hết các em thường rất lúng túng, nguyên nhân chủ yếu là do các em chưa biết vận dụng định nghĩa hay các tính chất của phép chia hết và các kiến thức

có liên quan, từ đó dẫn đến các em ngại làm bài, nếu làm bài thì suy luận thiếu chính xác, thiếu chặt chẽ, xét thiếu các trường hợp

Các bài toán về chia hết là những kiến thức rất cơ bản, quan trọng không chỉ trong chương trình toán 6 mà cả ở các lớp cao hơn Việc giúp các em nắm chắc kiến thức về chia hết và làm tốt các dạng bài tập này sẽ tạo cho các em hứng thú học tập, say mê môn học và tạo điều kiện thuận lợi cho các em trong những năm học tiếp theo khi học các kiến thức có liên quan với mức độ cao hơn

Với suy nghĩ trên, tôi đã suy nghĩ, tìm tòi và chọn viết sáng kiến

"Phương pháp giải các bài toán chia hết ở lớp 6"

Trong chuyên đề này, tôi đã tiến hành phân loại các phương pháp giải bài toán chia hết kèm theo ví dụ minh họa với mong muốn học sinh có được định hướng tốt về cách giải đối với mỗi bài toán cụ thể Từ đó giúp các em rèn luyện tư duy, kĩ năng giải toán

B/ NỘI DUNG:

I KIẾN THỨC CẦN SỬ DỤNG:

1, Định nghĩa:

Cho a, b ∈ Z; b ≠ 0

Ta nói rằng a chia hết cho b, kí hiệu a Μ b khi và chỉ khi tồn tại số nguyên

q sao cho ta có: a = b.q

2, Một số tính chất:

Cho a, b, m, n là số nguyên

* Nếu a Μ b và b Μ a thì a = b hoặc a = - b

* Nếu a Μ b, b Μ c thì a Μ c

* Nếu a Μ m và b Μ n thì a.b Μ m.n

* a Μ m <=> an Μ mn ( n ∈ N, n ≠ 0 )

* a.b Μ m và ( a, m) = 1 thì b Μ m

* a Μ m và a Μ n ; ( m, n) = 1 thì a Μ m.n

* a Μ m , a Μ n , a Μ p và m, n, p đôi một nguyên tố cùng nhau

thì a Μ mnp

3, Một số dấu hiệu chia hết:

Cho N = an an -1 a1a0

* N Μ 2 <=> a0 ∈{0, 2, 4, 6, 8}

* N Μ 5 <=> a0 ∈{0, 5}

Từ đó N Μ 10 <=> a0 = 0

* N Μ 3 <=> ( an + an -1 + + a1 + a0 ) Μ 3

* N Μ 9 <=> ( an + an -1 + + a1 + a0 ) Μ 9

* N Μ 4 <=> a1a0 Μ 4

* N Μ 25 <=> a1a0 Μ 25

* N Μ 8 <=> a2a1a0 Μ 8

* N Μ 125 <=> a2a1a0 Μ 125

* N Μ 11 khi và chỉ khi tổng các chữ số ở vị trí lẻ trừ tổng các chữ số ở vị trí chẵn chia hết cho 11

4, Nguyên tắc Đicriclê:

Trong b + 1 số tự nhiên bất kì bao giờ cũng có 2 số chia cho b có cùng số dư Khi đó hiệu hai số này chia hết cho b

II Các phương pháp giải bài toán chia hết:

*Phương pháp 1:

Để chứng minh số a chia hết cho số b ≠ 0 ta biểu diễn số a dưới dạng một tích trong đó có một thừa số bằng b

Thí dụ 1: Cho n ∈ N Chứng minh rằng: (3n)100 Μ 81

Giải

Ta có (3n)100 = 3100.n100

= 34 396 n100

= 81 (396.n100) Μ 81

Thí dụ 2: Cho C = 1 + 3 + 32 + + 311

Chứng minh rằng:

a, C Μ 13

b, C Μ 40

Giải

a, C = (1+3 + 32) + (33 + 34 + 35) + + (39 + 310 + 311)

C = (1+3 + 32) + 33(1+3 + 32) + + 39(1+3 + 32)

C = 13(1 + 33 + 39) Μ 13

b, C = (1+3 + 32) + (33 + 34 + 35) + + (39 + 310 + 311)

C = (1+3 + 32+33) + 34(1+3 + 32+33) +38(1+3 + 32+33)

C = 40(1+34+38) Μ 40

*Phương pháp 2:

Để chứng minh a Μ b ( b ≠ 0 ) ta biểu diễn số a dưới dạng một tổng các số hạng

và chứng minh mỗi số hạng đều chia hết cho b

Thí dụ 3:

Chứng minh rằng tổng của 3 số lẻ liên tiếp thì chia hết cho 3

Giải Gọi 3 số lẻ liên tiếp là:

2n +1, 2n + 3, 2n + 5 (n ∈ N) Tổng của chúng là a = 2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5

= 6n + 1 + 3 + 5

= 6n + 9

Vì 6n Μ 3 ; 9 Μ 3 nên a = (6n + 9) Μ 3

*Phương pháp 3:

Để chứng minh a Μ b (b ≠ 0) ta biểu diễn b = m.n

+ Nếu (m, n) = 1 thì tìm cách chứng minh a Μ m và a Μ n

Khi đó a Μ m.n ⇒ a Μ b

+ Nếu (m, n) ≠ 1 thì ta biểu diễn a = a1.a2 rồi chứng minh a1 Μ m , a2 Μ n hoặc a1 Μ n , a2 Μ m

Khi đó a1a2 Μ mn hay a Μ b

Thí dụ 4: Chứng minh rằng tích của 2 số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 8

Giải Gọi 2 số chẵn liên tiếp là 2n và 2n +2 (n ∈ N)

Tích của chúng là a = 2n.(2n + 2)

= 2 n 2(n+1)

= 4 n(n +1)

Ta có 4 Μ 4 và n(n +1) Μ 2 (Vì n và n + 1 là 2 số tự nhiên liên tiếp)

Vậy a = 4n(n + 1) Μ 8

* Phương pháp 4:

Để chứng minh một biểu thức chứa chữ chia hết cho b ta có thể xét mọi trường hợp về số dư của phép chia chữ đó cho b

Thí dụ 5:

Chứng minh rằng: n(n + 1)(2n + 1) Μ 6 với mọi n ∈ N

Giải Đặt a = n(n + 1)(2n + 1)

Dễ thấy n(n + 1) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp nên n(n + 1) Μ 2 ⇒ a Μ 2

* Nếu n = 3k (k ∈ N) thì a Μ 3

* Nếu n = 3k + 1 thì 2n + 1 = 2(3k + 1) + 1 = (6k + 3) Μ 3 ⇒ a Μ 3

* Nếu n = 3k + 2 thì n + 1 = (3k + 3) Μ 3

Vậy a = n(n + 1)(2n + 1) Μ 3 với mọi n ∈ N

Do 2.3 = 6 và (2,3) = 1 nên a Μ 6

*Phương pháp 5:

Có thể vận dụng dấu hiệu chia hết có liên quan đến số nguyên tố; số nguyên tố cùng nhau

Đặc biệt có thể xét chữ số tận cùng khi phải chứng minh chia hết cho 2; cho 5 hay cho 10

Thí dụ 6: Cho n ∈ N Chứng minh rằng: (34n+1 + 7) Μ 10

Giải

Ta có 34n+1 = 3.34n = 3.(34 )n = 3.81n

Vì 81n có tận cùng là 1 nên 3.81n có tận cùng là 3

⇒ 34n+1 có tận cùng là 3

⇒ 34n+1 + 7 có tận cùng là 0

Vậy (34n+1 + 7) Μ 10

* Phương pháp 6:

Để chứng minh a Μ b ta dùng nguyên tắc Đicriclê

Thí dụ 7: Cho a, b, c, d là số nguyên Chứng minh rằng:

S = (c - b)(b - a)(a - c)(d - a)(d - b)(d - c) Μ 12

Giải

S = (c - b)(b - a)(a - c)(d - a)(d - b)(d - c) (1)

* Phép chia cho 3 chỉ nhận 3 số dư khác nhau là 0; 1; 2 mà có 4 số nguyên a,

b, c, d nên chắc chắn có hai trong bốn số đó chia cho 3 có cùng số dư Khi đó

hiệu của chúng chia hết cho 3 Suy ra có ít nhất một thừa số trong tích (1) chia hết cho 3

Do đó S Μ 3

* Ta chứng minh S Μ 4

+ Nếu trong 4 số a, b, c, d có hai số chẵn, hai số lẻ Chẳng hạn a, b là số chẵn và c,

d là số lẻ thì khi đó b - a Μ 2; d - c Μ 2

=> (b - a)(d -c) Μ 4 => S Μ 4

+ Nếu trong 4 số a, b, c, d có 3 số chẵn và một số lẻ hoặc 3 số lẻ và một số chẵn thì khi đó sẽ tồn tại hai số chia cho 4 có cùng số dư nên hiệu của chúng chia hết cho

4 Do đó S Μ 4

Vì S Μ 3, S Μ 4 mà (3,4) = 1 ; 3.4 = 12 ⇒ S Μ 12

Thí dụ 8:

Cho 10 số tự nhiên bất kì a1, a2, a10 Chứng minh rằng tồn tại một số chia hết cho

10 hoặc tổng của một số chia hết cho 10

Giải:

Xét 10 số mới như sau: S1 = a1, S2 = a1 + a2, … S10 = a1 + a2 +…+ a10

Lấy 10 số S1, S2, , S10 chia cho 10

- Nếu có một số Si Μ 10 (i = 1, 2, , 10) thì bài toán được chứng minh

- Nếu Si không chia hết cho 10 với mọi i, tức là S1, S2, , S10 chia cho 10 có các dư

là một trong chín số : 1, 2, , 9 Theo nguyên tắc Dirichlet có hai số cùng dư khi chia cho 10, giả sử Sk và Sl (k > l)

Khi đó : Sk - Sl = al+1 + al+2 + + ak Μ 10 (đccm)

 Bài toán trên có thể phát biểu dưới dạng tổng quát trong n số tự nhiên bất kì tồn tại một số tự nhiên chia hết cho n hoặc tổng của một số chia hết cho n

*Phương pháp 7: Phương pháp chứng minh quy nạp

Giả sử cần chứng minh

A(n) Μ P (1) với n = 1, 2, …

Ta chứng minh (1) đúng với n = 1 tức là chứng minh A(1) Μ P

Giả sử (1) đúng với n = k, tức là ta có A(k) Μ P

Ta chứng minh (1) đúng với n = (k+1), tức là phải chứng minh A(k+1) Μ P

Theo nguyên lý quy nạp, ta kết luận (1) đúng với mọi n = 1, 2, …

Thí dụ 9: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có :

4n + 15n - 1Μ 9 (1)

Giải : Với n = 1 ta có 41 + 15.1-1 = 18 Μ 9 Vậy (1) đúng với n = 1

Giả sử (1) đúng với n = k tức ta có:

4k + 15k – 1 Μ 9 => 4k + 15k-1 = 9m (m∈ Z)

=> 4k = 9m +1 – 15k (2)

Với n = k +1 ta có

4k+1 + 15(k+1) – 1 = 4.4k + 15k +14

= 4(9m + 1 -15k) + 15k + 14 (theo (2))

= 36 m – 45k + 18 Μ 9 Vậy (1) đúng với n = k +1 do đó (1) đúng với mọi n = 1; 2; 3…

III Bài tập áp dụng:

Bài 1: Chứng minh rằng tích 3 số chẵn liên tiếp chia hết cho 48

Giải Gọi 3 số chẵn liên tiếp là 2n, 2n +2, 2n + 4 (n ∈ N)

Tích của 3 số là a = 2n(2n + 2)(2n + 4)

= 2.n 2(n + 1)2(n + 2)

= 8.n.(n + 1)(n + 2)

Ta thấy 8 Μ 8

Ta chứng minh n.(n + 1)(n + 2) Μ 6

Thật vậy:

Nếu n Μ 3 thì n.(n + 1)(n + 2) Μ 3

Nếu n = 3k + 1 (k ∈ N) thì (n +2) Μ 3 ⇒ n.(n + 1)(n + 2) Μ 3

Nếu n = 3k + 2 (k ∈ N) thì (n +1) Μ 3 ⇒ n.(n + 1)(n + 2) Μ 3

Vậy n.(n + 1)(n + 2) Μ 3 với mọi n ∈ N

Mặt khác trong ba số n, n + 1, n + 2 chắc chắn có một số chẵn

nên n.(n + 1)(n + 2) Μ 2

mà (2,3) = 1 ; 2.3 = 6 nên n.(n + 1)(n + 2) Μ 6

Vậy a = 2n(2n + 2)(2n + 4) Μ 48 (đpcm)

Bài 2:

Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để một số chia hết cho 17 là tổng của

ba lần số chục và hai lần chữ số hàng đơn vị của số đó chia hết cho 17

Giải Giả sử số N gồm a chục, b đơn vị (a, b là chữ số, a ≠ 0)

Thật vậy:

M + 17a = (3a + 2b) + 17a

M + 17a = 20a + 2b

= 2(10a + b)

= 2N

- Nếu N Μ 17 thì 2N Μ 17 ⇒ M + 17a Μ 17 ⇒ M Μ 17

- Nếu M Μ 17 thì M + 17a Μ 17 ⇒ 2N Μ 17

mà 2 Μ 17 => N Μ 17 Bài toán được chứng minh

Bài 3:

a, Chứng minh rằng: trong n số tự nhiên liên tiếp có một và chỉ một số chia hết cho n (n ≥ 2)

b, Chứng minh rằng: tích của 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 120

Giải

a, Dùng phương pháp xét số dư ( học sinh tự trình bày)

b, Trong 5 số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3, một số chia hết cho 5 Vậy tích của 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 và 5

Trong 4 số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho

4 nên tích của chúng chia hết cho 8

Tích của 5 số tự nhiên liên tiếp vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 5 , vừa chia hết cho 8 mà các số 3, 5, 8 đôi một nguyên tố cùng nhau nên tích này chia hết cho 3.5.8 = 120

Vậy tích 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 120

Bài 4:

a, Cho a Μ 3 (a ∈ Z)

Chứng minh a2 chia cho 3 dư 1

b, Chứng minh rằng nếu a là một số lẻ không chia hết cho 3 thì a2 - 1 Μ 6

Giải

a, Vì a Μ 3 nên a = 3k + 1 hoặc a = 3k + 2 (k ∈ Z)

Nếu a = 3k + 1 thì a2 = (3k + 1)(3k + 1)

⇒ a2 = 3k(3k + 1) + 3k + 1

⇒ a2 chia cho 3 dư 1 Nếu a = 3k + 2 thì a2 = (3k + 2)(3k + 2)

⇒ a2 = 3k (3k + 2) + 2( 3k + 2)

⇒ a2 = 3k (3k + 2) + 6k + 4

Vì 3k(3k + 2) Μ 3

6 Μ 3

và 4 chia cho 3 dư 1 nên a2 chia cho 3 dư 1 Vậy nếu a Μ 3 thì a2 chia cho 3 dư 1

b, Vì a là số lẻ nên a2 lẻ

⇒ a2 - 1 chẵn ⇒ a2 - 1 Μ 2

a là số không chia hết cho 3 nên a2 chia cho 3 dư 1 (chứng minh ở phần a)

⇒ a2 - 1 Μ 3

Vì 2 và 3 nguyên tố cùng nhau ; 2.3 = 6 nên a2 - 1 Μ 6

Vậy nếu a là một số lẻ không chia hết cho 3 thì a2 -1 Μ 6

Bài 5:

Chứng minh rằng tồn tại một bội của 13 gồm toàn chữ số 2

Giải Xét 14 số : 2, 22, 222, , 2 22 2

14 chữ số 2

Trong phép chia cho 13 chỉ có 13 số dư khác nhau là 0, 1, 2, 3, , 12

Có 14 số mà chỉ có 13 số dư nên tồn tại hai số chia cho 13 có cùng số dư Gọi hai số đó là : 222 222 ( m chữ số 2) và 22 222 (n chữ số 2)

Với 1 ≤ n < m ≤ 14

Hiệu của chúng là 22 200 0 Μ 13 ( m - n chữ số 2, n chữ số 0)

⇒ 22 2 10n Μ 13

nhưng (10n, 13) = 1 nên 22 2 Μ 13

Vậy tồn tại một bội của 13 gồm toàn chữ số 2

Bài 6:

Cho A = 4 + 42 + 43 + + 424

Chứng minh rằng: A Μ 20 ; A Μ 21 ; A Μ 240

Giải

A = 4 + 42 + 43 + + 424

Ta thấy A là tổng các số hạng chia hết cho 4 nên A Μ 4

Lại có A = 4(1 + 4) + 43(1 + 4) + + 423(1 + 4)

= 4 5 + 43 5 + + 423 5

= 5( 4 + 43 + + 423 )

⇒ A Μ 5

Vì (4,5) = 1 ; 4.5 = 20 nên A Μ 20

*Ta có :

A = (4 + 42 + 43) + (44 + 45 + 46) + + (422 + 423 + 424)

= 4( 1 + 4 + 42) + 44(1 + 4 + 42) + + 422(1 + 4 + 42)

= 4.21 + 44 21 + +422.21

= 21.(4 + 44 + + 422)

⇒ A Μ 21

Vì A Μ 20 ; A Μ 21 mà (20,21) = 1; 20 21 = 420; Nên A Μ 420

IV Một số bài tập tự giải:

1, Chứng tỏ rằng: các biểu thức sau có giá trị là số nguyên:

2, Chứng minh rằng nếu ab + cd Μ 11 thì abcd Μ 11

3, Cho năm số tự nhiên bất kì Chứng minh rằng ta luôn chọn được

ba số có tổng chia hết cho 3

4, Cho ba số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng

hoặc hiệu chia hết cho 12

5, Chứng minh rằng:

a, 10n + 53 Μ 9; b, 4343 - 1717 Μ 10

6, Viết 6 số tự nhiên vào 6 mặt của một con súc sắc Chứng minh rằng khi

ta gieo súc sắc xuống mặt bàn thì trong 5 mặt có thể nhìn thấy bao giờ cũng tìm được một hay nhiều mặt để tổng các số trên đó chia hết cho 5

7, Cho abc - deg Μ 7

Chứng minh abcdeg Μ 7

8, Cho M = 2 + 22 + 23 + + 260

Chứng minh rằng M chia hết cho 3, 7, 15

9, Cho ba số a, b, c thoả mãn đẳng thức:

a2 + b2 = c2 Chứng minh rằng:

a, Trong hai số a và b có ít nhất một số chia hết cho 2 b,Trong hai số a và b có ít nhất một số chia hết cho 3 c,Trong hai số a và b có ít nhất một số chia hết cho 4 d,Trong ba số a, b, c có ít nhất một số chia hết cho 5

e, a.b.c Μ 60

9

8

102004+

; 3

2

105 +

10, Cho năm số nguyên a1 , a2, a3, a4, a5 Các số b1, b2, b3, b4, b5 là một hoán vị của năm số đã cho

Chứng minh rằng: (a1 - b1)(a2 - b2)(a3 - b3)(a4 - b4)(a5 - b5) chia hết cho 2

11, Chứng minh rằng với mọi n ≥ 1 ta có:

a, 16n - 15n - 1 Μ 222

b, 33n+3 - 26n - 27Μ 169

c, 62n + 1 + 5 n + 2 Μ 31

C, KẾT LUẬN:

Các bài toán chia hết chiếm một số lượng không nhỏ trong chương trình toán bậc trung học cơ sở Việc xây dựng một hệ thống kiến thức cơ bản, dựa vào đó để tìm ra các phương pháp giải các bài toán về chia hết, giúp các em học sinh - nhất

là học sinh giỏi có kĩ năng thành thạo, linh hoạt, sáng tạo khi học loại toán này không những là mong muốn của riêng bản thân tôi mà còn là điều trăn trở của các bạn đồng nghiệp

Trong khuôn khổ và thời gian có hạn, trên đây tôi mới chỉ dừng lại các phương pháp giải toán chia hết đối với học sinh lớp 6 Các phương pháp đó sẽ được mở rộng, hoàn thiện khi các em được trang bị thêm một số kiến thức ở lớp 7, lớp 8 khi đó các em sẽ gặp và giải được những bài toán khó hơn, phức tạp hơn Viết xong sáng kiến này tôi đã thực hiện giảng dạy cho học sinh lớp 6 tại trường Sau khi trang bị và hướng dẫn các em học phần lí thuyết; làm các thí dụ minh hoạ tôi thấy các em rất hứng thú, không những không ngại mà còn tích cực giải các bài toán tương tự

Cụ thể:

- 100% các em học sinh giỏi nắm vững lí thuyết, chọn phương pháp giải các bài tập phù hợp Lời giải viết chính xác

- Các em học sinh khá hoàn thành; giải đúng được 80% số bài tập

- Các em học sinh trung bình hiểu lí thuyết, giải được các bài tập tương tự như ví dụ

Với suy nghĩ của một cá nhân, bài viết của tôi chắc còn có thiếu sót

Rất mong sự góp ý của các bạn đồng nghiệp

Tôi xin chân thành cảm ơn.!

Núi Đèo, ngày 12/03/2009

Người viết

Hoàng Thị Thu Hương

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

BẢN CAM KẾT

1..Tác giả: