thuvienhoclieu com thuvienhoclieu com ĐS6 CHUYÊN ĐỀ 6 SỐ CHÍNH PHƯƠNG CHỦ ĐỀ 2 DÙNG CÁC TÍNH CHẤT CHIA HẾT VÀ SỐ DƯ ĐỂ CHỨNG MINH MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Số chí[.]
thuvienhoclieu.com ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 6-SỐ CHÍNH PHƯƠNG CHỦ ĐỀ 2: DÙNG CÁC TÍNH CHẤT CHIA HẾT VÀ SỐ DƯ ĐỂ CHỨNG MINH MỘT SỐ KHƠNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG PHẦN I TĨM TẮT LÝ THUYẾT Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho Tổng quát: Số phương chia hết cho chia hết cho ( số nguyên tố, ) * Phương pháp chứng minh số không số nguyên tố quan hệ chia hết: Ta có: số nguyên tố mà * Để chứng minh số phương khơng phải số phương ta có thể: Chứng minh có tận Chứng minh chứa số nguyên tố với số mũ lẻ Xét số dư khi ; chia Chứng minh chia cho dư hoặc hoặc tận chữ số , Chẳng hạn chia dư chia dư khơng số phương nằm hai số phương liên tiếp PHẦN II CÁC BÀI TẬP Các dạng chứng minh số khơng phải số phương DẠNG 1: chia hết cho số nguyên tố không chia hết Bài 1: Chứng minh số có tổng chữ số số khơng số phương? Lời giải Số có tổng chữ số chữ số số chia hết cho khơng chia hết cho , số có tỏng khơng thể số phương Bài 2: Tổng chữ số số phương không? Lời giải thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Tổng chữ số số số chia hết cho tồn số phương có tổng chữ số không chia hết cho , nên không Bài 3: Cho số tự nhiên: Lập tất số tự nhiên có chữ số Trong số lập có số số phương khơng? chữ số bao gồm tất Lời giải Tổng chữ số số chia hết cho không chia hết cho Bài 4: Cho số tự nhiên gồm chữ số Có cách viết thêm chữ số tạo thành số phương hay khơng? vào vị trí tùy ý để số Lời giải không chia hết cho Bài 5: Chứng minh số khơng phải số phương Lời giải Cách 1: Ta thấy số chia hết cho (vì hai chữ số tận Do đó: số (vì chữ số tân ) không chia hết cho ) không số phương Cách 2: Ta thấy số chia hết cho (vì hai chữ số tận (vì chữ số tân ) không chia hết cho ) Do đó: số khơng số phương Cách 3: Số tận có lẻ chữ số Bài 6: Các tổng sau có phải số phương khơng? a) b) Lời giải a, Ta có: chia hết cho không chia hết cho b, Ta có: số phương Bài 7: Cho nên khơng số phương có tổng chữ số nên chia hết cho mà không chia hết cho Chứng minh S khơng phải số phương Lời giải Ta có: thuvienhoclieu.com Trang nên khơng thuvienhoclieu.com Với số tự nhiên Suy ra: Do đó: chia dư Hay Mặt khác Vậy S không số phương Bài 8: Chứng minh tổng bốn số tự nhiên liên tiếp khơng số phương Lời giải Gọi bốn số tự nhiên lên tiếp Khi ta xét: Ta có: (1) (2) Từ (1) (2) S khơng số phương Vậy tổng bốn số tự nhiên liên tiếp không số phương Bài 9: Viết liên tiếp số tự nhiên từ phương đến thành số Chứng minh khơng số Lời giải Ta có: Ta có tổng chữ số A là: Ta thấy: Do khơng số phương thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Bài 10: Số có phải số phương khơng? Lời giải: Ta có: Suy ra: Ta thấy: khơng số phương Bài 11: Viết liên tiếp từ Lời giải Giả sử số có đến số (là số lẻ) nên mặt khác, tổng chữ số chia hết cho mâu thuẫn với Vậy - Nếu ước khơng? số phương là: Vì khơng chia hết cho , khơng số phương khơng thể có ước Bài 12: Một số tự nhiên gồm chữ số Lời giải Gọi có ước Vì số lượng ước nên Số số gồm chữ số sáu chữ số có chữ số tận chia hết cho sáu chữ số số phương khơng? có hai chữ số tận khơng chia hết cho (vì ) khơng số phương - Nếu có chữ số tận chia hết cho có hai chữ số tận 06 không chia hết cho thuvienhoclieu.com Trang ; thuvienhoclieu.com khơng số phương Vậy khơng phải số phương DẠNG 2: Chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ Bài 1: Chứng minh không số phương Lời giải Ta có: Do đó: chứa thừa số ngun tố có số mũ lẻ khơng số phương Bài 2: Chứng minh số khơng số phương Lời giải Ta có phương DẠNG 3: không chia hết cho ( : nguyên tố) Bài 1: Chứng minh mà số ngun tố từ suy khơng số khơng số phương khơng số phương Lời giải Ta có: (Vơ lý) Do khơng số phương Bài 2: Chứng minh khơng số phương Lời giải Ta có: Vì Do đồng thời mà số ngun tố khơng số phương thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Bài 3: Chứng minh khơng số phương Lời giải Ta có: Vì Do số ngun tố nên (Vơ lý) khơng số phương DẠNG 4: Chứng minh chia dư , chia dư ; ; chia dư , ; chia dư ; ; ; Bài 1: a Chứng minh với b Chứng minh với khơng số phương khơng số phương Lời giải a chia dư nên khơng số phương b - khơng số phương - khơng số phương - khơng số phương Bài 2: Chứng minh số có tổng chữ số khơng phải số phương Lời giải Số phương chia cho dư Số có tổng chữ số nên chia dư , số phương Bài 3: Một số tự nhiên có tổng chữ số sao? số phương khơng? Tại Lời giải Gọi số tự nhiên có tổng chữ số Ta có: , nên số tự nhiên nhiên Mặt khác số phương khơng có dạng chia dư , số suy số tự nhiên thuvienhoclieu.com có dạng với số tự khơng số phương Trang thuvienhoclieu.com Bài 4: Chứng minh số ngun dương khơng phải số phương với Lời giải Ta có: ; ; ; Do đó: Ta lại có: Do Do Do nghĩa Ta có chia cho số nguyên tố Vậy Bài 5: Cho dư khơng số phương Chứng minh ; khơng số phương Lời giải +) Ta có: Suy ra: chia cho Do đó: khơng số phương +) Ta có: Suy ra: Do đó: khơng số phương Bài 6: Gọi ; dư tích số nguyên tố Chứng minh số không số phương Lời giải thuvienhoclieu.com Trang ; thuvienhoclieu.com +) Ta thấy: khơng số phương +) Giả sử hay Ta có: lẻ suy lẻ nên (mâu thuẫn) Do điều giả sử sai Vậy khơng số phương +) Ta có: Vậy khơng số phương Bài 7: Giả sử Chứng minh ba số tự nhiên liên tiếp số số phương Lời giải +) Ta có: Ta thấy: Do đó: khơng số phương +) Ta có: chẵn Do đó: lẻ Ta thấy Vậy chẵn nên không chia cho dư dư khơng số phương +) Ta có: Ta thấy nên Do đó: lẻ nên khơng chia cho dư khơng số phương thuvienhoclieu.com Trang ; ; thuvienhoclieu.com Bài 8: Chứng minh số khơng số phương Lời giải Ta có: chia dư nên chia dư chia dư chia Suy ra: Vậy chia dư dư không số phương Bài 9: Chứng minh khơng số phương Lời giải Ta có: chia hết chia hết chia hết chia hết cho chia hết Suy ra: chia hết cho chia hết cho chia hết cho chia hết cho Mà: chia dư Do đó: chia dư Vậy C khơng số phương Bài 10: Chứng minh khơng số phương Lời giải Ta thấy: Tương tự Mà chia , dư nên Mà ta biết số phương khơng có dạng thuvienhoclieu.com Trang Do D khơng số phương thuvienhoclieu.com Bài 11: Chứng minh tổng bình phương hai số lẻ khơng phải số phương Lời giải Gọi số lẻ Giả sử: , với Ta có: với Khơng có số phương có dạng Bài 12: Chứng minh tổng số tự nhiên liên tiếp từ khơng phải số phương đến khơng phải số phương Lời giải Ta có: có dạng Do khơng số phương Bài 13: Cho tổng bình phương khơng phải số phương số tự nhiên liên tiếp Chứng minh Lời giải Xét tổng bình phương Chia Do thành số tự nhiên liên tiếp: nhóm, nhóm tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp khơng số phương Bài 14: Cho tổng bình phương khơng số phương số tự nhiên liên tiếp Chứng minh Lời giải Xét tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp: thuvienhoclieu.com Trang 10 thuvienhoclieu.com Chia thành nhóm, nhóm gồm số tự nhiên liên tiếp Suy ra: Do khơng số phương Bài 15: Chứng minh Lời giải: Xét khơng phải số phương với lẻ Đặt Ta có: khơng số phương Xét Vì chẵn Đặt nên ta đặt Khi đó, ta có: (trái với giả thiết đề bài) Vậy: khơng phải số phương với thuvienhoclieu.com Trang 11 thuvienhoclieu.com Bài 16: Chứng minh không số phương Lời giải: Bổ đề: Theo định lí Fermat, ta có: Giả sử Suy ra: (vơ lý) Do đó: khơng số phương Bài 17: Chứng minh với số số khơng số phương Lời giải: Bất kì số phương có dạng Ta có: , với có dạng Do khơng số phương DẠNG 5: Chứng minh có chữ số tận Bài 1: Chứng minh tổng sau có phải số phương không? a) b) Lời giải: b) Tổng c) Ta có: có chữ số tận có chữ số tận Nên có chữ số tận Vậy khơng số phương Bài 2: Cho nên khơng số phương Chứng minh khơng phải số phương Lời giải: thuvienhoclieu.com Trang 12 thuvienhoclieu.com Ta có số ; ; ; có chữ số tận Nên Vậy có chữ số tận khơng số phương số phương số có tận Bài 3: Chứng minh tổng bình phương năm số tự nhiên liên tiếp khơng thể số phương Lời giải Gọi số tự nhiên liên tiếp là: Xét tổng bình phương: Vì khơng thể có tận , nên khơng thể có tận , chia hết cho chia hết cho Vậy khơng số phương DẠNG 6: Chứng minh kẹp hai số phương liên tiếp Bài tập: Chứng minh số khơng số phương Nhận xét: Số có hai chữ số tận dụng cách nên chia cho dư chia cho dư , nên áp Lời giải: Cách 1: Ta thấy: ; Nên Chứng tỏ số khơng phải số phương Cách 2: Ta có: Muốn số phương phải số phương Ta lại có: thuvienhoclieu.com Trang 13 thuvienhoclieu.com Mà: khơng số phương Do số khơng số phương PHẦN III CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Chứng minh với số số khơng số phương Lời giải Bất kì số phương có dạng Ta có: có dạng , , Suy ra: A khơng số phương Bài 2: Chứng minh bình phương hai số lẻ khơng phải số phương Lời giải Gọi hai số lẻ Vì và lẻ nên ; ; Suy ra: Do đó: khơng số phương Bài 3: Chứng minh khơng số phương Lời giải Ta có: Ta thấy: A chia cho dư Do đó: A khơng số phương Bài 4: Chứng minh khơng số phương thuvienhoclieu.com Trang 14 thuvienhoclieu.com Lời giải Ta có: Vì: Mà số phương chia Do đó: dư khơng số phương Bài 5: Chứng minh khơng số phương Lời giải Ta có: Ta có số phương chia dư nên có trường hợp xảy * TH1: Nếu chia A chia ; mà chia dư dư dư A khơng số phương * TH2: Nếu A chia chia dư chia dư chia dư , chia dư chia dư mà chia dư dư A khơng số phương * TH3: Nếu chia dư chia ; chia dư chia dư , dư thuvienhoclieu.com Trang 15 thuvienhoclieu.com chia A chia dư dư A khơng số phương * TH4: Nếu chia dư chia chia chia A chia dư dư ; ; chia chia dư dư chia chia dư , dư dư dư A khơng số phương * TH5: Nếu chia dư chia chia chia A chia dư ; dư ; chia chia dư dư chia chia dư , dư dư dư A khơng số phương Vậy A khơng số phương với Bài 6: Cho tích số nguyên tố Chứng minh nguyên tố (Đề HSG Hương Sơn năm học 2015 - 2016) không số Lời giải: Vì tích số ngun tố nên Ta chứng minh Giả sử không chia hết cho số phương số phương Đặt Vì lẻ Đặt chia hết cho chẵn nên lẻ lẻ Ta có: thuvienhoclieu.com Trang 16 thuvienhoclieu.com chia hết cho Ta chứng minh Ta có: số phương chia hết cho Vì khơng có số phương có dạng Vậy tích Bài 7: Cho học 2019 - 2020) nên số nguyên tố khơng phải số phương khơng phải số phương Chứng minh B khơng số phương (Đề HSG Vĩnh Tường năm Lời giải: Ta có: Ta thấy: Suy ra: Mà: Do đó: Hay: Vậy B khơng số phương Bài 8: Cho biểu thức Chứng minh khơng phải số phương (Đề HSG Quỳnh Lưu năm học 2018 - 2019) thuvienhoclieu.com Trang 17 thuvienhoclieu.com Lời giải Ta thấy: Mặt khác: (vì tất số chia hết cho (do Do Vậy chia hết cho ) ) khơng chia hết cho khơng số phương thuvienhoclieu.com Trang 18 ... Nếu chia dư chia ; chia dư chia dư , dư thuvienhoclieu. com Trang 15 thuvienhoclieu. com chia A chia dư dư A khơng số phương * TH4: Nếu chia dư chia chia chia A chia dư dư ; ; chia chia dư dư chia. .. nên khơng chia cho dư khơng số phương thuvienhoclieu. com Trang ; ; thuvienhoclieu. com Bài 8: Chứng minh số khơng số phương Lời giải Ta có: chia dư nên chia dư chia dư chia Suy ra: Vậy chia dư dư... lẻ Ta có: thuvienhoclieu. com Trang 16 thuvienhoclieu. com chia hết cho Ta chứng minh Ta có: số phương chia hết cho Vì khơng có số phương có dạng Vậy tích Bài 7: Cho học 20 19 - 20 20) nên số ngun