Chuyên đề 3 bất đẳng thức, cực trị

CHUYÊN ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ ĐẠI SỐ Dạng 1: BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG SỐ Phương pháp: So sánh số hạng tổng với số hạng tổng liên tiếp để tìm mối quan hệ, Nếu muốn chứng minh lớn giá trị k đó, ta cần so sánh với số hạng có mẫu lớn hơn, ngược lại Bài 1: Chứng minh rằng: A 1 1     1 2 1002 Lời giải Ta thấy tốn có dạng tổng lũy thừa bậc hai, nên ta phân tích tổng A sau: 1 1 A      2.2 3.3 4.4 99.99 100.100 Đến ta so sánh với phân số có mẫu nhỏ hơn, u cầu tốn chứng minh nhỏ 1 1                                     98 99   99 100  1.2 2.3 3.4 98.99 99.100       1 A  1 100 1 1 1       100 Bài 2: Chứng minh rằng: 6 Lời giải Ở toán này, ta phải chứng minh hai chiều, chiều thứ ta cần chứng minh: 1 1 1 A       A 99 100 Chứng minh 1 1 1 1 1 A            5.5 6.6 7.7 99.99 100.100 5.6 6.7 7.8 99.100 100.101 Ta có: 1 96 96 A   101 505 đến đây, ta so sánh 505 với sau: 96 96 1   Ta có: 505 576 cách ta nhân tử mẫu phân số với 96 để hai 96 96 A   505 567 phân số tử so sánh ta có: (1) 1 1 1 A        99 100 Chiều thứ hai, ta cần chứng minh: A Ta làm tương tự sau : 1 1 1 1 1 A            5.5 6.6 7.7 99.99 100.100 4.5 5.6 6.7 98.99 99.100 1 A    100 (2) 1 1 A       (2n) Bài 8: Chứng minh rằng: Lời giải A Ta có : 1    4n  1 1     2  2 2 n  1 1 1  1      1     n  1 n   n    1.2 2.3 1  A Từ (1) (2) ta có : 1 1      2 100 Bài 3: Chứng minh rằng: Lời giải 1 1 1 1 1 A            3.3 4.4 99.99 100.100 2.3 3.4 4.5 99.100 Ta biến đổi: 1 3 A      100 100 1 1 A       2 100 Bài 4: Chứng minh rằng: Lời giải Nhận thấy tổng lũy thừa số lại chẵn, nên ta đưa tổng lũy thừa hai liên tiếp sau :  1 1  1 1 1  A                  50   1.2 2.3 3.4 49.50  1  1 A   1     4 50  200  100 A      100  3 3 Bài 6: Chứng minh rằng: Lời giải 1 1 100 A 1      99  100 3 , Tính tượng tự 5, ta có: 1 1 B      99 3 3 , tính B thay vào tổng A ta Đặt 1 1 100 3 B   A 1    100  A     A  99 99 2.3 2.3 2 Bài 7: Chứng minh rằng: A Ta có : A 1 1      2 n Lời giải 1 1 1 1          1   2.2 3.3 4.4 n.n 1.2 2.3 3.4 n  n  1 n A Bài 8: Chứng minh rằng: 1 1      2 (2n) Lời giải A Ta có : 1    4n  1 1     2  2 2 n  1 1 1  1      1     n  1 n   n    1.2 2.3 1  A Từ (1) (2) ta có : Dạng : BẤT ĐẲNG THỨC CHỮ Phương pháp: Với chương trình lớp 6-7 dạng toán chứng minh bất đẳng thức chữ, ta thường sử a a am 1  ,m  b bm dụng tính chất: b ngược lại đưa mẫu Bài 1: Cho a, b, c > 0, Chứng minh rằng: M  a b c   a  b b  c c  a có giá trị không nguyên Lời giải Với a, b, c > 0, ta có: a a  a b a b c b b  b c a b c c c  c a a b c Cộng theo vế bất đẳng thức ta có: Ta có: M a b c   1 a b b c c a a a c  a b a b c b ba  b c a b c c c b  c a a b c M a b c   2 a b b c c  a Cộng theo vế bất đẳng thức ta có: Suy  M  , Vậy M không nguyên Bài 2: Cho x, y, z, t số tự nhiên khác 0, Chứng minh rằng: x y z t M    x  y  z x  y  t y  z  t x  z  t có giá trị không nguyên Lời giải Với x, y, z, t số tự nhiên khác 0, ta có: x x  x  y  z x  y  z t y y  x  y t x  y  z t z z  y  z t x  y  z t t t  x  z t x  y  z t x y z t M    1 x  y  z x  y  t y  z  t x  z  t Cộng theo vế ta được: Ta có x x t  x  y  z x  y  z t y yz  x  y t x  y  z t z zx  y  z t x  y  z t t ty  x  z t x  y  z t , M Cộng theo vế ta được: Suy  M  , Vậy M không nguyên x y z t    2 x  y  z x  y t y  z t x  z t Bài 3: Cho a, b, c số dương, tổng hai số ln lớn số cịn lại a b c   2 Chứng minh rằng: b  c c  a a  b Lời giải Chúng ta làm theo cách trên, làm theo cách thứ hai sau: Giả sử: a b c  a  b  a  c  b  c Khi ta có: a a  bc bc b b  c a b c c c  a b b c , a bc a VT  1    2 bc bc Cộng theo vế ta được: Bài 4: Cho a, b, c, d > Chứng minh rằng: 1 a b c d    2 a b c b c  d c d a d a b Lời giải Với a, b, c, d > 0, ta có: a a  a b c a b c d b b  b c d a b c d c c  c d a a b c  d d d  d a b a b c d a b c d    1 Cộng theo vế ta được: a  b  c b  c  d c  d  a d  a  b a a d  a b c a b c d b ba  b c d a b c d c c b  c d a a b c d d d c  Ta có d  a  b a  b  c  d a b c d    2 Cộng theo vế ta được: a  b  c b  c  d c  d  a d  a  b a b c d 1    2 a b c b c d c  d  a d  a b Vậy với a, b, c, d > 0, ta có: Bài 5: Cho a, b, c, d > 0, Chứng minh rằng: 2 a b bc cd d a    3 a b c b  c  d c  d  a d  a b Lời giải Với a, b, c, d > 0, ta có: a b a b a b  d   a b c  d a b  c a b c  d b c bc a b c   a b c  d b  c  d a b c  d cd c d c  d b   a b c  d c  d  a a b c  d d a d a d ac   a b c  d a b  d a b c  d a b bc cd d a 2    3 a b c b c  d c  d a d  a b Cộng theo vế ta được: a b bc cd d a 2    3 a b c b c d c d  a d a b Vậy với a, b, c, d > 0, ta có: 1 x y z   2 xy yz zx Bài 6: Cho số x,y,z nguyên dương Chứng minh rằng: Lời giải Ngồi hai cánh trên, ta hướng dẫn học sinh làm theo cánh sau: x y z y z x   1   1 Ta có: x  y y  z z  x , Tương tự ta có: x  y y  z z  x  x y z   y z x  x y z       2     3 Mà  x  y y  z z  x   x  y y  z z  x  Nên x  y y  z z  x  ab  bc  ca   a2  b  c Bài 7: Cho a,b,c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: Lời giải Trong tam giác, tổng độ dài hai cạnh lớn cạnh lại nên ta có : b  c  a  a  b  c   a  ab  ac  a Tương tự ta có : bc  ba  b ac  cb  c 2  ab  bc  ca   a2  b  c Cộng theo vế ta : Vậy a,b,c ba cạnh tam giác  ab  bc  ca   a2  b  c Dạng 3: TÌM MIN - MAX CỦA BIỂU THỨC GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Bài 1: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ (nếu có) : A 2 3x   B 1,5   x a) b) Lời giải x  0  3x     A  a) Ta có: 3x  0  x  Khi A đạt giá trị nhỏ -4  x 0    x 0  B 1,5   x 1,5 b) Ta có: Khi B đặt giá trị lớn 1,5 x 2 c) Ta có: C  x  0 c) C = đạt giá trị nhỏ kho x = Bài 2: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ (nếu có) :: A 0,5  x  3,5 E  1,  x  a) b) Lời giải A 0,5  x  3,5 0,  MaxA 0,5 a) Ta có: x=3,5 B  1,  x    MaxB  b) Ta có: x=1,4 c) Ta có: x F 5,5  x  1,5 5,5  MaxF 5,5 c) F 5,5  x  1,5 1,5 x  Bài 3: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ (nếu có) : G  10,  x  14 A  2,5  x  5,8 a) b) K 10  x  Lời giải c) 17 10,  x 0  x  a) Ta có: 2,  x 0  x  A  2,5  x  5,8  5,8  MaxA  5,8 , b) Ta có: K 10  x  10  MaxK 10 c) Ta có: x  0  x 2 G  10,  x  14  14  MaxG  14 Bài 4: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ (nếu có) : H 4  x   y  12 M 5  x  a) b) Lời giải a) Ta có: H 4   x   y  12  4  MaxH 4 b) Ta có: M 5  x  5  MaxM 5 khi c) A 1,7  3,  x 5x  0   3y  12   2x  0  x  2  x    y  A 1,  3,  x 1,  MinA 1, c) Ta có: 17 3,  x 0  x  Bài 5: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ (nếu có) : x  2,8  3,5 A 3,7  4,3  x a) A= b) Lời giải a) Ta có: A  x  2,8  3,5  3,5  MinA  3,5 c) N  2,5  x  5,8 x  2,8 0  x  14 43 10 b) Ta có: 2,  x 0  x  N  2,5  x  5,8 5,8  MinN 5,8 c) Ta có: 4,3  x 0  x  A 3,  4,3  x 3,  MinA 3, Bài 6: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ (nếu có) : B  x   y  7,5  12,5 A  4,9  x  2,8 a) b, Lời giải a) Ta có: b) Ta có: B  x   y  7,5  12,5 12,5  MinB 12,5 A  4,9  x  2,8  2,8  MinA  2,8 A   x    MinA  c) A   x   x  0   y  7,5   4,9  x 0  x  x  0  x  c) Ta có: Bài 7: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ (nếu có) :   x    y   49 10 2 a) A  x  b) B 3x  Lời giải 1  C  x    2  c) a) Ta có: A  x  1  MinA 1 x = b) Ta có: B 3x    MinB  x = 1  1 C  x      MinC  x   c) Ta có: Bài 9: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ (nếu có) : x   12 x   x  y   17 x  1  x   y  30 a) A = b) B = c) C =  Lời giải A  x   12  12  MinA  12 a) Ta có: x  0  x  0  x     B  x   x  y   17  17  MinB  17 b) Ta có: khi:  x  y  0  y   x  0  x     C  x  1  x   y  30 30  MinC 30 c) Ta có: 2 x   y 0  y  Bài 10: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ (nếu có) : B A x  y   x4 2 a) A 100  x b, c) Lời giải a) Ta có: A 100  x 100  MaxA 100 x = 4 x   2   2  B 2  MaxB 2 x4 2 b) Ta có: khi: x  0  x   x 0  x 0   A x  y     MinA  c) Ta có:  y  0  y  Bài 11: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ (nếu có) : 1  M  x     y    5  b) Lời giải a) E  x  1  a) Ta có: E  x  1    MinE  c) N  x    y   10 x  0  x   x  0  x      1  1  M  x     y      MinM  y  0  y   5 5   b) Ta có:   x  0  x 3    N  x    y   10 10  MinN 10 y    y 2 c) Ta có:  Bài 12: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ (nếu có) : 2012 P  y  x  10  P  x  y    y  2002  a) b) Lời giải  x  10 0  x 10    P  y  x  10  9  MinP 9 y    y 0 a) Ta có:  x  y 0  x 4004   2012  P  x  y    y  2002  0  MinP 0 b) Ta có: khi:  y  2002 0  y 2002 Bài 13: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ (nếu có) : a) 2 Q  x  y  3   x  y   2012 b) Lời giải a) Ta có: Q  x  y  3   x  y   2012 2012 A  x    y  x   x  y  0   x  y  MinQ  2012  Vậy khi:  x 2   y 1  x  0   A  x    y  x  3  MinA 3 y  x   b) Ta có:  x 2   y 2 Bài 14: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ (nếu có) : a) B  x  1   y    b) A  x   12 Lời giải  x  0  x     B  x  1   y    1  MinB 1 a) Ta có:  y  0  y  A  x   12  12  MinA  12 b) Ta có: x  0 Bài 15: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ (nếu có) : B  x  20  18 C  x   x  y   17 a) b) Lời giải B  x  20  18  18  MaxB  18 a) Ta có: x  20 0  x  10  x  0  x    C  x   x  y   17  17  MinC  17 b) Ta có :  x  y  0  y 7 2 Bài 16: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ (nếu có) : Lời giải D  x  1  x   y  30  x  0  D  x  1  x   y  30 30  MinD 30 Ta có: 2 x   y 0 Bài 17: Tìm giá trị lớn : 5,8 A A B x3 x  3 2,5  x  5,8 a) b) c) Lời giải 6 x       A   MaxA  x  3 a) Ta có : x = 1 1 x   3    A   MaxA  x  3 3 b) Ta có : x 2 5,8 2,5  x  5,8 5,8  1  B 1  MaxB 1 2,5  x  5,8 c) Ta có : x 2,5 Bài 18: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ (nếu có) với x số nguyên : x 2 12 D C 2  4x5 x 5  a) b) Lời giải x   4  a) Ta có : b) Ta có : 12 12  3  C 2  5  MaxC 5 x 5 4 x = - 12 x  12 x  15  23 23 4D   3  4x5 4x5 4x5  x    x   x 1  x 1  x 1  x   ,    Để D đạt Vậy D  x 1 4 x    x   x   x 2  x 2  x  5,  Để D đạt max  max D  x 2 Vậy Bài 19: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ (nếu có) : x   11 y   13 F G 7x   2y 7 6 a) b) c) 15 x   32 A x 1  Lời giải 7x  8  3 F 2  7x   7x   a) Ta có : , 3 11 x   4    F 2   7x   4 4 Mà 11 5 MaxF  x  0  x  Vậy 2 y   26 20 2G  1  2y 7 6 2y   b) 20 20 10 10 2 y   6     2G 1  2y 7 6 3 Mà 13 7 MaxG  2y  0  y  20 Suy 30 x   32 30 x   40  8 2A   5  x 1  x 1  x 1  c) 8 x   8  1   5  4 x 1  x 1   A 4  A 2 Mà Vậy A 2 x 1 Bài 20: Tìm giá trị nhỏ : B 5  a) a) 8 x   24 b) 14 C  5 y   35 D c) Lời giải 8 8 1  14 x   24 24     B 5   x   24 24 3 14 7 MinB  5x  0  x  Vậy : 14 14 y   35 35      C   y   35 35 5 5 b) y  0  y  MinC  Vậy : D c) 21 x   35  2 7  4x   4x   x   5  mà 2 2  33   D 7   4x   5 5 33 x  0  x  Hay Bài 21: Tìm giá trị nhỏ : MinD  E a) y   14 y   14 E a) Ta có:  15 x   68 x   12 b) Lời giải y   42  28  28 3  y   14 y   14 y   14 14  Mà F  28  28    E 3     1 y   14 14 Hay MinE 1 y  0  y   15 x   60  8 F   x   12 x   12 b) Ta có: 8 8   17 x   12 12    F    x   12 12 3 Mà  17 MinF  x  0  x  Hay Bài 22: Tìm giá trị nhỏ : 3 15 28 H C  x  2  12 x  y  x   35  a) b) Lời giải 21 x   33 4x   a) Ta có: x  y  x   35 35   28  28  15     C   x  y  x   35 35 12 20  x    x  y 0     2 x  0  y  MinC   20 Hay 3 3 3   H  x    4   x  2  4 b) Ta có: 3 MinH  x  0  x  Vậy Bài 23: Tìm GTLN của: 15 1 21 A 5  B  3x   3 15 x  21  a) b) Lời giải 15 15 x   3   5  A 5  10 3x   3 a) Ta có: Vậy MaxA 10 21 21 1 15 x  21  7   3  B    15 x  21  7 3 b) Ta có: MaxB  15 x  21 0  x  Vậy Bài 24: Tìm giá trị lớn : 20 24 C  D   3x   y   x  y  2x 1  a) b) 3x  0  x  a) Ta có: Lời giải 20 20 5 33 x   y   8     C   3x   y   8 10  x  3 x  0    33 4 y  0  y  MaxC   10 Vậy x  y  x   6  b) Ta có: 5 24 24  4  D    2 x  y  2x 1  6  x    x  y 0    2 x  0  y   Vậy MaxD  Bài 25: Tìm giá trị lớn : 21 E   x  y   x   14 a) Lời giải  x  3y   x   14 14  a) Ta có: F b) x  3 21 21 3 13    E    x  y   x  14 14 2  x    13 MaxE   y  Vậy 1 x   3    F x  3 3 b) Ta có: MaxF  x  0  x 1 Vậy Bài 26: Tìm giá trị lớn : A B x  2   2x  a) b) Lời giải 3   A  x    5   x  2  5 a) Ta có: MaxA  x  0  x 2 Vậy 1 x  5    B 2x  5 b) Ta có: MaxB  x 0 Vậy 2016 A x  2   x  y    Bài 27: Tìm giá trị lớn : Lời giải 2016 2016  672  x     x  y   3  x  2   x  y     A 672 Ta có:  x  0  x 2    x  y    y 2 MaxA  672 Vậy  x  y 0    x  0 Bài 28: Tìm giá trị nhỏ : a) A  x 5 2 x b) B  x  6 x c) C  2x   2x  Lời giải a) với x  0  x   A  x    x 7 (1) x    A  x    x  x  Với Mà x     x  10   x   10  7  A  (2) A   MinA  x  Từ (1) (2) ta có x    x   B  x    x  b) Với (1) x   B   x   x  x  13 Với mà x    x   14   x  13    B   (2) Từ (1) (2) ta có : B   MinB  x 7 x  0  x   C 2 x   x  4 x  c) Với 1 x   x  4  7  C 7 2 Mà (1) x   C 1  x  x  7 Với (2) x Từ (1) (2) ta có : C 7  MinC 7 Bài 29: Tìm giá trị nhỏ : E  4x   4x  F  5x    5x a) b) G  2x    2x Lời giải 3 x  0  x   E 4 x   x  8 x  a) Với 3 3 x   x  8    E  4 Mà (1) 3 x  E  x   x   Với (2) 3 x Từ (1) (2) ta có : E   MinE  x  0  x   F 5 x    x 10 x  b) Với 6 x   10 x  10  9  F 9 5 Mà (1) x   E 6  x   x 9 Với (2) x Từ (1) (2) ta có : F 9  MinF 9 7 x  0  x   G 2 x    x 12 c) Với (1) c) 7  G  x    x  x  2 Với 7 7 x   x     12  G  12 2 Mà (2) 7 x G 12  MinG 12 Từ (1) (2) ta có : Bài 30: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ (nếu có) : B x  x C x  x D  10   x  3  y  a) b, c) Lời giải a) Xét: x 0  B x  x  x 0 Xét x   B x  x 0  B 0  MinB 0 x 0 x x   C  x    x  2 x  b) Xét Xét x 0  C  x  x 0  C 0  MaxC 0 x 0  x  0   D  10   x  3  y   10  MaxD  10 y   c) Ta có:   x 3   y 5