Chuyên đề 3 bất đẳng thức

CHUYÊN ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC Câu (Tuyển sinh tỉnh Bắc Giang năm 2017-2018) Cho hai số thực dương a , b thỏa mãn 2a  3b 4 Tìm giá trị lớn biểu thức 2002 2017 Q   2996a  5501b a b Lời giải 2002 2017 Q   2996a  5501b a b Ta có 2002 2017   8008a   2017b  (5012a  7518b) a b 1 2002(  4a)  2017(  b)  2506(2a  3b) a b 1 2002.2 4a  2017.2 b  2506(2 a  3b) ( BDT CoSi) a b 2002.4  2017.2  2506.4 2018 a b 1 Do Q đạt giá trị nhỏ 2018 Câu (Tuyển sinh tỉnh Bắc Ninh năm 2017-2018) Cho bốn số thực dương x, y, z, t thỏa mãn x + y + z + t = Tìm giá trị nhỏ biểu thức (x + y + z)(x + y) A= × xyzt Lời giải Ta có (x + y + z + t)2(x + y + z)(x + y) xyzt 4(x + y + z)t(x + y + z)(x + y) ³ xyzt 4A = = 4(x + y + z)2(x + y) 4.4(x + y)z(x + y) ³ xyz xyz 16(x + y)2 16.4xy ³ ³ 64 xy xy Þ A ³ 16 Đẳng thức xảy ìï ïìï x + y + z + t = ïï x = y = ïï ïï ï ïï x + y + z = t ï Û íz = í ïï x + y = z ïï ïï ïï t = ïïỵ x = y ïï ïïỵ = 1 x  y  , z  , t 1 Vậy giá trị nhỏ A 16, xảy Câu (Tuyển sinh tỉnh Bình Định năm 2017-2018) a b5 c5   a  b3  c Cho a , b , c ba số thực dương CMR: bc ca ab Lời giải a b5 c5 a6 b6 c6 (a ) (b3 ) (b3 )         abc abc abc Ta có: bc ca ab abc abc abc Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz : a b5 c (a ) (b ) (b3 ) (a  b  c ) (a  b  c )(a  b  c )        bc ca ab abc abc abc abc  abc  abc 3abc 3 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho số a , b , c ta được: a  b3  c 3 a 3b 3c 3abc Do đó: a b5 c (a  b3  c )(a  b3  c ) (a  b3  c )3abc     a  b3  c bc ca ab 3abc 3abc (đpcm) Dấu “ ” xảy a  b  c Câu (Tuyển sinh tỉnh Thanh Hóa năm 2017-2018) 1   2017 Cho a , b , c số dương thay đổi thỏa mãn: a  b b  c c  a Tìm giá trị lớn biểu thức: P 1   2a  3b  3c 3a  2b  3c 3a  3b  2c Lời giải Đặt x a  b ; y = b + c ; z = a + c ; 1 Þ + + = 2017 x y z P= 1 + + x + y + z x + y + 2z 2x + y + z 1 + ³ Ta có: x y x + y 1   y z yz 1 + ³ x x x+z Þ ỉ1 1 1 ữ + + 2ỗ + + ữ ỗ ữ ỗ ữ x y z ốx + y y + z x + z ø æ 1 ữ 4ỗ + + ữ ç ÷ ÷ ç x + y + z y + x + z z + x + y è ø Þ P£ 1ỉ 1 1ư ữ= 2017 ỗ + + ữ ỗ ữ ỗ ữ èx y z ø Dấu " = " xảy a b c  4034 Câu (Tuyển sinh tỉnh Đắc Lắc năm 2017-2018) Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn xy 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M x  y  x  y 1 Lời giải  x; y   x  y  4 xy 4  x  y 2 Với  xy 1 ta có:  t  x  y Đặt ; t 2 M x  y  3 t  t  2t   x  y   xy  t    x  y 1 x  y 1 t 1 t 1 Khi đó:  t    t  3t  1   t  1  t    t  3t  1    3 t 1 t 1 (Vì t 2 )  x  y 2 M 3  t 2    x  y 1 xy   Vậy Câu (Tuyển sinh tỉnh Hà Nam năm 2017-2018) Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn điều kiện ab  bc  ca 3 c a P Tìm giá trị nhỏ biểu thức  a  1   b  1   c  1 Lời giải Cách 1: Theo đề ab  bc  ca 3 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có  1 ab  bc  ac 3 a 2b 2c  abc 1,  a  b  c Từ Đặt  1 x  2 3  ab  bc  ac  9  a  b  c 3,  2  a  b  c 3abc 1 ; y ; z a 1 b 1 c    x, y , z  0; z x   P  x  y  z  x  z  y  z 2  x  y  z   P 2  x  y  z  2  xy  yz  xz   * Ta tìm giá trị nhỏ xy  yz  xz xy  yz  xz     a  1  b  1  c  1  b  1  a  1  c  1  xy  yz  xz  a b c 3 a b c 3   a 1  b 1  c 1 abc  a  b  c   xy  yz  xz   a  b  c  3 a b c 3  abc  a  b  c  3abc   a  b  c   12  xy  yz  xz   a  b  c  3  a  b  c  3   3abc   a  b  c   12  a  b  c    a  b  c   12 3  P 2  Dấu xảy x  y  z  a b c 1 P Vậy giá trị nhỏ  P Cách 2: Vì a c  P  a  1   b  1  a  1    b 1   c 1   a 1   b 1   c 1  c  1 Ta chứng minh đẳng thức với x, y không âm  x  1   y  1   xy    xy   x  y  x  y     xy  x  y  1 0    xy   x  y  xy  xy  x  y     xy  x  y  1 0 2    xy   x  y     xy   xy  x  y  1   xy  x  y  1 0    xy   x  y    xy  x  y  1  xy  x  y  1 0 2 2  xy  x  y    x  y    xy  1   x  y  0 2  xy  x  y    xy  1 0 Luôn đúng, dấu " " xảy x  y 1  P  P  a  1    a  1  b  1    b  1  c  1    b  1    a  1  c  1  b  1  a  1   c  1   a  1 1     ab  bc  ac Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số khơng âm ta có  1 1 1    9     x y z x yz  x y z  x  y  z  1 9  P       ab  bc  ac  ab  bc  ac 2   a 1 Vậy GTNN P a b c 1 Câu (Tuyển sinh tỉnh Gia Lai năm 2017-2018)   a b c abc  ac  cb  bc Tìm chữ số , , biết Lời giải Điều kiện 1 a 9  0 b, c 9  a , b, c     *   abc  ac  cb  bc   100a  10b  c    10a  c  2  10c  b    10b  c  Ta có  a 1  90a 2b  21c  90a 2.9  21.9  a 2,3    a 2 1 a 1  2b  21c 1   2b 21c 0  b   b 0  c  21 không thỏa mãn  * + TH1 + TH2  b 0  c   a 2  2b  21c 2   2b 21c 0  b 1  21   b 1  c 0 Kết hợp với  * ta a 2 , b 1 , c 0 thỏa mãn Vậy a 2 , b 1 , c 0 Câu (Tuyển sinh tỉnh Hà Tĩnh năm 2017-2018) Cho a, b, c ba số thực không âm thỏa mãn a  b  c 1 Chứng minh a  2b  c 4   a    b    c  Lời giải Từ giả thiết: a  b  c 1   a b  c ;  b a  c ;  c a  b Suy a  2b  c 4   a    b    c   (a  b)  (b  c) 4  a  b   b  c   c  a  Đặt x a  b ; y b  c ; z c  a  x , y , z 0  Suy x  y  z 2, ta phải chứng minh x  y 4 xyz Áp dụng BĐT Cauchy ta có : suy  x  y  z Mặt khác  x  y x  y  z  x  y   z 2 ( x  y ).z , x  y 0 suy x  y ( x  y ) z (1) 4 xy, x  y  z 4 xyz z 0 suy  (2) Từ (1) (2) suy x  y 4 xyz suy toán chứng minh suy 2 ( x  y ).z Câu (Tuyển sinh tỉnh Hải Dương năm 2017-2018) Cho x, y, z ba số thực dương thỏa mãn: x  y  z 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x 1 y 1 z 1 Q    y  z  x2 Lời giải x 1 y 1 z 1  x y z   1  Q         M  N 2 2 2  2  1 y 1 z 1 x  1 y 1 z 1 x   1 y 1 z 1 x  x y z M   2  y  z  x , áp dụng kỹ thuật Cơsi ngược dấu ta có: Xét x   y   xy x xy xy xy   x   x  x  2 1 y 1 y 1 y 2y y yz z zx z  y  2 ; 1 x ; Tương tự:  z x y z xy  yz  zx xy  yz  zx M   x  y  z  3  2 1 y 1 z 1 x 2 Suy Lại có: x  y  z xy  yz  zx   x  y  z  3  xy  yz  zx   xy  yz  zx 3 Suy ra: M 3  xy  yz  zx 3 3   2 Dấu “ ” xảy  x  y  z 1 N   2  y  z  x , ta có: Xét:        N    1  1     1 y   1 z   1 x  y2 z2 x2 y z2 x2 x  y  z          y2  z 1 x2 y 2z x 2 Suy ra: N 3  3  2 Dấu “ ” xảy  x  y  z 1 Từ suy ra: Q 3 Dấu “ ” xảy  x  y  z 1 Vậy Qmin 3  x  y  z 1 Câu 10 (Tuyển sinh tỉnh Hà Nội năm 2017-2018) Cho số thực a,b,c thay đổi thỏa mãn: a 1,b 1,c 1 ab  bc  ca  2 Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P a  b  c Lời giải + Tìm giá trị nhỏ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương ta có:  a  b 2ab  2 2  b  c 2bc   a  b  c  2  ab  bc  ca   c  a 2ca   P a  b  c ab  bc  ca 9  a b c 1   a b c  ab  bc  ca   Dấu ‘=’ xảy + Tìm giá trị lớn Vì a 1  b 1   c 1   a  1  b  1 0    b  1  c  1 0   c  1  a  1 0  ab  a  b  0   bc  b  c  0  ca  c  a  0   ab  bc  ca   a  b  c   0  a  b  c  ab  bc  ca  6 2   a  b  c  36  a  b  c   ab  bc  ca  36  P 36   ab  bc  ca  18  a 4, b c 1   b 4, c a 1  c 4, a b 1 Dấu ‘=’ xảy Vậy GTNN P , xảy a b c   a 4, b c 1  b 4, c a 1   c 4, a b 1 GTLN P 18 , xảy  Câu 11 (Tuyển sinh tỉnh Hải Phòng năm 2017-2018) 1 1     a) Cho hai số x  0, y  Chứng minh x  y  x y  1   16 b) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a b c 1     Chứng minh rằng: 3a  2b  c a  3b  2c 2a  b  3c Lời giải a) Xét hiệu: 2  x  y   xy   x  y  0 1 1 x y        x y  x  y xy x  y xy  x  y  xy  x  y  (do x  0; y  ) 11 1     Vậy x  y  x y   x y  Dấu “=” xảy b) Áp dụng bất đẳng thức phần a) ta có: 1 1 1      3a  2b  c 3a  2b  c  3a 2b  c   1 ; 1     Chứng minh với a; b; c  ta có a  b  c a b c Áp dụng bất đẳng thức ta được: 1 1   1                   2    3a 2b  c   3a  b c    3a 9b 9c  ; 1       Từ (1) (2) suy 3a  2b  c  3a 9b 9c  Chứng minh tương tự ta được: 1 1  1 1      ;      a  3b  2c  9a 3b 9c  2a  b  3c  9a 9b 3c  Cộng theo vế bất đẳng thức chiều ta được: 1 1 2 1 1           16  3a  2b  c a  3b  2c 2a  b  3c  a b c  3  a b c   1 1  a b c  16  a  b  c 16 Dấu “=” xảy 1    Vậy 3a  2b  c a  3b  2c 2a  b  3c (đpcm) Câu 1: (Tuyển sinh tỉnh Hịa Bình năm 2017-2018) x + 3x + x +1 Cho x Ỵ ¡ , tìm giá trị nhỏ biểu thức: Lời giải P= ỉx + 2 x2 + ữ ỗ ữ = + + ỗ P = x +2 + ÷ ÷ x2 + 2ø ố x +2 ỗ Ta cú: x2 + 2 x2 + ³ + x +2 =2+ x2 + 2 ³ 2+ +2 =3 ìï x + 2 ïï = x +2 í ïï x =0 Û x =0 Dấu " = " xảy ïïỵ Vậy GTNN P x = Câu 12 (Tuyển sinh tỉnh Hịa Bình năm 2017-2018) Cho số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: a b c + + >2 1- a 1- b 1- c Lời giải a b c   2 1 b 1 c Ta có  a a b c   2 a b c  a a b c  b a b c  c  a b c   2 bc a c a b 2a 2b 2c    2 a  b  c b  a  c c  a  b   a a  b  c  b b  a  c  c c  a  b 1 Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có  a a   2 a  b  c a  b  c a   b  c  2 a  b  c    b b    b   a  c  2 b  a  c      b  a  c a  b  c c  a  b  c a  b       c c    c  a  b a  b  c   a a  b  c  b b a  c Dấu “=” xảy Vậy  c c  a  b  a b c 1 a b c a b  c  b c  a  a b c 0 c a  b  a b c   2 1 a 1 b 1 c ( vơ lý a, b, c  ) Câu 13 (Tuyển sinh tỉnh Vĩnh Phúc năm 2017-2018) Cho x , y số thực Tìm giá trị lớn biểu thức:  x  y   1 x y  P 1  x  1  y  2 2 2 2 Lời giải (a  b)(1  ab) P b y2 (1  a )2 (1  b) Đặt a  x ; ( a 0 ; b 0 ) Vì a 0 ; b 0 nên: ( a  b)(1  ab) a  a 2b  b  ab a  ab a   b  a   2b  b  a   b  (1  a ) (1  a )  4a 4a Lại có:  P a(1  b)  4a(1  b) a 1   b   Dấu xảy ra:  x 1  P   y 0 Vậy max  x 1   y 0 Câu 14 (Tuyển sinh tỉnh Hưng Yên năm 2017-2018) Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn điều kiện x  y 4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 2 x y  35  xy xy Lời giải P Ta có: x2  y2  35 32  xy     xy  xy xy x  y xy xy 1   Với a  , b  ta có a b a  b (*) (Chứng minh biến đổi tương đương cô-si) Áp dụng (*) cho hai số dương x  y ; xy ta được: 2  1  8 2       2 2 2 xy xy  x y x  y  xy  x  y  x y Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương x , y ta có: 2  xy  x  y 4  xy 4  2   xy 32 32  xy 2 xy 16 xy xy P x y Do  32 1   xy    16  17 xy xy xy 2  x  y 2 xy  xy 4   x y   x  y 4  x  y 2 Dấu đẳng thức xảy  Vậy giá trị nhỏ P 17 x  y 2 Câu 15 (Tuyển sinh tỉnh Kiên Giang năm 2017-2018) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' nội tiếp mặt cầu tâm O (các đỉnh hình hộp chữ chữ nhật nằm mặt cầu) Các kích thước hình hộp chữ nhật a, b, c Gọi S1 diện tích tồn phần hình hộp chữ nhật, S2 diện tích mặt cầu Tìm mối liên hệ a, b, c để tỉ lệ S1 S2 lớn Lời giải Ta có S2 S1 2  ab  ac  bc  , a 4  b2  c    a  b  c  Do đó: S1  ab  ac  bc   2ab  2ac  2bc    S   a  b  c    2a  2b  2c   2ab  2ac  2bc    2a  2b  2c Mặt khác 2    S1 S Do đó, tỉ lệ lớn  Điều xảy a b c Câu 16 (Tuyển sinh tỉnh Kon Tum năm 2017-2018) Cho số thực x , Q x3  y3  x  y y thỏa mãn x  y 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức Lời giải 2 2   Q  x  y  x  y  x  y  x  xy  y   x  y   xy 2   x  y   3xy    xy   2   xy    xy 12  xy  Q 12  x   x  8 x  16 x  12 8  x  1  4 Mà x  y 2  y 2  x Vậy giá trị nhỏ Q x  y 1 Câu 17 (Tuyển sinh tỉnh Lạng Sơn năm 2017-2018) y Cho x , , z ba số thực dương, thoả mãn: xy  yz  zx xyz Chứng minh rằng: xy yz zx    z   x    y  x   y    z  y   z    x  16 Lời giải A Đặt xy yz zx   z   x 1  y x   y 1  z  y 1  z  1  x  Từ giả thiết, ta có: xy  yz  zx xyz  1   1 x y z Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số thực dương, ta có: xy 1 x 1 y xy 1 x 1 y   3 3    z   x    y  64x 64y z   x    y  64x 64y 16z  1 Tương tự, ta có: yz 1 y 1 z    x   y    z  64 y 64 z 16 x  2 zx 1 z 1 x    y   z    x  64 z 64 x 16 y  3 3 Cộng A  1 ,   ,  3 , ta được:  1   1     2         64   x y z   16  x y z  A  A 16 hay 16 Suy Dấu “ ” xảy  x  y  z 3 Câu 18 (Tuyển sinh tỉnh Yên Bái năm 2017-2018) Cho x,y số dương thỏa điều kiện x  y 6 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 3x  2y   x y Lời giải - Dùng máy tính casio ta chọn điểm rơi x = 2, y = Nên ta có:  3x   2y     1,5x  1,5y P 3x  2y        x y  x  y - Áp dụng BĐT Cô-si cho cặp số ngoặc ta P 6   1,5(x  y) 6   1,5.6 19  3x  x   2y    4 y x  y 6  Dấu xảy khi:  x 2 x 2  y 4    y 4 x  y 6  x 2  Vậy Pmin = 19 y 4 Câu 19 (Tuyển sinh tỉnh Ninh Bình 2017 – 2018 ) Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn a  b  c 3 Tìm giá trị nhỏ 2 2 2 biểu thức P  3a  2ab  3b  3b  2bc  3c  3c  2ca  3a Lời giải 3a  2ab  3b 2(a  b)  (a  b) 2(a  b)  3a  2ab  3b  2(a  b) Đẳng thức xảy a b Chứng minh tương tự ta có: 3b  2bc  3c  2(b  c ) 3c  2ca  3a  2(c  a ) P  3a  2ab  3b  3b  2bc  3c  3c  2ca  3a 2 2(a  b  c )  1 Đẳng thức xảy a b c Áp dụng bất đẳng thức Côsi: a  2 a ; b  2 b ; c  2 c  a  b  c 2( a  b  c )  3   Đẳng thức xảy a b c 1 Từ  1  2 suy ra: P 6 Đẳng thức xảy  a b c 1 Vậy P 6 , a b c 1 Câu 20 (Tuyển sinh tỉnh Ninh Thuận năm 2017-2018) Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện x  y 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q 3x  y  Lời giải Q 3 x  y  3 x   x    4 x  x  12 Có x  y 2  y  x    x  1  11 11   x    y   Giá trị nhỏ Q 11 Khi  Câu 21 (Tuyển sinh tỉnh Phú Yên năm 2017-2018) Biết số x , y thỏa mãn điều kiện x  y 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức C  x  y  xy Lời giải Cách 1: Nhận xét: tất điều kiện biểu thức, vai trò x , y bình đẳng nên C đạt GTNN x  y Do đó, ta biến đổi bên Ta có: Suy C x  y  xy a  x  y   b  x  y   a  b   x  y    a  b  xy a  b 1   1 a  b  Hay ta có: C  a   b   3 2  x  y    x  y     x  y   4 4 x y  x y   Dấu “=” xảy  x  y 1 C  Vậy, giá trị nhỏ C x y  Cách 2: Do x  y 1  y 1  x Khi đó, ta có: 1 3  C x  y  xy x    x   x   x   x  x   x     2 4  2 2  x   x y    Dấu “=” xảy  x  y 1 Vậy, C  x y  Câu 22 (Tuyển sinh tỉnh Quảng Nam năm 2017-2018) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z 3 Tìm giá trị lớn biểu thức P  xy  3xz  y  yz Lời giải + Áp dụng: a, b 0 ta có P  x( y  3z )  ab  a b , dấu xảy a b y( y  z) 1  x( y  z )  y( y  z) 2 x  ( y  3z ) y  ( y  z)   x  y  z 3 2 2 Suy P 3 4 x  y  z 2 y  y  z  P 3    x  y z 1  x  y  z 3  x  0; y  0; z  Vậy giá trị lớn P x  y z 1