Chuyên đề 2 bất đẳng thức

Câu (Tuyển sinh tỉnh Thanh Hóa năm 2019-2020) Cho số thực a, b, c thỏa mãn abc 1 , Chứng minh rằng: ab bc ca   1 4 a  b  ab b  c  bc c  a  ca Lời giải ab ab    4 a  b  ab ab a  b  ab a  b2  a  b ab a  b Ta có:     bc ca   4 Tương tự có: b  c  bc b  c  ; c  a  ca c  a  1 1 VT   2  2 a  b 1 b  c 1 c  a2 1 Suy 3 Đặt a  x ; b y ' c z ta có: xyz 1 ( abc 1 ) Suy ra: VT  1  3  3 x  y 1 y  z 1 z  x 1 3 Dễ cm đc x  y xy  x  y  VT  1   xy  x  y   yz  y  z   zx  z  x   VT  z x y   xyz  x  y   z xyz  y  z   x zxy  z  x   y VT  z x y   1 x  y  z x  y  z zx  y  z Vậy VT 1 Dấu “_” xảy a b c Câu (Tuyển sinh tỉnh Thái Bình năm 2019-2020) Cho a , b , c số thực dương thỏa mãn a b3 c   3 a  b  c  ab  bc  ac 6 Chứng minh rằng: b c a Lời giải Đặt P a b3 c   b c a Có a , b , c số thực dương, theo bất đẳng thức AM-GM có:  a3   ab 2a b  b3   bc 2b c  c3 a3 b3 c  a  ac 2c  P    2 a2  b2  c   ab  bc  ac   b c a , mà a  b  c  ab  bc  ac 6   P 2 a  b2  c   a  b  c      2  a  b   b  c   a  c Có   a  b  c   a  b  c  Suy P 2 2 0  a  b  c 2  ab  bc  ca    2 a  b  c   a  b  c   2 2   ab  bc  ac   a  b  c  Có ab  bc  ca a  b  c Do a  b  c  ab  bc  ac a  b  c    a  b  c  3  a  b  c , 9 1  a  b  c    a  b  c    a  b  c   0 3 P    3 Suy Dấu đẳng thức xảy a b c a b3 c   3 Vậy b c a Câu (Tuyển sinh tỉnh Vĩnh Phúc năm 2019-2020) Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh: + 6a + 3b + 2bc 2a + b + 2bc Câu ³ 16 2b2 + 2( a + c) + Lời giải (Tuyển sinh tỉnh Hà Nam năm 2019-2020) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện abc 1 1   1 Chứng minh  a  b  c Lời giải 1   1 Bất đẳng thức cần chứng minh  a  b  c   b    c     a    c     a    b    a    b    c    ab  bc  ca   a  b  c   12 abc   ab  bc  ca    a  b  c    ab  bc  ca   a  b  c   12 1   ab  bc  ca    a  b  c    ab  bc  ca 3 Thật áp dụng bất đẳng thức CauChy cho số dương ta có  ab  bc  ca 3  abc  3 Dấu “=” xảy a b c 1 Hoàn tất chứng minh Câu (Tuyển sinh tỉnh Hịa Bình năm 2019-2020) Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a + b = 4ab a  b Chứng minh rằng: 4b  4a 1  Lời giải .Từ a + b = 4ab  4ab 2 ab  ab  a b2  a  b    x y xy Chứng minh BĐT: Với x, y >0 ta có (*) Áp dụng (*) ta có  a  b a2 b2     2 2 4b  4a  4ab  a 4a b  b 4ab(a  b)  (a  b) a b 4ab 1  1   4ab  = 4ab  4ab  a b a b  Câu Dấu đẳng thức xảy (Tuyển sinh tỉnh Hải Phòng năm 2019-2020)Cho x, y , z ba số dương Chứng minh  1 1    9   x y z  x  y  z  Lời giải x y  2 y x Áp dụng bất đẳng thức cho hai số x  0; y  ta chứng minh  1 1  x  y  z      9  x y z Câu + + (Tuyển sinh tỉnh KONTUM năm 2019-2020) Chứng minh Lời giải ỉ 1 1 ÷ ÷ + + + = 2ỗ + + + ỗ ữ ữ ç è 2+ 2 400 3+ 400 + 400 ø ỉ 1 ÷ ữ < 2ỗ + + + ỗ ữ ữ ç è 2+ 3+ 400 + 399 ø ổ 1 ữ ữ 2ỗ + + + ỗ ữ ỗ ữ ố ứ + + 400 + 399 Ta có : = ( 2- ( 1+ 3- + + 400 - ) =2 - 399 400 < 38 ) + 400 = 38 Câu + + + + < 38 400 Vậy (Tuyển sinh tỉnh Lai Châu năm 2019-2020) Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: ab bc ca    (a  b  c) a  b  2c b  c  2a c  a  2b Lời giải Ta chứng minh bất đẳng thức Thậy vậy, với x, y > thì: 1 1     x y 4 x y với x, y > 1 1 1 x y       ( x  y ) 4 xy  x  xy  y  xy 0 x y 4 x y  x  y xy  x  xy  y 0  ( x  y ) 0 (luôn đúng) Do đó: 1 1     x y 4 x y với x, y > Áp dụng bất đẳng thức ta có: 1 1 ab ab  1    (  )     a  b  2c ( a  c )  ( b  c ) a  c b  c a  b  2c  a  c b  c   bc bc  1   b  c  2a   b  a  c  a      ca  1   ca     c  a  2b  c  b a  b  Tương tự ta có: Cộng vế với vế bất đẳng thức với ta được: ab bc ca ab  1  bc  1  ca  1              a  b  2c b  c  a c  a  b  a  c b  c   b  a c  a   c  b a  b   ab ab bc bc ca ca          a  c b  c b  a c  a c  b a  b   ab  bc ab  ca bc  ca   b(a  c) a(b  c) c(b  a)          (a  b  c)  ac cb b  a   a  c cb b  a  VT  VP Do (đpcm) Câu Dấu “=” xảy a = b = c (Tuyển sinh tỉnh Lạng Sơn năm 2019-2020)Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn a+b+c=1 Chứng minh rằng: a  2b  c 4(1  a)(1  b)(1  c ) Lời giải a  2b  c 4(1  a)(1  b)(1  c)  a  2b  c 4(b  c)(a  c )(a  b ) Ta có Áp dụng bất đẳng thức si ta có a  b  b  c 2 (a  b)(b  c )  (a  2b  c )2 4(a  b)(b  c)  (a  2b  c) (a  c ) 4(a  b)(b  c)(a  Áp dụng bất đẳng thức cô si a  2b  c  a  c 2(a  b  c )  ( a  b  c)( a  c)   ( a  b  c)( a  c)   ( a  b  c)( a  c) 2  (a  b  c )(a  c )  a  2b  c (a  2b  c)2 (a  c)  a  b  c 4(a  b)( a  c)(b  c ) Câu 10 (Tuyển sinh tỉnh Ninh Thuận năm 2019-2020) Giải bất phương trình x –  x  Lời giải x –  x   3x   x  5 Vậy nghiệm bất phương trình x > Câu 11 (Tuyển sinh tỉnh Ninh Bình năm 2019-2020) Rút gọn biêu thức A   18 Lời giải A   18   2.32   4 Câu 12 (Tuyển sinh tỉnh Ninh Bình năm 2019-2020) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y  z 2019 Tìm giá trị nhỏ biểu thức T x2 y2 z2   x  yz y  zx z  xy Lời giải  a  b  c a b c    y z x  y  z với a, b,c, x, y, z  Ta chứng minh bất đẳng thức x 2 Áp dụng bất đẳng thức Bu – nhi – a - cốp – xki cho ba số   c  a   b  ; x , ; y ; z   ,      x   y    z   a 2  b 2  c 2   a b c2            x  y  z       y z   x   y   z     x   ta có  a  b c  x y z   a  b  c   x  y z   a b2 c2  a  b  c      x y z x  y  z (*) 2  x   y  z a b c   x y z Dấu “=” xảy khi Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có yz  yz zx xy ; zx  ; xy  2 x2 y2 z2  T   yz zx xy x y z 2 2 2 2x 2y 2z    2x  y  z x  2y  z x  y  2z   x2 y2 z2 2      2x  y  z x  2y  z x  y  2z  Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có  x  y  z T 2 4 x  y  z x  y  z 2019  2 Dấu “=” xảy x y z 673  Vậy giá trị nhỏ biểu thức T 2019 x y z 673 Câu 13 (Tuyển sinh tỉnh Quảng Nam năm 2019-2020) Cho hai số thực x, y thỏa mãn x 3; y 3  1  1 T 21 x     y   y  x  Tìm giá trị nhỏ biểu thức Lời giải   T 21x  21 x 62 21  3y    x    y  y y x 3 x y 3  x   21  62       y   x  y 2  14  62  80  x  y   x 3   y 3 Dấu “ ” xảy Vậy giá trị nhỏ T 80 x = 3; y =3 Câu 14 (Tuyển sinh tỉnh Quảng Ninh năm 2019-2020) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x+ y + z ≤1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= 1 + 2 xy+ yz+ zx x + y +z Lời giải xy + yz + zx≤ Ta có ( x+ y + z ) ≤ 3 ( x+ y+ z ) Áp dụng BĐT 2017 ≥6051 nên xy+ yz+zx ( 1x + 1y + 1z )≥9 , ta có: 1 + + ≥9 2 xy+ yz+ zx xy+ yz+ zx x + y +z 1 ⇔(x + y +z +2 xy +2 yz+2 zx) 2 + + ≥9 x + y +z xy + yz+zx xy+ yz+zx [ (x 2+ y 2+z )+( xy + yz+zx)+(xy+ yz+zx )] ( ) ( ) + ≥9 2 xy + yz + zx x + y +z 2017 P= 2 + + ≥9+6051=6060 xy+ yz+ zx xy + yz + zx x + y + z Từ ta có: Hay P= 21 2017 + + ≥ 9+6051=6060 2 x + y + z xy + yz+ zx xy + yz + zx x= y=z = ⇔ P≥6060 Vậy GTNN P 6060 x= y =z= Câu 15 (Tuyển sinh tỉnh Tây Ninh năm 2019-2020) Cho hai số thực không âm a,b thỏa mãn a2 + b2 = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức M = a3 + b3 + ab + Lời giải a + b + = a + b + + ³ 3ab + Ta có Dấu xảy a = b = a3 + b3 + 3( ab + 1) M = ³ =3 ab + ab + Vì ab+ > nên 3 ( 3 ) Do đó, giá trị nhỏ biểu thức M đạt a = b = 2 a  b    a  b   2  +) Vì a  b 2 nên a  2; b  Suy 3 a b 4 M 2  1 ab  1 ab  Mặt khác ab  Suy Dấu xảy ìï a2 + b2 = ï Û ( a;b) = 0; Ú ( a;b) = í ïï ab = ïỵ ( ) ( ) 2;0 ( ) ( ) ( a;b) = 0; Ú ( a;b) = 2;0 Giá trị lớn biểu thức M  2 đạt Câu 16 (Tuyển sinh tỉnh Vĩnh Long năm 2019-2020) Cho x, y số thực dương thỏa x  y 1 A 2 x  y  x   x Tìm giá trị nhỏ biểu thức Lời giải x  y   y   x Ta có: thay vào A ta được: 1 A 2 x  y  x   2 x  (1  x)  x   x x 1 2 x   x  x  1  x    x  x  x  x x 1  1  1  1   x  x     x     x     x    4  x  2  x  1   x   0, x 2 Dễ thấy  4x  1 2 x 4 x x Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có 1  1 1 15  x      x    0    2  x 4 Suy  Dấu "=" xảy x 15 Amin  x Vậy Câu 17 (Tuyển sinh tỉnh BA RIA VT năm 2019-2020) Cho số thực dương x, y thỏa mãn x  y 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  xy x  y  Lời giải Cho số thực dương x, y thỏa mãn x  y 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  xy x  y  5 5 P     xy x  y  = xy ( x  y )  y  5 xy y   P xy y  xy  y      xy 20 y  20 20 xy  y  y ( x  1)    20 20 Ta lại có: Khi đó:  x  y  1 20 8   xy   y   xy  y  P       xy 20 y  20 20     3  P  1   P  5  x 1 PMin     y 2 Vậy x  y  Câu 18 (Tuyển sinh tỉnh Bình Định năm 2019-2020) Cho x, y hai số thực thỏa  xy 1 Tìm giá trị P nhỏ biểu thức x2  y x y Lời giải Với x  y, xy 1 , ta có x  y ( x  y )  xy P  x  y  x y x y x y x  y  x  y  0; 0 x y Vì xy 1 x  y; Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương 2( x  y ) x y 2 2 2 x y x y x  y , ta có Suy P 2  ( x  y )2 2  x  y   x  y  x y Dấu đẳng thức xảy  6 y xy 1  ( y  2) y 1  y  y 1  y  y  0     6 y  Mà  x y   2 x     y    Vậy P 2   2 x     y    2 Câu 19 (Tuyển sinh tỉnh Bắc Giang năm 2019-2020) Cho x, y số thực thỏa mãn điều kiện x  y 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P   x    y  Lời giải 18   x  y   xy P    x    y  9   x  y   xy  2 2 17   x  y    x  y   xy   x  y    x  y     2  x  y  3  2  2  x  y  2   Từ x  y 1  x  y  2; Suy    x  y      x  y  3 P 2  4  2  2 19  4   2 19  x y   2 Vậy giá trị nhỏ P Câu 20 (Tuyển sinh tỉnh Bắc Ninh năm 2019-2020) Cho hai số thực không âm a,b thỏa mãn a2 + b2 = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức M = a3 + b3 + ab + Lời giải Ta có ( ) a3 + b3 + = a3 + b3 + + ³ 3ab + Dấu xảy a = b = a3 + b3 + 3( ab + 1) M = ³ =3 ab + ab + Vì ab+ > nên Do đó, giá trị nhỏ biểu thức M đạt a = b = 2 a  b3    a  b2   2  +) Vì a  b 2 nên a  2; b  Suy a  b3  M 2  1 ab  1 ab  Mặt khác ab  Suy Dấu xảy ìï a2 + b2 = ï Û ( a;b) = 0; Ú ( a;b) = í ïï ab = ïỵ ( ) ( ) 2;0 ( ) ( ) ( a;b) = 0; Ú ( a;b) = 2;0 Giá trị lớn biểu thức M  2 đạt Câu 21 (Tuyển sinh tỉnh DAK LAK năm 2019-2020) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn: x  2y  3z 2 S Tìm giá trị lớn biểu thức: xy 3yz 3xz   xy  3z 3yz  x 3xz  4y Lời giải Đặt a x; b 2y; c 3z , ta được: a, b, c  0; a  b  c 2 Khi đó: Xét S ab bc ac   ab  2c bc  2a ac  2b ab ab   ab  2c ab   a  b  c  c ab 1 a b      a  c   b  c   a  c b  c  a b  Dấu đẳng thức xảy a  c b  c Tương tự ta có: bc 1 b c  ac 1 a c        ;  bc  2a  b  a c  a  ac  2b  a  b c  b  b c a c   Dấu đẳng thức xảy b  a c  a ; a  b c  b  a b b c a c  S     a  b b  c a  c   Cộng vế ta được: a b c  hay giá trị lớn S Vậy giá trị lớn S 2 x  ; y  ;z  3 4 Câu 22 (Tuyển sinh tỉnh Hà Nội năm 2019-2020) Cho biểu thức P a  b  ab với a, b số thực 2 thỏa mãn a  b  ab 3 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P Lời giải 2 2 Ta có a  b  ab 3  a  b 3  ab thay vào P ta 2 P a  b  ab  a  b   2a 2b  ab   ab   2a 2b  ab 9  6ab  a 2b  2a 2b  ab  85 49  49      ab   2.ab       ab    2 4 2   9  7ab  a b 2 a  b  0  a  b  2ab   ab  2ab  ab   1  a  b   ab Vì , mà Và Từ  a  b 0  a  b 2ab   ab 2ab  ab 1  1  2  ab 1     2 7 7 ab     ab   2 2 2 suy 2   81 81 7 81 85    ab        ab         2 4 2 4   85 85   ab      2 4   85     ab    21 2  a  b  ab   v   a  b 6 b   a   Max P  21   Vậy Dấu = xảy ab 1 a 1   2 Min P 1 Dấu = xảy a  b 2 b 1  a   b  Câu 23 (Tuyển sinh tỉnh Hà Tĩnh đề 01 năm 2019-2020) Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn: a  b  3ab 1 Tìm giá trị lớn biểu thức P 6ab  a  b2 a b Lời giải 2 2 Ta có: (a  b) 0  a  b 2ab  (a  b) 4ab; a  b  3ab 1 Từ giả thiết  a  b 1  3ab 1  a  b2   a  b (a  b) 2 2   a  b    a  b   0   a  b     a  b    0  a  b  (vì a, b  ) 3ab  ( a  b)    1  1 a b a b a b 2 a b P  a  b  2 2     a  b   9 6ab 3ab  a  b 2   a  b  1   a b a b 9 Vậy giá trị lớn P  a b  a b    a  b  3ab 1 Câu 24 (Tuyển sinh tỉnh Hà Tĩnh Đề 02 năm 2019-2020) Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a  b  3ab 1 12ab 2 P a b a  b Tìm giá trị lớn biểu thức Lời giải 2 2 Ta có: (a  b) 0  a  b 2ab  (a  b) 4ab; a  b  3ab 1  a  b 1  3ab 1  a  b2  (a  b) 2  a  b Từ giả thiết 2   a  b    a  b   0   a  b  2   a  b    0  a  b  3ab  ( a  b)    1  1 a b a b a b 2 a b  a  b  2 2     a  b   9 12ab 3ab 16 P  a  b 4   a  b  2   a b a b 9 16 Giá trị lớn P  a b  a b    a  b  3ab 1 Câu 25 (Tuyển sinh tỉnh Hưng Yên năm 2019-2020) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn: x  y  z 3xyz P Tìm giá trị lớn biểu thức x2 y2 z2   x  yz y  xz z  xy Lời giải x y z x  y  z 3xyz    3 yz xz xy x y x y x y  2  ; yz xz yz x z yz xz Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có: y z z x   ;   Tương tự ta có: xz xy x xy yz y  x y  y z   z x  2               yz xz   xz xy   xy yz  z x y x y z 1 1 1          3 yz zx xy x y z x y z x2 1 1 1 x  yz 2 x yz 2 x yz     (  ) x  yz yz y z y z Lại có: y2 1 z2 1  (  );  (  ) Tương tự y  xz x z z  xy x y Suy x2 y2 z2 2 1 1 P    (   ) (   ) x  yz y  xz z  xy x y z x y z  P  Vậy giá trị nhỏ P = 3/2 x = y = z = Câu 26 (Tuyển sinh tỉnh Hải Dương năm 2019-2020) Cho số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: a  b  c 2019 Tìm giá trị 2 nhỏ 2 biểu thức: P  2a  ab  2b  2b  bc  2c  2c  ca  2a Lời giải Ta có: 5 2  a  b   a  b   a  b 4  2a  ab  2b   a  b  Tương tự: 5 2b  bc  2c   b  c  ; 2c  ca  2a   c  a  2 5  P   a  b   b  c   c  a   a  b  c 2  P 2019 2019  a b c  673 Dấu “=” xảy 2a  ab  2b  Vậy P 2019  a b c 673 Câu 27 (Tuyển sinh tỉnh Hải Phòng năm 2019-2020) Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn a  b  c 6 Tìm giá trị lớn biểu thức ab bc ca A    a  3b  2c b  3c  2a c  3a  2b Lời giải Áp dụng bất đẳng thức phần a) ta có: 9ab ab ab a 9bc bc bc b    ;    ; a  3b  2c c  a c  b b  3c  2a a  c a  b 9ca ca ca c    c  3a  2b b  a b  c Cộng theo vế ba bất đẳng thức ta ab ab a bc bc b ca ca c 9A          c  a c b a c a b b  a b c bc   ab ca   bc ca  a  b  c  ab  A           c a a c   c b b c   a b b a   A   a  b  c  9  A 1 Dấu “=” xảy a b c 2 Vậy MaxA 1  a b c 2 Câu 28 (Tuyển sinh tỉnh Hậu Giang năm 2019-2020) Với x 0 , tìm giá trị nhỏ biểu x  3x  2019 A x2 thức: Điều kiện x 0 x  3x  2019 2019 A    2 x x x Ta có t   t 0  x Đặt ta được: Lời giải   A 1  3t  2019t 2019  t  t  1 673   2       2019  t  2t     2019   1 1346  1346    1346    2689 2689  2019  t      1346  2692 2692 với t thuộc R 2689 t A  t  x 1346  tm   tm  1346 2692 1346 Dấu “=” xảy Vậy Câu 29 (Tuyển sinh tỉnh Nam Định năm 2019-2020) Xét số x, y, z thay đổi thoả mãn x + y3 + z3 – 3xyz = P  (x  y  z)  4(x  y  z  xy  yz  zx) Tìm giá trị nhỏ biểu thức Lời giải Ta có: x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x + y)³ - 3xy(x - y) + z³ - 3xyz =  [(x + y)³ + z³] - 3xy(x + y +z ) =  (x + y + z)³ - 3z(x + y)(x + y + z) - 3xy(x – y - z) =  (x + y + z)[(x + y + z)² - 3z(x + y) - 3xy] =  (x + y + z)(x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz - 3xz - 3yz - 3xy) =  (x + y + z)(x² + y² + z² - xy - xz - yz) =  x² + y² + z² - xy - xz – yz ≠ Chứng minh: x² + y² + z² - xy - xz – yz ≥ với x, y, z  x² + y² + z² - xy - xz – yz >  x + y + z t Đặt x + y + z = t (t > 0)  x² + y² + z² - xy - xz – yz ta có  t2  t2 P  (x  y  z)  4(x  y  z  xy  yz  zx)        2 t   t  t2 t2  2 2t 2 Áp dụng BĐT Cô si ta có: (dấu xảy  t = 2) 8 2t  2 2t 8 t t (dấu xảy  t = 2)  P ≥ – = Tồn x = y = 1, z = P = Vậy giá trị nhỏ P