Chuyên đề 21 bất đẳng thức

Chương IV BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN Chuyên đề 21 BẤT ĐẲNG THỨC A Kiến thức cần nhớ Định nghĩa * Hệ thức dạng a  b (hay a  b; a b; a b ) gọi bất đẳng thức * a  b  a  b  0; a  b  a  b  Tính chất a) a  b  b  a d) Tính chất nhân: b) Tính chất bắc cầu: * a  b  ac  bc c  a  b; b  c  a  c a  b  ac  bc c  a  b; b  c  a  c a  b  ac bc c 0 * a  b  ac  bc c  c) Tính chất cộng: a  b  ac  bc c  a  b  a c  b c a  b  ac bc c 0 a  b  a c  b c e) Cộng vế với vế hai bất đẳng thức chiều bất đẳng thức chiều f) Trừ vế hai bất đẳng thức ngược chiều ta bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức thứ (Không trừ vế với vế hai bất đẳng thức chiều) n n g) a  b   a  b  n   ; a  b  a 2n  b2n ; a  b  a n 1  b n1 h) Với m  n  a   a m  a n ; a 1  a m a n ;  a   am  an i) Nếu ab  a  b 1  a b Các phương pháp chứng minh A  B ; ( A  B tương tự): 1) Dùng định nghĩa chứng minh A  B  (Xét hiệu hai vế) 2) Biến đổi tương đương: A  B  A1  B1  A2  B2   An  Bn ; Nếu An  Bn A  B 3) Phản chứng: Giả sử A B dẫn tới điều vô lý Vậy A  B 4) Chứng minh quy nạp toán học: + Bước 1: Chứng minh bất đẳng thức với n n0 + Bước 2: Giả sử bất đẳng thức với n k  k n0  , ta chứng minh bất đẳng thức với n k  Từ kết luận bất đẳng thức với số tự nhiên n n0 (Phương pháp quy nạp toán học thường sử dụng bất đẳng thức có tham gia n với vai trị số nguyên dương tùy ý số nguyên dương lấy giá trị n0 đó) 5) Phương pháp tổng hợp: + Sử dụng tính chất bất đẳng thức + Sử dụng tính chất bắc cầu (làm trội) A  C ; C  B  A  B Một số bất đẳng thức a) a 0 a Dấu “=” xảy  a 0 ; b) a a a Dấu “=” xảy  a  ; c) Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối: * a  b  a  b (Dấu “=” xảy  ab 0 ) * a  b  a  b (Dấu “=” xảy  ab 0 a  b ) d) Bất đẳng thức tam giác: với a; b; c cạnh tam giác: a  b  c; a  b  c e) Bất đẳng thức Cauchy (Augustin Louis Cauchy [1789 – 1857 nhà toán học Pháp]: Với n số không âm a1 , a2 , , an  n   * ta có: n  a1  a2   an    a1a2 an n   Dấu “=” xảy  a1 a2  an * Chú ý: Vài dạng bất đẳng thức cụ thể hay gặp sử dụng bổ đề: 2  a b  2   ab hay  a  b  4ab; a  b 2ab   f) Bất đẳng thức Bunyakovsky [Victor Yakovlevich Bunyakovsky (1804 – 1889) nhà toán học Nga] Với n số  a1 ; a2 ; ; an  ;  b1 ; b2 ; ; bn  , ta có:  a1b1  a2b2   anbn   a12  a22   an2   b12  b22   bn2    Dấu “=” xảy  t để tbi i 1, n Nếu bi 0 dấu “=” xảy  2 2 * Chú ý: Dạng cụ thể hay gặp  a  b   x  y   ax  by  B Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho a b hai số chứng minh a  b2  a b  ab      a a1 a2    n b1 b2 bn * Tìm cách giải: Bài tốn thực chất gồm hai toán: Chứng minh a2  b2  a b  1)       a b  2) ab      1 ;  2 Từ (1) (2) ta suy kết Với câu 1) 2) ta dùng cách: Biến đổi tương đương; Xét hiệu hai vế; phản chứng tổng hợp Giải Ta chứng minh a  b2  a b  1)  cách:     Cách 1: Biến đổi tương đương: a2  b2 a  2ab  b a  b  a b          a  2ab  b 2a  2b   a  2ab  b 0    a  2ab  b  0    a  b  0 (hiển nhiên đúng) Dấu “=” xảy  a b Cách 2: Xét hiệu 2 2 a  2ab  b  2a  2b   a  b   a b  a b    0   4   a  b2  a b  Vậy  Dấu “=” xảy  a b     Cách 3: Phản chứng a  b2  a b  Giả sử    a  2ab  b  2a  2b      a  2ab  b2     a  2ab  b      a  b   vô lý a  b2  a b  Vậy      Dấu “=” xảy  a b Cách 4: Tổng hợp: 2 2 Ta có:  a  b  0    a  2ab  b  0   a  2ab  b 0  a  2ab  b 2a  2b  a  2ab  b a  b  2 a  b2  a b  Hay       1 Dấu “=” xảy  a b  a b  2 2) Chứng minh: ab      4ab a  2ab  b    a  2ab  b   a  b  hiển nhiên a  b2  a b  Từ (1) (2) suy ab  Dấu “=” xảy  a b     2  a b  * Nhận xét:   ab   a  b  4ab ;   a  b4  a b  Từ tốn a) ta suy      a  b2  a b  Thật  hai vế bất đẳng thức dương nên bình phương hai vế ta có     2  a b   a b           2  a  b2  a  b4   1 ; có tốn a) ta lại có      2 Từ (1) (2) ta có: a  b4  a b       Ví dụ 2: a) Chứng minh  a    a    a    a    a 2 2 b) Chứng minh  a  b   x  y   ax  by  a, b x, y 2 2 Áp dụng chứng minh  x  y  3z  13  x  y  z  yz  * Tìm cách giải: a) Hoán vị nhân tử  a  8  a    a  6 vế trái thực phép nhân  a  6  a  9 ta thấy xuất a  15a hai kết quả, ta nghĩ đến việc đặt ẩn phụ Ta xét hiệu hai vế để chứng minh b) Xét hiệu hai vế biến đổi Giải a) Xét hiệu  a    a    a    a      1  a  15a  54   a  15a  56   Đặt a  15a  55 b biểu thức  b  1  b  1  b 0 Vậy  a    a    a    a    2 2 b) Xét hiệu  a  b   x  y    ax  by  a x  a y  b x  b y  a x  2axby  b y 2 a y  2aybx  b x  ay  bx  0 2 2 Vậy  a  b   x  y   ax  by  a, b x, y Dấu “=” xảy  ax by 2 2 Áp dụng: Ta viết bất đẳng thức  x  z  3t  13  x  z  t  zt  2 2 2 Dưới dạng  x   z  t       x   z  zt  t   Hay 2  x   z  t    22  32   x   z  t     2 2 Đặt z  t  y     x  y   x  y  theo bất đẳng thức vừa chứng minh Ví dụ 3: a) Chứng minh tổng bình phương hai số không nhỏ hai lần tích hai số b) Chứng minh với x  x  2 (tổng số dương với nghịch đảo khơng nhỏ 2) x c) Chứng minh với a, b, c, d số dương thỏa mãn abcd 1 ab  cd 2 a  b  c  d 4 * Tìm cách giải: a) Lưu ý  a  b  0 b) Khử mẫu, chuyển vế xuất bất đẳng thức c) Lưu ý abcd 1 nên cd  , sử dụng kết b) để chứng minh ab Giải a) Gọi hai số a b Hiển nhiên  a  b  0  a  2ab  b 0  a  b 2ab b) Với x  0; x  2  x  x  0   x  1 0 x Dấu “=” xảy  x 1 c) Đặt ab  x Do a, b, c, d  abcd 1 nên cd   ab  cd ab  1  x  2 ab x * Ta ln có a  b2 2ab c  d 2cd 2 2 Nên a  b  c  d 2  ab  cd  4 Dấu “=” xảy  a b c d 1 Ví dụ 4: ab a) Chứng minh a  b  c ab  bc  ca, a; b; c 2 b) Chứng minh a  b  c   ab  bc  ca  với a; b; c cạnh tam giác * Tìm cách giải: a) Bất đẳng thức có a  b ta nghĩ tới sử dụng bất đẳng thức a  b2 2ab ,… b) Với a, b, c ba cạnh tam giác phải sử dụng bất đẳng thức tam giác Giải a) Ta có a  b 2ab; b  c 2bc; c  a 2ac Cộng vế với vế ba bất đẳng thức chiều ta có  a  b2  c  2  ab  bc  ca   a  b  c ab  bc  ca Dấu “=” xảy  a b c b) Áp dụng bất đẳng thức ba cạnh tam giác: b  c  a   b  c   a2 c  a  b   c  a   b2 a  b  c   a  b   c2 2 Do  b  c    c  a    a  b   a  b  c  b  2bc  c  c  2ca  a  a  2ab  b2  a  b  c  a  b  c   ab  bc  ca  * Chú ý: a) Ta cách hay sử dụng: biến đổi tương đương: a  b  c ab  bc  ca  2a  2b  2c 2ab  2bc  2ca  a  2ab  b  b  2bc  c  c  2ac  c 0 2   a  b    b  c    c  a  0 hiển nhiên Dấu “=” xảy  a b c Ví dụ 5: a) Chứng minh với ba số a, b, c tùy ý ta ln có:  a  b  c ab  bc  ca 2 b) Chứng minh  3a    3b    3c  3 với a  b  c 1 * Tìm cách giải: a) Ta có  a  b  c  a  b  c  2ab  2ac  2bc Do biến đổi tương đương cách nhân hai vế với xét hiệu hai vế b) Khó chứng minh trực tiếp Ta đổi biến để chứng minh Giải  a  b  c a) 2 ab  bc  ca   a  b  c  3ab  3bc  3ca Xét hiệu  a  b  c  3ab  3bc  3ca a  b  c  2ab  2ac  2bc  3ab  3ac  3bc a  b  c  ab  ac  bc  2a  2b  2c  2ab  2ac  2bc   2  a  2ab  b2  b2  2bc  c2  c2  2ac  a   2 2 a  b  c    a  b    b  c    c  a   0 Chứng tỏ  ab  bc  ca  2 Dấu “=” xảy  a b c * Chú ý: a) Có thể biến đổi tương đương tiếp từ  a  b  c  3ab  3bc  3ca  a  b  c   ab  ac  bc  3  ab  ac  bc   a  b  c ab  ac  bc bất đẳng thức chứng minh ví dụ Ta dùng cách khác (phản chứng, tổng hợp được) b) Cách 1: Đặt 3a 1  x; 3b 1  y; 3c 1  z Do a  b  c 1 mà  a  b  c  3   x  y  z  Suy x  y  z 0 2 2 Ta có:  3a    3b    3c    x     y     z  1  x  x   y  y   z  z 3   x  y  z    x  y  z  3   x  y  z  3 (do x  y  z 0 ) 2 Vậy  3a    3b    3c  3 Dấu “=” xảy  a b c  Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có: 3 2  32  32   a  b  c   3a  3b  3c  9  a  b  c  9  27  a  b  c  9  9a  9b  9c 3 2 Hay  3a    3b    3c  3 Dấu “=” xảy  a b c  Ví dụ 6: Chứng minh a   với số nguyên dương n, ta có 1 a n 1  na (Bất đẳng thức Becnuli) * Tìm cách giải: Bất đẳng thức có xuất n với vai trị số nguyên dương tùy ý Ta sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh Giải Với n 1 ta có   a  1  a hiển nhiên k Giả sử toán với số nguyên dương n k tức   a  1  ka Nhân hai vế với số dương  1 a  ta có   a  k 1   ka    a  Ta có   ka    a  1  a  ka  ka 1   k 1 a  ka 1   k  1 a Vậy   a  k 1 1   k  1 a Bài toán với số nguyên dương n  k  1 Theo nguyên lý quy nạp tốn với số ngun dương n Ví dụ 7: Với a, b, c số dương chứng minh rằng:  1 a)  a  b     4 ;  a b  1 1 b)  a  b  c      9 a b c * Tìm cách giải: Các bất đẳng thức biến đổi vế trái xuất số dương nghịch đảo Do ta sử dụng kết ví dụ 3b): số dương cộng với nghịch đảo khơng nhỏ chứng minh Giải a b a b a b  1 a)  a  b     1    2   4  2 b a b a b a a b (theo ví dụ ta có a b hai số dương nghịch đảo nhau) b a Dấu “=” xảy  a b a a b b c c  1 1 b)  a  b  c      1         b c a c a b a b c a b a c c b 3             3    9 b a  c a b c Dấu “=” xảy  a b c * Nhận xét: Từ hai bất đẳng thức ta suy toán tương tự: Cho a, b, c, d , e  chứng minh 1 1     16 a b c d  a  b  c  d   1 1 1      25  a b c d e  a  b  c  d  e   Tổng quát cho a1 ; a2 ; a3 ; ; an  ta có 1 1 1      n ,  n 2; n   an   a1 a2 a3  a1  a2  a3   an   Chứng minh: 1 1 1 Ta có:  a1  a2  a3   an        an   a1 a2 a3 a a  a a  a a  a a  a a  a a  n             n          n     n   n   a2 a1   a3 a1   an a1   a3 a2   an a2   an an   n   n  1   n     n  3   2.2   n  n  1 n       n  1  n   n  n  n n 2 Dấu “=” xảy  a1 a2 a3  an Ví dụ 8: Cho x; y; z  Chứng minh rằng: x y z    yz zx xy * Tìm cách giải: Ta thấy cộng vào hạng tử vế trái, sau quy đồng mẫu ta thấy xuất nhân tử chung  x  y  z  Vì ta biến đổi vế trái cách thêm bớt số đưa dạng toán chứng minh Giải Biến đổi vế trái ta có:  x   y  x y z   z     1    1    1  yz zx xy  yz   zx   xy   x yz x yz x yz  1          x  y  z    zx x y   yz  yz zx xy  1 1     x  y    y  z   z  x       3  3 2  yz zx xy [Áp dụng kết ví dụ 7b với  x  y  a;  y  z  b;  z  x  c ] Ví dụ 9: Cho a, b, c  chứng minh rằng: a)  a  b   b  c   c  a  8abc 1  1    b)     4      ab bc ca   a b b c c a  * Tìm cách giải: Để có  a  b   b  c   c  a  thử xét  a  b  đẳng thức Cauchy) Giải 2 2  b  c  c  a a) Ta có  a  b  4ab Tương tự  b  c  4bc;  c  a  4ca 2 ta có  x  y  4 xy (bất Do a, b, c  nên vế ba bất đẳng thức dương nên ta nhân vế với vế được: 2  a  b  b  c  c  a  2 64a 2b c    a  b   b  c   c  a    8abc    a  b   b  c   c  a  8abc biểu thưc ngoặc [ ] dương Dấu “=” xảy  a b c b) Ta có 1 a  b  c 8 a  b  c     ab bc ca abc 8abc Từ câu a) chứng minh  a  b   b  c   c  a  8abc ta có: 8 a  b  c 1    ab bc ca  a  b   b  c   c  a   1  a  b   b  c   c  a     ab bc ca  a  b  b  c  c  a 1  8   2       ab bc ca   b  c   c  a   c  a   a  b   a  b   b  c   1 Mặt khác  a  b  4ab  ab  tương tự ta có:  a  b 4 1 4  ;        2 2 bc  b  c  ac  c  a  ab bc ca  a  b   b  c  c  a  2 Cộng vế với vế (1) (2) áp dụng đẳng thức vế phải: x  y  z  xy  xz  yz  x  y  z  với x  1  1    3    4      ab bc ca   a b b c c a  1 ; y ; z ta có: a b b c ca  3 (đpcm) Dấu “=” xảy  a b c Ví dụ 10: Cho A  Chứng minh A  1 1     5.9 9.13 13.17  4n 1  4n   n   * 20 * Tìm cách giải: Bài tốn có số tổng quát n với n   * Ta chứng minh quy nạp tốn học Tuy nhiên hạng tử A có quy luật phân tích sau rút gọn nên ta sử dụng phương pháp tổng hợp Giải Nhận xét: với k   *   4k     4k  1   1        4k 1  4k     4k 1  4k     4k 1 4k   11 1 1  11     Do đó: A           9 13 4n  4n    4n   20 Ví dụ 11: Chứng minh x   : x  1012  x  1004 2016 Giải Áp dụng bất đẳng thức a  b  a  b x  1012  x  1004  x  1012  1004  x  x  1012  1004  x 2016 Dấu “=” xảy   1012  x  1004 C Bài tập vận dụng 21.1 a b a) Cho A   Chứng minh A 2 ab  A  ab  ; b a a  b2  c2  a  b  c  b) Chứng minh a, b, c   ; 3   a  b3  a b  c) Chứng minh   a, b 0    Hướng dẫn giải – đáp số a) Với ab  Ta có  a  b  0  a  b 2ab Chia hai vế bất đẳng thức cho ab  ta có a  b 2ab a b    2 Dấu “=” xảy  a b ab ab b a Với ab  Ta có  a  b  0  a  b  2ab Chia hai vế bất đẳng thức cho ab  ta có a  b  2ab a b     ab ab b a Dấu “=” xảy  a  b 2 b) Chứng minh: Từ  a  b    b  c    c  a  0   a  b  c  2ab  2ac  2bc   a  b  c  a  b  c  2ab  2ac  2bc   a  b  c   a  b  c  Chia vế bất đẳng thức cho ta có đpcm Dấu “=” xảy  a b c 3 a  3a 2b  3ab  b3  4a  4b3  a b  a b c) Xét hiệu       2  3a  a  b   3b  a  b    a  b   a  b    a  b   a  b     0 với a, b 0 8 Dấu “=” xảy  a b 21.2 Chứng minh rằng: 2 a) a  b  c  2  a  b  c  , a, b, c ; 2 2 b) a  b  c  d a  b  c  d  , a, b, c, d 2 2 c) a  b  c  d  e a  b  c  d  e  , a, b, c, d , e d) a  b  c  d  ab  cd 6, a, b, c, d  abcd 1 Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta có nhân, chuyển vế, tách 1   xuất a  2a   a  1 … Do đó: ta có a  b  c  2  a  b  c   a  2a   b  2b   c  2c  0 2   a  1   b  1   c  1 0 Dấu “=” xảy  a b c 1 b) Vế phải có ab  ac  ad Nếu nhân vào hai vế, chuyển vế tách 4a a  a  a  a kết hợp với hạng tử khác xuất đẳng thức Do Nhân hai vế với ta 4a  4b  4c  4d 4ab  4ac  4ad 2   a  2b    a  2c    a  2d   a 0 Dấu “=” xảy  a b c d 0 a a a2 a2 a2 a2 ab  b ; ac  c ; c) Nhận xét: ta nghĩ tới việc tách a thành để ghép với    2 4 4 b , c , d , e Ta có a  b  c  d a  b  c  d  e   a2   a2   a2   a2     ab  b     ac  c     ad  d     ae  e2  0         a   2  a b    2 2  a  a c   d     2  2  e  0  * Chú ý: Cách khác: Nếu nhân hai vế với ta biến đổi tương đương thành  a  2b  2 2   a  2c    a  2d    a  2e  0 d) Với a, b, c, d  , áp dụng bất đẳng thức Cauchy: a  b 2ab; c  d 2cd a  b  c  d  ab  cd 3  ab  cd  Do abcd 1  ab  cd ab  2 Ta có đpcm ab 21.3 a) Cho a.b.c 0 Chứng minh a  b3 b  c c  a   0 ; ab bc ca b) Cho a, b, c  Chứng minh a b c   1 a b b c c a Hướng dẫn giải – đáp số a) Nhận xét a  b3 a b   … Do bất đẳng thức biến đổi thành ab b a 2 a2 b2 c2 b c a b c a a b c               2   2 b c a a b c a b c b c a 2 a b a  a b Áp dụng bất đẳng thức x  y 2 xy có      2 2 b c c b c Xét tương tự cộng vế với vế bất đẳng thức chiều ta đpcm b) Vì a, b, c  nên a  b  c  a  b  Dùng phương pháp làm trội  a a b b c c    Tương tự Cộng vế với vế ba bất đẳng thức a b c a b a b c b c a b c c a chiều ta a b c a b c    1 a b b c c a a b c 21.4 a) Chứng minh x, y  , ta có 1   ; x  y 4x y b) Từ chứng minh a, b, c  , ta có: 4 1      2a  b  c 2b  c  a 2c  a  b a b c Hướng dẫn giải – đáp số a) Biến đổi tương đương: x, y  1 1 x y       x  y  4 xy x  y 4x y x  y xy  x  xy  y 4 xy  x  xy  y 0   x  y  0 Dấu “=” xảy  x  y b) Áp dụng bất đẳng thức vừa chứng minh ta có: 1 1 1 1         1 2a  b  c 8a  b  c  8a 4b  4c 8a 16b 16c Tương tự 1 1    2b  c  a 8b 16c 16a  2 1 1    2c  a  b 8c 16a 16b  3 Cộng vế với vế ba bất đẳng thức chiều (1); (2); (3) ta được: 1 1 1      hay 2a  b  c 2b  c  a 2c  a  b 4a 4b 4c 4 1      2a  b  c 2b  c  a 2c  a  b a b c Dấu “=” xảy  a b c 21.5 Chứng minh: 3 a) a  b  abc ab  a  b  c  với a, b, c  ; b) a  b3  c 3abc với a; b; c 0 ; 3 3 3 c)  a  b  c   a  b    b  c    c  a  với a, b, c  Hướng dẫn giải – đáp số a) Xét hiệu a  b3  abc  ab  a  b  c   a  b   a  b  0 3 2 b) Xét hiệu a  b  c  3abc  a  b  c   a  b  c  ab  ac  bc   a  b  c   a  b 2   b  c   c  a 0 c) Biến đổi thành 3  a  b3    a  b    b3  c    b  c    c  a    c  a  0 3 2 Xét  a  b    a  b   a  b    a  ab  b    a  b   3  a  b   a  b  0 3 3 3 Tương tự với  b  c    b  c   c  a    c  a  ta suy đpcm 21.6 Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh 2 a) a  b  c  a   b  c  a  b   c  a  b  c  3abc ; b) a b c   2 b c c a a b Hướng dẫn giải – đáp số a) Vai trị a, b, c nhau, khơng tổng quát giả sử a b c  Biến đổi bất đẳng thức cho bất đẳng thức tương đương: a  b3  c  3abc  a  b  c   b  c  a   c  a  b  0  a  b3  c  3abc  a 2b  a c  b2 c  b a  c a  c 2b 0  a  a  b   b  b  a   c  2ab  a  b   c  c  bc  ab  ac  0   a  b   a  b   c  a  b   c  c  a   c  b  0   a  b  a  b  c   c  a  c   b  c  0 Hiển nhiên a b; a  b  c; a c; b c  b) Trước hết ta chứng minh với x, y, k số dương x x xk   Thật xét hiệu y y yk x x  k k  x  y    y  y  k   x  y  (do giả thiết x  y ) y y k y y k Do a  b  c; b  c  a; c  a  b nên ta có: a aa b b b c c c  ;  ;  b c b c  a c  a c  a b a b a b c Cộng vế với vế ba bất đẳng thức chiều ta được:  a  b  c a b c    2 b c c a a b a b c 21.7 a) Chứng minh  x  3  x    x    x  10   36 0 Dấu “=” xảy nào? b) M  x 2016  x 2013  x  x   x Hướng dẫn giải – đáp số a) Nhận xét: nhân  x  3 với  x  10   x   với  x   xuất x  26 x Do đặt biến phụ Biến đổi vế trái  x  3  x    x    x  10   36  x  26 x  30   x  26 x  42   36 2 Đặt x  26 x  36  y ta có:  y    y    36  y  36  36  y 0 Dấu “=” xảy  y 0  x  26 x  36 0  x  13 x  18 0   x    x   0  x 2; x 4,5 2013 3 b) Ta có M  x  x  1  x  x  1  * Với x 1 nên x 1  x  0; x 2013  M   1 2016 2009 * Với x  ta có M  x  x   x     x  Do  x nên  x 2009 hay  x 2009  0;  x  0; x 2016  0; x  nên M  Từ (1) (2)  đpcm 21.8 Cho a, b, c  chứng minh a b c a  b b  c c  a 15       b c c a a b c a b Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: a b b c c a  a b   a c   b c               2   6  1 c a b b a  c a c b Theo chứng minh ví dụ thì: a b c    b c c  a a b  2 Từ (1) (2) suy đpcm Dấu “=” xảy a b c Cách giải khác: Đặt A  a b c a b b c c a      b c c a a b c a b Ta có A   2a 2b 2c  a b b c c a     2    b c c a a b a b   c 2a 2b 2c    a  b b  c c  a          b c c a a b  2  c a b  a b   a b a c b c   2a b  c   2b c  a   2c                 2b   a  b 2c   b a c a c b   b  c 2a   c  a Áp dụng toán: với x  x  A 2    2 ta có: x 15     6  15  A  2 Dấu “=” xảy  a b c * Cần tránh sai lầm sau giải toán này: A a b c a b b c c a      b c c a a b c a b b c   b ca   c b c   a          a   c a b   a b a   b c  2 Do x  2 với x  nên A 2   6 kết sai Sai lầm chỗ xét riêng cặp x xét đồng thời ba cặp số dấu đẳng thức khơng thể xảy a b  c; b c  a; c a  b  a  b  c 2  a  b  c  vô lý 21.9 Cho x; y; z số dương Chứng minh rằng:  1  2     x y yz zx x yx Hướng dẫn giải – đáp số  1    Biến đổi thành   x  y    y  z    z  x     9  x y yz zx Đặt x  y a; y  z b; z  x c ta 1 1    9 (Bạn đọc tự làm tương tự ví dụ 7) a b c  a  b  c   21.10 a) Chứng minh 2016 2016 2016 2016      1008 ; 1.3 3.5 5.7 2015.2017 b) Biết n ! 1.2.3  n  1 n  n   * Chứng minh G  với G 2015     ; 2! 3! 4! 2016! c) Chứng minh với số tự nhiên n 1 ta có H  1 1 với H 12  32  52     2n  1 Hướng dẫn giải – đáp số 1 1    a) Đặt B   1.3 3.5 5.7 2015.2017 B 1  1 1 1      1    đpcm 3 2015 2017 2017 b) Nhận xét với k  *; k  ta có: k1 k1 k 1      k !  k  1 ! k  k  1 ! k  k  1 !k  k  1 ! k ! 1 1 1  1  1 Do G       1! 2! 2! 3! 2015! 2016! 2016! c) Ta làm trội cách từ hạng thứ hai H ta bớt mẫu số đơn vị 1 1 Ta có: H  12  32   52     2n  1  1  1    2.4 4.6  2n   2n 1 1 1 1  11  1          1     2 4 2n  2 n   2n  21.11 Chứng minh: 1 1 1       2 2 2016 2015  2015  2015  2015  2015 2015 Hướng dẫn giải – đáp số Nhận xét: 2015  2015 2015  2015 1 2015.2016 Ta có: 1   ; 2015.2016 2015  20152 1   ; 2015.2016 2015  20152 1   ; 2015.2016 2015  20152 … … … 1   2015.2016 2015  2015 20152 Cộng vế với vế bất đẳng thức ta có: 2015 2015 1 S  S  hay 2015.2016 2015 2016 2015 Với S  1 1     2 2 2015 1 2015  2015  2015  2015 21.12 Tìm số nguyên x, y , z, t thỏa mãn bất đẳng thức: x  y  z  t  13  xy  y  z  6t Hướng dẫn giải – đáp số Do x, y , z , t   nên ta có: x  y  z  t  13  xy  y  z  6t 0   x  xy  0, 25 y    0, 75 y  y  3   z  z  1   t  6t   0 2 2   x  0,5 y    0,5 y  1   z  1   t   0   x, y, z, t   1; 2;1;3 21.13 Chứng minh với số tự nhiên n 2 S n 1  1 1 37      n 1 n  n  2n 24 Hướng dẫn giải – đáp số Ta chứng minh phương pháp quy nạp toán học: 1 19 37 - Với n 2 S 1     12 24 - Giả sử bất đẳng thức với n k  k  , k 2  tức S k  Ta chứng minh bất đẳng thức với n k  , tức S k 1  Thật vậy: S k 1  S k 1 1  37 24 37 24 1 1 37      k 1 k  k  2k 24 1 1     k 2 k 3 k 4 2k  Do S k 1  Sk  1 1    0 2k  2k  k   k  1  2k  1 Suy S k 1  Sk  37 Vậy bất đẳng thức n 2 24 21.14 Chứng minh x  2; y   x  y    xy Hướng dẫn giải – đáp số Do x  2; y  nên x  4; y  2 Nghĩa   x     y   2 Ta có:   x    y   2 2 2 Mà   x    y  16  x y   x  y  2  16  xy  x y    x  xy  y    xy     x  y    2 Do đó:   xy     x  y   Hay  x  y    xy 21.15 Chứng minh a, b, c ba số thỏa mãn điều kiện:  abc   a  b  c    ab  bc  ca   1  2  3 a, b, c ba số dương Hướng dẫn giải – đáp số * Ta sử dụng phương pháp phản chứng: Giả sử trái lại, ba số a, b, c có số khơng dương Do vai trị a, b, c nên không tổng quát ta coi a 0 Nhưng theo (1) a phải khác a  ta có bc  Theo (3) ab  bc  ca a  b  c   bc  nên a  b  c    bc  Mà a  nên b  c  suy a  b  c  trái với (2) Vậy a, b, c phải ba số dương 21.16 Chứng minh với số tự nhiên n 2 ta có: n 1      n n 2 1 Hướng dẫn giải – đáp số Bài tốn giải phương pháp quy nạp tốn học (bạn đọc tự chứng minh) Cách khác ta sử dụng 1 tính chất bắc cầu, làm trội biểu thức nhóm biểu thức: Đặt A 1     n 1 a) Chứng minh A  n 1  1   1   Ta có: A 1                  n    n  7  15   1  3  2 Ta làm trội nhóm cách thay phân số nhóm phân số lớn nhóm, ta có: 1 1 A       n  n  1     n 2 2 b) Chứng minh A  n : Ta có: 1  1  1    A 1                   n    n   n 3  5  9    1 Thay phân số nhóm phân số nhỏ nhóm ta có: 1 1 n n A    2  22   n n   n 1   n  2 2 2 2 Vậy n  An 21.17 Với bốn số thực a, b, c, d chứng minh:   ab  2 2    cd    ac    bd  1 (Đề thi Olympic Toán học Thành phố Lêningrat, năm 1985) Hướng dẫn giải – đáp số   ab  2    cd    ac    bd  2 1  2ab  a 2b   2cd  c d   ac   bd    ac   2abcd   bd  2 1    ab  cd    ac  bd  1 21.18