Chuyên đề 1 hằng đẳng thức

Ngày soạn: 03/09/2018 Ngày dạy: 06/09/2018 CHUYÊN ĐỀ : HẲNG ĐẲNG THỨC I MỤC TIÊU 1.Kiến thức : Củng cố đẳng thức đáng nhớ số đẳng thức nâng cao cho học sinh 2.Kỹ : - Học sinh vận dụng thành thạo đẳng thức vào giải toán - Học sinh biết nhận dạng đẳng thức áp dụng đẳng thức vào giải toán Thái độ : Vận dụng đẳng thức để tính nhẩm giá trị biểu thức tìm giá trị chưa biết đẳng thức II CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH 1.Chuẩn bị giáo viên: Bảng phụ, phiếu học tập, giáo án, SGK, SBT 2.Chuẩn bị học sinh: Học thuộc ghi nhớ đẳng thức, làm tập nhà III HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC A Ôn lại kiến thức cần nhớ (a + b) = a + 2ab + b = a − 2ab + b + 4ab = (a − b) + 4ab (a − b) = a − 2ab + b = a + 2ab + b − 4ab = (a + b) − 4ab a − b = ( a − b)( a + b) (a + b)3 = a + 3a 2b + 3ab + b3 = a + b3 + 3ab(a + b) ⇒ a + b = (a + b )3 − 3ab(a + b ) (a − b)3 = a − 3a 2b + 3ab − b3 = a − b3 − 3ab( a + b) ⇒ a − b = (a − b)3 + 3ab(a − b) a − b3 = (a − b)(a + ab + b ) a + b3 = (a + b)( a − ab + b ) a n − b n = ( a − b)( a n −1 + a n − 2b + + a.b n − + b n−1 ) B Bài tập áp dụng dạng tốn Bài 1: Tính A = 1002 − 992 + 982 − 97 + + 2 − 12 Lời giải: A = 1002 − 992 + 982 − 972 + + 22 − 12 = (100 − 99)(100 + 99) + + (2 − 1)(2 + 1) = 100 + + = Bài 2: So sánh A = 19999.39999 101.100 = 5050 B = 299992 Lời giải: Ta có: 19999.39999 = (29999 − 10000)(29999 + 10000) = 29999 − 100002 < 299992 ⇒ A < B Bài 3: Rút gọn biểu thức sau a c A = (2 + 1)(22 + 1) (264 + 1) + b B = (3 + 1)(32 + 1) (364 + 1) + C = (a + b + c) + ( a + b − c) −2(a + b) Lời giải: a b A = (2 + 1)(22 + 1) (264 + 1) + = (2 − 1)(2 + 1)(22 + 1) (264 + 1) + = 2128 − + = 2128 1 3128 + B = (3 + 1)(32 + 1) (364 + 1) + = (3 − 1)(3 + 1)(32 + 1) (364 + 1) + = (3128 − 1) + = 2 C = ( a + b + c) + ( a + b − c) −2(a + b) = (a + b + c) − 2(a + b + c)( a + b − c) + ( a + b − c) − 2(a + b + c)(a + b − c ) c −2(a + b)2 = (a + b + c + a + b − c) − 2[(a + b) − c ]-2(a+b)2 = 4(a + b)2 − 2(a + b )2 + 2c − 2(a + b) = 2c Bài 4: Chứng minh a b (a + b )( x + y ) = (bx − ay )2 + (ax+by)2 (a + b + c )( x + y + z ) − (ax+by+cz)2 = (bx − ay )2 + (cy − bz ) + (az − cx )2 Lời giải: ( a + b )( x + y ) = a x + a y + b x + b y = (bx )2 + (ay ) + (ax) + (by ) a VT = = (bx) − 2bx.ay + (ay ) + 2bx.ay + (ax) + (by ) = (bx − ay ) + (ax+by) (dpcm) (a + b )( x + y ) + (a + b ) z + c ( x + y + z ) − [(ax+by)2 + 2(ax+by).cz+(cz) ] =(ax+by) + (bx − ay )2 + ( az )2 + (bz ) + (cx) + (cy )2 + (cz ) − (ax+by) − (cz ) − 2ax.cz − 2by.cz b VT = = (bx − ay )2 + [(cy)2 − 2by.cz + (bz ) ]+(az) + (cx) − 2az.cx = (bx − ay ) + (cy − bz ) + ( az − cx) *) Nhận xét: Đây bất đẳng thức Bunhicopski Bài 5: Cho x = y + z CMR : (5 x − y + z )(5 x − y − z ) = (3 x − y ) Lời giải: VT = Mà: (5 x − y ) − 16 z = 25 x − 30 xy + y − 16 z z = x − y ⇒ VT = 25 x − 30 xy − y − 16( x − y ) = x − 30 xy + 25 y = (3x − y ) ( dpcm) Bài 6: CMR, (a + b + c + d )(a − b − c + d ) = ( a − b + c − d )(a + b − c − d ) ad = bc Lời giải: VT = VP = [(a+d)+(b+c)][(a+d)-(b+c)]=(a+d) − (b + c) = a + d + ad − b − c − 2bc [(a-d)+(c-b)][(a-d)-(c-b)]=(a-d) − (c − b) = ( a − d )2 − (c − b) = a + d − 2ad − c − b + 2bc VT = VP ⇒ 2ad − 2bc = −2ad + 2bc ⇔ 4ad = 4bc ⇔ ad = bc (dpcm) Bài 7: CMR, a a + b + c = b a + a c − abc + b c + b3 = ( y − z )2 + ( z − x) + ( x − y ) = ( y + z − x) + ( z + x − y ) + ( y + x − z ) x = y = z Lời giải: a Ta có : a + b3 = ( a + b)(a − ab + b ) ⇒ a + b3 = −c(a − ab + b ) = − a 2c + abc − b 2c ⇒ a + b3 + a 2c − abc + b 2c =   a + b + c ⇒ a + b = −c y − z = a; z − x = b; x − y = c ⇒ a + b + c = b Đặt :  y + z − x = ( y − x) + ( z − x) = b − c  z + x − y = c − a x + y − 2z = a − b  Từ giả thiết ta có : a + b + c = (b − c ) + (c − a) + (a − b) ⇔ a + b + c = b − 2bc + c + c − 2ac + a + a − 2ab + b ⇔ a + b + c − 2ab − 2bc − 2ca = ⇔ 2( a + b + c ) − ( a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca) = ⇔ 2( a + b + c ) − ( a + b + c) x = y  ⇔ a +b + c = ⇔ a = b = c ⇒ y = z ⇒ x = y = z z = x  2 Bài 8: Chứng minh không tồn số thực x, y, z thỏa mãn: a b x + 10 y − xy − x − y + = x + y + z − x − z + y + 15 = Lời giải: a b VT = ( x − y ) + (2 x − 1) + ( y − 1) ≥ 1( dpcm) VT = ( x − 1) + 4( y + 1) + ( z − 3)2 + ≥ 1(dpcm) Bài 9: Tìm x, y thỏa mãn a x + y + = y ( x + 3) b x − xy + y − 28 x + 28 = c x + y + z + = 2( xy + yz + z ) Lời giải: x = x + y + = y ( x + 3) ⇔ ( x − y ) + (2 y − 3) = ⇔  x =  2 a Ta có: b 2 x = x − xy + y − 28 x + 28 = ⇔ (7 x − 28 x + 28) + (2 x − xy + y ) = ⇔ 7( x − 2) + 2( x − y ) = ⇔  y =1 x =  x + y + z + = 2( xy + yz + z ) ⇔ ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − 1) = ⇔  y = z =  c 2 2 2 Bài 10: Cho x − x = 10 Tính A = x − 3x + x − x + x − x + Lời giải: A = x − x + x − x + x − x + = ( x − x + x − x ) + ( x − x + x ) + ( x − x + 1) = ( x − x)3 + ( x − x) + ( x − x) + = 1111 A= Bài 11: Tính (23 + 1)(33 + 1) (1003 + 1) (23 − 1)(33 − 1) (1003 − 1) Lời giải: Ta có: (k + 1)3 + ( k + 2)[(k+1) -(k+1)+1] k + = = k −1 (k-1)(k + k + 1) k −1 Cho k chạy từ đến 100, ta thu được: A = (23 + 1) 33 + 43 + 1003 + 1 101 99.100.101 9.99.100.101 30300 = = = = 3 2 − −1 99 − 100 − 1 98 99(100 + 100 + 1) 1.2.3 10101 6.99.10101 20202 C HẰNG ĐẲNG THỨC BẬC BA (a + b)3 = a + 3a 2b + 3ab + b3 = a + b3 + 3ab(a + b) ⇒ a + b = (a + b )3 − 3ab(a + b ) (a − b)3 = a − 3a 2b + 3ab − b3 = a − b3 − 3ab( a + b) ⇒ a − b = (a − b)3 + 3ab(a − b) Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = a + b3 + c3 − 3abc Lời giải: A = a + b3 + c − 3abc = (a + b) − 3ab( a + b) + c − 3abc = [(a+b)3 + c3 ]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)3 − 3(a + b )c.(a + b + c) − 3ab(a + b + c ) = (a + b + c )[(a+b+c)2 − 3(a + b )c − 3ab ] = (a + b + c)(a + b + c2 − ab − bc − ca ) Bài 2: Cho a + b + c = 0, CMR: Áp dụng tính Lời giải: a + b3 + c3 = 3abc (a − b )3 + (b − c )3 + (c − a )3 B= (a − b)3 + (b − c)3 + (c − a )3 Từ giả thiết +) ⇒ c = −( a + b) ⇒ a3 + b3 + c = a + b3 − (a + b)3 = −3ab(a + b) = 3abc a − b + b − c + c − a = 3( a − b )(b − c )(c − a ) ⇒ B = = (a + b)(b + c )(c + a )  3( a − b )( b − c )( c − a ) a − b + b − c + c − a =  (a + b + c) = a + b + c CMR : Bài 3: Cho a, b, c thỏa mãn: 1 + 3+ 3= a b c abc Lời giải: (a + b + c)2 = a + b + c ⇒ ab + bc + ca = ⇔ Ta có: Bài 4: Cho a, b, c thỏa mãn: 1 + + =0 a b c 1 1 1 1 + + = ⇒ + + = = a b c a b c a b c abc A= Tính bc ca ab + + a b2 c2 Lời giải: Đặt 1 1 1 x = ; y = ; z = ⇒ x + y + z = ⇒ x + y + z = 3xyz ⇔ + + = a b c a b c abc abc abc abc 1 A = + + = abc( + + ) = abc =3 a b c a b c abc D HẰNG ĐẲNG THỨC: ( a + b + c)3 Ta có: (a + b + c)3 = [(a+b)+c]3 = ( a + b)3 + 3( a + b) c + 3(a + b)c + c3 = 3( a 2b + ab + a c + ac + b c + bc + abc + abc ) = 3[(a 2b + ab ) + (a c + ac ) + (ac + bc ) + (b c + abc)]=3(a+b)(b+c)(c+a)+a + b + c3 ⇒ (a + b + c)3 = a + b3 + c + 3( a + b)(b + c)(c + a ) Bài 1: Cho a, b, c thỏa mãn: abc =1 Tính A = (a + b + c)3 − (b + c − a )3 − (c + a − b)3 − (a + b − c)3 Lời giải:  x = b + c − a  x + y = 2c    y = c + a − b ⇒  y + z = 2a ; x + y + z = a + b + c z = a + b − c  z + x = 2c   Đặt ⇒ A = ( x + y + z )3 − x − y − z = 3( x + y )( y + z )( z + x ) = 3.2c.2b.2a = 24abc = 24 Bài 2: Phân tích thành nhân tử a b A = 8( a + b + c)3 − (2a + b − c)3 − (2b + c − a)3 − (2c + a − b) B = 27(a + b + c)3 − (2a + 3b − 2c)3 − (2b + 3c − 2a)3 − (2c + 3a − 2b)3 Lời giải: a Đặt 2a + b − c = x; 2b + c − a = y; 2c + a − b = z ⇒ x + y = a + 3b; y + z = b + 3c; z + x = c + 3a; x + y + z = 2(a + b + c ) ⇒ A = ( x + y + z )3 − x − y − z = 3( x + y )( y + z )( z + x) = 3(a + 3b)(b + 3c)(c + 3a) b B = 27(a + b + c)3 − (2a + 3b − 2c )3 − (2b + 3c − 2a)3 − (2c + 3a − 2b)3 = 3(5a + b)(5b + c)(5c + a ) Bài 3: Cho a, b, c thỏa mãn : a + b + c = a3 + b3 + c3 = Tính A = a n + bn + c n ( n số tự nhiên lẻ ) Lời giải: a + b = (a + b + c) = = a + b + c ⇒ 3( a + b)(b + c)(c + a ) = ⇒ b + c = c + a = Ta có: +) TH1: 3 a + b = ⇒ a = −b ⇒ c = ⇒ a n + b n + c n = +) Tương tự ta có: A = Bài 4: Giải phương trình sau a c 27 x3 + ( x − 5)3 + 64 = (4 x − 1)3 ( x − x + 2)3 = x + ( x3 − 1)( x − 2)3 Lời giải: b (2 x − x − 1)3 + (2 x − 1) = ( x − x + 1) + ( x + x − 3) ( x + x + 3) + ( x − x − 1) + (−2 x − x − 1) = 1 44 43 4 4 43 d a b c 27 x + ( x − 5)3 + 64 = (4 x − 1)3 ⇔ (3 x)3 + ( x − 5)3 + 64 = [3x+(x-5)+4]3 ⇒ 3(3 x + x − 5)( x − + 4)(4 + 3x ) = a b  −4  ⇒ x ∈  ;1;  3 4 ⇔ (2 x − x − 1)3 + (2 x − 1)3 + ( x − x − 1)3 = ( x + x − 3)3 a + b = x −  b + c = x − x − 2 2 x − x − = a; x − = b; x − x − = c ⇒  ⇒ a + b3 + c = (a + b + c)3 c + a = x − x − a + b + c = x + x −  Đặt 2 x2 − = a + b = a + b =  ⇔ 3(a + b)(b + c )(c + a ) = ⇔ b + c = ⇔ b + c = ⇔ 3x − x − = ⇒ x ∈ { −1;1; 2}  x2 − x = c + a = c + a =  ⇔ ( x − x + 2) = x + x3 ( x − 2)3 + (2 − x )3 ⇔ 3( x + x − x)( x − x + − x)(2 − x + x ) = c ⇔ 6( x − x )( x − x + 2) = ⇔ x ∈ { 0;1; 2} Bài 5: Cho x + y + z = 0; xyz ≠ A= Tính x2 y2 z + + yz xz xy Lời giải x y z x3 + y3 + z A= + + = yz xz xy xyz Cách 1: Nếu x + y + z = → x + y + z = 3xyz → A = Cách 2: ( x + y + z )3 = x3 + y + z + 3( x + y )( y + z )( z + x ) → x3 + y + z = ( x + y + z )3 − 3( x + y )( y + z )( z + x ) → A = 43 =0 BÀI TẬP VỀ NHÀ: Bài 1: [ HSG yên Phong năm 2011 ] a 2010 + b 2010 + c 2010 = a1005b1005 + b1005c1005 + c1005 a1005 (1) Cho a, b, c thỏa mãn: (a − b) 20 + (b − c)11 + (c − a) 2010 Tính giá trị A = Lời giải: (1) ⇒ 2a 2010 + 2b 2010 + 2c 2010 − 2a1005b1005 − 2b1005c1005 − 2c1005 a1005 ⇔ (a1005 − b1005 ) + (b1005 − c1005 ) + (c1005 − a1005 ) = a1005 − b1005 =  ⇔ b1005 − c1005 = ⇒ a = b = c ⇒ A = c1005 − a1005 =  Bài 2: [ HSG - 2008 ] Cho a, b, c, d thuộc Z thỏa mãn: a + b = c + d Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + d2 ln tổng số phương Lời giải: Từ giả thiết: a + b = c + d ⇒ a = c + d – b thay vào biểu thức ta được: a + b + c + d = (c + d − b) + b + c + d = [(c+d)-b]2 + b + c + d = (c + d ) − 2(c + d ).b + b + b + c + d 2 2 2 = (c + d ) − 2bc − 2bd + b + b + c + d = (c + d )2 + (b − c )2 + (b − d ) ( dpcm) Bài 3: [ HSG – YP năm 2015 ] a + b + c = 2; a + b + c = 2.CMR : M = (a + 1)(b + 1)(c + 1) Cho a, b, c thỏa mãn: bình phương biểu thức viết dạng Lời giải: Cách 1: M = (a + 1)(b + 1)(c + 1) = a 2b c + a 2b + a c + b c + a + b + c + 1(*) Có: a + b2 + c = = a + b + c ⇒ (a + b + c ) = (a + b + c) Có: (a + b + c ) = a + b + c + 2(ab + bc + ca ) = ⇒ ab + bc + ca = ⇒ a 2b + a 2c + b 2c + 2(acb + a 2bc + c ab ) = ⇒ a 2b + a 2c + b c = − 2(acb + a 2bc + abc ) ⇒ M = (abc )2 − 2abc (a + b + c ) + + a + b + c + M = (abc )2 − 2abc(a + b + c) + (a + b + c) = [abc-(a+b+c)]2 ( dpcm) Cách 2: Ta có: a + = a + ab + bc + ca = (a + b)(a + c); b + = (a + b)(b + c); c + = (a + c)(c + b ) ⇒ M = [(a+b)(b+c)(c+a)]2 ( x + x + 3)3 + ( x − x − 1)3 + (−2 x − x − 1)3 = 1 44 43 4 4 43 Bài 4: Giải phương trình sau: a b c Lời giải: a + b = x + x +  b + c = − x − 3x − ⇒ ⇒ 3(a + b)(b + c)(c + a) = ⇒ x ∈ { 2; −2; −1} c + a = − x + x + a + b + c =  Bài 5: Rút gọn A = ( x + y + z )3 − ( x + y − z ) − ( x − y + z ) − ( − x + y + z ) Lời giải Đặt x + y − z = a   x − y + z = b → a + b + c = x + y + z → A = 24 xyz x + y + z = c  E HẰNG ĐẲNG THỨC: a + b3 + c − 3abc = (a + b + c)(a + b + c − ab − bc − ca ) +) Nhận xét: - Nếu - Nếu a + b + c = a + b3 + c − 3abc = →  a = b = c a + b + c = 3  a = b = c → a + b + c − 3abc =  Bài 1: Cho số thực a, b, c khác thỏa mãn: a + b3 + c − 3abc a b c M = (1 + )(1 + )(1 + ) b c a Lời giải Vì: a + b + c = a + b3 + c − 3abc = →  a = b = c a+b+c = 0→ M = +) Nếu a + b b + c c + a −c −a −b = = −1 b c a b c a Tính giá trị biểu thức e x + x − = x − x + x + x − x + x − x + x − = x ( x − x + 1) − x ( x − x + 1) − ( x − x + 1) = ( x − x + 1)( x − x − 1) Hoặc: x + x − = x + x − x + x − = x ( x3 + 1) − x + x − = ( x − x + 1)( x − x − 1) Phương pháp đổi biến ( đặt ẩn phụ ) a Dạng P(x) = ax4 + bx2 + c ( a ≠ 0) Đặt t = x2 , ta G(t) = at2 + bt + c dùng phương pháp tách hạng tử Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 – 5x2 + Lời giải: Đặt t = x2 , được: t2 – 5t + = (t-1)(t-4) = (x-1)(x+1)(x-2)(x+2) b Dạng A( x) = ( x + a)( x + b)( x + c)( x + d ) + e Cách giải: Đặt mà a + b = c + d A( x) = ( x + a)( x + b)( x + c)( x + d ) + e = [x + ( a + b) x + ab][x + (c + d ) x + cd ] + e t = x + (a + b) x + ab ⇒ x + (c + d ) x + cd = t − ab + cd ⇒ G (t ) = t (t − ab + cd ) + e = t + (cd − ab )t + e Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử ( x − 1)( x − 2)( x − 3)( x − 4) − = ( x − x + 4).( x − x + 6) − = t + 2t − = (t − 1)(t + 3) = ( x − x + 3)( x − x + 7) 14243 14243 t a b c t +2 ( x + y )( x + y )( x + y )( x + y ) + y = ( x + xy + y ) 4( x + 15 x + 50)( x + 18 x + 72) − x = 4( x + 5)( x + 10)( x + 6)( x + 12) − x = 4( x + 17 x + 60)( x + 16 x + 60) − 3x t = x + 16 x + 60 ⇒ x + 17 x + 60 = t + x ⇒ 4[(t + x).t ]-3x = 4t + 4tx − 3x = (2t + x) − (2 x) = (2t − x)(2t + 3x) = (2 x + 31x + 120)(2 x + 25 x + 120) = ( x + 8)(2 x + 15)(2 x + 35 x + 120) d (2 x − 1)( x − 1)( x − 3)(2 x + 3) + = (2 x − x + 1)(2 x − x − 9) + = t − 10t + = x(2 x − 3)(2 x − x − 8) c Dạng: ( x + a ) + ( x + b) t = x+ Đặt a+b a +b a+b a+b b−a b−a ⇒ x=t− ⇒ G (t ) = (t − + a ) + (t − + b) = (t − ) + (t + ) 2 2 2 = = ct + dt + e ( Dạng 1) Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a ( x + 3) + ( x + 5) − Đặt t = x + ⇒ x = t − ⇒ (t − 1) + (t + 1) − = [(t-1) ]2 + [(t+1) ]2 − = 2t + 12t = 2t (t + 6) = 2( x + 4) [(x+4)2 + 6] b ( x + 3) + ( x + 1) − 16 Đặt c t = x + ⇒ (t + 1) + (t − 1)4 − 16 = 2(t + 6t − 7) = 2( y + y − 7)( y = t ) = ( x + 3) + ( x + 5) − 16 = 2( x + 3)( x + 5)[(x+4) + 7] P ( x) = ax + bx + cx + dx + e[ d Dạng P( x) = x [(ax + Cách giải: t = x+ Đặt e d = ( ) ](a ≠ 0) a b e d e d ) + (bx + ) + c]=x [a(x + ) + b( x + ) + c] x x a.x bx d d d ⇒ t = x + + ( )2 = bx b b x Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a P ( x) = x − 21x3 − 30 x − 105 x + 50 P ( x) = x (2 x − 30 − 21x − t = x+ Đặt 105 50 25 + ) = x [2(x + ) − 21( x + ) − 30] x x x x 25 25 ⇒ t = x + + 2.x ⇒ x + = t − 10 x x x x G (t ) = 2(t − 10) − 21t − 30 = 2t − 21t − 50 = (t + 2)(2t − 25) 5 P ( x) = x [2(x+ ) − 25][(x+ ) + 2] = (2 x − 25 x + 10)(2 x + x + 5) x x b d e x − 3x −6 x + x + 1[( ) = ( )2 = = ] b −3 a P ( x) = x ( x − x − + x− Đặt 1 = t ⇒ t = x2 + − ⇒ x2 + = t + x x x P ( x) = x ( x − c 1 + ) = x [(x + ) − 3( x − ) − 6] x x x x ; G (t ) = t + − 3t − = t − 3t − = (t + 1)(t − 4) 1 + 1)( x − − 4) = ( x + x − 1)( x − x − 1) x x x + x3 + x − x + 1( x ≠ 0) y = x− Đặt ⇒ ( x + x − 1) x Phương pháp hệ số bất định ( Cân hệ số ) - Chú ý: Hai đa thức hệ số lũy thừa tương ứng hai đa thức - Phương pháp dùng cho đa thức khơng có nghiệm ngun khơng có nghiệm hữu tỷ Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a c e f ( x) = x − x3 + 12 x − 14 x + P ( x) = x − x + 17 x − 20 x + 14 H ( x, y ) = 12 x + x − 12 y + 12 y − 10 xy − b d f Q ( x) = x − x − x + x + R( x) = x + x + x + x + T ( x, y ) = x − xy + y + x − 13 y − Lời giải: a Ta nhận thấy đa thức khơng có nghiệm ngun khơng có nghiệm hữu tỷ Giả sử f ( x ) = ( x + ax+b)(x + cx + d ) = x + ( a + c ) x + (ac + b + d ) x + (ad + bc) x + bd Đồng hệ số ta được: +) a + c = −6 ac + b + d = −14  ad + bc = −14  bd = ⇒ b ∈ { ±1; ±3}   a + c = −6  b = ⇒ ac = ⇒ c = −4; a = −2(tm) ⇒ f ( x ) = ( x − x + 3)( x − x + 1) a + 3c = −14  b Cách 1: Ta nhận thấy đa thức có nhân tử x + Q( x) = x − 3x − x + x + = ( x + 1)(2 x3 + ax + bx + c) = x + (a + 2) x + (a + b) x + (b + c) x + c  a + = −3 a + b = −7 a = −5   ⇒ b = −2 ⇒ Q ( x ) = ( x + 1)( x − 2)(2 x − x − 4)  b + c = c =  c = Cách 2: Giả sử Q( x) = (2 x + ax+b)(x + cx + d ) = x + (2c + a) x + (2d + ac + b) x + (ad + bc ) x + bd Đồng hệ số: c 2c + a = −3 b = −2 2d + ac + b = −7   ⇔ d = −4 ⇒ Q( x) = (2 x − x − 4)( x + 1)( x − 2)  ad + bc =   a = c = −1  bd = 2b + n = −7 2c + p + bn = 17   cn + bp = −20 cp = 14 ⇒ c = 2; p = 7(tm) ⇒ b = −2; n = −3 e Giả sử d = (2 x + x + 1) H ( x, y ) = (ax+by+c)(dx+ey+f)=adx + (af+cd)x+bey + (ce + bf ) y + cf + (bd + ac ) xy ad = 12 af+cd=5  ⇒ H ( x; y ) = (−3 x − y + 1)(−4 x + y − 3) be=-12 ce+bf=12  cf=-3 ⇒ c=1;f=-3 ⇒ a=-3;d=-4;b=-2;e=6 f T ( x, y ) = (2x+by+c)(x+ny+p) ⇒ n=-2(t/m);b=-3;c=-1;p=5 BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x + x + = x + x + x5 − x + = x ( x + x + 1) − ( x3 − 1)( x + 1) = x ( x + x + 1) − ( x − 1)( x + x + 1)( x + 1) a b c = ( x + x + 1)[x − ( x − 1)( x3 + 1)] x + x + = ( x − x) + ( x + x + 1) = ( x + x + 1)( x − x + x − x + 1) x n + x n + 15 = a + 8a + 15( x n = a) = (a + 3)(a + 5) = ( x n + 3)( x n + 5) Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a c e ( x + y + z )( x + y + z ) − 3( xy + yz + zx) ( x − y )3 + ( y + z )3 − ( z + x ) (a + b + c )3 − (a + b − c )3 − (b + c − a )3 − (c + a − b)3 Lời giải: a Ta có ( x + y + z ) = x + y + z + 2( xy + yz + zx ) b d ( x − y )3 + ( y − z ) + ( z − x ) (a + b)3 + (b + c)3 + (c + a )3 − 8( a + b + c)3 Đặt  x2 + y + z = a ⇒ A = a( a + 2b).3b = a + 2ab − 3b = (a − b)(a + 3b)   xy + yz + zx = b ⇒ A = ( x + y + z − xy − yz − zx)[(x + y + z + +3( xy + yz + zx )] b Ta biết: Nếu Đặt a + b + c = ⇒ a + b3 + c = 3abc x − y = a  3  y − z = b ⇒ a + b + c = ⇒ B = a + b + c ⇒ B = 3abc = 3( x − y )( y − z )( z − x ) z − x = c  c Tương tự câu b d Đặt Ta có: e Đặt  x3 − y = a  3 3 3 3 3  y + z = b ⇒ a + b + c = ⇒ B = a + b + c ⇒ B = 3abc = 3( x − y )( y + z )( − z − x ) − x − z = c  a + b = x  3 b + c = y ⇒ x + y + z = 2(a + b + c ) ⇒ ( x + y + z ) = 8(a + b + c) c + a = z  ; D = x + y + z − ( x + y + z )3 ( x + y + z )3 = x + y + z + 3( x + y )( y + z)( z + x) ⇒ D = −3( x + y )( y + z )( z + x) = −3 m = a + b − c  3 3 n = b + c − a ⇒ a + b + c = m + n + p ⇒ E = (m + n + p ) − m − n − p = 3(m + n)(n + p )( p + m) p = c+ a −b  ⇒ E = 3.2b.2c.2a = 24abc Bài 3: Cho x, y, z thuộc Z Chứng minh : S = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y4 SCP Lời giải: Ta có: S = ( x + y )( x + y )( x + y )( x + y ) + y = ( x + xy + y )( x + xy + y ) + y St = t (t + y ) + y = (t + y )2 = ( x + xy + y )2 ( dpcm) Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x − x3 + 3x − x + b x − 15 x3 + 35 x − 30 x + c x3 − x ( x − x + 1) + ( x − x + 1)3 d x − x3 − x − x + Lời giải: a x − x + 3x − x + = 4( x + 1) − x( x + 1) + x = 4( x + 1) − x( x + 1) − x = y − xy − x = y + xy − 10 xy − x = (2 y + x)(2 y − x) = (2 x + x + 2)(2 x − x + 2) = (2 x + x + 2)( x − 2)(2 x − 1) b x − 15 x3 + 35 x − 30 x + = 2( x + 4) − 15 x ( x + 2) + 35 x = 2( x + x ) − 15( x + 2) + 27 x = y − 15 y + 27 x = ( y − 3x)(2 y − x) = ( x − 3x + 2)(2 x − x + 4) = ( x − 1)( x − 2)( x − 4)(2 x − 1) c x − x ( x − x + 1) + ( x − x + 1)3 = x3 − x y + y = x ( x − y ) − y ( x − y )( x + y ) = ( x − y )(2 x − y − xy ) = ( x − y )( x − y )(2 x + y ) = ( x − y ) (2 x + y ) d x − x − x − x + = ( x − 2)(2 x − 1)(2 x + x + 2) Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a A( x) = x − 19 x3 + 2002 x − 9779 x + 11670 b B( x) = x − 10 x + 34 x − 47 x + 52 x + x − 40 Lời giải: a Ta nhận thấy đa thức có hai nhân tử x - x - A( x) = ( x − 2)( x − 3)(ax + bx + c) ⇒ a = 2; c = 1945; b = −9 ⇒ A( x) = ( x − 2)( x − 3)(2 x − x + 1945) b Nhận thấy đa thức có nhân tử là: x – 3x + B ( x) = ( x − 1)(3x + 2)( x − 3x + 11x − 14 x + 20) = ( x − 1)(3x + 2)( x − x + 4)( x − x + 5) CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ A Ứng dụng 1: Dùng để rút gọn biểu thức Bài 1: Cho a + b + c = , Rút gọn A = a3 + b3 + c(a + b ) − abc Lời giải: Ta có: A = a + b3 + c(a + b ) − abc = a + b3 + a 2c + b 2c − abc = ( a + a 2c) + (b + b c) − abc = a (a + c ) + b (b + c) − abc Vì a + c = −b a +b+c = 0⇒  ⇒ A = a (−b) + b (− a ) − abc = − ab( a + b + c) = b + c = − a  B Ứng dụng 2: Dùng để chứng minh Bài 2: Cho a + b = 1; c + d = 1, ac + bd = 0.CMR : ab + cd = Lời giải: Ta có: ab + cd = ab.1 + cd = ab(c + d ) + cd ( a + b ) = abc + abd + a 2cd + b 2cd = (abc + a 2cd ) + (abd + b 2cd ) = ac(bc + ad ) + bd (ad + bc) = (ad + bc )(ac + bd ) = 0(ac + bd = 0) Bài 3: Chứng minh tích bốn số tự nhiên liên tiếp cộng thêm số phương Lời giải: Gọi số tự nhiên liên tiếp là: n ; n + ; n + ; n + ( n thuộc N* ) Theo ta có: n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = ( n + 3n)(n + 3n + 2) + = ( k − 1)(k + 1) + = k = (n + 3n + 1) ( dpcm) Bài 4: Chứng minh số A = (n + 1)4 + n + chia hết cho SCP khác với n nguyên dương Lời giải: Ta có: A = [(n+1) ]2 + n4 + = (n + 2n + 1) − n + (n + n + 1) = ( n + 3n + 1)( n + n + 1) + (n + n + 1) = (n + 3n + 1)(n + n + 1) + (n + n + 1)(n − n + 1) = (n + n + 1)(2n + 2n + 1) = 2(n + n + 1) (dpcm) Bài 5: Chứng minh với số nguyên x, ta có: (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15M(x+6) Lời giải: Dùng phương pháp đặt ẩn phụ ta được: (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15M(x+6)=(x + x + 10)( x + 2)( x + 6) Bài 6: Chứng minh với số nguyên n, biểu thức A= a n n n3 + + 3 Lời giải: số nguyên A= a n n n3 n3 + 3n2 + 2n n(n + 1)( n + 2) + + = = ∀n ∈ Z 3 6 MỘT SỐ BÀI TỐN TỔNG HỢP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ (BÀI TẬP VỀ NHÀ) Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a c e a b ( a − b ) − c b ( c − b ) + a c (c − a ) ab(b − a ) − bc (b − c) − ac(c − a) 2bc (b + 2c ) + 2ac (c − 2a ) − 2ab(a + 2b) − 7abc b d 3bc (3b − c ) − 3ac (3c − a ) − 3ab(3a + b) + 28abc a(b + c ) + b(c + a ) + c(a + b ) − 2abc − a − b3 − c Lời giải: a Ta nhận thấy b = c A = Vậy đa thức có nhân tử b – c a 2b (a − b) − c 2b (c − b) + a c (c − a ) = a 2b (a − c + c − b) − c 2b (c − b) + a 2c (c − a ) = a 2b (a − c) + a 2b (c − b) − c 2b (c − b) + a 2c (c − a ) = (c − b)b (a − c)( a + c ) + a (a − c)(b − c ) = (a − c)(c − b)[b (a + c) − a (b + c )]=(a-c)(c-b)(ab2 − a 2b + b c − a 2c ) = (a − b )(c − b)(a − c)(a − b)(−ab − bc − ca ) b Nhận thấy c = 2a B = Vậy đa thức có nhân tử c – 2a = 2ac (c − 2a ) + 2b 2c + 4bc − 2a 2b − 4ab − 7abc = 2ac (c − 2a ) + 2b (c − 2a) + 4bc(c − 2a) + 8abc − 2a 2b − 7abc = 2ac (c − 2a ) + 2b (c − 2a) + 4bc(c − 2a ) + 8abc − 2a 2b − 7abc = 2ac(c − 2a ) + 2b (c − 2a ) + 4bc (c − 2a ) + ab(c − 2a) = (c − 2a)(2ac + 2b + 4bc + ab) = (c − 2a)[(2a(a+2b)+b(a+2b)]=(c-2a)(a+2b)(b+2c) c Nhận thấy a = b nên có nhân tử a – b ab(b − a) − bc (b − c) − ac(c − a ) = ab(b − a ) − b 2c + bc − ac + a 2c = ab(b − a ) − c (b − a ) + c (b − a ) = (b − a )(ab − cb − ca + c ) = (b − a )(a − c )(b − c ) d Dự đốn c = 3b, đa thức có nhân tử 3b – c = 3bc (3b − c) − 9ac + 3a 2c − 9a 2b − 3ab + 28abc = 3bc (3b − c ) + 9ac(3b − c ) − 27abc − 3a (3b − c ) − 3ab + 28abc = 3bc (3b − c) + 9ac(3b − c) − 3a (3b − c ) − abc (3b − c ) = (3b − c )(3bc + 9ac − 3a − ab) = (3b − c)(3a + b)(3c − a ) e Ta không nhẩm nghiệm đa thức = a(b + c − 2bc − a ) + b(c + a − b ) + c (a + b − c ) = a[(b − c) − a ]+b(c2 + a − 2ac − b ) + c (a + b − c + 2ab ) = a[(b − c) − a ]+b[(c-a) − b ]+c[(a+b) − c ]=a(b-c-a)(b-c+a)+b((c-a-b)(c-a+b)+c(a+b-c)(a+b+c) = (a + b − c )[a(b-c-a)-b(c-a+b)+c(a+b+c)]=(a+b-c)[-a(c+a-b)-bc+ab-b + ac + bc + c ]=(a+b-c)[-a(a+c-b)+b(a+c-b) +c(a+c-b)]=(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) Bài 2: [ HSG – BG – 30/03/2013 ] A = 2a + 7a b + 7ab2 + 2b3 = 2(a + b3 ) + 7ab(a + b) = (a + b)(2a + b)(a + 2b) Bài 3: [ HSG – Long Biên – Hà Nội – 2015 ] a Phân tích: x ( x − 7) − 36 x b Dựa vào kết chứng minh: A = n3 (n − 7)2 − 36n M210∀n ∈ N Lời giải: a x3 ( x − 7)2 − 36 x = x( x3 − x + 6)( x3 − x − 6) = x( x + 1)( x + 2)( x − 3)( x − 1)( x − 2)( x + 3) b A tích số tự nhiên liên tiếp ⇒ AM2,3,5, ⇒ AM210 Bài 4: [ Bắc Giang 2013 ] a x + 2013 x2 + 2012 x + 2013 b ( x + y)( y + z )( z + x) + xyz Lời giải: a b x + 2013 x + 2012 x + 2013 = ( x − x) + 2013( x + x + 1) = ( x + x + 1)( x − x + 2013) = ( xy + xz + y + yz )( x + z ) + xyz = ( xyz + x y + x z ) + ( xyz + xz + yz ) + ( xyz + xy + zy ) = x( xy + yz + zx) + z ( xy + yz + zx ) + y ( xy + yz + zx ) = ( x + y + z )( xy + yz + zx ) Bài 5: [ Bắc Giang – 2014 ] a c x( x + 2)( x + x + 2) + x + 13x + x − Lời giải: b x − xy + y + x − y − a b c x( x + 2)( x + x + 2) + = ( x + x)[(x + x) + 2] + = ( x + x + 1) = ( x + 1) = ( x − y )2 + 4( x − y ) + − = ( x − y + 2) − = ( x − y + 5)( x − y − 1) = x3 + x + x + x − 3x − = x ( x + 1) + x( x + 1) − 3( x + 1) = ( x + 1)(6 x + x − 3) = ( x + 1)(3x − 1)(2 x + 3) CÔNG THỨC KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON A Công thức (a + b) = Cn a n + Cn1a n−1b + Cn a n −2b + + Cn n−1ab n −1 + Cn nb n Cn k = Trong đó: n! (k = 0,1, n ⇔ k = 0, n); n ! = 1.2.3 n k !( n − k )! +) Quy ước: 0!=1 Cn = +) n! n! n! n! n! = = 1; Cn n = = 1; Cn1 = = n; Cn n −1 = =n 0!(n − 0)! n ! n !(n − n)! 1!( n − 1)! (n − 1)!(n − n + 1)! +) Bảng tam giác Pascal n=2 n=3 3 n=4 n=5 10 10 n=6 15 20 15 n = B Bài tập áp dụng Bài 1: Phân tích thành nhân tử: A = (a + b)5 − a − b5 Lời giải: A = a + 5a 4b + 10a 3b + 10a 2b3 + 5ab + b5 − a − b5 = 5a 4b + 10a 3b + 10a 2b + 5ab = 5ab(a + 2a 2b + 2ab + b ) = 5ab[( a + 3a 2b + 3ab + b3 ) − ( a 2b + ab )]=5ab[(a+b)3 − ab(a + b)]=5ab(a+b)[(a+b) − ab] = 5ab( a + b)(a + ab + b ) Bài 2: Cho a + b + c = 0.CMR : a + b5 + c5 = −5abc(ab + bc + ca ) Lời giải: Từ: a + b + c = ⇒ c = −(a + b) ⇒ VP = a + b − (a + b)5 = −5ab( a + b)[(a+b) − ab] = −5ab(−c )[(a+b)c-ab] = −5abc(ab + bc + ca ) = VP (dpcm) Bài 3: Cho a + b + c a + b3 + c3 a + b5 + c a + b + c = 0.CMR : = Lời giải: VP = Ta có: −5abc (ab + bc + ca ) a + b3 + c 3abc = −abc(ab + bc + ca)(1); = = abc 3 (a + b + c) = ⇔ a + b + c = −2(ab + bc + ca ) ⇒ Lại có: a + b2 + c = −(ab + bc + ca ) VT = −abc( ab + bc + ca)(2).(1)(2) ⇒ VT = VP CMR : Bài 4: (a − b)2 + (b − c) + (c − a) ( a − b)3 + (b − c)3 + (c − a)3 (a − b) + (b − c)5 + (c − a)5 = Lời giải: Ta có: Đặt ( a − b ) + (b − c ) + ( c − a ) = x = a − b; y = b − c; z = c − a ⇒ x + y + z = Ta cần chứng minh: x + y + z x3 + y3 + z x5 + y + z = Bài 5: Cho a,b số nguyên CMR số sau số phương A = ( a + b) + a + b Lời giải: A = a + 4a3b + 6a 2b + ab3 + b + a + b = a + b + 3a 2b + 2ab(a + b ) = (a + b ) + ( ab) + 2ab(a + b ) = (a + b + ab) (dpcm) Bài 6: Giải phương trình: ( x + 2) + ( x − 2) = x + 128(*) Lời giải: Ta có: ( x + 2)6 = x + x5 + 15 x 22 + 20 x 23 + 15 x 2 + x.25 + 26 = x + 12 x + 60 x + 160 x + 240 x + 192 x + 64 ( x − 2)6 = [x+(-2)]6 = x6 − 12 x5 + 60 x − 160 x3 + 240 x − 192 x + 64 VT = x + 120 x + 480 x +128 ⇒ (*) ⇔ 120 x + 480 x = ⇔ x = Bài 7: Cho a, b, c số nguyên, CMR: ( a + b) − a − b M7 Lời giải: (a + b)7 = a + 7a 6b + 21a 5b5 + 35a b3 + 35a3b4 + 21a 2b5 + ab6 + b7 ⇒ (a + b)7 − a − b7 = 7(a 6b + 3a 5b + 5a 4b3 + 5a 3b +3a 2b5 + ab )M7( dpcm) Bài 8: CMR : A = 16n − 15n − 1M225∀n ∈ N Lời giải: +) +) +) +) n = ⇒ 160 − 15.0 − = 0M225 = 152 n = ⇒ A = 0M225 = 152 n = ⇒ A = 225M225 = 152 n ≥ ⇒ 16 n = (15 + 1) n = Cn 1n + Cn1.1n −1 Cnn + 15n = (1 + 15n + BS (225) ⇒ (16 n − 15n − 1) = BS (225) M225∀n Bài 9: CMR : A = (n + 1) − (n + 1)n Mn3∀n ∈ N * Lời giải: +) n = ; n = thỏa mãn +) n ≥ ⇒ (n + 1) n = (1 + n )n = Cn0 1n + Cn1 n + Cn2 n + + Cnn n n = + n3 + BS (n3 )(1) (1 + n) n = Cn02 + Cn12 n + Cn22 n + C Lại có: = + BS ( n3 ) Từ (1)(2) ta có điều phải chứng minh n2 n2 = + n3 + n ( n − 1) n(n − 1) n + BS ( n ) = + n + n [ ] + BS ( n3 )(2) 2 ... (12 2 n +1 + 12 12 n +1 ) − 11 n + (11 3n − 1) = (12 + 12 1) (12 2 n − 12 2 n ? ?1. 1 21 + + 12 12 n ) − 11 n + (11 3 − 1) [11 n -1 + 11 n −2 + + 1] 14 43 M 13 3 Vậy AM 13 3( dpcm) D BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Cho a,... − 10 n + ) = (11 2 n +1 + 10 02 n +1 ) − 10 n + (10 3n − 1) = ( ) − 10 n + 2. (10 3 − 1) [ (10 3 )n ? ?1 + (10 3 ) n −2 + + 1] A = (11 + 10 0) [11 2n − 11 2 n ? ?1. 100 + + 10 0 n ] -10 n+2 (10 3 − 1) .[ ] =11 1{ [ ] -10 n+2... (10 2 − 10 + 1) = 10 (10 + 1) (10 − 10 + 1) .[ ]- (10 2 − 10 + 1) ⇒ AM 10 − 10 + = 91 = 7 .13 ⇒ AM7, AM 13 ⇒ Là hợp sô b B = 10 000000099 = 10 10 + 99 = 10 05 + 99 = 10 05 + 10 0 − = 10 0 (10 03 + 1) − (10 0