Chuyên đề 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

adasd ĐẠI SỐ 8 GVTH: LÊ VĂN THIỆN Bài tập: Tính (a + b)(a 2 - ab +b 2 ) (với a, b là các số tuỳ ý). KIỂM TRA BÀI CŨ: Tiết 7: NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ (TT) 6.Tổng hai lập phương: A 3 + B 3 = (A+B)(A 2 - AB+B 2 ) A 3 + B 3 = ? Lưu ý: Ta quy ước gọi A 2 - AB + B 2 là bình phương thiếu của hiệu A - B. ?2 Hãy phát biểu hằng đẳng thức (6) bằng lời. ?2 Tổng hai lập phương bằng tổng hai biểu thức nhân với bình phương thiếu của hiệu hai biểu thức đó. a) Viết x 3 +8 dưới dạng tích. b) Viết (x+1)(x 2 -x+1) dưới dạng tổng. *Áp dụng: 7.Hiệu hai lập phương: ?3 Tính (a - b)(a 2 + ab +b 2 ) (với a, b là các số tuỳ ý). A 3 - B 3 = ?A 3 - B 3 = (A-B)(A 2 + AB+B 2 ) (6) (7) Tiết 7: NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ (TT) 6.Tổng hai lập phương: A 3 + B 3 = (A+B)(A 2 - AB+B 2 ) Lưu ý: Ta quy ước gọi A 2 + AB + B 2 là bình phương thiếu của tổng A + B. ?4 Hãy phát biểu hằng đẳng thức (7) bằng lời. a) Viết x 3 +8 dưới dạng tích. b) Viết (x+1)(x 2 -x+1) dưới dạng tổng. *Áp dụng: 7.Hiệu hai lập phương: A 3 - B 3 = (A-B)(A 2 + AB+B 2 ) (7) ?4 Hiệu hai lập phương bằng hiệu hai biểu thức nhân với bình phương thiếu của tổng hai biểu thức đó. Tiết 7: NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ (TT) 6.Tổng hai lập phương: A 3 + B 3 = (A+B)(A 2 - AB+B 2 ) a) Viết x 3 +8 dưới dạng tích. b) Viết (x+1)(x 2 -x+1) dưới dạng tổng. *Áp dụng: 7.Hiệu hai lập phương: A 3 - B 3 = (A-B)(A 2 + AB+B 2 ) (7) (6) a) Tính (x – 1)(x 2 + x + 1) *Áp dụng: b) Viết 8x 3 – y 3 dưới dạng tích. c) Hãy đánh dấu x vào ô có đáp số đúng của tích: (x + 2)(x 2 – 2x + 4) x 3 + 8 x 3 - 8 (x + 2) 3 (x – 2) 3 x +Khi vận dụng trước hết cần dự đoán dạng hằng đẳng thức. +Vận dụng hằng đẳng thức cần linh hoạt (chiều xuôi, nghịch). Trong nhiều trường hợp ta sử dụng công thức: A 3 + B 3 = (A+B) 3 - 3AB(A+B) A 3 - B 3 = (A- B) 3 + 3AB(A-B) *Lưu ý: CỦNG CỐ: Bài 30(Sgk) Rút gọn các biểu thức sau a) (x+3)(x 2 – 3x + 9) - (54 + x 3 ) Giải: a) (x+3)(x 2 – 3x + 9) - (54 + x 3 ) = x 3 + 27 - 54 - x 3 = -27 Bài 31(Sgk) Chứng minh rằng a)a 3 + b 3 = (a + b) 3 - 3ab(a+b) Áp dụng: tính a 3 + b 3 , biết a.b = 6 và a+b = -5 Giải: a)VP = (a+b) 3 - 3ab(a+b) = a 3 + 3a 2 b +3ab 2 + b 3 - 3a 2 b - 3ab 2 = a 3 + b 3 Đặt A = a 3 + b 3 = (a + b) 3 - 3ab(a+b) Thay a.b = 6 và a+b = -5 vào A ta có: A = (-5) 3 - 3.6(-5) = -125 + 90 = -35 Vậy với a.b = 6 và a+b = -5 thì giá trị biểu thức A = -35 CỦNG CỐ: Bài 1: Tính nhanh kết quả sau 3 2 2004 1 A 2004 2003 + = − Giải: 3 2 2 2 2004 1 (2004 1)(2004 2004 1) A 2004 1 2005 2004 2003 2004 2004 1 + + − + = = = + = − − + Vậy A = 2005 CỦNG CỐ: Bài 2: Tìm x (x - 1) 3 - (x + 3)(x 2 - 3x + 9) + 3(x 2 - 4) = 2 Giải: (x - 1) 3 - (x + 3)(x 2 - 3x + 9) + 3(x 2 - 4) = 2 3x - 40 = 2 3x = 42 x = 14 Vậy x = 14 ⇔ ⇔ ⇔ Hướng dẫn về nhà: -Xem lại các bài toán đã làm. -Học thuộc TOÁN HÈ 2015- 2016 CÓ CÔNG MÀI SẮT CÓ NGÀY NÊN KIM CHỦ ĐỀ 2: NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT Cho A B biểu thức Ta có số đẳng thức đáng nhớ sau: 1) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 2) (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 A2 + B2 = (A + B)2 – 2AB = (A - B)2 + 2AB 3) A2 – B2 = (A + B)(A – B) 4) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 5) (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 6) A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) 7) A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2) *Chú ý: Các công thức 4) 5) viết dạng: (A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B) (A – B)3 = A3 – B3 – 3AB(A – B) - Từ công thức 1) 2) ta suy công thức: (A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2BC + 2AC Chứng minh: ((A + B) + C)2 = (A+B)2 + 2(A+B)C + C2 = A2 + 2AB + B2 + 2AC + 2BC + C2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2BC + 2AC (A – B + C)2 = A2 + B2 + C2 – 2AB – 2BC + 2AC (A – B – C)2 = A2 + B2 + C2 – 2AB + 2BC – 2AC (A + B – C)2 = A2 + B2 + C2 + 2(AB - AC – BC) (A + B)2 = (A –B)2 + 4AB (A – B)2 = (A +B)2 – 4AB (A + B + C)³ = A³ + B³ + C³ + 3(A + B)(A + C)(B + C) *) Hướng dẫn học sinh học thuộc n đẳng thức mà không cần nhớ nhiều +) Xây dụng tam giác đẹp số 1 Đỉnh Dòng 1(n = 1) Dòng 2(n = 1) Dòng 3(n = 3) Dòng 4(n = 4) Dòng 5(n = 5) Dòng 6(n = 6) +) Kiến thức liên quan: 1 1 6 10 15 10 20 15 - 10 = 1; 20 = 1; (-2)0 = 1; ; a0 = 1; (a+b)0 = - 11 = 1; 21 = 2; (-2)1 = -2; ; a1 = a; (a+b) = a+b = 1a +1b Giáo viên: Nguyễn Quốc Dũng Gmail: dungquocnguyen92@gmail.com TOÁN HÈ 2015- 2016 CÓ CÔNG MÀI SẮT CÓ NGÀY NÊN KIM Trong tam giác này, hai cạnh bên gồm số 1; dòng k + thành lập từ dòng k (k ≥ 1), chẳng hạn dòng (n = 2) ta có = + 1, dòng (n = 3): = + 1, =1 + dòng (n = 4): = + 3, = + 3, = + 1, … Với n = thì: (a + b)2 = a2b0 + 2a1b1 + a0b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 ( Lũy thừa số a giảm dần số mũ ban đầu, VD: a a1 + a0 với số b ngược lại) ( Đối với dấu trừ (vd +1=1”đúng”, -1=1” sai” Vậy dấu đan xen nhau, qua hạng tự đổi dấu) Với n = thì: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a - b)3 = + a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 Với n = thì: (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 Với n = thì: (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 Với n = thì: (a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2 b4 + 6ab5 + b6 (a + b)n = anb0 + nan - b1 + …+ a0bn ( Chú ý kiểm tra lại tổng số mũ hạng tử số mũ đẳng thức vừa khai triển, Nhìn vào tam giác pascan ta thấy hệ số đối nhau) +) Xây dụng hẳng đẳng thức hiệu lập phương n đẳng thức A2 + B2 = (A + B)2 – 2AB = (A - B)2 + 2AB A2 – B2 = (A + B)(A – B) A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2) A4 + B4 = (A + B)(A3 - A2B + AB2 - B3) A4 - B4 = (A - B)(A3 + A2B + AB2 + B3) An + Bn = (A + B) (An-1 – An-2 B + An-3 B2 – An-4 B3 +…… +(-1)n-1 B n-1) An - Bn = (A + B) (An-1 + An-2 B + An-3 B2 + An-4 B3 +…… + B n-1) B.VÍ DỤ: *Ví dụ 1: Khai triển: Giáo viên: Nguyễn Quốc Dũng Gmail: dungquocnguyen92@gmail.com TOÁN HÈ 2015- 2016 2 CÓ CÔNG MÀI SẮT CÓ NGÀY NÊN KIM 2 a) (5x + 3yz) = 25x + 30xyz + 9y z b) (y2x – 3ab)2 = y4x2 – 6abxy2 + 9a2b2 c) (x2 – 6z)(x2 + 6z) = x4 – 36z2 d) (2x – 3)3 = (2x)3 – 3.(2x)2.3 + 3.2x.32 – 33 = 8x3 – 36x2 + 54x – 27 e) (a + 2b)3 = a3 + 6a2b + 12ab2 + 8b3 g) (x2 + 3)(x4 + – 3x2) = (x2)3 + 33 = x6 + 27 h) (y – 5)(25 + 2y + y2 + 3y) = (y – 5)(y2 + 5y + 25) = y3 – 53 = y3 – 125 *Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: a) A = (x + y)2 – (x – y)2 = x2 + 2xy + y2 – x2 + 2xy – y2 = 4xy Hoặc: A = (x + y + x – y)(x + y – x + y) = 2x.2y = 4xy b) B = (x + y)2 – 2(x + y)(x – y) + (x – y)2 = x2 + 2xy + y2 – 2x2 + 2y2 + x2 – 2xy + y2 = 4y2 c) C = (x + y)3 - (x – y)3 – 2y3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 – x3 + 3x2y – 3xy2 + y3 – 2y3 = 6x2y *Ví dụ 3: Chứng minh: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac Ta có: VT = (a + b + c)2 = [(a + b) + c]2 =(a + b)2 + 2(a + b)c + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = VP Vậy đẳng thức chứng minh *Ví dụ 4: Chứng minh: a) a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b) Ta có : VP = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – 3a2b – 3ab2 = a3 + b3 = VT Áp dụng: Tìm tổng lập phương hai số biết tích hai số tổng hai số – Gọi hai số a b ta có: a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = (- 5)3 – 3.6 (- 5) = - 125 + 90 = -35 b) a3 – b3 = (a - b)3 + 3ab(a – b) Ta có: VP = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 + 3a2b - 3ab2 = a3 – b3 *Ví dụ 5: Tính nhanh: a) 1532 + 94 153 + 472 = 1532 + 2.47.153 + 472 = (153 + 47)2 = 2002 = 40000 b) 1262 – 152.126 + 5776 = 1262 – 2.126.76 + 762 = (126 – 76)2 = 502 = 2500 c) 38.58 – (154 – 1)(154 + 1) = 158 – (158 – 1) = d) (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1) … (220 + 1) + = = (2 – 1)(2 + 1) (22 + 1)(24 + 1) … (220 + 1) + = = (22 – 1) (22 + 1)(24 + 1) … (220 + 1) + = = (24 – 1)(24 + 1) … (220 + 1) + = =… = (220 – 1)(220 + 1) + = 240 – + = 240 C.BÀI TẬP LUYỆN TẬP : Giáo viên: Nguyễn Quốc Dũng Gmail: dungquocnguyen92@gmail.com TOÁN HÈ 2015- 2016 CÓ CÔNG MÀI SẮT CÓ NGÀY NÊN KIM *Bài tập 1: Viết biểu thức sau dạng bình phương tổng hay hiệu: a) x2 + 5x + 25 5 = x2 + x + ( )2 = (x + )2 2 b) 16x2 – 8x + = (4x)2 – 2.x.4 + 12 = (4x – 1)2 c) 4x2 + 12xy + 9y2 = (2x)2 + 2.2x.3y + (3y)2 = (2x + 3y)2 d) (x + 3)(x + 4)(x + 5)(x + 6) + = (x + 3)(x + 6)(x + 4)(x + 5) + = (x2 + 6x + 3x + 18)(x2 + 4x + 5x + 20) + = (x2 + 9x + 18)(x2 + ... Chuyên đề 2: các hằng đẳng thức đáng nhớ. A.Lí thuyết: 1. các hằng đẳng thức đáng nhớ: (A+B) 2 = A 2 +2AB+B 2 (A-B) 2 = A 2 -2AB+B 2 A 2 -B 2 = (A+B)(A-B) (A+B) 3 = A 3 +3A 2 B +3AB 2 +B 3 (A-B) 3 = A 3 -3A 2 B +3AB 2 -B 3 A 3 +B 3 =(A+B)(A 2 -AB+B 2 ) A 3 -B 3 =(A-B)(A 2 +AB+B 2 ) 2. Một số hằng đẳng thức khác: 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 3 ( . ) . 2 2 n n A A A A A A A A A A+ + + = + + + + + 1 2 3 2 . 2 2 . 2 n n A A A A A A+ + + + + 1 . 2 n n A A + + VD: (A+B+C) 2 =A 2 +B 2 +C 2 +2AB+2AC+2BC (A-B+C) 2 =A 2 +B 2 +C 2 -2AB+2AC-2BC 1 2 2 1 ( )( . . . ) n n n n n n x y x y x x y x y y = + + + + , 0n N n > 1 2 3 2 2 1 ( )( . . . . ) n n n n n n n x y x y x x y x y x y y = + + + , 0n N n > , n lẻ B. Một số ví dụ minh hoạ: Hằng đẳng thức đáng nhớ đợc học trong chơng trình cho ta kết quả cuối cùng của các phép nhân đa thức với đa thức: Bài toán 1 : Cho đa thức 2x 2 -5x+3 . Viết đa thức trên dới dạng một đa thức của biến y trong đó y= x+1. HD : Thay x = y-1 ta đợc : 2x 2 -5x+3 = 2.( y-1) 2 -5.( y-1)+3 = 2.( y 2 -2y+1)-5y+5+3 = 2.y 2 -9.y+10. Bài toán 2 : Số nào lớn hơn trong hai số A và B ? A = (2+1).(2 2 +1).(2 4 +1).(2 8 +1).(2 16 +1) B = 2 32 . HD : Nhân hai vế của A với (2-1) ta đợc: A = (2-1). (2+1).(2 2 +1).(2 4 +1).(2 8 +1).(2 16 +1). áp dụng hằng đẳng thức A 2 -B 2 = (A+B)(A-B) nhiều lần ta đợc : A= 2 32 -1. Vậy A <B . Bài toán 3 : Rút gọn biểu thức : C = (a+b+c) 3 +(a-b-c) 3 -6.a.(b+c) 2 . HD : C = [a+(b+c)] 3 +[a-(b-c)] 3 - 6.a.(b+c) 2 = a 3 +3.a 2 .(b+c)+3.a.(b+c) 2 +(b+c) 3 +a 3 -3.a 2 +3.a.(b+c) 2 -(b+c) 3 - 6.a.(b+c) 2 = 2.a http://violet.vn/tranthuquynh81 Chuyªn ®Ò 2: c¸c h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí. Bµi to¸n 4 : TÝnh a). ( 2.x+3) 2 ; ( 2.x- 3) 2 b). ( x+ 4 1 ) 2 ; ( x - 4 1 ) 2 c). ( 3.x+ 5.y) 2 ; ( 3.x- 5.y) 2 d). ( 2.x 2 .y+ 3 1 .x.y 2 ) 2 ; ( 2.x 2 .y- 3 1 .x.y 2 ) 2 HD : a). Ta cã ( 2.x+3) 2 = 4.x 2 + 12.x +9 ; ( 2.x-3) 2 = 4.x 2 - 12.x +9. b). Ta cã ( x+ 4 1 ) 2 = x 2 + 2 1 x+ 16 1 ; ( x- 4 1 ) 2 = x 2 - 2 1 x+ 16 1 . c). Ta cã ( 3.x+ 5.y) 2 =9.x 2 +30.x.y+25y 2 ; ( 3.x- 5.y) 2 =9.x 2 -30.x.y+25y 2 . d). Ta cã ( 2.x 2 .y+ 3 1 .x.y 2 ) 2 = 4.x 4 .y 2 + 3 4 x 3 .y 3 + 9 1 x 2 .y 4 ( 2.x 2 .y- 3 1 .x.y 2 ) 2 = 4.x 4 .y 2 - 3 4 x 3 .y 3 + 9 1 x 2 .y 4 Bµi to¸n 5 : TÝnh a). ( 2.x+3) 3 ; ( 2.x- 3) 3 b). ( x+ 4 1 ) 3 ; ( x - 4 1 ) 3 c). ( 3.x+ 5.y) 3 ; ( 3.x- 5.y) 3 d). ( 2.x 2 .y+ 3 1 .x.y 2 ) 3 ; ( 2.x 2 .y- 3 1 .x.y 2 ) 3 HD : a). Ta cã ( 2.x+3) 3 = 8.x 3 +36.x 2 .y+54.x.y 2 +27. Ta cã ( 2.x-3) 3 = 8.x 3 -36.x 2 .y+54.x.y 2 -27. b). Ta cã ( x+ 4 1 ) 3 = x 3 + 4 3 x 2 + 16 3 x + 64 1 . Ta cã ( x- 4 1 ) 3 = x 3 - 4 3 x 2 + 16 3 x - 64 1 . c). Ta cã ( 3.x+ 5.y) 3 =27.x 3 +135.x 2 y+225.xy 2 +125.y 3 Ta cã ( 3.x- 5.y) 3 =27.x 3 -135.x 2 y+225.xy 2 -125.y 3 d). Ta cã ( 2.x 2 .y+ 3 1 .x.y 2 ) 3 = 8.x 6 .y 3 +4.x 5 .y 4 + 3 2 x 4 .y 5 + 27 1 x 3 .y 6 Ta cã ( 2.x 2 .y- 3 1 .x.y 2 ) 3 = 8.x 6 .y 3 - 4.x 5 .y 4 + 3 2 x 4 .y 5 - 27 1 x 3 .y 6 Chuyªn ®Ò 2: c¸c h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí. http://violet.vn/tranthuquynh81 c. Một số bài tập áp dụng: Bài toán 1 : Tính nhanh kết quả các biểu thức sau a). 127 2 +146.127+73 2 b). 9 8 .2 8 - (18 4 -1).(18 4 -1). c). 100 2 -99 2 +98 2 -97 2 ++2 2 -1 2 d).( 20 2 +18 2 ++4 2 +2 2 )-(19 2 +17 2 + +1 2 ) e). 22 22 75125.150125 220780 ++ f).34 2 +66 2 +68.66 Bài toán 2 : Tính a). (x+2y) 2 ; (x-2y) 2 ; (x+2y) 3 ; (x-2y) 3 ; b). (3x+y) 2 ; (3x-y) 2 ; (3x+y) 3 ; (3x-y) 3 Vấn đề2: Hẳng đẳng thức đáng nhớ Thầy giáo : Hà Tiến Khởi A/ Kiến thức 1) Giới thiệu bẩy hằng đẳng trong sgk 2) Bổ sung thêm các hằng đẳng thức a) (a + b+ c) 2 = a 2 + b 2 +c 2 + 2ab + 2bc + 2ca b)( a + b + c) 3 = a 3 + b 3 + c 3 + 3(a + b)(b + c)(c + a) c)A n – B n = (A – B)(A n-1 + A.B n-2 + … + A.B n-2 + B n-1 ) ( Với n N ∈ , n > 1) 3) Khai thác phát triển thêm các hằng đẳng thức khác từ bảy hằng đẳng thức trong sgk 4) Giới thiệu tam giác Pascal B/Bài tập Dạng1: Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức Rút gọn các biểu thức sau 1)(3x + 6 5a ) 2 2)       −       + 5 4 10 7 10 7 5 4 xyyx 3)(2a + b – 5)(2a – b + 5) 4)(3x +2) 3 5)(- x 2 – 2y) 3 6)(x 2 - 2 y ) 3 7)(3x – 4)(9x 2 + 12x + 16) 8) (4x – 1) 2 – (x + 1)(x – 1) 9) (5x + 8) 2 + (5x – 8) 2 10) (x + 2)(x- 2)(x 2 + 4)- (x 2 + 1)(x 2 – 1) 11)( 3 2 + x )(         +− 9 2 3 4 2 xx 12)(5x – y)(25x 2 + 5xy + y 2 ) 13)(x + 1) 3 – x(x- 2) 2 – 1 14) (x + 1)(x 2 + x + 1)(x – 1)(x 2 – x + 1) 15) 2x(2x- 1) 2 – 3x(x +3)(x- 3) – 4x(x+1) 2 16)(a – b+ c) 2 – (b – c) 2 + 2ab – 2ac 17)(3x + 1) 2 – 2(3x +1)(3x + 5) + (3x + 5) 2 18)(3 +1)(3 2 + 1)(3 4 + 1)(3 8 + 1) (3 16 + 1)(3 32 + 1) 19)(a + b – c) 2 + (a – b + c) 2 – 2(b – c) 2 20) (a + b + c) 2 + ( a – b – c) 2 + (b – c – a) 2 + (c – a – b) 2 21) (x – 2) 3 – x(x + 1)(x – 1) + 6x(x – 3) 22)(x – 2)(x 2 – 2x + 4)(x + 2)(x 2 + 2x + 4) 23)(a + b + c) 3 – (b + c – a) 3 – (a + c – b) 3 – (a + b – c) 3 24)( a + b) 3 + (b + c) 3 + (c + a) 3 – 3(a + b)(b +c)(c + a) Dạng2:Sử dụng hằng đẳng thức để viết biểu thức về dạng bình phương một tổng; bình phương một hiệu_Lập phương một tổng, lập phương một hiệu. Bài1: Viết mỗi biểu thức sau đây dưới dạng bình phương một đa thức 1)4x 2 – 2x + 4 1 2)25a 2 + 9 1 3 10 + a 3)(x 3 – x + 1) 2 + (x 2 – 3) 2 – 2(x 2 – 3)(x 3 – x + 1) Bài2:Viết dưới dạng tổng các luỹ thừa của (x -1) đa thức sau: A = 2x 2 – 3x + 5 và B = 3x 2 + 7x – 1 Bài3:Chứng minh rằng biểu thức sau viết được dưới dạng tổng các bình phương của hai biểu thức: x 2 + 2(x + 1) 2 + 3(x + 2) 2 + 4(x + 3) 2 Bài4:Chứng minh rằng tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng thêm 1 luôn là một số chính phương. Bài5:Viết các đa thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc lập phương của một hiệu. a) A = 8x 3 + 12x 2 y + 6xy 2 + y 3 b)B = x 3 +3x 2 + 3x + 1 c) C = x 3 – 3x 2 + 3x – 1 d)D = 27 + 27y 2 + 9y 4 + y 6 Bài6:Hãy viết biểu thức sau dưới dạng tổng của ba bình phương a)(a+b+c) 2 + a 2 + b 2 +c 2 b)2(a-b)(c-b)+ 2(b- a)(c –a) + 2(b- c)(a-c) Dạng3:Sử dụng hằng đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất_GTLN. Bài1:Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau 1) A = x 2 + 10x + 25,01 2)B = 3x 2 – 6x + 4 3)C= x 2 – 4x + 7 4)D = 2x 2 + 3x + 4 5)E = (x -1)(x +2)(x +3)(x +6) 6)F = (x +1) 2 + (2x – 1) 2 7)G = x 4 – 2x 3 + 3x 2 – 4x + 2005 8)H = x 6 – 2x 3 + x 2 – 2x + 2 9)M =2x 2 + 9y 2 – 6xy – 6x – 12y + 2028 10) N = x 2 – 4xy + 5y 2 + 10x – 22y + 28 Bài2:Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) P = x 2 + y 2 – 6x – 2y + 17 b)Q = x 2 + xy + y 2 – 3x – 3y + 1999 c)R = 2x 2 + 2xy + y 2 – 2x + 2y + 15 d)S = x 2 + 26y 2 – 10xy + 14x – 76y + 59 e)T = x 2 – 4xy + 5y 2 + 10x – 22y + 28 Bài3:Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: a) A = 4 – 2x 2 b)B = - x 2 + 10x – 5 c)C = - 3x 2 + 2x – 5 d)D = - 9x 2 + 24x – 18 e)E = - 2x 2 – y 2 – 2xy + 4x + 2y + 5 g)G = (1- x)(2+x)(3+x)(6+x) Bài4:So sánh hai số sau: a) x = 2 16 và y = 3(2 2 +1)(2 4 + 1)(2 8 + 1) b)a = 2004.2006 và b = 2005 2 Bài5: a) Với mọi x, y chứng minh rằng : x 2 + 4y 2 + 9 ≥ 2xy + 3x + 6y b)Cmr: x 2 – 8x + 18 > 0 với mọi x c)x 2 – 4xy + 4y 2 + 0,1 > 0 với mọi x, y d)x 2 + y 2 – 2x + 4y + 5 ≥ 0 Với mọi Hệ thống bài tập toán lớp 9 Biên soạn : Lê Kỳ Hội Trang 1 I. Phần 1: Phân tích ña thức thành nhân tử. 1. Phương pháp : + ðặt nhân tử chung. + Dùng hằng ñẳng thức. + Nhóm nhiều hạng tử. + Tách, cộng, thêm, bớt. Chú ý : ðặt ñiều kiện trước khi phân tích ña thức thành nhân tử. 2. Bài tập : Bài tập 1: Phân tích các ña thức sau thành nhân tử. 1. 4 − b 2. 9 − a 3. 3 2 −a 4. 1 − a 5. 7 − a 6. 14 2 −x 7. 8 3 −x 8. 22 3 −a 9. 1 3 +x . Bài tập 2: Phân tích các ña thức sau thành nhân tử. 1. 42 22 −−+ xyyx 2. 17321 +++ 3. 32 −+ xx 4. 2 11 aa −+− 5. 32 yxyyx −+− 6. 32 −+ xx 7. 1 +aa 8. 2233 abbaba −−+ 9. 3322 −−+ aaaa Bài tập 3: Phân tích các ña thức sau thành nhân tử. 1. 1 −−+ xxxx 2. 632 +++ baab 3. ( ) xx 41 2 −+ 4. 1+−− baab 5. 2 12 axx −−− 6. babaa 22 +++ 7. yxyyxx −++ 8. 2−− xx Bài tập 4: Phân tích các ñ a th ứ c sau thành nhân t ử 1. 23 +− xx 2. yyxx 23 2 +− 3. 12 −+ xx 4. xxx −− 2 3 5. 156 ++− xx 6. 267 −− xx 7. 34 ++ xx 8. baba 62 −+ Bài tập 5: Phân tích ñ a th ứ c sau thành nhân t ử . 1. 65 +− xx 2. baba 62 −− 3. 123 −− aa ðề cương ôn tập chương 1 Hệ thống bài tập toán lớp 9 Biên soạn : Lê Kỳ Hội Trang 2 4. 144 −− aa 5. 42 2 −+− xx 6. 1 2 −+− xxx 7. baba 352 +− 8. 234 44 xxx +− 9. 123 2 −− xx Bài tập 5: Phân tích ña thức sau thành nhân tử. 1. xbabxa −+− 3 2. 144 23 −+− xxx 3. ( ) abbaa −+−5 4. 13 24 +− xx 5. 54 2 +− xx 6. 123 2 −− xx 7. ax ay bx by − + − 8. 12 2 −− yy 9. xyyx +− 22 2 II. Phần 2: So sánh. 1. Phương pháp : + So sánh giá trị. + Áp dụng tính chất lũy thừa bậc 2, căn bậc 2. + Xét hiệu A - B + So sánh nghịch ñảo + Áp dụng bất ñẳng thức cơ bản (cối, bunhiacopxki, trị tuyệt ñối). + Dùng phép biến ñổi tương ñương. 2. Bài tập : Bài tập 1: So sánh 1. 5 và 2 6 2. 2 5 và 19 3. 3 2 và 8 4. 52 và 23 5. 35 và 92 6. 45 và 3,5 5 7. 3 3 1 và 48 5 1 8. 3 3 và 2 7 9. 5 7 và 7 5 Bài tập 2: So sánh 1. 4 7 và 3 13 2. 3 12 và 2 16 3. 82 4 1 và 7 1 6 4. 3 12 và 2 16 5. 2 17 2 1 và 19 3 1 6. 2233 − và 2 Bài tập 3: So sánh các s ố sau. 1. 7 5 + và 49 2. 2 11 + và 53 + 3. 2 17 2 1 và 19 3 1 4. 521 − và 620 − 5. 82 4 1 và 7 1 6 6. 206 + và 51+ 7. 27 − và 1 8. 2930 − và 2829 − 9. 58 + và 67 + Hệ thống bài tập toán lớp 9 Biên soạn : Lê Kỳ Hội Trang 3 10. 1627 ++ và 48 11. 35 − và 2 1 12. 7525 + và 5035 + Bài tập 4: s ắ p x ế p các s ố sau : 1. ;25 52 ; 32 ; 23 theo thứ tự tăng dần. 2. 21, 2 7 , 15 3 , - 123 theo thứ tự tăng dần. 3. 6 1 4 , 4 1 2 , - 132 , 2 3 , 15 5 theo thứ tự giảm dần. 4. 28 2, 14, 2 147, 36 4 theo thứ tự tăng dần. 5. - 27, 4 3, 16 5 , 21 2 theo thứ tự giảm dần. III. Phần 3: Tìm sự xác ñịnh của các căn thức bậc hai. 1. Phương pháp : + A xác ñịnh khi 0 A ≥ . + A B xác ñị nh khi 0 B ≠ . 2. Bài tập : Bài tập 1: Tìm ñ i ề u ki ệ n c ủ a x ñể các bi ể u th ứ c sau có ngh ĩ a. 1. 6x + 1 2. -3 2 + x 3. 5 - 3x 4. -2 6 + 23 - x + 5 5. - 8x 6. (x + 5) 2 7. 6x - 4x 8. 2011 - m 9. 4 - 5x 10. 6 - 4 m + 2 11. ( x - 7)( x + 7) 12. 2 15 - 59 x - 7 13. ( 3 - x) 2 14. 16x - 1 x - 7 15. (x - 6) 6 16. 4z 2 + 4z + 1 17. x 2 + 2x +1 18. 2x + 5 19. -12x + 5 20. 49x 2 - 24x + 4 21. 1 4 - 2a 22. 3 12x - 1 23. 2 - 4 5x +8 24. 12x + 5 3 25. 4x - 20 - 3 x - 5 9 26. 4x + 8 + 2 x + 2 - 9x + 18 27. 3x 2 - 4x + 3 28. 16(x + 1) - 9(x + 1) Hệ thống bài tập toán lớp 9 Biên soạn : Lê Kỳ Hội Trang 4 IV. Phần 4: Thực hiện phép tính rút gọn phân số. 1. Phương pháp : sử dụng các tính chất + 2 0 0 A khi A A A A khi A ≥  = =  − <  . + 2 A B A B = với 0 B ≥ . + 0, 0 . . 0, 0 A A khi A Chuyên đề: Những hằng đẳng thức đáng nhớ I. Những hằng đẳng thức đáng nhớ 1. (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 2. (A - B) 2 = A 2 -2AB + B 2 3. A 2 - B 2 = (A - B)(A + B) 4. (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 5. (a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 6. a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2 ) 7. a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2 ) II.Bài tập Bài tập 1: Chứng minh rằng: a, 4x 2 - 4x + 5 >0 với x b, 7x 2 - 2x + 3 >0 với x c, x 2 + y 2 - 2xy - 2x + 2y +3 > 0 với x;y ∀ ∀ ∀ Chuyên đề: Những hằng đẳng thức đáng nhớ I. Những hằng đẳng thức đáng nhớ 1. (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 2. (a-b) 2 = a 2 -2ab + b 2 3. a 2 - b 2 = (a - b)(a + b) 4. (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 5. (a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 6. a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2 ) 7. a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2 ) II.Bài tập Bài tập 1: Chứng minh rằng: a, 4x 2 - 4x + 5 >0 với x b, 7x 2 - 2x + 3 >0 với x c, x 2 + y 2 - 2xy - 2x + 2y +3 > 0 với x ∀ ∀ ∀ Bài tập 2: Tìm GTNN, GTLN ( nếu có) của biểu thức: a, A = x 2 - 4x - 5 b, B = -4x 2 + 4x + 3 c, 2x 2 + 2y 2 + 2xy - 2x + 2y +3 Chuyên đề: Những hằng đẳng thức đáng nhớ I. Những hằng đẳng thức đáng nhớ 1. (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 2. (a-b) 2 = a 2 -2ab + b 2 3. a 2 - b 2 = (a - b)(a + b) 4. (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 5. (a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 6. a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2 ) 7. a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2 ) II.Bài tập Bài tập 1: Bài tập 2: Bài tập 3: Chứng minh rằng: a, (a + b) 2 - ( a 2 - b 2 ) = 2b(a + b) b, (a + b) 2 + (a 2 - b 2 ) = 2a(a + b) c, (a + b) 3 - (a 3 + b 3 ) = 3ab(a + b) d, (a + b) 3 - (a 3 - b 3 ) = -3ab(a - b) Chuyên đề: Những hằng đẳng thức đáng nhớ I. Những hằng đẳng thức đáng nhớ 1. (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 2. (a - b) 2 = a 2 -2ab + b 2 3. a 2 - b 2 = (a - b)(a + b) 4. (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 5. (a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 6. a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2 ) 7. a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2 ) II.Bài tập Bài tập 1: Bài tập 2: Bài tập 3: Chứng minh rằng: a, (a + b) 2 - ( a 2 - b 2 ) = 2b(a + b) b, (a + b) 2 + (a 2 - b 2 ) = 2a(a + b) c, (a + b) 3 - (a 3 + b 3 ) = 3ab(a + b) d, (a + b) 3 - (a 3 - b 3 ) = -3ab(a - b) Bài tập 4: Tìm x biết: a, (3x + 2) 2 - (2x - 1) 2 + (x + 3) 2 = 0 b, (2x 2 + 2) 2 + (2x 2 - x) 2 - (x + 2) 2 = 0 c, (x 2 - 3x + 2) 3 = x 6 - (3x – 2) 3 d, (x 2 - 4x + 3) 3 = (x 2 - 2x) 3 - (2x - 3) 3 Hướng dẫn về nhà: 1. Tiếp tục nghiên cứu về “ Những hằng đẳng thức đáng nhớ” 2. Rèn luyện các bài tập tương tự và lối tư duy logic 3. Tìm các bài tương tự để giải. [...]... trị biểu thức: a) x2 - y2 tại x = 87 với y = 13; 3 2 b) x - 3x + 3x - 1 Với x = 101; 3 2 c) x + 9x + 27x + 27 với x = 97; 2 d) 25x - 30x + 9 với x = 2; 2 e) 4x - 28x + 49 với x = 4 Bài 7 Đơn giản các biểu thức sau và tính giá trị của chúng: a) 126 y3 + (x - 5y)(x2 + 25y2 + 5xy) với x = - 5, y = -3; 3 3 2 2 b) a + b - (a - 2ab + b )(a - b) với a = -4, b = 4 Bài 8 Sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để thực... x= 9 1 hoặc x = 2 2 c) (x – 3)3 – (x – 3)(x2 + 3x + 9) + 9(x + 1)2 = 15 x3 – 9x2 + 27x – 27 – x3 + 27 + 9x2 + 18x + 9 – 15 = 0 27x + 18x + 9 – 15 = 0 45x = 6 x= 2 15 Bài tập 11 : Tính giá trị của các biểu thức: a) A = 49x2 – 56x + 16 , với x = 2 Ta có: A = (7x – 4)2 Với x = 2 thì: A = (7. 2 – 4)2 = 102 = 100 b) B = 27x3 + 54x2 + 36x + 8 , với x = - 2 Ta có: B = (3x)3 + 3.(3x)2.2 + 3.(3x).4 + 23 = (3x... (x + 3)2 - (x - 4)( x + 8) = 1; c) 3(x + 2)2 + (2x - 1)2 - 7( x + 3)(x - 3) = 36; d)(x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1; e) (x + 1)3 - (x - 1)3 - 6(x - 1)2 = -19 Bài 10.Tính nhẩm theo các hằng đẳng thức các số sau: a) 192; 282; 812; 912; b) 19 21; 29 31; 39 41; 2 2 2 2 2 2 c) 29 - 8 ; 56 - 46 ; 67 - 56 ; Bài 11 Chứng mih các hằng đẳng thức sau: a) a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab; b) a4 + b4 = (a2 + b2)2... 4 4 4 NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ Bài 1 Tính a) (x + 2y)2; Giáo viên: Nguyễn Quốc Dũng b) (x - 3y)(x + 3y); 12 c) (5 - x)2 Gmail: dungquocnguyen92@gmail.com TOÁN 8 HÈ 2015- 2016 d) (x - 1)2; CÓ CÔNG MÀI SẮT CÓ NGÀY NÊN KIM 1 f) (x - )2 2 e) (3 - y)2 Bài 2 Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng: a) x2 + 6x + 9; b) x2 + x + 1 ; 4 c) 2xy2 + x2y4 + 1 Bài 3 Rút gọn biểu thức: a) (x... + (z - y)2 + 2(x - y + z)(y - z) Bài 4 ứng dụmg các hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện các phép tính sau; a) (y - 3)(y + 3); b) (m + n)(m2 - mn + n2); c) (2 - a)(4 + 2a + a2); d) (a - b - c)2 - (a - b + c)2; e) (a - x - y)3 - (a + x - y)3; f) (1 + x + x2)(1 - x)(1 + x)(1 - x + x2); Bài 5 Hãy mở các dấu ngoặc sau: a) (4n2 - 6mn + 9m2)(2n + 3m) b) (7 + 2b)(4b2 - 4b + 49); c) (25a2 + 10ab + 4b2)(5a -... Chứng minh đẳng thức: a) a4 + b4 + c4 = 2(a2b2 + b2c2 +c2a2); b) a4 + b4 + c4 = 2(ab + bc + ca)2; 4 4 4 c) a + b + c = (a 2 + b2 + c2 2 ) 2 ; Bài 17 Cho a + b + c = 0 (1) 2 2 2 a +b +c =2 (2) 4 4 4 Tính a + b + c Bài 18 Chứng minh rằng các biểu thức sau luôn luôn có giá trị dương với mọi giá trị của biến a) 9x2 - 6x +2; b) x2 + x + 1; c) 2x2 + 2x + 1 Bài 19 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:... 20 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a) A = 4 - x2 + 2x; b) B = 4x - x2; Bài 21 Cho x + y = 2; x2 + y2 = 10 Tính giá trị của biểu thức x3 + y3 Bài 22 Cho x + y = a; xy = b Tính giá trị của các biểu thức sau theo a và b: a) x2 + y2; b) x3 + y3; c) x4 + y4; d) x5 + y5; Bài 24 a) cho x + y = 1 Tính giá trị biểu thức: x3 + y3 + 3xy b) cho x - y = 1 Tính giá trị của biểu thức: x3 - y3 - 3xy Bài 25 Cho a... + 2) + 1 = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1 = (n2 + 3n + 1)2 Vì n là số tự nhiên nên (n2 + 3n + 1)2 là một số chính phương Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) là một số chính phương Bài tập 13: Chứng minh các hằng đẳng thức sau : 1 ( A + B + C ) 2 = A 2 + B 2 + C 2 + 2( AB + BC + AC ) 2 ( A + B + C ) 3 = A3 + B 3 + C 3 + 3( A + B ).( B + C ).( A + C ) Giáo viên: Nguyễn Quốc Dũng 11 Gmail: dungquocnguyen92@gmail.com... 24 a) cho x + y = 1 Tính giá trị biểu thức: x3 + y3 + 3xy b) cho x - y = 1 Tính giá trị của biểu thức: x3 - y3 - 3xy Bài 25 Cho a + b = 1 Tính giá trị của các biểu thức sau: M = a3 + b3 + 3ab(a2 + b2) + 6a2b2(a + b) Bài 26 Rút gọn các biểu thức sau: a) A = (3x + 1)2 - 2(3x + 1)(3x + 5) + (5x + 5)2; b) B = (3 + 1)(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)(318 + 1)(332 + 1); c) C = (a + b - c)2 + (a - b + c)2 - 2(b - c)2;... c - d)2 + (a + c - b - d)2 + (a + d - b - c)2; g) G = (a + b + c)3 - (b + c - a)3 - (a + c - b)3 + (a + b - c)3; h) H = (a + b)3 + (b + c)3 + (c + a)3 - 3(a + b)(b + c)(c + a) Bài 28 Chứng minh các đẳng thức sau: a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 +(b + c)2 + (c + a)2; b) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) Bài 29 Cho a + b + c = 0 chứng minh rằng: a3 + b3 + c3 = 3abc Giáo viên: