Thông tin tài liệu
Ngày soạn: 03/09/2018 Ngày dạy: 06/09/2018 CHUYÊN ĐỀ : HẲNG ĐẲNG THỨC I MỤC TIÊU 1.Kiến thức : Củng cố đẳng thức đáng nhớ số đẳng thức nâng cao cho học sinh 2.Kỹ : - Học sinh vận dụng thành thạo đẳng thức vào giải toán - Học sinh biết nhận dạng đẳng thức áp dụng đẳng thức vào giải toán Thái độ : Vận dụng đẳng thức để tính nhẩm giá trị biểu thức tìm giá trị chưa biết đẳng thức II CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH 1.Chuẩn bị giáo viên: Bảng phụ, phiếu học tập, giáo án, SGK, SBT 2.Chuẩn bị học sinh: Học thuộc ghi nhớ đẳng thức, làm tập nhà III HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC A Ôn lại kiến thức cần nhớ 2 2 2 (a b) a 2ab b a 2ab b 4ab (a b) 4ab 2 2 2 (a b) a 2ab b a 2ab b 4ab (a b) 4ab 2 a b (a b)(a b) 3 2 3 3 3 (a b) a 3a b 3ab b a b 3ab(a b) � a b (a b ) 3ab(a b) 3 2 3 3 3 (a b) a 3a b 3ab b a b 3ab(a b) � a b (a b) 3ab(a b) 3 2 a b (a b)(a ab b ) 3 2 a b (a b)( a ab b ) n n n 1 n2 n2 n 1 a b (a b)( a a b a.b b ) B Bài tập áp dụng dạng toán 2 2 2 Bài 1: Tính A 100 99 98 97 Lời giải: A 1002 992 982 97 22 12 (100 99)(100 99) (2 1)(2 1) 100 101.100 5050 2 Bài 2: So sánh A 19999.39999 B 29999 Lời giải: 2 Ta có: 19999.39999 (29999 10000)(29999 10000) 29999 10000 29999 � A B Bài 3: Rút gọn biểu thức sau 64 a A (2 1)(2 1) (2 1) 64 b B (3 1)(3 1) (3 1) 2 c C (a b c) (a b c) 2(a b) Lời giải: 64 64 128 128 a A (2 1)(2 1) (2 1) (2 1)(2 1)(2 1) (2 1) 1 3128 B (3 1)(32 1) (364 1) (3 1)(3 1)(32 1) (364 1) (3128 1) 2 b C ( a b c) ( a b c) 2(a b) (a b c) 2(a b c)( a b c) ( a b c) 2(a b c)(a b c ) 2 2 2 2 2 c 2(a b) (a b c a b c) 2[(a b) c ]-2(a+b) 4(a b) 2(a b) 2c 2(a b) 2c Bài 4: Chứng minh 2 2 2 a (a b )( x y ) (bx ay ) (ax+by) 2 2 2 2 2 b (a b c )( x y z ) (ax+by+cz) (bx ay ) (cy bz ) (az cx ) Lời giải: (a b )( x y ) a x a y b x b y (bx)2 (ay ) (ax) (by ) 2 2 2 a VT = (bx) 2bx.ay (ay) 2bx.ay (ax) (by ) (bx ay ) (ax+by) (dpcm) (a b )( x y ) (a b ) z c ( x y z ) [(ax+by)2 2(ax+by).cz+(cz) ] =(ax+by) (bx ay ) ( az ) (bz ) (cx) (cy) (cz ) (ax+by) (cz ) 2ax.cz 2by.cz 2 2 2 2 b VT = (bx ay ) [(cy) 2by.cz (bz ) ]+(az) (cx) 2az.cx (bx ay ) (cy bz ) (az cx) *) Nhận xét: Đây bất đẳng thức Bunhicopski 2 2 Bài 5: Cho x y z CMR : (5 x y z )(5 x y z ) (3 x y ) Lời giải: 2 2 VT = (5 x y ) 16 z 25 x 30 xy y 16 z 2 2 2 2 2 Mà: z x y � VT 25 x 30 xy y 16( x y ) x 30 xy 25 y (3x y ) (dpcm) Bài 6: CMR, (a b c d )(a b c d ) (a b c d )(a b c d ) ad = bc Lời giải: 2 2 2 VT = [(a+d)+(b+c)][(a+d)-(b+c)]=(a+d) (b c) a d 2ad b c 2bc 2 2 2 2 VP = [(a-d)+(c-b)][(a-d)-(c-b)]=(a-d) (c b) ( a d ) (c b) a d 2ad c b 2bc VT = VP � 2ad 2bc 2ad 2bc � 4ad 4bc � ad bc (dpcm) Bài 7: CMR, 2 a a + b + c = a a c abc b c b 2 2 2 b ( y z ) ( z x) ( x y) ( y z x) ( z x y ) ( y x z ) x = y = z Lời giải: a Ta có : � a b3 ( a b)(a ab b ) � a b3 c(a ab b ) a 2c abc b 2c � a b3 a 2c abc b 2c � a b c � a b c � �y z x ( y x) ( z x) b c � �z x y c a � b Đặt : y z a; z x b; x y c � a b c �x y z a b Từ giả thiết ta có : a b c (b c) (c a) (a b) � a b c b 2bc c c 2ac a a 2ab b � a b c 2ab 2bc 2ca � 2( a b c ) ( a b c 2ab 2bc 2ca) � 2( a b c ) (a b c) �x y � � a b c � a b c � �y z � x y z �z x � 2 Bài 8: Chứng minh không tồn số thực x, y, z thỏa mãn: 2 a x 10 y xy x y 2 b x y z x z y 15 Lời giải: 2 a VT ( x y) (2 x 1) ( y 1) �1(dpcm) 2 b VT ( x 1) 4( y 1) ( z 3) �1(dpcm) Bài 9: Tìm x, y thỏa mãn 2 a x y y( x 3) 2 b x xy y 28 x 28 2 c x y z 2( xy yz z ) Lời giải: x3 � � x y y ( x 3) � ( x y ) (2 y 3) � � x � a Ta có: 2 2 �x x xy y 28 x 28 � (7 x 28 x 28) (2 x xy y ) � 7( x 2) 2( x y ) � � �y b �x � x y z 2( xy yz z ) � ( x y ) ( y z ) ( z 1) � �y �z � c 2 2 2 Bài 10: Cho x x 10 Tính A x 3x x x x x Lời giải: A x 3x x x x x ( x x5 x x ) ( x x x ) ( x x 1) ( x x)3 ( x x) ( x x) 1111 (23 1)(33 1) (1003 1) A (2 1)(33 1) (1003 1) Bài 11: Tính Lời giải: (k 1)3 ( k 2)[(k+1) -(k+1)+1] k k (k-1)(k k 1) k 1 Ta có: Cho k chạy từ đến 100, ta thu được: A (23 1) 33 43 1003 1 101 99.100.101 9.99.100.101 30300 3 2 1 99 100 1 98 99(100 100 1) 1.2.3 10101 6.99.10101 20202 C HẰNG ĐẲNG THỨC BẬC BA 3 2 3 3 3 (a b) a 3a b 3ab b a b 3ab(a b) � a b (a b ) 3ab(a b) (a b)3 a 3a 2b 3ab b3 a b3 3ab(a b) � a b (a b)3 3ab(a b) 3 Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A a b c 3abc Lời giải: A a b3 c 3abc (a b) 3ab( a b) c 3abc [(a+b)3 c3 ]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)3 3(a b )c.(a b c) 3ab(a b c ) (a b c )[(a+b+c)2 3(a b )c 3ab ] (a b c)(a b c2 ab bc ca ) 3 Bài 2: Cho a + b + c = 0, CMR: a b c 3abc Áp dụng tính B (a b )3 (b c )3 (c a )3 (a b)3 (b c)3 (c a )3 Lời giải: 3 3 3 Từ giả thiết � c (a b) � a b c a b (a b) 3ab(a b) 3abc �a b b2 c c a 3( a b )(b c )(c a ) � B (a b)(b c )(c a ) � 3( a b )( b c )( c a ) a b b c c a +) � Bài 3: Cho a, b, c thỏa mãn: (a b c) a b c CMR : 1 3 3 a b c abc Lời giải: Ta có: (a b c )2 a b c � ab bc ca � 1 1 1 1 � a b c a b c a b c abc 1 bc ca ab 0 A a b c Bài 4: Cho a, b, c thỏa mãn: a b c Tính Lời giải: 1 1 1 x ; y ; z � x y z � x y z 3xyz � a b c a b c abc abc abc abc 1 A abc( ) abc 3 a b c a b c abc Đặt ( a b c)3 HẰNG ĐẲNG THỨC: D Ta có: (a b c )3 [(a+b)+c]3 (a b)3 3(a b)2 c 3(a b)c c 3(a 2b ab a c ac b c bc abc abc ) 3[(a 2b ab2 ) (a c ac ) (ac bc ) (b c abc)]=3(a+b)(b+c)(c+a)+a b3 c3 � (a b c )3 a b3 c3 3(a b)(b c )(c a ) Bài 1: Cho a, b, c thỏa mãn: abc =1 Tính A (a b c)3 (b c a )3 (c a b)3 (a b c)3 Lời giải: �x b c a �x y 2c � � �y c a b � �y z 2a ; x y z a b c �z a b c �z x 2c � � 3 3 Đặt � A ( x y z ) x y z 3( x y )( y z )( z x) 3.2c.2b.2a 24abc 24 Bài 2: Phân tích thành nhân tử 3 3 a A 8(a b c) (2a b c) (2b c a) (2c a b) 3 3 b B 27(a b c) (2a 3b 2c) (2b 3c 2a) (2c 3a 2b) Lời giải: a Đặt 2a b c x; 2b c a y; 2c a b z � x y a 3b; y z b 3c; z x c 3a; x y z 2(a b c ) � A ( x y z )3 x y z 3( x y )( y z )( z x) 3(a 3b)(b 3c)(c 3a) 3 3 b B 27(a b c) (2a 3b 2c ) (2b 3c 2a) (2c 3a 2b) 3(5a b)(5b c)(5c a) Bài 3: Cho a, b, c thỏa mãn : a + b + c = a3 + b3 + c3 = n n n Tính A a b c ( n số tự nhiên lẻ ) Lời giải: ab � � (a b c) a b c � 3( a b)(b c)(c a ) � � bc 0 � ca 0 � Ta có: 3 n n n +) TH1: a b � a b � c � a b c +) Tương tự ta có: A = Bài 4: Giải phương trình sau 3 a 27 x ( x 5) 64 (4 x 1) c ( x x 2) x ( x 1)( x 2) 3 3 3 b (2 x x 1) (2 x 1) ( x x 1) ( x x 3) d ( x x 3) ( x x 1) ( 2 x x 1) 1 44 43 4 4 43 a b c Lời giải: 27 x ( x 5)3 64 (4 x 1)3 � (3x)3 ( x 5)3 64 [3x+(x-5)+4]3 � 3(3 x x 5)( x 4)(4 3x ) �5 4 � � x �� ;1; � �4 a 3 3 b � (2 x x 1) (2 x 1) ( x x 1) ( x x 3) �a b x � b c 3x x � 2 x x a; x b; x x c � � � a b3 c (a b c)3 ca x x2 � �a b c x x � Đặt ab � � � 3(a b)(b c )(c a ) � � bc � � ca 0 � � 2x2 a b � � � bc � � 3x x � x � 1;1; 2 � � � ca 0 x2 x � � � ( x x 2) x x3 ( x 2)3 (2 x )3 � 3( x x x)( x x x)(2 x x ) 2 c � 6( x x )( x x 2) � x � 0;1; 2 Bài 5: Cho x y z 0; xyz �0 Tính A x2 y2 z yz xz xy Lời giải x y z x3 y3 z A yz xz xy xyz 3 Cách 1: Nếu x y z � x y z 3xyz � A Cách 2: ( x y z )3 x3 y3 z 3( x y )( y z )( z x ) � x3 y z ( x y z )3 3( x y )( y z )( z x) � A 43 0 BÀI TẬP VỀ NHÀ: Bài 1: [ HSG yên Phong năm 2011 ] Cho a, b, c thỏa mãn: Tính giá trị A = a 2010 b 2010 c 2010 a1005b1005 b1005c1005 c1005 a1005 (1) (a b) 20 (b c)11 (c a ) 2010 Lời giải: (1) � 2a 2010 2b 2010 2c 2010 2a1005b1005 2b1005c1005 2c1005 a1005 � (a1005 b1005 ) (b1005 c1005 ) (c1005 a1005 ) � a1005 b1005 �1005 1005 �� b c �a b c � A � c1005 a1005 � Bài 2: [ HSG - 2008 ] Cho a, b, c, d thuộc Z thỏa mãn: a + b = c + d Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + d2 tổng số phương Lời giải: Từ giả thiết: a + b = c + d � a = c + d – b thay vào biểu thức ta được: a b c d (c d b) b c d [(c+d)-b]2 b c d (c d ) 2(c d ).b b b c d (c d ) 2bc 2bd b b c d (c d )2 (b c )2 (b d )2 (dpcm) Bài 3: [ HSG – YP năm 2015 ] 2 2 2 Cho a, b, c thỏa mãn: a b c 2; a b c 2.CMR : M (a 1)(b 1)(c 1) viết dạng bình phương biểu thức Lời giải: Cách 1: M (a 1)(b 1)(c 1) a 2b c a 2b a c b c a b c 1(*) 2 2 2 2 Có: a b c a b c � (a b c ) (a b c) Có: (a b c) a b c 2(ab bc ca ) � ab bc ca � a 2b a 2c b 2c 2(acb a 2bc c ab ) � a 2b a c b c 2(acb a 2bc abc ) � M (abc)2 2abc(a b c) a b c M (abc)2 2abc( a b c) (a b c) [abc-(a+b+c)]2 ( dpcm) Cách 2: Ta có: a a ab bc ca (a b)(a c); b (a b)(b c); c (a c)(c b ) � M [(a+b)(b+c)(c+a)]2 Bài 4: Giải phương trình sau: ( x x 3)3 ( x x 1)3 (2 x x 1)3 1 44 43 4 4 43 a b c Lời giải: � a b 2x2 2x � b c x 3x � �� � 3(a b)(b c)(c a) � x � 2; 2; 1 c a x x � � a b c 1 � 3 3 Bài 5: Rút gọn A ( x y z ) ( x y z ) ( x y z ) ( x y z ) Lời giải Đặt �x y z a � �x y z b � a b c x y z � A 24 xyz �x y z c � 3 2 E HẰNG ĐẲNG THỨC: a b c 3abc (a b c)(a b c ab bc ca ) +) Nhận xét: abc � a b3 c 3abc � � abc � - Nếu abc � � a b3 c 3abc � abc - Nếu � 3 Bài 1: Cho số thực a, b, c khác thỏa mãn: a b c 3abc Tính giá trị biểu thức a b c M (1 )(1 )(1 ) b c a Lời giải abc � a b3 c 3abc � � abc � Vì: +) Nếu abc 0� M a b b c c a c a b 1 b c a b c a +) Nếu a b c � M (1 1)(1 1)(1 1) �x y xy � Bài 2: Giải hệ phương trình sau: �2 x y Lời giải x y20 � x3 y xy � x3 y 23 3.x y.2 � � x y2 � Ta có: �x y �x x y20�� �� 2x y � �y 5 +) Nếu +) Nếu x y ( khôn thỏa mãn ) Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (3; -5) 3 Bài 3: Giải phương trình sau: 27( x 3) 8( x 2) ( x 5) Lời giải 27( x 3) 8( x 2)3 ( x 5)3 � (3 x 9)3 (4 x)3 (5 x)3 0(1) Ta có: (3x 9) (4 x) (5 x) 0(2) Từ (1)(2) x3 � � � 3(3 x 9)(4 x)(5 x) � � x � S 2;3;5 � x5 � Bài 4: Cho số thực phân biệt a, b, c khác thỏa mãn: a b c Tính giá trị biểu thức P( bc ca ab a b c )( ) a b c b c c a a b Lời giải Ta đặt b c c a a b a a c a a b a c ca ba b 2a 2a M � M 1 ( ) 1 1 1 a b c bc bc b c bc bc bc bc Tương tự ta có: � P 3 M b 2b3 c 2c3 1 ;M 1 ca abc a b abc 2(a b3 c ) 2.abc 3 ( : a b c 0) � P abc abc x2 y z a b c 3 ; ; Bài 5*: Giả sử ba số b c a c a b nghiệm phương trình yz zx xy Chứng minh a b c ; ; 2 ba số (b c) (c a ) (a b) nghiệm phương trình Lời giải x yz � x2 y z � x3 y z 3xyz � � x yz 0 � Ta có: yz xz xy Vì nghiệm phương trình ba số khác nên số a, b, c ba số khác khác a b c k �0 � a k (b c); b k (c a ); c k (a b) � a b c � a b c +) Nếu: b c c a a b a b a b � � (a b) a b � a b � a b c � loai Từ: b c c a b a b a b a a b c a b c b(b a ) c(a c) a b ba ca c 0� � (1) b c c a a b b c a c b a ( c a )( a b ) ( b c ) ( a b )( b c )( c a ) +) Nếu: b c cb ab a c a ac bc b (2); (3) 2 ( c a ) ( a b )( b c )( c a ) ( a b ) ( a b )( b c )( c a ) Tương tự ta có: Từ (1)(2)(3) � a b c 0 2 (b c ) (c a ) ( a b) a 27a b 3 c a b c 3abc 2 b x y 10 x y 16 3 3 d (a b c) a b c Lời giải: 3 2 a 27a b (3ab ) (2 3ab )(4 6ab 9a b ) 2 2 b x y 10 x y 16 ( x 5) ( y 3) ( x y 8)( x y 2) a 3a 2b 3ab b3 3a 2b 3ab c3 3abc (a b)3 c 3ab(a b c ) (a b c )[(a+b)2 (a b )c c ] 2 2 c -3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b) ( a b)c c 3ab] (a b c)(a b c ab bc ca ) 3 3 2 3 3 d [(a+b)+c] a b c (a b) 3(a b) c 3(a b)c c (a b ) c (a b)[a 2ab b 3ac 3bc 3c a ab b2 ]=3(a+b)(ab+ac+bc+c )=3(a+b)(b+c)(c+a) Bài 2: Phân tích thành nhân tử 3 a x y xy 2 b x y 12 xy x y 2 2 2 4 c 2(a b b c c a ) (a b c ) Lời giải: 3 2 a x y 3xy ( x y) xy ( x y) 3xy ( x y) xy( x y 1) ( x y 1)( x xy y x y 1) 2 2 b (2 x) (3 y) 2.2 x.3 y 2(2 x y ) (2 x y) (2 x y 1)(2 x y 3) c 4b c (a b c 2b 2c 2a 2b 2c a ) (2bc )2 (b c a ) (b c a )(b c a )(a b c )(a b c ) BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử ( Sử dụng tách hạng tử ) a x x ( x 1)( x 2)( x 3) 2 b x x x ( x 1)( x 2) c x x x 16 ( x 1)( x 2)( x 8) 2 d x 30 x 31x 30 ( x 5)( x 6)( x x 1) 4 2 e x 2010 x 2009 x 2010 ( x x) 2010 x 2010 x 2010 ( x x 1)( x x 2010) Bài 2: Phân tích thành nhân tử: A abc 2(ab bc ca) 4(a b c) (a 2)(b 2)(c 2) 2 Bài 3: Phân tích thành nhân tử: A x x y x x xy y ( x y )( x x 1) 3 3 3 Bài 4: Phân tích thành nhân tử: A ab bc ca a b b c c a (a b)(b c )(c a)(a b c ) Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử ( dùng đẳng thức ) 2 a x y xy x 12 y ( x y 1)( x y 5) 4 b x 3x ( x x 2)( x x 2) Ngày soạn: Ngày dạy: CHUYÊN ĐỀ 2: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ ( tiếp ) I MỤC TIÊU 1.Kiến thức : Học sinh củng cố phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 2.Kỹ : - Luyện kỹ giải tập phân tích đa thức thành nhân tử - Biết vận dụng để tính giá trị biểu thức, tìm x 3.Thái độ : Giáo dục ý thức biết vận dụng cách linh hoạt phương pháp phân tích II CHUẨN BỊ Chuẩn bị giáo viên:Bảng phụ, tập Chuẩn bị học sinh:L àm tập nhà III HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC A Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ( tiếp ) Phương pháp thêm , bớt hạng tử a Thêm, bớt hạng tử làm xuất đẳng thức: a2 – b2 Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a a 4 b x 81y c x 98 x d 216 125x 6 e x 64 y f a 3a Lời giải: 4 2 2 2 2 a a a 2.a 2.2.a (a 2) (2a) (a 2a 2)(a 2a 2) 2 2 2 b (2 x y) (6 xy) (2 x y xy )(2 x y xy ) x8 98 x ( x8 x 1) 96 x ( x 1) 16 x ( x 1) 64 x 16 x ( x 1) 32 x 4 2 4 2 c ( x x ) 16 x ( x x ) ( x x 1) (4 x x) 6 3 e x 64 y ( x ) (8 y ) 2 2 2 f a 3a (a 2) a (a a 2)(a a 2) b Thêm, bớt hạng tử làm xuất nhân tử chung Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 5 3 2 a x x x x x x x ( x x 1) ( x 1)( x x 1) ( x x 1)( x x 1) 8 6 6 b x x x x x x ( x x 1)[x ( x 1( x 1)]=(x x 1)( x x x x 1) 4 2 2 c x x ( x 1) ( x ) ( x x 1)( x x 1)( x x 1) 8 2 2 d x x x x x x x ( x 1) ( x x 1) ( x x 1)[x ( x 1)( x 1) ( x x 1)] e x x x x x x x x x x x ( x x 1) x ( x x 1) ( x x 1) ( x x 1)( x x 1) 5 2 2 Hoặc: x x x x x x x ( x 1) x x ( x x 1)( x x 1) Phương pháp đổi biến ( đặt ẩn phụ ) a Dạng P(x) = ax4 + bx2 + c ( a ≠ 0) Đặt t = x2 , ta G(t) = at2 + bt + c dùng phương pháp tách hạng tử Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 – 5x2 + Lời giải: Đặt t = x2 , được: t2 – 5t + = (t-1)(t-4) = (x-1)(x+1)(x-2)(x+2) b Dạng A( x) ( x a)( x b)( x c)( x d ) e mà a + b = c + d 2 Cách giải: A( x) ( x a)( x b)( x c)( x d ) e [x ( a b) x ab][x (c d ) x cd ] e 2 Đặt t x (a b) x ab � x (c d ) x cd t ab cd � G (t ) t (t ab cd ) e t (cd ab)t e Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a ( x 1)( x 2)( x 3)( x 4) ( x x 4).( x x 6) t 2t (t 1)(t 3) ( x x 3)( x x 7) 14243 14243 t t 2 2 b ( x y )( x y)( x y )( x y ) y ( x 5xy y ) 2 2 2 c 4( x 15 x 50)( x 18 x 72) x 4( x 5)( x 10)( x 6)( x 12) x 4( x 17 x 60)( x 16 x 60) 3x t x 16 x 60 � x 17 x 60 t x � 4[(t x).t ]-3x 4t 4tx 3x (2t x) (2 x) (2t x)(2t 3x) (2 x 31x 120)(2 x 25 x 120) ( x 8)(2 x 15)(2 x 35 x 120) 2 2 d (2 x 1)( x 1)( x 3)(2 x 3) (2 x x 1)(2 x x 9) t 10t x(2 x 3)(2 x x 8) 4 c Dạng: ( x a) ( x b) Đặt t x ab ab ab ab ba ba �xt � G (t ) (t a ) (t b) (t ) (t ) 2 2 2 ct dt e ( Dạng 1) Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 4 a ( x 3) ( x 5) Đặt t x � x t � (t 1) (t 1) [(t-1) ]2 [(t+1) ]2 2t 12t 2t (t 6) 2( x 4) [(x+4)2 6] 4 b ( x 3) ( x 1) 16 4 2 Đặt t x � (t 1) (t 1) 16 2(t 6t 7) 2( y y 7)( y t ) 4 c ( x 3) ( x 5) 16 2( x 3)( x 5)[(x+4) 7] d Dạng P ( x) ax bx cx dx e[ P( x) x [(ax Cách giải: Đặt t x e d ( ) ](a �0) a b e d e d ) (bx ) c]=x [a(x ) b( x ) c] x x a.x bx d d d � t x ( )2 bx b b x Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a P( x) x 21x 30 x 105 x 50 P ( x ) x (2 x 30 21x Đặt t x 105 50 25 ) x [2(x ) 21( x ) 30] x x x x 25 25 � t x 2.x � x t 10 x x x x G (t ) 2(t 10) 21t 30 2t 21t 50 (t 2)(2t 25) 5 P ( x ) x [2(x+ ) 25][(x+ ) 2] (2 x 25 x 10)(2 x x 5) x x d e x 3x 6 x x 1[( ) ( )2 ] b 3 a b P ( x ) x ( x 3x Đặt x 1 ) x [(x ) 3( x ) 6] x x x x 1 t � t x2 � x2 t 2 x x x ; G (t ) t 3t t 3t (t 1)(t 4) P( x) x ( x 1 1)( x 4) ( x x 1)( x x 1) x x c x x x x 1( x �0) Đặt y x � ( x x 1) x Phương pháp hệ số bất định ( Cân hệ số ) - Chú ý: Hai đa thức hệ số lũy thừa tương ứng hai đa thức - Phương pháp dùng cho đa thức khơng có nghiệm ngun khơng có nghiệm hữu tỷ Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a f ( x) x x 12 x 14 x b Q( x) x 3x x x c P( x) x x 17 x 20 x 14 d R ( x) x x x x 2 e H ( x, y) 12 x x 12 y 12 y 10 xy 2 f T ( x, y ) x xy y x 13 y Lời giải: a Ta nhận thấy đa thức khơng có nghiệm ngun khơng có nghiệm hữu tỷ 2 Giả sử f ( x ) ( x ax+b)(x cx d ) x (a c ) x (ac b d ) x (ad bc) x bd a c 6 � � ac b d 14 � � ad bc 14 � � bd �α� b 1; 3 Đồng hệ số ta được: � +) �a c 6 � b � �ac � c 4; a 2(tm) � f ( x ) ( x x 3)( x x 1) �a 3c 14 � b Cách 1: Ta nhận thấy đa thức có nhân tử x + Q( x) x 3x x x ( x 1)(2 x3 ax bx c) x (a 2) x (a b) x (b c) x c �a 3 �a b 7 �a 5 � � �� b 2 � Q ( x ) ( x 1)( x 2)(2 x x 4) � bc � � c 8 � � c � 2 Cách 2: Giả sử Q( x) (2 x ax+b)(x cx d ) x (2c a) x (2d ac b) x (ad bc) x bd �2c a 3 b 2 � �2d ac b 7 � � � �d 4 � Q( x) (2 x x 4)( x 1)( x 2) � �ad bc �a c 1 � � Đồng hệ số: �bd �2b n 7 �2c p bn 17 � � cn bp 20 � � c �cp 14 � c 2; p 7(tm) � b 2; n 3 2 d (2 x x 1) 2 e Giả sử H ( x, y ) (ax+by+c)(dx+ey+f)=adx (af+cd)x+bey (ce bf ) y cf (bd ac) xy ad 12 � � af+cd=5 � � be=-12 � H ( x; y ) (3x y 1)(4 x y 3) � � ce+bf=12 � cf=-3 � c=1;f=-3 � a=-3;d=-4;b=-2;e=6 � � f T ( x, y ) (2x+by+c)(x+ny+p) � n=-2(t/m);b=-3;c=-1;p=5 BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x x x x x5 x x ( x x 1) ( x3 1)( x 1) x ( x x 1) ( x 1)( x x 1)( x 1) a ( x x 1)[x ( x 1)( x 1)] 7 2 b x x ( x x) ( x x 1) ( x x 1)( x x x x 1) 4n 2n 2n 2n 2n c x x 15 a 8a 15( x a) (a 3)(a 5) ( x 3)( x 5) Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2 2 a ( x y z )( x y z ) 3( xy yz zx) 3 b ( x y ) ( y z ) ( z x) 3 3 3 3 c ( x y ) ( y z ) ( z x ) 3 3 d (a b) (b c) (c a ) 8(a b c) 3 3 e (a b c) (a b c) (b c a) (c a b) Lời giải: 2 2 a Ta có ( x y z ) x y z 2( xy yz zx) Đặt �x y z a � A a( a 2b).3b a 2ab 3b (a b)(a 3b) � �xy yz zx b � A ( x y z xy yz zx)[(x y z 3( xy yz zx)] 3 b Ta biết: Nếu a b c � a b c 3abc �x y a � 3 �y z b � a b c � B a b c � B 3abc 3( x y )( y z )( z x) � Đặt �z x c c Tương tự câu b �x y a �3 3 3 3 3 3 �y z b � a b c � B a b c � B 3abc 3( x y )( y z )( z x ) � x z c � ab x � � b c y � x y z 2(a b c) � ( x y z )3 8( a b c) � � d Đặt �c a z ; D x y z ( x y z )3 3 3 Ta có: ( x y z) x y z 3( x y)( y z )( z x) � D 3( x y)( y z )( z x) 3 e Đặt �m a b c � 3 3 �n b c a � a b c m n p � E (m n p ) m n p 3(m n)(n p )( p m) �p c a b � � E 3.2b.2c.2a 24 abc Bài 3: Cho x, y, z thuộc Z Chứng minh : S = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y4 SCP Lời giải: 2 2 Ta có: S ( x y )( x y)( x y )( x y ) y ( x xy y )( x xy y ) y St t (t y ) y (t y )2 ( x xy y )2 ( dpcm) Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x x 3x 8x 4 b x 15 x 35 x 30 x 2 c x 3x ( x x 1) ( x x 1) d x x x x Lời giải: 4 2 2 2 2 a x x 3x x 4( x 1) 8x( x 1) x 4( x 1) x( x 1) x y xy x y xy 10 xy x (2 y x)(2 y x) (2 x x 2)(2 x x 2) (2 x x 2)( x 2)(2 x 1) 4 2 2 2 2 b x 15 x 35 x 30 x 2( x 4) 15 x( x 2) 35 x 2( x x) 15( x 2) 27 x y 15 y 27 x ( y 3x)(2 y x) ( x 3x 2)(2 x x 4) ( x 1)( x 2)( x 4)(2 x 1) 2 3 2 c x 3x ( x x 1) ( x x 1) x 3x y y x ( x y ) y ( x y )( x y ) ( x y )(2 x y xy ) ( x y )( x y )(2 x y ) ( x y )2 (2 x y ) 2 d x x x x ( x 2)(2 x 1)(2 x x 2) Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a A( x) x 19 x 2002 x 9779 x 11670 b B( x) x 10 x 34 x 47 x 52 x x 40 Lời giải: a Ta nhận thấy đa thức có hai nhân tử x - x - A( x) ( x 2)( x 3)(ax bx c) � a 2; c 1945; b 9 � A( x) ( x 2)( x 3)(2 x x 1945) b Nhận thấy đa thức có nhân tử là: x – 3x + B ( x ) ( x 1)(3x 2)( x 3x 11x 14 x 20) ( x 1)(3x 2)( x x 4)( x x 5) CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ A Ứng dụng 1: Dùng để rút gọn biểu thức 3 2 Bài 1: Cho a + b + c = , Rút gọn A a b c(a b ) abc Lời giải: Ta có: A a b3 c(a b ) abc a b3 a 2c b c abc ( a a c) (b3 b 2c) abc a (a c) b (b c) abc a c b � a b c � � � A a ( b) b ( a) abc ab( a b c) b c a � Vì B Ứng dụng 2: Dùng để chứng minh 2 2 Bài 2: Cho a b 1; c d 1, ac bd 0.CMR : ab cd Lời giải: Ta có: ab cd ab.1 cd ab(c d ) cd ( a b ) abc abd a 2cd b 2cd (abc a 2cd ) (abd b 2cd ) ac (bc ad ) bd (ad bc) (ad bc )(ac bd ) 0(ac bd 0) Bài 3: Chứng minh tích bốn số tự nhiên liên tiếp cộng thêm số phương Lời giải: Gọi số tự nhiên liên tiếp là: n ; n + ; n + ; n + ( n thuộc N* ) 2 2 Theo ta có: n(n 1)(n 2)(n 3) (n 3n)(n 3n 2) ( k 1)(k 1) k (n 3n 1) (dpcm) 4 Bài 4: Chứng minh số A (n 1) n chia hết cho SCP khác với n nguyên dương Lời giải: 2 2 2 Ta có: A [(n+1) ] n (n 2n 1) n (n n 1) ( n 3n 1)( n n 1) (n n 1) (n 3n 1)(n n 1) (n n 1)(n n 1) (n n 1)(2n 2n 1) 2(n n 1) (dpcm) Bài 5: Chứng minh với số nguyên x, ta có: (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15M(x+6) Lời giải: Dùng phương pháp đặt ẩn phụ ta được: (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15M(x+6)=(x x 10)( x 2)( x 6) Bài 6: Chứng minh với số nguyên n, biểu thức a A n n n3 3 số nguyên Lời giải: n n n3 n3 3n 2n n( n 1)( n 2) A n �Z 3 6 a MỘT SỐ BÀI TỐN TỔNG HỢP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ (BÀI TẬP VỀ NHÀ) Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2 2 2 a a b (a b) c b (c b) a c (c a) c ab(b a) bc(b c) ac(c a) b 2bc(b 2c) 2ac(c 2a ) 2ab(a 2b) 7abc d 3bc(3b c) 3ac(3c a) 3ab(3a b) 28abc 2 2 2 3 e a(b c ) b(c a ) c(a b ) 2abc a b c Lời giải: a Ta nhận thấy b = c A = Vậy đa thức có nhân tử b – c a 2b (a b) c 2b (c b) a c (c a ) a 2b (a c c b) c 2b (c b) a 2c (c a ) a 2b (a c) a 2b (c b) c 2b (c b) a 2c (c a ) (c b)b (a c)( a c ) a (a c)(b c ) (a c)(c b)[b (a c) a (b c )]=(a-c)(c-b)(ab2 a 2b b c a 2c ) (a b )(c b)(a c)(a b)(ab bc ca ) b Nhận thấy c = 2a B = Vậy đa thức có nhân tử c – 2a 2ac (c 2a ) 2b 2c 4bc 2a 2b 4ab 7abc 2ac (c 2a ) 2b (c 2a) 4bc(c 2a) 8abc 2a 2b 7abc 2ac (c 2a ) 2b (c 2a) 4bc(c 2a ) 8abc 2a 2b 7abc 2ac(c 2a ) 2b (c 2a ) 4bc (c 2a ) ab(c 2a) (c 2a)(2ac 2b 4bc ab) (c 2a)[(2a(a+2b)+b(a+2b)]=(c-2a)(a+2b)(b+2c) c Nhận thấy a = b nên có nhân tử a – b ab(b a) bc (b c) ac(c a ) ab(b a ) b 2c bc ac a 2c ab(b a ) c (b a ) c (b a ) (b a )(ab cb ca c ) (b a )(a c )(b c ) d Dự đoán c = 3b, đa thức có nhân tử 3b – c 3bc (3b c) 9ac 3a 2c 9a 2b 3ab 28abc 3bc (3b c ) 9ac(3b c ) 27abc 3a (3b c ) 3ab 28abc 3bc (3b c) 9ac(3b c) 3a (3b c ) abc (3b c ) (3b c )(3bc 9ac 3a ab) (3b c)(3a b)(3c a ) e Ta không nhẩm nghiệm đa thức a(b c 2bc a ) b(c a b ) c (a b c ) a[(b c) a ]+b(c2 a 2ac b ) c (a b c 2ab ) a[(b c) a ]+b[(c-a) b ]+c[(a+b) c ]=a(b-c-a)(b-c+a)+b((c-a-b)(c-a+b)+c(a+b-c)(a+b+c) (a b c)[a(b-c-a)-b(c-a+b)+c(a+b+c)]=(a+b-c)[-a(c+a-b)-bc+ab-b ac bc c ]=(a+b-c)[-a(a+c-b)+b(a+c-b) +c(a+c-b)]=(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) Bài 2: [ HSG – BG – 30/03/2013 ] A 2a 7a b 7ab2 2b3 2(a b3 ) 7ab(a b) (a b)(2a b)(a 2b) Bài 3: [ HSG – Long Biên – Hà Nội – 2015 ] 2 a Phân tích: x ( x 7) 36 x 2 b Dựa vào kết chứng minh: A n (n 7) 36nM210n �N Lời giải: 2 3 a x ( x 7) 36 x x( x x 6)( x x 6) x( x 1)( x 2)( x 3)( x 1)( x 2)( x 3) b A tích số tự nhiên liên tiếp � AM2,3,5, � AM210 Bài 4: [ Bắc Giang 2013 ] a x 2013 x 2012 x 2013 b ( x y)( y z )( z x) xyz Lời giải: 4 2 a x 2013x 2012 x 2013 ( x x) 2013( x x 1) ( x x 1)( x x 2013) 2 2 2 b ( xy xz y yz )( x z ) xyz ( xyz x y x z ) ( xyz xz yz ) ( xyz xy zy ) x( xy yz zx) z ( xy yz zx) y ( xy yz zx ) ( x y z )( xy yz zx ) Bài 5: [ Bắc Giang – 2014 ] a x( x 2)( x x 2) c x 13x x Lời giải: 2 b x xy y x y 2 2 a x( x 2)( x x 2) ( x x)[(x x) 2] ( x x 1) ( x 1) 2 b ( x y ) 4( x y ) ( x y 2) ( x y 5)( x y 1) 2 2 c x x x x 3x x ( x 1) x( x 1) 3( x 1) ( x 1)(6 x x 3) ( x 1)(3x 1)(2 x 3) CÔNG THỨC KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON A Công thức (a b) Cn a n Cn1a n1b Cn a n 2b Cn n1ab n 1 Cn nb n Trong đó: Cn k n! (k 0,1, n � k 0, n ); n ! 1.2.3 n k !( n k )! +) Quy ước: 0!=1 +) Cn n! n! n! n! n! 1; Cn n 1; Cn1 n; Cn n 1 n 0!(n 0)! n ! n !(n n)! 1!( n 1)! (n 1)!(n n 1)! +) Bảng tam giác Pascal n=2 n=3 3 n=4 n=5 10 10 n=6 15 20 15 n = B Bài tập áp dụng 5 Bài 1: Phân tích thành nhân tử: A (a b) a b Lời giải: A a 5a 4b 10a 3b 10a 2b3 5ab b5 a b5 5a 4b 10a 3b 10a 2b 5ab 5ab(a 2a 2b 2ab b ) 5ab[( a 3a 2b 3ab b3 ) ( a 2b ab )]=5ab[(a+b)3 ab(a b)]=5ab(a+b)[(a+b) ab] 5ab( a b)(a ab b ) 5 Bài 2: Cho a b c 0.CMR : a b c 5abc(ab bc ca ) Lời giải: 5 Từ: a b c � c (a b) � VP a b (a b) 5ab(a b)[(a+b) ab] 5ab(c)[(a+b)c-ab] 5abc(ab bc ca ) VP (dpcm) Bài 3: Cho a b c 0.CMR : a b c a b3 c3 a b5 c Lời giải: Ta có: VP Lại có: 5abc (ab bc ca ) a b3 c 3abc abc(ab bc ca)(1); abc 3 (a b c) � a b c 2(ab bc ca ) � a b2 c (ab bc ca ) VT abc( ab bc ca)(2).(1)(2) � VT VP Bài 4: CMR : (a b) (b c) (c a) (a b)3 (b c) (c a) (a b) (b c)5 (c a)5 Lời giải: Ta có: (a b) (b c) (c a ) Đặt x a b; y b c; z c a � x y z x2 y z x3 y3 z x5 y z Ta cần chứng minh: 4 Bài 5: Cho a,b số nguyên CMR số sau số phương A (a b) a b Lời giải: A a 4a3b 6a 2b ab3 b a b a b 3a 2b 2ab(a b ) (a b ) ( ab) 2ab(a b ) (a b ab) (dpcm) 6 Bài 6: Giải phương trình: ( x 2) ( x 2) x 128(*) Lời giải: 6 3 6 Ta có: ( x 2) x x 15 x 20 x 15 x x.2 x 12 x 60 x 160 x 240 x 192 x 64 ( x 2)6 [x+(-2)]6 x 12 x5 60 x 160 x3 240 x 192 x 64 VT x 120 x 480 x 128 � (*) � 120 x 480 x � x 7 Bài 7: Cho a, b, c số nguyên, CMR: (a b) a b M7 Lời giải: (a b) a a 6b 21a5b5 35a 4b3 35a 3b 21a 2b5 ab6 b7 � (a b)7 a b 7(a 6b 3a 5b 5a 4b3 5a 3b 3a 2b5 ab )M7(dpcm) n Bài 8: CMR : A 16 15n 1M225n �N Lời giải: +) n � 16 15.0 0M225 15 +) n � A 0M225 15 +) n � A 225M225 15 n n n n 1 n n n +) n �3 � 16 (15 1) Cn Cn Cn 15 (1 15n BS (225) � (16 15n 1) BS (225)M225n 2 n * Bài 9: CMR : A (n 1) (n 1) Mn n �N Lời giải: +) n = ; n = thỏa mãn n n n 2 n 2n 3 +) n �3 � (n 1) (1 n ) Cn Cn n Cn n Cn n n BS ( n )(1) n2 (1 n) C C n C n C n2 n2 n2 Lại có: BS (n ) Từ (1)(2) ta có điều phải chứng minh n2 n2 n (n 1) 3 n (n 1) 1 n n BS ( n ) n n [ ] BS ( n3 )(2) 2 ... 5( y z ) 6( z 1) BÀI TẬP TỰ LUYỆN BUỔI CHUYÊN ĐỀ: HẰNG ĐẲNG THỨC MỞ RỘNG Bài 1: Cho a, b, c thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = Tính giá trị biểu thức A ( a b c) ( a b c ) ( a ... 12 z Ngày soạn: Ngày dạy: CHUYÊN ĐỀ 2: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ I MỤC TIÊU: 1.Kiến thức : Học sinh biết vận dụng cách linh hoạt phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử học vào việc... đa thức sau thành nhân tử ( dùng đẳng thức ) 2 a x y xy x 12 y ( x y 1)( x y 5) 4 b x 3x ( x x 2)( x x 2) Ngày soạn: Ngày dạy: CHUYÊN ĐỀ 2: PHÂN TÍCH ĐA THỨC
Ngày đăng: 09/11/2019, 22:46
Xem thêm: Chuyên đề 1 hằng đẳng thức
