Hsg đs8 chuyên đề các hằng đẳng thức đáng nhớ (49 trang)

CHUYÊN ĐỀ.CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ PHẦN I.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT CHỦ ĐỀ CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ A KIẾN THỨC CẦN NHỚ   A  B   A  B  A2  AB  B (1)  A2  AB  B (2)  A2  B2   A  B  A  B  (3)   A  B  A3  A2 B  3B A  B3  A3  B3  AB  A  B  (4)   A  B  A3  A2 B  AB3  B3  A3  B3  AB  A  B  (5)  A3  B3   A  B   A2  AB  B  (6)  A3  B3   A  B   A2  AB  B  (7) B MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức : a) A   x     x   x     x   2 b) B   3x  x  1 3x  x  1   3x  1 c)C   x  5x    2. x    x  x     x   2 Giải Tìm cách giải Rút gọn biểu thức biến đổi viết biểu thức dạng đơn giản Trong biểu thức ẩn chứa hẳng đẳng thức, dùng đẳng thức để khai triển thu gọn đơn thức đồng dạng Trình bày lời giải a) Ta có: A   x     x   x     x   2  x2  x    x2    x2  8x  16  x2  x  b) Ta có : B   3x  x  1 3x  x  1   3x  1   3x  1   x    3x  1 2 2    x   4 x 2 c) Ta có : C   x  5x    2. 5x    x  5x     5x     x  5x     x   2   x2   x4 Ví dụ 2: Cho x  y  7 x  y  11 Tính x3  y ? Giải Tìm cách giải Sử dụng đẳng thức (1) giả thiết ta tính tích xy Mặt khác phân tích kết luận đẳng thức (4), ta cần biết thêm tích xy xong Từ ta có lời giải sau Trình bày lời giải Từ x  y  7  x2  xy  y  49 Mà x2  y  11  11  xy  49  xy  12 Ta có : x3  y3   x  y   3xy  x  y    7   3.12  7  3  x3  y3  91 Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức : a) A  x2  10 x  26 x  95 b) B  x3  3x  3x  x  21 Giải Tìm cách giải.Quan sát kỹ biểu thức, ta nhận thấy có bóng dáng đẳng thức Do nên vận dụng đưa đẳng thức Sau thay số vào để tính, tốn đơn giản Trình bày lời giải a) Ta có : A  x2  10 x  26  x  10 x  25    x  5  b) Ta có : B  x  3x  3x   x  3x  3x     x  1  Với x  21  B   21  1   8000   8002 Ví dụ 4: Tính nhanh: 20203  a) A  20202  2019 20203  b) B  20202  2021 Giải Tìm cách giải Quan sat kỹ đề bài, ta nhận thấy phân số ẩn chứa đẳng thức Do vậy, việc dùng đẳng thức để phân tích thừa số suy luận tự nhiên Trình bày lời giải  2020  1  20202  2020  1 20203  a) A    2021 20202  2019 20202  2020   2020  1  20202  2020  1 20203  b) B    2019 20202  2021 20202  2020  Ví dụ 5: Cho x  y  Tính giá trị A   x3  y   3. x  y  Giải Tìm cách giải Dựa vào giả thiết kết luận ta nghĩ tới hai hướng sau:  Biến đổi biểu thức A nhằm xuất x  y để thay số  Từ giả thiết, suy x  y  thay vào kết luận, ta biểu thức chứa biến y Sau rút gọn biểu thức Trình bày lời giải Cách Ta có : A   x3  y    x  y    x  y   x  y  xy    x  y   xy      x2  y  xy  3xy   3 x  y   12 xy   x  y   3 x  y   12 xy  12 xy   x  y   2 Cách Từ giả thiết, suy x  y  thay vào biểu thức A ta có :   A   y    y  3 y   y    y3  y  12 y   y   3 y    12 y  24 y  16  12 y  12 y  12  Ví dụ 6: Tìm số thực x, y thỏa mãn x2  26 y  10 xy  14 x  76 y  58  Giải Tìm cách giải Để tìm số thực x, y thỏa mãn đa thức hai biến bậc hai 0, định hướng biến đổi đưa đa thức thành tổng bình phương hai biểu thức Sau áp dụng A2  B2  A  B  Từ tìm x, y Trình bày lời giải Ta có : x2  26 y  10 xy  14 x  76 y  58   x2  10 xy  25 y  14  x  y   49  y  y    ( x  5y)2  14( x  5y)  49  ( y  3)2    x  y     y  3  2 x  y    x  22   y 3  y  Ví dụ 7: Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P  x2  xy  y  x  y  2015 Giải Tìm cách giải Để tìm giá trị nhỏ đa thức bậc hai, dùng đẳng thức (1) (2) để biến đổi đa thức thành tổng bình phương cộng với số Giá trị nhỏ biểu thức đạt tổng bình phương Trình bày lời giải Ta có : y  3y2  P x    x  y  2015 2  y y 3y2     x    2 x   1  y  2014 2 2   y  3 16     x   1   y  y    2012  4 9  2 y  3 4 2    x   1   y    2012  2012  4 3 3  y   x x  1       2012    y   y  3   Vậy giá trị nhỏ P  2012 x  ; y  3 Ví dụ 8: Cho a, b, c thỏa mãn đồng thời a  b  c  a  b2  c2  12 Tính giá trị biểu thức : P   a  3 2020   b  3 2020   c  3 2020 Giải Tìm cách giải Giả thiết cho hai đẳng thức mà lại có ba biến a, b, c có vai trị Do dự đoán dấu xảy a  b  c từ giả thiết suy a  b  c  Để tìm kết này, vận dụng tổng bình phương Do nên  a  2   b     c    biến đổi tương đương để giả thiết Khi trình bày lại 2 giả thiết Trình bày lời giải Ta có : a2  b2  c2  12  a2  b2  c2  12   a  b2  c2  24  12   a  b2  c   a  b  c   12   a2  4a   b2  4b   c2  4c     a  2   b  2   c  2  2 Dấu xảy a  b  c   P   1 2020   1 2020   1 2020 3 Ví dụ 9: Cho a  b2  4c2 Chứng minh rằng:  5a  3b  8c  5a  3b  8c   3a  5b  Giải Tìm cách giải Quan sát đẳng thức cần chứng minh, nhận thấy vế trái có chứa c, vế phải không chứa c Do cần biến đổi vế trái đẳng thức, sau khử c cách thay 4c2  a  b2 từ giả thiết Để thực nhanh xác, nhận thấy vế trái có dạng đẳng thức (3) Trình bày lời giải Biến đổi vế trái :  5a  3b  8c 5a  3b  8c    5a  3b   64c   25a  30ab  9b2   64c 2   25a  30ab  9b2   16  a  b2  4c  a  b2   9a  30ab  25b2   3a  5b  Vế trái vế phải Suy điều phải chứng minh Ví dụ 10: Phân tích số 27000001 thừa số nguyên tố Tính tổng ước số ngun tố Giải Tìm cách giải Chúng ta vận dụng đẳng thức để phân tích số thừa số ngun tố Trình bày lời giải Ta có: 27000001  3003    300  1  3002  300  1 301  300  1  302   301 300   30 300   30     301.271.331  7.43.271.331 Tổng ước số nguyên tố :  43  271  331  652 Ví dụ 11: Cho số x, y thỏa mãn đẳng thức x4  x2 y  y  4; x8  x4 y  y8  tính giá trị biểu thức A  x12  x y  y12 Giải Ta có : x  x y  y  x  x y  y    x  y   x y  x8  x4 y  y8   x4  x2 y  y  Kết hợp với giả thiết suy x  y  x y  Ta có : A  x12  x y  y12   x    y   x y 3   x  y  x8  x y  y8   x y 2   x  y   3x y      32  3   19 C BÀI TẬP VẬN DỤNG Tìm hệ số x đa thức sau khai triển : a) A   x     x     x  3   3x  1 2 3 b) B   x  1   x     x  3   3x  1 2 Hướng dẫn giải – đáp số a) A  x2  x   x  x   x3  x  27 x  27  27 x3  27 x  x   28x3  38x2  36 x  36 Vậy hệ số x 38 b) B  x2  x   x  x   x3  x  27 x  27  27 x3  27 x  x   28x3  31x2  28x  23 Vậy hệ số x -31 Tính giá trị biểu thức a) A  x2  0, x  0,01 x  0,9 b) B  x3  3x  3x  x  19 c)C  x4  x3  3x  x  x2  x  Hướng dẫn giải – đáp số a ) Ta có : A  x  0, x  0,01  x  0, x   0,1   x  0,1 2 Với x  0,9  A   0,9  0,1  b) Ta có: B  x  3x  3x   x3  3x  3x     x  1  Với x  19 B  19  1   8000   8001 c) Ta có : C  x  x  3x  x   x  x3  x  x  x    x  x    x  x      x  x  1  Với x2  x   C  8  1   81   82 Tính hợp lý : a) A  3562  1442 2562  2442 c)C  1632  92.136  462 b) B  2532  94.253  472 d ) D  1002  982   22    992  972   12  Hướng dẫn giải – đáp số a) A   356  144  356  144  500.212 53 3562  1442    2 256  244  256  244  256  244  500.12 b) B  2532  94.253  472  2532  2.47.253  472   253  47   3002  90000 c)C  1362  92.136  462  1362  2.46.136  462  136  46  902  8100 d ) D  1002  982   22    992  972   12   1002  992    982  972     22  12   100  99100  99   98  97  98  97      1  1  100  99    98  97      1  100  99    100  1  99     51  50   101  101   101  101.50  5050 Tính giá trị biểu thức : 2 20212  2020  2019  2019  2020  2021 A 20203   2020  1  20203  1 Hướng dẫn giải – đáp số 20212  20202  2019  20192  2020  2021 A 20203   20202  1 20203  1 20212  20202  2020  1 20192  20202  2020  1   2020  1 2020  1 2020  1  20202  2020  1  2020  1  20202  2020  1  2019  2019 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : a) A  5x  y  8xy  y  x  2020 b)M  5x2  y  z  x  xy  z  Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta có : A  x2  8xy  y  x  x   y  y   2018   x  y    x  1   y  1  2018  2018 2 Vậy giá trị nhỏ A  2018 x  1; y  1 b) Ta có : B  x2  xy  y  x2  x   y  y   2015   x  y    x  1   y    2015  2015 2 Vậy giá trị nhỏ B 2015 x  1; y  2 c) M  x  xy  y  x  x   z  z  1 2 4 10  a2  b2  c2  2ab  2bc  2ca   2(a  b2  c )  (a  b2  c  2ab  2bc  2ca)  x  y  2 2 2  2(a  b  c )  (a  b  c)   a  b  c   a  b  c   y  z  x  y  z z  x  Bài 8: Chứng minh không tồn số thực x, y, z thỏa mãn: a 5x2  10 y  xy  x  y   b x2  y  z  x  z  y  15  Lời giải a VT  ( x  y)2  (2 x  1)2  ( y  1)2  (dpcm) b VT  ( x  1)2  4( y  1)2  ( z  3)2   (dpcm) Bài 9: Tìm x, y thỏa mãn a x2  y   y( x  3) b x2  8xy  y  28x  28  c x2  y  5z   2( xy  yz  z) Lời giải  3 a Ta có: x  y   y( x  3)  ( x  y)  (2 y  3)   x  3;   2 b Ta có: x  xy  y  28 x  28   (7 x  28 x  28)  (2 x  xy  y )  x   7( x  2)  2( x  y )    y 1 c Ta có: x2  y  5z   2( xy  yz  z)  ( x  y)2  ( y  z)2  ( z 1)2   x ; y  2; z  Bài 10: Chứng minh biểu thức sau viết dạng tổng bình phương hai biểu thức: x   x  1   x     x  3 2 Lời giải 2 2 Ta có: x   x  1   x     x  3  x   x  x  1   x  x     x  x   2  10 x2  40 x  50   x  5   3x  5  dpcm 2 Bài 11: Cho a  x  x  Tính theo a giá trị biểu thức A  x  x  5x  x  Lời giải 4 2 Ta có: A  x  x  5x  x    x  x  1  x  x  x  x  x  35  A   x  x  1   x  x  1   A  a  2a    a  1 2 Bài 12: Chứng minh x  x  a  x  a  x  2a   a bình phương đa thức Lời giải Ta có: A   x  ax  x  ax  2a   a Đặt t  x  ax  A  t  t  2a   a  t 2ta  a   t  a   A   x  ax  a   dpcm 2 Bài 13: a) Cho a, b, c thỏa mãn a2010  b2010  c2010  a1005b1005  b1005c1005  c1005a1005 Tính giá trị biểu thức sau A   a  b   b  c    c  a  20 11 2010 b) Cho a, b, c, d  Z thỏa mãn a  b  c  d Chứng minh a  b2  c  d tổng ba số phương c) Chứng minh rằng: Nếu p q hai số nguyên tố thỏa mãn p  q  p  3q  p  q số nguyên tố Lời giải a) Ta có: a2010  b2010  c2010  a1005b1005  b1005c1005  c1005a1005  2a2010  2b2010  2c2010  2a1005b1005  2b1005c1005  2c1005a1005    a1005  b1005    b1005  c1005    c1005  a1005    a1005  b1005  b1005  c1005  c1005  a1005  a  b  c 2 Vậy A   a  a    b  b    c  c  20 11 2010  A0 b) Ta có: a  b  c  d  a  c  d  b; a  b2  c  d   c  d  b   b2  c  d   c  d    c  d  b  b  b  c  d 2   c  d   2bc  2bd  b2  b2  c  d   c  d    b  c   b  d  2 2 c) Ta có: p  q  p  3q   p  4q  p  12q   p  p   4q  12q    p  1   2q  3 mà 2 p   ( p nguyên tố ); 2q   (q nguyên tố ) Do p 1  2q   q  p  Ta có: q   p    q lẻ, p chẵn  p   q   p  q  13 số nguyên tố Bài 14: [ HSG – năm 2018 ] Cho a, b, c thỏa mãn: a2  b2  c2  2; a  b  c  2.CMR : M  (a  1)(b2  1)(c  1) viết dạng bình phương biểu thức Lời giải: Cách 1: 36 M  (a  1)(b2  1)(c2  1)  a 2b2c2  a 2b2  a 2c  b2c  a  b2  c  1(*) Có: a2  b2  c2   a  b  c  (a2  b2  c2 )2  (a  b  c)2 Có: (a  b  c)2  a2  b2  c2  2(ab  bc  ca)   ab  bc  ca   a 2b2  a2c2  b2c2  2(acb2  a2bc  c2 ab)   a2b2  a 2c2  b2c2   2(acb2  a 2bc  abc2 )  M  (abc)2  2abc(a  b  c)   a  b2  c  M  (abc)2  2abc(a  b  c)  (a  b  c)  abc   a  b  c   (dpcm)   Cách 2: Ta có: a2   a2  ab  bc  ca  (a  b)(a  c); b2   (a  b)(b  c); c   (a  c)(c  b)  M  [(a+b)(b+c)(c+a)]2 HẰNG ĐẲNG THỨC BẬC BA (a  b)3  a3  3a 2b  3ab2  b3  a3  b3  3ab(a  b)  a3  b3  (a  b)3  3ab(a  b) (a  b)3  a3  3a 2b  3ab2  b3  a3  b3  3ab(a  b)  a3  b3  (a  b)3  3ab(a  b) Bài 1: Cho x2  x  10 Tính A  x6  3x5  x4  3x3  x2  x  Lời giải A  x  3x5  x  3x3  x  x   ( x  3x5  3x  x3 )  ( x  x3  x )  ( x  x  1)  ( x  x)3  ( x  x)2  ( x  x)   1111 Bài 2: Tính A  (23  1)(33  1) (1003  1) (23  1)(33  1) (1003  1) Lời giải (k  1)3  (k  2)[(k+1)2 -(k+1)+1] k  Ta có:   k 1 (k-1)(k  k  1) k 1 Cho k chạy từ đến 100, ta thu được: 33  43  1003  1 101  3 2 1 1 99  100  1 98 99(100  100  1) 99.100.101 9.99.100.101 30300 A    1.2.3 10101 6.99.10101 20202 A  (23  1) Bài 3: Cho x  y  Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y A   x6  y    x  y  Lời giải 37 Ta có: 3 A   x    y     x  y    x  y  x  x y  y    x  y   x  x y  y  3x  y      x4  x2 y  y     x2  y  2  1  dpcm Bài 4: Cho a3  3ab2  2; b3  3a 2b  11 Tính a  b2 Lời giải Ta có:  a3  3ab2    b3  3a 2b   22   11  a6  6a 4b2  9a 2b4  b6  6a 2b4  9a 4b2   121 2  a6  3a 4b2  3a 2b4  b6  125   a  b2   53  a  b2  Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A  a3  b3  c3  3abc Lời giải A  a3  b3  c3  3abc  (a  b)3  3ab(a  b)  c3  3abc 3 A   a  b   c3  -3ab  a  b  c  =  a  b  c   3(a  b)c.(a  b  c)  3ab(a  b  c)   A  (a  b  c)  a  b  c   3(a  b)c  3ab   (a  b  c)(a  b2  c  ab  bc  ca)   Bài 6: Cho a + b + c = 0, Chứng minh rằng: a3  b3  c3  3abc (a  b2 )3  (b2  c )3  (c  a )3 Áp dụng tính B  (a  b)3  (b  c)3  (c  a)3 Lời giải Từ giả thiết  c  (a  b)  a3  b3  c3  a3  b3  (a  b)3  3ab(a  b)  3abc a  b  b  c  c  a  3(a  b2 )(b2  c )(c  a )  B   (a  b)(b  c)(c  a) +)  3( a  b )( b  c )( c  a ) a  b  b  c  c  a   Bài 7: Cho a, b, c thỏa mãn: (a  b  c)2  a  b2  c2 Chứng minh rằng: 1  3 3 a b c abc Lời giải 2 2 Ta có: (a  b  c)  a  b  c  ab  bc  ca   Bài 8: Cho a, b, c thỏa mãn: 1 1 1 1         a b c a b c a b c abc 1 bc ca ab    Tính A    a b c a b c Lời giải 1 1 1 3 3 Đặt x  ; y  ; z   x  y  z   x  y  z  3xyz     a b c a b c abc 38  A abc abc abc 1    abc(   )  abc 3 a b c a b c abc Bài 9: Cho x  y  a  b; x2  y  a b2 Chứng minh x  y3  a3  b3 Lời giải 3 2 2 2 Ta có: x  y   x  y   x  xy  y  ; x  y  a  b   x  y    a  b   x  xy  y  a  2ab  b 2 Do x2  y  a2  b2  xy  2ab  xy  ab Thay kết vào ta được: x  y3   x  y   x  xy  y    a  b   a  ab  b2   a3  b3  dpcm Bài 10: Cho a  b  m; a  b  n Tính ab; a3  b3 theo m n Lời giải Cách 1: Từ a  b  m; a  b  n  b  mn mn m  n m  n m2  n ,a   ab   2 2 3m2 n  n3  m  n   m  n   m  n   m  n a b             3 3 3 Cách 2: Ta có: 4ab   a  b    a  b   m2  n  ab  2 m2  n  m2  n  Lại có: a3  b3   a  b   a  ab  b2    a  b   a  b   ab   n  m2        n  3m2  n   3m2 n  n3 Bài 11: Cho a  b2  c  m Tính giá trị biểu thức sau theo m A   2a  2b  c    2b  2c  a    2c  2a  b  2 Lời giải Ta có: A   2a  2b  2c  3c    2b  2c  2a  3a    2c  2a  2b  3b  2 2 2 Đặt x  a  b  c  A   x  3c    x  3a    x  3b   12 x  12 x  a  b  c    a  b  c  2  12 x  12 x   a  b2  c   9m HẰNG ĐẲNG THỨC: (a + b + c)3 Ta có: 39 (a  b  c)3   a  b   c   (a  b)3  3(a  b)2 c  3(a  b)c  c3  3(a 2b  ab2  a 2c  ac  b 2c  bc  abc  abc)  (a 2b  ab2 )  (a 2c  ac2 )  (ac2  bc2 )  (b2c  abc)  =3  a  b  b  c  c  a  +a3  b3  c3  (a  b  c)3  a3  b3  c3  3(a  b)(b  c)(c  a) Bài 1: Cho a, b, c thỏa mãn: abc =1 Tính: A  (a  b  c)3  (b  c  a)3  (c  a  b)3  (a  b  c)3 Lời giải  x  b  c  a  x  y  2c   Đặt  y  c  a  b   y  z  2a ; x  y  z  a  b  c z  a  b  c  z  x  2c    A  ( x  y  z )3  x3  y3  z  3( x  y)( y  z )( z  x)  3.2c.2b.2a  24abc  24 Bài 2: Phân tích thành nhân tử a A  8(a  b  c)3  (2a  b  c)3  (2b  c  a)3  (2c  a  b)3 b B  27(a  b  c)3  (2a  3b  2c)3  (2b  3c  2a)3  (2c  3a  2b)3 Lời giải  2a  b  c  x  x  y  a  3b   2b  c  a  y   y  z  b  3c  x  y  z  2(a  b  c) a Đặt    2c  a  b  z  z  x  c  3a  A  ( x  y  z )3  x3  y  z  3( x  y )( y  z )( z  x)  3(a  3b)(b  3c)(c  3a ) b Ta có: B  27(a  b  c)3  (2a  3b  2c)3  (2b  3c  2a)3  (2c  3a  2b)3  3(5a  b)(5b  c)(5c  a) Bài 3: Cho a, b, c thỏa mãn : a + b + c = a3 + b3 + c3 = Tính A  a n  bn  c n ( n số tự nhiên lẻ ) Lời giải a  b   Ta có: (a  b  c)   a  b  c  3(a  b)(b  c )(c  a )   b  c  c  a  3 3 +) TH1: a  b   a  b  c   a n  bn  cn  +) Tương tự ta có: A = Bài 4: Giải phương trình sau a 27 x3  ( x  5)3  64  (4 x  1)3 c ( x2  x  2)3  x3  ( x3  1)( x  2)3 b (2 x2  x  1)3  (2 x  1)3  ( x2  x  1)3  ( x2  x  3)3 d ( x  3x  3)3  ( x  x  1)3  (2 x  x  1)3  a 40 b c Lời giải a Ta có: 27 x3  ( x  5)3  64  (4 x  1)3  (3x)3  ( x  5)3  64  3x   x  5  4  3(3x  x  5)( x   4)(4  3x)   4   x   ;1;  3 4 b (2 x2  x  1)3  (2 x  1)3  ( x2  x  1)3  ( x2  x  3)3  (2 x2  x  1)3  (2 x  1)3  ( x  x2  1)3  ( x2  x  3)3 a  b  x   b  c  3x  x  2  a  b  c  (a  b  c )3 Đặt x  x   a; x   b; x  x   c   c  a  x  x  a  b  c  x  x   2 x2   a  b  a  b    3(a  b)(b  c)(c  a)   b  c   b  c   3x  x    x  1;1; 2  x2  x  c  a  c  a   c ( x2  x  2)3  x3  ( x3  1)( x  2)3  ( x2  x  2)3  x3  x3 ( x  2)3  (2  x)3  3( x  x2  x)( x2  x   x)(2  x  x )   6( x2  x)( x  3x  2)   x 0;1;2 x2 y z Bài 5: Cho x  y  z  0; xyz  Tính A    yz xz xy Lời giải A x y z x3  y  z    yz xz xy xyz Cách 1: Nếu x  y  z   x3  y3  z  3xyz  A  Cách 2: ( x  y  z )3  x3  y  z  3( x  y )( y  z )( z  x)  x3  y  z  ( x  y  z )3  3( x  y )( y  z )( z  x )  A  0 Bài 6: Giải phương trình sau: ( x  3x  3)  ( x  x  1)  (2 x  x  1)3  1(*) a b Lời giải 41 c a  b  x  x   b  c   x  3x  (*)    3(a  b)(b  c)(c  a)   x  2; 2; 1 c  a   x  x  a  b  c   Bài 7: Rút gọn A  ( x  y  z )3  ( x  y  z )3  ( x  y  z )3  ( x  y  z )3 Lời giải x  y  z  a  Đặt  x  y  z  b  a  b  c  x  y  z  A  24 xyz x  y  z  c  HẰNG ĐẲNG THỨC: a3 + b3 + c3 -3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc - ca) Nhận xét a  b  c  - Nếu a3  b3  c3  3abc    a  b  c a  b  c   a3  b3  c3  3abc  - Nếu  a  b  c Áp dụng: Bài 1: Cho số thực a, b, c khác thỏa mãn: a3  b3  c3  3abc Tính giá trị biểu thức  a  b  c  M  1  1  1    b  c  a  Lời giải a  b  c  Vì: a3  b3  c3  3abc    a  b  c +) Nếu a  b  c   M  a  b b  c c  a c a b   1 b c a b c a +) Nếu a  b  c  M  (1  1)(1  1)(1  1)   x3  y  xy  Bài 2: Giải hệ phương trình sau:  2 x  y  Lời giải x  y   Ta có: x3  y  xy   x3  y  23  3.x y.2    x  y  x  y   x   +) Nếu x  y     2 x  y   y  5 42 +) Nếu x  y  ( khôn thỏa mãn ) Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (3; -5) Bài 3: Giải phương trình sau: 27( x  3)  8( x  2)3  ( x  5)3 Lời giải 27( x  3)  8( x  2)3  ( x  5)3  (3x  9)3  (4  x)3  (5  x)3  Ta có: (3x  9)  (4  x)  (5  x)  (1) (2) x   Từ (1), (2) suy ra: 3(3x  9)(4  x)(5  x)    x   S  2;3;5  x  Bài 4: Cho số thực phân biệt a, b, c khác thỏa mãn: a  b  c  b c   b  c c  a a  b  a     Tính giá trị biểu thức: P     b c  b  c c  a a  b   a Lời giải Ta đặt M b c c a a b a a  c a a b  a c  ca  ba  b 2a 2a    M  1          a b c bc bc  b c  bc bc bc bc Tương tự ta có: M  P  3 b 2b3 c 2c3  1 ;M  1 ca abc a b abc 2(a3  b3  c3 ) 2.abc  3 (do : a  b  c  0)   P  abc abc Bài 5*: Giả sử ba số ba số x2 y z a b c    Chứng minh ; ; nghiệm phương trình yz zx xy b c a c a b a b c ; ; nghiệm phương trình 2 (b  c) (c  a) (a  b) Lời giải Ta có: x  y  z x2 y z     x3  y  z  3xyz    yz xz xy x  y  z  Vì nghiệm phương trình ba số khác nên số a, b, c ba số khác khác +) Nếu: Từ: a b c    k   a  k (b  c); b  k (c  a); c  k (a  b)  a  b  c   a  b  c b c c a a b a b a b     (a  b)2  a  b2   a  b   a  b  c  (loai) bc ca b  a  b a  b  a 43 +) Nếu: a b c a b c b(b  a)  c(a  c) a b  ba  ca  c   0      (1) b c c a a b bc a c ba (c  a)(a  b) (b  c)2 (a  b)(b  c)(c  a) Tương tự ta có: b c  cb  ab  a  (2); (c  a)2 (a  b)(b  c)(c  a) Từ (1), (2), (3) suy ra: c a  ac  bc  b  (a  b) (a  b)(b  c)(c  a) (3) a b c   0 2 (b  c) (c  a) ( a  b) m2 n p a b c 3 m  n  p   m  n  p  mnp    3 ;n  ;p Đặt m  np mp mn (b  c)2 (c  a ) ( a  b) Vậy ba số a b c ; ; nghiệm phương trình cho 2 (b  c) (c  a) (a  b) CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC MỞ RỘNG HAY SỬ DỤNG (a  b  c)2  a2  b2  c2  2ab  2bc  2ca (a  b  c)2  a  b2  c2  2ab  2bc  2ca (a1  a a3   a n )2  a12  a22   an2  2(a1a2  a2a3   an1an ) Áp dụng: Bài 1: Chứng minh rằng: (2a  2b  c)2  (2b  2c  a)2  (2c  2a  b)2  9(a  b2  c ) Lời giải  2a  2b  c 2  4a  4b  c  8ab  4ac  4bc   2 Ta có:  2b  2c  a   4b  4c  a  8bc  4ab  4ac  2 2  2c  2a  b   4c  4a  b  8ac  4bc  4ab Cộng theo vế đẳng thức ta được: (2a  2b  c)2  (2b  2c  a)2  (2c  2a  b)2  9(a  b2  c ) Bài toán chứng minh Bài 2: Cho a, b, c, d thỏa mãn: a2 + b2 + c2 + d2 = Tính giá trị biểu thức A  (a  b  c  d )2  (a  b  c  d )2  (a  b  c  d )2  (a  b  c  d )2 Lời giải Ta có ( x  y)2  ( x  y)2  2( x  y ) 44 Áp dụng ta được: A   a  b    c  d    a  b    c  d    a  b    c  d    a  b    c  d  2 2 2 A   a  b   (c  d )2    a  b   (c  d )2    a  b    a  b    (c  d )  (c  d )        A   a  b2   4(c  d )  Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a a2  4b2  5c2  4ab  12bc  6ac b a4  b4  c4  a 2b2  b2c2  c2 a  2abc(a  b  c) c a2  3b2  4c2  4ab  8bc  4ac Lời giải a a2  4b2  5c2  4ab  12bc  6ac  (a  2b  3c)2  (2c)2  (a  2b  c)(a  2b  5c) b a4  b4  c4  a 2b2  b2c2  c2 a  2abc(a  b  c)  (a2  b2  c2 )2  (ab  bc  ca)2  (a  b2  c  ab  bc  ca)(a  b2  c  ab  bc  ac) c a2  3b2  4c2  4ab  8bc  4ac  (a  2b  2c)2  b  (a  b  2c)(a  3b  2c) Bài 4: Tìm x, y, z thỏa mãn a 5x2  y  z  8xy  yz  zx  x  y   b x2  y  z  xy  yz  zx  x  y   c x2  y  8z  xy  yz  zx  z   d 5x2  11y  28z  14 xy  16 yz  8zx  20 z   e 3x2  y  23z  xy  22 yz  12 zx  12 z   Lời giải a 5x2  y  z  8xy  yz  zx  x  y    ( x  1)2  ( y  1) (2 x  y  z)2   ( x; y; z)  (1;1;0) b x2  y  z  xy  yz  zx  x  y    x2  y  z  xy  yz  zx  x  y    ( x  1)2  ( y  1)  ( x  y  z)   (1; 1;1) c x2  y  8z  xy  yz  zx  z    (4 z  z  1)  x2  y  z  xy  yz  zx   (2 z 1)  ( x  y)  ( x  y  z)  d 5x2  11y  28z  14 xy  16 yz  8zx  20 z   5(4 z  z  1)  5x2  11y  8z  14 xy  16 yz  8zx   5(2 z  1)2  3( x  y)2  2( x  y  z)   (1;1;1) e 45 3x2  y  23z  xy  22 yz  12 zx  12 z    3( x  y  z)2  5( y  z)2  6( z 1)2   ( x; y; z)  (1;1;1) Bài 5: Chứng minh không tồn số thực x, y, z thỏa mãn: a x2  26 y  10 xy  14 x  76 y  59  b x2  y  x  xy  10 y  14  Lời giải a Ta có: VT  ( x2  10 xy  25 y )  y  14 x  76 y  59  ( x  y)2  2.7.( x  y)  y  y  72  10  ( x  y)2  2.7.( x  y)  72  ( y  3)2   ( x  y  7)  ( y  3)   (dpcm) b VT  ( x  y  1)2  ( y  3)2   4(dpcm) Bài 6: Cho a + b + c = a2 + b2 + c2 = Tính a4 + b4 + c4 Lời giải Ta có: (a  b  c)2   a  b2  c2  2(ab  bc  ca)    2(ab  bc  ca)   ab  bc  ca  1 (1) Có: (a2  b2  c2 )2   a  b4  c4  2(a 2b2  b2c2  c2a )  (2) Từ (1) suy ra: a2b2  b2c2  c2a2  2a2bc  2ab2c  2abc2   a 2b2  b2c  c 2a  4 Thay vào (2) ta được: a  b  c    1 1    2 Bài 7: Chứng minh rằng, nếu:  a b c a  b  c  abc (1) (2) 1   2 a b2 c2 Lời giải Từ (1) suy ra: 1 1  1  1 1   abc           2         2 4 a b c a b c a b c  ab bc ca   abc   1 1 1         2 a b c a b c HẰNG ĐẲNG THỨC MỞ RỘNG ( tiếp ) a3  b3  (a  b)(a  ab  b2 ) a5  b5  (a  b)(a  a3b  a 2b2  ab3  b4 ) an  bn  (a  b)(a n1  a n2b  a n3b2   abn2  bn1 ) a5  b5  (a  b)(a  a3b  a 2b2  ab3  b4 ) an  bn  (a  b)(a n1  a n2b  a n3b2   abn2  bn1 ) ( với n lẻ ) Áp dụng: 46 Bài 1: Giải hệ phương trình sau x  y  b  2 4  x  x y  y  x( x  x y  y )   x  y ( y  1) a  4 2   x  y  xy ( x  xy  y )  31  x  y  x5  c  2 2   x  x y  y  xy ( x  y )  Lời giải a Ta có: x  y  y  x  y  y  ( x  y )( x  y  x y  x y  xy )  31y  x  y  31y  x  32 y  (2 y )5 y   x  (loai) y 1   x  y  y  y  y   y    x    y  1  y  1  x  2 b Ta có: x  x y  y  x5  x3 y  xy  x  x3 y  x y  xy  y  x5  ( x  y )( x  x3 y  x y  xy  y )  x5  x5  y  x5  x5  y  x  y  x  y  c Ta có: x4  x3 y  x2 y  xy3  y   x5  x5  y5  x  y  Bài 2: Chứng minh : 29  299 100  4.25 Lời giải Ta có: 29  299  29 (1  290 )  29 [(210 )9  1]  29 (10249  1)  29 (1024  1) (10248  10247  10246   1)  A 100 25 Bài 3: Chứng minh rằng: Ta có: A  20  16   323n  N * , n chẵn n n n Lời giải Vì n chẵn, đặt n = 2k ( k thuộc N* ), ta có: 323 = 17.19 A  (202 k  32 k )  (162 k  1)  (20  3)(202 k 1  202 k 2.3   32 k )  (162  1)[(162 ) k 1   1]  A 17(1) 17 A  (20  1)  (16  )  (20  1).(20 2k 2k 2k k 1 17 k 1   1)  (16  )[(16 ) 19   (32 ) k 1 ]  A 19(2) 19 Từ (1) (2)  A 323 Bài 4: Tìm n thuộc N* để A  n100  n2  số nguyên tố Lời giải Ta có A  (n100  n)  (n2  n  1)  n(n99  1)  (n2  n  1)  n[(n )33  1]  (n2  n  1)  n(n3  1)[(n )32  (n3 )31   1]  (n2  n  1)  (n2  n  1) n(n 1).[ ]+1 n2  n  +) Nếu n > A > n2 + n + suy A hợp số 47 +) Nếu n = A = ( thỏa mãn ) Vậy n = Bài 5: Chứng minh số a A  1000.09 hợp số b B  10000000099 hợp số 100 Lời giải a Ta có: A  1000 09  10101  10   (10101  102 )  (102  10  1)  102[(103 )33  1]  (102  10  1) 100  102 (103  1)[(103 )32  (103 )31   1]  (102  10  1)  102 (10  1)(102  10  1).[ ]-(102  10  1)  A 102  10   91  7.13  A 7, A 13  Là hợp sô b B  10000000099  1010  99  1005  99  1005  100   1002 (1003  1)  (1002  100  1)  B 1002  100  B >  B 1002  100  nên B hợp số Bài 6: Chứng minh A  10n2  112n1 111n  N * Lời giải Ta có 111 = 37 = 102 + 10 + A  (112n1  1002n1 )  (104n2  10n2 )  (112 n1  1002 n1 )  10n2 (103n  1)  A  ( )  10n 2.(103  1) (103 )n1  (103 )n2   1  A  (11  100) 112n  112n1.100   1002 n  -10n+2 (103  1).[ ]=111[ ]-10n+2 [ ] 111 Bài 7: Chứng minh A  2903n  803n  464n  261n 1897n  N * Lời giải Ta có: (2903n  803n ) (2903  803)  2100  7.300 2903n  464n 2439  271.9    A 7;  A 271   n n n n (464  261 ) : (464  261)  203  7.29 803  261 542  2.271   Vậy A chia hết cho 271 = 1897 Bài 8: Chứng minh A  (11n2  122n1 ) 133n  N * Lời giải Ta có 133 = 112 + 11 +1 A  (122 n1  1212 n1 )  11n (113n  1)  (12  121)(122 n  122 n1.121   1212 n )  11n (113  1)[11n-1  11n2   1] 133 Vậy A 133 (dpcm) Bài 9: Cho a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = Tính giá trị biểu thức A  ( a  b  c )  ( a  b  c )  ( a  b  c )  ( a  b  c ) Lời giải 48 Khai triển rút gọn ta được: A  4(a  b2  c )  Bài 10: Phân tích đa thức sau thành tích đa thức A  a2  3b2  4c2  4ab  8bc  4ca Lời giải Ta có: A  a  3b2  4c2  4ab  8bc  4ca  (a  2b  2c)2  b2  (a  b  2c)(a  3b  2c) Bài 11: Tìm x, y, z thỏa mãn a 5x2  y  z  xy  yz  zx  x  y   b 3x2  y  23z  xy  22 yz  12 xz  12 z   Lời giải a 5x2  y  z  xy  yz  zx  x  y    (2 x  y  z)2  ( x  1)2  ( y  1)2  b 3x2  y  23z  xy  22 yz  12 xz  12 z    3( x  y  z)2  5( y  z)2  6( z  1)2  49