Hsg đs8 chuyên đề giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức ( 79 trang)

ĐS8-CHUYÊN ĐỀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC PHẦN I.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT A Kiến Thức Cần Nhớ Xét tập xác định (D): a) Hằng số a giá trị lớn A(x) với x xo nếu: x, A( x)  A( xo ) a Ký hiệu: max A( x ) a  x  xo b) Hằng số b giá trị nhỏ B(x) với x xo nếu: x, B ( x) B ( xo ) b Ký hiệu: B ( x) b  x xo c) Hằng số a giá trị lớn A(x, y,…_) với x xo ; y  yo ; x, y, A( x, y, )  A( xo , yo , ) a Ký hiệu: max A( x, y , ) a  x  xo ; y  yo ; d) Hằng số b giá trị nhỏ B( x, y, ) với x xo ; y  yo ; x, y , B ( x, y, ) B( xo ; yo , ) b Ký hiệu: B( x, y, ) b  x xo ; y  yo ; Định lý cực trị: a) Nếu tổng hai số dương khơng đổi tích chúng lớn hai số b) Nếu tích hai số dương khơng đổi tổng chúng nhỏ hai số Một số bất đẳng thức hay dùng: (đã nêu chuyên đề 21) a Bất đẳng thức Cauchy b Bất đẳng thức Bunhiacôpxki c Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối d Bất đẳng thức tam giác B Một Số Ví Dụ Dạng tam thức bậc hai đưa tam thức bậc hai Ví dụ 1: a) Tìm giá trị lớn A( x) 2015  x  x b) Tìm giá trị nhỏ B ( x) 2 x  2( x  5) 2 c) Tìm giá trị nhỏ C ( y ) ( y  2)  ( y  5) * Tìm lời giải: Để tìm giá trị lớn A(x) ta phân tích A(x) thành số a trừ bình phương tổng (hoặc hiệu) Từ tìm xo để x A( x )  A( xo ) a Khi max A( x ) a  x xo Để tìm giá trị nhỏ B(x) ta phân tích B(x) thành bình phương tổng (hoặc hiệu) trừ số b Từ tìm xo để x B ( x ) B ( xo ) b Khi B( x) b  x xo Giải 2 a) A( x) 2015  x  x 2016  ( x  x  1) 2016  ( x  1) 2 Do ( x  1) 0, x nên 2016  ( x  1) 2016, x Do max A( x) 2016  x  0  x 1 1 19   19   B( x) 2 x  x  10 2  x  x   2  x  x    2  x    4 2   b) 2 1   x   0, x 2 Do  Nên 2  19 19   x     x 2 2  19 B( x)   x  2 Do 2 2 c) C ( y ) ( y  2)  ( y  5)  y  y   y  10 y  25 29   2 y  y  29 2  y  y     49   49 49   2  y  y    2  y     , y 4  2 2   Do C ( y ) 24,5  y 1,5 Dạng đa thức biến bậc lớn hai Ví dụ 2: a) Tìm giá trị nhỏ C x  x  12 x  18 x  15 b) Tìm giá trị lớn D ( y  2)( y  5)( y  6)(9  y) * Tìm cách giải: a) Sử dụng tách thêm bớt để biến đổi biểu thức làm xuất bình phương nhị thức b) Hoán vị nhân cặp làm xuất biểu thức có phần giống y  11y đặt ẩn phụ để giải Giải 2 a) C  x  x  x  x  18 x  27  12  x ( x  3)2  3( x  3)  12 ( x  3)2 ( x  3)  12 2 2 Do x   x;( x  3) 0, x  ( x  3) ( x  3)  12  12,  x Nên C  12  x 3 b) D  ( y  2)(9  y)  ( y  5)( y  6)    y  11y  18   y  11y  30  2 Đặt y  11 y  24  z ta có: D  ( z  6)( z  6) 36  z 36 z Vậy max D 36  z 0  y  11 y  24 ( y  3)( y  8) 0  y 3; y 8 Dạng đa thức nhiều biến bậc hai Ví dụ 3: 2 a) Tìm giá trị nhỏ A( x; y ) x  x  y  y  2018 b) Tìm x, y, z để đa thức B(x, y, z) có giá trị lớn B( x, y, z ) 1  (2 x  y  z  xy  xz  yz  x  y ) * Tìm cách giải: a) Biến đổi biểu thức thành tổng bình phương nhị thức với số b) Dùng tách, thêm bớt hạng tử làm xuất bình phương biểu thức Sử dụng đẳng thức: a  b  c  2ab  2ac  2bc (a  b  c ) Giải 2 2 a) A( x, y ) x  x   y  y   2016 ( x  1)  (3 y  1)  2016 2 Do ( x  1) 0, x (3 y  1) 0, y 2 Nên ( x  1)  (3 y  1)  2016 2016, x; y A( x, y ) 2016  ( x  1; y  ) Do b) B ( x, y, z ) 1    x  x  1   y  y     x  y  z  xy  xz  yz    2 6    x  1   y     x  y  z   6, x, y, z   Do  x  0  max B( x, y, z ) 6   y  0   x  y  z 0   x 1   y 2  z 3  Dạng phân thức Ví dụ 4: a) Tìm giá trị lớn biểu thức b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A 16 x  x  19 B x2  x2  c) Tìm giá trị lớn biểu thức C  x  x2 x2  x  Giải 2 a) Do x  x  19 ( x  1) 18 18, x  1 16 16  , x  A    , x 2 ( x  1)  18 18 ( x  1)  18 18 max A   x 1 Vậy b) B x   12 12 12 12 1  4    3, x 2 x 3 x  Do x  3 x nên x  x 3 Vậy B   x 0 c) C  x  x2   x  x  2   1 2 x  2x  x  2x  x  2x  1  3 ( x  1)  Do x  x  ( x  1)  1 x nên ( x  1)    2, x ( x  1)  Vậy max C 2  x 1 Dạng chứng minh giá trị lớn (nhỏ nhất) biểu thức Ví dụ 5:  x2  x  A ( x 1)  x  x 1 a) Chứng minh giá trị lớn x  b) Chứng minh giá trị nhỏ B x2  2x  ( x 0) x x 2 * Tìm cách giải: + Phương pháp chứng minh max A( x ) a (a số) x  Chứng minh A( x) a, x có o cho A( xo ) a + Phương pháp chứng minh B( x ) b (b số) x  Chứng minh B( x ) b, x có o cho B( xo ) b Giải a) Ta chứng minh A  x2  x   x 1 x  2x 1 Thật x 1  x2  x   x2  x   x2  2x   ( x  1)    0  0  0 x  x 1 x  x 1 x  x 1 ( x  1) 2 Hiển nhiên Dấu “=” xảy  ( x  1) 0  x  b) Ta chứng minh B x2  x   x 0 x2 Thật x 0 x2  x  x2  x  x2  4x  ( x  2)    0  0  0 x2 x2 2x2 x2 Hiển nhiên Dấu “=” xảy  ( x  2) 0  x 2 Dạng tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức 10( x  2) M x 5 Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức Tìm cách giải: Biến đổi biểu thức M để có a M b, x (a, b số) Giải x M  10 x  25    x   x2   ( x  5)   1, x x2  Do M   x  * M 5( x  5)  5( x  x  1) ( x  1)   5, x x2  x2  Do max M 5  x 1 Dạng tập áp dụng định lý, tính chất cực trị Ví dụ 7: Chứng minh định lý: 1) Nếu tổng hai số dương khơng đổi tích chúng lớn hai số 2) Nếu tích hai số dương khơng đổi tổng chúng nhỏ hai số Áp dụng: a) Tìm giá trị nhỏ T 16 x  , x  với x  b) Cho a  9b 42 với a, b  Tìm giá trị lớn tích P ab Giải Gọi số dương a b a  b Ta có  0  a  2ab  b 0  (a  b) 4ab 1) Nếu a  b k  khơng đổi Vậy max(a.b)  4ab k  ab  k2 k2 k  a b  2 2) Nếu a.b h  khơng đổi ta có (a  b) 4h  a  b 2 h Do min(a  b) 2 h  a b  h Áp dụng: a) T 16 x 16 x 2     x x 4 16 x  16 x  4 ; Ta có với x  x  số dương có tích x  khơng đổi nên tổng chúng nhỏ  16 x  x  ( x  2) 64 Phương trình có nghiệm x 10 x  Nghiệm x 10 thỏa mãn điều kiện Vậy A 4,  x 2 b) Xét 63P 7 a.9b a  9b 42 khơng đổi nên tích chúng lớn hai số a 9b 21 Vậy max P 7  a 3; b  Ví dụ 8: Chứng minh tổng số dương với nghịch đảo có giá trị nhỏ Áp dụng:  1 A (a  b)     a b a) Với a, b  tìm giá trị nhỏ  1 1 B 1   a  b  c       a b c b) Với a, b, c  tìm giá trị lớn Giải Gọi số dương x Thì số nghịch đảo x 1 x 1 x x   x 1 x nhỏ x Ta có tích x khơng đổi nên tổng 1   x   2  x 1 x  Vậy  1 a b a b A  a  b        2  a b b a a) Do b a hai số dương nghịch đảo Theo chứng minh A 2  4 Vậy A 4  a b  1 1 a b b c  c a C  a  b  c      3             a b c  b a  c b  a c b) Ta có Theo chứng minh ta có C 3    9 Nên B 1  C 1  Vậy B   x  y z Dạng tập biến bị ràng buộc hệ thức Ví dụ 9: Cho x  y  z 6 2 a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  x  y  z b) Tìm giá trị lớn biểu thức B  xy  yz  zx c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  B Giải 2 2 a) Cách 1: x  y  z 6  ( x  y  z )  x  y  z  2( xy  yz  zx ) 36 2 2 2 Mặt khác x  y 2 xy; y  z 2 yz ; z  x 2 zx Do cộng vế với vế ba bất đẳng thức chiều ta được:  x  y  z  2  xy  yz  zx   x  y  z   x  y  z  36   x  y  z  36 Vậy A 12  x  y z 2 Cách 2:Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho số 1, 1, x, y, z ta có ( x.1  y.1  z.1)  12 12  12   x  y  z  x  y  z Hay  Từ A 3( x  y  z ) ( x  y  z ) 36  12, x, y , z 3 Vậy A 12  x  y  z 2 b) Theo a) ta có A  B 36 A B  3B  A  B 36 nên B 12  max B 12  x  y  z 2 c) Ta có A  B 36 mà B 12 nên: A  B  A  B  B 36  48  min( A  B )  12  x  y  z 2 Dạng chứa dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ 10: 1945  x  A 2015 a) Tìm giá trị lớn biểu thức b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức B  x   x  11 C 4 x   16  (5 x  8) c) Tìm giá trị lớn biểu thức Giải a) Ta ln có: x, x  0 1945  x  1945 1945  x  1945 A  2015 2015 Dấu “=” xảy  x  0  x 4,5 Do max A  1945 389   x 4,5 2015 403 b) Cách 1: Sử dụng Ta có: a  b  a b Dấu “=” xảy  ab 0 B  x   x  11  x   11  x  (2 x  5)  (11  x) 6 Vậy B 6 Dấu “=” xảy  (2 x  5)(11  x) 0 Lập bảng xét dấu: x 2,5 5,5 2x  - + | 11  2x + | + - Vế trái - + - + (2 x  5)(11  x) 0  2,5  x 5,5 Do B 6  2,5  x 5,5 Cách 2: Lập bảng xét giá trị tuyệt đối: x 2,5 5,5 2x  5  2x 2x  | 2x  x  11 11  2x | 11  2x x  11 * Với x  2, ta có B 16  x  (1) * Với 2,5  x 5,5 B 6 (2) 10