Hsg đs8 chuyên đề bất đẳng thức (115 trang)

1 CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC PHẦN I.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT A Kiến thức cần nhớ Định nghĩa * Hệ thức dạng a  b (hay a  b; a  b; a  b ) gọi bất đẳng thức * a  b  a  b  0; a  b  a  b  Tính chất a) a  b  b  a d) Tính chất nhân: b) Tính chất bắc cầu: * a  b  ac  bc c  a  b; b  c  a  c a  b  ac  bc c  a  b; b  c  a  c a  b  ac  bc c  c) Tính chất cộng: * a  b  ac  bc c  a bac bc a  b  ac  bc c  a bac bc a  b  ac  bc c  e) Cộng vế với vế hai bất đẳng thức chiều bất đẳng thức chiều f) Trừ vế hai bất đẳng thức ngược chiều ta bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức thứ (Không trừ vế với vế hai bất đẳng thức chiều) g) a  b   a n  bn  n  ; a  b  a n  b2 n ; a  b  a 2n1  b2n1 h) Với m  n  a   a m  a n ; a   am  an ;  a   am  an i) Nếu ab  a  b 1  a b Các phương pháp chứng minh A  B ; ( A  B tương tự): 1) Dùng định nghĩa chứng minh A  B  (Xét hiệu hai vế) 2) Biến đổi tương đương: A  B  A1  B1  A2  B2   An  Bn ; Nếu An  Bn A  B 3) Phản chứng: Giả sử A  B dẫn tới điều vô lý Vậy A  B 4) Chứng minh quy nạp toán học: + Bước 1: Chứng minh bất đẳng thức với n  n0 + Bước 2: Giả sử bất đẳng thức với n  k  k  n0  , ta chứng minh bất đẳng thức với n  k  Từ kết luận bất đẳng thức với số tự nhiên n  n0 (Phương pháp quy nạp toán học thường sử dụng bất đẳng thức có tham gia n với vai trò số nguyên dương tùy ý số nguyên dương lấy giá trị n0 đó) 5) Phương pháp tổng hợp: + Sử dụng tính chất bất đẳng thức + Sử dụng tính chất bắc cầu (làm trội) A  C; C  B  A  B Một số bất đẳng thức a) a  a Dấu “=” xảy  a  ; b) a  a a Dấu “=” xảy  a  ; c) Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối: * a  b  a  b (Dấu “=” xảy  ab  ) * a  b  a  b (Dấu “=” xảy  ab  a  b ) d) Bất đẳng thức tam giác: với a; b; c cạnh tam giác: a  b  c; a  b  c e) Bất đẳng thức Cauchy (Augustin Louis Cauchy [1789 – 1857 nhà tốn học Pháp]: Với n số khơng âm a1 , a2 , , an  n  * ta có:  a1  a2   an     a1a2 an n   n Dấu “=” xảy  a1  a2   an * Chú ý: Vài dạng bất đẳng thức cụ thể hay gặp sử dụng bổ đề:  ab 2    ab hay  a  b   4ab; a  b  2ab   f) Bất đẳng thức Bunyakovsky [Victor Yakovlevich Bunyakovsky (1804 – 1889) nhà toán học Nga] Với n số  a1; a2 ; ; an  ;  b1; b2 ; ; bn  , ta có:  a1b1  a2b2   anbn    a12  a22   an2  b12  b22   bn2  Dấu “=” xảy  t để  tbi  i  1, n  Nếu bi  dấu “=” xảy  a a1 a2    n b1 b2 bn * Chú ý: Dạng cụ thể hay gặp  a  b2  x  y    ax  by  B Một số ví dụ Ví dụ 1: Cho a b hai số chứng minh 2  ab a b ab       * Tìm cách giải: Bài tốn thực chất gồm hai toán: Chứng minh  ab 1)      a  b2  ab 1 ; 2) ab       2 Từ (1) (2) ta suy kết Với câu 1) 2) ta dùng cách: Biến đổi tương đương; Xét hiệu hai vế; phản chứng tổng hợp Giải Ta chứng minh  ab 1)      a  b2 cách: Cách 1: Biến đổi tương đương: 2 a  2ab  b a  b  ab  a b         a2  2ab  b2  2a  2b2  a  2ab  b2     a  2ab  b2      a  b   (hiển nhiên đúng) Dấu “=” xảy  a  b Cách 2: Xét hiệu 2 a  2ab  b  2a  2b   a  b   ab a b    0   4   2  ab Vậy      a  b2 Dấu “=” xảy  a  b Cách 3: Phản chứng 2  ab  a b Giả sử   a  2ab  b2  2a  2b2      a  2ab  b2     a  2ab  b2      a  b   vô lý  ab Vậy      a  b2 Dấu “=” xảy  a  b Cách 4: Tổng hợp: Ta có:  a  b      a  2ab  b2    a  2ab  b2   a  2ab  b2  2a  2b2  2  ab a b Hay      a  2ab  b2 a  b2  1 Dấu “=” xảy  a  b  ab 2 2) Chứng minh: ab       4ab  a  2ab  b     a  2ab  b2    a  b  hiển nhiên 2  ab a b Từ (1) (2) suy ab   Dấu “=” xảy  a  b      ab * Nhận xét:    ab   a  b   4ab ;    ab Từ toán a) ta suy      a  b4 2  ab a b Thật  hai vế bất đẳng thức dương nên bình phương hai vế ta có     2  ab  a b           2  a  b2  a  b4 1 ; có tốn a) ta lại có      4  ab a b ta có:      Ví dụ 2: a) Chứng minh  a  9 a  8 a   a    1 a b) Chứng minh  a  b2  x2  y    ax  by  a, b x, y Áp dụng chứng minh  x  y  3z   13  x  y  z  yz    Từ (1) (2) * Tìm cách giải: a) Hốn vị nhân tử  a   vế trái thực phép nhân  a   a    a  8 a   ta thấy xuất a  15a hai kết quả, ta nghĩ đến việc đặt ẩn phụ Ta xét hiệu hai vế để chứng minh b) Xét hiệu hai vế biến đổi Giải a) Xét hiệu  a  9 a  6 a  8 a     1   a  15a  54 a  15a  56  Đặt a2  15a  55  b biểu thức  b  1 b  1   b2  Vậy  a  9 a  a  a    1 b) Xét hiệu  a  b2  x  y    ax  by   a2 x2  a y  b2 x2  b2 y  a x  2axby  b2 y  a y  2aybx  b2 x   ay  bx   Vậy  a  b2  x2  y2    ax  by  a, b x, y Dấu “=” xảy  ax  by Áp dụng: Ta viết bất đẳng thức  x  3z  3t   13  x  z  t  zt  Dưới dạng 2 x   z  t    22  32   x   z  zt  t  Hay 2  x   z  t    22  32   x   z  t     Đặt z  t  y  22  32  x2  y    x  y  theo bất đẳng thức vừa chứng minh Ví dụ 3: a) Chứng minh tổng bình phương hai số không nhỏ hai lần tích hai số x b) Chứng minh với x  x   (tổng số dương với nghịch đảo khơng nhỏ 2) c) Chứng minh với a, b, c, d số dương thỏa mãn abcd  ab  cd  a  b2  c  d  * Tìm cách giải: a) Lưu ý  a  b   b) Khử mẫu, chuyển vế xuất bất đẳng thức c) Lưu ý abcd  nên cd  , sử dụng kết b) để chứng minh ab Giải a) Gọi hai số a b Hiển nhiên  a  b    a  2ab  b2   a2  b2  2ab x b) Với x  0; x    x  x     x  1  Dấu “=” xảy  x  c) Đặt ab  x Do a, b, c, d  abcd  nên cd   ab  cd  ab  ab 1  x  ab x * Ta ln có a  b2  2ab c2  d  2cd Nên a2  b2  c2  d   ab  cd   Dấu “=” xảy  a  b  c  d  Ví dụ 4: a) Chứng minh a2  b2  c2  ab  bc  ca, a; b; c b) Chứng minh a  b2  c2   ab  bc  ca  với a; b; c cạnh tam giác * Tìm cách giải: a) Bất đẳng thức có a  b2 ta nghĩ tới sử dụng bất đẳng thức a  b2  2ab ,… b) Với a, b, c ba cạnh tam giác phải sử dụng bất đẳng thức tam giác Giải a) Ta có a2  b2  2ab; b2  c2  2bc; c2  a2  2ac Cộng vế với vế ba bất đẳng thức chiều ta có  a  b2  c    ab  bc  ca   a  b2  c  ab  bc  ca Dấu “=” xảy  a  b  c b) Áp dụng bất đẳng thức ba cạnh tam giác: b  c  a  b  c   a2 c  a  b   c  a   b2 a  b  c   a  b   c2 Do  b  c    c  a    a  b   a  b2  c 2 2  b2  2bc  c2  c2  2ca  a2  a2  2ab  b2  a  b2  c  a  b2  c   ab  bc  ca  * Chú ý: a) Ta cách hay sử dụng: biến đổi tương đương: a2  b2  c2  ab  bc  ca  2a2  2b2  2c2  2ab  2bc  2ca  a2  2ab  b2  b2  2bc  c2  c2  2ac  c2    a  b    b  c    c  a   hiển nhiên 2 Dấu “=” xảy  a  b  c Ví dụ 5: a) Chứng minh với ba số a, b, c tùy ý ta ln có: a  b  c  ab  bc  ca b) Chứng minh  3a    3b    3c   với a  b  c  2 * Tìm cách giải: a) Ta có  a  b  c   a  b2  c2  2ab  2ac  2bc Do biến đổi tương đương cách nhân hai vế với xét hiệu hai vế b) Khó chứng minh trực tiếp Ta đổi biến để chứng minh Giải a  b  c a)  ab  bc  ca   a  b  c   3ab  3bc  3ca Xét hiệu a  b  c  3ab  3bc  3ca  a  b2  c  2ab  2ac  2bc  3ab  3ac  3bc  a  b2  c  ab  ac  bc   2a  2b2  2c  2ab  2ac  2bc   2  a  2ab  b2  b2  2bc  c2  c2  2ac  a   a  b  c   ab  bc  ca 2   a  b    b  c    c  a    Chứng tỏ  2 Dấu “=” xảy  a  b  c * Chú ý: a) Có thể biến đổi tương đương tiếp từ  a  b  c   3ab  3bc  3ca  a  b2  c2   ab  ac  bc    ab  ac  bc   a2  b2  c2  ab  ac  bc bất đẳng thức chứng minh ví dụ Ta dùng cách khác (phản chứng, tổng hợp được) b) Cách 1: Đặt 3a   3x; 3b   y; 3c   3z Do a  b  c  mà  a  b  c     x  y  z  Suy x  y  z  Ta có:  3a    3b    3c   1  3x   1  y   1  3z  2 2 2   x  x2   y  y   z  z    x  y  z    x2  y  z     x  y  z   (do x  y  z  ) Vậy  3a   3b   3c   Dấu “=” xảy  a  b  c  2 Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có: 3  32  32  a  b2  c2    3a  3b  3c    a  b  c   2  27  a  b2  c    9a  9b2  9c  3 Hay  3a    3b    3c   Dấu “=” xảy  a  b  c  2 Ví dụ 6: Chứng minh a  1 với số nguyên dương n, ta có 1  a  n   na (Bất đẳng thức Becnuli) * Tìm cách giải: Bất đẳng thức có xuất n với vai trò số nguyên dương tùy ý Ta sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh Giải Với n  ta có 1  a    a hiển nhiên Giả sử toán với số nguyên dương n  k tức 1  a    ka k Nhân hai vế với số dương 1 a  ta có 1  a  k 1  1  ka 1  a  Ta có 1  ka 1  a    a  ka  ka2    k  1 a  ka2    k  1 a Vậy 1  a  k 1    k  1 a Bài toán với số nguyên dương n   k  1 Theo nguyên lý quy nạp tốn với số ngun dương n Ví dụ 7: Với a, b, c số dương chứng minh rằng: 1  1 a)  a  b      ; a b  1  1 b)  a  b  c       a b c  * Tìm cách giải: Các bất đẳng thức biến đổi vế trái xuất số dương nghịch đảo Do ta sử dụng kết ví dụ 3b): số dương cộng với nghịch đảo khơng nhỏ chứng minh Giải 1 1 a b a a b b a)  a  b               b a b a b a a b (theo ví dụ ta có a b hai số dương nghịch đảo nhau) b a Dấu “=” xảy  a  b 1  1 a a b b c c b)  a  b  c               a b c b c a c a b  a b a c c b  3          3 2 2  b a  c a b c Dấu “=” xảy  a  b  c * Nhận xét: Từ hai bất đẳng thức ta suy toán tương tự: Cho a, b, c, d , e  chứng minh  a  b  c  d   1 1      16 a b c d   a  b  c  d  e   1 1 1       25 a b c d e Tổng quát cho a1; a2 ; a3 ; ; an  ta có 1 1 1       n2 ,  n  2; n  an   a1 a2 a3  a1  a2  a3   an    Chứng minh: 1 1 1      an   a1 a2 a3 Ta có:  a1  a2  a3   an   a a  a a  a a  a a a  a a  a   n             n          n     n1  n   a2 a1   a3 a1   an a1   a3 a2   an a2   an an 1   n   n  1   n     n  3   2.2   n  1     n  1   n   n  n  1  n  n2  n  n2 Dấu “=” xảy  a1  a2  a3   an Ví dụ 8: Cho x; y; z  Chứng minh rằng: 10 x y z    yz zx x y * Tìm cách giải: Ta thấy cộng vào hạng tử vế trái, sau quy đồng mẫu ta thấy xuất nhân tử chung  x  y  z  Vì ta biến đổi vế trái cách thêm bớt số đưa dạng toán chứng minh Giải Biến đổi vế trái ta có:  x   y  x y z   z     1    1    1  yz zx x y  yz   zx   x y   x yz x yz x yz  1           x  y  z 3 zx x y   yz  yz zx x y   1 1     x  y    y  z  z  x    3 3 2  yz zx x y [Áp dụng kết ví dụ 7b với  x  y   a;  y  z   b;  z  x   c ] Ví dụ 9: Cho a, b, c  chứng minh rằng: a)  a  b  b  c  c  a   8abc 1  1    b)           ab bc ca   a b bc ca  * Tìm cách giải: Để có  x  y 2 2  a  b b  c  c  a  thử xét  a  b   b  c   c  a  ta có  xy (bất đẳng thức Cauchy) Giải a) Ta có  a  b   4ab Tương tự  b  c   4bc;  c  a   4ca 2 Do a, b, c  nên vế ba bất đẳng thức dương nên ta nhân vế với vế được:  a  b  b  c   c  a  2  64a 2b2c   a  b b  c  c  a   8abc  2   a  b  b  c  c  a   8abc biểu thưc ngoặc [ ] dương Dấu “=” xảy  a  b  c b) Ta có 1 a  b  c 8a  b  c     ab bc ca abc 8abc Từ câu a) chứng minh  a  b  b  c  c  a   8abc ta có: 101 b c 1  a  1 a  a  a c 1 Từ a  b  c       b b b a b 1 c  1 c  c  1 a b a c  b c    3           a b c b a c a c b  3 2 2   Dấu "  " xảy  a  b  c  Bài 120: Cho a, b, c > 0; a + b + c = a b c    2 1 b 1 c 1 a Chứng minh rằng: Lời giải Do a, b > + b2 ≥ 2b với b nên Tương tự ta có : a ab2 ab ab  a   a  a 2 1 b 1 b 2b b bc c ca b ; c 2 1 c 1 a mà a + b + c = nên a b c ab  bc  ca (1)    3 2 1 b 1 c 1 a Cũng từ a + b + c =  (a + b + c)2 =  a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = mà a2 + b2 ≥ 2ab; b2 + c2 ≥ 2bc; c2 + a2 ≥ 2ac nên a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca suy 3(ab + bc + ca)   ab + bc + ca  (2) Từ (1) (2) suy a b c 3      đpcm 2 1 b 1 c 1 a 2 Đẳng thức xảy a  b  c  Bài 121: Cho ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng: Lời giải Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với ta có: 102 Dấu “=”xảy Thật vậy, với ta có: ( ln đúng) Dấu “=” xảy Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có: Dấu “=” xảy Ta có: Áp dụng BĐT (*) ta có : (Vì abc = 1) Hay Mà nên : Vậy Bài 122: Cho số thực dương thỏa mãn x + y + z =3 Chứng minh rằng: 103 Lời giải Đặt Áp dụng BĐT : với a,b,c dương; dấu xảy a = b = c Ta có: Bởi (đpcm) Bài 123: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  Chứng minh Lời giải Ta có:  x  y   xy (1)   x  y   z   4( x  y) z  36  4( x  y) z (vì x  y  z  )  36( x  y)  4( x  y)2 z (vì x, y dương nên x + y dương) (2) Từ (1) (2), ta có: 36( x  y)  16 xyz  x y  x y xyz   (đpcm) xyz Bài 124: Cho a, b, c  Chứng minh a b c  1 1        2 2 2 3a  2b  c 3b  2c  a 3c  2a  b a b c Lời giải x y  xyz 104 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM với a, b, c  ta có 18a 18a   2 3a  2b  c  a  b   a  c 2.2 18a  ab  2 2  ac   18a 4ab  2ac 18a 18a 18a    2 3a  2b  c 4ab  2ac 2a  2b  c  2b  c a b2  a  b  p dụng BĐT Cauchy Schwarz   x y x y   1 Ta có: 2b  c  22 12    2b c b c   1   18a   Suy : 2 3a  2b  c  2b  c  2b  c b c Tương tự:   1   18b   2 3b  2c  a  2c  a  2c  a c a   1   18c   3c  2a  b2 2a  b 2a  b a b Cộng vế với vế BĐT ta có: 18a 18b 18c 2         2 2 2 3a  2b  c 3b  2c  a 3c  2a  b c a b c a b a b c 1 1  3 3        :18       DPCM 2 2 2 3a  2b  c 3b  2c  a 3c  2a  b  a b c  a b c Bài 125: Cho a, b, c số thực dương Chứng minh bất đẳng thức: ab bc ca 1      2 bc  a ac  b ab  c a b c Lời giải Ký hiệu vế trái A, vế phải B, xét hiệu A  B ab bc ca      2 bc  a a ac  b b ab  c c a  ab  bc  a b  bc  ac  b c  ac  ab  c    a  bc  a  b  ac  b  c  ab  c   b a  c a  bc  a   c b  a  b  ac  b   a c  b c  ab  c  Do a, b, c bình đẳng nên giả sử a  b  c, b  a  c   0, c  b  a   , a  c  b   105 a3  b3  c3  abc  a3  abc  b3  abc  c3  b a  c  A B   a b  c  b  ac  b Mà b  ac  b    c b  a  b  ac  b   a c  b c  ab  c  b a  c a  bc  a    b a  c b  ac  b  ab  ac ac  ab  b  ac  b  c  ab  c  a b  c   c  ab  c  1 nên A  B  đpcm  b  ac  b  c  ab  c  Bài 126: Cho a, b, c số không âm không lớn thỏa mãn a  b  c  Chứng minh a2  b2  c2  Lời giải Từ giả thiết ta có:   a   b   c      ab  bc  ca    a  b  c   abc  Cộng hai vế với a  b2  c2 , sau thu gọn ta được: a  b  c  a  b2  c  abc   a  b2  c  abc  Mà abc  nên a2  b2  c2  Dấu xảy ba số a, b, c có số 0, số 2, số       1      1    Bài 127: Chứng minh rằng:  a   b   c     a   b   c   , a, b, c b c a a b c số thực không nhỏ Lời giải   1    1  c)  a   b   c     a   b   c   b  c  a  a  b  c  2 ab  1 bc  1 ca  1  a  1 b  1 c  1    abc abc   ab  1 bc  1 ca  1   a  1 b  1 c  1  a 2b 2c  abc  a  b  c    ab  bc  ca   a 2b 2c  a  b  c   a 2b  b 2c  c a    a 2b  b 2c  c a   2abc  a  b  c    a  b  c    ab  bc  ca    ab  bc    bc  ca    ca  ab    a  b    b  c    c  a  2 2 2   a  c   b2  1   b  a   c  1   c  b   a  1  (đúng với a, b, c  1) 2 106 Bài 128: Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: A a b c   3 b c a a c b a b c Lời giải Đặt b  c  a  x  0; c  a  b  y  0; a  b  c  z  từ suy a  yz xz x y ;b  ;c  ; 2 Thay vào ta được: A  Từ suy A  y  z x  z x  y  y x   x z   y z                  2x 2y 2z  x y   z x   z y       hay A  Bài 129: Chứng minh rằng: P  1 1     1 2 1002 Lời giải Ta có: 1 1     2 1002 1 1      2.2 3.3 4.4 100.100 1 1      1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 1 1 99           1  1 2 3 99 100 100 100 P Bài 130: Chứng minh bc ac ab    a  b  c với số dương a, b, c a b c Lời giải Với số dương a, b, c ta có:  bc    ac    ab   a  b  c bc ac ab    abc  a b c abc abc abc 2   bc    ac    ab   a 2bc  b ac  c ab 2   bc    ac    ab   2a 2bc  2b ac  2c ab  2 2 2 2   ac   2a 2bc   ab     bc   2b ac   ab     ac   2c ab   bc          107   ac  ab    bc  ab    ac  bc   2 BĐT cuối nên ta có điều phải chứng minh Bài 131: Cho a, b, c cạnh tam giác Chứng minh : A a b c   3 b c a a c b a b c Lời giải Đặt b  c  a  x  0; c  a  b  y  0; a  b  c  z  Từ suy a  yz xz x y ;b  ;c  2 Thay vào ta được: A  Từ suy A  y  z x  z x  y  y x   x          2x 2y 2z  x y   z z   y z       x   z y      hay A  Bài 132: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: a  bc b  ca c  ab   2 bc ca ab Lời giải Nhận xét có: a  bc  a  a  b  c   bc   a  b  c  a  Tương tự có: b  ca   b  a  b  c  ; c  ab   c  a  c  b  Do VT   a  b  a  c    b  a  b  c    c  a  c  b  bc ca a b Áp dụng bất đẳng thức Cơ – si ta có:  a  b  a  c    b  a  b  c    a  b bc ca  a  b  a  c    c  a  c  b   a  c   bc ab  b  a  b  c    c  a  c  b   b  c   ac ab Vậy 2.VT  a  b  c   hay Đẳng thức xảy a  b  c  VT  Bài 133: Cho x, y  Chứng minh :  x y x2 y    3   y x  y x 108 Lời giải x y   với x, y  y x Học sinh chứng minh  x y x y    0;    y x y x x y  x y         1  y x  y x    x y  x y x2 y             y x  y x  y x   x y x2 y    3   y x  y x Dấu "  " xảy  x  y  Bài 134: Biết a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a  b2  c   4a 2b2  Lời giải a  b  c   4a 2b   a  b  c  2ab  a  b  c  2ab  2   a  b   c   a  b   c        a  b  c  a  b  c  a  c  b  b  c  a  Tổng hai cạnh tam giác lớn cạnh thứ ba nên thừa số dương, suy điều phải chứng minh Bài 135: Cho a, b, c số dương Chứng minh: 1 27    a  a  b  b  b  c  c(c  a) 2(a  b  c)2 Lời giải p dụng BĐT Cô si cho ba số dương ta được: 1    a(a  b) b(b  c) c(c  a) abc  a  b  b  c  c  a  Cũng theo BĐT Cô si : (*) 109  33 abc   a  b  c  1  33. a  b  b  c  c  a    a  b  c  3 Nhân tương ứng hai vế BĐT (1) (2) được: 36 abc  a  b  b  c  c  a    a  b  c  Hay 27  **  abc(a  b)(b  c )(c  a ) 2 a  b  c Từ * ** suy 1 27    a(a  b) b(b  c) c(c  a )  a  b  c 2 Dấu "  " xảy a  b  c Bài 136: Chứng minh bất đẳng thức: a b c    với a  b  c  ab bc ca Lời giải Gọi vế trái A, ta có:  a 1  b 1  c 1        ab 2 bc 2 ca 2 a b bc ca     a  b b  c  c  a  A  a b b  a    a  c   c  a  2a  b 2b  c  2c  a a b  1  ac  1        ab bc bc ca a b ca ac a b    a  b  b  c   b  c   c  a    a  b  a  c   1     2b  c   a  b c  a   a  b  a  c  b  c   0( Do a  b  c  0)   b  c  a  b  c  a   Vậy A  2 Bài 137: Cho a  b  Chứng minh a  b  (2) 110 Lời giải Từ a  b   a   b  a   2b  b2 , thay vào đẳng thức cần chứng minh ta có:  2b  2b2   4b2  4b     2b  1  BĐT Vậy a  b  2  a   2 Dấu "  " xảy   2b  1    b    Bài 138: Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: A  a b c   3 bc a a c b a bc Lời giải Đặt b  c  a  x  0; Từ suy a  c  a  b  y  0; abc  z 0 yz xz x y ;b  ;c  2 Thay vào ta được: A y  z x  z x  y  y x   x z   y z                  2x 2y 2z  x y   z x   z y   Từ suy A      hay A   a  b  c Bài 139: Cho số dương a, b, c có tổng Chứng minh rằng: 1   9 a b c Lời giải b c 1 a 1 a  a  a c 1 Từ a  b  c       c b b a b 1 c 1 c  c   1 a b a c  b c    3          3 2 2  a b c b a c a c b 111 Dấu “=” xảy  a  b  c  Bài 140: Cho x, y thỏa mãn xy  Chứng minh rằng: 1    x  y  xy Lời giải 1   2  x  y  xy (1)  1   1        0 2   x  xy    y  xy  x y  x y x  y   0 1  x2  1  xy  1  y  1  xy   y  x   xy  1     1  x2 1  y  1  xy  Vì x  1; y   xy   xy    B ĐT (2) nên BĐT (1) Dấu "  " xảy  x  y Bài 141: Chứng minh bất đẳng thức sau: x2  y  z  xy  xz  yz với x, y, z Lời giải Có  x  y    y  z    z  x   với x, y, z 2  x2  xy  y  y  yz  z  z  zx  x    x  y  z    xy  yz  xz   x  y  z  xy  yz  xz (dfcm) Bài 142: Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn abc  Chứng minh rằng: 1    a b  c  b c  a  c  a  b  Lời giải Trước tiên ta chứng minh BĐT: Vơi a, b, c  a b2 c  a  b  c     x y z x yz (*) x, y, z  ta có: 112 Dấu "  " xảy  a b c   x y z x, y  ta có: Thật vậy, với a, b a b2  a  b    x y x y (**)   a y  b x   x  y   xy (a  b)2   bx  ay   (luôn đúng) Dấu "  " xảy  a b  x y Áp dụng bất đẳng thức ** ta có: a b2 c  a  b  c  a  b  c       x y z x y z x yz Dấu "  " xảy  a b c   x y z 1 2 1    a  b  c Ta có: a  b  c  b (c  a ) c (a  b) ab  ac bc  ab ac  bc Áp dụng BĐT (*) ta có : 1 1 1     2 a b c a  b  c    ab  ac bc  ab ac  bc  ab  bc  ac  1 1      a b c  (Vì abc  1) 1 1 2    a b c Hay 1 a  b2  c        ab  ac bc  ab ac  bc  a b c  1 2 1 a Mà    nên  b  c  a b c ab  ac bc  ab ac  bc 113 Vậy 1    (đpcm) a3 b  c  b c  a  c a  b  Bài 143: Cho x, y, z số lớn Chứng minh rằng: 1   2  x  y  xy Lời giải 1    x  y  xy (1)  1   1      0 2  x  xy  y  xy     x( y  x) y( x  y)   0 1  x2  1  xy  1  y  (1  xy)  y  x   xy  1  1  x 1  y  (1  xy) 2 0 (2) Vì x  1; y   xy   xy    BĐT (2) nên BĐT (1) Dấu “=” xảy x  y Bài 144: a) Cho a, b, c cạnh tam giác, p nửa chu vi CMR: 1 1 1    2.    p a p b p c a b c b) Cho a, b, c, d số dương Chứng minh rằng: Lời giải Ta có:  pa  p b  pc   p b p a  p b c   pc pa pc a   pa pc pa b a b bc c d a d    bc cd d a ab 114 Cộng vế ta có điều phải chứng minh b)Ta có: a b bc c d a b a b b c c d d a        0 bc cd d a a b b c c d d a a b ac bd ca d b     4 bc cd d a ab Xét ac bd ca d b    4 bc cd d a ab      a  c     b  d   4 bc d a cd ab 4   a  c    b  d  40 abcd abcd  đpcm Dấu "  " xảy a  b  c  d 115