CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC chebyshev

THPT CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV Người hướng dẫn: Thầy Trương Trọng Khánh Nguyễn Trọng Nghĩa 1/23/2016 Tặng các bạn học sinh lớp 10 Tốn 2 Em xin cảm ơn thầy Trương Trọng Khánh - GVCN lớp 10 Tốn 2 đã hết lòng hướng dẫn, chỉ bảo cho em để hồn thành bài viết này LƯU HÀNH NỘI BỘ |2 Mục Lục Một số kí hiệu trong bài viết I Bất đẳng thức Chebyshev 4 a) Bất đẳng thức Chebyshev cho 2 dãy đơn điệu cùng chiều b) Bất đẳng thức Chebyshev cho 2 dãy đơn điệu ngược chiều 4 II Các ví dụ III Một số lưu ý về kĩ thuật phân tách bất đẳng thức Chebyshev 25 1.”Giả sử ”: 25 Kỹ thuật phân tách bất đẳng thức Chebyshev: 25 IV Bài tập đề nghị 28 LƯU HÀNH NỘI BỘ |3 Một số kí hiệu trong bài viết  - Tổng hốn vị cyc VD  a 3b  a3b  b3c  c3a cyc  - Tổng đối xứng sym a ,b , c , d VD  ab  ab  ac  ad  bc  bd  cd sym  - Tích hốn vị cyc VD  (a  b)  (a  b)(b  c)(c  a) cyc LƯU HÀNH NỘI BỘ |4 I Bất đẳng thức Chebyshev a) Bất đẳng thức Chebyshev cho 2 dãy đơn điệu cùng chiều Cho 2 dãy hữu hạn số thực a1  a2   an b1  b2   bn a1  a2   an b1  b2   bn Khi đó ta có a1b1  a2b2   anbn a1  a2   an b1  b2   bn  n n n Hay n(a1b1  a2b2   anbn )  (a1  a2   an ) (b1  b2   bn ) Đẳng thức xảy ra khi a1  a2   an b1  b2   bn Chứng minh: Theo bất đẳng thức hoán vị a1b1  a2b2   anbn  a1b2  a2b3   anb1 Ta có a1b1  a2b2   anbn  a1b3  a2b4   anb2 a1b1  a2b2   anbn  a1bn  a2b1   anbn 1 Cộng vế với vế , ta được n(a1b1  a2b2   anbn )  (a1  a2   an ) (b1  b2   bn ) ∎ b) Bất đẳng thức Chebyshev cho 2 dãy đơn điệu ngược chiều Cho 2 dãy hữu hạn số thực a1  a2   an b1  b2   bn Khi đó ta có a1b1  a2b2   anbn (a1  a2   an ) (b1  b2   bn )  n n n a1  a2   an b1  b2   bn LƯU HÀNH NỘI BỘ |5 Hay n(a1b1  a2b2   anbn )  (a1  a2   an ) (b1  b2   bn ) Đẳng thức xảy ra khi a1  a2   an b1  b2   bn II Các ví dụ Ví dụ 1 (Bất đẳng thức Nesbitt) Cho a, b, c  Chứng minh rằng a b c    bc ca ab Lời giải Khơng mất tính tổng qt, giả sử a  b  c  b  a  a  c  c b  1   bc ca ab abc0 Ta có 1   0 bc ca ab Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev , ta có a b c 1 1    (a  b  c)(   ) bc ca ab ab bc ca  (a  b  c) ( Bất đẳng thức Schwarz) 2(a  b  c)  Vậy a b c    bc ca ab Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c ∎ Ví dụ 2 Cho a, b, c  Chứng minh rằng  (b  c) bc  2 a (b  c  2a) b  c  2a Lời giải Khơng mất tính tổng qt, giả sử a  b  c LƯU HÀNH NỘI BỘ |6  bc ca ab   a b c bc ca ab   b  c  2a c  a  2b a  b  2c Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev , ta có (b  c) bc bc  a(b  c  2a)   a  b  c  2a  2 bc (Áp dụng bất đẳng thức Cauchy) b  c  2a Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c ∎ Ví dụ 3 Cho a, b, c  thỏa mãn 1    1 a  b 1 b  c 1 c  a Chứng minh rằng a  b  c  ab  bc  ca Lời giải Khơng mất tính tổng qt, giả sử a  b  c  a  ab  ac  b  bc  ba  c  ca  cb Và 1   1 a  b 1 b  c 1 c  a Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho 2 dãy đơn điệu cùng chiều, ta có 3 a  3 (ab  ac  a ) Theo giả thiết 1   (ab  ac  a ) b  c 1 b  c 1 1    1 a  b 1 b  c 1 c  a  3 a   (ab  ac  a)   a   bc Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c ∎ Ví dụ 4 Cho a, b, c  thỏa mãn a  b  c  LƯU HÀNH NỘI BỘ |7 Chứng minh rằng  a  1 a  a Lời giải Khơng mất tính tổng qt, giả sử a  b  c  1   1 a 1 b 1 c abc Ta có 2 dãy đơn điệu cùng chiều 1   1 a 1 b 1 c Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev, ta có  a 1   a 1 a 1 a   1  1 a  1 a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có (  a )  3 (1  a)  3(3  a  b  c)    1 a   a 3 (1)   1 a Lại có ( a )2  3 a    a  (2) Kết hợp (1) và (2), ta có  a  1 a  a Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c ∎ LƯU HÀNH NỘI BỘ |8 n Ví dụ 5 Tổng quát của Ví dụ 4.Cho n số x1 , x2 , , xn  sao cho  xi  i 1 n n Chứng minh rằng  i 1 xi  xi   xi i 1 n 1 Lời giải Khơng mất tính tổng qt, giả sử x1  x2   xn x1  x2   xn Ta có 2 dãy đơn điệu cùng chiều 1     x1  x2  xn Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev, ta có n  i 1 xi   xi  n n x  i n i 1 i 1  xi n n   xi i 1 n n i 1 i 1 Lại có (  xi )  n(n   xi )  n(n  1) n xi n n   (1) n 1  xi n(n  1)  i 1 n n i 1 i 1 Mà ( xi )2  n xi  n n   xi  n (2) i 1 Kết hơp (1) và (2) n n  i 1 xi  xi   xi i 1 n 1 LƯU HÀNH NỘI BỘ |9 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1  x2   xn ∎ Ví dụ 6 Cho a, b, c  R \ 0 Chứng minh rằng A   a2  2 a  (b  c) Lời giải Ta có A   a2 a2   a2  2(b2  c2 ) ( Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz) a  (b  c) Khơng mất tính tổng qt, giả sử a  b  c  a2  b2  c2  1   2 2 a  2(b  c ) b  2(c  a ) c  2(a  b ) a  b2  c2 Ta có 2 dãy đơn điệu cùng chiều 1   2 2 2 a  2(b  c ) b  2(c  a ) c  2(a  b ) Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev, ta có a2 1  a  2(b2  c2 )   a2  a  2(b2  c2 )  a2   5 a Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c ∎ Ví dụ 7 Cho a, b, c  thỏa mãn  a  Tìm min P  Lời giải a  b2 b2  c2 c2  a2   bc ca ab L Ư U H À N H N Ộ I B Ộ | 10 a  b b2  c c  a a  c b  a c  b2 Ta có P       bc ca ab bc ca ab  a  b b  c c  a (a  b  c )  a     bc ca ab bc  Vậy ta cần tìm min A  1  a2  bc 1  a2  bc Theo bất đẳng thức Chebyshev, dễ chứng minh A  P A 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  ∎ Ví dụ 8 Cho a, b, c, d  Chứng minh rằng a  b3  c a  b3  d a  c  d b3  c  d      a abc abd acd bcd a ,b , c , d Lời giải Khơng mất tính tổng qt, giả sử a  b  c  d  a  b3  c3  ( a  b  c)(a  b  c ) a  b3  c a  b  c   abc Chứng minh tương tự rồi cộng theo vế , ta được ĐPCM Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  d ∎ a3  a Ví dụ 9 Cho a, b, c  Chứng minh rằng   cyc a  ab  b a3 b3 Lời giải Vì   2 cyc a  ab  b cyc a  ab  b L Ư U H À N H N Ộ I B Ộ | 18 Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev, ta có 1 a 1 b 1 c 1 d 1 e     2 2 (4  a)(4  a ) (4  b)(4  b ) (4  c)(4  c ) (4  d )(4  d ) (4  e)(4  e2 ) 1 a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 1  (     )(     )  2 2 4a 4b 4c 4d 4e 4a 4b 4c 4d  e2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  d  e ∎ Ví dụ 16 Cho a, b, c, d  sao cho a  b  c  d  Chứng minh rằng 1  a ,b ,c , d 11  a  Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 1 (  )0 11  a a ,b ,c , d 12    a2 1   a ,b ,c , d 11  a  a ,b ,c , d (a  1) a 1 0 11  a Khơng mất tính tổng qt, giả sử a  b  c  d Xét (a  1)(11  b )  (b  1)(11  a )  (b  a )(ab  11  b  a )   (a  1)(11  b )  (b  1)(11  a )  a 1 b 1  11  a 11  b Chứng minh tương tự, ta được a 1 b 1 c 1 d 1    2 11  a 11  b 11  c 11  d Và đã có a   b   c   d  Nên áp dụng bất đẳng thức Chebyshev, ta có L Ư U H À N H N Ộ I B Ộ | 19  (a  1) a ,b , c , d a 1 a 1   (a  1)  0 2 11  a a ,b ,c , d a ,b ,c , d 11  a Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  d  ∎ a  bc  Ví dụ 17 Cho a, b, c   k  Chứng minh rằng  2 b  c  ka Lời giải Ta sẽ đưa bất đẳng thức về dạng  (a  bc)(b  c)  (b  c  ka )(b  c) Khơng mất tính tổng qt, giả sử a  b  c  (a  bc)(b  c)  (b  ca )(c  a)  (c  ab)(a  b) Xét (b  c  ka )(b  c)  (c  a  kb2 )(c  a )  (a  b)(a  b  c  (k  1)(ab  bc  ca))  0(0  k  2)  (b  c  ka )(b  c)  (c  a  kb )(c  a)  1  2 (b  c  ka )(b  c) (c  a  kb )(c  a) 2 Tương tự 1  2 (c  a  kb )(c  a) (a  b  kc )(a  b) 2 (a  bc)(b  c)  (b  ca)(c  a)  (c  ab)(a  b) Ta có 1   (b  c  ka )(b  c) (c  a  kb )(c  a) (a  b  kc )(a  b) Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev, ta có (a  bc)(b  c) 1  (b2  c2  ka )(b  c)   (a2  bc)(b  c) (b2  c  ka )(b  c) Dễ thấy  (a  bc)(b  c)   (a  bc)(b  c) 0 (b  c  ka )(b  c) L Ư U H À N H N Ộ I B Ộ | 20 Nếu k  thì đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c Nếu k  thì đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (a; b; c)  (1;1; 0) và các hốn vị ∎ Vậy bất đẳng thức được chứng minh Ví dụ 18 Cho a, b, c  thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng  Lời giải Ta sẽ đưa bất đẳng thức về dạng  (    )0 a a3 a2  a  a2  a  a 1 0 a  1 a Khơng mất tính tổng qt, giả sử a  b  c  a   b   c  (1) a b Xét (a   1)  (b   1)  a  b  ba ab  (a  b)(1  a )  (do a  b  ) ab 3 1  b  1 a b b c Chứng minh tương tự b    c    1 (2)   3 a  1 b  1 c  1 a b c Từ (1) và (2) áp dụng bất đẳng thức Chebyshev, ta có  a a3 L Ư U H À N H N Ộ I B Ộ | 21  a 1 1  ( a  3)( )0 3 a  1 a  1 a a Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  ∎ Vậy bất đẳng thức được chứng minh Ví dụ 19 Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng    ab Lời giải Đặt x  ab, y  bc, z  ca Ta viết lại bất đẳng thức về dạng    9 x 1 x  9 x Bây giờ ta cần chọn a x , a y , a z sao cho (ax (1  x), a y (1  y ), az (1  z )) ( 1 , , ) là 2 dãy đơn điệu cùng chiều (*) ax (9  x) a y (9  y ) az (9  z ) Ta thường chọn ax    x, a y    y, az    z (  x )(1  x )  (  y )(1  y )  ( y  x )( y  x    1) (1) Xét 1 ( x  y )( x  y    9) (2)   (  x)(9  x) (  y )(9  y ) (  x)(9  x)(  y )(9  y ) Từ (1) và (2) suy ra ta chọn   để (*) thỏa mãn và khi áp dụng bất đẳng thức Chebyshev, ta được kết quả thuận lợi nhất Đặt ax   x, a y   y, az   z Khơng mất tính tổng qt, giả sử x  y  z Ta có (6  x)(1  x)  (6  y )(1  y )  ( y  x)( y  x  3)   (6  x)(1  x)  (6  y )(1  y ) L Ư U H À N H N Ộ I B Ộ | 22  1 ( x  y )( x  y  3)    (6  x)(9  x) (6  y )(9  y ) (6  x)(9  x)(6  y )(9  y ) 1  (6  x)(9  x) (6  y )(9  y ) Chứng minh tương tự như vậy, ta thu được: (6  x )(1  x )  (6  y )(1  y )  (6  z )(1  z ) 1   (6  x)(9  x) (6  y )(9  y ) (6  z )(9  z ) Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev, ta có 1 x (1  x)(6  x) 1   x   (6  x)(9  x)   (6  x)(1  x) (6  x)(9  x) Ta cần chứng minh  (6  x)(1  x)   18  59 x   x    a 2b2  5 ab  18  ( ab)  5 ab  6(abc  3) Áp dụng bất đẳng thức p, q, r ta chứng minh được: 3(abc  3)  4 ab Như vậy ta cần chứng minh ( ab)2  5 ab  8 ab   ab  (đúng với a  b  c  ) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  ∎ Vậy bất đẳng thức được chứng minh Ví dụ 20 Cho x, y, z  thỏa mãn  xy  Chứng ming rằng  Lời giải Đặt a  yz , b  zx, c  xy x  yz  3xyz L Ư U H À N H N Ộ I B Ộ | 23   a  Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với  bc bc , Q   a3 a 3 Đặt P   Xét Q   bc bc 1 1    bc(  )  a  4 a3 ( a  b)  ( a  c ) ab ac Vậy Q  Giờ ta cần chưng minh P  Q  Q P   (   bc bc  )  a3 a 3 abc (1  a )  (a  3)( a  3) (1  a )  a (a  3)( a  3) Khơng mất tính tổng qt, giả sử a  b  c Ta có 2 dãy đơn điệu cùng chiều 1 a  1 b  1 c 1   a (a  3)( a  3) b (b  3)( b  3) c (c  3)( c  3) Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev, ta có  (1  a ) 1  (3   a ) a (a  3)( a  3) a (a  3)( a  3) Dễ chứng minh  a  ( do  a  )    a  bc  a 3 L Ư U H À N H N Ộ I B Ộ | 24  (1  a ) 0 a (a  3)( a  3) Hay P  Q  P  Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  ∎ L Ư U H À N H N Ộ I B Ộ | 25 III Một số lưu ý về kĩ thuật phân tách bất đẳng thức Chebyshev 1.”Giả sử ”: Giả sử a  b  c  thì ta có các bất đẳng thức tương đương sau đây 1 1   a b c 1   1 a 1 b 1 c a b c   a 1 b 1 c 1 1   1 a 1 b 1 c a b c   bc ca ab 1   a(1  b  c) b(1  c  a) c(1  a  b) 7.a  bc  b  ca  c  ab a2 b2 c2   a  bc b  ca c  ab 9.a  bc  b  ca  c  ab ( với a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác) 10.(a  bc)(b  c)  (b2  ca )(c  a)  (c  ab)(a  b) Kỹ thuật phân tách bất đẳng thức Chebyshev: Ở nhiều trường hợp , ta cần đưa các bất đẳng thức về một dạng chuẩn để việc sử dụng bất đẳng thức Chebyshev đạt được hiệu quả lớn nhất Ta cố gắng đưa bài toán bất đẳng thức về dạng: c1 x  c2 y  c z  , trong đó : +) x  a  b , y  b  c , z  c  a và các hoán vị L Ư U H À N H N Ộ I B Ộ | 26 +) x  ka  mb  nc , y  kb  mc  na , z  kc  ma  nb và các hoán vị ( với x  y  z  t ( a  b  c ) ) +) x  a  bc , y  b  ca , z  c  ab và các hoán vị +) x  (a  b)(a  c) , y  (b  c)(b  a ) , z  (c  a )(c  b) và các hoán vị +) x  (a  b) , y  (b  c)2 , z  (c  a ) … Các biểu thức c1 , c2 , c phụ thuộc vào việc phân tách x, y, z Ta sẽ xét tất cả các mối quan hệ của các bộ hoán vị , cùng với điều kiện của chúng, giúp cho việc sử dụng dễ dàng Xét các bộ hoán vị sau c1 x  c2 y  c z c1 x  c2 z  c y c1 y  c2 x  c z c1 y  c2 z  c x và so sánh với S  (a  b  c)( x  y  z ) c1 z  c2 x  c y c1 z  c2 y  c x  Cho 2 dãy tăng : c1  c2  c x1  x2  x3 1.c1 x  c2 y  c z  S a, b, c, x, y , z 2.c1 x  c2 z  c y  S  3.c1 y  c2 x  c z  S  4.c1 y  c2 z  c x  S  c1  c3  2c2 x  z  2y 2c2  c1  c3 2y  x  z 2c2  c1  c3 x  z  2y thì ta có được: L Ư U H À N H N Ộ I B Ộ | 27 5.c1 z  c2 x  c y  S  c1  c3  2c2 2y  x  z 6.c1 z  c2 y  c x  S c1 , c2 , c3 , x, y, z  Chú ý, để chứng minh x1 y1  x2 y2   xn yn  , ta có thể chưng minh : x a1 (a1 y1 )  x2 x (a2 y2 )   n ( an yn )  a2 an Sao cho a1 , a2 , , an là các số thực thỏa mãn điều kiện 2 bộ số ( x1 x2 x , , , n ) a1 a2 an (a1 y1 , a2 y2 , , an yn ) Sau đó áp dụng bất đẳng thức Chebyshev, ta đưa bất đẳng thức về dạng đơn giản hơn, dễ chứng minh hơn: x1 x2 x    n  a1 a2 an a1 y1  a2 y2   an yn  L Ư U H À N H N Ộ I B Ộ | 28 IV Bài tập đề nghị Cho 6 số thực a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3 sao cho a1  a2  a3 b1  b2  b3 Chứng minh rằng a1b1  a2b2  a3b3  (a1  a2  a3 )(b1  b2  b3 ) Cho a, b, c  (0;1) Chứng minh rằng A   Cho a, b, c  Chứng minh rằng  a 3 abc   a  abc 2a  (b  c) bc Cho a  b  c  abc  Chứng minh rằng   ab  ab  3 a (b  c) c ( a  b) Cho a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác đối diện với ba góc , , của tam giác đó  Chứng minh rằng  a A  b.B  c.C   abc n n i 1 i 1 Chứng minh rằng n   ai3  ( )3 ab  a với 2b  a  c 6 Cho a, b, c  Chứng minh rằng  c  bc a a4 Cho a, b, c  Chứng minh rằng  3   cyc a  b Cho a, b, c  Chứng minh rằng  cyc a3  a  2 2a  b 10 Cho a, b, c  Chứng minh rằng  a 2( a  bc )  2 bc 11 Cho a, b, c  thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng   ab  L Ư U H À N H N Ộ I B Ộ | 29 a  bc 12 Cho a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác Chứng minh rằng  2  3a  b  c 13 Cho a, b, c, d  sao cho a  b  c  d  Chứng minh rằng 14 Cho a, b, c  sao cho  1  Chứng minh rằng   a 1 a 1 15 Cho a, b, c  Chứng minh rằng   a ,b ,c , d  abc  a  a  (b  c)2 L Ư U H À N H N Ộ I B Ộ | 30 L Ư U H À N H N Ộ I B Ộ | 31 L Ư U H À N H N Ộ I B Ộ | 32 ... Một số kí hiệu trong bài viết I Bất đẳng thức Chebyshev 4 a) Bất đẳng thức Chebyshev cho 2 dãy đơn điệu cùng chiều b) Bất đẳng thức Chebyshev cho 2 dãy đơn điệu ngược chiều ... III Một số lưu ý về kĩ thuật phân tách bất đẳng thức Chebyshev 25 1.”Giả sử ”: 25 Kỹ thuật phân tách bất đẳng thức Chebyshev: 25 IV Bài tập đề nghị ... VD  (a  b)  (a  b)(b  c)(c  a) cyc LƯU HÀNH NỘI BỘ |4 I Bất đẳng thức Chebyshev a) Bất đẳng thức Chebyshev cho 2 dãy đơn điệu cùng chiều Cho 2 dãy hữu hạn số thực a1  a2   an