BẤT ĐẲNG THỨC THI CHUYÊN TOÁN

NGUYỄN NHẤT HUY TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Tuyển tập số toán bất đẳng thức kì thi chun tốn 2020 Ngày 15 tháng 10 năm 2020 Tóm tắt nội dung Vậy mùa tuyển sinh vào 10 lại qua với xuất nhiều tốn hay khó sở đưa Và năm, bất đẳng thức chủ đề quen thuộc với vấn đề tương đối khó cần bạn học sinh có kỹ phân tích biến đổi tốt để giải chúng Với danh nghĩa học sinh trải qua mùa thi vừa đỗ trường chuyên tiếng Chuyên KHTN Hà Nội Chuyên Phan Bội Châu, xin mạnh dạn viết lên chuyên đề "Tuyển tập số toán bất đẳng thức kì thi chun tốn 2020" với mục đích nhìn lại tốn qua giúp em khóa sau có tài liệu để ơn tập đạt kết cao Trong tài liệu có trình bày kiến thức lời giải toán thi mùa thi vừa rồi, tiếp chuyên đề giúp bạn nhập mơn với kỹ thuật khó Để hồn thành chuyên đề này, xin cảm ơn tới anh Nguyễn Minh Tuấn dạy kĩ sử dụng LATEX thiết kế lên tài liệu mà bạn đọc, bên cạnh anh người tư vấn giúp tơi vấn đề thiếu sót mặt kiến thức Vì cịn chưa có kinh nghiệm nhiều tuổi đời kiến thức nên chắn q trình biên soạn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, mong bạn đọc thầy góp ý bỏ qua Cuối xin cảm ơn người ủng hộ dõi theo Mục lục Các kiến thức bất đẳng thức 1.1 Một số kí hiệu sử dụng tài liệu 1.2 Bất đẳng thức AM – GM 1.3 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz 1.4 Điều kiện có nghiệm phương trình 2 Các tốn kì thi chun tốn Giới thiệu số phương pháp chứng minh bất đẳng thức khác 38 3.1 Tam thức bậc phương pháp miền giá trị 38 3.2 Phương pháp đổi biến PQR bất đẳng thức Schur 45 3.3 Phân tích tổng bình phương SOS phân tích Schus - SOS 51 Các toán luyện tập 59 TUYỂN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC CHUYÊN TOÁN Nguyễn Nhất Huy, Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An Ȑ Tuyển tập bất đẳng thức thi chuyên toán Nguyễn Nhất Huy Các kiến thức bất đẳng thức 1.1 Một số kí hiệu sử dụng tài liệu 1 1 = 2+ 2+ 2 ab ab bc ca cyc 1 1 1 = 2+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2 ab ab ba ca ac bc cb sym Ở cyc viết tắt cyclic đơi sử dụng , sym viết tắt để thay cyc LATEX BỞI TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC symetric 1.2 Bất đẳng thức AM – GM à n Tổng quát với số thực dương x1 , x2 , , xn ta có xi n i=1 n n xi i=1 Dấu "=" x1 = x2 = = xn Với n = n = ta hệ quen thuộc √ a + b ab √ a + b + c abc n Ngoài bất đẳng thức AM − GM phát biểu dạng mẫu số i=1 xi n2 n xi i=1 1.3 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Cho số (x1 , x2 , , xn ) (y1 , y2 , , yn ) ta có n n xi i=1 n yi x i yi i=1 i=1 Dấu "=" số lập thành số tỉ lệ Dạng cộng mẫu Engel tổng quát n i=1 Trong dạng 1.4 x2 a + y2 b bi n i=1 −1 n bi i=1 (x + y) dạng ta hay gặp a+b Điều kiện có nghiệm phương trình Trong số tốn đánh giá - max ta sử dụng tới điều kiện có nghiệm phương trình bậc Cho phương trình ax2 + bx + c = (a = 0) Khi ∆ = phương trình có nghiệm , đồng nghĩa vế trái không âm không dương ∆ > phương trình có nghiệm phân biệt Ứng dụng kiến thức áp dụng cho tìm điều kiện có nghiệm để suy min, max Email nhathuya1k49c3pbc@gmail.com Tạp chí tư liệu toán học Ȑ Tuyển tập bất đẳng thức thi chuyên toán Nguyễn Nhất Huy Các tốn kì thi chun tốn ǥ Câu Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ T = (a − 1)3 + (b − 1)3 + (c − 1)3 Quảng Bình T = (a − 1)3 + (b − 1)3 + (c − 1)3 = a3 − 3a2 + 3a − + b3 − 3b2 + 3b − + c3 − 3c2 + 3c − Å ã Å ã Å ã 9 = a3 − 3a2 + a + b3 − 3b2 + b + c3 − 3c2 + c + (a + b + c) − 4 4 ã2 Å ã2 Å ã2 Å 3 3 +b b− +c c− + (a + b + c) − =a a− 2 Å ã2 Å ã2 Å ã2 3 3 =a a− +b b− +c c− − 2 Å ã2 Å ã2 3 Vì a 0; a − 0, ∀ a ∈ R nên a a − 2 Å ã2 Å ã2 3 Tương tự với b, c ta có b b − 0; c c − 0, nên T − 2 Å ã 3 Vậy GTNN T = − (a, b, c) hoán vị , ,0 2 ǥ Câu Cho nguyên dương x, y, z thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ P = 1 + + 2020 x+y x+z y+z √ y + 2x2 z + 2y x2 + 2z + + xy zy xz Gia Lai ✍ Lời giải Để giải toán ta sử dụng hai bất đẳng thức phụ sau i) Cho a, b số thực dương ta có 1 + a b a+b Dấu xảy a = b ii) Cho a, b, c, d, e số thực ta có a2 + b2 + Dấu xảy c2 + d2 + e2 + f » (a + c + e)2 + (b + d + f )2 a c e = = Đây trường hợp nhỏ bất đẳng thức Mincopsky b d f Phần chứng minh hai bất đẳng thức phụ xin dành cho bạn đọc Áp dụng bất đẳng thức i) cho cặp (x, y); (y, z); (z, x) ta có Å ã Å ã Å ã 1 1 1 1 1 1 + ; + ; + x+y x y y+z y z x+z x z Email nhathuya1k49c3pbc@gmail.com Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC CHUYÊN TOÁN ✍ Lời giải Ta biến đổi giả thiết Ȑ Tuyển tập bất đẳng thức thi chuyên toán Nguyễn Nhất Huy Nên theo giả thiết suy 1 + + x y z 4040 Ta biến đổi biểu thức P , ta LATEX BỞI TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC z + 2y + zy √ x2 + 2z xz       y + 2x2 z + 2y x2 + 2z = + + x2 y z2y2 x2 z     … 1 2 = + 2+ + 2+ + 2 2 x y y z z x P = y + 2x2 + xy Áp dụng bất đẳng thức ii), bất đẳng thức vừa chứng minh ta có  Å ã ã Å √ 1 1 + + + + 40402 + 2.40402 = 4040 P +2 x y z x y z √ Vậy GTNN P = 4040 x = y = z = 4040 ǥ Câu Cho x, y, z thỏa mãn x2 + y + z = Chứng minh x2 y2 z2 + + + 2yz + 2xz + 2xy Điện Biên ✍ Lời giải Theo bất đẳng thức Cauchy − Schwarz ta có x2 = + 2yz x2 + y + z x2 + y + z + 2xyz (x + y + z) x4 x + 2x2 yz Mặt khác ta có đánh giá x2 + y + z 2 (xy + yz + xz)2 3xyz (x + y + z) ⇒ xyz (x + y + z) Như ta suy x2 + y + z x2 + y + z + 2xyz (x + y + z) 1+ = Bất đẳng thức chứng minh hoàn tất ǥ Câu Cho x > 1, y > 1, chứng minh D = x3 + y − x2 + y (x − 1) (y − 1) Trà Vinh ✍ Lời giải Biến đổi biểu thức ban đầu, ta D= x3 + y − x2 + y x2 (x − 1) + y (y − 1) x2 y2 = = + (x − 1) (y − 1) (x − 1) (y − 1) y−1 x−1 (x + y)2 x+y−2 Ta cần chứng minh bất đẳng thức (x + y)2 x+y−2 Email nhathuya1k49c3pbc@gmail.com Tạp chí tư liệu toán học Ȑ Tuyển tập bất đẳng thức thi chuyên toán Nguyễn Nhất Huy Biến đổi tương đương ta đẳng thức đẹp (x + y − 4)2 Bất đẳng thức nên ta có điều phải chứng minh Dấu xảy x = y > ! Nhận xét Đây tốn cũ đề chun Hà Nội năm 2003-2004 a3 b3 + b a a2 + b2 Sóc Trăng ✍ Lời giải Theo bất đẳng thức AM − GM ta có a3 a3 b2 b2 a3 = + + − b 2b 2b 2 b3 b3 b3 a2 a2 = + + − a 2a 2a 2   a3 a3 b2 b2 − = a2 − 2b.2b.2 2   3 a2 3 b b a − = b2 − 2a.2a.2 2 3 b2 a2 Cộng theo vế bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh ǥ Câu Cho a 2, a 2a3 + > Chứng minh b b(a − b) 17 Bắc Kạn ✍ Lời giải Với a ta ln có 7a3 14a2 ⇔ a2 (7a − 14) Theo bất đẳng thức AM − GM ta có 2a3 +1 b (a − b) 2a3 +1 a2 = a3 a3 + + + 7a3 +4 2 = a2 a2 8a3 √ 3 a3 a3 + 14a2 = 17 a2 Vậy toán chứng minh ǥ Câu Cho số thực dương a, b Tìm giá trị nhỏ biểu thức … a2 M= + 2+ b … b2 + a2 Kon Tum ✍ Lời giải Theo bất đẳng thức AM − GM ta có … a2 + + b   … b2 + a a2 + b2   √ b2 = a2 Ç… a + b … å b a √ 2 Dấu "=" xảy a = b = Email nhathuya1k49c3pbc@gmail.com Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC CHUYÊN TOÁN ǥ Câu Cho a, b số thực âm Chứng minh Ȑ Tuyển tập bất đẳng thức thi chuyên toán Nguyễn Nhất Huy ǥ Câu Cho a, b, c số thực thỏa mãn abc = Chứng minh a2 + b2 + c2 + + 2 + 2 c2 a2 a b b c a(b + 1) + b(c + 1) + c(a + 1) Kiên Giang ✍ Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy − Schwarz ta có LATEX BỞI TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC a2 + = a2 c2 Å a2 b2 + c2 a2 b2 a2 c2 ã (ab + bc + ca)2 a2 + b2 + c2 + Như ta cần chứng minh (ab + bc + ca)2 + a2 + b2 + c2 ab + bc + ca + (a + b + c) ⇔ (ab + bc + ca)2 + (a + b + c)2 − (ab + bc + ca) ab + bc + ca + (a + b + c) ⇔ (ab + bc + ca)2 + (a + b + c)2 − (ab + bc + ca) − (a + b + c) Mặt khác ta lại có (ab + bc + ca) 2 (a + b + c) 3abc (a + b + c) ⇒ (ab + bc + ca)2 a + b + c (ab + bc + ca) Như bất đẳng thức cần chứng minh đúng, ta có điều phải chứng minh ǥ Câu Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = Tìm giá tri nhỏ biểu thức T =1+ xy + yz + xz Hậu Giang ✍ Lời giải Một toán tương đối đơn giản, theo bất đẳng thức Cauchy − Schwarz ta có = (x + y + z)2 Khi biểu thức T =1+ (xy + yz + xz) ⇒ xy + yz + xz xy + yz + xz 1+ 3 =2 Vậy toán giải ǥ Câu 10 Cho a, b hai số dương Chứng minh 1 + a b a+b √ (b) a2 − ab + 3b2 + (a) (a + 5b + 2) Email nhathuya1k49c3pbc@gmail.com Tạp chí tư liệu tốn học Ȑ Tuyển tập bất đẳng thức thi chuyên toán Nguyễn Nhất Huy Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn P =√ a2 1 + + a b c Tìm giá trị lớn biểu thức 1 +√ +√ 2 2 − ab + 3b + b − bc + 3c + c − ac + 3a2 + Bình Phước ✍ Lời giải (a) Ta cần chứng minh 1 + a b Biến đổi biểu thức ta a+b 1 + a b a+b ⇔ a+b ab a+b ⇔ (a + b)2 4ab ⇔ a2 + 2ab + b2 ⇔ (a − b)2 4ab Bất đẳng thức ∀ a, b ∈ R+ nên bất đẳng thức chứng minh √ (a + 5b + 2) Ta biến đổi biểu thức (b) Ta cần chứng minh a2 − ab + 3b2 + (a + 5b + 2)2 16 ⇔ 16a2 − 16ab + 48b2 + 16 a2 + 25b2 + + 10ab + 20b + 4a ⇔ a2 − ab + 3b2 + ⇔ 15a2 − 26ab + 23b2 − 4a − 20b + 12 2 ⇔ 13(a − b) + 2(a − 1) + 10(b − 1) 0 Luôn ∀ a, b ∈ R+ nên bất đẳng thức chứng minh Áp dụng bất đẳng thức (b) ta có 4 + + a + 5b + b + 5c + c + 5a + P Áp dụng bất đẳng thức i) nhiều lần ta a + 5b + Å ã 1 1 1 + + + + a + 3b 2b + a + b 2b 2b Å ã 1 1 1 + + + + = + + 4a 4b 2b 2b 16a 16b Tương tự với hai phân thức lại kết hợp với giả thiết ta suy Å ã 1 3 + + + P a b c a = b = c = Mở rộng đoạn ta dùng ngược bất đẳng a + 5b + thức Cauchy − Schwarz dạng phân thức sau Å ã 64 (1 + + 2)2 1 5 = = + +2 = + + a + 5b + 16 (a + 5b + 2) 16 (a + 5b + 2) 16 a b 16a 16b Vậy GTNN P = Bài tốn chứng minh Email nhathuya1k49c3pbc@gmail.com Tạp chí tư liệu toán học TUYỂN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC CHUYÊN TOÁN Ý thứ Ȑ Tuyển tập bất đẳng thức thi chuyên toán Nguyễn Nhất Huy ǥ Câu 11 Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn x2 z + y z + biểu thức 4z P = + + (x + 1) (y + 3) (1 + 2z)2 3z Tìm giá trị nhỏ Hà Tĩnh ✍ Lời giải + với ∀a, b > a b (a + b)2 1 Ta có theo bất đẳng thức AM − GM ta có + a b ab (a + b) ⇒ Mặt khác ab ab (a + b)2 1 Nên suy + với ∀a, b > Khi áp dụng bổ đề a b (a + b)2 LATEX BỞI TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Để giải tốn ta chứng minh bổ đề sau P = 1 ã2 + + Å (x + 1) (y + 3)2 +1 2z 8 ã2 + Å (y + 3)2 +2 x+ 2z Từ giả thiết suy số dương x2 z + y z + 1 Đặt = t suy x2 + y + t2 3t Ta có z 3z ⇔ x2 + y + z2 64 ã2 Å +5 x+y+ 2z z 64 256 P =Å ã2 = (2x + 2y + t + 10)2 x+y+ +5 2z   2x Ta có 2y   4t x2 + y + ⇒ 2x + 2y + 4t x2 + y + t2 + 3t + t +4 Suy 2x + 2y + t Suy P 256 = 1, dấu ” = ” xảy x = y = 1, z = (6 + 10) Vậy giá trị nhỏ P √ √ √ √ ǥ Câu 12 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + a2 + c2 + b2 + c2 = 2021 Chứng minh … a2 b2 c2 2021 + + b+c a+c a+b 2 Ninh Bình ✍ Lời giải √ √ √ √ Đặt x = b2 + c2 , y = c2 + a2 , z = a2 + b2 với x, y, z > 0; x + y + z = 2021, suy a2 = y + z − x2 x2 + z − y 2 x2 + y − z , b = ,c = 2 Khi áp dụng bất đẳng thức phụ » » √ √ b+c (b2 + c2 ) = 2x, c + a (c2 + a2 ) = 2y, a + b Email nhathuya1k49c3pbc@gmail.com » √ (a2 + b2 ) = 2z Tạp chí tư liệu toán học Ȑ Tuyển tập bất đẳng thức thi chuyên toán Nguyễn Nhất Huy VT Suy V T y + z − x2 z + x2 − y x2 + y − z √ √ √ + + 2x 2y 2z đÇ å Ç å Ç åơ (y + z)2 (z + x)2 (x + y)2 √ −x + −y + −z 2x 2y 2z 2 đÇ å Ç å Ç åơ (y + z)2 (z + x)2 (x + y)2 + 2x − 3x + + 2y − 3y + + 2z − 3z = √ 2x 2y 2z 2 √ [(2(y + z) − 3x) + (2(z + x) − 3y) + (2(x + y − 3z)] 2 … 1 2021 √ (x + y + z) = 2 2 ǥ Câu 13 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc = Chứng minh a b c + + ca + ab + bc + (a + b2 + c2 ) 16 Hà Nam ✍ Lời giải Vì a, b, c số thực dương thỏa mãn abc = nên tồn số thực dương x, y, z cho a= 2x 2y 2z ;b = ;c = y z x Bất đẳng thức trở thành x2 y z2 + + y2 z x2 Ta có x2 y z2 + 2+ y z x Å ã Å x y z + + y z x 2x 2y 2z + + y+z z+x x+y ã2 Å x y z + + y z x ã ⇒ z2 x2 y + + y2 z x2 x y z + + y z x (2) Mặt khác ta lại có x2 y z2 + 2+ 2 y z x x y y z z x x y z + + = + + y z z x x y z x y (3) Từ (2) (3) có x2 y z2 2 + 2+ y z x Å ã x y z x y z + + + + + y z x z x y Lại có Å ã Å ã Å ã x y z x y z 1 1 1 + + + + + =x + +y + +z + y z x z x y y z x z x y 4x 4y 4z + + y+z z+x x+y Đẳng thức xảy a = b = c = ǥ Câu 14 Cho x, y số thực dương thỏa mãn x3 − y 2x Chứng minh x3 2y Khánh Hòa ✍ Lời giải Email nhathuya1k49c3pbc@gmail.com Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC CHUYÊN TOÁN Suy Ȑ Tuyển tập bất đẳng thức thi chuyên toán Nguyễn Nhất Huy Các tiêu chuẩn S.O.S Sa 0, Sb 0, SC a b c; Sb 0; Sa + Sb a b c; Sa 0; Sc 0; Sa + 2Sb a b c; Sb 0; Sc 0; a2 Sb + b2 Sa 0; Sa Sb + Sa Sc + Sb Sc Sa + Sb + Sc 0; Sc + Sb 0; Sc + 2Sb LATEX BỞI TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC Sau phần chứng minh tiêu chuẩn ✍ Lời giải Tiêu chuẩn hiển nhiên Ta có (a − c)2 = (a − b + b − c)2 = (a − b)2 + (b − c)2 + (a − b) (b − c) Mặt khác a b c ⇒ (a − b)(b − c) ⇒ (a − c)2 (a − b)2 + (b − c)2 , từ suy Sb (a − c)2 ⇒S Sb (a − b)2 + Sb (b − c)2 Sa (b − c)2 + Sb (a − b)2 + Sb (b − c)2 + Sc (a − b)2 = (Sa + Sb ) (b − c)2 + (Sc + Sb ) (a − b)2 Nếu Sb bất đẳng thức hiển nhiên dúng Xét Sb < 0, ta có (a − c)2 = (a − b + b − c)2 2(a − b)2 + 2(b − c)2 , mặt khác Ä ä Sb ⇒ Sb (a − c)2 2Sb (a − c)2 + (b − c)2 Ä ä ⇒ S Sa (b − c)2 + 2Sb (a − c)2 + (b − c)2 + Sc (a − b)2 = (b − c)2 (Sa + 2Sb ) + (a − c)2 (Sc + 2Sb ) a−c a , từ suy b−c b Ç Å å ã Å ã a−c 2 2 a Sb + b Sa Sb (a − c) + Sa (b − c) = (b − c) Sb + Sa (b − c) b−c b2 Từ điều kiện ta có (a − c) b a (b − c) ⇒ Mà Sc nên ta có điều phải chứng minh Do Sa + Sb + Sc nên số Sa + Sb , Sb + Sc , Sc + Sa tồn số không âm Khơng tính tổng qt giả sử Sb + Sc 0, tiêu chuẩn (∗) tương đương a2 (Sb + Sc ) − 2a (cSb + bSc ) + Sa (b − c)2 + c2 Sb + b2 Sc Xét biệt thức Ä ä ∆ = 4(cSb + bSc )2 − (Sb + Sc ) Sa (b − c)2 + c2 Sb + b2 Sc = −4(b − c)2 (Sa Sb + Sa Sc + Sb Sc ) Mà Sb + Sc nên có điều phải chứng minh Như ta chứng minh xong, khơng có phức tạp phải khơng? Việc cần làm sử dụng phương pháp S.O.S phân tích bất đẳng thức cần chứng minh dạng tắc S.O.S Việc ban đầu khơng dễ dàng cần tập phân tích số đa thức đối xứng biến quen thuộc dạng S.O.S ta thơng thạo việc Khi phân tích, biến đổi cần ý tới đẳng thức quen thuộc mà có chứa đại lượng (a − b)2 , (c − a)2 , (b − c)2 Sau số đẳng thức ta sử dụng trình làm a b c + + − = b+c c+a a+b cyc (a − b)2 (a + c) (b + c) Email nhathuya1k49c3pbc@gmail.com 52 Tạp chí tư liệu tốn học Ȑ Tuyển tập bất đẳng thức thi chuyên toán Nguyễn Nhất Huy a2 (a − b)2 − 2a + b = b b c(a − b)2 (a + b + c) (ab + bc + ca) − 9abc = (a + b)(b + c)(c + a) − 8abc = cyc (a − b)2 (a + b + 7c) cyc (a − b)2 (a + b + c) a2 + b2 + c2 − 9abc = Å cyc ã 1 a+ b+ c 2 TUYỂN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC CHUYÊN TOÁN (a + b + c) − 27abc = (a − b)2 (4a + 4b + c) a3 + b3 + c3 − (a + b) (b + c) (c + a) = cyc a2 cyc cyc + b2 + a2 b − c a3 − b Å c2 ã a b c − (a + b + c)2 = + + b c a ab = cyc cyc cyc c(a − b)2 a Å a2 = cyc cyc (a − b)2 2a2 + 2bc + ab 2ab ã a + (a − b)2 b 10 a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca = (a − b)2 cyc (a − b)2 11 a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c) cyc (a − b)3 12 a2 b + b2 c + c2 a − ab2 − bc2 − ca2 = 13 a3 + b3 + c3 − a2 b − b2 c − c2 a = 14 a4 + b4 + c4 − a3 b − b3 c − c3 a = a2 + b2 + c2 (2a + b) (a − b)2 cyc 3a2 + 2ab + b2 (a − b)2 cyc 15 a4 + b4 + c4 − a2 b2 − b2 c2 − c2 a2 = 16 cyc (a − b)2 (a + b)2 cyc − a3 b + b3 c + c3 a = x3 y z3 x2 y z 17 + + − − − = y2 z x2 y z x x,y,z cyc a2 − b2 − ab − ac + 2bc cyc (x − y)2 (x + y) y Có vẻ đẳng thức dài việc nhớ chúng việc đơn giản, tài liệu mạng không đưa cách xây dựng đẳng thức này, nhiên ta xây dựng dựa vào tính chất đối xứng Ta giả sử (a + b + c)3 − 27abc = (ma + pb + nc) (a − b)2 + (mb + pc + na) (b − c)2 + (mc + pa + nb) (a − c)2 Vì đa thức đối xứng theo biến a, b, c nên ta phải có ma, pb, mc kèm với thành phần bình phương Đến ta đồng hệ số tìm m, n, p Email nhathuya1k49c3pbc@gmail.com 53 Tạp chí tư liệu tốn học Ȑ Tuyển tập bất đẳng thức thi chuyên toán Nguyễn Nhất Huy ǥ Câu [Jack Garfunkel] Chứng minh với số thực khơng âm a, b, c a2 + b2 + c2 8abc + ab + bc + ca (a + b) (b + c) (c + a) ✍ Lời giải Một bất đẳng thức quen thuộc phải khơng Bây ý ta có đẳng thức sau c(a − b)2 (a + b)(b + c)(c + a) − 8abc = cyc LATEX BỞI TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca = (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 Như ta đưa bất đẳng thức dạng (∗), Sc = 2c (ab + bc + ca)(c − a) + b2 (c + a) − = ab + bc + ca (a + b)(b + c)(c + a) (ab + bc + ca)(a + b)(b + c)(c + a) Sb = 2b (ab + bc + ca)(a − b) + c2 (a + b) − = ab + bc + ca (a + b)(b + c)(c + a) (ab + bc + ca)(a + b)(b + c)(c + a) Sa = 2a (ab + bc + ca)(b − c) + a2 (b + c) − = ab + bc + ca (a + b)(b + c)(c + a) (ab + bc + ca)(a + b)(b + c)(c + a) Không tính tổng quát, giả sử a minh Sa + Sb 0, ta có b Sa + Sb = c, Sb , Sc Bây theo tiêu chuẩn ta cần chứng 2c2 (a + b) (ab + bc + ca)(a + b)(b + c)(c + a) Vậy bất đẳng thức chứng minh, đẳng thức xảy a = b = c a = b, c = hoán vị tương ứng ǥ Câu Cho số a, b, c > 0, chứng minh a2 b2 c2 + + b c a a3 + b3 + c3 a2 + b2 + c2 ✍ Lời giải Như tốn trước, lần ta có phân tích sở S.O.S bất đẳng thức Å ã b+c − (b − c)2 c a + b2 + c2 Như Sa = b+c a2 + b2 − bc − = c a + b2 + c2 c (a2 + b2 + c2 ) Sb = b2 + c2 − ac a (a2 + b2 + c2 ) Sc = a2 + c2 − ab b (a2 + b2 + c2 ) Chú ý bất đẳng thức hoán vị biến, bất đẳng thức đối xứng, nên ta cần phải xét trường hợp Nếu a b c ⇒ Sa 0, Sc 0, ta có Sa + 2Sb > ⇔ a2 + b2 + c2 − bc a + b2 + c2 − ac c > Email nhathuya1k49c3pbc@gmail.com 54 Tạp chí tư liệu toán học Ȑ Tuyển tập bất đẳng thức thi chuyên toán Nguyễn Nhất Huy ⇔ a3 + b2 a + 2b2 c + 2c3 > abc + 2ac2 Mà a b c ⇒ (b − a)(b − c) 0, suy b2 + ac Ta có (a − c) a2 + ac − c2 ab + bc ⇒ b3 + abc ⇒ a3 + c3 a3 + c3 + ab2 + b2 c ab2 + b2 c 2ac2 , suy 2ac2 + abc + b3 ⇒ a3 + b2 a + 2b2 c + 2c3 > a3 + c3 + ab2 + b2 c > 2ac2 + abc Tương tự ta có Sc + 2Sb > 0, theo tiêu chuẩn ta có điều phải chứng minh Nếu a b c xét tương tự ta có điều phải chứng minh theo tiêu chuẩn Như thấy với bất đẳng thức hốn vị xem việc chứng minh vất vả xíu, đến ta lại tìm hiểu phân tích sở nữa, gọi phân tích bình phương hoán vị, phương pháp mạnh S.O.S nhiều, sau sở phương pháp 3.3.2 Cơ sở phương pháp S.S Như biết bất đẳng thức biến (đối xứng hốn vị) biến đổi dạng tiêu chuẩn S.O.S Tuy nhiên việc biến đổi dạng tiêu chuẩn thường không dễ dàng (đặc biệt với bất đẳng thức biến hoán vị vòng quanh) Hơn làm bất đẳng thức phương pháp S.O.S thường phải xét trường hợp Đây điều bất tiện Phương pháp SS đời từ bất tiện gây Phương pháp SS(Schur - SOS) phương pháp đưa bất đẳng thức biến thành dạng M (a − b)2 + N (a − c) (b − c) Trong M, N biểu thức đối xứng với a b Như cần giả sử c = max {a; b; c} giả sử chứng minh M, N bất đẳng thức chứng minh Cũng S.O.S phương pháp SS có khai triển quan trọng a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca = (a − b) + (a − c) (b − c) 2 a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c) (a − b) + (a + b + c) (a − c) (b − c) ab (a + b) + bc (b + c) + ca (c + a) − 6abc = 2c(a − b) + (a + b) (a − c) (b − c) ab2 + bc2 + ca2 − 3abc = c(a − b) + b (a − c) (b − c) Ä ä a4 + b4 + c4 − abc (a + b + c) = (a + b) + c2 (a − b) + (ab + (a + c) (b + c)) (a − c) (b − c) a3 (b + c) − 2abc (a + b + c) = (a + c) (b + c) (a − b)2 + (2ab + ac + bc) (a − c) (b − c) cyc a3 b + b3 c + c3 a − abc (a + b + c) = (ac + bc) (a − b) + a2 + ac (a − c) (b − c) a b c 1 + + − = (a − b)2 + (a − c) (b − c) b c a ab ac b+c a+c a+b a+b + + − = (a − b)2 + (a − c) (b − c) a b c ab abc 10 a b c (a − b)2 (a + b + 2c) (a − c) (b − c) + + − = + b+c c+a a+b (a + c) (b + c) (a + b) (b + c) (c + a) 11 cyc k (a − c) (b − c) k − k + a + (k − 1) b + kc k (a − b)2 a + kb −3= + a + kc (c + ka) (c + kb) (a + kb) (b + ka) (c + kb) Email nhathuya1k49c3pbc@gmail.com 55 Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC CHUN TỐN ⇒ Sa + 2Sb > Ȑ Tuyển tập bất đẳng thức thi chuyên toán Nguyễn Nhất Huy a2 b2 c2 a+b+c (a − b)2 (a + b + c) (a + b + c) (a + b + 2c) (a − c) (b − c) + + − = + b+c a+c a+b (a + c) (b + c) (a + b) (b + c) (c + a) 12 Tương tự với phương pháp S.O.S, vấn đề ta phân tích đẳng thức dạng chuẩn Ngoài số đẳng thức cần khéo léo thêm bớt với lớp đa thức đối xứng ta phân tích thành bình phương, sau phân tích ngược dạng S.S Ví dụ phân tích đa thức sau a3 + b3 + c3 − (a + b + c) a2 + b2 + c2 = (a + b) (a − b)2 + (b + c) (b − c)2 + (a + c) (a − c)2 = (a + b) (a − b)2 + (b + c) (b − a + a − c)2 + (a + c) (a − c)2 = (a + b) (a − b)2 + (b + c) (b − a)2 + (b − a) (a − c) (b + c) + (a − c)2 (a + b + 2c) LATEX BỞI TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC = (a − b) a2 − ab − ac − 2b2 + bc + 2c2 + (a − c)2 (a + b + 2c) = (a − b) a2 − ab − 2ac + ac − 2b2 + bc + c2 + c2 + (a − c)2 (a + b + 2c) Ä ä = (a − b) (a − c)2 − ab + ac − 2b2 + bc + c2 + (a − c)2 (a + b + 2c) = (a − b) (a − c)2 + (a − b) −ab + ac − 2b2 + bc + c2 + (a − c)2 (a + b + 2c) = (a − c)2 (2a + 2c) + (a − b) (c − b) (a + 2b + c) Như ta có cách để phân tích đa thức dạng S.S Khi tốn ví dụ giải sau Ta có LHS − (a + b + c) = (ab + bc) (a − c)2 + a2 + ab (a − b) (c − b) a3 c + b3 a + c3 b − abc (a + b + c) = abc abc Như LHS − RHS = (a − c) Å ã a2 + ab a + 2b + c + (a − b) (c − b) − abc a + b2 + c2 ê Å ã a+b a + 2b + c − + (a − b) (c − b) − ac bc a + b2 + c2 a + b2 + c2 2 (a + c) b (a + c) − abc a + b2 + c2 Ü = (a − c)2 (a + c) ã Å Trước tiên ta thấy a2 + b2 + c2 − 2ac > theo AM − GM Ta có (a + b) a2 + b2 + c2 − bc (a + 2b + c) = a3 + a2 b + ab2 − abc + ac2 + b3 − 2b2 c Theo AM − GM ab2 + ac2 abc Giả sử b = {a, b, c}, ta xét tam thức bậc f (c) = c2 a − 2b2 c + a3 + a2 b + b3 Ta có 3 3 ∆ = b4 − a a3 + a2 b + b3 = b4 − a4 − a3 b − ab3 < 4 4 Như ta có điều phải chứng minh ǥ Câu Cho số dương a, b, c, chứng minh b+c a+c a+b + + a b c a2 + b2 + c2 +2 ab + bc + ca ✍ Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với Å ã b+c a+c a+b + + −6 a b c Email nhathuya1k49c3pbc@gmail.com 56 đ a2 + b2 + c2 −1 ab + bc + ca Tạp chí tư liệu tốn học Ȑ Tuyển tập bất đẳng thức thi chuyên toán Nguyễn Nhất Huy Áp dụng đẳng thức ta có phân tích thành dạng S.S ï ò ï ò 2(bc + ca − ab) (a − b)2 c + ab(a + b) (a − b) + (c − a)(c − b) ab(ab + bc + ca) abc(ab + bc + ca) Đến chẳng cịn để nói nữa! Nếu sử dụng S.O.S có lẽ phức tạp 3.3.3 Bài tập Chứng minh bất đẳng thức đây, điều kiện mặc định a, b, c số không âm a+b a+c b+c + + a+c b+c b+a (b + c)2 (c + a)2 2abc (a + b)2 + + + 2 (b + c) (c + a) (a + b) a + b3 + c3 a2 b2 c2 (ab + bc + ca) + + +8 2 2 b c a a + b2 + c2 a b c + + b c a 11 ∀a, b, c 11∀a, b, c > a b c abc + + + ∀a, b, c > 3 b + c c + a a + b (a + b + c ) Å ã Å ã a b c 1 + + (a + b + c) + + ∀a, b, c c c a a b c a+b b+c c+a + + b+c c+a a+b cyc a + kc a + kb (a + b + c)2 ∀a, b, c > ab + bc + ca (a + b + c)2 ab + bc + ca ∀k a + b b + c c + a 3(ab + bc + ca) + + + b+c c+a a+b (a + b + c)2 a2 b2 c2 + + b c a 10 a3 b3 c3 + + b c a 11 a2 b2 c2 + + b2 + c2 c2 + a2 a2 + b2 12 abc + a3 + b3 + c3 13 b+c c+a a+b + + a b c 14 (a + b)(b + c)(c + a) a2 + b2 + c2 + abc ab + bc + ca 15 a3 + b3 + c3 54abc + abc (a + b + c)3 ∀a, b, c > a3 + b3 + c3 a2 + b2 + c2 (a4 + b4 + c4 ) a b c + + b+c c+a a+b ab + bc + ca a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2 +2 ab + bc + ac 12 Email nhathuya1k49c3pbc@gmail.com 57 Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC CHUN TỐN ! Nhận xét Theo kinh nghiệm tốn phân tích S.S sau đưa dạng tắc bất đẳng thức cịn lại chứng minh khơng khó khăn, tất khai triển hết kết hợp với điều giả sử biến max hợp lý giải toán Ȑ Tuyển tập bất đẳng thức thi chuyên toán Nguyễn Nhất Huy 16 a2 + bc b2 + ca c2 + ab + + 2 (b + c) (c + a) (a + b)2 17 a2 + bc b2 + ca c2 + ab + + b+c c+a a+b a + b + c∀a, b, c > 18 a3 + b3 + c3 81abc + 2abc (a + b + c)3 19 a2 + bc b2 + ca c2 + ab + + 2 (b + c) (c + a) (a + b)2 ∀a, b, c > a b c + + ∀a, b, c > b+c c+a a+b a + 2b b + 2c c + 2a + + 3∀a, b, c > c + 2b a + 2c b + 2a √ (a + b)(b + c)(c + a) 2(ab + bc + ca) 21 + abc a2 + b2 + c2 LATEX BỞI TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC 20 √ + 2∀a, b, c > a2 + bc b2 + ca c2 + ab 1 + + + + ∀a, b, c > 2 a (b + c) b (c + a) c (a + b) a b c ã Å 1 1 1 23 + + ∀a, b, c > + + (a + b + c) a b c 2a2 + bc 2b2 + ca 2c2 + ab 22 24 c2 9(ab + bc + ca) a2 b2 + + + 2 b c a a2 + b2 + c2 25 8(a + b + c)2 3(a + b)(b + c)(c + a) + a2 + b2 + c2 abc 26 2bc 2ac 2ab a2 + b2 + c2 + + + (b + c)2 (a + c)2 (a + b)2 ab + bc + ca 12∀a, b, c > 48 729 abc a3 + b3 + c3 + 2abc Å ã 1 1 1 28 + + − + 2+ 2 a b c a+b+c a b c a + b2 + c2 27 (a + b + c)6 29 Cho a, b, c cạnh tam giác Chứng minh Å 1 (a + b + c) + + a b c 30 (a + b)2 (b + c)2 (c + a)2 + + c2 + ab a + bc b + ac 31 12 a3 + b3 + c3 abc(a + b + c) + a4 + b4 + c4 (a + b + c) (a2 + b2 + c2 ) 32 a4 + b4 + c4 3abc + ab + bc + ca a + b + c a2 b2 c2 33 + + b + c2 c2 + a2 a2 + b2 ã Å a b c + + b+c c+a a+b ã 2 a + b2 + c2 a2 + b2 + c2 (a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) Email nhathuya1k49c3pbc@gmail.com 58 (a + b + c)2 2(ab + bc + ca) Tạp chí tư liệu tốn học Ȑ Tuyển tập bất đẳng thức thi chuyên toán Nguyễn Nhất Huy Các toán luyện tập Dưới toán tuyển chọn từ kỳ thi chun tốn, kì thi học sinh giỏi lớp khó đề chọn đội tuyển trường tỉnh nước, xin gửi tới bạn đọc sau Câu Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức ã4 Å ã4 Å ã4 Å a b c P = + + a+b b+c c+a 3a2 + 3b2 + 3c2 + 4abc 13 Câu Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện (a + c) (b + c) = 4c2 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = a b ab + + b + 3c a + 3c bc + ca Câu Với số thực dương a, b, c thay đổi thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 + 2abc = Tìm giá trị lớn biểu thức P = ab + bc + ca − abc Câu Cho ba số thực dương thỏa mãn x + y + z + = xyz Chứng minh √ √ √ x + y + z + xy + yz + zx Câu Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y − z + = Tìm giá trị lớn biểu thức P = x3 y (x + yz) (y + zx) (z + xy)2 Câu Cho a, b, c số thực dương Chứng minh 1 + + c (c + a + 3b) + c2 a (a + b + 3c) + a2 b (b + c + 3a) + b2 Å 1 + + a2 b2 c2 ã Câu Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a + b + c = Chứng minh √ √ √ a b3 + + b c3 + + c a3 + Å ã2 a + b2 + c2 Câu Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn 2019a2 b2 c2 Tìm giá trị lớn 2018 biểu thức P = a2 a b c + + + bc b + ca c + ab Câu 10 Cho số thực phân biệt a, b, c Chứng minh Ç å 1 2 a +b +c + + (a − b)2 (b − c)2 (c − a)2 Câu 11 Cho a; b; c ba số thực dương thoả mãn a2 + b2 + c2 = Chứng minh √ a2 + 3ab + b2 b2 + 3bc + c2 c2 + 3ca + a2 +√ +√ 6a2 + 8ab + 11b2 6b2 + 8bc + 11c2 6c2 + 8ca + 11a2 Câu 12 Cho số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a2 b + b2 c + c2 a + a2 + b2 + c2 + 4abc Câu 13 Với số thực không âm x, y, z thỏa mãn x2 + y + z = Email nhathuya1k49c3pbc@gmail.com 59 Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC CHUYÊN TOÁN Câu Chứng minh a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi ln có Ȑ Tuyển tập bất đẳng thức thi chuyên toán Nguyễn Nhất Huy Chứng minh x + y + z + xy Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P = x y z + + + yz + zx + xy Câu 14 Cho a, b, c số thực dương tùy ý Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a3 + b3 + c3 131 a2 + b2 + c2 (a + b + c)2 + − 30 (a2 + b2 + c2 ) 4abc 60 (ab + bc + ca) Câu 15 Cho a, b, c ba số không âm thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 (ab + bc + ca) LATEX BỞI TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC p, q, r ba số thỏa mãn p + q + r = Chứng minh apq + bqr + crp Câu 16 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x z Chứng minh xz y2 x + 2z + + y + yz xz + yz x+z ò ï 3a − b 3b − c 3c − a Câu 17 Chứng minh (a + b + c) + + a + ab b + bc c + ca tam giác với a, b, c độ dài ba cạnh Câu 18 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xyz = Tìm giá trị lớn biểu thức P = 1 + + (3x + 1) (y + z) + x (3y + 1) (z + x) + y (3z + 1) (x + y) + z Câu 19 Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức x y z P = + + y + 16 z + 16 x3 + 16 Câu 20 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh … … … b+c c+a a+b a + b + c 2 a + bc b + ca c + ab abc Câu 21 Cho a, b, c, d số thực dương thỏa mãn 1 1 + + + = Chứng 3 1+a 1+b 1+c + d3 minh 1−a 1−b 1−c 1−d + + + 2 1−a+a 1−b+b 1−c+c − d + d2 Câu 22 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c Tìm giá trị nhỏ biểu thức … … … 1 S = a2 + + b2 + + c2 + a b c Câu 23 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh a2 a (b + c) b (c + a) c (a + b) + 2 + + (b + c) b + (c + a) c + (a + b)2 Câu 24 Cho a, b, c số thực không âm cho a + b + c = Chứng minh a2 + bc b2 + ca c2 + ab + + b c a a2 + b2 + c2 Câu 25 Tìm số k lớn cho với a, b, c số thực không âm thỏa mãn a + b + c = bất đẳng thức sau ln Email nhathuya1k49c3pbc@gmail.com 60 Tạp chí tư liệu toán học Ȑ Tuyển tập bất đẳng thức thi chuyên toán Nguyễn Nhất Huy b c a + + + 9bc + k(b − c) + 9ca + k(c − a) + 9ab + k(a − b)2 Câu 26 Cho x, y, z số thực không dương Chứng minh (x2 + yz) (y + z3) + yz x3 (y 2 + zx) (z + x3 ) + zx3 y (z + xy) (x3 + y3) Câu 27 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức       x2 y y2z z2x P = + + 4x + 5y 4y + 5z 4z + 5x Câu 28 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh a3 b3 c3 + + + 9b2 ca + 9c2 ab + 9a2 bc (a + b + c)3 18 Câu 29 Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh Ä√ √ √ √ √ √ ä 5a2 + 4bc + 5b2 + 4ca + 5c2 + 4ab (a2 + b2 + c2 ) + ab + bc + ca Câu 30 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x4 + y + z − x2 + y + z + 12 = Tìm giá trị nỏ biểu thức P = x2 y2 z2 + + y + 2z z + 2x x + 2y Câu 31 Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh (a + b − c)2 (b + c − a)2 (c + a − b)2 + + (a + b)2 + c2 (b + c)2 + a2 (c + a)2 + b2 Câu 32 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 + ab = 2c (a + b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức √ c2 c2 ab P = + a2 + b2 + a + b (a + b − c) Câu 33 Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn x2 + y + z = Tìm giá trị lớn M= x2 y+z + + x + yz + x + x + y + z + xyz Câu 34 Cho a, b, c số thực không âm, khơng có hao số đồng thời Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a (b + c) b (c + a) c (a + b) + + a2 + bc b + ca c + ab Câu 35 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a4 + b4 + c4 + ab + bc + ca + b2 c + c2 a a2 b Câu 36 Chứng minh với số thực dương a, b ta có bất đẳng thức sau a2 b2 a2 + b2 − (a + b) (ab − 1) Câu 37 Cho a, b, c số thực thỏa mãn (a + b) (b + c) (c + a) = 10 Chứng minh a2 + b2 Email nhathuya1k49c3pbc@gmail.com b2 + c2 c2 + a2 + 12a2 b2 c2 61 30 Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC CHUYÊN TOÁN xy z Ȑ Tuyển tập bất đẳng thức thi chuyên toán Nguyễn Nhất Huy Câu 38 Cho x, y, z số thực dương Chứng minh xy z (x2 + yz) (y + z ) + yz x3 (z + xy) (x3 + y ) + zx3 y (z + xy) (x3 + y ) Câu 39 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức       x2 y y2z z2x P = + + 4x + 5y 4y + 5z 4z + 5x LATEX BỞI TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Câu 40 Cho x, y, z số thực thỏa mãn điều kiện xyz = Tìm giá trị nhỏ biểu thức ó ỵ P = (|xy| + |yz| + |zx|) 15 x2 + y + z − (x + y − z) + Câu 41 Cho ba số thực dương thay đổi a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 giá trị nhỏ biểu thức (a + b + c) P = a (a − 2b + 2) + b (b − 2c + 2) + c (c − 2a + 2) + √ ab + bc + ca Tìm abc √ 3 Câu 42 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = √ Tìm giá trị lớn biểu thức M= a2 1 + + 2 + b + b + c + c + a2 + Câu 43 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xyz = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x+2 y+2 z+2 + + + z) y (z + x) z (x + y) x3 (y Câu 44 Cho a, b, c số thực khơng âm khơng có hai số Chứng minh a2 1 + + 2 − ab + b b − bc + c c − ca + a2 ab + bc + ca Câu 45 Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác a + b + c = Chứng minh 4 + + a+b b+c c+a 1 + + + a b c Câu 46 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = a b c + + Tìm giá trị lớn biểu b c a thức P = a+b+1 b+c+1 c+a+1 + + 3 a + b + b + c + c + a3 + Câu 47 Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh √ (a + bc)2 + (b + ca)2 + (c + ab)2 (a + b) (b + c) (c + a) Câu 48 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + z = Chứng minh √ x3 − 2x2 + x y − 2y + y z − 2z + z √ + √ + √ y (z + x) x (y + z) z (x + y) Câu 49 Cho x, y, z ba số thực thuộc đoạn [1; 9] x y; x z Tìm giá trị nhỏ biểu thức Å ã y y z P = + + 10y − x y + z z + x Email nhathuya1k49c3pbc@gmail.com 62 Tạp chí tư liệu toán học Ȑ Tuyển tập bất đẳng thức thi chuyên toán Nguyễn Nhất Huy Câu 50 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn y + z = x y + z Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 + + + (x + 1) (y + 1) (z + 1) (x + 1) (y + 1) (z + 1) P = Câu 51 Cho số thực dương x, y, z Tìm giá trị nhỏ biểu thức 3x4 + 4y + 16z + (x + y + z)3 Câu 52 Cho ba số thực a, b, c thay đổi Tìm giá trị lớn biểu thức … … 2 a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca c − 3a P =3 −2 Câu 53 Cho a, b, c số thực dương thoả mãn ab + bc + ca + 2abc = Chứng minh a (a + 1) b (b + 1) c (c + 1) + + (2a + 1) (2b + 1) (2c + 1)2 16 Câu 54 Cho x, y số thực dương thỏa mãn 2x + y 2y + x khác Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 2x2 + y 4x + y (2x + y − 2)2 + 2y + x 4y + x2 − (x + y) (2y + x − 2)2 Câu 55 Cho a, b, c số thực thuộc đoạn [0; 1] Chứng minh b c a + + + (1 − a) (1 − b) (1 − c) b+c+1 c+a+1 a+b+1 Câu 56 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xyz = Chứng minh 1 + + (2x + y + z) (x + 2y + z) (x + y + 2z)2 16 Câu 57 Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn x2 + y + z = Chứng minh Ç å 1 √ x2 y + y z + z x +√ + 2 2 x +1 z +1 y +1 Câu 58 Cho a, b, c số thực dương a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức T = ab bc ca + + − 3a + 4b + 4c 3b + 4c + 5a 3c + 4a + 5b ab (a + 2c) (a + 2c) Câu 59 Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 1344 2016 √ √ −√ a+b+c a + ab + abc Câu 60 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc = Chứng minh √ … … … a b c 3 √ + + b+c c+a a+b a3 + b3 + c3 + Câu 61 Cho a, b, c số thực không âm Tìm giá trị nhỏ biểu thức … … … a b c P = + + b+c c+a a+b Email nhathuya1k49c3pbc@gmail.com 63 Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC CHUN TỐN M= Ȑ Tuyển tập bất đẳng thức thi chuyên toán Nguyễn Nhất Huy Câu 62 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca + 2abc = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 1 + + − (a + b + c) a b c Câu 63 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh Ä √ ä2 √ √ a+ b (b + c) (c + a) √ +√ +√ 12 a2 − ab + b2 b2 − bc + c2 c2 − ca + a2 LATEX BỞI TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Câu 64 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + z = Chứng minh ã Å 1 1 1 √ √ +√ √ + + √ +√ x+7 y+7 z+7 x+ y y+ z z+ x Câu 65 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh 1 b+1 c+1 a+1 + + + + + 2 a b c 1+b 1+c + a2 a2 8 + + 2 + b + b + c + c + a2 + Câu 66 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn (a + b) (b + c) (c + a) = Tìm giá trị nhỏ biểu thức √ √ √ a2 − ab + b2 b2 − bc + c2 c2 − ca + a2 √ √ √ + + P = ca + ab + bc + Câu 67 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh 1 3 + + + 32 (ab + bc + ca) (1 + a) (1 + b) (1 + c) Câu 68 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + z = 21 32 1 + + Chứng minh x y z 1 + + (2xy + yz + zx) (xy + 2yz + zx) (xy + yz + 2zx)2 16x2 y z Câu 69 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh … … … 2a 2b 2c 3 + + < 4a + 4b + c a + 4b + 4c 4a + b + 4c Câu 70 Cho x, y, z số thực phân biệt không âm Chứng minh x+y y+z z+x + + (x − y) (y − z) (z − x)2 x+y+z Câu 71 Cho x, y, z số thực thỏa mãn x > y > z > x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 1 2 + + xz + y (x − y) (y − z) Câu 72 Cho a, b hai số thực dương thoả mãn a2 + b2 + ab = (a + b) (ab + 2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức Å ã Å ã a b3 a b2 T =4 + −9 + b a b a Câu 73 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 2017 Tìm giá trị lớn biểu thức M= Email nhathuya1k49c3pbc@gmail.com a b 4c + + a+1 b+1 c+1 64 Tạp chí tư liệu toán học Ȑ Tuyển tập bất đẳng thức thi chuyên toán Nguyễn Nhất Huy Câu 74 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 M=√ +√ +√ 3 + 8a + 8b + 8c3 Câu 75 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = Tìm giá trị nhỏ biểu thức b3 c3 a3 + + b2 + c2 + a2 + ï ò Câu 76 Cho x, y số thực thỏa mãn x, y ∈ ; Tìm giá trị nhỏ biểu thức − (x + y) P = x5 y + xy + x + y2 Câu 77 Với số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức √ −» P = 2a + b + 8bc 2b2 + (a + c)2 + Câu 78 Cho ba số thực a, b, c thuộc đoạn [0; 2] Tìm giá trị lớn biểu thức P = a2 c + c2 b − b2 c − c2 a − a2 b (a + b + c) Câu 79 Cho hai số thực x, y thỏa mãn x4 + y = x4 y Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = y2 x2 + + y + x2 + 1 x4 + y4 + Câu 80 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh a (b + c) b (c + a) c (a + b) + + 2 + bc + c c + ca + a a + ab + b2 b2 Câu 81 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3abc Chứng minh       √ √ √ √ a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 + + +3 a+b+ b+c+ c+a a+b b+c c+a Câu 82 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 = a2 b2 c2 Chứng minh √ a2 b2 b2 c2 c2 a2 + + 2 2 c (a + b ) a (b + c ) b (c + a ) Câu 83 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc = Chứng minh 1 + + a (a + 1) + ab (ab + 1) b (b + 1) + bc (bc + 1) c (c + 1) + ca (ca + 1) Câu 84 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh         a2 + bc b2 + ca c2 + ab 8abc + + + a (b + c) b (c + a) c (a + b) (a + b) (b + c) (c + a) 4 Câu 85 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc = Chứng minh a3 + b3 + c3 + + + a3 (b + c) b3 (c + a) c3 (a + b) Câu 86 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + z Tìm giá trị nhỏ biểu thức √ x2 y + y2z2 + z x2 + T = + + y z x Câu 87 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh Å ã Å ã a b c 1 + + (a + b + c) + + b c a a b c Email nhathuya1k49c3pbc@gmail.com 65 Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC CHUYÊN TOÁN Q= Ȑ Tuyển tập bất đẳng thức thi chuyên toán Nguyễn Nhất Huy Tài liệu [1] Art Of Problem Solving [2] Khám phá tư duy, kỹ thuật giải bất đẳng thức, Đặng Thành Nam [3] Phương pháp PQR, Võ Thành Văn [4] The Secrets in Inequalities, Pham Kim Hung [5] Mathematical Inequalities, Vasile Cˆırtoaje [6] Hội thảo chuyên đề HSG tỉnh từ năm 2014-2019 LATEX BỞI TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC [7] Một số khác từ VMF Email nhathuya1k49c3pbc@gmail.com 66 Tạp chí tư liệu tốn học ... tốn học TUYỂN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC CHUYÊN TOÁN Hai bất đẳng thức suy từ bất đẳng thức Schur bậc bậc Ȑ Tuyển tập bất đẳng thức thi chuyên toán Nguyễn Nhất Huy Mà theo bất đẳng thức Schur ta có p4... liệu tốn học TUYỂN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC CHUYÊN TOÁN ǥ Câu Cho a, b số thực Chứng minh Ȑ Tuyển tập bất đẳng thức thi chuyên toán Nguyễn Nhất Huy Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy  √  b −... luyện tập 59 TUYỂN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC CHUYÊN TOÁN Nguyễn Nhất Huy, Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An Ȑ Tuyển tập bất đẳng thức thi chuyên toán Nguyễn Nhất Huy Các kiến thức bất đẳng thức 1.1 Một số kí