Kĩ thuật đặt ẩn phụ giải phương trình và bất phương trình chứa căn nguyễn tiến chinh

NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN CƠNG PHÁ MƠN TỐN CƠNG PHÁ MƠN TỐN THPT NGUYỄN TIẾN CHINH KỸ THUẬT ĐẶT MỘT ẨN PHỤ KỸ THUẬT ĐẶT HAI ẨN PHỤ ĐƯA VỀ PT ĐẲNG CẤP ĐẶT HAI ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ PT ĐỐI XỨNG ĐẶT ẨN PHỤ KHƠNG HỒN TỒN 46 VÍ DỤ PHÂN TÍCH CHI TIẾT TỪ DỄ ĐẾN KHÓ TÀI LIỆU SẮP PHÁT HÀNH - TUYỂN TẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC SẮC NHIỀU CÁCH GIẢI - MỜI CÁC EM ĐÓN NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN CƠNG PHÁ MƠN TỐN II- GIẢI PHƯƠNG TRÌNH & BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐẶT ẨN SỐ PHỤ  KIẾN THỨC CƠ BẢN 1/ Đặt ẩn phụ Tìm mối liên hệ biến để đặt ẩn phụ thích hợp Một số dạng thường gặp:   t  f x , t    a.f  x   b f x   c   at  bt  c   PP Xin nhắc lại,hầu hết đề không cho mối quan hệ để nhìn thấy cách đặt ẩn phụ ta cần biết phán đoán hướng toán dựa sở phân tích hợp lý CÁC VÍ DỤ ĐẶT MỘT ẨN PHỤ BT Mẫu :Giải Phương trình ĐK: x  x   x  3x   (*) Đặt t = x  1; t   x  t2 1 (1) thay vào phương trình (*) ta có: 2  t2 1   t 1  t         t  4t  4t        t   2   t  1 t  1  t  4t  1   t  1 t  nên t = 1, t =   t   +) t = thay vào (1) ta có x = +) Khi t = 2 13  ta có x = 2 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = x = 13  NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN CƠNG PHÁ MƠN TỐN BT Mẫu :Giải Phương trình x  x  14  x  x  10 (*) Bài Giải : Đặt t = x  x  10  x  3x  t  10 thay vào phương trình (*) ta có t  (*)  t  2t     t    t  2t      t  2t   0(VN ) Với t = ta có x  x  18   x  3  17 (TM) BT Mẫu : Giải phương trình : x  x   x  x      Nhận xét : Thoạt đầu nhìn thấy ta thường nghĩ đặt t đó,tuy nhiên bình tĩnh phân tích ta thấy có điều bất ổn ta đặt vậy,vì việc theo t khó khăn chút,ta hóa giải điều cách chia hai vế cho x xem ??? Lời giải : ĐK : x  Xét thấy x = không nghiệm phương trình,ta chia hai vế cho x > pt sau : x2  x2  2  1 hướng !!! x x Đặt t = x2  , t  thay vào pt ta có t  t   Vô nghiệm x Thấy cần quan sát điểm bất thường toán va động tác ta hóa giải pt BT Mẫu : Giải phương trình x  x   4 x   3(*) (Đề thi thử Sở GD Vĩnh Phúc) x Lời Giải x    ĐK :  x     x  1 Để thuận tiện cho lời giải ta chia toán làm trường hợp sau TH1 : x > chia hai vế cho x ta có pt :   Đặt t   1   4   1 x x x x 3  (t  0)    t  x x x x thay vào (1) ta có t  t   t  t    t  2( L)  t  3(TM ) NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN CƠNG PHÁ MƠN TỐN 3  37  37 Với t =      x  x    x  (tm)  x  ( L) x x 14 14 1     2 x x x x TH2 : Khi x < chia hai vế cho x ta có :   Đặt t   3  (t  0)    t  x x x x thay vào (1) ta có t   t  t  t    t  2(N)  t  3(L) Với t =   3  17  17    x2  3x    x  (L)  x  (N) x x 4 Kết hợp Đk tốn ta có hai nghiêm : x   37  17 x 14 BT Mẫu : Giải phương trình : x  x  11  14  (Chuyên Hùng Vương) x2 ĐK :  x  Viết lại pt sau :  x    x   Vì x > nên chia hai vế cho 2t + > 7/t  14 7x   x  2  x  x2 x2 x ta được: x2 x x2 5  Đặt t = thay vào pt có : x2 x x 2t  5t  7     t  0 t 1 t TH1 : Khi t >  x2   x  x   0(do x  0)  x  x x2     x 2 x  x    x  4  x  TH2 :   t       12  x   x 2  x    x  0  x Vậy tập nghiệm BPT S = (1/2 ;2) v (4 ;+  ) BT Mẫu : Giải BPT sau 3x 1 x 1     x2 ĐK : -1 < x < Viết lại pt sau : 3x  x2 1   x  x2 x2 3x   20 2 1 x 1 x  x2 NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN x Đặt t = ta có : t  3t    t   t  2 1 x x TH1 : t <  1 x CÔNG PHÁ MƠN TỐN   x   x ( a) +) Khi -1 < x < (a) ln +)  x  1, (a)  x   x   TH2: Khi t >  1 x Kết hợp ĐK ta có  x  2 x    x   x2   x 2 1 x  x  4(1  x ) x     Vậy tập nghiệm BPT S   1; ;    2    x 1  x  (*) x 1   x BT Mẫu7 : Giải BPT Nhận xét : Nhìn vào phương trình ta thấy có dấu hiệu « Nhân lượng liên hợp « ta thử tiếp xem : Lời giải ĐK : x   1;3 \ 1    x 1  x 1   x 2( x  1)   x   x 1 x2  2x   x  1 2( x  1) Để toán đơn giản ta chia trường hợp quy đồng bỏ mẫu TH1 : 1  x  (a) ta có ( 1)  x    x  x   x  x     x  x  3   x  x    0(2) Đăt t =  x  x  3, t   t   x  x  lúc (2) trở thành 2t  t    2  t  t  nên   x2  x   2 2  0t    1  x    x3 2 2   x  2x    Kết hợp ĐK (a) ta có 1  x  2 TH : 1< x  1  x    x  x   x  3x     x  x  3   x  x    NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN Đăt t = CƠNG PHÁ MƠN TỐN  x  x  3, t   t   x  x  lúc (2) trở thành 2t  t    t  2 2 2  x kết hợp với (b) ta có  x  2 2 Vậy tập nghiệm BPT 1  x  BT Mẫu : Giải BPT 2 2  1 x  2 x2 2  x2  x     x  2   (Thi thử THPT Quốc Gia Lý Tự Trọng) Nhận Xét : + Ta thấy BPT có chút mang ý tưởng Nhân liên hợp - liên hợp BT cồng kềnh,phức tạp quá,vì ta ko vội theo ý tưởng + Nhận thấy  x  x  4   x    2x2  4x   x  2x  4   x  2  0x  2 Với điều toán dễ dàng chút - làm em ĐK : x  2 Viết lại (*) 2 x     x  x     x    x    x      x     x       Đặt t = x + ,(ĐK x  ) phương trình trở thành 2t  t   t  2t   1 Tới có hai hướng + Hướng : Bình phương vế đưa tốn bậc 4( bình phương lần) bạn đọc tự giải + Hướng : xét thấy t = không nghiệm phương trình,chia vế cho t ta có     (1)   t      t  t     tới em nhìn ý tưởng ko ??? t    Đặt u = t  2u    u  t   4;    2u    u     2 t t 4u  8u   6u  12 u  1  u2 t    t  t    t   3( N )  t   3( L) t 2  u    Với t    t    x   3(TM ) Vậy BPT cho có nghiệm   BT Mẫu 9: Giải BPT sau : x  x   x  x  x   (THPT Chuyên ĐH Vinh) NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN Nhận Xét CÔNG PHÁ MƠN TỐN Thoạt nhìn ta chưa thấy dấu hiệu đặt ẩn phụ,nếu tiến hành đặt theo thường lệ thấy toán vào ngõ cụt biểu thức bậc 3,ngoài bậc ta nhận định mối quan hệ xuất phân tích biểu thức ??? 2  x  x  x  x  x  x   Phân tích :  2  x  x   x  x  x  ta thấy đầu mối tốn xuất hiện,có vẻ nhận định hoàn toàn đắn,giải thử !!! ĐK : x  x  x   1   x   x  1  Khi (*)  x  x  x    x  x   x  x  x    x  x  x  4(1) TH1 : x  1  chia hai vế (1) cho x ta có 1  x2  2x  x2  2x   3 x x Đặt t = x2  x  , t  0,    t  4t     t  x Vậy  x2  x  x2  x  1  17  65  x  x    1 9  x x x 2  x  x   TH2 : 1   x   x  x   (1) ln  1  17  65  Vậy tập nghiệm BPT : S =  1  5; 0   ;  2   BT Mẫu 10 :Giải phương trình x2  x   x     ĐK : x     x  1    x  ; Đặt t = x  1, t  tao có : t  Pt  t    t   4 t     t   t  t  4t  t  t t3  t  4    t  t   BT Mẫu 11: Giải phương trình:  x Đk:     2 x   x x ( x  ) x  x2 phương trình  x   2 x  x  0 x x  x  2 +) Với x > Phương trình  x2  x  2( x2  x)  NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN CƠNG PHÁ MƠN TỐN t  Đặt: t  x  x ta có 2t  t     t   (L)   x  1  (L) t   x2  x   x  x     x  1  (Tm) 2 +) Với x  2 có Phương trình   x2  x  2( x  x)  t  1 (L) Đặt t  x  x phương trình trở thành 2t  t     t    4  52 x  3 t   x  x   4( x  x )   x  x     2  4  52 (L) x   4  52 ; x  1  Kết luận: Phương trình có nghiệm x  2 BT Mẫu13: Giải Phương trình sau TXĐ x  x   x  x   3x  3x  19 (ĐH DL Tôn Đức Thắng) D=R Đặt t =    x  x  2, t  lúc viết lại pt sau t   t  3t  13  2t   2t t   3t  13  4t  t     t    3t  4t  64   t   t   16 ( L) Với t   x  x    x   x  2(TM ) BT Mẫu 14 Giải phương trình sau : x  x   x   x    Nhận xét : Bài tốn có tới bậc 2, câu hỏi đặt lúc đặt t = ? có hai ý tưởng sau Đặt t = x   x  t  ,các em giải phương trình bậc Biến đổi chút để tìm lời giải đẹp ??? ta theo cách cách trình bày nhiều trước :    x  1   x  1   x  1  x    x  1 x 1   2 x 1 7 x 1 2x 1 thay vào ta có x 1 t    t   2   t   t     t  2   2  2 t    2t   3t  28t  44  Đặt t = NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN x  2x 1  Với t = -2 ta có  2  x    x   x 1 4  x  1  1  x  CƠNG PHÁ MƠN TỐN  x   x 4 x  x   Qua ví dụ ta thấy chịu khó quan sát biến đổi cho ta lời giải đẹp mắt,ở toán sức mạnh hệ số lại phát huy tác dụng  PP f x   g  x   f  x  g x   h x    t  f  x   g x  Thơng thường với dạng tốn ta quan sát thấy có hai nhỏ lớn,khi cách tự nhiên ta suy nghĩ tới việc phân tích biểu thức lớn xem có mối quan hệ với hai nhỏ hay khơng?Nếu có việc dự tính ta giải theo phương pháp,nếu khơng có mối quan hệ ta thử biến đổi tư toán theo hướng khác x    x  3x  23  2 x  x  12  BT Mẫu 15 : Giải phương trình Nhận thấy biểu thức lớn tích hai biểu thức nhỏ,vì ta giải theo phương pháp trên:ĐK Đk Đặt t = 3  x4 2x    x, t   t2  x    x    x   3t  3x  21  2 x  x  12 11 ( L) Với t = ta có : x  x    x   x  2 x  x  12   3x    2 8 x  20 x  48  81  54 x  x 17 x  74 x  33  37  202 X= (TM ) 17   3t  t  44   t  4( N ), t   MT Mẫu 16 : Giải Phương trình sau : x    x  4  x  10  3x  (ĐH 2010) Lời giải : ĐK : 2  x   Đặt t = x    x  t   x    36   x   36  x  10  3x  4  x   t  9t   t   t  Khi t = ta có  x   x    x   x   x    36   x   x  Khi t = ta có  x   x    x    x  x  15  12  x 1 Kết hợp ĐK 2  x  thấy 5x - 15 < pt (1) vô nghiệm Vậy tốn cho có nghiệm x = 6/5 BT Mẫu 17 : Giải phương trình sau : x   x  2 x  x  x  26   Lời Gải ĐK : x   NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN Đặt t = CÔNG PHÁ MƠN TỐN x   x  t  0  t  3x   2 x2  x     Viết Lại pt cho ta có : x   2 x  x  x   x  28  lúc pt (*) trở thành : 2t  t  28   t   t   ( L) 15  x  Khi t =  x   x   2 x  x  15  3x   2 4  x  x   15  3x  x    x  47  31 (TMĐK)  x  94 x  225  BT Mẫu 18: Giải phương trình 20 x  11  12 x  x     x   x   (*) Lời giải : ĐK : x  1 Đặt t = x   x   t    t  10 x  37   Viết lại phương trình (*) ta có 10 x  37   x  1 x    x  1 x       x   x   63  1 Với t =  x   x     x  1 x    12  10 x  1  2t  5t  63   t  7( N )  t    L   x  1 x     x  6  x  x    x  (TM)   2 9  x  x      x  16 x  105 x   BT Mẫu 19 Giải phương trình sau 1  x   3 x  14 x   x    x   Lời Giải ĐK : 5  x  Đặt t =  x  x  5,  t    t   x  3 x  14 x     Viết lại pt cho ta có :  x  3x  14 x     x  x   24  t  2t  24   t   t  6( L) Với t = ta có  x  x    t   x  3 x  14 x   3x  14 x    x  x  5  x  5    x  1  x  5 (TMĐK)  2 4 x  24 x  20  3x  14 x     x  BT Mẫu 20 : Giải phương trình : 24  x  22 x   33  x  14 x  8(*) Lời giải ĐK : 2  x  Đặt t = x    x , t   t  44  14 x  24  x   Viết lại phương trình (*) ta có : 5(44  14 x  24  x )  11 x    x  36  5t  11t  36   t  4( N )  t   ( L) 14 x  28  Với t = ta có :  x    x  24  x  14 x  28   2 576(8  x )  14 x  28  10 NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN  x  12 /   478  x  (TMĐK) 1348 x  784 x  3824   x   x    337 CƠNG PHÁ MƠN TỐN Vậy phương trình có nghiệm x = BT Mẫu 21: Giải phương trình:  2x   x   3x  2x  5x   16 Đại học Mỏ – Địa Chất năm 1999 Lời giải 2x    x   ● Điều kiện:   x  1  2x  5x   x  12x  3   ● Đặt t  2x   x  1,  t  0  t2  3x   2x  5x    t  t   16  t2  t  20   t  N  t  4 L  ● Với t   25  3x   2x  5x   2x2  5x   21  3x x  21  3x  x        x   x  4 2x  5x   21  3x  x  146x  429      x  143    ● So với điều kiện, phương trình có nghiệm x  BT Mẫu 22: Giải phương trình    x  x (Đề thi thử ĐH trường THPT Lương Ngọc x 1   x Quyến) t2  Đặt t  x    x , t    x  x  Thay vào pt ta có: 2 t  2t    t   x    x   x  1  x  3(TM ) BT Mẫu 23 : Giải phương trình: 9 x  x   x3  x  x   Nhận Xét: Trước hết ta phân tích thử biểu thức xem nhé,dùng casio thấy có nghiệm x = -1,sử dụng sơ đồ hoocner ta có biểu thức  x  1  x  x  1 Trong 9 x  x   7( x  1)  9( x  x  1) Vì phân tích tơi mượn sức mạnh đồng hệ số,cụ thể sau: Cho 9 x  x     x  1    x  x  1   x      x     đồng với VT ta có 11 NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN CƠNG PHÁ MƠN TỐN   9    9 nhé,bài sau em làm       2   Bài Giải ĐK: x  1 Viết lại pt (*) ta có  x  1   x  x  1  1   x  1  x  x  1 1 chia hai vế cho x 1 x 1 9 2    Đặt t = x  x 1 x  x 1 x  x   ta có x 1 ,t  x  x 1 (2)  7t  2t    t  1( L)  t  ( N ) Với t = 9/7 ta có : x 1   49 x  49  81x  81x  81  81x  32 x  32  0(VN ) x  x 1 Vậy pt cho vô nghiệm BT Mẫu 25: Giải phương trình 5 x  x   x  x  x   Lời Giải : Đk x   ,phân tích tốn giống vd ta có pt sau 2x   2x 1   1 3 2 x 1  x 1     x  1   x  1   x  1  x2  1    Đặt t = 2x 1 ; t  0, 1  2t  3t    t  1( L)  t  (TM ) x 1 Với t = 5/2  2x 1   x   25 x  25  25 x  x  21  0(VN ) x 1 Vậy pt cho vô nghiệm BT Mẫu 26 :Giải bất phương trình: 7x   7x   49x  7x  42  181  14x 1 Đại học An Ninh khối A năm 2000 Bài giải tham khảo 7x    7x   ● Điều kiện:  x  49x  7x  42   12 NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN 1  7x   7x   7x  7x  6  7x    7x  6  182     CƠNG PHÁ MƠN TỐN  7x    7x   7x   7x  7x  6     2 7x    7x   7x   182    7x   7x   182  2 ● Đặt t  7x   7x  Do x  6 6  t  t        13  t  13 7     t  13 t  13     t2  t  182  14  t  13  13  t  13     7x   7x   13, x     14x   7x  7x  6  169  7x   7x   13   84  7x    7x  77x  6  84  7x  7x  7x  6   7x  7x  6  84  7x 2  x  12  6    x  1  x   x  ; 1   ; 6    x   6  ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình x   ; 6   BT Mẫu 27:Giải phương trình sau 2x 12x   2x  3x   x   Nhận xét: Thoạt nhìn ta thấy phương trình khơng có mối liên hệ hết,tuy nhiên để ý bạn thấy vế trái xuất “anh bạn thứ ba” theo kinh nghiệm có xuất ta chia hai vế cho “anh bạn”.Ý tưởng nhé,thực ĐK: x  Xét thấy x = khơng nghiệm phương trình,chia hai vế cho x > ta có pt sau: x   12  x    1 Đặt t = 2x  ta có x x x 1  t  12  t    2t    t  12  t  3  64   t  12  t  3  55  2t 13 NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN 55  55  3169 3  t  3  t    t 256   t  12  t  3   55  2t  256t  3169   2x  CÔNG PHÁ MÔN TOÁN 3169 3169  7421121   512 x  3169 x  1280   x  (™) x 256 1024 BT Mẫu 28: Giải bất phương trình: x  x  2x  7 2x 1 Đại học Thái Nguyên khối A – B năm 2000 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x        1    1  x  4x   ● Đặt t  x  x x Ta có: t  x      x   t2  x  x 1 1  x   t2  4x 4x Cauchy  2 x x  t t  t  t         t3 2   2 t   3t   2t  3t   t    t        x  3 x     2  x   2x  x         x  x x         ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm hệ x  0;    4  7;   2    BT Mẫu 29:Giải bất phương trình: x   x  4x   x  Tài liệu thầy LÊ VĂN ĐOÀN - Đề thi Đại học khối B năm 2012 Bài giải tham khảo x  ● Điều kiện:    x  4x     0  x    x    14 NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN CƠNG PHÁ MƠN TỐN ● Với x    :   x  : nghiệm bất phương trình ● Với x  : chia hai vế  cho   x x  x ● Đặt t  x  x 4 3 x x, ta được: 1 Cauchy   t2  x  2 x 2 1  3  t    t    t  3  t   t  2 t   3  t  2  x x   x 2  x 1 0x  x 4  1 ● Vậy tập nghiệm bất phương trình x  0;    4;     4 BT Mẫu30: Giải phương trình sau: 3x    x   (ĐH 2009A) Nhận xét: toán phổ biến nhiều cách giải,trong phạm vi viết xin đề cập tới phương pháp đặt ẩn phụ theo hai cách sau đây: ĐK: x  Cách 1: Đặt t = 3x   x  t3  thay vào phương trình ta có t  t3   5t  pt  2t   8     2t     5t  3 9      2t     t  t     t  2  x  2 (TMĐK)  2 15t  4t  32t  40   t   15t  26t  20   Cách 2: Đặt t = 3  5x  x  t2 , t  pt cho tương đương   3t  t2 3   3t         3t   135t  1104t  2880t  2496  5   t   135t  564t  624  0(VN ) với t = x = -2(TMĐK) 15 NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN CƠNG PHÁ MƠN TỐN 2/ Đặt hai ẩn phụ Thơng thường, ta tìm mối liên hệ biến để đặt ẩn phụ đưa phương trình đẳng cấp (đồng bậc) hệ phương trình đối xứng loại 2, đẳng cấp,… Ta thường gặp số dạng sau:  u  n a  f  x  n m   a  f x   b  f x  c   đặt  v  m b  f x    n n n a A  b AB  c B   PP  a.A  x  b.B  x  c A x .B x    đặt u, v  PT : u2  uv  v2   2 .A  .B  mA  nB  PP PP  y  n bx  a  x n  a  b n bx  a  đưa hệ đối xứng loại II: x n  by  a    n y  bx  a     ax  b  cx  dx  e PP     đặt a  0, c  0, a   c ax  b  2cy  d đưa hệ đối xứng loại II n 5.Nếu pt có dạng  ax  b   p n a / x  b /  qx  r  n a / x  b /  ay  b (thuật đặt ẩn phụ đối xứng)  Cần lưu ý số khai triễn biến đổi sau: ● x    x  1 x  x  1 hay tổng quát hơn: x  a   x  a  x  ax  b        ● x  x   x  2x   x  x   x  x  x  x  x     ● x   x  2.x  x  2.x  ● 4x   2x  2x  12x  2x  1 ● u  v   uv  u  1v  1  Các tập mẫu minh họa: BT Mẫu 31 : Giải phương trình sau 56  x  x  41  (Học viện Bưu Viễn Thơng) Nhận Xét: Đây kiểu tốn đặc trưng cho phương pháp đặt hai ẩn phụ để đưa hpt ( tốn có bậc lớn) ta có lời giải sau: ĐK: 41  x  56 16 NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN CÔNG PHÁ MƠN TỐN 4 Đặt u  56  x , u  0; v  x  41  1  u  v  5(a ) cịn phương trình lấy đâu ra??? Pt lấy từ việc em nâng lũy thừa phép đặt ẩn phu rơi sau ta tìm phép tốn phù hợp để làm x ( cộng - trừ) sau u  v  97(b) Kết hợp (a) (b) ta có hpt u  v  u  v   u  v     4  2 2 u  v  97   u  v   2uv   2u v  97 2  uv   100uv  528   uv   uv  44 u  v  u  u  TH1 :  lúc u , v nghiệm pt X  X    X   X     uv  v   v  u  56  x  16  56  x  +    x  40(TM ) v   x  41  81  x  41  u   56  x  56  x  81 +    x  25(TM ) v   x  41  16  x  41  u  v  TH : :  lúc u , v nghiệm pt X  X  44  0(VN ) uv  44 Vậy pt cho có hai nghiệm x = 40 x = -25 BT Mẫu 32 : Giải phương trình sau x  3x   x     x    x  1  x  x  1  Phân tích :  2  x  3x     x  1    x  x  1   x      x         1,   Viết lại pt cho  x  1   x  x  1  Đặt u =  x  1  x  x  1 1 x  1, v  x  x  1; u  0, v  lúc ta có pt : u u 2u  v  uv  2u  v  uv          0(vn) v v 2 2 BT Mẫu 33 : Giải phương trình sau  x   x   (ĐH Tài Chính kế tốn ) ĐK : x  Đặt u   x , v  x  1, v  lúc phương trình (*) viết lại sau :u + v =1,cần tìm thêm phương trình ta có u  v  v   u u  v  v   u u  u  u  2 Vậy ta có hpt       2 v   v  v  u  v  u  1  u   u  u  2u  17 NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN   x  u  TH1 :    x  2(n) v   x   CÔNG PHÁ MƠN TỐN   x  u  TH2 :    x  1(n) v   x     x  2 u  2   x  10 TH3 :  v   x   BT Mẫu 34 : Giải phương trình  x   x   Đây kiểu quen thuộc,có nhiều cách giải khác phạm vi cách đặt hai ẩn phụ Đặt u   x , u  0; v   x ta có hpt u   v u   v u  v      2 3 3   v   2v  19 3u  2v  19 2v  3v  18v    v   v  4  v  ĐK : x  1  3 v    3x  13 (™) TH1:   x u    2x    2   3x  4 v   TH2:    x  23 u    x    3x  v  TH3:    x  1(tm) u    x  Vậy pt cho có nghiệm BT Mẫu 35: Giải phương trình x  3x    x   x   1   Đặt u  x  1; v  x  ta có v  u  thay vào (*) ta có : u  v uv(u  v )  v  u  uv  u  v    u  v   u  uv  v     u  v  u  v     u  v  x 1  x  x 3  x    x  BT Mẫu 36 : Giải phương trình x   x   x  x    18 NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN ĐK : x  CƠNG PHÁ MƠN TỐN Nhận xét : Bằng kinh nghiệm ta nghĩ tới việc phân tích biểu thức lớn kết sau    x   3x    x  1   x   1 Đặt u = 2x - u  0; v  3x  2; v  thay vào (1) ta có u  v  2u  2v  u  2uv  v  2u  2v   u  v    u  v  x   3x   x  x   3x   x  x    x  1(n)  x  (n) BT Mẫu 37 : Giải BPT x   x  x   x  x    Xin nhắc lại với kiểu tốn đặt ẩn phụ điều quan trọng tìm mối quan hệ hàm số cóa mặt bài,từ đưa giải pháp gọn - đẹp Ở ta viết lại phương trình sau : Từ đay cho ta ý tưởng : Đặt u = x   x  x    x  x  3  ( x  1)  x  1; u  0; v  x  x  3; v  Thay vào pt ta có : u  2v  2v  u  10u  4uv  14v    u  v 10u  14v    u  v Vì 10u + 14v > với moi u,v > + với u > v  x   x  x   x  1 tập nghiệm BPT S = (; 1] BT Mẫu 38: Giải phương trình sau : x x    15  x  x  15  15 x  x3  x   ĐK  x  15 Viết lại pt : 15  x   x 15  x  x    15  x  x  1 Đặt u  15  x , v  x (u , v  0) thay vào (1) ta có : u  3uv  4v  2(v  u )  cho v = 100 ta có U = 200 = 2v, u = 98 = v - Vậy u  2v  15  x  x  x  x  15   x  2  19(n)  x  2  19(l ) Với u = v -  15  x  x  2(2) với  x  15  15  x  x   15   16   0(vn) BT Mẫu 39 : Giải Phương trình sau : x   x  x    x  x   1 (HSG Vĩnh Phúc) ĐK :  x  19 NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN   x    x  x     x  x  1 (1) Đặt u = CƠNG PHÁ MƠN TỐN  x , v  x  1, u; v  thay vào (1) ta có : v  2u  2v  uv   u  v  v     u  v  v  TH1 : u  v   x  x   x  4(Tm) TH2 : v   x    x  (Tm) n 5.Nếu pt có dạng  ax  b   p n a / x  b /  qx  r  n a / x  b /  ay  b (thuật đặt ẩn phụ đối xứng) BT Mẫu 40 : Giải phương trình 2x 1  27x  27x 13x  (HSG - Hải Phòng) Nhận xét : Nhìn qua ta thấy tốn theo hướng quen thuộc Hàm số nhân liên hợp,tuy nhiên ta bàn tới làm để đặt ẩn phụ cách mối quan hệ Viết lại phương trình : 2x 1   3x 1  4x 1 , tốn có dạng số (5) ta đặt 2x 1  3y 1 2  y  1   3x  13  x  1(1) Ta có hệ phương trình :  2 x    y  1 (2) Lấy (1) - (2) ta có 3 2  y  1   x  1   3x  1   y  1  x    x  y  6   3x  1   3x  1 y  1   y  1       x  y   2       x  1   x  1 y  1   y  1    x  1   y  1    y  1  0(VN )      Với x = y thay vào (2) ta có 2x 1   3x 1  27x  27x  7x   x  27x  27x     x  BT Mẫu 41: Giải phương trình x  3x  3 3x   1 3x  (Đề thi olympic) Viết lại pt sau : x  3x  3x 1  3 3x    x 1   3 3x  Đặt 3 3x   y 1  3x    y 1 ta có hpt :  x  13   3( y  1)(1) 3 2   x  1   y  1   y  x    x  y   x  1   x  1 y  1   y  1  3      y  1  3x  5(2) x  y     2  x   x  y   y    x   y   y    0x, y                          Với x = y ta có 3x   y   3x    x  1  x3  x    x   x  2 20 NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN Thử lại pt thấy thỏa mãn,đó nghiệm cần tìm BT Mẫu 42 : Giải phương trình sau : Viết lại pt : 3 CÔNG PHÁ MƠN TỐN 3x   x  3x  x    3x   x   ( x  1)3 Đặt 3x   y   x    y  1 3 x    y  13 (1) 2 (1)  (2) Ta có hpt :     x  y   x  1   x  1 y  1   y  1  1     y  x    x  1 (2)  x  y  x   3 x   ( x  1)3  3x    x  1 x     x   x  2        x  1   y  1    y  1  1  0x, y (vn)     Thử lại thấy thỏa mãn,do nghiệm pt x = x = -2(các em nhớ phải thử lại nâng lũy thừa khơng có đk pt hệ mà thơi) Chú ý : ta tìm phép đăt 3x   y 1  3x    y 1 cách sau Xét y = x  3x  x   y '  3x  6x 1  y ''  6(x 1) nhiên lúc dùng cách em !!! 3/ Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn Đặt ẩn số phụ khơng hồn tồn hình thức phân tích thành nhân tử Khi đặt ẩn phụ t biến x tồn ta xem x tham số Thơng thường phương trình bậc hai theo t (tham số x) giải cách lập Δ BT Mẫu 43 : giải phương trình sau x  3x    x  3 x    Nhận xét : Nhìn vào phương trình ta nghĩ tới việc đặt t = x  nhiên khó chỗ sau đặt ẩn phụ xong tốn khơng rút theo ẩn t triệt chứa ẩn x,làm ??? Đừng vội lo - nội dung phương pháp mà tơi muốn trình bày cho bạn ĐẶT ẨN PHỤ KHƠNG HỒN TỒN Lời Giải Đặt t = x   x  t  1, t  (bài khơng có tham số ko cần tìm xác điều kiện em) Ta phương trình t   x  3 t  3x  ta có hai cách sau giải phương trình tính    x  3 (thầy dùng) Liệt kê hạng tử chứa x : -xt + 3x = t = phân tích theo sơ đồ hoocner casio Dễ dàng có hai nghiệm t = t = x 21 NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN Với t = ta có x = 2 ,t = x vơ nghiệm CƠNG PHÁ MƠN TỐN Thật dễ dàng không em ???tuy nhiên thực tế không giống đâu,có phương trình khơng khéo léo ta khơng có lời giải đẹp,hãy xét ví dụ sau coi tổng quát BT Mẫu 44: Giải phương trình  x  1 x   x  ĐK x   Đặt t = x  (*) 1 x 2 x  1, t   x  t 1 Viết lại phương trình ta có : x    x  1 x   x  3 x    2t   x  1 t  x  x   2 Có    x  3  t  x   t  x   x  + t = 2x -1  x   x     x  1(tm) 2  x  2x     x  2 + t = x +  2x2 1  x     x  1  x   x  4x   Điều làm bạn cảm thấy băn khoăn lời giải ??? có lẽ việc lại khơng bình thường mà mà lại phải tách x  x  x làm để biết phải tách ??? Thật đơn giản,khi làm tốn phương pháp ta ln hi vọng dellta số phương dó cần tìm hệ sơ a thật đẹp,Tổng qt ta tìm m thỏa mãn pt sau : mt   x  1 t    2m  x  m       8m  20m   x    6m  x  12m  4m  Lưu ý : xếp lại dellta phương trình ẩn x Để dellta phương ta cho  x    6m    8m  20m   4m2  12m  1   m  Việc tìm m = nhanh dùng mode casio em nhé( không nên ngồi giải pt này) Thế xong phương pháp tổng qt nhé,các ví dụ sau tơi ko nhắc lại thêm !!!! BT Mẫu 45 : Giải phương trình sau x  12 x x   27  x  1  ĐK : x  1 Đặt t = x   x  t  1   27t  12 xt  x  PT đồng bậc cho x = 100 ta có t = 200/3 = 2x/3 t = -200/9 = -2x/9 22 NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN x  2  + t  x  x 1  x    x3 3 x   x  CÔNG PHÁ MƠN TỐN x  81  97  +t=  x x  x   81 x BT Mẫu 46 : Giải phương trình x  x  10   x   x   Đặt t = x 1 ta có    6t   x   t  x  4x      25  x   tới dễ Chú ý toán sử dụng phương pháp hệ số bất định ví dụ tổng qt để tìm pt đẹp Nói Tóm lại : Ẩn phụ phương pháp làm cho toán trở nên nhẹ nhàng hơn,những dạng phương trình đặc biệt kể mang tính chất giới thiệu ta không nên phụ thuộc nhiều vào dạng mà xin nhớ muốn phương pháp đạt hiệu cao điều quan trọng phân tích tìm mối quan hệ tồn phương trình để từ đặt ẩn phụ cách hợp lý sáng tạo 23 ...NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN CƠNG PHÁ MƠN TỐN II- GIẢI PHƯƠNG TRÌNH & BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐẶT ẨN SỐ PHỤ... x = +) Khi t = 2 13  ta có x = 2 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = x = 13  NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN CƠNG PHÁ MƠN TỐN BT Mẫu :Giải Phương trình x  x  14  x  x  10 (*) Bài...    t  x x x x thay vào (1) ta có t  t   t  t    t  2( L)  t  3(TM ) NGUYỄN TIẾN CHINH - VINASTUDY.VN CÔNG PHÁ MÔN TOÁN 3  37  37 Với t =      x  x    x  (tm)  x 