1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

Kĩ thuật xử lí phương trình hệ phương trình vô tỉ đoàn trí dũng

17 23 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 17
Dung lượng 788,56 KB

Nội dung

TÀI LIỆU ÔN THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA  KỸ THUẬT XỬ LÝ PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ PHẦN I: PHẦN II: PHẦN III: PHẦN IV: PHẦN V: PHẦN VI: PHẦN VII: PHƯƠNG PHÁP XÉT TỔNG VÀ HIỆU DỰ ĐỐN NHÂN TỬ TỪ NGHIỆM VƠ TỶ HỆ SỐ BẤT ĐỊNH ĐẠO HÀM MỘT BIẾN LƯỢNG GIÁC HÓA ĐẶT ẨN PHỤ PHẦN VII: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Biên soạn: Hot line: Facebook: ĐỒN TRÍ DŨNG 0902920389 https://www.facebook.com/toanthaydung 1|THỦ THUẬT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHẦN I: PHƯƠNG PHÁP XÉT TỔNG VÀ HIỆU  Phương pháp xét tổng hiệu sử dụng cho phương trình vơ tỷ phương trình có hệ phương trình dạng BÀI 1: A  B  C Điều kiện sử dụng chỗ ta nhận thấy C nhân tử  A  B  x2  x  x   x  Nhận thấy A  B   x  x    x  1  x  có nhân tử C  x  x2  2x  2x   x2  x  x 1 x2  x  x   x2 1  x 1 x 1   x  2x  2x 1  x 1   x2  2x  2x  x    x  2x  2x 1  x 1 BÀI 2: x3  x   x   x  x  Nhận thấy A  B   x  x  1   x    x  có nhân tử C  x2  x  x  x 1  x 2 x 2     x2   x2   x3  x   x  x3   x 1 x2  x   x3  x   x   x  x    x   x  x    x  1  x   x    x3  x   x   x    Thử lại nghiệm ta thấy có x  thỏa mãn nên phương trình có nghiệm x  BÀI 3: x  x  x  x 1  x 1     Nhận thấy A  B  x  x  x  x   x  có nhân tử C  x  x  x  x  x 1  x 8 xx   x 1 x  x  x  x 1 x 1  x 1 x 1  x  x  x  x 1  x 1   x  x 1   x  x   x    x  x  x  x   x    y  3x   y  x   BÀI 4:    y   x   2x 1  y Nhận thấy phương trình đầu có A  B   y  3x  4   y  5x    8x có liên quan đến giá trị y  3x   y  x    y  3x     y  x    8 x  2 x y  3x   y  x  4   y  3x   y  x     y  3x    x  y  3x    x  y  x  x, x    y  3x   y  x   2 x Thay vào phương trình thứ ta 2|THỦ THUẬT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH 5x2  5x   x   x2  x        x  x    x  1  x  x   x  x   *   1  x2  x     1   5x  5x   x  x  x    Vì x   1  17  17      x2  x    x  ,y 32 5x  5x   x  x  x  Trong phần có chi tiết trục thức bước * giải thích Phần II: HỆ SỐ BẤT ĐỊNH    y  24 x  x 1  y  0 BÀI 5:  y2 1   5x  y    x  y  Phương trình thứ có A  B   5x  y  5  1  x  y    x  1 có liên quan đến giá trị 5x  y    x  y   x  y  5  1  x  y    x  1  x  5x  y    x  y    5x  y    x  y  x  x    1 x  y   x   4 y   x    20  y   5x  y    x  y    Để ý phương trình có x  x   y   y  24 y2 1  0   x 1    y  5  y  y   y2 1  0y  Vậy hệ có nghiệm x  y    2x  y  2x  y   BÀI 6:  2   x  x  y  y  x  1   Nhận thấy phương trình đầu có A  B   x  y    x  y  4   y   có liên quan đến giá trị 2x  y  2x  y    2x  y    2x  y  4   y  2  2x  y  2x  y  4 y2  2x  y  2x  y   y  2  y6   y   2 x  y   x  32    2x  y  2x  y    Mặt khác phương trình thứ biến đổi thành: x3  x  y  y  x  1        x3   x  xy  y  y  y      x3    x  y    y    2 Vì VT  0x  hệ phương trình có nghiệm x  1, y  3|THỦ THUẬT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH   y  2x 1  1 y  y  BÀI 7:    x x  y ( x  1)  x  y Nhận thấy phương trình đầu có A  B   y  x  1  1  y   y  x  không liên quan đến C  y  Cịn phương trình thứ có A  B  y( x  1)   x  y   x  y  x  rút gọn với C  x x y ( x  1)  x  y   y ( x  1)  x  y  y ( x  1)  x  y  x  y  x x x  yx x  y ( x  1)  x  y  x x yx x2  x  y    y ( x  1)   x x  yx x x  y ( x  1)  x  y  x        x   y x2  x  x2  x  y  y x2  x    x y   x   x y   y  x2  x Thay vào phương trình thứ ta được: x2  x    x  x   x  x  Đến tình ta dung kỹ thuật nhẩm nghiệm nhận phương trình có nghiệm x  (Hoặc sử dụng máy tính SHIFT SOLVE) Khi x  Cauchy để đánh giá: x  x  = 1,  x  x  = Do ta sử dụng bất đẳng thức   x2  x 1 x2  x 2  x  x 1  1 x  x   2  2 1  x  x    x  x    x  x    x  x   2  x  x 1  x 2 x  x 1   x     x2  x  2  x2  x    x2  x   x  Vì x   x    x  1  x   x  x   x  x    x  x   x  x  2 Vậy đẳng thức xảy x  1, y  BÀI 8: x2  16  x  3x   x   Bài toán nghiệm đẹp  x  3, x   để giải nghiệm cách trục thức đơn gần không nhiều điểm Để giải triệt để ta sử dụng kỹ thuật xét tổng hiệu: x  16  x  x   x     x    16  x  3x   x  16  x  3x  3x  12 x 2 x  16  x  x  2  x 1 1 x 1 1 x x 1 1 Như nghiệm x  Nếu x  x  16  x  3x   3  x     x 1 1 Do ta có hệ: 4|THỦ THUẬT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH  x  16  x  3x   3  x      x  16  x  x   x    x  16  x 3 2 x    2     x  16    x  13  x2   x  16    2 x 1 1  x  16   13  x    x  16  13  x  x   11  x  x    27  x  x     x  3   3x  13 x  3  x 1   x  3    x  3  x  13   x  3    9  x 1    x  16  Vì x  1  x   Ta xét 3x  13 3x   x  9   0x  1 x 1  x 1  Vậy phương trình có nghiệm x   x  BÀI TẬP ÁP DỤNG:  x  y  y  x  BÀI 1:  1  x 1  y    x  y  x  y  y BÀI 2:   x  y   x 12  y  y 12  x  12    BÀI 3:    x  8x   y   x  y2  x  y2   y 1  BÀI 4:    x  1   x  1 x   y  BÀI 5: x2    x  x  5|THỦ THUẬT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHẦN II: DỰ ĐỐN NHÂN TỬ TỪ NGHIỆM VƠ TỶ  Phương pháp tận dụng nghiệm vơ tỷ mà máy tính dị để đốn trước nhân tử phương trình, hệ phương trình Để sử dụng kỹ thuật này, cần phải nắm tốt quy tắc dò nghiệm SHIFT SOLVE 5x2  5x   x   x2  x   Điều kiện: x  Sử dụng máy tính SHIFT SOLVE với x  ta x  1,390388203 BÀI 1:  x  x   2,390388203  x  Khi thay vào giá trị thức:  Do  x   2, 780776406  x 5x  x  cần phải tạo 5x  5x    x  1  x  cần phải tạo thành nhóm biểu thức x  x  thành nhóm biểu thức 5x2  5x   2,390388203  5x2  5x   x  Như ta thấy 5x2  5x   x   x2  x   Viết lại phương trình ban đầu ta được:      x  x    x  1  x  x   x  x   *   1  x2  x     1   5x  5x   x  x  x     Vì x  1  17  17      x2  x    x  ,y 32 5x  5x   x  x  x  BÀI 2: x  x  x   3x    3x  1 Điều kiện: x  x   Sử dụng SHIFT với x  ta x  4, 236067977  x  2x    Thay vào thức toán:  Như x   5, 236067977     x  x  trừ  3x  1 trừ  x  1 Viết lại phương trình: x  3x   x  x    3x  1  x  2x  1    x  2x  1  x  1  2x  x  2x  1     x  x    x  1 x    x  1 x2  4x 1 x    x  1 x2  2x    2x  2  x  2x  1 x 1  2x       x  x    x    3x  1  x  x    x2  4x 1    x2  4x 1  x2  4x 1 x    x  1    x2  4x 1  6|THỦ THUẬT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH    x  4x 1           1  x    3x  1  x  2x   x 1  2x         x  2x  1 x 1  2x    Vì x  x   nên x  x   2.0   x      x    3x  1   Vậy x2  4x   0, x   x   BÀI 3: x3  x2  x   x2 x   x  13 SHIFT SOLVE với x  ta x  0,828427124 Thay vào giá trị thức: 2 x   4,828427125  x   Do ta viết lại phương trình ban đầu:  x  13  3,828427125  x        x x   x   x   x  13    x x  x  16   x   x42 x5  x  x   x  13 0 x   x  13   x2  x  4x    0  x   x  x   x  13    Đến ta chứng minh x   x  x   x  13 dương Để đánh giá điều ta phải xuất phát từ phương trình ban đầu đánh giá điều kiện căn: x3  x2  x   Tuy nhiên phương trình bậc nghiệm xấu, chương trình THPT khơng nên sử dụng phương pháp Cardano để giải bất phương trình mà ta thêm bớt vài hạng tử nhỏ để bất phương trình dễ giải hơn:   x3  x  x    x3  x  x     x   x    x  4  x   x   Do đó:  Vậy ta có x   x  13       13       x2  x    x  2  2  x    BÀI 4: 3x  x3  x  Phương trình giải phương pháp đạo hàm đẹp nhiều thử phá vế sử dụng kỹ thuật hệ số bất định thông qua SHIFT SOLVE để thấy tốn có cách giải phổ thông Lập phương hai vế ta được: 27 x6  x3  x  Sử dụng SHIFT SOLVE liên tục với giá trị khác ta thu có nghiệm là: x1  0, 434258545 (Sử dụng tiếp SHIFT RCL A để gán vào biến A) x2  0,767591879 (Sử dụng tiếp  x  x  A  B   SHIFT RCL B để gán vào biến B) Khi ta sử dụng định lý Viet đảo:  Như ta  x x  AB    1 nhận nhân tử có x  x   hay 3x2  x   Thực phép chia đa thức ta thu được: 3 7|THỦ THUẬT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH      27 x6  x3  x   3x2  x  x4  3x3  x  x   Vì x4  3x3  x2  x   x4  3x  x  x  1   x  x  1   nên 3x  x    x   13 BÀI 5: 15x2  x  x  x   SHIFT SOLVE ta x  0, 767591879  x2  x   1,535183758  2x Nhân tử   x2  x   2x 15 x  x  x  x     2 x  x  x   15 x  x      3x  x     3x  x    3x  x    5  2x  x2  x   2x  x  x 1  Xét  2x  x  x        10 x  x  x    (Phương trình bậc 2) Kết hợp 3x2  x   15x2  x   ta x   13 BÀI 6: x3  x   x  1 x   SHIFL SOLVE ta x  1,618033989  x 1  1,618033989  x Do có nhân tử x  x       x3  x   x  x    x2  x  x   x2  x 1  x   Xét   x2  x 1 x  x 1   x2   x  x 1   x  x 1   1   x  x 1     x2  1    x  x   x   (Vô nghiệm) Vậy x  x    x  x  x 1 x3  x   1  x3  x     x  1 x  x   x  x   0x  x   x  2   BÀI TẬP ÁP DỤNG BÀI 1: x2  3x    x  1 x  BÀI 2: x2  x    x  x BÀI 3: x3  3x2  x   x2 x   x  11 BÀI 4: x  x    x   x  x  BÀI 5: x2  x  x2   x4 x2  BÀI 6: x2  x   x  BÀI 7: x3  x   3x  8|THỦ THUẬT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHẦN III: HỆ SỐ BẤT ĐỊNH  Mục đích phương pháp hệ số bất định tạo thêm bớt giả định cho có nhân tử chung đồng hệ số để tìm giả định Hệ số bất định có chất phân tích nhân tử có tác dụng mạnh tốn có nhiều nghiệm BÀI 1: x4  x2   x4  20 x2   x Điều kiện: x  Ta nhận thấy cần phải khai triển 7x  ax  bx với a, b hai số giả định cho chuyển sang bên trái, nhân liên hợp ta tìm hai nhân tử chung Do ta triển khai triển giả định: x  x   ax  x  20 x   bx   4   x4  a2  x2  x  x   ax    x  20  b2 x  x  20 x   bx  0  1  a   Mục đích ta hai tử số có nhân tử chung ta có 1  20  b   a  2, b  a  b   Như ta khai triển lại toán sau:  x4  5x2  x4  x2   x  x4  x2   x  x4  20 x2   5x    1   x4  5x2    0 4 x  20 x   x x  x   x x  20 x   x   x4  5x2    Vì x  nên phương trình có nghiệm x   x  BÀI 2: x  x    x  1 x  x  Điều kiện:  x  x  1  x  1  Do phương trình tương đương với x2  x   x  x  nên ta 2x 1 x2  x    ax  b   x  x    ax  b  có vế trái 2x 1 sau quy đồng vế phải sau trục thức có nhân tử giống tìm nhóm  ax  b  giả định cho phương trình Vì ta khai triển giả định sau: x2  x    ax  b   x  x    ax  b  2x 1 2  2a  x    a  2b  x  1  b  1  a  x    2ab  x    b     2x 1 x  x   ax  b Do ta cần tử số có nhân tử giống nên ta có  2a  a  2b  b    a  0, b   a2  2ab  b2 Khi ta khai triển lại tốn sau: x2  6x  x2  2x 1   x2  x     2x 1 2x 1   x  2x 1   x2  x     x  2x   2x 1 x2  2x 1 9|THỦ THUẬT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH   BÀI 3: x  x  1  x   x  1 x x  x   x3  x  x  Điều kiện: x  Viết lai toán dạng:  x3  x  x nên ta tìm nhóm x 1 2x  2x  x    ax  b   x3  x  x   ax  b * có vế trái  ax  b  giả định cho phương trình x 1 sau quy đồng vế phải sau trục thức có nhân tử giống Ta khai triển giả định sau: x3   a   x   a   b  x  b  *  x 1    x3  a  x    2ab  x  b Do ta cần tử số có nhân tử giống nên ta có: x3  x  x   ax  b  a  a 1 b b      a  1, b  2 a   2ab b2 x3  x  x  Khi khai triển lại toán với a  1, b  ta được:   x    x3  x  x   x   x 1  x  3x   x3  3x  x3  3x     x 1 x3  x  x  x   x3  x  x   VN  BÀI 4: x2  x   21x  17  x2  x  SHIFT SOLVE  x  1 x  Để làm xuất nhân tử này, ta cần khai triển giả định toán thành:  x  x    mx  n    px  q   21x  17   x  x   m  p  x   n  q       Xét x   m  n  2 x  x    mx  n  ta có:   m  n 1  x   2m  n  x   p  q  p  Xét  px  q   21x  17 ta có:    x   p  q  q  1 Vậy ta khai triển lại toán sau:  x  x    x  1   3x  1  21x  17   x  3x     x 1    17   x  3x     1  Vì x   3.17 21 3x   1   x  x   x  3x   21x  17  21    Do phương trình có nghiệm x   x  BÀI TẬP ÁP DỤNG BÀI 1: x  x     5x  1 x3   x   BÀI 2: x   x  x   x3  3x  x  BÀI 3: x2  3x   x   x  x   BÀI 4: x   3x   x BÀI 5: x3  5x  x   1  x  x  x  10 | T H Ủ T H U Ậ T P H Ư Ơ N G T R Ì N H – H Ệ P H Ư Ơ N G T R Ì N H PHẦN IV: ĐẠO HÀM MỘT BIẾN   Kỹ thuật 1: Coi x ẩn, y tham số, tính đạo hàm f x'  x, y  chứng minh hàm số đơn điệu liên  tục theo x Kỹ thuật 2: Phương trình f  x   có tối đa nghiệm f  x  đơn điệu liên tục theo x  Kỹ thuật 3: f  x   f  y   x  y f  x  đơn điệu liên tục theo x  x  y2  x  y2   y 1  BÀI 1:    x  1   x  1 x   y  y   x  Nếu x  2 y phương trình đầu trở thành  y  y    Thay cặp nghiệm  y  1  x  2 vào phương trình ta thấy không thỏa mãn Nếu x   y  phương trình đầu trở thành y   y   y  1  x  2 Thay cặp nghiệm vào phương trình ta thấy khơng thỏa mãn Vậy x  2 y , x   y  Khi ta xét hàm số: f  x  x  y2  x  y2   y 1  f '  x   x  y2  x  y2   Do hàm số đơn điệu liên tục với x thuộc tập xác định Mà f   y    x   y Thay vào phương trình ta được: x     x  1 x   y      x  x  1   x  1 x    x   x x   x   x   Do  x2   x  x2     x2   x    x2   x   x2     x2   x2 1 x    0x  x   2 x   x y 3 x  2 CHÚ Ý: Để tìm nhân tử x   y ta làm sau: Đặt y  100  x  20000  x  10001  101  x  10000   y BÀI 2: x    x   x     x2  x   x    x2  x Điều kiện: x > Ta viết lại phương trình thành:  x 1 x3 1     x2  2 x x Xét hàm f  t   t  t   f '  t   x 1  t  t 1 t 1 2  x 1  1        x x   t t t 1  f  t  liên tục đồng biến 11 | T H Ủ T H U Ậ T P H Ư Ơ N G T R Ì N H – H Ệ P H Ư Ơ N G T R Ì N H  x 1  1 Do f   f       x   x 1   x 1 x 2 y  y  x  x   x BÀI 3:   y   y   x Xét hàm số f  y   y3  y  x  x   x với y ẩn, x tham số Ta có hàm f  y  liên tục có f '  y   y   nên f  y  hàm đồng biến Mặt khác ta có f    x  1  x   x   x  x  x   x  phương trình có nghiệm y   x Thay vào phương trình ta được:  2x  1 x   x  x   2x 1  x  2 x    2x  1 x   2x  1 x  Để tìm nhân tử y   x , ta xử lý sau: Đặt x  99 198 99 99 99  y3  y  1  1   y   1  1 x 100 100 100 100 10 100      x  y  y  x  xy  BÀI 4:  2 2  x y 1 y  1 x  x y  x  x   x2  x  x   Từ phương trình ta có x   x  x y   y Do   y  Mà x y  1   y    dấu nên ta suy x  0, y  Khi phương trình viết lại thành: Xét hàm số f  t   t  t  t , t   0;    f '  t    t2 1  x x 1  y  y 1 y2 x   t  Do f  t  hàm số liên tục 1 t 1 đồng biến  0;   Vì ta có f    f  y    y Thay vào phương trình đầu ta x  x  x  x  x  x   y  y  BÀI 5:  2  x  y  3x  y   Để ý thấy phương trình thứ phần khuyết phương trình đầu Nếu ta kết hợp hai phương trình xây dựng hàm đặc trưng Vì ta biến đổi phương trình trở thành x2  3x   y  y cộng vào vế phương trình đầu ta được: x  x   x  x   y  y    x  1   x  1 Xét hàm đặc trưng f  t   t  t  4, t   0;    f '  t      y2  y2   Do f t4  x 1   f  y   y  x 1  x  1  y    y  1 x 12 | T H Ủ T H U Ậ T P H Ư Ơ N G T R Ì N H – H Ệ P H Ư Ơ N G T R Ì N H 2 PHẦN V: LƯỢNG GIÁC HÓA  BÀI 1:  x  x2   x  x t t t   x  cos t  t  0;    sin  2cos t   2cos t sin t  sin  cos 2t  sin 2t  sin  sin  2t   2 4  BÀI 2: x3  12 x2  x   x  x Phương trình   x  1   x  1    x  1 Đặt x   cos t  t  0;    4cos3 t  3cos t  sin t  cos3t  sin t   BÀI 3:  x 16 x  12 x   x3  3x  t  1   cos  x  cos t  t   0;    sin t 16 cos t  12 cos t   cos3 t  3cos t   sin t  cos  2  t   1  cos 3t   sin t  cos 2t   cos 2t  1  cos 3t  sin t  cos 4t  cos 2t  1  cos 3t  sin t  cos 3t cos t  1  cos 3t  cos 3t sin 2t  sin t  cos 3t  sin 5t  sin t  sin t  cos 3t BÀI 4:   x2  x2  x 1   2x x  x2        x  tan t , t    ;  \ 0;  ;  4  2     x  x2 2x  x 1  ,  sin 2t ,  sin 2t cos 2t 2 cos t x  x 1     x2  x2  1 x 1      2x cos t sin 2t sin 4t 2x 1 x    cos 2t  2sin t  1 2sin t  2    sin 2t sin 4t sin 4t sin 4t    cos 2t  2sin t  1    2sin t  2sin t  1   sin t  13 | T H Ủ T H U Ậ T P H Ư Ơ N G T R Ì N H – H Ệ P H Ư Ơ N G T R Ì N H PHẦN VI: ĐẶT ẨN PHỤ    Kỹ thuật 1: Đặt ẩn phụ để đưa hệ phương trình Kỹ thuật 2: Đặt ẩn phụ để phân tích đa thức thành nhân tử  x  y  1 x  y  x y   BÀI 1:   x   x  y  y 2a  b  b2  Đặt a  x  y  0, b  y    x  Thay vào hệ phương trình ta được: ,y 2     2 2   a  2b  a  b  2a  b   a  b   x  2, y   2 a  a   b     y  1 x  y   x  y  1 y  x  BÀI 2:  2  x y   y x   Đặt a  x  y  0, b  y   x  a2  b2 , y  b2 Vì phương trình lớn nên ta tập trung vào phương trình đầu để phân tích nhân tử:  b2  1 a   a  1 b  a  b2    a  1 b  1 a  b  2  (1) Đến ta sử dụng phương pháp Tuy nhiên để ý kỹ phương trình xử    lý cách độc lập: x y    y x   x y   16 x y   64  y x      x  16 x y   y    x  y      x  y  (2)   a  1, x  y   x  , y  Kết hợp (1) (2)   b  1, x  y   x  3, y   x  y  y 1  x  y  BÀI 3:    y   xy  y Đặt a  x  y  0, b  y    a  b2  x  y  Thay vào phương trình đầu: a2  b2  a  b  Vì phương trình khơng phân tích thành nhân tử nên ta phải tìm cách biến đổi phương trình Để ý ta thấy a 2b2   x  y  y  1   x  y   xy  y  có xy  y   y xuất phương trình Do đó: a2b2   x  y    y    x  y   a2b2  x  y 1   a2b2  a2  b2  Vậy ta có hệ đối xứng loại 1: a2  b2  a  b  4, a 2b2  a  b2   a  b   x  2, y  BÀI 4:  x  x  x   x Để ý thấy 1  x 1  x    x nên ta đặt ẩn phụ dựa yếu tố Đặt a   x  0, b   x  Khi ta có: 2x  a  b4 Nhân vế phương trình ta được:     2a  a  b4 b  2ab   a  b  2a  b  a  b  a  b2    a  b  x  14 | T H Ủ T H U Ậ T P H Ư Ơ N G T R Ì N H – H Ệ P H Ư Ơ N G T R Ì N H PHẦN VII: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ    Kỹ thuật 1: Đưa phương trình, hệ phương trình dạng A2  B2  Kỹ thuật 2: Sử dụng Cauchy với có bậc lớn  Kỹ thuật 3: Sử dụng Bunyakovsky: ax  by   Kỹ thuật 4: Sử dụng Minkowski: a  b2  x a  b2  x  y    y Dấu bằng:  a  x   b  y  2 a b  x y Dấu bằng: a b  x y a b2  a  b  a b Kỹ thuật 5: Sử dụng Schwartz: Dấu bằng:    x y x y x y Kỹ thuật 6: Sử dụng bất đẳng thức Jensen dành cho hàm lồi, hàm lõm:   ab   f " x    f  a   f b   f      Dấu xảy a  b   f " x    f  a   f b   f  a  b         BÀI 1: x3  x2  5x   4 16 x  xuất bậc nên ta nghĩ tới việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy để giải toán gọn nhẹ Tuy nhiên để Cauchy đẳng thức phải Ta thấy 16 x    x  1 x   nên ta tách: SHIFT SOLVE ta tìm nghiệm x  16 x   4 4 x      2x  2x  Như ta có x3  x2  5x   x  Do đó:  4  x3  x  x     x   x  1  Vì x   BÀI 2: 1  x     x  1   x  2 x   x   x  3x  x SHIFL SOLVE ta tìm nghiệm x  xuất bậc nên ta nghĩ tới việc sử dụng bất x   1, 8x   nên ta sử dụng Cauchy bậc  4x 1    8x  Cauchy bậc ta có: x    x   x,1.1.1 x    8x   x đẳng thức Cauchy Ta thấy với x  Vậy x  3x  5x  x  x  3x  x   x x  2x     x  BÀI 3:  x   3x3  x   3x3  x  x   x  x  SHIFL SOLVE ta tìm nghiệm x  1 Khi 3x3  x2   3x3  x  x   mà ta thấy có biểu thức lập phương đối căn, bình phương triệt tiêu nên ta nghĩ đến sử dụng Bunyakovsky: 3x3  x   3x3  x  x   1      12  3x3  x   3x3  x  x   15 | T H Ủ T H U Ậ T P H Ư Ơ N G T R Ì N H – H Ệ P H Ư Ơ N G T R Ì N H       Do ta có x  x   3x  x  Bình phương vế   x  1 x    x  1 2   y   x  1  x 8 x  1 BÀI 4:   40 x  x  y 14 x  Sử dụng phép y  40 x  x vào phương trình đầu sử dụng SHIFT SOLVE ta x  , y  14 x  1 x  ,8 x   nên 8x  8x  1 8x  8x  x 8x   8x   x 8 x  1      Chú ý Và 14 x   ta có: y  14 x  Do hệ phương trình trở thành:  y  y 14 x   2 8x    y   x  1  1 8x  2 Lấy 1 +2    y   x  1   40 x  x    y  14 x   2 40 x  x  y  14  x    2 1   96 x  24 x    96  x     x  , y  8  2  x  2x    y  y  BÀI 5:   6 x  y  11  10  x  x  Sử dụng phép y  x  11  10  x  x vào phương trình đầu SHIFT SOLVE ta x  1; y  3 Khi  y  y   1, 10  x  x  Vì ta điều chỉnh số cho hợp lý áp dụng Cauchy:  1 y2  y    y2  y 1 x  x    y  y   x  x      Do ta có:    2  x  x 10  x  x  10  x  x  6 x  y  11  6 x  y  11      2  2 x  x  y  y   Cộng hai vế hai phương trình ta được:  x  10 x  y  15    3x2  x  y  y  12    x  1   y  3   x  1, y  3 2 BÀI TẬP ÁP DỤNG:  x  12  y  x  x  1  BÀI 1:  2 3x  x   y x  x  16 | T H Ủ T H U Ậ T P H Ư Ơ N G T R Ì N H – H Ệ P H Ư Ơ N G T R Ì N H    x 12  y  y 12  x  12  BÀI 2:   x3  x   y  17 | T H Ủ T H U Ậ T P H Ư Ơ N G T R Ì N H – H Ệ P H Ư Ơ N G T R Ì N H

Ngày đăng: 08/08/2020, 21:40

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w