Kĩ thuật xử lí hình học tọa độ phẳng đoàn trí dũng

TÀI LIỆU ÔN THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA  KỸ THUẬT XỬ LÝ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG PHẦN I: PHẦN II: PHẦN III: PHẦN IV: GÁN ĐỘ DÀI CHO HÌNH VẼ GỌI ẨN TRÊN ĐƯỜNG THẲNG GIẢI TAM GIÁC TỨ GIÁC GIẢI ĐƯỜNG TRỊN Biên soạn: Hotline: Facebook: ĐỒN TRÍ DŨNG 0902.920.389 https://www.facebook.com/toanthaydung 1|KỸ THUẬT GIẢI TÍCH PHẲNG – ĐỒN TRÍ DŨNG: 0902920389 PHẦN I: PHƯƠNG PHÁP GÁN ĐỘ DÀI Mục tiêu phương pháp gán độ dài xây dựng mối liên hệ có chưa có Chẳng hạn hình vẽ bên thấy có độ dài EF cịn chưa có độ dài EA Nếu ta tính độ dài EA vấn đề trở nên đơn giản Tuy nhiên thực tế khó chỗ Để tính EA ta khơng nên suy nghĩ q đơn giản tính độ dài cách trực tiếp Thực tế hình học khơng thể tính trực tiếp mà Ta tính EA thông qua bước sau:  Bước 1: Đặt độ dài hình vẽ a (có thể cạnh hình vng, cạnh hình chữ nhật, chẳng hạn đặt AB = a)  Bước 2: Tính độ dài EA EF theo a (chẳng hạn EA = 2a, EF = a )  Bước 3: Độ dài EF thực tế a = 1, độ dài EA = Từ việc tìm A đơn giản VẤN ĐỀ 1: GÁN MỘT ĐỘ DÀI BẰNG TÍNH CHẤT HÌNH VẼ: Hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD  13 13  A 1;3 M N trung điểm AB BC DM cắt AN E  ;  F điểm nằm đoạn thẳng CD  5 cho 10DF = 3CD Biết điểm F nằm đường thẳng d :11x  y 16  Xác định tọa độ đỉnh F Bài tốn có mối quan hệ dễ nhìn thấy mối quan hệ vng góc A, E F Trong tốn tơi sử dụng kỹ thuật gán độ dài để chứng minh mối quan hệ Pithagore Các vấn đề tìm nốt điểm cịn lại để hồn thiện tốn, học sinh tự xử lý nốt Đặt độ dài cạnh AD = a, AB = 2a, gọi I trung điểm AD K trung điểm DM Ta dễ dàng thấy AM a 3a điểm I, K, N thẳng hàng Ta có IK  Mặt khác theo định lý Thales ta có:   KN  2 ME AE AM AE ME 2 a 17 a 4a        AE  AN  , ME  MK   DE  EK EN NK AN MK 5 5 5 ̂ = 𝑀𝐷𝐹 ̂ = 450 nên áp dụng định lý hàm số cos cho tam giác DEF ta được: Ta dễ dàng nhận thấy 𝐴𝐷𝑀 FE  DE  DF  2DE.DF cos 450  FE  FA2  AD  DF  a 17 Xét tam giác ADF ta được: 34a  11   AE  FE Vậy tam giác AEF vng cân E Do ta tìm điểm F  ;1 25 5  2|KỸ THUẬT GIẢI TÍCH PHẲNG – ĐỒN TRÍ DŨNG: 0902920389 VẤN ĐỀ 2: GÁN MỘT ĐỘ DÀI DỰA VÀO THÔNG SỐ ĐẦU BÀI: Tam giác ABC cân A  2;  có  11  diện tích Gọi M trung điểm BC N  ;  điểm nằm cạnh AC cho AC = 4CN  4 Biết đường thẳng MN có phương trình x  y   Xác định tọa độ đỉnh M Nhìn qua tốn khơng thể gán độ dài, nhiên để ý kỹ từ chi tiết diện tích 3, ta đặt AM = a, ta có BC = Do mục tiêu tốn a tính AN theo a Ta có: a4  a4  AC  AM  MC  a    AN  a a 4a 2 10  11  Mặt khác A  2;  N  ;  nên AN  Như vậy:  4 a  10   a  AM   a  AM  4a Từ việc tìm điểm M trở nên đơn giản nhiều Học sinh tự giải nốt toán đến kết thúc VẤN ĐỀ 3: GÁN HAI ĐỘ DÀI CHO HAI CẠNH KHÁC NHAU: Hình vng ABCD Trên cạnh AD, AB lấy E F cho AE = AF Gọi H hình chiếu vng góc A BE Tìm tọa độ đỉnh C biết C thuộc đường thẳng x  y   hai điểm F  2;0  , H 1; 1 Trước hết ta tìm hiểu cách chứng minh hình học túy: ̂ = 𝐴𝐸𝐻 ̂ = 𝐻𝐵𝐶 ̂ AH  AH  BH  BH nên ta có hai Ta có 𝐻𝐴𝐹 FA AE BA BC ̂ = 𝐵𝐻𝐶 ̂ tam giác đồng dạng HAF HBC nên 𝐴𝐻𝐹 ̂ + 𝐹𝐻𝐵 ̂ + 𝐹𝐻𝐵 ̂ = 900 nên 𝐵𝐻𝐶 ̂ = 900 hay CH ⊥ HF ta tìm Vì 𝐴𝐻𝐹  1 tọa độ điểm C   ;   3 AH AH BH BH Tuy nhiên vấn đề khó tỷ số làm    FA AE BA BC xử lý tốt Gán độ dài có giải tỷ số không mà E F hai điểm AD AB? Câu trả lời CÓ Nếu ta đặt AB = a, AE = AF = b với mục tiêu hai tam giác HAF HBC đồng dạng, ta tập trung vào độ dài cạnh AH, FA, BH, BC ab Tính AH: AH  AE AB AE  AB  ab a  b2 Do đó: AH  FA a a  b2  b a  b2 a2 Tính BH: BH  AB  AH  a  Khi đó: BH a 2b a4 a2    Do đó: 2 2 2 a b a b BC a b a a  b2  a a  b2 AH BH = nên tam giác HAF HBC đồng dạng Do ta tìm C FA BC 3|KỸ THUẬT GIẢI TÍCH PHẲNG – ĐỒN TRÍ DŨNG: 0902920389 PHẦN II: PHƯƠNG PHÁP GỌI ẨN TRÊN ĐƯỜNG THẲNG Giống phương pháp bình phương phương trình – hệ phương trình, phương pháp gọi ẩn đường thẳng phương pháp đơn giản nhất, dễ hiểu dễ làm, có tính khó, địi hỏi học sinh phải có kỹ tính tốn tốt tn thủ theo ngun tắc sau:      Mỗi điểm đường thẳng gọi tham số đường thẳng Hai điểm khác phải gọi hai tham số khác Thường sử dụng toán xuất hai đường thẳng trở lên Gọi tối đa ẩn, hạn chế tối đa gọi đến ẩn thứ Có ẩn phải đưa nhiêu phương trình VẤN ĐỀ 1: GỌI MỘT ẨN VÀ TÍNH TỌA ĐỘ CÁC ẨN KHÁC BẰNG CÁCH KÉO THEO: Tam giác ABC cân A có phương trình đường thẳng chứa cạnh BC là: x  y   I  2; 1 trung điểm BC Điểm M  4;1 nằm cạnh AB tam giác ABC có diện tích 90 Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết điểm B có hồnh độ lớn Thiết lập mục tiêu cho toán:  Bước 1: Gọi tọa độ B tham số b đường thẳng BC  Bước 2: Tìm tọa độ C theo tham số b  Bước 3: Từ B M viết phương trình BM theo tham số b  Bước 4: Viết phương trình AI qua I vng góc với BC  Bước 5: Tìm tọa độ A theo tham số b giao BM AI  Bước 6: Giải phương trình diện tích tam giác ABC 90 b  Bước 7: Kết luận Thực hiện: Bước 1: Gọi B  b; 2b  3 đường thẳng BC  xC  xI  xB  4  b  C  4  b, 5  2b  Bước 2: I trung điểm BC:   yC  yI  yB  5  2b Bước 3: Từ B M có ta viết phương trình đường thẳng BM:  2b   x      b  y  1  Bước 4: Đường thẳng qua I vng góc với BC AI: x  y     2b   x      b  y  1  Bước 5: A giao BM AI nên tọa độ A nghiệm hệ:  x  y      2b  3b   ta tìm tọa độ A  ;  b   b Bước 6: Ta có SABC 1  AI.BC = 2  2b     4b  8 giải phương trình ta b  1, b  4, b   4b    2b   10  b   = 90 Do      b  b   b  2 2 13  17 Bước 7: Do điểm B có hồnh độ lớn nên ta tìm A  4; 4  , B  4;11 , C  8; 13 4|KỸ THUẬT GIẢI TÍCH PHẲNG – ĐỒN TRÍ DŨNG: 0902920389 VẤN ĐỀ 2: GỌI HAI ẨN PHỤ, ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG DỮ KIỆN ĐẦU BÀI: Hình thoi ABCD có phương trình đường chéo AC: x  y  31  Hai đỉnh B D nằm đường thẳng x  y   x  y   Tìm tọa độ đỉnh hình thoi ABCD biết có diện tích 75 đỉnh A có hồnh độ khơng âm Thiết lập mục tiêu toán:  Bước 1: Gọi B D tham số hai đường thẳng cho trước Ta cần thiết lập hai phương trình để tìm hai điểm B D  Bước 2: Phương trình 1: ABCD hình thoi nên trung điểm BD nằm đường thẳng AC  Bước 3: Phương trình 2: ABCD hình thoi nên hai đường chéo BD AC vng góc  Bước 4: Thiết lập hệ phương trình tìm B D, sau dùng kiện diện tích để tìm A C Bước 1: Gọi B  b;8  b  D  2d  3; d  hai đường thẳng x  y   x  y    b  2d  b  d   Bước 2: Gọi I  ;  trung điểm BD Ta có I thuộc AC nên: 2   b  2d  b  d  7  31   6b  9d   2 Bước 3: BD vng góc với AC nên BDu AC   8b  13d  13  6b  9d   b    B  0;8  9 Bước 4: Ta có hệ phương trình:     BD  2, I   ;   2 8b  13d  13  d    D  1;1 Ta có S ABCD  15 Do gọi A  7a  31; a  AC, ta được: AC.BD  IA.5  75  AI  2 2 225  1  9 IA    7a  31     a    A  11;6   A  0;3 2  2  Vì A có hồnh độ khơng âm nên ta có A  0;3 , C  11;6  5|KỸ THUẬT GIẢI TÍCH PHẲNG – ĐỒN TRÍ DŨNG: 0902920389 PHẦN III: GIẢI TAM GIÁC – TỨ GIÁC I TÍNH CHẤT TRỰC TÂM TRONG TAM GIÁC Ký hiệu hình vẽ: O: tâm ngoại tiếp G: Trọng tâm M, N, P: Trung điểm BC, CA, AB H: Trực tâm AD, BE, CF: đường cao W: Tâm đường tròn Euler J, K, L: Trung điểm HA, HB, HC T: Điểm đối xứng với A qua O R: Điểm đối xứng với H qua BC QUAN HỆ 1: A, H, O, M B C nằm đường tròn đường kính AT nên BT⊥BA, CT⊥CA Vì BH⊥CA, CH⊥BA Do ta có BHCT hình bình hành Vậy M trung điểm HT OM đường trung bình tam giác AHT Vậy AH  2OM QUAN HỆ 2: QUAN HỆ O, A, F, E VỚI TIẾP TUYẾN TẠI A Gọi Ax tiếp tuyến A, ta có OA⊥Ax ̂ = 𝐴𝐶𝐵 ̂ (Góc tiếp tuyến dây cung) 𝑥𝐴𝐹 ̂ = 𝐴𝐹𝐸 ̂ Tứ giác BFEC nội tiếp nên 𝐴𝐶𝐵 ̂ = 𝑥𝐴𝐹 ̂ Vậy 𝐴𝐹𝐸 Do Ax//EF Vậy EF⊥OA QUAN HỆ 3: J, M, E, F, O, A Vì AH//OM AH = 2OM nên JA//OM JA = OM Do JAOM hình bình hành Vậy OA//JM Vì EF⊥OA Vậy EF⊥JM 6|KỸ THUẬT GIẢI TÍCH PHẲNG – ĐỒN TRÍ DŨNG: 0902920389 MỐI QUAN HỆ 4: W, O, H, G Quan hệ O, H, W: Vì AH//OM AH = 2OM nên JH//OM JH = OM Do JOMH hình bình hành Do JM cắt OH trung điểm W đường Tương tự ta chứng minh KN, LP cắt OH trung điểm đường (Học sinh tự vẽ nốt hình) Do đường JM, KN, LP, OH đồng quy trung điểm đường W (Tâm đường tròn Euler) Vậy tâm đường tròn Euler W trung điểm đoạn OH, JM, KN, LP Quan hệ O, H, G: AG Gọi G trọng tâm tam giác ABC, ta có  Vì AM AM trung tuyến tam giác AHT nên G trọng tâm tam giác AHT Vì HO trung tuyến tam giác AHT nên OH = 3OG Thứ tự điểm O, H, G, W để thiết lập tỷ số vector cần: (Chia đoạn OH 12 đoạn, OG chiếm đoạn, W chiếm đoạn) Các loại đường tròn sau đường tròn Euler:  Đường tròn qua chân đường cao tam giác  Đường tròn qua trung điểm cạnh tam giác  Đường tròn qua trung điểm đoạn nối đỉnh trực tâm tam giác MỐI QUAN HỆ 5: H, D, R Ta chứng minh R đối xứng với H qua BC R nằm (O): ̂ = 𝑅𝐵𝐶 ̂ (H R đối xứng qua BC) 𝐻𝐵𝐶 ̂ = 𝑅𝐴𝐶 ̂ Tứ giác AEDB nội tiếp nên 𝐻𝐵𝐶 ̂ = 𝑅𝐴𝐶 ̂ Do 𝑅𝐵𝐶 Vậy tứ giác ABRC nội tiếp Do R nằm đường trịn ngoại tiếp tứ giác ABRC đường tròn qua điểm A, B, C Vậy R nằm (O) MỐI QUAN HỆ 6: D, E, F, H ̂ ̂ = 𝐹𝐴𝐻 Tứ giác AFHE nội tiếp nên 𝐹𝐸𝐻 ̂ ̂ = 𝐷𝐶𝐻 Tứ giác HDCE nội tiếp nên 𝐷𝐸𝐻 ̂ ̂ Tứ giác AFDC nội tiếp nên 𝐹𝐴𝐻 = 𝐷𝐶𝐻 ̂ = 𝐷𝐸𝐻 ̂ Vậy ta có 𝐹𝐸𝐻 ̂ Do EH phân giác góc 𝐹𝐸𝐷 Tương tự cho DH FH Vậy H giao điểm đường phân giác tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF ̂ = 1800 – 𝐵𝐴𝐶 ̂ Chú ý: 𝐵𝐻𝐶 7|KỸ THUẬT GIẢI TÍCH PHẲNG – ĐỒN TRÍ DŨNG: 0902920389 II TÍNH CHẤT TÂM ĐƯỜNG TRỊN NỘI TIẾP, PHÂN GIÁC TRONG, PHÂN GIÁC NGOÀI Ký hiệu hình vẽ:        AD: Phân giác góc A E: Giao điểm AD đường tròn ngoại tiếp O, I: Tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC F: Giao điểm tiếp tuyến A với đường tròn ngoại tiếp đường thẳng BC kéo dài M: Điểm AB N: Điểm đối xứng M qua phân giác AD J, K, L: Điểm tiếp xúc đường tròn nội tiếp với cạnh tam giác MỐI QUAN HỆ 7: ĐỊNH LÝ THALES VÀ CÁCH XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ ĐIỂM D Theo định lý Thales cho đường phân giác ta có: BD CD AB   BD   CD Có loại đường phân giác: AB AC AC  a x  b2 y  c2 d : a x  b1 y  c1  a1 x  b1 y  c1 Phân giác tạo  1 :  a12  b12 a22  b22 d : a2 x  b2 y  c2   Phân giác tam giác ABC: Xác định tọa độ điểm D qua hệ thức: BD    giác đường thẳng qua điểm A D Phân giác tam giác ABC: Đường thẳng qua A nhận AD vector pháp tuyến AB CD Khi phân AC MỐI QUAN HỆ 8: TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC ̂ = 𝑁𝐴𝐷 ̂ nên N nằm AC Gọi M điểm AB, N điểm đối xứng với M qua AD Ta có 𝑀𝐴𝐷 Vậy toán cho trước tọa độ điểm M nằm AB, cho tọa độ đỉnh C, cho phương trình phân giác AB, ta lấy đối xứng M qua AD N Khi đường thẳng AC đường thẳng qua C N MỐI QUAN HỆ 9: MỐI QUAN HỆ O, E, B, C ̂ = 𝐷𝐴𝐶 ̂ nên cung EB EC EB = EC Mà OB = OC nên OE trung trực BC 𝐷𝐴𝐵 Hệ quả: OE vector pháp tuyến đường thẳng BC MỐI QUAN HỆ 10: MỐI QUAN HỆ I, B, E, C ̂ + 𝐶𝐵𝐼 ̂ = 𝐸𝐴𝐶 ̂ + 𝐼𝐵𝐴 ̂ = 𝐸𝐴𝐵 ̂ + 𝐼𝐵𝐴 ̂ = 𝐸𝐼𝐵 ̂ = 𝐸𝐵𝐶 ̂ Vậy EI = EB Tương tự ta có EC = EI 𝐸𝐵𝐼 Hệ quả: B, C giao điểm đường tròn tâm E, bán kính EI với đường trịn (O) 8|KỸ THUẬT GIẢI TÍCH PHẲNG – ĐỒN TRÍ DŨNG: 0902920389 MỐI QUAN HỆ 11: MỐI QUAN HỆ F, A, D ̂ = 𝐹𝐴𝐵 ̂ + 𝐵𝐴𝐷 ̂ = 𝐵𝐶𝐴 ̂ + 𝐷𝐴𝐶 ̂ = 𝐹𝐷𝐴 ̂ Vậy FA = FD 𝐹𝐴𝐷 Hệ quả: F giao điểm trung trực đoạn AD với đường thẳng BC MỐI QUAN HỆ 12: QUAN HỆ GĨC TRONG ĐƯỜNG TRỊN NỘI TIẾP Góc tâm nội tiếp góc đỉnh: BIC  1800  ABC  ACB BAC BAC  900   BIC  900  2 Góc điểm tiếp xúc góc đỉnh: JKL  JKI  LKI  JCI  LAI  BAC  BCA ABC ABC  900   JKL  900  2 III TÍNH CHẤT TAM GIÁC VNG CHIA ĐƠI VÀ HỆ QUẢ: Xét tam giác ABC vuông A đường cao AH, D E hai điểm AH CH MỐI QUAN HỆ 13: QUAN HỆ BD VÀ AE LÀ HAI ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN Nếu D E trung điểm AH CH DE đường trung bình tam giác AHC Do DE//AC nên DE⊥AB Mặt khác AD⊥BE nên D trực tâm tam giác ABE BD⊥AE MỐI QUAN HỆ 14: QUAN HỆ BD VÀ AE LÀ HAI ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG Nếu BD AE hai phân giác thì: DH BH AH HE DE//AC nên DE⊥AB    AD AB AC EC Mặt khác AD⊥BE nên D trực tâm tam giác ABE BD⊥AE Một số hệ toán tam giác vng chia đơi: 9|KỸ THUẬT GIẢI TÍCH PHẲNG – ĐỒN TRÍ DŨNG: 0902920389 PHÂN IV: GIẢI ĐƯỜNG TRỊN MỐI QUAN HỆ 15: TƯƠNG GIAO HAI ĐƯỜNG TRÒN C1  :  x  a1    y  b1  2  R12 ,  C2  :  x  a2    y  b2   R22 2 Hai đường tròn tiếp xúc ngồi: R I'A R' Phương trình trục đẳng phương (Đường thẳng qua A vng góc với II’: IA    x  a1    y  b1    x  a2    y  b2  2 2  R12  R22 Hai đường tròn tiếp xúc trong: R I 'A R' Phương trình trục đẳng phương (Đường thẳng qua A vng góc với II’: IA   x  a1    y  b1    x  a2    y  b2  2 2  R12  R22 Hai đường tròn cắt nhau: 2 R12  R22  d I , AB   d I ', AB  Phương trình trục đẳng phương (Đường thẳng AB): 2 2  x  a1    y  b1    x  a2    y  b2   R12  R22 10 MỐI QUAN HỆ 16: TIẾP TUYẾN VÀ CÁT TUYẾN AB 1 Tính chất 2:   OM  R2 R2 AB Tính chất 3: DO AB  OM  R Tính chất 1: DO  AB  DM  AB   AMB R  OM AB.DM  AB  Tính chất 5: SAMB  Tính chất 4: sin AB2   DOd  Tính chất 7: EA.EB  OE2  R Tính chất 6: R  10 | K Ỹ T H U Ậ T G I Ả I T Í C H P H Ẳ N G – Đ O À N T R Í D Ũ N G : 0902920389