BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
NGUYEN VAN HUNG
VAN DUNG TU TUONG SU PHAM CUA G.POLYA TRONG DAY HỌC GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỎ THÔNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
Trang 2BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
NGUYEN VAN HUNG
Dé tai:
VẬN DỤNG TƯ TƯỞNG SƯ PHAM CUA G.POLYA TRONG DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHÓ THÔNG
Chuyên ngành:
LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MƠN TỐN Mã số: 60 14 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
Giáo viên hướng dẫn khoa học:
GS.TS ĐÀO TAM
Trang 3LỜI CÁM ƠN
Luận văn này được hoàn thành dưới sự giúp đỡ và hướng dẫn của GS.TS Đào Tam Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Thây
Xin cảm ơn các Thây cô giáo giảng dạy trong chuyên ngành Lý luận và
phương pháp dạy học bộ môn Toán đã cho tác giả những bài học bổ ích trong
quá trình học tập và nghiên cứu
Xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp — nguồn cô vũ, động viên lớn lao
để tác giả có thêm nghị lực hoàn thành Luận văn
Mặc dù rất có gắng, song Luận văn không thể tránh khỏi một số khiếm khuyết, tác giả mong nhận được sự góp ý chân thành từ các Thầy cô giáo và các
bạn
Vĩnh, tháng 10 năm 2012
Trang 4QUY UOC VE CAC CHU VIET TAT SU DUNG TRONG LUAN VAN
Viết tắt Viết đầy đú
Nxb : Nhà xuất bản
SGK : Sach giao khoa
THPT : Trung hoc phé thong
PP : Phuong phap
HH : Hinh hoc
Trang 5MỤC LỤC
Chương 1.Cơ sở lý luận và thực tiễn 222 52 5s5x+2S++xe+zx+zserxecxe 1.1 Một số định hướng đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở
trường THPT hiỆn n4yy 5 5 + s3 nh re rry
1.2 Bài tập toán và chức năng của bài tập tốn - - «<-+<x+s++ 1.3 Dạy học sinh phương pháp giải bài tập tốn 5 «<5 ++++ 1.4 Tư tưởng sư phạm của G.Polya trong dạy học giải bài tập toán 1.5 Tư tưởng sư phạm của G.Polya phản ánh trong hoạt động dạy học
“phát hiện và giải quyết vấn đề”
1.6 Đặc điểm dạy học giải bài tập HHKG và định hướng khai thác tư
tưởng sư phạm của G.Polya vào dạy học giải toán
1.7 Kết luận chương Ì -2- 2£ +£2+EE£+EE+EEE+EEt2EEE+EECEEtrrErrrerrreee
Chương 2 Một số phương thức sư phạm góp phần nâng cao chất lượng đạy học giải bài tập HHKG ở trường THPT - 55+ «+s>+e£+x+ex+es+
2.1 Phân tích nội dung chủ đề bài tập hình học không gian trong chương
trình mơn tốn THPT
2.2 Một số căn cứ đề xuất các phương thức sư phạm trong dạy học giải bài tập hình học không gian theo định hướng của G.Polya 2.3 Một số phương thức sư phạm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học
giải bài tập HHKG trên cơ sở vận dụng tư tưởng sư phạmcủag.Polya 2.4 Kết luận chương 2 - 2-2 22 ©22+EE+EEE+EEEEEESEEEEESEEESEEeerxrrrree
Chương 3 Thử nghiệm sư phạm - + 5-5 + + St SE +vE+Eexeeeeereerereeree
ENRN 00v00000000 0ï 0.111
3.2 Tổ chức và nội dung thử nghiệm 2-22 ©£2+2E£2 E222
3.3 Đánh giá kết quả thử nghiệm -2 2c 2© £E+£2£k£+E+zEEErserrxee 3.4 Kết luận thử nghiệm ¿2-2 E+EEEEEESEEESEEE2232E1E 121121 rkcee
Trang 6MỞ ĐÀU
I Lý do chọn đề tài
1 Nghị quyết trung ương 2 (khoá 8) đã chỉ rõ: “Đối mới mạnh mẽ phương
pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lỗi truyền thụ một chiều, rèn luyện thành
nếp tư duy sáng tạo của người học”
Trong luật giáo dục nước ta năm 2005, tại điều 28 và điều 5 yêu cầu về nội dung, phương pháp giáo dục phổ thông quy định:
- “Nội dung giáo dục phổ thông phải bồi đưỡng tính phố thơng, cơ bản,
tồn diện, hướng nghiệp và có hệ thống; gắn với thực tiễn cuộc sống, phù
hợp với tâm sinh lý lứa tuổi của học sinh, đáp ứng mục tiêu giáo dục mỗi
cấp học” (Điều 28)
- “Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư
duy sáng tạo của người học, bồi dưỡng cho người học năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên” (Điều 5)
2 Thực trạng dạy học toán ở trường THPT hiện nay, phần nào đã vận dụng
được các phương pháp dạy học tích cực (dạy học phát hiện và giải quyết
van đề, dạy học theo lý thuyết kiến tạo, dạy học theo lý thuyết tình
huống ) Tuy nhiên do nhiều nguyên nhân như: áp lực chương trình, thời
gian hạn chế, trình độ học sinh không đồng đều, do ảnh hưởng của cách dạy cũ, điều kiện cơ sở vật chất , nên việc dạy học chưa đáp ứng được
yêu cầu đôi mới hiện nay
Trang 7luyện cho học sinh các thao tác tư đuy, các hoạt động trí tuệ Từ đó, bồi dưỡng các phẩm chất trí tuệ, phát triển năng lực giải toán cho học sinh
Ở trường THPT dạy Toán là dạy hoạt động Toán học Đối với học
sinh, có thể việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động Toán học
Bài tập toán là phương tiện cốt yếu trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo và ứng dụng Toán học
vào thực tiễn Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện tốt nhất dé thực hiện các mục đích dạy học Toán ở trường phố thông bởi các chức năng của bài tập Toán đã thể hiện rõ điều đó
Số lượng bài tập toán ở trường phổ thông rất đa dạng và phong phú , có những lớp bài toán đơn giản, có thuật giải, nhưng đa số chưa có hoặc
không có thuật giải Đặc biệt với các chủ đề tương đối khó như bất đắng thức,hình học không gian Đứng trước những bài toán đó, giáo viên định hướng như thế nào? Học sinh phải thực hiện những hoạt động gì, để hiểu
rõ bài toán, cách huy động kiến thức liên quan, lựa chọn phương pháp giải
phù hợp, ngắn gọn và rõ ràng là hết sức quan trọng và chứa đựng khá
nhiều khó khăn Một vẫn đề đặt ra là: Làm thế nào để hiểu sâu sắc, tìm
được mỗi liên hệ giữa bài toán đã cho và các kiến thức, kỹ năng đã học để
tìm ra phương pháp giải quyết vấn đề đúng đắn Nghiên cứu tư tưởng của nhà sư phạm G.Polya sẽ giúp chúng ta giải quyết cơ bản những vẫn đề
được nêu ở trên
Đã có một số công trình nghiên cứu liên quan đến vai trò của tư tưởng sư
phạm của G.Polya trong lĩnh vực giáo dục tư duy sáng tạo, phát hiện cách
Trang 8nhận thức thông qua dạy học giải bài tập Toán Vì những lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu là:
“Van dụng tư trởng sư phạm của GŒ.Polya trong dạy học giải bài tập
hình học không gian ở trường trung học phố thông” II Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu quan điểm sư phạm của G Polya trong dạy học giải bài tập toán và đề xuất hướng vận dụng quan điểm đó vào dạy học nội dung bài
tập hình học không gian, góp phần đối mới phương pháp dạy học và nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn ở trường THPT
HI Đối tượng nghiên cứu:
Khai thác tư tưởng sư phạm của G.Polya trong mỗi liên hệ kết ni với các phương pháp dạy học tích cực để làm sáng tỏ một số phương thức sư
phạm góp phần nâng cao chất lượng trong dạy học giải bài tập hình học
không gian ở trường THPT
IV Giá thuyết khoa học
Chúng tôi cho rằng: cần và có thể khai thác tư tưởng sư phạm của G.Polya để vận dụng vào việc đạy học giải bài tập hình học không gian
nhằm đáp ứng yêu cầu đôi mới dạy học giải bài tập toán ở trường THPT hiện nay
V Nhiệm vụ nghiên cứu
1 Nghiên cứu một số quan điểm về tích cực hóa hoạt động nhận thức
của học sinh, thế hiện trong một số phương pháp dạy học tích cực trong mỗi liên hệ với tư tưởng sư phạm của G.Polya
2 Nghiên cứu phương pháp dạy học giải bài tập hình học không gian
Trang 9VI
3 Đề xuất các phương thức sư phạm nhằm tich cực hóa hoạt động nhận
thức trong dạy học giải bài tập hình học không gian theo định hướng tư tưởng sư phạm của G.Polya
4 Thực nghiệm sư phạm đề kiểm chứng những đề xuất trên Phạm vi nghiên cứu
1 Nghiên cứu một số quan điểm tích cực hóa hoạt động nhận thức của học sinh
2 Nghiên cứu sự đổi mới trong đạy học giải bài tập nói chung và bài tập
hình học không gian nói riêng
3 Nghiên cứu mỗi liên hệ giữa tư tưởng sư phạm của G.Polya gắn với một số phương pháp dạy học tích cực
4 Phạm vy: khảo sát thực tiễn dạy học bài tập hình học không gian ở các trường trung học phổ thông trong tỉnh Nghệ an
VI Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các nhóm phương pháp nghiên cứu thường dùng trong khoa học giáo dục:
1 Phương pháp nghiên cứu lý luận về dạy học giải bài tập nói chung va
giải bài tập hình học không gian nói riêng theo định hướng tư tưởng sư phạm của G.Polya gắn kết với các phương pháp dạy học tích cực;
2 Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: điều tra, khảo sát thực tế,
3 Thử nghiệm sư phạm;
4 Xử lý số liệu thực tiễn và thực nghiệm bằng phương pháp thống kê
toán học
VIII Dự kiến đóng góp của luận văn
Trang 10IX Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn bao gồm
các chương sau:
Chương 1.Cơ sở lý luận và thực tiễn
1.1 Một số định hướng đổi mới phương pháp day học môn toán ở trường THPT hiện nay
1.2 Bài tập toán và chức năng của bài tập toán 1.2.1 Bài toán
1.2.2 Chức năng của bài tập toán
1.3 Dạy học sinh phương pháp giải bài tập toán
1.3.1 Những bài toán mà quy tắc, phương pháp giải có tính chất thuật toán 1.3.2 Những bài toán mà quy tắc, phương pháp giải có tính chất tựa thuật toán 1.3.3 Những bài toán mà quy tắc, phương pháp giải có tính chất phi thuật toán
1.4 Tư tưởng sư phạm của G.Polya trong dạy học giải bài tập toán 1.4.1 Quy trình bốn bước giải bài tập toán theo G.Polya
1.4.2 Tư tưởng chính thể hiện qua các bước giải toán
1.4.2.1 Các quan điểm sư phạm qua bước “hiểu rõ bài toán ”
1.4.2.2 Quan điểm sư phạm của G.Polya qua bước thực hiện lời giải bài toán
1.4.2.3 Quan điểm của G.Pola thể hiện qua bước kiểm tra lời giải bài
Trang 111.4.2.4 Quan điểm phát về triển bài toán sau khi đã giải được bài toán
1.5 Tu tưởng sư phạm của G.Polya phản ánh trong hoạt động dạy học “nhát hiện và giải quyết vẫn dé”
1.5.1 Quan điểm hoạt động trong PPDH Toán
1.5.1.1 Luyện tập cho học sinh những hoạt động và hoạt động Thành phần tương thích với nội dung và mục đích dạy học 1.5.1.2 Gợi động cơ cho các hoạt động học tập
1.5.2 Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
1.6 Đặc điểm dạy học giải bài tập HHKG và định hướng khai thác tư
tưởng sư phạm của G.Polya vào dạy học giải toán 1.7 Kết luận chương I
Chương 2 Một số phương thức sư phạm góp phần nâng cao chất lượng dạy học giải bài tập HHKG ở trường THPT
2.1 Phân tích nội dung chủ đề bài tập hình học không gian trong chương
trình mơn Tốn THPT
2.2 Một số căn cứ đề xuất các phương thức sư phạm trong đạy học giải
bài tập hình học không gian theo định hướng của G.Polya
2.2.1 Căn cứ vào mục đích của dạy học:
2.2.2 Căn cứ vào một số khó khăn trong quá trình dạy học hình học
không gian ở trường THPT:
2.2.3 Căn cứ vào tính ưu việt của tư tưởng sư phạm của G.Polia trong quá trình giải bài tập toán
2.43 Một số phương thức sư phạm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học
giải bài tập HHKG trên cơ sở vận dụng tư tưởng sư phạm của
Trang 122.3.1 Rèn luyện cho học sinh khả năng phân tích, tổng hợp, dự đoán, khái quát hóa, đặc biệt hóa đề tìm hướng giải bài tập toán
2.3.2 Luyện tập cho học sinh hoạt động liên tưởng nhằm huy động đúng đắn kiến thức đã học để tìm tòi lời giải bài toán
2.3.2.1 Sự liên tưởng
2.3.2.2 Huy động kiến thức và bồi dưỡng năng lựchuy động kiến thức
2.3.3 Luyện tập cho học sinh năng lực biến đổi bài toán về đạng quen thuộc
2.3.3.1 Rèn luyện năng lực chuyên đổi ngôn ngữ
2.3.3.2 Rèn luyện năng lực quy lạ về quen nhờ hoạt động biến đổi về đạng tương tự
2.3.3.3 Rèn luyện cách nhìn bài toán đưới nhiều góc độ khác nhau 2.3.4 Trang bị cho học sinh tri thức phương pháp giải toán
2.3.5 Rèn luyện cho học sinh khả năng phân loại bài toán và xây
dựng một số chuỗi bài toán theo chủ đề 2.4 Kết luận chương 2 Chương 3.Thử nghiệm sư phạm 3.1 Mục đích thử nghiệm 3.2 Tổ chức và nội dung thử nghiệm 3.2.1 Tổ chức thử nghiệm
3.2.2 Nội dung thử nghiệm
3.3 Đánh giá kết quả thử nghiệm 3.3.1 Phân tích định tính
3.3.2 Đánh giá định lượng
3.4 Kết luận thử nghiệm
Trang 13Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỀN
1.1 Một số định hướng đỗi mới phương pháp dạy học mơn tốn ớ trường THPT hiện nay
Trong luật giáo dục Việt Nam năm 1998, tại điều 24.2 đã viết “Phương
pháp giáo dục phô thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo
của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học,môn học; cần phải bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; cần phải đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”
Như vậy,có thể nói phương hướng đổi mới PPDH nói chung và PPDH mơn Tốn nói riêng là phải làm cho học sinh học tập một cách hứng thú, tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động, làm thế nào đó để trong mỗi tiết học học sinh được suy nghĩ nhiều hơn, thảo luận để trình bày sự hiểu biết của bản thân, có như thế mới tạo được niềm tin vững chắc cho học sinh
Đề cập đến một số yêu cầu về đối mới giáo dục THPT tài liệu bồi dưỡng thường xuyên giáo viên THPT chu kỳ 3 (2004-2007) mơn tốn có viết:
- Đảm bảo được mục tiêu, tính kế thừa, tính sư phạm, tính hiện đại, cập nhật và
đạy học phân hóa,
- Dam bảo đổi mới phương pháp dạy học: phát huy tính tích cực chủ động, khả năng tự học của học sinh, tăng cường sử dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vẫn đề đổi mới phương pháp kiểm tra đánh giá (kết hợp hài hòa
giữa bài tự luận và bài trắc nghiệm khách quan)
- Coi trọng phương tiện dạy học: mô hình, máy tỉnh, sử dụng các phân mềm dạy
hoc, chú ý đến các vẫn đề thực tiễn của địa phương
- Hoàn chỉnh hệ thống số, kết hợp giải bài toán hình học bằng nhiễu phương pháp thông thường và phương pháp tọa độ,trang bị kiến thức bước đâu về đại số
tổ hợp, xác suất, thống kê
Trang 14Để thực hiện được tiêu chí đó, chúng ta cần phải đổi mới những phương diện nào của giáo dục và đào tạo?
a Đổi mới về chương trình, nội dung sách giáo khoa;
Nội dung, chương trình SGK phải phù hợp về tính liên môn, phân phối
đảm bảo logic chặt chẽ giữa các lớp trong từng bộ môn;giảm tính hàn lâm, nội
dung phải gắn liền với thực tiễn, tăng cường thực hành, thí nghiệm, nêu rõ ý nghĩa, ứng dụng của kiến thức, đồng thời giảm bớt những bài toán quá khó,
những chứng minh phức tạp Theo nhà tâm lý học Xô Viết Vưgôtxki thì nội
dung đạy học cần phải ở mức độ phù hợp với trình độ của học sinh, phải tác
động vào “vùng phát triển gần nhất” Một nội dung quá khó hoặc quá khó sẽ
không gây được hứng thú học tập cho học sinh b Đổi mới cách dạy của giáo viên
Điều 24, Luật Giáo dục (1998) quy định: “Phương pháp giáo dục phố thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học
sinh; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” Do đó dạy học cần đạt được những yêu cầu sau:
e_ Cẩn tạo niềm vui và hứng thú trong học tập cho học sinh
Nhà toán học G.Polya đã khắng định sự cần thiết của hoạt động của người
thay rằng: “ Nếu người thây khêu gợi được tính tò mò của học sinh bằng cách
đưa ra cho học sinh những bài tập hợi trình độ, giúp họ giải các bài toán bằng
cách đặt ra câu hỏi gợi ý,thì người thây có thể mang lại cho họ các hứng thú của sự suy nghĩ độc lập và những phương tiện dé dat duoc két qua” [3,tr.6]
se Cân đạy học thông qua tổ chức các hoạt động học lập
Theo M A Đanilôp và M N Xcatkin: “Quá trình dạy học là một tô hợp rất phức tạp và năng động những hành động của giáo viên và học sinh Để có
Trang 15quan trọng là phát hiện ra mối liên hệ qua lại giữa việc nắm vững kiến thức với
quá trình phát triển những năng lực nhận thức của học sinh”
Khi nói về mối quan hệ giữa nội dung day hoc va hoạt động, tác giả Nguyễn Bá Kim cho rằng: “Mỗi một nội dụng dạy học đều liên hệ mật thiết với những hoạt động nhất định Đó là những hoạt động được tiến hành trong quá trình hình thành và vận dụng nội dung đó, phát hiện được những hoạt động tiềm tàng trong một nội dung là vạch ra được con đường dé người học chiếm lĩnh nội dụng đó và đạt được các mục đích khác và cũng đồng thời là cụ thể hoá được mục đích dạy học có đạt được hay không và đạt đến mức độ nào? ”[10]
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim quan điểm hoạt động trong phương pháp
dạy học gồm các tư tưởng chủ đạo sau:
e_ Cho học sinh thực hiện và luyện tập những hoạt động và hoạt động
thành phân tương thích với nội dung và mục tiêu dạy học;
© Gợi động cơ cho các hoạt động học tập;
© Dan dat học sinh kiến tạo tri thức,đặc biệt là trì thức phương pháp
như phương tiện và kết quả hoạt động;
e_ Phân bậc hoạt động làm căn cứ điều khiển quá trình dạy học
- Cần chú trọng phát triển trí tuệ, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức
vào thực tiễn cho học sinh
Theo tác giả J.Piaget, cuộc sống là sự sáng tạo không ngừng các dạng thức
ngày càng phức tạp và là sự cân bằng ngày càng tăng của các dạng thức này đối
với môi trường “Trí fuệ là một hình thức của trạng thái cân bằng mà toàn bộ
các sơ đồ nhận thức hướng tới ”
Nhìn từ góc độ biểu hiện, ta có thể tham khảo quan điểm của thuyết liên tưởng: Trí tuệ đặc trưng bởi khả năng liên tưởng các biểu tượng, các khái niệm, quan hệ khi chủ thể tác động vào môi trường giải thích đúng đắn các tình huống moi [19]
Theo Nguyễn Bá Kim, để phát triển trí tuệ cho học sinh, thay giáo cần chú ý:
Trang 16e Rèn luyện tư duy lôgic và ngôn ngữ chính xác thông qua mơn tốn theo các hướng sau: 1) Làm cho học sinh nắm vững, hiểu đúng và sử dụng đúng
những liên kết lôgic: và, hoặc, nếu thì, phú định, những lượng từ tôn tại và khái quát, 2) Phát triển khả năng định nghĩa và làm việc với những định nghĩa 3)
Phát triển khả năng hiểu chứng minh, trình bày lại chứng mình và độc lập tiến hành chứng mình
e Phát triển khả năng suy đoán và /ưởng tượng: làm cho học sinh có ý
thức sử dụng các nguyên tắc suy đoán như tương tự hóa, khái quát hóa và trí
tưởng tượng chắng hạn mỗi liên hệ từ phắng lên không gian
e Thường xuyên rèn luyện những hoạ động trí tuệ cơ bản như phân tích,
tổng hợp, so sánh, tổng quát hóa, trừu tượng hóa
e Hình thành ở học sinh những phẩm chất trí tuệ: tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo
c Đối mới cách học của học sinh
Phan trọng luận [14, tr.9] cho rằng: “Học là công việc của cá nhân Học là
công việc của bản thân người học Ông cho rằng một trong các mục đích của dạy học là dạy cách học”
Chủ tịch Hồ Chí Minh là tắm gương sáng về tự học Quan niệm về tự hoc, Người cho rằng: “Tự học là học một cách tự động” và “Phải biết tự động học tập” [21, TCGD].Theo người: “Tự động học tập” tức là tự học một cách hoàn toàn tự giác, tự chủ, không bị ai ép buộc, không chơ giao nhiệm vụ, mà tự bản thân vạch ra kế hoạch học tập cho mình, và tự mình triển khai, thực hiện kế hoạch một cách tự giác, tự điều chỉnh thời gian học và cũng tự mình kiểm tra đánh giá việc học tập của mình
Từ những quan niệm về tự học của các tác giả đã nêu trên,chúng ta thấy rằng: tự học là tự bản thân người học lập kế hoạch một cách chỉ tiết cả về nội dung, chương trình và thời gian dé hoc tập, tự mình động não, suy nghĩ, sử dụng
các khả năng trí tuệ (quan sát, phân tích, so sánh, tổng hợp hay thực nghiệm ) cùng các phẩm chất cá nhân như động cơ, tình cảm, niềm đam mê nghiên cứu
Trang 17khoa học, không ngại khó, vượt qua cả không gian và thời gian đề đạt được, hay
chiếm lĩnh tri thức nhằm thỏa mãn nhu cầu hiểu biết của cá nhân và xã hội
d Đổi mới cách kiểm tra, đánh giá chất lượng học tập của học sinh
Theo Quyết định số 40/2006/QD-BGDĐT ngày 05 tháng 10 năm 2006 của BGD&ĐT về xếp loại của học sinh trung học có điều chỉnh, bố sung những
tiêu chí đánh giá và xếp loại kết quả của học sinh, đặc biệt thông tư 58/2011/TT-
BGDĐT tiếp tục điều chỉnh cho phù hợp Theo đó, những đánh giá mới này bao
gồm những đánh giá thực, đánh giá dựa trên cơ sở thành tích học tập, hồ sơ học tập, hiển thị, trình bày và những hình thức đánh giá khác yêu cầu người học phải
tích cực suy nghĩ, chủ động lập kế họach tự học và có thể phần nào tự đánh giá việc học của mình chứ không thụ động trong mọi tình huống học tâp
Quá trình đánh giá gồm các khâu: Lượng hoá > Lượng giá > Danh gia
—> Ra quyết định; trên 3 lĩnh vực: kiến thức, kỹ năng, thái độ; theo 6 mức độ: Nhận biết - thông hiểu - vận dụng - phân tích - tổng hợp - đánh giá
Việc đánh giá kết quả học tập của học sinh cần phải đảm bảo những nguyên tắc sau: 1) Đảm bảo tính khách quan 2) Đảm bảo tính công bằng 3) Đảm bảo tính toàn diện 4) Đảm bảo tính hệ thống 5) Đảm bảo tính công khai
6) Đảm bảo tính giáo dục 7) Đảm bảo tính phát triển
Như vậy dé dat duoc những tiêu chí về giáo dục học sinh trong thời điểm hiện nay: xây dựng được đội ngũ tri thức, lao động có chất lương, có trình độ cao, luôn tự chủ, năng động, sáng tạo nhằm đáp ứng nhu cầu phát triển xã hội - hội nhập toàn cầu chúng ta cần có một hệ thống giáo dục thống nhất, phù hợp với quốc tế và điều kiện cụ thể của Việt Nam; phải đổi mới từ chương trình, nội
dung sách giáo khoa đến đổi mới cách dạy, cách học và cách đánh giá học sinh 1.2 Bài tập toán và chức năng của bài tập toán
1.2.1 Bài Toán:
Theo G.Polya, hiểu theo nghĩa rộng: “Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trông
Trang 18thấy rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay Giải toán tức là tìm ra phương tiện đó””
Bách khoa tri thức phổ thông định nghĩa: “Khái niệm bài toán hiểu là một cơng việc hồn thành được nhờ những phương pháp đã biết trong những điều
kiện cho trước””
Còn Fanghaenel.Stoliar định nghĩa thuật ngữ bài toán như sau: “Bài toán là một sự đòi hỏi hành động,trong đó quy định:
Đối tượng của hành động (cái đã có trong bài toán) Mục đích của hành động (cái phải tìm trong bài toán)
Các điều kiện của hành động (mỗi quan hệ của cái đã có và cái phải tìm)”? Thế nào là nắm vững mơn Tốn? Tắt nhiên là phải biết giải toán và không
những chỉ những bài tốn thơng thường mà cịn cả những bài toán đòi hỏi tư
duy độc lập nhất định, phải có óc phán đoán, tính độc lập và sáng tạo cao Đối với học sinh, có thể nói việc giải toán là hoạt động chủ yếu của hoạt động toán học Do vậy, việc tổ chức, ứng dụng có hiệu quả việc dạy học giải bài tập toán có vai trò đặc biệt và gần như quyết định chất lượng dạy học toán học
1.2.2 Chức năng của bài tập tốn
Ở trường phơ thơng, dạy toán là dạy hoạt động Toán học cho học
sinh,trong đó giải Toán là hình thức chủ yếu Do vậy, dạy học giải bài tập toán
có vai trò quan trọng đặc biệt, bởi nó là phương tiện rất có hiệu quả trong việc
giúp học sinh nắm vứng tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng kỹ xảo và ứng dụng toán học vào thực tiễn.Vậy bài tập Toán có những chức năng cơ
bản nào Qua việc nghiên cứu một số tài liệu lý luận đạy học và những trải
nghiệm sư phạm, chúng ta thấy rằng bài tập toán có những chức năng cơ bản sau:
- Chức năng dạy học: Thông qua giải bài bài tập toán, học sinh được rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo, củng có những vẫn đề lý thuyết đã học Có những bài
tập Toán mà bản thân nó chính là nội dung của một định lý hay mệnh đề nào đó, mà nó không có điều kiện trình bày ở phần lý thuyết Những loại bài tập
Trang 19này, sau khi được học sinh tiếp cận, sẽ trở thành phương tiện để giải một số hệ
thống bài tập toán khác, giúp học sinh dễ dàng hơn trong việc liên hệ giữa kiến
thức cũ và khám phá, tìm tòi kiến thức mới, tạo điều kiện thuận lợi cho việc tự học của học sinh Nói khác đi, bài tập toán có chức năng dạy hoc
- Chức năng giáo dục: Thông qua việc giải bài tập mà học sinh hình thành được thế giới quan duy vật biện chứng, niềm tin và phẩm chất đạo đức của
người lao động tự chủ, sáng tạo Đặc biệt, thông qua những bài toán có tính
ứng dụng thực tiễn, chắng hạn như bài toán kinh tế, tổ hop ,hoc sinh sẽ nhận
thức củng cố niềm tin vào tính ứng dụng của Tốn học Đồng thời, thơng qua
việc giải bài tập toán, học sinh được giáo dục tính kiên trì, sự bền bỉ, tính chính
xác cao
- Chức năng phát triển: Giải bài tập toán chính là môi trường để phát triển
tư duy, rèn luyện những thao tác tư duy khoa học
- Chức năng kiểm tra: Bài tập chính là thước đo của chất lượng dạy học, đánh giá năng lực toán và trình độ phát triển khả năng vận dụng kiến thức học được vào thực tiễn của học sinh Hệ thống bài tập toán được sắp xếp hợp lý và có chọn lọc kỹ thì tác dụng về nhiều mặt của nó được phát huy tối đa, đồng
thời phát huy được chức năng dạy học, phát triển tư duy
Thực tiễn cho thấy, trong quá trình dạy học, nhiều giáo viên chưa chú ý nhiều đến việc phát triển chức năng giáo dục của bài tập toán và tác dụng thực tiễn của bài tập toán, mà đường như chỉ dừng lại ở chỗ cung cấp cho học sinh nhiều bài toán và rèn các kỹ năng giải toán Để phát huy tốt hiệu quả dạy học
giải bài tập tốn, ngồi chú ý đến các chức năng của bài tập toán, giáo viên cần
chú ý chỉnh sửa lời giải và cách trình bày của học sinh, lời giải phải đảm bảo những yếu tố:
+ Không có sai lầm; học sinh thường mắc một số sai lầm trong quá trình giải như:
e Sai về kiến thức toán học, nghĩa là hiểu sai khái niệm, định lý hoặc vận dụng sai nội dung của định lý vào giả thiết bài toán;
Trang 20e Sai sot do suy luan sai;
¢ Sai do tinh toan, str dung sai ky hiéu, ng6n ngit dién dat thiéu
chinh xac
+ Lời giải phải có cơ sở lÿ luận; + Lời giải phải đây đủ;
+ Lời giải phải ngắn gọn
1.3 Dạy học sinh phương pháp giải bài tập toán
Theo G.Polya thì dạy Tốn ở trường phố thơng là đạy cho học sinh suy
nghĩ Dạy suy nghĩ có nghĩa là thầy giáo toán không chỉ là nguồn thông tin mà
còn có nhiệm vụ phát triển khả năng sử dụng thông tin của học sinh Việc
giảng dạy toán cần đảm bảo tất cả các mặt cơ bản của tư duy của nhà toán học ở trình độ trung học phổ thông
Với các nhà toán học, hoạt động cơ bản và ấn tượng nhất là: phát minh ra
các chứng minh chặt chẽ và xây dựng các hệ tiên đề Việc nhận ra và trừu xuất được một khái niệm toán học từ các tình huống cụ thể; “dự đoán được”? trong
các tình huống khác nhau (thấy trước kết quả, các tuyến cơ bản của chứng
minh).“Dự đoán”? trong cách hiểu như vậy bao gồm các hoạt động như khái
quát hoá, các suy luận quy nạp, suy luận tương tự
Dạy học toán cho học sinh, theo nhận xét của G.Polya, chỉ tạo ra ý tưởng
phiếm diện về tư duy của nhà toán học nếu không tính đến các dạng không
hình thức của hoạt động dự đoán và trừu xuất các khái niệm toán học từ thế giới xung quanh; và có thể thiếu hấp dẫn đối với học sinh nói chung và những
học sinh có nhu cầu toán học nói riêng
Dạy học giải bài tập tốn khơng có nghĩa là giáo viên chi don thuần cung
cấp cho học sinh lời giải bài toán mà cần hình thành cho học sinh một số kỹ năng nhất định, dạy cho họ đến một mức độ nào đó nắm vững được môn học Ở đây, giáo viên bắt đầu từ hệ thống câu hỏi thích hợp, dẫn đắt học sinh từ khâu tìm hiểu bài toán cho đến khi xây dựng được một chương trình giải và
thực hiện lời giải đó Ngoài ra khi giải được rồi cũng không có nghĩa là mọi
Trang 21công việc được dừng lại mà một khâu không kém phần quan trọng nữa của người giải toán; đó là nhìn lại lời giải,tìm lời giải khác (nếu có thể), xem xét mỗi liên hệ với bài toán khác đề xâu chuỗi được các bài toán có liên quan, hoặc các hoạt động khác như khái quát hóa, tổng quát hóa, Nói khác di, giáo viên
phải chuyền giao được tri thức phương pháp cho học sinh; đó là việc tìm tòi lời giải một bài toán, học sinh phải biết phân tích, tổng hơp, tư duy độc lập và sáng tạo, có như thế mới tạo được hứng thú trong học tập và niềm tin vững
bên
Vậy, để giúp học sinh đỡ bối rối khi tiếp xúc một bài toán và đi tìm lời giải ta cần quan tâm hỗ trợ những điểm nào? Có thể trả lời được phần nào câu hỏi
trên nếu giáo viên quan tâm đúng mực đến việc giúp học sinh phân loại bài
toán
Khi đứng trước một bài toán có bao giờ chúng ta tự hỏi “Bài toán này thuộc
kiểu gì?” Đây không hoàn toàn là một câu hỏi vô bổ mà ngược lại, nếu câu hỏi
như vậy có thể có ích, bởi lẽ nếu trả lời được câu hỏi này ở một chừng mực nhất
định có nghĩa là ta đã xếp được bài toán này vào một loại nào đó, đối chiếu bài toán với đoạn này đoạn kia đã từng được biết đến trong sách giáo khoa hoặc
trong quá trình giải toán, thì như vậy chúng ta đã tiến thêm một bước, hãy nhớ lại phương pháp giải các bài toán kiểu đó mà ta đã nghiên cứu trước đây
Điều này không chỉ đúng cho những bài toán giản đơn mà còn đúng với
việc giải mọi bài toán ở bat kỳ độ phức tạp nào Câu hỏi nói trên sẽ dẫn đến một câu hỏi tiếp theo “Có thể sử dụng biện pháp nào để giải bài toán kiểu này?” Và những câu hỏi tương tự như thế cứ lần lượt xuất hiện cho đến khi điều bí mật được hé mở
Việc phân loạt các bài toán, vạch ra sự khác biệt giữa các bài toán theo từng kiểu, có thé giúp ích ta khi giải toán Một sự phân loại tốt phải chia các bài
toán thành những kiểu sao cho zmổi kiểu bài toán quy định trước một phương
pháp giải
Trang 221.3.1 Những bài toán mà quy tắc, phương pháp giải có tính chất thuật
toán
Thuật toán, còn gọi là giải thuật, là một tập hợp hữu hạn của các chỉ thị hay phương cách được định nghĩa rõ ràng cho việc hoàn tất một số sự việc từ một trạng thái ban đầu cho trước; khi các chỉ thị này được áp dụng triệt để thì sẽ dẫn
đến kết quả sau cùng như đã dự đoán
Nói cách khác, thuật toán là một bộ các qui tắc hay qui trình cụ thê nhằm giải quyết một vấn đề trong một số bước hữu hạn, hoặc nhằm cung cấp một kết
quả từ một tập hợp của các dữ kiện đưa vào
“Thuật toán được hiểu như một quy tắc mô tả những chỉ dẫn rõ ràng và chính xác để người (hay máy) thực hiện một loạt thao tác nhằm đạt được mục
đích dé ra hay giải một lớp bài toán nhất định” [12, tr.200]
Khi một thuật toán đã hình thành thì ta không xét đến việc chứng minh thuật toán đó mà chỉ chú trọng đến việc áp dụng các bước theo sự hướng dẫn sẽ có kết quả đúng Việc chứng minh tính đầy đủ và tính đúng của các thuật toán phải được tiến hành xong trước khi có thuật toán Nói rõ hơn, thuật toán có thể chỉ là việc áp dụng các công thức hay qui tắc, qui trình đã được công nhận là
đúng hay đã được chứng minh về mặt toán học Ví dụ I: Xét bài toán: “Cho hình chóp tứ giác
O.ABCD,N là trung điểm của cạnh OD và G là trọng tâm của tam giác OCD.Tim giao
điểm của BN và mặt phẳng (OAG)” Đỗi với bài toán này, Giáo viên có thê hướng dẫn học a sinh giải thông qua một số hoạt động sau:
Hđ1: Em hãy nêu thuật toán xác định
giao điểm của đường thắng và mặt phẳng? Hình 1
Trang 23Mong đợi: Giả sử cần xác định giao điểm của đường thắng a và mặt phẳng (P),
ta thực hiện như sau:
- _ Xác định mp(Q) > a và cắt mp(P)
-_ Xác định giao tuyến b của mp(P) va mp(Q);
- Trong mp(Q), xác định giao điểm K của đường thắng a và b Khi đó K
chính là giao điểm cần tìm của đường thắng a và mp(P) Hđ 2: Hãy áp dụng thuật toán trên vào bài toán?
Mong đợi: Gọi M là trung điểm của CD, khi đó BNemp(OBD) Mặt phẳng (OAG) chính là mặt phẳng (OAM) Giao tuyến của hai mặt phẳng (OBD) và (OAM) chính là đường thắng OE,với E là giao điểm của BD và AM, OE cat BN tại K
Vậy K chính là giao điểm của đường thắng BN và mp(OAG)
Phát triển tư duy thuật toán trong nhà trường phổ thông là cần thiết vì
những lí do sau đây:
Thứ nhất, tư duy thuật toán giúp học sinh hình dung được việc tự động hóa trong những lĩnh vực khác nhau của con người, góp phần khắc phục sự ngăn
cách giữa nhà trường và xã hội tự động hóa Nó giúp cho học sinh thấy được nền tảng của tự động hóa, cụ thể là nhận thức rõ đặc tính hình thức, thuần túy máy móc của quá trình thực hiện thuật toán
Thứ hai, tư duy thuật toán giúp học sinh làm quen với cách làm việc khi
giải bài toán bằng máy tính điện tử
Thứ ba, tư duy thuật toán giúp học sinh học tập tốt những môn học ở nhà trường phổ thông, rõ nét là mơn tốn Nó tạo điều kiện thuận lợi cho hoc sinh lĩnh hội kiến thức và rèn luyện kỹ năng, kĩ xảo khi thực hiện giải toán có tính chất định lượng
Trang 24Thứ tư, tư duy thuật toán cũng góp phần phát triển những năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa và hình thành những phẩm chất của người lao động như tính ngăn nắp, kỹ luật, tính phê phán và thói quen tự kiểm tra
Tư duy thuật toán liên hệ chặt chẽ với khái niệm thuật toán đã trình bày ở
trên.Do đó phương thức tư duy này thê hiện ở những khả năng sau đây:
1) Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với thuật
toán cho trước
2) Phân tích một hoạt động thành những thao tác thành phần được thực hiện theo một trình tự xác định
3) Mô tả chính xác quá trình tiến hành một hành động
Khái quát hóa một hoạt động trên những đối tượng riêng lẻ thành một hoạt động trên một lớp đối tượng:
Trong một số trường hợp, các bài toán có thuật toán giải tổng quát nhưng chưa được khám phá Như vậy, ở thời điểm trước khi thuật toán này được biết
đến thì nó vẫn là một bài toán mới mà việc giải nó đòi hỏi phải tư duy một cách sáng tạo Lịch sử toán học đã chứng tỏ rằng: hoạt động khám phá những thuật
toán mới hình thành nên một phần chủ yếu của toán học
Do đó, ngay cả đối với những dang toan đã có thuật giải trong chương trình
toán phổ thông cũng cho phép rèn luyện tư duy độc lập và sáng tạo cho học sinh
nếu giáo viên không cung cấp sẵn các thuật toán này, mà tô chức cho họ tự tìm
tòi ra thuật toán đó, nghĩa là cần thoát khỏi kiểu day:
+ giáo viên trình bày thuật toán tổng quát
+ Cho ví dụ minh họa
+ Yêu cầu học sinh làm các bài tập vận dụng thuật toán vừa cung cấp
Trang 25Như đã nói, đối với lớp bài toán mà quy tắc, phương pháp giải có tính chất thuật toán, giáo viên có hai sự lựa chọn cơ bản về phương pháp dạy: Thông báo
ngay thuật toán cho học sinh rồi cho ví dụ minh họa hoặc dẫn đắt học sinh đi tìm điều đó Trong luận văn này, chúng tôi tán thành với kiểu dạy thứ hai mặc đù kiểu dạy thứ nhất nghe có vẻ tiết kiệm thời gian và hiểu quả hơn
Đối với những bài toán đã có thuật giải, vấn đề cơ bản là nhận dạng được bài toán, nghĩa là phát hiện xem bài toán thuộc dạng nào (đã có thuật giải?) Tất
nhiên, không phải lúc nào học sinh cũng có thể đễ dàng nhận ra dạng của bài tốn Cơng việc này đòi hỏi những khả năng nhất định Do đó trong trường hợp này, việc tim hiéu bài toán đóng vai trò quan trong hon cả vì công việc còn lại
chỉ là áp dụng trực tiếp thuật toán đã biết mà thôi
1.3.2 Những bài toán mà quy tắc, phương pháp giải có tính chất tựa thuật toán
Theo tác giả Bùi Văn Nghị [24, tr.162], tva thudt toán là quy trình gồm
một số hữu hạn các hoạt động có mục đích rõ ràng, cụ thể, được sắp xếp theo một trình tự nhất định, nhằm đi đến kết quả là giải được một loại công việc nào
đó theo đúng yêu cầu đã định
Trong quá trình đạy học, ta thường gặp một số qui tắc chưa mang đủ đặc
điểm đặc trưng cho thuật toán, nhưng có một số trong các đặc điểm đó và đã tỏ rõ hiệu lực trong việc chỉ dẫn hành động và giải toán Đó chỉ là những qui tắc có thé coi là tựa thuật toán, được hiểu như là một dãy hữu hạn những chỉ dẫn thực hiện được theo một trình tự xác định nhằm biến đổi thông tin vào của một lớp
bài tốn thành thơng tin ra mô tả lời giải của bài toán đó
Tựa thuật toán có các đặc điểm gần giống với thuật toán nhưng mỗi bước có thể là một thao tác sơ cấp, có thê chỉ gợi ý định hướng suy nghĩ hoặc hướng dẫn
thực hiện thao tác được lựa chọn trong một số Ít trường hợp và có hiệu quả trong
Trang 26nhiều trường hợp Cụ thể qui tắc tựa thuật toán phân biệt với qui tắc thuật toán
như sau:
- Mỗi chỉ dẫn trong qui tắc có thể chưa mô tả hành động một cách xác định;
- Kết quả thực hiện được mỗi chỉ dẫn không đơn trị;
- Qui tắc không đảm bảo chắc chắn rằng sau một số hữu hạn bước thì đem lại kết quả là lời giải của lớp bài toán
Mặc dầu có những hạn chế nói trên so với thuật toán, qui tắc tựa thuật
toán cũng vẫn là những tri thức phương pháp có ích cho quá trình hoạt động và giải toán
Thực tế cho thấy, phương pháp tựa thuật toán chỉ là những gợi ý giải quyết
vấn đề chứ không phải là những thuật toán bảo đảm chắc chắn dẫn tới thành công Vì vậy, khi cho học sinh sử dụng chúng, cần rèn luyện cho học sinh tính mền đẻo, linh hoạt, biết điều chỉnh phương hướng, thay đổi phương pháp khi
cần thiết Sẽ không có gì đáng ngại, nếu học sinh không thành công khi áp dụng một qui tắc, phương pháp tựa thuật toán nào đó Điều quan trọng là tới một lúc
nào đó, họ phải phát hiện ra sự lầm đường, biết thay đổi phương hướng và cuối
cùng đi tới thành công
1.3.3 Những bài toán mà quy tắc, phương pháp giải có tính chất phi
thuật tốn
Trong mơn Tốn ở trường phổ thơng có rất nhiều bài toán chưa có hoặc không có thuật toán để giải Chắng hạn, không thể có được thuật toán giải các
bài toán hình học tổng hợp Loại bài tập này chiếm số lượng khá lớn trong sách giáo khoa, các tài liệu tham khảo, đề thi đại học, đề thi hoc sinh gidi , và gây cho học sinh không ít khó khăn khi tiếp xúc, đẫn đến tâm lý thiếu tự tin vào chính bản thân mình, sự trở ngại này thực sự thách thức đối với người giải toán
Do đó, khi dạy học sinh giải bài tập tốn, giáo viên khơng chỉ đơn thuần cung cấp lời giải mà điều quan trọng là dạy cho học sinh biết suy nghĩ để tìm được lời
Trang 27giải Điều này đồng nghĩa chúng ta đang trang bị cho học sinh một số tri thức phương pháp, nhằm rèn luyện và phát triển ở các em năng lực tư duy khoa học Không có một thuật toán tổng quát nào đề giải mọi bài toán Chúng ta chỉ có thể thông qua đạy học giải một số bài toán cụ thể mà dần dần truyền cho học sinh
cách thức, kinh nghiệm tiến tới nghệ thuật trong việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải
các bài toán “Tìm được cách giải một bài toán là một điều phát minh”[4] Hoạt động giải các bài toán này cho phép người học có được những sản phẩm tư duy
thé hiện tính sáng tạo, tính mới mẻ Tính mới mẻ ở đây thẻ hiện ở năng lực phát hiện vân đê mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kêt quả mới
Việc nắm được một số chỉ dẫn hay một số lời khuyên “có lí”, có thể cho phép học sinh tìm ra lời giải bài toán đặt ra, vì những chỉ dẫn và lời khuyên này
có thể gợi ra những ý tưởng hợp lí cho việc tìm kiếm lời giải Trong trường hợp
này ta nói rằng ta đã vận dụng phương pháp có tính chất tìm đoán (hay ngắn gọn là phương pháp tìm đoán) Ngay cả trong trường hợp một dạng toán có thuật giải nhưng chưa được khám phá thì việc tìm kiếm thuật toán này cũng phải vận dụng phương pháp tìm đoán
Để giúp học sinh phát hiện hướng giải cho các bài toán thuộc loại này,
chúng ta có thể tham khảo bản gợi ý của Pôlia Bang này rất có ích cho giáo viên
trong quá trình đạy học giải bài tập toán Người giáo viên cần suy nghĩ, vận
dụng linh hoạt bảng này đề có thể xác định những câu hỏi, những việc làm đúng lúc, đúng chỗ và phù hợp với trình độ nhận thức, mang lại hiệu quá và đạt được mục đích của việc dạy học giải bài tập
1.4 Tư tưởng sư phạm của G.Polya trong dạy học giải bài tập Toán
1.4.1 Quy trình bốn bước giải bài tập toán theo G.Polya
Theo G.Polya, quy trình chung đề đi tới lời giải một bài toán phải trai qua
4 bước:
Trang 281) Hiểu rõ bài toán: Đê giải được bài toán,trước hết phải hiểu bài toán và
hơn nữa phải có hứng thú với bài toán đó Do vậy, giáo viên cần chú ý tới việc tạo tính tò mò, lòng ham muốn, sự say mê giải toán của học sinh, giúp học sinh
hiểu được bài toán, muốn vậy, cần phải phân tích giả thiết và kết luận của bài
toán: Đâu là ẩn,đâu là dự kiện?, Đâu là điểu kiện?, Điễu kiện và dự kiện này
liên quan tới điều gì? Có thể biểu diễn bài toán dưới hình thức khác được không? Với việc trả lời hay làm rõ những câu hỏi đó chính là bước định hướng
lời giải bài toán và đồng thời thể hiện hoạt động huy động kiến thức liên quan
đến bài toán đó
2) Xây dựng chương trình giải:
Ở bước này, thao tác tư duy thể hiên qua việc phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơn giản hơn, biến đổi bài toán đã cho, mò mẫm và dự đốn
thơng qua việc xét các trường hợp riêng lẻ, xét các bài toán tương tự hay khái quát hơn , thông qua các kỹ năng sau bằng hệ thống câu hỏi:
- Huy động kiến thức liên quan:
¢ Em đã gặp bài toán này hay bài toán này ở dạng khác lần nào
chưa? Em có biết một bài toán nào liên quan không? Một định lý
có thể dùng được khơng?
© Thi nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay ẩn số tương
tự?
e Có thể sử dụng một bài toán nào đó mà có lần em giải rồi hoặc sử
dụng kết quả của nó không? - Dự đoán kết quả phải tìm:
© Em có thể nghĩ ra một bài toán liên quan mà dễ giải hơn không?Một bài toán tổng quát hơn? Một trường hợp riêng? Một bài toan tương tự? Em có thể giải một phân của bài tốn khơng?
e Em đã sứ dụng mọi dự kiện chưa? Đã sử dụng hết điều kiện chưa? Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?
Trang 29e_ Hãy giữ lại một phân điều kiện, bỏ qua phân kia, khi đó ẩn được
xác định đến chừng mực nào và biến đối thế nào?
©_ Sử dụng phép phân tích di lên và phân tích đi xuống để tìm kếm
hướng giải quyết van dé
Để trở thành thói quen khi giải toán, giáo viên cần luyện tập cho học
sinh về những gợi ý này trong từng tiết dạy trên lớp, đặc biệt là những giờ chữa
bài tập toán Nếu được luyện tập cơ bản thì không những học sinh học được
cách giải toán mà còn có thể vận dụng vào thực tiễn đời sống khi gặp những tình huống có vẫn đề
3) Thực hiện chương trình giải:
Khi thực hiện chương trình giải hãy kiểm tra lại từng bước Em đã thấy rõ ràng là mỗi bước đều đúng chưa? Em có thể chứng minh là nó đều đúng
không?
4) Kiểm tra lại và nghiên cứu lời giải đã tìm ra:
Bạn có thể kiểm tra lại kết quả:
Bạn có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải của bài tốn khơng? Có thể tìm
được kết quả một cách khác không? Có thể thấy trực tiếp ngay kết quả không?
Bạn có thể sử dụng kết quả hay phương pháp đó cho một bài tốn nào khác khơng?
1.4.2 Tư tướng chính thế hiện qua các bước giải toán
1.4.2.1 Các quan điểm sư phạm qua bước “biểu rõ bài toán”
Khi tiếp xúc với bài toán và bắt đầu tìm tòi lời giải, diễn biến tâm lý của
người giải toán diễn ra những câu hỏi độc thoại như người điễn viên phải đóng hai vai vậy; một bên là thầy giáo và bên kia là học trò, thầy giáo đặt ra những câu hỏi như: Những cái gì chưa biết? Những cái gì là đã cho trước? Điều kiện của bài toán là gì? Còn học sinh phải xem xét những yếu tố chính của bài toán
một cách tập trung nhiều lần và nhiều khía cạnh khác nhau Nếu bài toán liên quan đến hình vẽ thì phải vẽ hình, đạt tên, kí hiệu cho những yếu tố có liên
Trang 30quan Cuôc đàm thoại này diễn ra cho đến khi đề bài toán được làm rõ, và có
thể đề ra được một chương trình giải
Như vậy tư tưởng sư phạm của G.Polya thể hiện trong bước này là: “Đạy
học toán là dạy cách suy nghĩ tìm tòi lời giải cho các bài tốn”.Theo Ơng,
cách thức cần dạy cho học sinh để tìm lời giải là tập dượt cho họ những hoạt
động biến đổi quy lạ về quen bao gồm:
e Hoạt động liên tưởng bài toán cần giải, mệnh đề cần chứng minh với bài toán đã biết, định lý đã biết, đã chứng minh trước đó
Theo J.Piaget, hoạt động nhận thức của con người liên quan đến việc tổ chức
thông tin (là cách mà thông tin được tổ chức ở trong đầu óc của con người liên quan đến các đối tượng cụ thẻ, ý tưởng hoặc hành động) và thích nghi với môi trường mà người học tri giác nó Con người tổ chức kiến thức vào sơ đồ nhận thức của mình và điều chỉnh các sơ đồ này thông qua quá trình thích nghi Sự nhận thức lúc này chính là sự thích nghỉ trí tuệ; nó bao gồm sự đồng hóa thông tin vào sơ đồ nhận thức đã có và sự điều ứng (điều tiết) sơ đồ đã có để có một sơ
đồ nhận thức mới Khi một học sinh tiếp xúc một thông tin mới, một bài toán mới, sự mắt cân bằng sẽ bắt đầu xuất hiện cho tới khi có sự thích nghi (đồng hóa và điều ứng) với thông tin mới và khi đó có sự cân bằng
Nhưng để đạt được sự cân bằng trong quá trình nhận thức ở thời điểm nhất định, con người phải trải qua một dãy những diễn biến khác nhau về tâm lý,
chẳng hạn khi đứng trước một bài toán, lúc đầu người giải nhìn bài toán biệt lập, hoặc chang có chỉ tiết nào, hoặc có ít chỉ tiết, có chăng chỉ phân biệt được những phần chính: như ân số, các dữ kiện và điều kiện hoặc điều kiện cần và kết luận của bài toán, dần dần bài toán hiện ra trước người giải hoàn toàn khác: phức tạp,
mang thêm những chỉ tiết và bộ phận phụ, giữa chúng và bài toán có những liên
hệ nào đó mà người giải toán chưa hề nghi vẫn Quá trình huy động và liên tưởng bắt đầu xuất hiện Cái nhìn về bài toán ban đầu bị tước mất các chỉ tiết,
xuất hiện những đường nét phụ Các tri thức tích lũy từ trước được huy động,
Trang 31nghiên cứu bài toán, người giải không thể nào thấy được định lý nào thực sự có
triển vọng và có ích cho mình; đòi hỏi phải sàng lọc, loại bỏ những cái không
liên quan, giới hạn dần vùng liên hệ nhằm tìm được định lý hay khái niệm, mệnh
dé thực sự là chìa khóa đề giải bài toán Đó chính là quá trình huy động và liên
tưởng
Theo nhà sư pham G.Polya: “Tát cả những tư liệu,yếu tô phụ,các định lý , sử dụng trong quá trình giải bài toán được lấy từ đâu? Người giải đã tích lũy được những kiến thức ấy trong trí nhớ, giờ đây rút ra và vận dụng một cách
thích hợp dé giải toán Chúng ta gọi việc nhớ lại có chọn lọc các trì thức như vậy là sự huy động, việc làm cho chúng thích ứng với bai todn đang giải là sự tổ chức” [4.tr.310]
Vi dụ 2: Cho hình chóp S.ABC O là điểm bên trong tam giác ABC Qua O vẽ các đường thắng song song với SA,SB,SC cắt các mặt phẳng (SBC).(SAC),(SAB) theo thứ tự tại A',B',C'
OA" OB’, sẽ có giá trị không đổi khi O đi động trong
A) Ching ) Chứng minh rắng SA’ minh ra SB
tam giác ABC B) Xác định O để OA'OB'.OC' đạt giá trị lớn nhất A) Gọi M,N,P lần lượt là giao điểm của AO và BC, BO và AC, CO và
AB Khi đó A' là giao điểm của
đường thắng qua O song song với SA và SM B' là giao điểm của đường
thắng qua O song song với SB và SN C' là giao điểm của đường thắng qua O
song song với SC và SP
Trang 32_, 04'_OM OB'_ØN OC _ OP $4 AM’SB BN’SC CP OA', OB' OC'_OM , ON , OP _ SA SB SC AM BN CP Đến đây ta liên tưởng đến bài toán trong A hình hoc phẳng sau:
Bài toán: Cho tam gidc ABC O la N
điểm bất kì trong AABC.Goi M,N,P lan lượt I PL K là giao điểm của AO và BC, BO và AC, [om
CO và AB.Chứng mình rằng 5 Mĩ °
ae + = không đổi Hình 3
Dé giải được bài toán này học sinh cần liên tưởng tới định lí Talet trong mặt phắng,bằng cách kẻ đường phụ IK Ta thực hiên lời giải như sau: Giải: Kẻ IK qua O song song với BC Khi đó: OP CP BC’BN BC _ Ol ON _OK OM =I OA -1-( OI+ OK }*- IK AM AM BM+CM BC OM ON „OP _ AM” BN oe Sau khi đã chứng minh được OM ON’: oP =1 ta chỉ việc kết luân cho lời giải AM BN CP bài toán ban đầu là ; OA’, OB’ , OC SA SB SC (dpem)
Từ kết quả câu a đã hé lộ một một ngã rẽ cho việc đi tìm lời giải câu b; đến đây học sinh cần liên tưởng đến bất đẳng thức Cosi cho ba số không âm rồi áp dụng kết quả câu a dé đi đến lời giải
B) Ap dung bat dang thức côsi và sử dụng kết quả câu a) ta có:
Trang 33OA", OB", OC" ` OA OB oc < SA SB SC TL SA SB SC 3 27 = OA'OB'.OC's 2; SASBSC OA'_ OE' _ ÓC _ OM _ỐN _ ỚP _ 1 Dấu bằng xảy ra khi = =——= SA SB SC AM BN CP 3
Do do O là trọng tâm của tam giác ABC
Theo tác giả G.Polya “Sự uy động các yếu tô có nhiều triển vọng có ích,
gắn với quan niệm của chúng ta về bài tốn, thơng thường có thể làm cho bài
toán phong phú, dạng bài toán rõ rệt hơn, loại bỏ được các lỗ hồng, khắc phục
được những thiếu sót, tóm lại sẽ bổ sung cho bài toán”[4.tr.132]
Sự liên tưởng và huy động kiến thức ở mỗi người một khác, khi đứng trước một bài toán cụ thể, có người liên tưởng được nhiều định lý, mệnh đề, bài toán phụ mà những yếu tố này hy vọng sẽ có ích cho ta tìm được lời giải bài toán Có người chỉ liên tưởng được một số ít định lý, mệnh đề có liên quan Do
vậy sự liên tưởng và huy động kiến thức khi cần thiết phụ thuộc vào khả năng
tích lũy kiến thức và phụ thuộc vào sự nhạy cảm trong việc phát hiện mẫu chốt
của vấn đề trước mắt
Thực ra, năng lực liên tưởng và huy động kiến thức không phải là điều bất biến, với cùng một bài toán, nếu đặt vào thời điểm này có thể học sinh không giải được, hoặc giải được nhưng thiếu
tính sáng tạo, lời giải còn dài dòng nhưng
khi ở vào một thời điểm khác có thể học
sinh lại giải được và còn có thế độc đáo,
đầy tính sáng tạo do trạng thái tâm lý cho phép sự tập trung vào sự huy động kiến
thức một cách tối đa
Trang 34
Ví dụ 3: Cho tir dién S.ABC Goi G la trong tam cua tam giác ABC Một mặt phẳng (P) cắt SA,SB,SC,SG theo thứ tự tại A',B',C',G' (hình 4)
SA + SB + SC =3 _,SG SA' SB' SC' SƠ
Cheng minh r»ng:
Để giải được bài toán này, học sinh cần nắm được nhữnh dự kiện của bài
toán cũng như yêu cầu của bài toán Ở đây là bài toán hình học do vậy điều đầu
tiên là học sinh phải vẽ được hình Khi phân tích điều cần chứng minh Giáo viên có thể gợi ý cho học sinh nhớ lại một bài toán đã giải nào đó trong hình học
phẳng, vì tổng của hai hạng tử đầu có liên quan đên bài toán phẳng sau:
Bài toán phẳng: Cho tam giác SAB Gọi G là trung điểm của cạnh AB Một
đường thắng d cắt SA,SB,SG lân lượt tại A',B',G”
Chứng mình rằng:
SA SB SG
sa’ SE" SG"
Giai:
Giái: Dụng AG¡,BG; song song với A’B’ Ap
Trang 35e Hoạt động biến đối bài toán về bài toán quen thuộc, bao gồm cấu trúc lại
bài toán, điễn đạt lại hình thức bài toán Trong quá trình giải bài tập toán hay chứng minh công thức, định lý không phải khi nào cũng gặp những bài toán
quen thuộc mà nhiều khi cần phải biến đối bài toán đã cho về dạng quen thuộc hơn, đã từng biết cách giải Chắng hạn xét bài toán: Cho tứ điện ABCD, gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và O là trung điểm của MN
Chứng minh rằng AO đi qua trọng tâm G của tam giác BCD
(a)
Hinh 6 (b) è
Giáo viên hướng dẫn học sinh biến đôi bài toán về dạng quen thuộc, bằng
cách yêu cầu chuyền bài toán đã cho về bài toán phăng Từ đó học sinh lập luận:
Gọi AO cắt BN tại G Bài toán trở thành chứng minh G là trọng tâm của tam giác BCD, điều này tương đương với việc chứng minh GN = GB/2 Do vậy, bài toán được chứng minh nhờ tách bộ phận phẳng (ABN) ra ngoài, đưa về bài toán quen thuộc: Cho tam gidc ABN, gọi M là trung điểm của AB; O là trung điểm
của MN.Đường thẳng AO cắt BN tại Œ Chứng mình rằng GN = GB/2
e Tư tưởng sư phạm thứ hai trong bước tìm tòi lời giải là: “Cử trong khảo sát toán, xem xét các trường hợp riêng, trường hợp đặc biệt để khái quát hóa để đi đến cách giải bài toán cân giải” Chang han xét bài toán :
Ví dụ 4: Cho ba mặt phẳng (P),(Q).(R) đôi một song songđường thắng a cắt
mặt phẳng(P), (Q),(R) lần lượt tại A, B,C; đường thắng b cắt (P), (Q), (R)lần
lượt tại A',B',C'
Trang 36Chứng minh rằng: aa = = (định lý Talet trong không gian)
Đây là một định lý trong SGK, việc chứng minh nó nằm trong khả năng
của học sinh Bài toán này nếu chứng minh trong trường hợp tổng quát thì học sinh sẽ gặp khó khăn Nhưng nếu học sinh biết nhìn nhận và thử bài toán trong
trường hợp đặc biệt trước như a //b; hay a vuông góc với b thì việc chứng minh dễ thực hiện hơn sau đó xét trong trường hợp tổng quát
Hình 7 (b) Trường hợp 1: Nêu a//b
Khi đó ta có A,B,A',B' đồng phẳng và AB//A'B'
Gọi(œ) = mp(a,b) thì (œ) cắt hai mặt phẳng (P), (Q) theo hai giao tuyến AA!,BB', suy ra AA1⁄/BB'
Vậy AA'B'B là hình bình hành nên suy ra AB = A'B'
Tương tự ta có: BC = B'C'
vay: AB =A 8 BC BC'
Trường hợp 2: Nếu a không song song với b
Trang 37Ta có AB=A'B", BC=B"C" Vi (Q)//(R) nénB'B"/C'C" > AA'B'B": AA'CIC" A'B" A'B' AB > = =—— B"C" BC' BC -_ AB A'B' ÂY ST “Suy: BC BC' 1.4.2.2.Quan điểm sư phạm của G.Polya qua bước thực hiện lời giải bài toán
Chi trong luyện tập cho học sinh các bước lập luận thông qua việc vạch
ra quy trình giải một bài toán và khai thác quy trình giải toán
Ví dụ 5: Tìm đường vuông góc chung của hai đường thắng chéo nhau z và » cho
trước
Bước I Xác định một mặt phẳng (P) chứa » và song song với a
Bước 2 Tìm hình chiếu vuông góc #7' của một điểm ¿7 bất kỳ (hợp lí) của a lên
mặt phẳng (P)
Bước 3 Dựng đường thắng a' là hình chiếu vuông góc của z lên mặt phẳng (P) bang cách qua 77' kẻ đường thắng song song với a
Trang 38- Trước hết, giáo viên chuan bi sin mot hé thong bài todn về xác định đường vuông
góc chung của hai đường thắng chéo nhau, in sẵn đề để phát cho mọi học sinh
- Sau khi tự nghiên cứu các bài toán đã cho, học sinh sẽ thảo luận nhóm về lời giải
các bài toán và tìm ra quy trình các bước xác định đường vuông góc chung của hai
đường thắng chéo nhau, chuẩn bị ý kiến, cử người trình bày ngắn gọn trước lớp
- Thảo luận chung cả lớp: Một nhóm báo cáo quy trình của nhóm mình Các nhóm
sau phát biểu những ý kiến tán thành hoặc không tán thành với nhóm trước, những ý kiến trao đôi, bố sung, chất vấn, yêu cầu giải đáp, hoặc phát biểu quy trình của nhóm mình
- Giáo viên tham gia vào việc trao đồi, đánh giá, kết luận về quy trình của các nhóm và có thể đưa ra quy trình của mình, có thể chuẩn bị trước cho học sinh tham khảo
Chang han, giao viên có thể đưa thêm quy trình sau:
Bước I Dựng mặt phẳng (P) vuông góc với đường thang a tai O
Bước 2 Dựng hình chiếu vuông góc ø' của »lên mặt phẳng (P) dựng hình
chiếu vuông góc H cua O lên ø'
Trang 39Bước I Dựng mặt phẳng (P) chứa đường thắng ø và vuông góc với đường thắng z tại 4 Bước 2 Dựng 4B vuông góc với đường thắng 2 tại ø Khi đó 4# là đoạn thắng cần dựng 3 b 9q _——§ Hình 10
Như vậy cho đến thời điểm này học sinh đã biết ba quy trình giải bài tốn dựng đường vng góc chung của hai đường thắng chéo nhau Một câu hỏi tự
nhiên được đặt ra: Bài toán nào thì áp dụng qui trình gì? Câu hỏi này nghe qua thì có vẻ khó hiểu nhưng hoàn toàn hợp li
Giáo viên có thể đưa ra kết luận: Đối với những bài tốn dựng đường vng góc chung của hai đường thắng chéo nhau mà hai đường thắng này vuông góc với nhau thì ta sẽ áp dụng quy trình thứ ba, đối với những bài toán mà việc dựng một mặt phẳng chứa đường thắng này song song với đường thắng kia
thuận lợi thì ta sẽ áp dụng quy trình thứ nhất, đối với những bài toán mà việc
dựng một mặt phẳng vuông góc với một trong
hai đường thắng kia thuận lợi (hoặc có sẵn) thì ta sẽ áp dụng quy trình thứ hai Tuy nhiên một bài
toán có thể sử dụng nhiều quy trình dé giải
Có những bài toán mặc dù học sinh đã biết quy
trình giải nhưng điều này cũng không có nghĩa là
họ sẽ giải được mọi bài toán áp dụng quy trình này
Vì vậy, trong quá trình dạy học sinh giải toán, giáo
Hình II B
Trang 40viên còn rất nhiều việc phải làm sau khi đã giúp học sinh phát hiện ra quy trình giải của bài toán tổng quát
Ví dụ: Cho hình chóp 48C có %4 vuông góc với mặt phẳng (ABC), day ABC là tam giác vu6ng tai B Goi M 1a trung diém cia 4C Dựng đường vuông goc chung cua SM va BC
Giáo viên: Bài toán này thuộc kiểu gi?
Học sinh: Dựng đường vuông góc chung của hai đường thắng chéo nhau
Giáo viên: Có mây quy trình đề giải loại toán này? Học sinh: Em đã được học ba quy trình
Giáo viên: Em hãy dựa vào đặc điểm bài toán để
lựa chọn một quy trình phù hợp
Hoc sinh: Ta thấy hai đường thắng SM và øC hình như không vuông góc với nhau, bởi vì Nếu chúng vuông góc thì Mà 8C L $4 do đó øC 1(S4C) nên BC L 4C, mâu thuẫn Vì vậy ta không thể áp dụng
quy trình thứ ba Ta thử áp dụng quy trình thứ nhất Hinh 12
Quy trình thứ nhất yêu cầu dựng một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thắng kia
Giáo viên: Ta nên dựng mặt phẳng chứa SA và song song với BC hay ngugc lại? Từ s hoặc A⁄ dựng đường thắng song song với øC dễ hơn hay từ 8 hoặc
C dựng đường thắng song song với SA dễ hơn?
Học sinh: Chắc chắn là từ M kẻ đường thắng song song với 8C rồi, đây chính là đường trung bình A⁄N của tam gidc ABC
Giáo viên: Bước thứ hai của quy trình yêu cầu điều gì?