Phân dạng và bài tập hình học 9

Chương Chủ đề A HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG 1: HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Cho A ABC vuông A , cạnh huyền BC = a, cạnh góc vng AC = b AB = c Gọi AH = h c đường cao ứng với cạnh huyền CH = b , BH = c b h hình chiếu AC, AB cạnh huyền BC c’ b’ H C a Ba hệ thức cạnh • b2 = ab (1) • c2 = ac (2) • a2 = b2 + c2 (hệ thức Pytago) (3) Ba hệ thức đường cao • h2 = b c (4) • ah = bc (5) • B 1 = 2+ 2 h b c (6) Dấu hiệu nhận biết tam giác vng • Nếu tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh cạnh tam giác tam giác vuông Chương 1: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VNG • Dấu hiệu sinh cách vẽ tam giác vuông thước kẻ compa gồm hai bước: B1: Vẽ đường tròn tâm O , đường kính BC B2: Lấy điểm A đường trịn thu B ABC vng A Các dạng tập Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng tam giác vng • Xác định vị trí cạnh huyền • Áp dụng hệ thức cạnh đường cao • Dùng kĩ thuật đại số hóa hình học: Nếu AB m = (m, n số) AB = mt, CD n CD = nt, với t > • Xác định độ dài cạnh huyền • Áp dụng hệ thức độ dài cạnh đường cao ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ Ƙ Ví dụ Hãy tính x, y với kích thước hình bên 12 y x 20 Ƙ Ví dụ Hãy tính x, y với kích thước hình bên x y x y Ƙ Ví dụ Hãy tính x, y với kích thước hình bên Ƙ Ví dụ Trang Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Tốn & LATEX HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VNG Hãy tính x, y với kích thước hình bên x y Ƙ Ví dụ Hãy tính x, y với kích thước hình bên y x Ƙ Ví dụ A Hãy tính x, y với kích thước hình bên 15 B AB AC = x H C y Ƙ Ví dụ A Hãy tính x, y với kích thước hình bên y x B t H C Ƙ Ví dụ A Hãy tính x, y với kích thước hình bên AB AC = 30 B x y C Ƙ Ví dụ Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Tốn & LATEX Trang Chương 1: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VNG A Hãy tính x, y với kích thước hình bên AB AC = B y x C 125 ĄĄĄBÀI TẬP VẬN DỤNGĄĄĄ Ƙ Bài Cho ABC A = 90◦ , AB = 12cm, BC = 13cm Tính AC , đường cao AH , đoạn thẳng BH , CH diện tích tam giác Ƙ Bài Cho ABC vuông cạnh huyền AB, cạnh AC = 15, đường cao CH chia AB thành hai đoạn AH HB với HB = 16 Tính diện tích tam giác ABC Ƙ Bài Cho tam giác ABC cân A có cạnh bên 15 cm, cạnh đáy 18 cm Tính độ dài đường cao Ƙ Bài Tính diện tích tam giác cân có chiều cao ứng với cạnh đáy 10cm, chiều cao ứng với với cạnh bên 12cm Ƙ Bài Cho tam giác ABC vuông A , đường phân giác BE , biết EC = 3, BC = Tính độ dài đoạn thẳng AB, AC Ƙ Bài Tính diện tích tam giác có độ dài ba cạnh 10cm, 17cm, 21cm Dạng 2: Dựng đoạn thẳng Py-ta-go; Dựng đoạn trung bình nhân Dựng đoạn thẳng Py-ta-go • Loại Cho trước hai đoạn thẳng a b Dựng đoạn thẳng x = a2 + b ⇔ x2 = a2 + b Dựng tam giác vuông có cạnh góc vng a b cạnh huyền x • Loại Cho trước hai đoạn thẳng a b Dựng đoạn thẳng y= a2 − b2 (a > b) ⇔ y2 + b2 = a2 Dựng tam giác vng có cạnh huyền a, cạnh góc vng b cạnh góc vng y Dựng đoạn trung bình nhân Cho trước hai đoạn thẳng a b Dựng đoạn thẳng x = ab Dựng tam giác ABC có cạnh huyền BC = a + b A = 90◦ đường cao ứng với cạnh huyền x với BH = a, HC = b ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ Trang Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Tốn & LATEX HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VNG Ƙ Ví dụ Dựng đoạn thẳng cách dựng đoạn thẳng Py-ta-go Ƙ Ví dụ Dựng đoạn thẳng cách dựng đoạn thẳng Py-ta-go Ƙ Ví dụ Dựng đoạn thẳng cách dựng đoạn thẳng Py-ta-go Ƙ Ví dụ Dựng đoạn thẳng cách dựng đoạn thẳng Py-ta-go Ƙ Ví dụ Dựng đoạn thẳng cách dựng trung bình nhân Ƙ Ví dụ Dựng đoạn thẳng cách dựng đoạn trung bình nhân ĄĄĄBÀI TẬP VẬN DỤNGĄĄĄ Ƙ Bài Dựng đoạn thẳng cách dựng đoạn thẳng Py-ta-go Ƙ Bài Dựng đoạn thẳng cách dựng trung bình nhân Dạng 3: Chứng minh hệ thức hình học Chọn tam giác vng thích hợp chứa đoạn thẳng có hệ thức Tính đoạn thẳng nhờ hệ thức cạnh đường cao Liên kết giá trị rút hệ thức phải chứng minh ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ Ƙ Ví dụ Cho ABC vng A , đường cao AH Gọi M , N hình chiếu vng góc H AB AC Chứng minh rằng: a) AM · AB = AN · AC ; c) HB AB = HC AC b) HB · HC = M A · MB + N A · NC ; Ƙ Ví dụ Cho hình vng ABCD Gọi I điểm nằm A B Tia D I cắt tia CD K Kẻ Dx ⊥ D I cắt tia BC L a) Tam giác D IL tam giác cân b) Tổng 1 + không đổi I di động cạnh AB DI DK ĄĄĄBÀI TẬP VẬN DỤNGĄĄĄ Ƙ Bài Cho tam giác ABC cân A A < 90◦ ,kẻ BM ⊥ C A Chứng minh AM AB =2 MC AC − Ƙ Bài Cho tam giác ABC vuông A với đường cao AH Trên mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A lấy điểm D cho cạnh tam giác vuông DB AB = Chứng minh BD, DH, H A độ dài ba DC Ƙ Bài Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Gọi D , E hình chiếu H AB AC Hãy chứng minh hệ thức sau: Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Tốn & LATEX Trang Chương 1: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG a) CA CE = BD AB b) AH = BC · BD · CE ; ; c) AH + BD + CE = BC ; Chủ đề A 2: d) BD + 3 CE = BC Tỉ số lượng giác góc nhọn Kiến thức cần nhớ I Định nghĩa Cho góc nhọn α, từ điểm cạnh B • sin α = AB Cạnh đối ; = Cạnh huyền AC • cos α = Cạnh kề AC = ; Cạnh huyền BC • tan α = Cạnh đối AB = ; Cạnh kề AC • cot α = Cạnh kề AC = Cạnh đối AB h n Cạ C n yề u h Cạnh kề Cạnh đối góc α, kẻ đường vng góc với cạnh Khi A Nhận xét: Vì độ dài cạnh tam giác vng dương hai cạnh góc vng nhỏ cạnh huyền nên < sin α < 1, < cos α < 1, tan α > 0, cot α > II Tỉ số lượng giác hai góc phụ Nếu hai góc phụ (có tổng số đo 90◦ ) thì: sin góc cos góc kia, tan góc cot góc Cụ thể: sin B = cos C ; cos B = sin C ; tan B = cot C ; cot B = tan C III Tỉ số lượng giác góc đặc biệt Tỉ số lượng giác góc α sin α cos α tan α cot α Trang 30◦ 45◦ 60◦ 3 2 2 2 3 3 Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX Tỉ số lượng giác góc nhọn B Các dạng tập Dạng 1: Tính tỉ số lượng giác Xác định cạnh đối, cạnh kề, cạnh huyền, viết tỉ số lượng giác theo định nghĩa Tính cạnh cịn lại nhờ hệ thức Py-ta-go hệ thức cạnh, đường cao Tính tỉ số lượng giác cịn lại theo định lí tỉ số lượng giác hai góc phụ ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ Ƙ Ví dụ Cho tam giác ABC vng C , có BC = 1,2, C A = 0,9 Tính tỉ số lượng giác góc B, từ suy tỉ số lượng giác góc A Ƙ Ví dụ Cho tam giác ABC vng A , có AB = 6, AC = Tính tỉ số lượng giác góc B, từ suy tỉ số lượng giác góc C Ƙ Ví dụ Cho tam giác ABC vuông A Kẻ đường cao AH Tính sin B, sin C (làm trịn đến chữ số thập phân thứ tư) biết AB = 13, BH = BH = 3, CH = Ƙ Ví dụ Cho tam giác ABC vng A Kẻ đường cao AH Tính sin B, sin C (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư) biết BH = 3, CH = ĄĄĄBÀI TẬP VẬN DỤNGĄĄĄ Ƙ Bài Cho tam giác ABC có hai cạnh góc vng AB = 16mm, AC = 3cm a) Tính tỉ số lượng giác góc nhọn; b) Tính tổng sin2 B + sin2 C Dạng 2: Dựng góc α biết tỉ số lượng giác m n Dựng tam giác vng có - Cạnh góc vng cạnh huyền m, n cho sin α cos α - Hai cạnh góc vng m, n cho tan α cot α m n m n Xác định tỉ số lượng giác để nhận góc α ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ Ƙ Ví dụ Dựng góc nhọn α biết sin α = Ƙ Ví dụ Dựng góc nhọn α biết cos α = 0,6 ĄĄĄBÀI TẬP VẬN DỤNGĄĄĄ Ƙ Bài Dựng góc nhọn α biết cot α = Ƙ Bài Dựng góc nhọn α biết tan α = Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Tốn & LATEX Trang Chương 1: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Dạng 3: Tính cạnh, tỉ số lượng giác góc cịn lại biết tỉ số lượng giác góc Phương pháp giải: a) Xác định cạnh đối, cạnh lề góc, viết tỉ số lượng giác theo định nghĩa b) Dùng kĩ thuật đại số hóa hình học Nếu   AB = mt AB m = (với t > 0)  CD n CD = nt c) Áp dụng hệ thức Py-ta-go ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ Ƙ Ví dụ Cho tam giác ABC vng A Biết sin B = 0, Hãy tính tỉ số lượng giác góc C Ƙ Ví dụ Cho tam giác ABC vuông A , AB = cm, B = α Biết tan α = Hãy tính 12 a) Độ dài cạnh AC b) Độ dài cạnh BC Ƙ Ví dụ Hãy tính sin α, cos α (làm trịn đến số thập phân thứ tư) biết b) cot α = a) tan α = ĄĄĄBÀI TẬP VẬN DỤNGĄĄĄ Ƙ Bài Tính sin α, tan α biết cos α = Ƙ Bài Tính cos α, tan α biết sin α = Ƙ Bài Tính sin α, cos α biết tan α = 0, Ƙ Bài Tính sin α, cos α biết cot α = Dạng 4: Sắp thứ tự tỉ số lượng giác mà không dùng bảng số máy tính Phương pháp giải: a) Đưa tỉ số lượng giác loại b) Biểu diễn tỉ số lượng giác góc đặc biệt trục số c) Chèn tỉ số cần xếp lên trục số ta thứ tự chúng ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ Ƙ Ví dụ Khơng dùng bảng số máy tính, so sánh Trang Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Tốn & LATEX Tỉ số lượng giác góc nhọn a) sin 20◦ sin 70◦ b) cos 25◦ cos 63◦ 15 c) tan 73◦ 20 tan 45◦ d) cot 20◦ cot 37◦ 40 Ƙ Ví dụ Sắp xếp tỉ số lượng giác theo thứ tự tăng dần a) sin 78◦ , cos 14◦ , sin 47◦ , cos 87◦ b) tan 73◦ , cot 25◦ , tan 62◦ , cot 38◦ Ƙ Ví dụ So sánh a) tan 25◦ sin 25◦ b) cot 32◦ cos 32◦ c) tan 45◦ cos 45◦ d) cot 60◦ sin 30◦ ĄĄĄBÀI TẬP VẬN DỤNGĄĄĄ Ƙ Bài Áp dụng quan hệ tỉ số lượng giác hai góc phụ để biết tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác góc nhỏ 45◦ : sin 60◦ , cos 75◦ , sin 52◦ 30 , cot 82◦ , tan 80◦ Dạng 5: Chứng minh hệ thức lượng giác Phương pháp giải: a) Tính tỉ số lượng giác theo định nghĩa b) Nhân hay chia theo vế tỉ số lượng giác c) Áp dụng hệ thức Py-ta-go ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ Ƙ Ví dụ Với góc nhọn α tùy ý, chứng minh a) tan α = sin α cos α b) cot α = cos α sin α d) sin2 α + cos2 α = c) tan α · cot α = Ƙ Ví dụ Với góc nhọn α tùy ý, chứng minh a) + tan2 α = cos2 α b) + cot2 α = sin2 α ĄĄĄBÀI TẬP VẬN DỤNGĄĄĄ Ƙ Bài Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác góc nhọn, chứng minh với góc nhọn α tùy ý ta có a) tan α = sin α ; cos α b) sin2 α + cos2 α = Ƙ Bài Áp dụng kết 1, đơn giản biểu thức sau Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Toán & LATEX Trang Chương 1: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG a) − sin2 α; b) sin4 α + cos4 α + sin2 α cos2 α; c) (1 − cos α) (1 + cos α); d) + sin2 α + cos2 α; e) tan2 α − sin2 α tan2 α; f) cos2 α + cos2 α tan2 α; g) sin α − sin α cos2 α; h) tan2 α cos2 α + sin2 α − Ƙ Bài Không dùng bảng số máy tính, áp dụng kết 1, tính giá trị biểu thức A = sin2 15◦ + sin2 25◦ + sin2 35◦ + sin2 45◦ + sin2 55◦ + sin2 65◦ + sin2 75◦ B = cos2 10◦ − cos2 20◦ + cos2 30◦ − cos2 40◦ − cos2 50◦ − cos2 70◦ + cos2 80◦ Ƙ Bài Cho tan α = Áp dụng kết Hãy tính giá trị a) M = c) P = sin α + cos α ; sin α − cos α sin3 α + cos3 α sin α cos2 α + cos α sin2 α Chủ đề A 3: b) N = sin α · cos α sin2 α − cos2 α ; HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GĨC TRONG TAM GIÁC VNG Kiến thức cần nhớ I Các hệ thức Cho tam giác ABC vuông A , cạnh huyền a cạnh góc vng b, c A Định lý: Trong tam giác vng, cạnh góc vng c b • Cạnh huyền nhân với sin góc đối nhân với cơsin góc kề B a C • Cạnh góc vng nhân với tang góc đối nhân với cơtang góc kề Như vậy, tam giác ABC vng A , ta có hệ thức b = a · sin B = a · cos C ; b = c · tan B = c · cot C c = a · sin C = a · cos B; c = b · tan C = b · cot B II Giải tam giác vuông Trong tam giác vuông, cho trước hai cạnh cạnh góc nhọn ta tìm tất cạnh góc cịn lại Bài tốn đặt gọi tốn "Giải tam giác vng" Trang 10 Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Tốn & LATEX DIỆN TÍCH HÌNH TRỊN, DIỆN TÍCH HÌNH QUẠT Ƙ Ví dụ Trên hình vẽ bên biết diện tích miền tơ đen 86 cm2 Tính diện tích hình trịn Ƙ Ví dụ Cho tam giác ABC nội tiếp nửa đường trịn đường kính BC Vẽ phía ngồi tam giác nửa đường trịn đường kính AB AC Chứng minh tổng diện tích hai hình trăng khuyết giới hạn ba nửa đường trịn S ABC (hình trăng khuyết Hypơ-crát) Ƙ Ví dụ Cho đường trịn có đường kính AB Trên đoạn AB lấy điểm C D cho AC = CD = DB Vẽ phía AB hai nửa đường trịn đường kính AC AD Vẽ phía bên AB hai nửa đường trịn đường kính CB, DB So sánh diện tích phần tơ đen (như hình vẽ) diện tích phần cịn lại hình trịn ĄĄĄBÀI TẬP VẬN DỤNGĄĄĄ Ƙ Bài Hãy xem biểu đồ hình quạt biểu diễn xếp loại học lực học sinh trường THCS theo ba loại: giỏi, khá, trung bình Hãy trả lời câu hỏi sau: a) Có phải số học sinh xếp loại học lực giỏi khơng? b) Có phải số học sinh xếp loại học lực không? Giỏi Khá 30◦ TB c) Số học sinh xếp loại học lực trung bình chiếm phần trăm? d) Tính số học sinh loại, biết tổng số học sinh 900 em Ƙ Bài Người ta muốn may khăn để phủ bàn trịn đường kính 76 cm cho khăn rủ xuống khỏi mép bàn (khăn có dạng hình trịn) Hãy tính diện tích vải cần có để làm khăn (khơng kể viền, mép, phần thừa) phần diện tích vải rủ xuống khỏi mép bàn Ƙ Bài Cho hai đường trịn đồng tâm tạo thành hình vành khăn Biết đường trịn nhỏ có bán kính cm hình vành khăn có diện tích 20πcm2 Tìm đường kính đường trịn lớn Ƙ Bài Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Tốn & LATEX Trang 57 Chương 3: GĨC VỚI ĐƯỜNG TRỊN C Trong hình vẽ bên ACB cung đường tròn, CD đoạn thẳng nằm đường trung trực dây AB Biết AB = 6, CD = Tính diện tích hình trịn D A B Ƙ Bài Với kiến thức học, tính diện tích hình tơ đen hay không? Cần biết liệu hình? Trang 58 Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Tốn & LATEX Chương Chủ đề A HÌNH TRỤ - HÌNH NĨN HÌNH CẦU 1: DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH HÌNH TRỤ Kiến thức cần nhớ I Hình trụ Khi quay hình chữ nhật OO AB vòng tròn quanh cạnh OO cố định, ta hình trụ hình vẽ bên Khi đó: • OO gọi trục hình trụ • O A OB quét nên hai đáy hình trụ, hai hình trịn O A nằm hai mặt phẳng song song, có tâm O O C • Cạnh AB quét nên mặt xung quanh hình trụ, vị trí AB gọi đường sinh Chẳng hạn, CD đường h sinh • Các đường sinh hình trụ vng góc với hai mặt phẳng đáy Độ dài đường sinh chiều cao hình trụ D O B II Diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ • S xq = 2π · R · h • S = 2π · R · h + 2π · R Ở R bán kinh đáy, h chiều cao III Thể tích hình trụ • V = π · R · h = S · h Ở R bán kinh đáy, h chiều cao S diện tích đáy 59 Chương 4: HÌNH TRỤ - HÌNH NĨN - HÌNH CẦU B Các dạng tập Dạng 1: Tính diện tích xung quanh - Diện tích tồn phần, thể tích hình trụ yếu tố liên quan Phương pháp giải: a) Xác định công thức b) Tìm R h c) Thay ví dụ tính ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ Ƙ Ví dụ Hãy tính: a) Diện tích xung quanh hình trụ có chu vi đường trịn đáy 13 cm chiều cao cm b) Thể tích hình trụ có bán kính đường trịn đáy mm chiều cao mm Ƙ Ví dụ Chiều cao hình trụ bán kính đáy Diện tích xung quang hình trụ 314 cm2 Hãy tính bán kính đáy thể tích hình trụ (làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ hai) Ƙ Ví dụ Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2a, BC = a Quay hình chữ nhật quanh cạnh AB hình trụ tích V1 , quanh BC hình trụ tích V2 Hỏi V2 gấp lần V1 Ƙ Ví dụ (Bài tốn Ác-si-mét) Người ta nhấn chìm hồn tồn tượng đá nhỏ vào lọ thủy tinh có nước dạng hình trụ Diện tích đáy lọ thủy tinh 12,8 cm2 Nước lọ dâng thêm 8,5 mm Hỏi thể tích tượng đá bao nhiêu? Ƙ Ví dụ Một chai phía hình trụ chứa lượng nước có chiều cao 10 cm Người ta lật ngược chai lại cm phần chai khơng chứa nước hình trụ có chiều cao cm hình vẽ bên Tính thể tích chai, biết 10 cm đường kính đáy chai 10 cm 10 cm Trang 60 Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Tốn & LATEX DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH HÌNH TRỤ ĄĄĄBÀI TẬP VẬN DỤNGĄĄĄ Ƙ Bài Diện tích chu vi hình chữ nhật ABCD ( AB > AD ) theo thứ tự 3a2 8a Cho hình chữ nhật quay quanh cạnh AB vịng ta hình trụ Tính thể tích, diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ Ƙ Bài Một hình chữ nhật có chiều dài gấp lần chiều rộng có diện tích 28 cm2 Cho hình chữ nhật quay quanh chiều dài vòng ta hình trụ Tính diện tích xung quanh thể tích hình trụ Ƙ Bài Một hình trụ có đường cao đường kính đáy Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ biết thể tích hình trụ 128π cm3 Ƙ Bài Một hình trụ bán kính đáy cm Biết diện tích tồn gấp đơi diện tích xung quanh Tính chiều cao hình trụ Ƙ Bài Một hình trụ có diện tích xung quanh 20π cm2 diện tích tồn phần 28π cm2 Biết diện tích tồn gấp đơi diện tích xung quanh Tính chiều cao hình trụ Dạng 2: Diện tích xung quanh - Thể tích hình hỗ hợp Phương pháp giải: Tính diện tích xung quanh thể tích phận hình sau cộng lại trừ ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ Ƙ Ví dụ Một hầm bi-ơ-ga hình vẽ bên Phần nửa hình trụ, phần hình hộp chữ nhật với kích thước 22 ) 1m cho hình vẽ Tính thể tích hầm bi-ơ-ga (lấy π = 1,4 m m Ƙ Ví dụ Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Tốn & LATEX Trang 61 Chương 4: HÌNH TRỤ - HÌNH NĨN - HÌNH CẦU Hãy tính thể tích, diện tích bề mặt chi tiết máy theo kích 11 cm cm cm thước cho hình vẽ bên cm Ƙ Ví dụ Một vật thể có dạng hình trụ, bán kính đáy chiều cao 2R Người ta khoan lỗ có bán kính đáy R chiều cao 2R hình vẽ bên Tính bán kính vật thể lại ĄĄĄBÀI TẬP VẬN DỤNGĄĄĄ Ƙ Bài Một chi tiết máy có dạng hình hộp chữ nhật có kích thước 20 cm, 20 cm, cm Người ta khoan lỗ hình trụ có đường kính đáy 16 cm chiều cao cm xun qua chi tiết Tính thể tích phần vật thể lại Ƙ Bài Một chi tiết máy có dạng hình trụ có đường kính đáy 25 cm, chiều cao cm Người ta khoét hình hộp chữ nhật có kích thước 16 cm, 16 cm, cm xun qua chi tiết Tính thể tích phần vật thể cịn lại Ƙ Bài Trang 62 Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Tốn & LATEX DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH CỦA HÌNH NĨN, HÌNH NĨN CỤT cm Một chi tiết máy có kích thước hình vẽ bên Hãy tính thể cm 20 cm tích diện tích bề mặt chi tiết 10 cm 10 cm Ƙ Bài Lõi cuộn có kích thước hình vẽ bên Tính thể cm tích sau cuộn đầy vào lõi (làm tròn đến số cm thập phân thứ 2) cm Chủ đề A 2: DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH CỦA HÌNH NĨN, HÌNH NĨN CỤT Kiến thức cần nhớ I Hình nón Khi quay tam giác vng AOC vịng trịn quanh cạnh góc vng AO Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Tốn & LATEX Trang 63 Chương 4: HÌNH TRỤ - HÌNH NĨN - HÌNH CẦU A cố định hình nón hình vẽ bên Khi đó: • Cạnh OC qt nên đáy hình nón hình trịn tâm O A gọi đỉnh O A gọi đường cao hình nón h • Cạnh AC qt nên mặt xung quanh hình nón Mỗi vị trí AC gọi đường sinh hình nón Chẳng hạn AD đường sinh B O D R C II Diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón • S xq = π · R · • S = 2π · R · + π · R Ở R bán kinh đáy, độ dài đường sinh III Thể tích hình nón 1 • V = π · R · h = · S · h 3 Ở R bán kinh đáy, h chiều cao, S diện tích đáy IV Diện tích xung quanh thể tích hình nón cụt Khi cắt hình nón mặt phẳng song song với đáy phần mặt phẳng nằm hình nón hình trịn Phần hình nón nằm mặt O R1 phẳng nói đáy gọi hình nón cụt hình vẽ bên • S xq = π · (R + R ) · h • Vnón cụt = π · h · R 12 + R 22 + R · R Ở R1 , R2 bán kính đáy, h chiều cao B R2 O Các dạng tập Dạng 1: Tính số đo cung bán kính hình quạt trịn nửa góc đỉnh hình nón Phương pháp giải: Trang 64 Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Tốn & LATEX DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH CỦA HÌNH NĨN, HÌNH NĨN CỤT A Rq a) Vẽ hình minh họa hình vẽ bên uạt α = b) Tính độ dài cung BD hình quạt theo D cơng thức Cđáy = 2π · Rnón c) Tính số đo cung (hoặc góc tâm) n◦ theo công thức C đáy = 2π · R nón = π · R quạt · n 180 n◦ C R nón O B d) Rquạt = đường sinh hình nón e) Tính nửa góc đỉnh α phải xác định cạnh kế, cạnh đối tam giác vng chứa α ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ Ƙ Ví dụ A Tính số đo cung quạt trịn hình vẽ bên cm t◦ B O cm C Ƙ Ví dụ A Khi quay tam giác vng để tạo hình nón Rq (như hình vẽ bên) góc C AO = 30◦ gọi góc uạt = đỉnh hình nón, độ dài đường sinh a D Tính số đo cung hình quạt khai triển mặt xung quanh hình nón n◦ C R nón O B Ƙ Ví dụ Hình khai triển mặt xung quanh hình nón hình quạt Rquạt = 16 cm, số đo cung 120◦ Tính tang nửa góc đỉnh hình nón ĄĄĄBÀI TẬP VẬN DỤNGĄĄĄ Ƙ Bài Một hình nón có bán kính đáy cm, chiều cao 24 cm Sau khai triển mặt xung Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Tốn & LATEX Trang 65 Chương 4: HÌNH TRỤ - HÌNH NĨN - HÌNH CẦU quanh, ta hình quạt Tính số đo cung hình quạt Ƙ Bài S Viết cơng thức tính góc nửa đỉnh hình nón (α góc tam giác vng SO A hình vẽ α bên) cho diện tích mặt khai triển mặt nón C phần tư diện tích hình trịn bán kính S A A B O Dạng 2: Diện tích xung quanh, thể tích hình nón, nón cụt đại lượng có liên quan biết hai ba yếu tố: Bán kính đáy, chiều cao, đường sinh Phương pháp giải: a) Xác định cơng thức b) Tìm yếu tố cịn lại nhờ hệ thức lượng tam giác vuông c) Thay giá trị tính ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ Ƙ Ví dụ S Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón quay tam giác vng cân SO A có cạnh huyền S A = α cm cm quanh cạnh góc vng SO cố định O R A Ƙ Ví dụ Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón quay tam giác vng AOB có O AB = 30◦ quanh cạnh góc vng AO = cm Ƙ Ví dụ Một hình nón cụt có bán kính đáy cm cm, chiều cao cm a) Tính diện tích xung quanh hình nón cụt b) Tính thể tích hình nón sinh hình nón cụt ĄĄĄBÀI TẬP VẬN DỤNGĄĄĄ Ƙ Bài Một hình nón bán kính đáy cm diện tích xung quanh 65π cm2 a) Tính chiều cao hình nón b) Tính diện tích tồn phần thể tích hình nón Trang 66 Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Tốn & LATEX DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH CỦA HÌNH NĨN, HÌNH NĨN CỤT Ƙ Bài Một hình nón có đường sinh dài 17 cm diện tích xung quanh 136π cm2 Thể tích hình nón Ƙ Bài Một xơ hình nón cụt làm tơn để đựng nước có bán kính đáy 14 cm cm, chiều cao 23 cm a) Tính dung tích xơ b) Tính diện tích tơn để làm xơ (coi diện tích mép gấp khơng đáng kể) Dạng 3: Tính diện tích xung quanh, thể tích hình hỗn hợp, gồm nhiều hình Phương pháp giải: Tính diện tích xung quanh thể tích phận cộng lại trừ ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ Ƙ Ví dụ Từ khúc gỗ hình lập phương có cạnh 1, người thợ tiện tiện hình nón hình vẽ bên Hãy tính thể tích hình nón cho biết người thợ loại bỏ vật liệu Ƙ Ví dụ Cái mũ vải nhà ảo thuật với kích thước hình vẽ bên Hãy tính tổng diện tích vải cần có để làm nên mũ 30 cm (không kể viền, mép, phần thừa) 10 cm 35 cm Ƙ Ví dụ Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Tốn & LATEX Trang 67 Chương 4: HÌNH TRỤ - HÌNH NĨN - HÌNH CẦU 1, m Một dụng cụ gồm phần có dạnh hình trụ, phần cịn lại có dạng hình nón Các kích thước cho hình vẽ 70 cm Hãy tính 1,60 m a) Thể tích dụng cụ b) Diện tích mặt ngồi dụng cụ (khơng tính nắp đậy) Ƙ Ví dụ Một hình trụ hình nón có chung đáy, đường cao chúng hình vẽ bên Tìm mối liên hệ bán kính đáy đường cao hình trụ để diện tích xung quanh hai hình ĄĄĄBÀI TẬP VẬN DỤNGĄĄĄ Ƙ Bài Từ khúc gỗ hình trụ có bán kính đáy cm chiều cao 14 cm người ta tiện thành hình nón có chiều cao chiều cao hình trụ bán kính đáy cm Hỏi thể tích phần gỗ tiện bỏ bao nhiêu? Ƙ Bài Cho tam giác ABC có cạnh BC = cm, chiều cao tương ứng cm Tính thể tích hình tạo thành quay tam giác vòng quanh BC Ƙ Bài Cho hình thang vng ABCD ( A = D = 90◦ ) có cạnh AB = AD = a, CD = 2a Quay hình thang vng vịng quanh cạnh AD , ta hình tích V1 Quay hình thang vng vịng quanh cạnh CD , ta hình tích V2 Tính tỉ số V1 : V2 Ƙ Bài Cho tam giác ABC ( A = 90◦ ) có cạnh BC = 10 cm AB = cm Tính thể tích tồn phần hình tạo thành quay tam giác vòng quanh BC Ƙ Bài Cho hình bình hành ABCD với AB = 2, AD = x ( x > 0) BAD = 60◦ a) Tính diện tích tồn phần S hình tạo thành quay hình bình hành ABCD vịng quanh cạnh AB diện tích tồn phần S1 hình tạo thành quanh quanh cạnh AD b) Xác định giá trị x S = S1 Trang 68 Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Tốn & LATEX DIỆN TÍCH MẶT CẦU VÀ THỂ TÍCH HÌNH CẦU Chủ đề 3: DIỆN TÍCH MẶT CẦU VÀ THỂ TÍCH HÌNH CẦU A Kiến thức cần nhớ A I Hình cầu Khi quay nửa đường trịn tâm O , bán kính R vịng quanh đường kính AB cố định hình cầu (H.288) A B O • Nửa đường trịn phép quay nói quét nên mặt cầu • Điểm O gọi tâm, R bán kính hình cầu, B mặt II Cắt hình cầu mặt phẳng a) Khi cắt hình cầu mặt phẳng ta hình trịn b) Khi mặt cầu bán kính R phẳng ta đường trịn • Đường trịn có bán kính R mặt qua tâm (gọi đường trịn lớn) • Đường trịn có có bán kính r bé R mặt phẳng khơng qua tâm III Diện tích mặt cầu S = 4πR hay S = π d (R bán kính, d đường kính mặt cầu) IV Thể tích hình cầu V = πR B Các dạng tập Dạng 1: Tính diện tích mặt cầu, thể tích hình cầu biết bán kính hình cầu ngược lại, tính bán kính hình cầu biết thể tích diện tích Phương pháp giải: a) Xác định cơng thức tính V , Sxq theo R b) Tìm R từ cơng thức V , Sxq ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Tốn & LATEX Trang 69 Chương 4: HÌNH TRỤ - HÌNH NĨN - HÌNH CẦU Ƙ Ví dụ Nếu thể tích hình cầu 113 nhiêu? lấy π = 22 cm3 bán kính bao Ƙ Ví dụ Một khinh khí cầu hình cầu có đường kính 11 m Hãy tính diện tích mặt khinh khí cầu (làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ hai) Ƙ Ví dụ Các loại bóng cho bảng có dạng hình cầu Hãy điền vào trống bảng sau (làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ hai) Loại Quả bóng gơn Quả khúc cầu Quả tennit Quả bóng bàn Quả bi a 6,5 cm 40 mm 61 mm bóng Đường 42,7 mm kính Độ dài 23 cm đường trịn lớn Diện tích Thể tích ĄĄĄBÀI TẬP VẬN DỤNGĄĄĄ Ƙ Bài 20 Một hình cầu có số đo diện tích (tính cm2 ) hai lần số đo thể tích (tính cm3 ) Tính bán kính hình cầu thể tích Ƙ Bài 21 Một hình cầu có diện tích bề mặt 120π m2 Tính thể tích hình cầu Dạng 2: Tính diện tích, thể tích hình hỗn hợp gồm nhiều hình Phương pháp giải: Tính diện tích, thể tích phận cộng lại trừ ĄĄĄVÍ DỤ MINH HỌAĄĄĄ Ƙ Ví dụ 2R (đơn vị cm) Người ta khoét rỗng hai nửa hình cầu R hình bên Hãy tính diện tích bề mặt khối gỗ lại 2R Một khối gỗ dạng hình trụ, bán kính đáy R chiều cao (diện tích ngồi lẫn trong) Ƙ Ví dụ Một bồn chứa xăng gồm hai nửa 3,62 m Hãy tính thể tích bồn chứa theo kích thước cho hình vẽ Trang 70 1,80 m hình cầu hình trụ (hình bên) Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Tốn & LATEX DIỆN TÍCH MẶT CẦU VÀ THỂ TÍCH HÌNH CẦU cm Ƙ Ví dụ Hãy tính thể tích tính hình theo kích thước cho (đơn vị cm) a) 12,6 cm b) cm cm 20 cm 8,4 cm 6,9 cm c) ĄĄĄBÀI TẬP VẬN DỤNGĄĄĄ Ƙ Bài 22 Một bồn chứa xăng dầu có phần hình trụ với chiều cao đường kính đáy phần nửa hình cầu có đường kính đường kính hình trụ Biết diện tích bề mặt bồn chứa 445 m2 Tính thể tích Ƙ Bài 23 Một đồ chơi gồm hình nón gắn với nửa hình cầu Biết thể tích hình nón gấp đơi thể tích Tính tỉ số đường cao bán kính đáy hình trịn Ƙ Bài 24 Hình bên mơ tả hình cầu đặt khít vào hình trụ, kích thước cho hình vẽ Hãy tính a) Thể tích hình cầu; b) Thể tích hình trụ; R cm c) Hiệu thể tích hình trụ hình cầu.; d) Thể tích hình nón có bán kính đáy R cm chiều cao 2R cm e) Từ kết a),b),c),d) tìm mối liên hệ chúng Sưu tầm & biên soạn: Nhóm Tốn & LATEX Trang 71 ... vng ABCD ( A = B = 90 ◦ ) có I trung điểm AB góc CID = 90 ◦ Chứng minh CD tiếp tuyến đường trịn đường kính AB ĄĄĄBÀI TẬP VẬN DỤNGĄĄĄ Ƙ Bài Cho hình thang vuông ABCD ( A = D = 90 ◦ ), AB = cm, BC... góc chắn cung O nửa số đo cung bị chắn Trên hình 179a: D sđ ABC = sđ ADC = sđ AEC = sđ AC c) Các góc chắn hai cung Trên hình 179c: A Hình 179c AD = CD ⇔ sđ AD = sđCD ⇔ sđ ABD = sđC AD ĄĄĄVÍ DỤ... tính a) Độ dài đoạn thẳng AN b) Độ dài cạnh AC Ƙ Ví dụ Trong hình vẽ bên cho AC = cm, AD = 9, cm, ABC = 90 ◦ , ACB = 54◦ ACD = 74◦ Hãy tính a) Độ dài đoạn thẳng AB b) Số đo góc ADC ĄĄĄBÀI TẬP