Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm ứng dụng tích phân

CHỦ ĐỀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A KIẾN THỨC CƠ BẢN Diện tích hình phẳng a) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f ( x) liên tục đoạn a; b , trục hoành b hai đường thẳng x  a , x  b xác định: S  f ( x) dx a y y = f (x) O a c1 c2 y = f (x)  y = (H )  x = a  x = b c3 b x b S = ∫ f ( x ) dx a b) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f ( x) , y  g ( x) liên tục đoạn a; b b hai đường thẳng x  a , x  b xác định: S  f ( x)  g ( x) dx a y (C1 ) : y = f1 ( x )  (C ) : y = f2 ( x ) (H )  x = a x = b  (C1 ) (C2 ) c2 a c1 O S x = b b ∫ f1 ( x ) − f ( x ) dx a Chú ý: b b a a - Nếu đoạn [a; b] , hàm số f ( x) khơng đổi dấu thì:  f ( x) dx   f ( x)dx - Nắm vững cách tính tích phân hàm số có chứa giá trị tuyệt đối - Diện tích hình phẳng giới hạn đường x  g ( y ) , x  h( y ) hai đường thẳng y  c , d y  d xác định: S  g ( y )  h( y ) dy c Thể tích vật thể thể tích khối trịn xoay a) Thể tích vật thể: Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm a b; S ( x) diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm x , (a  x  b) Giả sử S ( x) hàm số liên tục đoạn [a; b] (V ) O x a b b x V = ∫ S ( x )dx a S(x) b Khi đó, thể tích vật thể B xác định: V S ( x)dx a Trang 1/34 b) Thể tích khối trịn xoay: Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y  f ( x) , trục hoành hai đường thẳng x  a , x  b quanh trục Ox: y y = f (x) O a (C ) : y = f ( x )  b (Ox ) : y = V = π  x ∫a [ f ( x )] dx x x = a  x = b b Chú ý: - Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường x  g ( y ) , trục hoành hai đường thẳng y  c , y  d quanh trục Oy: y d O c (C ) : x = g( y )  (Oy ) : x =  y = c  y = d x d V y = π ∫ [ g ( y )] dy c - Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y  f ( x) , y  g ( x) hai đường thẳng x  a , x  b quanh trục Ox: b V   f ( x)  g ( x) dx a Trang 2/34 B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM I- Câu hỏi tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: Những điểm cần lưu ý: Trường hợp Cho hai hàm số f(x) g(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn b đường y  f ( x), y  g ( x), x  a, x  b S  f ( x)  g ( x) dx a Phương pháp giải tốn +) Giải phương trình f ( x)  g ( x) (1) b +) Nếu (1) vơ nghiệm S   f ( x)  g ( x) dx a +) Nếu (1) có nghiệm thuộc a; b giả sử   b a  S   f ( x)  g ( x) dx  f ( x)  g ( x) dx Chú ý: Có thể lập bảng xét dấu hàm số f ( x)  g ( x) đoạn a; b dựa vào bảng xét dấu để tính tích phân Trường hợp Cho hai hàm số f(x) g(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn  đường y  f ( x), y  g ( x) S  f ( x)  g ( x) dx Trong  ,  nghiệm nhỏ lớn  phương trình f ( x)  g ( x) a      b Phương pháp giải toán Bước Giải phương trình f ( x)  g ( x) tìm giá trị  ,   Bước Tính S  f ( x)  g ( x) dx trường hợp  Câu Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y  f ( x) , y  g ( x) liên tục [a ; b] hai đường thẳng x  a , x  b (a  b) là: A S  a f ( x)  g ( x) dx B S a ( f ( x)  g ( x))dx C S a ( f ( x)  g ( x)) dx D S a f ( x)  g ( x) dx b b b Câu b Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f  x , liên tục [a ; b] trục hoành hai đường thẳng x  a, x  b a  b cho công thức: b A S  f  x dx a b B S  f  xdx a b b D S   f  xdx C S   f  x dx a a Câu Diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x  11x  6, y  x , x  0, x  (Đơn vị Câu diện tích) A B C 3 Diện tích hình phẳng giới hạn y  x , y  x là: Câu A B C 12 D 13 Cho hàm số y  f ( x) liên tục nhận giá trị không âm đoạn [a; b] Diện tích hình thang D 18 23 cong giới hạn đồ thị y  f ( x) , trục hoành hai đường thẳng x  a , x  b tính theo cơng thức Trang 3/34 b b B S   f ( x)dx A S  f ( x)dx a Câu a b b C S   f ( x)dx D S  f ( x)dx a a Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f ( x) liên tục đoạn [a; b] , trục hoành hai đường thẳng x  a , x  b tính theo cơng thức b b B S  f ( x)dx A S  f ( x) dx a a Câu b b C S  f ( x) dx D S   f ( x)dx a a Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f ( x) , y  g ( x) liên tục đoạn [a; b] , trục hoành hai đường thẳng x  a , x  b tính theo cơng thức b b A S  f ( x)  g ( x) dx B S [f ( x)  g ( x)]dx a a b b C S  f ( x)  g ( x) dx D S   f ( x)  g ( x) dx a a Câu Cho đồ thị hàm số y  f ( x) Diện tích hình phẳng (phần tơ đậm hình) 1 A S  f ( x)dx  f ( x)dx 2 2 0 B S  f ( x)dx 2 D S  f ( x)dx  f ( x)dx C S  f ( x)dx  f ( x)dx Câu 2 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x , trục hoành hai đường thẳng x  , x  A 19 B 18 C 20 D 21 Câu 10 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x , trục hoành hai đường thẳng x  , x  A B 14 C 13 D 14 Câu 11 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x , trục hoành hai đường thẳng x  , x  45 45 45 45 A B C D Câu 12 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  sin x , trục hoành hai đường thẳng x , x A 3 B C D Trang 4/34 Câu 13 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  tan x , trục hoành hai đường thẳng x   , x  3 6 B ln C  ln D  ln 3 3 2x Câu 14 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  e , trục hoành hai đường thẳng A ln x  , x  e6 e6 e6 C D    2 3 3 [DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG] VẬN DỤNG THẤP Câu 15 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x3  x , trục hoành hai đường A e6  2 B thẳng x  , x  53 51 49 25 A B C D 4 4 Câu 16 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x  x  , trục hoành hai đường thẳng x  , x  142 A B 143 C 144 D Câu 17 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x  A  ln B  ln 141 x 1 , trục hoành đường thẳng x2 C  ln D  ln 2 Câu 18 Diện tích hình phẳng giới hạn parabol y   x đường thẳng y   x 9 B C D 2 Câu 19 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  cos x , trục hoành hai đường A thẳng x  0, x   A B D C Câu 20 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x  x  , trục hoành hai đường 71 A thẳng x  , x  73 B C 72 Câu 21 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  D 14 x 1 , trục hoành đường thẳng x2 x  A  ln B  ln C  ln D  ln 2 Câu 22 Diện tích hình phẳng giới hạn parabol y   x đường thẳng y   x 9 B C D Câu 23 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  cos x , trục hoành hai đường A thẳng x  0, x  A  B C D Trang 5/34 Câu 24 Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y  x y  x 1 1 B C D 13 12 14 15 Câu 25 Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y  x3  x  A y  x  x  x  37 37 B C D 13 12 Câu 26 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y   x  , đường thẳng x  , trục tung A trục hoành 22 32 25 23 B C D A 3 3 y x − x , trục hoành hai đường thẳng Câu 27 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong = −3, x = x= 202 203 201 201 B C D Câu 28 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y  x ln x , trục hoành đường thẳng A x  e e2  e2  e2  e2  B C D 4 Hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hai hàm số y  x  x  2, y  x  hai đường A Câu 29 thẳng x  2; x  Diện tích (H) 87 87 87 87 B C D 5 x Câu 30 Gọi (H) hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y   e x, y  1  e x Diện tích A  (H) e 1 A  e2 e2 e 1 C D 2 VẬN DỤNG CẤP ĐỘ CAO Câu 31 Hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hai hàm số y  x  , y  x  Diện tích (H) B 70 74 73 71 A B C D 3 3 Câu 32 Hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hai hàm số y  x  x  , y  x  Diện tích (H) 108 109 109 119 A B C D 5 6 Câu 33 Diện tích hình phẳng giới hạn ( P) : y  x  , tiếp tuyến (P) điểm có hồnh độ x  trục tung A B C D 3 Câu 34 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y  y  x  0, x  y  A B C D 11 Trang 6/34 Câu 35 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x ; y  A 27 ln B 27 ln C 28ln 27 x ; y x 27 D 29 ln Câu 36 Diện tích hình phẳng hình vẽ sau A B 11 C D 10 Câu 37 Diện tích hình phẳng nằm góc phần tư thứ nhất, giới hạn đường thẳng a y  x, y  x đồ thị hàm số y  x3 Khi a  b b A 68 B 67 C 66 D 65 x2 Câu 38 Diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng y  1, y  x đồ thị hàm số y  a miền x  0, y  Khi b  a b A B C D  x, nÕu x  10 Câu 39 Diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng y   y  x  x  x  2, nÕu x>1 a Khi a  2b b A 16 B 15 C 17 D 18  x  4x  Câu 40 Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số (C ) : y  , tiệm cận xiêm (C ) hai x 1 đường thẳng x  0, x  a (a  0) có diện tích Khi a A  e5 B  e5 C  2e5 II-Câu hỏi tính tính thể tích vật tròn xoay giới hạn đường: D  2e5 Những điểm cần lưu ý: Tính thể tích khối trịn xoay: Trường hợp Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường y  f(x) , y  , x  a b x  b (a  b) quay quanh trục Ox V   f (x)dx a Trang 7/34 Trường hợp Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường y  f(x), y  g(x) , b x  a x  b (a  b) quay quanh trục Ox V   f (x)  g2 (x) dx a NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU Câu 41 Thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đường = y = , y 0= , x 1= , x quanh trục ox là: x B 6π C 12π D 6π A 6π π quay xung quanh trục Câu 42 Cho hình phẳng giới hạn đường y = cos 4x, Ox, x = 0, x = Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành bằng: A π2 B π2 C π 16 Câu 43 Cho hình phẳng giới hạn đường = y f ( x), Ox= ,x a= ,x  π +1  D   π  16  b quay xung quanh trục Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành bằng: b A V = π ∫ f ( x)dx a b b B V = π ∫ f ( x)dx C V = ∫ π f ( x)dx a y Câu 44 Cho hình phẳng giới hạn đường = a b D V = ∫ f ( x)dx a x − ; trục Ox đường thẳng x = quay xung quanh trục Ox Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng: A π B 3π C 2π D π Câu 45 Cho hình phẳng giới hạn đường y = x + 1, y = 0, x = 0, x = quay xung quanh trục Ox Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng: 79π 23π 5π B C D 9π 63 14 Câu 46 Cho hình phẳng giới hạn đường y 2= x, x= a, x= b (0 < a < b) quay xung quanh trục A Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành bằng: b A V = π ∫ xdx a B V = π ∫ b a xdx b C V = π ∫ xdx a D V = π ∫ b a xdx − x + 2x, y = quay xung quanh trục Ox Thể tích Câu 47 Cho hình phẳng giới hạn đường y = khối tròn xoay tạo thành bằng: 496π 4π A B 15 C 64π 15 D 16π 15 quay xung quanh trục Ox Thể tích Câu 48 Cho hình phẳng giới hạn đường y =1 − x , y = khối tròn xoay tạo thành bằng: 2π π 3π A B C D π 2 Câu 49 Thể tích khối trịn xoay khơng gian Oxyz giới hạn hai mặt phẳng x = 0; x = π có thiết diện cắt mặt phẳng vng góc với Ox điểm ( x;0;0) đường trịn bán kính sin x là: A V = B V = π C V = 4π D V = 2π Trang 8/34 Câu 50 Cho hình phẳng giới hạn đường= y tan x,= y 0,= x 0,= x Ox Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng: π π π    A V π  −  B V π  −  C V π  −  = = = 3 3 3    π quay xung quanh trục π  D V π  −  = 3  Câu 51 Cho hình phẳng giới hạn đường y = + x , Ox, x = 0, x = quay xung quanh trục Ox Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng: 28 68 28 68 A π B π C π D π 3 3 VẬN DỤNG Câu 52 Một vật có kích thước hình dáng hình vẽ Đáy hình trịn giới hạn đường mặt phẳng Oxy), cắt vật mặt phẳng vng góc với trục Ox trịn x + y =(nằm 16 ta thiết diện hình vng Thể tích vật thể là: A ∫ (16 − x ) dx −4 B ∫ −4 4x 2dx C ∫ −4 4π x 2dx D ∫ −4 4π (16 − x ) dx Câu 53 Cho hình phẳng D giới hạn đường y = x đường thẳng x = Thể tích khối tròn xoay sinh D xoay quanh trục Ox là: A 32π B 64π C 16π D 4π Câu 54 Cho hình phẳng giới hạn đường= y ln x= x quay xung quanh trục Ox Thể , y 0,= tích khối trịn xoay tạo thành bằng: A 2ln 2 − 4ln + C π ( 2ln 2 − 4ln + ) B π ( 2ln 2 + 4ln − ) D π ( 2ln − 1) Câu 55 Cho hình phẳng giới hạn đường = y a.x = , y bx (a, b ≠ 0) quay xung quanh trục Ox Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng: b3  1  = A V π  −  a 3 5 B V = π b5 5a C V = π b5 3a3 b5  1  = D V π  −  a 3 5 Câu 56 Cho hình phẳng giới hạn đường y =4 − x , y = x quay xung quanh trục Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành bằng: 24π 28π 28π 24π B V = C V = D V = 5 5 Câu 57 Cho hình phẳng giới hạn đường= y x= , y x= , x 0,= x quay xung quanh trục Ox A V = Thể tích khối trịn xoay tạo thành bằng: Trang 9/34 8π 4π 2π B V = C V = D V = π 3 Câu 58 Gọi ( H ) hình phẳng tạo hai đường cong ( C1 ) : y = f ( x ) , ( C2 ) : y = g ( x ) , hai A V = đường thẳng x = a , x = b , a < b Giả sử ( C1 ) ( C2 ) khơng có điểm chung [ a, b ] thể b tích ( khối tròn xoay sinh quay (H) quanh Ox ) V= π∫ f ( x )  − g ( x )  dx Khi a (1) : ( 2) : ( 3) : f ( x ) > g ( x ) , ∀x ∈ [ a, b ] f ( x ) > g ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [ a, b ] ≤ f ( x ) < g ( x ) , ∀x ∈ [ a, b ] Số nhận định nhận định là: A B C D Câu 59 Cho hình phẳng giới hạn đường= y x ln x= x e quay xung quanh trục Ox Thể , y 0,= tích khối trịn xoay tạo thành bằng: 4e3 + A π 4e3 − B π 2e3 + C π 2e3 − D π Câu 60 Cho hình phẳng giới hạn đường y =x − x + x, y =0 quay xung quanh trục Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành bằng: A 729π 35 B 27π C 256608π 35 D 7776π Câu 61 Một vật có kích thước hình dáng hình vẽ Đáy hình trịn giới hạn đường trịn x + y = 16 (nằm mặt phẳng Oxy), cắt vật mặt phẳng vng góc với trục Ox ta thiết diện tam giác Thể tích vật thể là: Trang 10/34 A B Ta có cos x   x  Nên  D C Hướng dẫn giải   [0; ]      1  1 2 S cos x dx  cos xdx cos xdx   sin x    sin x    2  2  0 4 Câu 24 Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y  x y  x A 12 Ta có B 13 14 Hướng dẫn giải C x  x  x  x  D 15 2 3  x  x dx  ( x  x )dx   x  x   3  12 Nên S  3 Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y  x3  x  Câu 25 y  x3  x  x  A 37 13 B 37 12 C D Hướng dẫn giải x  2  Ta có x3  x   x  x  x  1 x   x  1 Nên S  x3  x  x dx  ( x  x  x)dx ( x3  x  x)dx 2 2 0  x x3   x x3  37     x      x   4  2   12 Câu 26 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y   x  , đường thẳng x  , trục tung trục hoành 22 A 25 Hướng dẫn giải Xét pt  x   đoạn 0;3 có nghiệm x  B 32 C D 23 23 Câu 27 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong = y x − x , trục hoành hai đường thẳng Suy S  x  dx  x  dx  x= −3, x = 202 203 201 B C Hướng dẫn giải Xét pt x3  x  đoạn 3; 4 có nghiệm x  2; x  0; x  A D 201 Trang 18/34 201 3 2 Câu 28 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y  x ln x , trục hoành đường thẳng 2 Suy S  x3  x dx  x3  x dx  x  x dx  x  x dx  x  e e2  Hướng dẫn giải Xét pt x ln x  khoảng 0;e có nghiệm x  A e2  e2  B C D e2  e2  Hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hai hàm số y  x  x  2, y  x  hai đường e Suy S x ln xdx  Câu 29 thẳng x  2; x  Diện tích (H) 87 Hướng dẫn giải Xét phương trình ( x  x  2)  ( x  2)   x    x  2 87 Suy S  x  dx  x  dx  2 A 87 87 B C  D 87  Câu 30 Gọi (H) hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y   e x x, y  1  e x Diện tích (H) e 1 A Hướng dẫn giải  e2 B C e2 D e 1  e2 Suy S  x e  e  dx x e  e  dx  Xét pt  e x x  1  e x  có nghiệm x  0, x  1 x x VẬN DỤNG CẤP ĐỘ CAO Câu 31 Hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hai hàm số y  x  , y  x  Diện tích (H) 71 A 73 B 70 Hướng dẫn giải C D 74 Xét pt x   x  có nghiệm x  3, x  3    Suy S  x -1 - x  dx  2 x -1 -  x  5 dx -3 Bảng xét dấu x  đoạn 0;3 x x 1  -  +   Vậy S  2  x  x  dx  x  x  dx  73 Câu 32 Hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hai hàm số y  x  x  , y  x  Diện tích (H) Trang 19/34 A 108 B 109 109 Hướng dẫn giải C D 119 Xét pt x  x   x  có nghiệm x  0, x        Suy S   x  x dx  x  x  dx   x  x dx  Câu 33 109 Diện tích hình phẳng giới hạn ( P) : y  x  , tiếp tuyến (P) điểm có hồnh độ x  trục tung A B 3 C D Hướng dẫn giải PTTT (P) x  y  x  x  Xét pt x   4 x  3   x  x    x       Suy S  x  x  dx   2  x3  x  x  dx    x  x   3 0  Câu 34 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y  y  x  0, x  y  11 D 2 Hướng dẫn giải Biến đổi hàm số theo biến số y x   y  y, x   y Xét pt tung độ giao điểm ( y  y )   y  có nghiệm y  0, y  A B 3 0  C  Vậy S  y  y dy   y  y dy  Câu 35 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x ; y  A 27 ln B 27 ln C 28ln 27 x ; y 27 x D 29 ln Hướng dẫn giải Xét pthđgđ x  x2 27 x 27   x  0; x    x  3;  0 x9 27 x 27 x Suy Trang 20/34 9  x2  27 x     S  x  dx    dx  27 ln 27  27  0 3 x Câu 36 Diện tích hình phẳng hình vẽ sau A B 11 C D 10 Hướng dẫn giải y  1 10 , Nên S ( y   y )dy  Ta có y  y     y  Câu 37 Diện tích hình phẳng nằm góc phần tư thứ nhất, giới hạn đường thẳng a y  x, y  x đồ thị hàm số y  x3 Khi a  b b A 68 B 67 C 66 D 65 Hướng dẫn giải Ta có x  x  x  x   x  0;8 x  x3    ; x  x3    x  2  x   Trang 21/34 2   Nên S 8 x  xdx   x  x3 dx  63 Câu 38 Diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng y  1, y  x đồ thị hàm số y  miền x  0, y  A Hướng dẫn giải Ta có x    x  1; x  a Khi b  a b B C x2 D x2 x2   x  0;1  0 x 4 Trang 22/34 1 2 x2  x2  Nên S  x  dx 1   dx  4 4 0 1  x, nÕu x  10 Câu 39 Diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng y   y  x  x  x  2, nÕu x>1 a Khi a  2b b A 16 B 15 C 17 D 18 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Ta có 10 x  x2   x  x  10 x  x2  x   x  3 10  10  13 Nên S  x  x  x dx  x  x  x   dx    0 1  x2  4x  , tiệm cận xiêm (C ) hai x 1 đường thẳng x  0, x  a (a  0) có diện tích Khi a Câu 40 Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số (C ) : y  A  e5 B  e5 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Ta có TCX : y   x  C  2e5 D  2e5 a     a dx  dx  ln x   ln(1  a ) Nên S (a )  a  x  1  x  1 Suy ln(1  a )   a   e5 Trang 23/34 II-Câu hỏi tính tính thể tích vật trịn xoay giới hạn đường: Những điểm cần lưu ý: Tính thể tích khối trịn xoay: Trường hợp Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường y  f(x) , y  , x  a b x  b (a  b) quay quanh trục Ox V   f (x)dx a Trường hợp Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường y  f(x), y  g(x) , b x  a x  b (a  b) quay quanh trục Ox V   f (x)  g2 (x) dx a NHẬN BIẾT – THƠNG HIỂU Câu 41 Thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đường = y = , y 0= , x 1= , x quanh trục ox là: x A 6π B 6π C 12π D 6π Hướng dẫn giải Theo công thức ta tích khối trịn xoay cần = tính là: V 4 π ( ) dx ∫= x Câu 42 Cho hình phẳng giới hạn đường y = cos 4x, Ox, x = 0, x = π 12π quay xung quanh trục Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành bằng: A π2 Hướng dẫn giải B π2 C 16  π +1  D   π  16  π π Theo công thức ta tích khối trịn xoay cần tính là: V = Câu 43 Cho hình phẳng giới hạn đường = y f ( x), Ox= ,x π cos2 4xdx ∫= a= ,x π2 16 b quay xung quanh trục Ox Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng: b A V = π ∫ f ( x)dx a b B V = π ∫ f ( x)dx a b C V = ∫ π f ( x)dx a Hướng dẫn giải b D V = ∫ f ( x)dx a b Theo cơng thức ta tích khối trịn xoay cần tính là: V = π ∫ f ( x)dx a y Câu 44 Cho hình phẳng giới hạn đường = x − ; trục Ox đường thẳng x = quay xung quanh trục Ox Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng: A π B 3π C 2π Giao điểm hai đường= y D π x − y = A(1; 0) Vậy thể tích khối trịn xoay cần tính là: V = π ∫ (x − 1)dx = 2π Câu 45 Cho hình phẳng giới hạn đường y = x + 1, y = 0, x = 0, x = quay xung quanh trục Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành bằng: Trang 24/34 79π 63 Hướng dẫn giải A B 23π 14 C 5π D 9π Theo cơng thức ta tích khối trịn xoay cần tính là: V = π ∫ ( x3 + 1) dx = 23π 14 Câu 46 Cho hình phẳng giới hạn đường y = x, x= a, x= b (0 < a < b) quay xung quanh trục Ox Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng: b A V = π ∫ xdx a B V = π ∫ b a b D V = π ∫ C V = π ∫ xdx xdx a b a xdx Hướng dẫn giải Với x ∈ [ a; b ] y = x ⇔ y = x b Theo cơng thức ta tích khối trịn xoay cần tính là: V = π ∫ xdx a Câu 47 Cho hình phẳng giới hạn đường y = − x + 2x, y = quay xung quanh trục Ox Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng: 496π 4π A B 15 Hướng dẫn giải C 64π 15 D 16π 15 Giao điểm hai đường y = −x + 2x y = O(0; 0) A(2; 0) Theo cơng thức ta tích khối trịn xoay cần tính là: V = π ∫ (− x + x) dx = 16π 15 Câu 48 Cho hình phẳng giới hạn đường y =1 − x , y = quay xung quanh trục Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành bằng: 3π 2π A B Hướng dẫn giải Giao điểm hai đường = y C π D π − x y = B(−1; 0) A(1; 0) Theo công thức ta 4π −1 Câu 49 Thể tích khối trịn xoay khơng gian Oxyz giới hạn hai mặt phẳng x = 0; x = π có tích khối trịn xoay cần tính là: V =π ∫ (1 − x )dx = thiết diện cắt mặt phẳng vng góc với Ox điểm ( x;0;0) đường trịn bán kính sin x là: A V = B V = π C V = 4π D V = 2π Hướng dẫn giải Khối tròn xoay đề có cách quay hình phẳng tạo đường x 0;= x = π; y = sin x ; Ox quay trục Ox π Theo công thức ta tích khối trịn xoay cần tính là: V π= = ∫ sin xdx 2π Câu 50 Cho hình phẳng giới hạn đường= y tan x,= y 0,= x 0,= x Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành bằng: π π π    A V π  −  B V π  −  C V π  −  = = = 3 3 3    Hướng dẫn giải π quay xung quanh trục π  D V π  −  = 3  Trang 25/34 π π  Theo cơng thức ta tích khối trịn xoay cần tính là: xdx π  −  = V π ∫ tan= 3  Câu 51 Cho hình phẳng giới hạn đường y = + x , Ox, x = 0, x = quay xung quanh trục Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành bằng: 28 68 B π A π 3 Hướng dẫn giải 28 C π D π 68 68π Theo cơng thức ta tích khối trịn xoay cần tính là: V =∫ π (1 + x )2dx = VẬN DỤNG Câu 52 Một vật có kích thước hình dáng hình vẽ Đáy hình trịn giới hạn đường 16 mặt phẳng Oxy), cắt vật mặt phẳng vng góc với trục Ox trịn x + y =(nằm ta thiết diện hình vng Thể tích vật thể là: A ∫ (16 − x ) dx −4 Hướng dẫn giải B ∫ −4 4x 2dx C ∫ −4 4π x 2dx D ∫ −4 4π (16 − x ) dx Thiết diện cắt trục Ox điểm H có hồnh độ x cạnh thiết diện 16 − x = V Vậy thể tích vật thể ∫ −4 = S(x)dx ∫ (16 − x ) dx −4 Câu 53 Cho hình phẳng D giới hạn đường y = x đường thẳng x = Thể tích khối trịn xoay sinh D xoay quanh trục Ox là: A 32π Hướng dẫn giải B 64π C 16π D 4π Trang 26/34 Giao điểm hai đường y = 4x x = D(4; −4) E (4; 4) Phần phía Ox đường y = 4x có phương trình y = x Từ hình vẽ suy thể tích khối trịn xoay cần = V tính là: π (2 x ) dx ∫= 32π Câu 54 Cho hình phẳng giới hạn đường= y ln x= , y 0,= x quay xung quanh trục Ox Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng: B π ( 2ln 2 + 4ln − ) A 2ln 2 − 4ln + C π ( 2ln 2 − 4ln + ) D π ( 2ln − 1) Hướng dẫn giải Tọa độ giao điểm hai đường y = ln x y = điểm C (1; 0) Vậy thể tích khối trịn = xoay cần tính là: V ∫ π ln ) ( xdx = π ln2 − ln + = = y a.x , y bx (a, b ≠ 0) quay xung quanh trục Ox Câu 55 Cho hình phẳng giới hạn đường Thể tích khối trịn xoay tạo thành bằng: b3  1  = A V π  −  a 3 5 B V = π b5 C V = π 5a b5 3a3 b5  1  = D V π  −  a 3 5 Hướng dẫn giải b b2 Tọa độ giao điểm hai đường y = ax y = bx điểm O(0; 0) A( ; ) Vậy thể a a b a b a 0 2 tích khối trịn xoay cần tính là: V = π ∫ π b x dx − ∫ π a x dx = b5 1 ( − ) a3 Trang 27/34 Câu 56 Cho hình phẳng giới hạn đường y =4 − x , y = x quay xung quanh trục Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành bằng: 24π Hướng dẫn giải B V = A V = 28π Tọa độ giao điểm hai đường= y C V = − x y = Vậy thể tích khối trịn xoay cần tính là: V = 28π D V = 24π x điểm A(− 3;1) B( 3;1) 3 ∫ π (4 − x − )dx − ∫ π x dx = − π 28 Câu 57 Cho hình phẳng giới hạn đường= y x= , y x= , x 0,= x quay xung quanh trục Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành bằng: 4π 2π 8π B V = C V = D V = π 3 Hướng dẫn giải Tọa độ giao điểm đường x = với y = x y = 3x điểm C (1;1) B(3;1) Tọa độ giao điểm đường y = 3x với y = x O(0; 0) Vậy thể tích khối trịn xoay cần tính là: A V = V = 1 ∫ π 9x dx − ∫ π x dx = π 0 Câu 58 Gọi ( H ) hình phẳng tạo hai đường cong ( C1 ) : y = f ( x ) , ( C2 ) : y = g ( x ) , hai đường thẳng x = a , x = b , a < b Giả sử ( C1 ) ( C2 ) khơng có điểm chung [ a, b ] thể b ( tích khối tròn xoay sinh quay (H) quanh Ox ) V= π∫ f ( x )  − g ( x )  dx Khi a (1) : f ( x ) > g ( x ) , ∀x ∈ [ a, b ] Trang 28/34 f ( x ) > g ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [ a, b ] ( 2) : ( 3) : ≤ f ( x ) < g ( x ) , ∀x ∈ [ a, b ] Số nhận định nhận định là: A B C Hướng dẫn giải Từ giả thiết ta suy xảy hai trường hợp: ( ) : f ( x ) > g ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b] ( 3) : D ≤ f ( x ) < g ( x ) , ∀x ∈ [ a, b ] Do số nhận định khơng Câu 59 Cho hình phẳng giới hạn đường= y x ln x= , y 0,= x e quay xung quanh trục Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành bằng: A π 4e3 + B π 4e3 − C π 2e3 + D π 2e3 − Hướng dẫn giải Tọa độ giao điểm đường x = e với y = x ln x điểm C (3; 3) Tọa độ giao điểm đường y = x ln x với y = A(1; 0) Vậy thể tích khối trịn xoay cần tính là: = V e π x ln xdx π ∫= 2e + Câu 60 Cho hình phẳng giới hạn đường y =x − x + x, y =0 quay xung quanh trục Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành bằng: A 729π 35 B 27π C 256608π 35 D 7776π Hướng dẫn giải Trang 29/34 Tọa độ giao điểm đường y =x − x + x với y = điểm C (e;e) A(3; 0) Vậy ∫ π (x ) 729 35 Câu 61 Một vật có kích thước hình dáng hình vẽ Đáy hình trịn giới hạn đường tròn x + y =(nằm mặt phẳng Oxy), cắt vật mặt phẳng vng góc với trục Ox 16 = thể tích khối trịn xoay cần tính là: V − 6x + 9x dx = π ta thiết diện tam giác Thể tích vật thể là: y x O A V = 256 B V = 256 C V = 32 D V = 32 Hướng dẫn giải Giao điểm thiết diện Ox H Đặt OH = x suy cạnh thiết diện 16 − x Diện tích thiết diện H = S (x ) Vậy thể tích vật thể V= ∫ 4(16 − x ) 3(16 − x )dx= −4 256 Câu 62 Cho hình phẳng giới hạn đường y 2= x , y x quay xung quanh trục Ox Thể tích = khối trịn xoay tạo thành bằng: A V = 88π B V = 9π 70 Hướng dẫn giải Với x ∈ 0;2  y = 4x ⇔ y = C V = 4π D V = 6π 4x Trang 30/34 Tọa độ giao điểm đường y = x với y = 4x điểm O(0; 0) A(1;2) Vậy thể tích 1 khối trịn xoay cần tính là: V =∫ π 4xdx − ∫ π 4x 4dx =π 0 BÀI TẬP TỔNG HỢP ( Chỉ có phần đáp số) Câu 63 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong = ax y= ; ay x (a > cho trước) là: A S = a3 B S = a3 C S = 2a 3 D S = 4a 3 y x − x , trục Ox đường thẳng x = 0, Câu 64 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị của: = x = là: A B C D Câu 65 Diện tích hình phẳng giới hạn Parabol y = − x đường thẳng y = -x - A 11 B C  2 D Câu 66 Diện tích hình phẳng giới hạn ba đường: y = sinx, y = cosx x = A + B 2 + C D 2 − 1 x y  x  x là: C D Câu 67 Diện tích hình phẳng giới hạn hai parabol: y  A B Câu 68 Diện tích giới hạn đường cong: (C1 ) : y == f1 ( x) x + 1;(C2 ) : y == f ( x) x − x đường thẳng x = -1 x = A B 11 Câu 69 Diện tích hình phẳng giới hạn parabol: M(3 ; 5) trục tung A B C 13 D  11 y = x − x + tiếp tuyến với parabol điểm C Câu 70 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = x(x – 1)(x – 2), y = 1 A B C D D Câu 71 Cho D miền kín giới hạn đường y = 1, y = – x x = Tính diện tích miền D 1 A B C D Câu 72 Diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = cosx , y = 0, x=0, x  A B C  D Câu 73 Tính thể tích vật thể giới hạn mặt sinh quay hình phẳng giới hạn bởi: y= x − x2 ; y = quay quanh Ox Trang 31/34 A 14 15 B 16 15 C 17 15 D 48 15 Câu 74 Thể tích vật thể trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường = y x= ;8 x y quay quanh trục Oy là: 21 A 15 B 23 15 C 24 15 D 48 Câu 75 Thể tích khối tròn xoay sinh quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn trục Ox Parabol (C ) y = ax − x (a > 0) là: A  a5 30 B  a5 C 20  a4 D  a5 10 Câu 76 Thể tích khối trịn xoay tạo nên ta quay quanh trục Ox, hình phẳng S giới hạn đường: y = x.e x , x = 1, y = 0(0 ≤ x ≤ 1) là: A π (e + 1) B π (e − 1) C π (e + 1) D    e2  12 Trang 32/34