Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm phương trình và bất phương trình logarit

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT A KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa • Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn số biểu thức dưới dấu lơgarit • Bất phương trình lơgarit là bất phương trình có chứa ẩn số biểu thức dưới dấu lôgarit Phương trình và bất phương trình lôgarit bản: cho a, b > 0, a ≠ • Phương trình lơgarit bản có dạng: log a f ( x) = b • Bất phương trình lôgarit bản có dạng: log a f ( x) > b; log a f ( x) ≥ b; log a f ( x) < b; log a f ( x) ≤ b Phương pháp giải phương trình và bất phương trình lơgarit • Đưa về cùng số  f ( x) >  log , với mọi < a ≠ = log a g ( x) ⇔  a f ( x)  f ( x) = g ( x)  g ( x) >  Nếu a > thì log a f ( x) > log a g ( x) ⇔   f ( x) > g ( x)  f ( x) >  Nếu < a < thì log a f ( x) > log a g ( x) ⇔   f ( x) < g ( x) • Đặt ẩn phụ • Mũ hóa B KỸ NĂNG CƠ BẢN Điều kiện xác định phương trình x log( x + 2) + Câu 1: Điều kiện xác định phươg trình log( x − x − 6) += A x > B x > −2 C  \ [ − 2;3] D x > 2 Kiểm tra xem giá trị nghiệm phương trình Câu 2: Phương trình log (3 x − 2) = có nghiệm là: 11 29 25 A x = B x = C x = D x = 87 3 3 Tìm tập nghiệm phương trình Câu 3: Phương trình log 22 ( x + 1) − log x + + = có tập nghiệm là: A {3;15} B {1;3} C {1; 2} D {1;5} Tìm số nghiệm phương trình Câu 4: Số nghiệm phương trình log ( log x ) + log ( log x ) = là: A B C D Tìm nghiệm lớn nhất, hay nhỏ phương trình log x − Câu 5: Tìm nghiệm lớn phương trình log x − log x = 1 A x = B x = C x = D x = 4 Tìm mối quan hệ nghiệm phương trình (tổng, hiệu, tích, thương…) Câu 6: Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình log x − log16 x = Khi tích x1.x2 bằng: A B −1 C −2 D Cho phương trình, đặt ẩn phụ thu phương trình (ẩn t ) Câu 7: Nếu đặt t = log x phương trình + = trở thành phương trình − log x + log x A t − 5t + = B t + 5t + = Trang 1/35 C t − 6t + = D t + 6t + = 0 Tìm điều kiện tham số m để phương trình thỏa điều kiện nghiệm số (có nghiệm, vơ nghiệm, nghiệm thỏa điều kiện đó…) Câu 8: Tìm m để phương trình log 32 x + log x + m − =0 có nghiệm A m ≤ B m < C m ≥ D m > Câu 9: Tìm m để phương trình log 32 x + log 32 x + − 2m − =0 có nghiệm thuộc đoạn 1;3    A m ∈ [0; 2] B m ∈ (0; 2) C m ∈ (0; 2] D m ∈ [0; 2) Điều kiện xác định bất phương trình Câu 10: Điều kiện xác định bất phương trình log (4 x + 2) − log ( x − 1) > log x là: A x > 1 C x > − B x > 10 Tìm tập nghiệm bất phương trình Câu 11: Bất phương trình log (2 x + 1) + log (4 x + 2) ≤ có tập nghiệm: A (−∞;0] B (−∞;0) C [0; +∞) D x > −1 D ( 0; +∞ ) Câu 12: Bất phương trình log ( x − x − ) ≥ log 0,5 ( x − 1) + có tập nghiệm là: ) ) ( ( A 1 + 2; +∞ B 1 − 2; +∞ C −∞;1 +  D −∞;1 −  11 Tìm nghiệm nguyên (tự nhiên) lớn nhất, nguyên (tự nhiên) nhỏ bất phương trình Câu 13: Nghiệm nguyên nhỏ bất phương trình log ( log x ) > log ( log x ) là: A 17 B 16 C 15 D 18 12 Tìm điều kiện tham số m để bất phương trình thỏa điều kiện nghiệm số (có nghiệm, vơ nghiệm, nghiệm thỏa điều kiện đó…) Câu 14: Tìm m để bất phương trình log (5 x − 1).log (2.5 x − 2) ≤ m có nghiệm x ≥ B m > C m ≤ D m < A m ≥ C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU Câu Điều kiện xác định phươg trình log x−3 16 = là: Câu 3  A x ∈  \  ;  B x ≠ C < x ≠ 2  Điều kiện xác định phươg trình log x (2 x − x − 12) = là: A x ∈ ( 0;1) ∪ (1; +∞ ) Câu 3 C x ∈ ( 0;1) D x ∈ ( 0; +∞ ) x là: x +1 C x ∈  \ [ − 1;0] D x ∈ ( −∞;1) Điều kiện xác định phương trình log ( x − 1) = log A x ∈ (1; +∞ ) Câu B x ∈ ( −∞;0 ) D x > B x ∈ ( −1;0 ) 2x = là: x +1 B x ∈  \ [ − 1;0] C x ∈ ( −1;0 ) Điều kiện xác định phươg trình log A x ∈ ( −1; +∞ ) Câu Phương trình log (3 x − 2) = có nghiệm là: D x ∈ ( −∞;1) A x = D x = Câu B x = C x = 3 Phương trình log ( x + 3) + log ( x − 1) = log có nghiệm là: D x = Câu A x = B x = C x = Phương trình log ( x −= 6) log ( x − 2) + có tập nghiệm là: Trang 2/35 Câu A T = {0;3} B T = ∅ C T = {3} Phương trình log x + log ( x − 1) = có tập nghiệm là: B {1;3} A {−1;3} Câu C {2} D T = {1;3} D {1} Phương trình log 22 ( x + 1) − log x + + = có tập nghiệm là: A {3;15} B {1;3} C {1; 2} D {1;5} Câu 10 Số nghiệm phương trình log ( log x ) + log ( log x ) = là: A B C Câu 11 Số nghiệm phương trình log x.log (2 x − 1) = log x là: D A B C D 3 Câu 12 Số nghiệm phương trình log ( x + 1) − log ( x − x + 1) − log x = là: A B C Câu 13 Số nghiệm phương trình log ( x ) − log 25 ( x ) − = : D A B C D 2 Câu 14 Phương trình log (5 x − 3) + log ( x + 1) = có nghiệm x1 , x2 x1 < x2 Giá trị = P x1 + x2 A B 14 C D 13 Câu 15 Hai phương trình log (3 x −= 1) + log (2 x + 1) log ( x − x − 8) =1 − log ( x + 2) có nghiệm x1 , x2 Tổng x1 + x2 là? A B C D 10 Câu 16 Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình log x − log16 x = Khi tích x1.x2 bằng: A −1 B C D −2 Câu 17 Nếu đặt t = log x phương trình + = trở thành phương trình nào? − log x + log x A t − 5t + = B t + 5t + = C t − 6t + = D t + 6t + = 0 Câu 18 Nếu đặt t = lg x phương trình + = trở thành phương trình nào? − lg x + lg x A t + 2t + = B t − 3t + = C t − 2t + = 0 Câu 19 Nghiệm bé phương trình log x − log x = log x − là: D t + 3t + = 1 C x = D x = Câu 20 Điều kiện xác định bất phương trình log (4 x + 2) − log ( x − 1) > log x là: A x = B x = 2 A x > − B x > C x > D x > −1 Câu 21 Điều kiện xác định bất phương trình log ( x + 1) − log (5 − x) < − log ( x − 2) là: A < x < B < x < C < x < Câu 22 Điều kiện xác định bất phương trình log log (2 − x )  > là: D −4 < x < B x ∈ ( −1;0 ) ∪ ( 0;1) A x ∈ [ − 1;1] C x ∈ ( −1;1) ∪ ( 2; +∞ ) D x ∈ ( −1;1) x x Câu 23 Bất phương trình log (2 + 1) + log (4 + 2) ≤ có tập nghiệm là: A [0; +∞) B (−∞;0) C (−∞;0] D ( 0; +∞ ) Trang 3/35 Câu 24 Bất phương trình log ( x − x − ) ≥ log 0,5 ( x − 1) + có tập nghiệm là: ) ) ( ( B 1 − 2; +∞ C −∞;1 +  D −∞;1 −  A 1 + 2; +∞ Câu 25 Nghiệm nguyên nhỏ bất phương trình log ( log x ) ≥ log ( log x ) là: A B 10 C D Câu 26 Nghiệm nguyên nhỏ bất phương trình log (1 − x ) ≤ log (1 − x ) là: 1− Câu 27 Tập nghiệm bất phương trình log ( x − x + 1) ≤ là: A x = B x = C x = D x = 1+  3−   3+   3−   3+  = ;3  = ;3 B S  0; A S 0;  ∪   ∪  2 2         3 − +  C S =  D S = ∅ ;  2   Câu 28 Điều kiện xác định phương trình log ( x − 5) + log ( x + 2) = là: B x > −2 C −2 < x < D x > A x ≥ log( x − 3) là: Câu 29 Điều kiện xác định phương trình log( x − x + 7) + x −= A x > + Câu 30 Phương trình log x + log A x = 27 x > + C   x < − x + log x = có nghiệm là: B x > D x < − C x = 312 B x = x −1 = ln x có nghiệm là: x+8 x = A x = −2 B  C x =  x = −2 Câu 32 Phương trình log 22 x − log x + = có tập nghiệm là: D x = log Câu 31 Phương trình ln A {8; 2} B {1;3} C {6; 2} log ( x + ) − =0 là: B {0; −4} C {−4} D x = D {6;8} Câu 33 Tập nghiệm phương trình A {0} D {−1;0} Câu 34 Tập nghiệm phương trình log = log ( x − x − 1) là: x 1 + −  C  ;    Câu 35 Phương trình log ( 3.2 x − 1) = x + có nghiệm? { } A + { } B + 2;1 − A B C Câu 36 Số nghiệm phương trình ln ( x − 6x + )= ln ( x − 3) là: A B Câu 37 Nghiệm nhỏ phương trình − log A B { } D − D C D ( x − ) log5 x = log3 ( x − ) là: C D Trang 4/35 Câu 38 Nghiệm lớn phương trình − log x + log x = − log x : A 100 B C 10 D 1000 Câu 39 Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình log ( x − x= − ) log ( x + ) Khi x1 − x2 bằng: A B D C −2 Câu 40 Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình + = Khi x1.x2 bằng: + log x − log x 1 B C D 4 Câu 41 Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình log  x ( x + 3)  = Khi x1 + x2 bằng: A −3 + 17 trở thành phương trình nào? Câu 42 Nếu đặt t = log x phương trình log ( x ) − log x = A −3 B −2 C 17 D 1 C t + = D 2t − = t t Câu 43 Nếu đặt t = log x phương trình log x − 20 log x + = trở thành phương trình nào? A t − t − =0 B 4t − 3t − =0 A 9t − 20 t + = C 9t − 10t + =0 Câu 44 Cho bất phương trình B 3t − 20t + = D 3t − 10t + = − log x ≤ Nếu đặt t = log x bất phương trình trở thành: + log x 1 2t − 1 − 2t C − t ≤ (1 + t ) D ≥ ≤ 2 1+ t 1+ t Câu 45 Điều kiện xác định bất phương trình log ( x − 2) + log ( x + 2) > log x − là: A (1 − 2t ) ≤ + t B A x > B x > C x > −2 D x > Câu 46 Điều kiện xác định bất phương trình log 0,5 (5x + 15) ≤ log 0,5 ( x + 6x + ) là:  x < −4 B   x > −2 A x > −2 C x > −3 D −4 < x < −2 x2 −1 Câu 47 Điều kiện xác định bất phương trình ln < là: x  −1 < x < A  B x > −1 C x > x >  x < −1 D  x > x − 5log 0,2 x < −6 có tập nghiệm là: Câu 48 Bất phương trình log 0,2  1    A S =  B S = ( 2;3) C S =  0;  D S = ( 0;3) ;   25   125 25  Câu 49 Tập nghiệm bất phương trình log ( x − x + ) + log ( x − 1) ≥ là: A S = [1;6] B S = ( 5;6] S C = ( 5; +∞ ) D S= Câu 50 Bất phương trình log ( x − x + 1) < có tập nghiệm là: (1; +∞ )  3 A S =  0;   2 C S = 3  B S =  −1;  2   ; +∞  2  ( −∞;0 ) ∪  D S =  ; +∞  2  ( −∞;1) ∪  Trang 5/35 Câu 51 Tập nghiệm bất phương trình log 4x + ≤ là: x 3    B S = [ −2;0 ) C S = ( −∞;2] D.= A S =  −2; −  S  \  − ;0  2    Câu 52 Nghiệm nguyên nhỏ bất phương trình log 0,2 x − log ( x − ) < log 0,2 là: A x = B x = C x = D x = x −1 Câu 53 Nghiệm nguyên lớn bất phương trình log ( 4.3 ) > x − là: B x = C x = A x = Câu 54 Điều kiện xác định phương trình log 3log ( x − 1) − 1 = x là: +1 C x > A x > D x = −1 D x ∈ (0; +∞) \{1} B x ≥ ( ) ) ( Câu 55 Điều kiện xác định phương trình log x − x − log x + x − = log x − x − là: A x ≤ −1 C x > 0, x ≠ ( B x ≥ D x ≤ −1 x ≥ ) ( ) Câu 56 Nghiệm nguyên phương trình log x − x − log x + x − = log x − x − là: A x = B x = −1 C x = D x = x   32  Câu 57 Nếu đặt t = log x bất phương trình log 42 x − log 21   + log   < log 22−1 ( x ) trở thành x    bất phương trình nào? A t + 13t + 36 < C t − 13t + 36 < B t − 5t + < D t − 13t − 36 <  x3   32  Câu 58 Nghiệm nguyên lớn bất phương trình log 42 x − log 21   + log   < log 22−1 ( x ) là: x    A x = C x = Câu 59 Bất phương trình log x log ( − 72 ) ≤ có tập nghiệm là: ( B x = x ( ) D x = ( A S = log 73;2  B S = log 72;2  C S = log 73;2  D S = ( −∞;2] Câu 60 Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình log  x ( x − 1)  = Khi tích x1.x2 bằng: A −2 B C −1 D x x x Câu 61 Nếu đặt t log ( − 1) phương trình log ( − 1) log ( 2.5 − ) = = trở thành phương trình nào? A t + t − =0 B 2t = C t − t − =0 là: Câu 62 Số nghiệm phương trình log ( x + 12 ) log x = A B C có tập nghiệm là: Câu 63 Phương trình log (2 x − 1) − 8log x − + = A {−1; −3} Câu 64 Nếu đặt t = log B {1;3} C {3;63} D t = D D {1; 2} x −1 x −1 x +1 bất phương trình log log trở thành bất phương < log log x +1 x +1 x −1 trình nào? A t −1 < t B t − < C t −1 >0 t D t2 +1 log ( log x ) là: A 18 B 16 C 15 Câu 67 Phương trình có tích nghiệm là: + = − ln x + ln x B C e A e3 e Câu 68 Phương trình x log9 x = x có nghiệm? A B.0 C.2 Câu 69 Nghiệm nguyên nhỏ bất phương trình log x − log x < là: D 17 D D.3 A x = B x = ln ln x Câu 70 Phương trình x + = 98 có nghiệm là: C x = D x = A x = e B x = C x = e Câu 71 Bất phương trình log ( x − x − ) ≥ log 0,5 ( x − 1) + có tập nghiệm là: ) A S= 1 − 2; +∞ C S = −∞;1 +  ( Câu 72 Biết phương trình D x = e ) B S= 1 + 2; +∞ D S = −∞;1 −  ( 1 − log x + = có hai nghiệm x 1, x Khẳng định sau log x đúng? 2049 2047 A x13 + x23 = B x13 + x23 = − 4 2047 2049 C x13 + x23 = D x13 + x23 = − 4 x Câu 73 Số nghiệm nguyên dương phương trình log ( + ) =x − log ( x +1 − 3) là: A B.1 C.3 Câu 74 Tập nghiệm bất phương trình log ( log ( x − 1) ) > là: D.0  3  3 3  A S = 1;  B S =  0;  C S = ( 0;1) D S =  ;   2  2 2  Câu 75 Tập nghiệm bất phương trình log ( x + x + 1) > log ( x + 1) là: 1  A S =  ;1 2    C S =  − ;1   Câu 76 Tập nghiệm bất phương trình log x (125 x ) log 25 x > + log 52 x là: (  1 B S =  0;   2 ) A S = 1; B S = ( −1; ) C S = (− ) 5;1 Câu 77 Tích nghiệm phương trình log x.log x.log8 x.log16 x = Câu 78 Phương trình log A A B C   D S =  − ;0    ( ) D S =− 5; −1 81 : 24 D x +1 = có nghiệm ? B C D Trang 7/35 Câu 79 Biết phương trình 4log9 x − 6.2log9 x + 2log3 27 = có hai nghiệm x 1, x Khi x 12 + x 22 : A 6642 B 82 6561 C 20 Câu 80 Tập nghiệm bất phương trình 2log2 x − 10 x  1 A S  0;  ∪ ( 2; +∞ ) =  2 1  C S = ( −∞;0 ) ∪  ;  2  log x D 90 + > là:  ; +∞  2  ( −2;0 ) ∪  B S = 1  D S =  −∞;  ∪ ( 2; +∞ ) 2  Câu 81 Tập nghiệm phương trình 4log2 x − x log2 = 2.3log2 x là: 1   1 4 B S = −  C S =   D S = {−2} A S =   4  2 9  log m có Câu 82 Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình log x − log ( x − ) = nghiệm? B m ≥ C m < D m ≤ A m > Câu 83 Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình log ( x + x + m ) ≥ nghiệm với x ∈  ? A m ≥ B m > C m < D < m ≤ Câu 84 Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình log ( mx − x ) ≤ log vô nghiệm? 5 m > B  C m < D −4 < m <  m < −4 Câu 85 Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình log ( mx − x ) = vô nghiệm? A −4 ≤ m ≤ m > C  D m > −4  m < −4 Câu 86 Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình log 24 x + 3log x + 2m − =0 có A m < B −4 < m < nghiệm phân biệt? 13 13 13 13 A m < B m > C m ≤ D < m < 8 8 x Câu 87 Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình log (5 − 1).log (2.5 x − 2) ≥ m có nghiệm x ≥ ? A m ≥ B m > C m ≤ D m < Câu 88 Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình log x + log x + m − =0 có nghiệm? A m < B m ≤ C m ≥ D m > Câu 89 Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình log (5 x − 1) ≤ m có nghiệm x ≥ 1? A m ≥ B m > C m ≤ D m < Câu 90 Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình log x + log 32 x + − 2m − =0 có nghiệm thuộc đoạn 1;3  ?   A m ∈ [0; 2] B m ∈ (0; 2) C m ∈ (0; 2] D m ∈ [0; 2) Câu 91 Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình log ( − 1) log ( 2.5 x − ) = m có x nghiệm x ≥ ? Trang 8/35 A m ∈ [ 2; +∞ ) B m ∈ [3; +∞ ) D m ∈ ( −∞;3] C m ∈ (−∞; 2] Câu 92 Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình log 32 x − ( m + ) log x + 3m − =0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1.x2 = 27 ? A m = −2 Câu 93 Tìm tất B m = −1 giá trị C m = tham thực số log 22 x + log 1= x − m ( log x − 3) có nghiệm thuộc [32; +∞ ) ? ( D m = m để phương ) ) trình ( A m ∈ 1;  B m ∈ 1; C m ∈  −1; D m ∈ − 3;1 Câu 94 Tìm tất giá trị thực tham số m cho khoảng ( 2;3) thuộc tập nghiệm bất phương trình log ( x + 1) > log ( x + x + m ) − (1) A m ∈ [ −12;13] B m ∈ [12;13] C m ∈ [ −13;12] D m ∈ [ −13; −12] Câu 95 Tìm tất giá trị thực log ( x + ) ≥ log ( mx + x + m ) , ∀x ∈  B m ∈ ( −2;5] A m ∈ ( 2;5] Câu 96 Tìm tất giá trị thực tham số B m ∈ ( −2;3] để tham số C m ∈ [ 2;3) bất phương trình D m ∈ [ −2;5 ) C m ∈ [ 2;5 ) + log ( x + 1) ≥ log ( mx + x + m ) có nghiệm ∀x A m ∈ ( 2;3] m m để bất phương trình D m ∈ [ −2;3) Trang 9/35 D ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I – ĐÁP ÁN 3.5 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C A A B D A B C B D A A C B A B A B D C 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A D C A C A A D A A C A B A B D B A D B 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 A A C D B A A A B C A D C A B A C A C A 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 A D C A C D A A D C B A B A D A C A A A 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 C A A D B A C B A A B C A A A A II –HƯỚNG DẪN GIẢI NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU (Ở phần đáp án bị lệc không cần để ý sau xóa) Câu Điều kiện xác định phươg trình log x−3 16 = là: Câu 3  A x ∈  \  ;  2  B x ≠ C D x > A x ∈ ( 0;1) ∪ (1; +∞ ) B x ∈ ( −∞;0 ) C x ∈ ( 0;1) D x ∈ ( 0; +∞ ) < x ≠ 2 Hướng dẫn giải  2 x − > x > Biểu thức log x−3 16 xác định ⇔  ⇔ 2⇔ x >   định ⇔  x ≠ ⇔ x ≠ ⇔ x ∈ (0;1) ∪ (1; +∞) 2 x − x + 12 >  47  2 ( x − )2 +  >  16    x Điều kiện xác định phương trình log ( x − 1) = là: log x +1 A x ∈ (1; +∞ ) B x ∈ ( −1;0 ) C x ∈  \ [ − 1;0] D x ∈ ( −∞;1) Hướng dẫn giải  x >0  x < −1 ∨ x > x  ⇔ ⇔ x >1 Biểu thức log ( x − 1) log xác định ⇔  x + x +1 x >  x − > chọn đáp án A Câu 2x = là: x +1 B x ∈  \ [ − 1;0] C x ∈ ( −1;0 ) Điều kiện xác định phươg trình log A x ∈ ( −1; +∞ ) D x ∈ ( −∞;1) Hướng dẫn giải Trang 10/35 A −3 B −2 C 17 D Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận]  x < −3 Điều kiện:  x > −3 + 17 log  x ( x + 3)  =1 ⇔ x ( x + 3) = ⇔ x + x − = Vậy x1 + x2 = −3 [Phương pháp trắc nghiệm] Dùng chức SOLVE máy tính bỏ túi tìm nghiệm lưu nghiệm vào A B Tính A + B = – 3 trở thành phương trình nào? Câu 42 Nếu đặt t = log x phương trình log ( x ) − log x = 1 C t + = D 2t − = t t Hướng dẫn giải log ( x ) − log x = ⇔ log + log x − = ⇔ log 22 x − log x − = log x A t − t − =0 B 4t − 3t − =0 Câu 43 Nếu đặt t = log x phương trình log x − 20 log x + = trở thành phương trình nào? A 9t − 20 t + = C 9t − 10t + =0 B 3t − 20t + = D 3t − 10t + = Hướng dẫn giải log x − 20 log x + = ⇔ log x − 10 log x + = − log x Câu 44 Cho bất phương trình ≤ Nếu đặt t = log x bất phương trình trở thành: + log x − 2t A (1 − 2t ) ≤ + t B ≤ 1+ t 2t − 1 C − t ≤ (1 + t ) D ≥ 1+ t 2 Hướng dẫn giải 1 − log x − log x − log x − log x log x − 1 ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ 1− ≥0⇔ ≥0 + log x + log x 2 (1 + log x ) + log x + log x Câu 45 Điều kiện xác định bất phương trình log ( x − 2) + log ( x + 2) > log x − là: A x > B x > C x > −2 Hướng dẫn giải D x > [Phương pháp tự luận] x − > x >   Điều kiện:  x + > ⇔  x > −2 ⇔ x > x > x >   [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập vào hình máy tính log ( X − 2) + log ( X + 2) − log X + Nhấn CALC cho X = máy tính khơng tính Vậy loại đáp án C D Nhấn CALC cho X = (thuộc đáp án B) máy tính hiển thị 1,065464369 Câu 46 Điều kiện xác định bất phương trình log 0,5 (5x + 15) ≤ log 0,5 ( x + 6x + ) là: Trang 21/35 A x > −2  x < −4 B   x > −2 [Phương pháp tự luận] C x > −3 D −4 < x < −2 Hướng dẫn giải  x > −3 5 x + 15 >  ⇔   x > −2 ⇔ x > −2 Điều kiện:   x + 6x + >   x < −4  [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập vào hình máy tính log 0,5 (5 X + 15) − log 0,5 ( X + 6X + 8) Nhấn CALC cho X = −3,5 máy tính khơng tính Vậy loại đáp án C D Nhấn CALC cho X = −5 (thuộc đáp án B) máy tính khơng tính Vậy loại B, chọn A x2 −1 Câu 47 Điều kiện xác định bất phương trình ln < là: x  −1 < x <  x < −1 A  B x > −1 C x > D  x > x > Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận]  −1 < x < x2 −1 Điều kiện: >0⇔ x x > [Phương pháp trắc nghiệm] X −1 Nhập vào hình máy tính ln X Nhấn CALC cho X = −0,5 (thuộc đáp án A B) máy tính hiển thị 0,4054651081 Vậy loại đáp án C D Nhấn CALC cho X = 0,5 (thuộc đáp án B) máy tính khơng tính đượC Vậy loại B, chọn A x − 5log 0,2 x < −6 có tập nghiệm là: Câu 48 Bất phương trình log 0,2  1  A S =  ;   125 25    C S =  0;   25  Hướng dẫn giải B S = ( 2;3) [Phương pháp tự luận] Điều kiện: x > log 0,2 − 5log 0,2 x < −6 ⇔ < log 0,2 x < ⇔ [Phương pháp trắc nghiệm] D S = ( 0;3) 1 log ( x − x + ) + log ( x − 1) ≥ ⇔ log ( x − 1) ≥ log ( x − x + ) ⇔   x − ≥ x − x + Trang 22/35 x < 1∨ x > ⇔ ⇔5< x≤6 1 ≤ x ≤ [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập vào hình máy tính log ( X − 6X + ) + log ( X − 1) Nhấn CALC cho X = (thuộc đáp án A D) máy tính khơng tính Vậy loại đáp án A D Nhấn CALC cho X = (thuộc đáp án C) máy tính hiển thị – 0,6309297536 Vậy loại C, chọn B Câu 50 Bất phương trình log ( x − x + 1) < có tập nghiệm là:  3 A S =  0;   2 C S = 3  B S =  −1;  2   ; +∞  2  ( −∞;0 ) ∪  D S = Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận]  ; +∞  2  ( −∞;1) ∪  x < log ( x − x + 1) < ⇔ x − x + > ⇔  x >  [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập vào hình máy tính log ( X − X + 1) 2 Nhấn CALC cho X = −5 (thuộc đáp án A D) máy tính hiển thị – 9,9277… Vậy loại đáp án A B Nhấn CALC cho X = (thuộc đáp án C) máy tính hiển thị – 1,709511291 Vậy chọn C 4x + Câu 51 Tập nghiệm bất phương trình log ≤ là: x 3    A S =  −2; −  B S = [ −2;0 ) C S = ( −∞;2] D.= S  \  − ;0  2    Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận]  4x + >0   4x +  x x < − ∨ x > log ≤0⇔ ⇔ ⇔ −2 ≤ x < − x  4x + ≤ −2 ≤ x <  x [Phương pháp trắc nghiệm] 4X + Nhập vào hình máy tính log X Nhấn CALC cho X = (thuộc đáp án C D) máy tính hiển thị 2,095903274 Vậy loại đáp án C D Nhấn CALC cho X = −1 (thuộc đáp án B) máy tính khơng tính đượC Vậy loại B, chọn A Câu 52 Nghiệm nguyên nhỏ bất phương trình log 0,2 x − log ( x − ) < log 0,2 là: A x = [Phương pháp tự luận] Điều kiện: x > B x = C x = Hướng dẫn giải D x =  x < −1 log 0,2 x − log ( x − ) < log 0,2 ⇔ log 0,2  x ( x − )  < log 0,2 ⇔ x − x − > ⇔  x > So điều kiện suy x > Trang 23/35 [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập vào hình máy tính log 0,2 X − log ( X − ) − log 0,2 Nhấn CALC cho X = (nhỏ nhất) máy tính hiển thị Vậy loại đáp án B Nhấn CALC cho X = máy tính hiển thị -0.6094234797.Vậy chọn D Câu 53 Nghiệm nguyên lớn bất phương trình log ( 4.3x −1 ) > x − là: A x = B x = C x = Hướng dẫn giải D x = −1 [Phương pháp tự luận] log ( 4.3x −1 ) > x − ⇔ 4.3x −1 > 32 x −1 ⇔ 32 x − 4.3x < ⇔ < 3x < ⇔ x < log [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập vào hình máy tính log ( 4.3 X −1 ) − X + Nhấn CALC cho X = (lớn nhất) máy tính hiển thị –1.738140493 Vậy loại đáp án A Nhấn CALC cho X = máy tính hiển thị – 0.7381404929 Vậy loại B Nhấn CALC cho X = máy tính hiển thị 0.2618595071 Vậy chọn C Câu 54 Điều kiện xác định phương trình log 3log ( x − 1) − 1 = x là: A x > +1 B x ≥ C x > D x ∈ (0; +∞) \{1} Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Biểu thức log 3log ( x − 1) − 1 = x xác định khi:  1   log ( x − 1) > x > +1 3 x − >  3log ( x − 1) − >  23 +   3 ⇔x> ⇔ ⇔ ⇔  1 3 x − >  x > x >  x >     [Phương pháp trắc nghiệm] Thay x = (thuộc B, C, D) vào biểu thức log ( x − 1) log (0) không xác định, loại B, C, D, chọn đáp án A ) ( ) ( Câu 55 Điều kiện xác định phương trình log x − x − log x + x − = log x − x − là: A x ≤ −1 C x > 0, x ≠ [Phương pháp tự luận] B x ≥ D x ≤ −1 x ≥ Hướng dẫn giải  x − x2 −1 >   Phương trình xác định :  x + x − > ⇔ x ≥  x2 −1 ≥  [Phương pháp trắc nghiệm] ) ( Thay x = −1 (thuộc A, D) vào biểu thức log x − x − log (−1) không xác định, (thuộc C) vào biểu thức Vậy loại A, C, D chọn đáp án B Thay x = −3 không xác định x − ( ) ( ) Câu 56 Nghiệm nguyên phương trình log x − x − log x + x − = log x − x − là: A x = B x = −1 C x = D x = Trang 24/35 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Điều kiện: x ≥ ( ) ) ( log x − x − log x + x − = log x − x − ) ) ( ( ⇔ log 6.log ( x + x − ) log 6.log ( x + x − ) − log ( x + Đặt = t log ( x + x − ) ta ( ) ⇔ log x + x − log x + x − 1= log x + x − 2 6 ) x2 −1 = log 6.log 6.t − t =0 ( ( ) ) log x + x − = t =   ⇔ ⇔ 1 t = log x + x − =  log 6.log log 6.log  ( )  x + x2 −1 = (1)  ⇔ log ( ) log x + x − =   x + x − = ⇔ x =1 ∈  (1) ⇔   x − x − = ( )  x + x2 −1 = 2log6 2log6 + 2− log6 = ⇔x ∉ − log 2  x − x − = [Phương pháp trắc nghiệm] Thay x = vào phương trình ta VT = VP chọn đáp án A  32   x  Câu 57 Nếu đặt t = log x bất phương trình log x − log   + log   < log 22−1 ( x ) trở thành x    bất phương trình nào? A t + 13t + 36 < B t − 5t + < C t − 13t + 36 < D t − 13t − 36 < Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Điều kiện: x >  x3   32  log 42 x − log 21   + log   < log 22−1 ( x ) x    ( ) ⇔  ⇔ log 42 x − ( 3log x − 3) + ( − log x ) − log 22 x < ⇔ log 42 x − 13log 22 x + 36 <  x3   32  Câu 58 Nghiệm nguyên lớn bất phương trình log x − log   + log   < log 22−1 ( x ) là: x  8 A x = B x = C x = D x = Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Điều kiện: x > 2 Trang 25/35  x3   32  log 42 x − log 21   + log   < log 22−1 ( x ) x    ⇔ log 42 x − ( 3log x − 3) + ( − log x ) − log 22 x < ⇔ log 42 x − 13log 22 x + 36 < 4 < x <  < log x < ⇔ < log x < ⇔  ⇔ 1  C −1 Hướng dẫn giải D  x = −1 ⇔ x1.x2 =−2 log  x ( x − 1)  =1 ⇔ x − x − =0 ⇔   x2 = Vậy chọn đáp án A Câu 61 Nếu đặt t log ( x − 1) phương trình log ( x − 1) log ( 2.5 x − ) = = trở thành phương trình nào? A t + t − =0 B 2t = Điều kiện: x > log ( x − 1) log ( 2.5 x − ) = C t − t − =0 Hướng dẫn giải D t = ⇔ log ( x − 1) 1 + log ( x − 1)  − = Vậy chọn đáp án A là: Câu 62 Số nghiệm phương trình log ( x + 12 ) log x = A Điều kiện : < x ≠ B C Hướng dẫn giải D  x = −3 log ( x + 12 ) log x = ⇔ log ( x + 12 ) = log x ⇔ − x + x + 12 = ⇔  x = Loại x = −3 chọn đáp án A có tập nghiệm là: Câu 63 Phương trình log 52 (2 x − 1) − 8log x − + = Trang 26/35 A {−1; −3} B {1;3} C {3;63} D {1; 2} Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Điều kiện : x > 2 log (2 x − 1) − 8log x − + = ⇔ log 52 (2 x − 1) − log ( x − 1) + = log ( x − 1) = x = ⇔ ⇔  x = 63 log ( x − 1) = [Phương pháp trắc nghiệm] Thay x = (thuộc B, D) vào vế trái ta = vô lý, loại B, D, Thay x = −1 vào log ( x − 1) ta log ( −3) không xác định, nên loại A Vậy chọn đáp án C x −1 x −1 x +1 Câu 64 Nếu đặt t = log bất phương trình log log trở thành bất phương < log log x +1 x +1 x −1 trình nào? t −1 t −1 t2 +1 A B t − < C D < >0 log ( log x ) là: A 18 B 16 C 15 Hướng dẫn giải D 17 [Phương pháp tự luận] Điều kiện: x > log ( log x ) > log ( log x ) ⇔ log ( log x ) > ⇔ log x > ⇔ x > 16 Phương pháp trắc nghiệm] Thay x = 16;15 (thuộc B, C) vào phương trình ta bất dẳng thức sai nên loại B, C Thay x = 17;18 vào phương trình ta bất đẳng thức Vậy chọn đáp án D Câu 67 Phương trình + = có tích nghiệm là: − ln x + ln x Trang 27/35 A e3 B e C e [Phương pháp tự luận] Điều kiện: x > 0, x ≠ e −2 ; x ≠ e D Hướng dẫn giải x = e ln x = 1 + =1 ⇔ ln x − 3ln x + = ⇔  ⇔ − ln x + ln x ln x = x = e Vậy chọn đáp án A Câu 68 Phương trình x log9 x = x có nghiệm? A B C Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Điều kiện : x > 0; x ≠ ( D ) x log9 x = x ⇔ log 9 x log9 x = log ( x ) ⇔ + log 92 x − log x = ⇔ log x = ⇔ x = Vậy chọn đáp án A Câu 69 Nghiệm nguyên nhỏ bất phương trình log x − log x < là: A x = B x = C x = Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Điều kiện : x > 0; x ≠ 1; x ≠ D x = log x < 0 < x < −1 log x > [Phương pháp trắc nghiệm] Loại B, A x ≠ 1; x ≠ Loại C x = ⇒ log − log > Vậy chọn đáp án D log x − log x < ⇔ Câu 70 Phương trình x A x = e ln x +7 = 98 có nghiệm là: B x = C x = e Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Điều kiện : x > 0; x ≠ ln D x = e Đặt x = et t x ln + ln x = 98 ⇔ et ln + ln e = 98 ⇔ 2.7t = 98 ⇔ t = [Phương pháp trắc nghiệm] Lần lượt thay= x 2;= x e= ;x e vào phương trình ta đẳng thức sai, loại A, B, D, chọn đáp án C Câu 71 Bất phương trình log ( x − x − ) ≥ log 0,5 ( x − 1) + có tập nghiệm là: ) A S= 1 − 2; +∞ C S = −∞;1 +  ( [Phương pháp tự luận] Điều kiện : x > ) B S= 1 + 2; +∞ D S = −∞;1 −  Hướng dẫn giải ( log ( x − x − ) ≥ log 0,5 ( x − 1) + ⇔ log ( x − x − ) ( x − 1)  ≥ ⇔ ( x − x − ) ( x − 1) − ≥ 1 − ≤ x ≤ ⇔ x − 2x − x ≥ ⇔   x ≥ + Phương pháp trắc nghiệm] [ Trang 28/35 Dựa vào điều kiện ta loại A, C, D Vậy chọn đáp án B 1 Câu 72 Biết phương trình − log x + = có hai nghiệm x 1, x Khẳng định sau log x đúng? 2047 2049 2049 2047 B x13 + x23 = C x13 + x23 = D x13 + x23 = A x13 + x23 = − − 4 4 Hướng dẫn giải x > x > ⇔ Điều kiện:  x ≠ log x ≠ Đặt t = log x Phương trình cho trở thành 3t − 7t − = = x 2= log x = t =  ⇔ ⇔ ⇔ − (thỏa mãn điều kiện) log x = − = t = − x 2=  3   2049   = S 8;  ⇒ x13 + = x23 Vậy tập nghiệm phương trình cho 4  Câu 73 Số nghiệm nguyên dương phương trình log ( x + ) =x − log ( x +1 − 3) là: A 2 B C Hướng dẫn giải x +1 Điều kiện: − > ⇔ x > log − Ta có: log ( + ) =x − log ( x x +1 D 4x + 4x + − 3) ⇔ log x +1 =x ⇔ x +1 =2 x −3 −3 (1) Đặt = t x , t > Ta có (1) ⇒ t + = 2t − 3t ⇔ t − 3t − = ⇒ t = ⇔ x = 22 ⇔ x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy nghiệm phương trình cho x = Câu 74 Tập nghiệm bất phương trình log ( log ( x − 1) ) > là:  3 B S =  0;   2  3 A S = 1;   2 C S = ( 0;1) Hướng dẫn giải 3  D S =  ;  2  2 x − > ⇔ x > Điều kiện:  log (2 x − 1) > Ta có: log ( log ( x − 1) ) > ⇔ log ( log ( x − 1) ) > log 1 2 log (2 x − 1) < 0 < x − < ⇔ ⇔ ⇔ < x < (thỏa mãn điều kiện) 2 x − > log (2 x − 1) >  3 Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S = 1;   2 Câu 75 Tập nghiệm bất phương trình log ( x + x + 1) > log ( x + 1) là: 1  A S =  ;1 2   1 B S =  0;   2   C S =  − ;1   Hướng dẫn giải   x < −1 ∨ x > − 2 x + 3x + > Điều kiện:  ⇔ ⇔ x>− 2 x + > x > −    D S =  − ;0    Trang 29/35 Ta có: log ( x + x + 1) > log ( x + 1) ⇔ log ( x + x + 1) > log ( x + 1) < x < (thỏa mãn điều kiện)   Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S =  − ;0    Câu 76 Tập nghiệm bất phương trình log x (125 x ) log 25 x > + log 52 x là: A S = 1; B S = −1; C S = − 5;1 D S =− 5; −1 ⇔ x + 3x + > x + x + ⇔ x + x < ⇔ − ( ) Điều kiện: < x ≠ ( ( *) ) ( ) ( ) Hướng dẫn giải 3 + log 52 x ⇔ ( log x 53 + log x x ) log 52 x > + log 52 x 2 3 1  ⇔ ( 3log x + 1)  log x  > + log 52 x ⇔ + log x > + log 52 x ⇔ log 52 x − log x < 2 2  Ta có: log x (125 x).log 25 x > 1 ⇔ < log x < ⇔ < x < ⇔ < x < (thỏa mãn điều kiện) Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S = 1; ( ) Câu 77 Tích nghiệm phương trình log x.log x.log8 x.log16 x = A B C 81 : 24 D Hướng dẫn giải Điều kiện: x > 81 1    81 Ta có: log x.log x.log8 x.log16 x = ⇔ ( log x )  log x   log x   log x  = 24 2    24 ⇔ log 42 =81 ⇔ log x =±3 ⇔ x =8 x = (thỏa mãn điều kiện) 1  Vậy tập nghiệm phương trình cho S =  ;8 ⇒ x1.x2 = 8  có nghiệm ? Câu 78 Phương trình log x + = A B C Hướng dẫn giải D Điều kiện: x ≠ −1 Ta có: log x + =2 ⇔ x + =3 ⇔ x + =±3 ⇔ x =2 x = −4 (thỏa mãn điều kiện) Vậy tập nghiệm phương trình cho S = {−4; 2} Câu 79 Biết phương trình 4log9 x − 6.2log9 x + 2log3 27 = có hai nghiệm x 1, x Khi x 12 + x 22 : A 6642 B 82 6561 C 20 D 90 Hướng dẫn giải Điều kiện: x > Ta có phương trình tương đương 22log9 x − 6.2log9 x + 23 = (1) t = Đặt t 2log9 x , t > (1) ⇒ t − 6t + = ⇔  = t = - Với t = ⇔ 2log9 x = ⇔ log x = ⇔ x = - Với t = ⇔ 2log9 x = 22 ⇔ log x = ⇔ x = 81 Trang 30/35 S Vậy tập nghiệm phương trình cho = log {9;81} ⇒ x12 + x=22 6642 Câu 80 Tập nghiệm bất phương trình 2log2 x − 10 x x + > là: 1   1 A S  0;  ∪ ( 2; +∞ ) B S = ( −2;0 ) ∪  ; +∞  = 2   2 1  1  C S = ( −∞;0 ) ∪  ;  D S =  −∞;  ∪ ( 2; +∞ ) 2  2  Hướng dẫn giải Điều kiện: x > (*) Đặt= u log x ⇒= x 2u −u 2 10 Bất phương trình cho trở thành 2u − 10 ( 2u ) + > ⇔ 2u − u + > (1) (l) < − t 2  Đặt= ⇔ 2u > ⇔ u > ⇔ u > u < −1 t 2u , t ≥ (1) ⇒ t + 3t − 10 > ⇔  t > - Với u > ⇒ log x > ⇒ x > - Với u < −1 ⇒ log x < −1 ⇒ x < Kết hợp điều kiện (*), ta nghiệm bất phương trình cho x > < x < log 2 x log log x là: Câu 81 Tập nghiệm phương trình −x = 2.3 4  1 1  A S =   B S = −  C S =   D S = {−2} 9   2 4 Hướng dẫn giải Điều kiện: < x ≠ x x 2.3log2 x ⇔ 41+ log2 x − 6log2= 2.32+ 2log2 x ⇔ 4.4log2 x − 6log2= 19.9log2 x (1) Ta có: 4log2 x − x log2= Chia vế cho 4log2 x  log x log x log x t = 3 9 3 > PT ⇒ 18t + t − = ⇔  (1) ⇔ 18   Đặt t =   +  −4= 4 2 2 t = − (l)  3   2 log x −2 4 3 =  =  ⇔ log x =−2 ⇔ x =2−2 = 9 2 1  Vậy tập nghiệm phương trình cho S =   4 (thỏa mãn điều kiện) VẬN DỤNG CAO Câu 82 Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình log x − log ( x − ) = log m có nghiệm? A m > B m ≥ [Phương pháp tự luận] Điều kiện x > 2; m > C m < Hướng dẫn giải D m ≤ 2m log x − log ( x − ) = log m ⇔ x = ( x − ) m ⇔ x = m −1 Phương trình có nghiệm x > m > ,chọn đáp án A [Phương pháp trắc nghiệm] Thay m = (thuộc C, D) vào biểu thức log m không xác định, loại C, D, Trang 31/35 Thay m = (thuộc B) ta phương trình tương đương x= x − vô nghiệm Vậy chọn đáp án A Câu 83 Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình log ( x + x + m ) ≥ nghiệm với x ∈  ? A m ≥ B m > C m < D < m ≤ Hướng dẫn giải log ( x + x + m ) ≥ ∀x ∈  ⇔ x + x + m − ≥ ∀x ∈  ⇔ ∆ ≤ ⇔ m ≥ Vậy chọn A Câu 84 Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình log ( mx − x ) ≤ log vô nghiệm? m > B  < − m  A −4 ≤ m ≤ C m < D −4 < m < Hướng dẫn giải log ( mx − x ) ≤ log ⇔ mx − x ≥ ⇔ x − mx + ≤ 5 x − mx + ≤ vô nghiệm ⇔ x − mx + > ∀x ∈ R ⇔ ∆ < ⇔ −4 < m < Câu 85 Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình log ( mx − x ) = vô nghiệm? m > C   m < −4 Hướng dẫn giải 2 log ( mx − x ) = ⇔ − x + mx − = 0(*) B −4 < m < A m < Câu 86 A Câu 87 A D m > −4 Phương trình (*) vô nghiệm ⇔ ∆ < ⇔ m − 16 < ⇔ −4 < m < Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình log 24 x + 3log x + 2m − =0 có nghiệm phân biệt? 13 13 13 13 B m > C m ≤ D < m < m< 8 8 Hướng dẫn giải 13 Phương trình có nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > ⇔ 13 − 8m > ⇔ m < Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình log (5 x − 1).log (2.5 x − 2) ≥ m có nghiệm x ≥ ? m ≥ B m > C m ≤ D m < Hướng dẫn giải x x BPT ⇔ log (5 − 1).log (2.5 − 2) ≤ m ⇔ log (5 x − 1) 1 + log (5 x − 1)  ≤ m ( ) Đặt = t log x + x − x ≥ ⇒ t ∈ [ 2; +∞ ) BPT ⇔ t (1 + t ) ≥ m ⇔ t + t ≥ m ⇔ f (t ) ≥ m ) t2 + t Với f (t = f , (t ) = 2t + > với t ∈ [ 2; +∞ ) nên hàm đồng biến t ∈ [ 2; +∞ ) Nên Minf= (t ) f= (2) Do để để bất phương trình log (5 x − 1).log (2.5 x − 2) ≥ m có nghiệm x ≥ : m ≤ Minf (t ) ⇔ m ≤ Câu 88 Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình log 32 x + log x + m − =0 có nghiệm? A m < B m ≤ C m ≥ D m > Hướng dẫn giải TXĐ: x > Trang 32/35 PT có nghiệm ∆′ ≥ ⇔ − (m − 1) ≥ ⇔ − m ≥ ⇔ m ≤ Câu 89 Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình log (5 x − 1) ≤ m có nghiệm x ≥ 1? A m ≥ B m > C m ≤ D m < Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] x ≥ ⇔ x − ≥ ⇔ log ( x − 1) ≥ ⇔ m ≥ Câu 90 Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình log 32 x + log 32 x + − 2m − =0 có nghiệm thuộc đoạn 1;3  ?   A m ∈ [0; 2] B m ∈ (0; 2) C m ∈ (0; 2] D m ∈ [0; 2) Hướng dẫn giải Với x ∈ 1;3  hay ≤ x ≤ 3 ⇒ log 32 + ≤ log 32 x + ≤ log 32 3 + hay ≤ t ≤   Khi tốn phát biểu lại là: “Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn [1; 2] ” Ta có PT ⇔ 2m = t + t + t Xét hàm số f (t ) = t + t − 2, ∀t ∈ [1; 2] , f '(t ) = 2t + > 0, ∀t ∈ [1; 2] Suy hàm số đồng biến [1; 2] Khi phương trình có nghiệm ≤ 2m ≤ ⇔ ≤ m ≤ Vậy ≤ m ≤ giá trị cần tìm f′(t) f (t) + Câu 91 Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình log ( x − 1) log ( 2.5 x − ) = m có nghiệm x ≥ ? A m ∈ [ 2; +∞ ) B m ∈ [3; +∞ ) C m ∈ (−∞; 2] D m ∈ ( −∞;3] Hướng dẫn giải Với x ≥ ⇒ ≥ ⇒ log ( − 1) ≥ log ( − 1) =2 hay t ≥ x x Khi tốn phát biểu lại là: “Tìm m để phương trình có nghiệm t ≥ ” Xét hàm số f (t ) = t + t , ∀t ≥ 2, f '(t ) = 2t + > 0, ∀t ≥ t Suy hàm số đồng biến với t ≥ + f′(t) Khi phương trình có nghiệm 2m ≥ ⇔ m ≥ Vậy m ≥ giá trị cần tìm f (t) +∞ +∞ Câu 92 Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình log 32 x − ( m + ) log x + 3m − =0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1.x2 = 27 ? A m = −2 B m = −1 C m = D m = Hướng dẫn giải Điều kiện x > Đặt t = log x Khi phương trình có dạng: t − ( m + ) t + 3m − =0 Để phương trình có hai nghiệm phân biệt m < − 2 − ( 3m − 1= ) m − 8m + > ⇔  ( *)  m > + 2 t2 log x1 + log 3= x2 log ( x1.x= log = 27 Với điều kiện (*) ta có: t1 += 2) ∆= ( m + 2) Theo Vi-ét ta có: t1 + t2 = m + ⇒ m + = ⇔ m = (thỏa mãn điều kiện) Vậy m = giá trị cần tìm Trang 33/35 Câu 93 Tìm tất giá trị thực tham số log x + log 1= x − m ( log x − 3) có nghiệm thuộc [32; +∞ ) ? 2 ( m để phương trình 2 ) B m ∈ 1; A m ∈ 1;  ( ) C m ∈  −1; Hướng dẫn giải Điều kiện: x > Khi phương trình tương đương: D m ∈ − 3;1 log 22 x − log 2= x − m ( log x − 3) Đặt t = log x với x ≥ 32 ⇒ log x ≥ log 32 = hay t ≥ Phương trình có dạng t − 2t − 3= m ( t − 3) ( *) Khi tốn phát biểu lại là: “Tìm m để phương trình (*) có nghiệm t ≥ ” Với t ≥ (*) ⇔ ( t − 3) ( t + 1= ) m ( t − 3) ⇔ t − t + − m t − 3= ( ⇔ t +1 − m t − = ⇔ m = ) t +1 t −3 t +1 t +1 t +1 4 ≤ 3⇒1< ≤ = 1+ Với t ≥ ⇒ < + ≤ 1+ = hay < t −3 t −3 t −3 t −3 t −3 5−3 suy < m ≤ Vậy phương trình có nghiệm với < m ≤ Câu 94 Tìm tất giá trị thực tham số m cho khoảng ( 2;3) thuộc tập nghiệm bất Ta có phương trình log ( x + 1) > log ( x + x + m ) − (1) A m ∈ [ −12;13] B m ∈ [12;13] C m ∈ [ −13;12] D m ∈ [ −13; −12] Hướng dẫn giải  x + 4x + m m > − x − x = f ( x) x +1 > ⇔ (1) ⇔   g ( x) m < x − x + =  x2 + 4x + m >  −12 x = m ≥ Max f ( x) = 2< x  m = : (2) không thỏa ∀x ∈   m = : (3) không thỏa ∀x ∈  7 − m >  ∆′2 = − ( − m ) ≤ ⇔ (1) thỏa ∀x ∈  ⇔  > m   ∆′ = − m <  m < m ≤  ⇔ < m ≤  > m  m > Câu 96 Tìm tất giá trị thực tham số + log ( x + 1) ≥ log ( mx + x + m ) có nghiệm ∀x A m ∈ ( 2;3] B m ∈ ( −2;3] C m ∈ [ 2;3) m để bất phương trình D m ∈ [ −2;3) Trang 34/35 Hướng dẫn giải Bất phương trình tương đương ( x + 1) ≥ mx + x + m > 0, ∀x ∈  ( − m ) x − x + − m ≥ (2) ⇔ (*), ∀x ∈  (3) mx + x + m >  m = m = : (*) không thỏa ∀x ∈  5 − m >  ∆′2 = − ( − m ) ≤  m ≠ m ≠ : (*) ⇔  m >  ∆′ = − m <  ⇔ < m ≤ Trang 35/35