Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm phương trình mặt phẳng

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG A TỔNG HỢP LÝ THUYẾT I Vectơ pháp tuyến mặt phẳng    • Vectơ n ≠ vectơ pháp tuyến (VTPT) giá n vng góc với mặt phẳng (α ) • Chú ý:    Nếu n VTPT mặt phẳng (α ) k n (k ≠ 0) VTPT mặt phẳng (α )  Một mặt phẳng xác định biết điểm qua VTPT       Nếu u, v có giá song song nằm mặt phẳng (α ) n = [u , v] VTPT (α ) II Phương trình tổng qt mặt phẳng  Trong khơng gian Oxyz , mặt phẳng có dạng phương trình: Ax + By + Cz + D = với A2 + B + C ≠  Nếu mặt phẳng (α ) có phương trình Ax + By + Cz + D = có VTPT  n( A; B; C )    Phương trình mặt phẳng qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) nhận vectơ n( A; B; C ) khác VTPT là: A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = • Các trường hợp riêng Xét phương trình mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = với A2 + B + C ≠  Nếu D = mặt phẳng (α ) qua gốc tọa độ O  Nếu A = 0, B ≠ 0, C ≠ mặt phẳng (α ) song song chứa trục Ox  Nếu A ≠ 0, B = 0, C ≠ mặt phẳng (α ) song song chứa trục Oy  Nếu A ≠ 0, B ≠ 0, C = mặt phẳng (α ) song song chứa trục Oz  Nếu A= B= 0, C ≠ mặt phẳng (α ) song song trùng với ( Oxy )  Nếu A= C= 0, B ≠ mặt phẳng (α ) song song trùng với ( Oxz )  Nếu B= C= 0, A ≠ mặt phẳng (α ) song song trùng với ( Oyz ) Trang 1/40 Chú ý:  Nếu phương trình (α ) khơng chứa ẩn (α ) song song chứa trục tương ứng x y z + + = Ở (α ) cắt trục tọa độ a b c điểm ( a; 0; ) , ( 0; b;0 ) , ( 0;0;c ) với abc ≠  Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn (α ) : III Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng • Trong khơng gian Oxyz , cho điểm M (x ; y0 ; z0 ) mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = Khi khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α ) tính: d ( M , ( ))  IV Góc hai mặt phẳng Trong khơng gian Oxyz , cho hai | Ax0  By0  Cz0  D | A2  B  C mặt phẳng ( α ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = ( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 =   Góc ( α ) ( β ) bù với góc hai VTPT nα , nβ Tức là:   nα nβ   A1 A2 + B1 B2 + C1C2 nβ cos ( ( α ) ,=  =  (β ) ) cos nα ,= nα nβ A12 + B12 + C12 A22 + B22 + C22 ( ) V Một số dạng tập viết phương trình mặt phẳng Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng biết điểm vectơ pháp tuyến Phương pháp giải Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) song song với mặt phẳng ( β ) : Ax + By + Cz + D = cho trước Phương pháp giải Cách 1: Thực theo bước sau:  VTPT ( β ) nβ = ( A; B; C )   (α ) // ( β ) nên VTPT mặt phẳng (α ) n= n= α β ( A; B; C ) Phương trình mặt phẳng (α ) : A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = Cách 2: Mặt phẳng (α ) // ( β ) nên phương trình ( P ) có dạng: Ax + By + Cz + D′ = (*), với D′ ≠ D Vì ( P ) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) nên thay tọa độ M ( x0 ; y0 ; z0 ) vào (*) tìm D′ Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua điểm A , B , C không thẳng hàng Phương pháp giải   Tìm tọa độ vectơ: AB, AC Trang 2/40    Vectơ pháp tuyến (α ) : nα =  AB, AC  Điểm thuộc mặt phẳng: A (hoặc B C )  Viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT nα Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua điểm M vng góc với đường thẳng ∆ Phương pháp giải  Tìm VTCP ∆ u ∆   Vì (α ) ⊥ ∆ nên (α ) có VTPT nα = u∆  Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT nα Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng ∆ , vng góc với mặt phẳng ( β ) Phương pháp giải  Tìm VTPT ( β ) nβ  Tìm VTCP ∆ u∆    VTPT mặt phẳng (α ) là: nα =  nβ ; u∆  Lấy điểm M ∆ Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua hai điểm A , B vng góc với mặt phẳng ( β ) Phương pháp giải  Tìm VTPT ( β ) nβ  Tìm tọa độ vectơ AB    VTPT mặt phẳng (α ) là: nα =  nβ , AB  Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng ∆ song song với ∆′ ( ∆ , ∆′ chéo nhau) Phương pháp giải   Tìm VTCP ∆ ∆′ u∆ u∆ '    VTPT mặt phẳng (α ) là: nα = u∆ , u∆′  Lấy điểm M ∆ Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng ∆ điểm M Phương pháp giải   Tìm VTCP ∆ u∆ , lấy điểm N ∆ Tính tọa độ MN    VTPT mặt phẳng (α ) là: nα = u∆ ; MN  Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng cắt ∆ ∆′ Phương pháp giải   Tìm VTCP ∆ ∆′ u∆ u∆ '    VTPT mặt phẳng (α ) là: nα = u∆ ; u∆ '  Trang 3/40 Lấy điểm M ∆ Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa song song ∆ ∆′ Phương pháp giải   Tìm VTCP ∆ ∆′ u∆ u∆′ , lấy M ∈ ∆, N ∈ ∆′    VTPT mặt phẳng (α ) là: nα = u∆ ; MN  3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 11:Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua điểm M song song với hai đường thẳng ∆ ∆′ chéo cho trước Phương pháp giải   Tìm VTCP ∆ ∆ ’ u∆ u∆ '    VTPT mặt phẳng (α ) là: nα = u∆ ; u∆′  3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 12:Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua điểm M vng góc với hai mặt phẳng ( P ) , ( Q ) cho trước Phương pháp giải   Tìm VTPT ( P ) ( Q ) nP nQ    VTPT mặt phẳng (α ) là: nα =  nP ; nQ  3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 13: Viết phương trình mặt phẳng (α ) song song với mặt phẳng khoảng ( β ) : Ax + By + Cz + D = (β) cách k cho trước Phương pháp giải Trên mặt phẳng ( β ) chọn điểm M Do ( α ) // ( β ) nên ( α ) có phương trình Ax + By + Cz + D′ = ( D′ ≠ D ) Sử dụng công thức khoảng cách d ( ( α ) , ( β = ) ) d ( M , ( β= ) ) k để tìm D′ Dạng 14: Viết phương trình mặt phẳng cho trước cách điểm M (β ) : Ax + By + Cz + D = (α ) song song với mặt phẳng khoảng k cho trước Phương pháp giải Do ( α ) // ( β ) nên ( α ) có phương trình Ax + By + Cz + D′ = ( D′ ≠ D ) Sử dụng công thức khoảng cách d ( M , ( α ) ) = k để tìm D′ Dạng 15: Viết phương trình mặt phẳng (α ) tiếp xúc với mặt cầu ( S ) Phương pháp giải Tìm tọa độ tâm I tính bán kính mặt cầu ( S ) Nếu mặt phẳng (α ) tiếp xúc với mặt cầu ( S ) M ∈ ( S ) mặt phẳng (α ) qua  điểm M có VTPT MI Khi tốn khơng cho tiếp điểm ta phải sử dụng kiện tốn tìm VTPT mặt phẳng viết phương trình mặt phẳng có dạng: Ax + By + Cz + D = (D chưa biết) Sử dụng điều kiện tiếp xúc: d ( I , (α ) ) = R để tìm D Trang 4/40 Dạng 16: Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng ∆ tạo với mặt phẳng cho trước góc ϕ ( β ) : Ax + By + Cz + D = cho trước Phương pháp giải  Tìm VTPT ( β ) nβ  Gọi nα ( A′; B′; C ′)   (nα ; nβ ) = ϕ  Dùng phương pháp vô định giải hệ:    ⇒ nα nα ⊥ u∆ Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT VI Các ví dụ Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) qua điểm A(1;0; −2)  có vectơ pháp tuyến n(1; −1; 2) Lời giải  Mặt phẳng ( P) qua điểm A(1;0; −2) có vectơ pháp tuyến n(1; −1; 2) có phương trình là: 1( x − 1) − 1( y − 0) + 2( z + 2) = ⇔ x − y + 2z + = Vậy phương trình mặt phẳng ( P) là: x − y + z + = Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) qua điểm M (0;1;3) song song với mặt phẳng (Q) : x − z + = Lời giải Mặt phẳng ( P) song song với mặt phẳng (Q) : x − z + = nên mặt phẳng ( P) có phương trình dạng: x − z + D = ( D ≠ 1) Mặt phẳng ( P) qua điểm M (0;1;3) nên thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng phải thỏa mãn Ta được: 2.0 − 3.3 + D =0 ⇔ D =9 (thỏa mãn D ≠ ) Vậy phương trình mặt phẳng ( P) là: x − z + = Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A(1; 0; −2), B (1;1;1), C (0; −1; 2) Lời giải     Ta có: AB =(0;1;3), AC =(−1; −1: 4) ⇒  AB, AC  = (7; −3;1)  Gọi n vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( ABC ) ta có     n ⊥ AB      nên n phương với  AB, AC  n ⊥ AC  Chọn = n (7; −3;1) ta phương trình mặt phẳng ( ABC ) là: 7( x − 1) − 3( y − 0) + 1( z + 2) = ⇔ 7x − 3y + z − = Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (α ) qua điểm O vng t x=  góc với đường thẳng d :  y =−1 + 2t = + t z Lời giải  Đường thẳng d có vectơ phương là: ud = (1; 2;1) Mặt phẳng (α ) vng góc với đường thẳng d nên (α ) có vectơ pháp tuyến là:   n= u= (1; 2;1) α d Trang 5/40 Đồng thời (α ) qua điểm O nên có phương trình là: x + y + z = Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng x −t =  d :  y =−1 + 2t vng góc với ( β ) : x + y − z + =0 = + t z Lời giải  Đường thẳng d qua điểm A ( 0; −1; ) có VTCP là: ud = (−1; 2;1)  Mặt phẳng ( β ) có VTPT là= nβ (1; 2; −1) Mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng d vng góc với ( β ) nên (α ) có vectơ pháp tuyến    ud , nβ  = là: nα = −4 (1;0;1)   ( −4;0; −4 ) = Phương trình mặt phẳng ( α ) là: x + z − = Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (α ) qua điểm A(1;2; −2), B (2; −1;4) vng góc với ( β ) : x − y − z + =0 Lời giải  Có AB= (1; −3;6 )  Mặt phẳng ( β ) có VTPT nβ = (1; −2; −1) phẳng (α ) chứa A , B vng góc với ( β ) nên (α ) có vectơ pháp tuyến là:   =   AB, nβ  (15;7;1) Phương trình mặt phẳng ( α ) là: 15 x + z + − 27 =0 Mặt  = nα Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) chứa đường thẳng x =1  x −1 y z −1 d1 :  y = − 2t song song với đường thẳng d : = = 2  z = 1+ t  Lời giải  Đường thẳng d1 qua điểm M (1;1;1) vectơ phương u1 (0; −2;1)  Đường thẳng d qua điểm M (1; 0;1) vectơ phương u2 (1; 2; 2)   Ta có u1 , u2  = (−6;1; 2)  Gọi n vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( P) , ta có:     n ⊥ u1      nên n phương với u1 , u2  n ⊥ u2  Chọn n = (−6;1; 2)  Mặt phẳng ( P) qua điểm M (1;1;1) nhận vectơ pháp tuyến n = (−6;1; 2) có phương trình: − 6( x − 1) + 1( y − 1) + 2( z − 1) = ⇔ −6 x + y + z + =0 Thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng ( P) thấy khơng thỏa mãn Vậy phương trình mặt phẳng ( P) là: −6 x + y + z + = Trang 6/40 Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng x =1  d :  y = − 2t điểm M (−4;3;2)  z = 1+ t  Lời giải  Đường thẳng d qua điểm N (1;1;1) vectơ phương ud (0; −2;1)  MN = ( 5; −2; −1) phẳng (α ) chứa đường thẳng d điểm M nên (α ) có vectơ pháp tuyến là:   =  u  d , MN  ( 4;5;10 ) Phương trình mặt phẳng ( α ) là: x + y + 10 z − 19 = Mặt  = nα Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) chứa đường thẳng x =1  x = + 3t   d1 :  y = − 2t d :  y = − 2t  z = 1+ t z = 1+ t   Lời giải  Đường thẳng d1 qua điểm M (1;1;1) vectơ phương u1 (0; −2;1)  Đường thẳng d qua điểm M (1;1;1) vectơ phương u2 (3; −2;1)    Ta có u1 , u2  = ( 0;3;6 ) , M 1M = ( 0;0;0 )    Do M 1M u1 , u2  = nên đường thẳng d1 , d cắt Mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng d1 , d cắt nên (α ) có vectơ pháp tuyến là:    = nα = u1 , u2  (= 0;3;6 ) ( 0;1; ) Phương trình mặt phẳng ( α ) là: y + z − = Ví dụ 10 Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng  x=4 x =1   d1 :  y = − 2t d :  y= − 4t z = 1+ t  z = 1+ t   Lời giải  Đường thẳng d1 qua điểm M (1;1;1) vectơ phương u1 (0; −2;1)  Đường thẳng d qua điểm M ( 4;3;1) vectơ phương u2 ( 0; −4; )     Ta có u1 , u2  = , M 1M = ( 3; 2;0 )    Do u1 , u2  = nên đường thẳng d1 , d song song Mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng d1 , d song song nên (α ) có vectơ pháp tuyến là:    nα =u1 , M 1M  =− ( 2;3;6 ) =− ( 2; −3; −6 ) Phương trình mặt phẳng ( α ) là: x − y − z + = Trang 7/40 Ví dụ 11 Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) qua điểm x =1  x −1 y z −1 A(1;0; −2) ( P) song song với hai đường thẳng d1 :  y = − 2t d : = = 2  z = 1+ t  Lời giải  Đường thẳng d1 qua điểm M (1;1;1) vectơ phương u1 (0; −2;1)  Đường thẳng d qua điểm M (1; 0;1) vectơ phương u2 (1; 2; 2)   Ta có u1 , u2  = (−6;1; 2)  Gọi n vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( P) , ta có:     n ⊥ u1      nên n phương với u1 , u2  n ⊥ u2  Chọn n = (−6;1; 2) ta phương trình mặt phẳng ( P) là: − 6( x − 1) + 1( y − 0) + 2( z + 2) = ⇔ −6 x + y + z + 10 =0 Ví dụ 12 : Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) qua điểm M(−1; −2; 5) vng góc với hai mặt phẳng (Q) : x + y − z + = ( R) : x − y + z + = Lời giải   VTPT (Q) nQ (1; 2; −3) , VTPT ( R) nR (2; −3;1)    Ta có  nQ , nR  =(−7; −7; −7) nên mặt phẳng ( P) nhận n(1;1;1) VTPT ( P) qua điểm M(−1; −2; 5) nên có phương trình là: x + y + z − = Ví dụ 13: Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) song song với mặt phẳng (Q) : x + y − z + = cách (Q) khoảng Lời giải Trên mặt phẳng (Q) : x + y − z + = chọn điểm M(−1; 0; 0) Do ( P) song song với mặt phẳng (Q) nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng: x + y − 2z + D = với D   D  8  | 1  D |    D  10 12  22  (2) Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn u cầu tốn: x + y − z − = x + y − z + 10 = Ví dụ 14 : Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) song song với mặt phẳng (Q) : x + y − z + = ( P) cách điểm M(1; −2;1) khoảng Lời giải Do ( P) song song với mặt phẳng (Q) nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng: x + y − 2z + D = với D   D  4 |1   D |  | 5  D |   Vì d ( M , ( P))    D  14 12  22  (2) Vì d (( P ), (Q))   d ( M , ( P))   | 1  D | Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán: x + y − z − = x + y − z + 14 = Trang 8/40 Ví dụ 15: Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) song song với mặt phẳng (Q) : x + y − z + = 0 tiếp xúc với mặt cầu (S ) : x + y + z2 + x − y − z − = Lời giải Mặt cầu (S ) có tâm I (1; 2;1) bán kính R  (1)  22  12   Do ( P) song song với mặt phẳng (Q) nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng: x + y − 2z + D = với D  Vì tiếp ( P) xúc với mặt cầu (S ) nên  D  10  |1  D |    D  12  22  (2) Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán: x + y − z − 10 = x + y − z + = d ( I , ( P ))  R   | 1    D | Ví dụ 16 : Trong mặt phẳng Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) đường thẳng d có x +1 = y + = z − Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) chứa đường thẳng d tạo với mặt phẳng ( P ) góc 600 phương trình ( P ) : x + y − z + = d : Lời giải Giả sử mặt phẳng (Q) có dạng Ax + By + Cz + D = ( A2 + B + C ≠ ) Chọn hai điểm M ( −1; −1;3) , N (1;0; ) ∈ d C = −2 A − B  A ( −1) + B ( −1) + C.3 + D = ⇒ Mặt phẳng ( Q ) chứa d nên M , N ∈ ( Q ) ⇒  D A + 4B =  A.1 + B.0 + C.4 + D = Suy mặt phẳng có phương trình Ax + By + ( −2 A − B ) z + A + B =0 có VTPT  n= ( A; B; −2 A − B ) Q ( Q ) tạo 60 ⇒ với mặt phẳng ( P) góc A + 2B + A + B 2 A + B + (2 A + B) = cos(600 ) = + + (−1) 2 ⇔ A = (4 ± 3) B Cho B = ta A= (4 ± 3) Vậy có phương trình mặt phẳng ( ) 3) x + y + ( −9 − ) z + 32 + 14 (4 − 3) x + y + −9 + z + 32 − 14 =0 (4 + =0 Trang 9/40 B BÀI TẬP Câu Chọn khẳng định sai  A Nếu n vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P) k n (k ∈ ) vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P) B Một mặt phẳng hồn tồn xác định biết điểm qua vectơ pháp tuyến C Mọi mặt phẳng khơng gian Oxyz có phương trình dạng: Ax + By + Cz + D = ( A2 + B + C ≠ 0) D Trong không gian Oxyz , phương trình dạng: Ax + By + Cz + D = ( A2 + B + C ≠ 0) Câu Câu Câu phương trình mặt phẳng Chọn khẳng định A Nếu hai vectơ pháp tuyến hai mặt phẳng phương hai mặt phẳng song song B Nếu hai mặt phẳng song song hai vectơ pháp tuyến tương ứng phương C Nếu hai mặt phẳng trùng hai vectơ pháp tuyến tương ứng D Nếu hai vectơ pháp tuyến hai mặt phẳng phương hai mặt phẳng trùng Chọn khẳng định sai   A Nếu hai đường thẳng AB, CD song song vectơ  AB, CD  vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( ABCD)   B Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng, vectơ  AB, AC  vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( ABC )   C Cho hai đường thẳng AB, CD chéo nhau, vectơ  AB, CD  vectơ pháp tuyến mặt phẳng chứa đường thẳng AB song song với đường thẳng CD   D Nếu hai đường thẳng AB, CD cắt vectơ  AB, CD  vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( ABCD) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = Tìm khẳng định sai mệnh đề sau: A A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, D ≠ (α ) song song với trục Ox B D = (α ) qua gốc tọa độ C A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, D = (α ) song song với mặt phẳng ( Oyz ) D A = 0, B = 0, C ≠ 0, D ≠ (α ) song song với mặt phẳng ( Oxy ) Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) , ( abc ≠ ) Khi phương trình mặt phẳng ( ABC ) là: x y z x y z B + + = + + = a b c b a c x y z x y z C + + = D + + = 1 c b a a c b Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng (α ) : x − z = Tìm khẳng định A Câu mệnh đề sau: A (α ) / /Ox B (α ) / / ( xOz ) C (α ) / /Oy D (α ) ⊃ Oy Trang 10/40 Sử dụng MTBT giải hệ bậc ẩn, nhập tọa độ điểm A, B, C vào hệ, chọn D = ta 1 (Trong trường hợp chọn D = vô nghiệm ta chuyển sang chọn D = ) = ,B = ,C 9  Suy mặt phẳng ( ABC ) có VTPT n = (1;1;1)  Mặt phẳng qua D có VTPT n = (1;1;1) có phương trình: x + y + z − 10 = = A Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng thấy khơng thỏa mãn Vậy chọn A Câu 23 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(5;1;3), B(1;2;6), C (5;0;4), D(4;0;6) Viết phương trình mặt phẳng chứa AB song song với CD B x − y + z + = A x + y + z − 18 = C x − y + z + = D x + y + z − = Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận     +) AB = (2;5;1) (−4;1;3), CD = (−1;0; 2) ⇒  AB, CD  =  +) Mặt phẳng qua A có VTPT n = (2;5;1) có phương trình là: x + y + z − 18 = +) Thay tọa độ điểm C vào phương trình mặt phẳng thấy khơng thỏa mãn Vậy phương trình mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán là: x + y + z − 18 = Phương pháp trắc nghiệm +) Sử dụng MTBT kiểm tra tọa độ điểm A thỏa mãn phương trình hay khơng? thấy đáp án B, C không thỏa mãn  +) Kiểm tra điều kiện VTPT mặt phẳng cần tìm vng góc với véctơ CD ta loại đáp D Vậy chọn A Câu 24 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , gọi (P ) mặt phẳng chứa trục Ox vng góc với mặt phẳng (Q) : x + y + z − = Phương trình mặt phẳng (P) là: A y + z = Phương pháp tự luận B y − z = C y − z − = D y − z = Hướng dẫn giải  +) Trục Ox véctơ đơn vị i = (1;0;0)  Mặt phẳng (Q) có VTPT n (Q ) = (1;1;1) Mặt phẳng (P) chứa trục Ox vng góc với     (0; −1;1) = n i, n(Q )=  (Q) : x + y + z − = nên (P ) có VTPT Phương trình mặt phẳng (P) là: y − z = Phương pháp trắc nghiệm +) Mặt phẳng (P ) chứa trục Ox nên loại đáp án C +) Kiểm tra điều kiện VTPT mặt phẳng (Q) vng góc với VTPT (P) ta loại tiếp đáp án B, D Vậy chọn A Câu 25 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz Phương trình mặt phẳng chứa trục Ox qua điểm I ( 2; −3;1) là: A y + z = B x + y = C y − z = D y + z = Hướng dẫn giải Trang 24/40  Trục Ox qua A (1;0;0 ) có i = (1;0;0 )    Mặt phẳng qua I ( 2; −3;1) có vectơ pháp tuyến = n = i, AI  y + 3z = ( 0;1;3) có phương trình Vậy y + z = Câu 26 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A2; 1;1 , B 1;0; 4 C 0; 2; 1 Phương trình mặt phẳng qua A vng góc với đường thẳng BC là: B x  y  z   A x  y  z   C x  y  z   D x  y  z   Hướng dẫn giải  Ta có: CB 1; 2;5  Mặt phẳng qua A vng góc với đường thẳng BC có VTPT CB 1; 2;5 nên có phương trình là: x  y  z   Vậy x  y  z   Câu 27 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (α ) qua A ( 2; −1; ) , B ( 3; 2; −1) vng góc với mặt phẳng ( Q ) : x + y + z − = Phương trình mặt phẳng (α ) là: A x + y − z + = B x + y − z + 21 = C x + y + z − = D x + y − z = Phương pháp tự luận   = AB (1;3; −5 ) , nQ = (1;1; ) Hướng dẫn giải Mặt phẳng có vectơ A ( 2; −1; ) (α ) qua    AB, nQ  = −2 ( 5;3; −4 ) có phương trình: x + y − z + =   ( −10; −6;8 ) = Vậy x + y − z + = pháp tuyến Phương pháp trắc nghiệm     Do (α ) ⊥ ( Q ) ⇒ nα nQ = , kiểm tra mp (α ) có nα nQ = Vậy chọn A Câu 28 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt phẳng (α ) qua M ( 0; −2;3) , song song với x − y +1 đường thẳng d : = = z vuông góc với mặt phẳng ( β ) : x + y − z = có phương −3 trình: 0 A x − y − z − = B x − y + z − = C x + y + z + = Phương pháp tự luận   Ta có u= nβ ( 2; −3;1) , = d D x + y + z − = Hướng dẫn giải (1;1; −1)    Mặt phẳng (α ) qua M ( 0; −2;3) có vectơ pháp tuyến = nα = ud , nβ  ( 2;3;5) ⇒ (α ) : x + y + z − = Phương pháp trắc nghiệm Trang 25/40   nα = k nQ (α ) / / ( d ) Do  kiểm tra mp (α ) thỏa hệ ⇔    nα nQ = (α ) ⊥ ( Q ) Vậy chọn A Câu 29 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz Tọa độ giao điểm M mặt phẳng ( P ) : x + y + z − =0 với trục Ox ?   B M  0, ,  C M ( 3, 0, ) D M ( 2, 0, )   Hướng dẫn giải: Gọi M ( a, 0, ) điểm thuộc trục Ox Điểm M ∈ ( P ) ⇒ 2a − = ⇔ a = A M ( 0, 0, ) Vậy M ( 2, 0, ) giao điểm ( P ) , Ox Phương pháp trắc nghiệm 2 x + y + z − =  Giải hệ PT gồm PT (P) (Ox):  y = ; bấm máy tính z =  Câu 30 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi   mặt phẳng qua hình chiếu A5; 4;3 lên trục tọa độ Phương trình mặt phẳng   là: A 12 x  15 y  20 z  60  x y z C    B.12 x  15 y  20 z  60  x y z D    60  Hướng dẫn giải Gọi M , N , P hình chiếu vng góc điểm A trục Ox, Oy, Oz Ta có: M 5;0;0 , N 0; 4;0 , P 0;0;3 Phương trình mặt phẳng   qua M 5;0;0 , N 0; 4;0 , P 0;0;3 là: x y z     12 x  15 y  20 z  60  Vậy 12 x  15 y  20 z  60  Câu 31 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( α ) qua hai điểm A5; 2;0 ,  B 3; 4;1 có vectơ phương a 1;1;1 Phương trình mặt phẳng ( α ) là: A x  y 14 z  C x  y 14 z    Ta có: AB 8;6;1 B x  y   D 5 x  y 14 z   Hướng dẫn giải  Mặt phẳng ( α ) qua hai điểm A5; 2;0 , B 3; 4;1 có vectơ phương a 1;1;1    nên có VTPT là: n   AB, a   5;9; 14    Mặt phẳng ( α ) qua điểm A5; 2;0 có VTPT n  5;9; 14 có phương trình là: x  y 14 z   Vậy x  y 14 z   Câu 32 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , có mặt phẳng song song với mặt phẳng ( P) : x + y + z − = tiếp xúc với mặt cầu ( S ) : x + y + z = 12 ? A B Khơng có C Hướng dẫn giải D Trang 26/40 Phương pháp tự luận +) Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng ( P) có dạng: x + y + z += D ( D ≠ −6) +) Do mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt cầu ( S ) : x + y + z = 12 nên d ( I ;(Q)) = R với I tâm cầu, R bán kính mặt cầu Tìm D = D = −6 (loại) Vậy có mặt phẳng thỏa mãn Câu 33 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − y + x − =0 , ( R ) : x − y + 12 z − 10 = , ( W ) : x − y + z − 12 = ( Q ) − x + y − z + =, nhiêu cặp mặt phẳng song song với A.2 B C.0 Hướng dẫn giải: a b c d Hai mặt phẳng song song = = ≠ a' b' c' d ' −2 −3 Xét ( P ) ( Q ) : = = ≠ ⇒ ( P )  (Q ) −2 −8 −3 −2 Xét ( P ) ( R ) : = = ≠ ⇒ ( P)  ( R) −6 12 −10 ⇒ (Q )  ( R ) Có bao D.1 −2 Xét ( P ) (W ) : = ≠ −8 −2 −8 Xét ( Q ) (W ) : = ≠ −8 −6 12 Xét ( R ) (W ) : = ≠ −8 Vậy có cặp mặt phẳng song song Câu 34 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng (α ) : x + ( m − 1) y + z − = 0, Với giá trị thực ( β ) : nx + ( m + ) y + z + = (β ) A m = 3; n = −6 B = m 3;= n m, n để (α ) song song C m = −3; n = D m = −3; n = −6 Hướng dẫn giải: m −1 4 Để (α ) song song ( β ) ⇒ = =≠ ⇔m= −3; n = n m + 2 −2 Vậy m = −3; n = Câu 35 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P ) : x + my + ( m − 1) z + =, 0 Giá trị số thực ( Q ) : x − y + 3z − = A m = B m = − m để hai mặt phẳng ( P ) , ( Q ) vng góc C m = D m = Hướng dẫn giải:   Để mặt phẳng ( P ) , ( Q ) vng góc ⇒ n p nQ = ⇔ 1.2 + m ( −1) + ( m − 1) = ⇔ m = Vậy m = Câu 36 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz Cho hai mặt phẳng (α ) : x − y + z − =, ( β ) : x − y + z − =0 Khoảng cách hai mặt phẳng (α ) , ( β ) ? Trang 27/40 A d ( (α ) , ( β ) ) = 11 C d ( (α ) , ( β ) ) = Hướng dẫn giải: B d ( (α ) , ( β ) ) = D d ( (α ) , ( β ) ) = 5 = + ( −2 ) + 22 Lấy M (1, 0,1) thuộc mặt phẳng (α ) Ta có d (= (α ) , ( β ) ) d= ( M , ( β )) Vậy d ( (α ) , ( β ) ) = Câu 37 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = Gọi mặt phẳng ( Q ) mặt phẳng đối xứng mặt phẳng ( P ) qua trục tung Khi phương trình mặt phẳng ( Q ) ? A x + y − z − =0 B x − y − z + = C x + y + z + = D x − y − z − =0 Hướng dẫn giải: Gọi M ( x, y, z ) điểm thuộc mặt phẳng ( P ) Điểm M ' ( − x, y, − z ) điểm đối xứng M qua trục tung ⇒ ( Q ) : − x + y + z + =0 mặt phẳng qua M ' mặt phẳng đối xứng ( P ) Vậy x − y − z − =0 Câu 38 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = Gọi mặt phẳng ( Q ) mặt phẳng đối xứng mặt phẳng ( P ) qua mặt phẳng (Oxz ) Khi phương trình mặt phẳng ( Q ) ? A ( P ) : x − y − z − = B ( P ) : x − y + z − = C ( P ) : x + y + z − = D ( P ) : x − y + z + = Hướng dẫn giải Gọi M ( x, y, z ) điểm thuộc mặt phẳng ( P ) Điểm M ' ( x, − y, z ) điểm đối xứng M qua trục tung ⇒ ( Q ) : x + y + z − = mặt phẳng qua M ' mặt phẳng đối xứng ( P ) Vậy ( P ) : x + y + z − = Câu 39 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,   mặt phẳng qua điểm A2; 1;5 vng góc với hai mặt phẳng  P  : x  y  z   Q  : x  y  z   Phương trình mặt phẳng   là: A x  y  z   C x  y  z  10   Mặt phẳng (P) có VTPT n= P  Mặt phẳng (Q) có VTPT n= Q B x  y  z 10  D x  y  z   Hướng dẫn giải ( 3; −2;1) ( 5; −4;3) Mặt phẳng   vng góc với mặt phẳng  P  : x  y  z   , Q  : x  y  z      nên có VTPT nP = nP , nQ  =( −2; −4; −2 ) Phương trình mặt phẳng   là: x  y  z   Trang 28/40 Câu 40 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,tọa độ điểm M nằm trục Oy cách hai mặt phẳng: ( P ) : x + y − z + =0 ( Q ) : x − y + z − = là: A M ( 0; −3;0 ) B M ( 0;3;0 ) Ta có M ∈ Oy ⇒ M ( 0; m;0 ) C M ( 0; −2;0 ) D M ( 0;1;0 ) Hướng dẫn giải Giả thiết có d ( M , ( P ) ) = d ( M , ( Q ) ) ⇔ m +1 −m − = ⇔m= −3 3 Vậy M ( 0; −3;0 ) Câu 41 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi (α ) mặt phẳng qua G (1; 2;3) cắt trục Ox, Oy, Oz điểm A, B, C (khác gốc O ) cho G trọng tâm tam giác ABC Khi mặt phẳng (α ) có phương trình: A x + y + z + 18 = B x + y + z − 18 = C x + y + z − = D x + y + z + = Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Gọi A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) giao điểm mặt phẳng (α ) trục Ox, Oy, Oz x y z + + = ( a , b, c ≠ ) a b c Ta có G trọng tâm tam giác ABC a 3 =1 a =  x y z b  ⇒  =2 ⇔ b =6 ⇒ (α ) : + + =1 ⇔ x + y + z − 18 =0 3 c =  c 3 =  Phương trình mặt phẳng (α ) : Câu 42 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi (α ) mặt phẳng song song với mặt phẳng ( β ) : x − y + z + =0 phẳng (α ) là: cách điểm A ( 2; −3; ) khoảng k = Phương trình mặt A x − y + z − = x − y + z − 13 = B x − y + z − 25 = C x − y + z − = D x − y + z − 25 = 0 x − y + z − = Hướng dẫn giải ( m ≠ 3) Vì (α ) / / ( β ) ⇒ (α ) : x − y + z + m = Giả thiết có d ( A, (α ) ) = ⇔ 32 + m  m = −14 = 3⇔  m = −50 Vậy (α ) : x − y + z − = , (α ) : x − y + z − 25 = Câu 43 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho hai đường thẳng d1 , d có phương trình x −2 y −2 z −3 x −1 y − z −1 , d2 : = = Phương trình mặt phẳng (α ) cách hai d1 : = = −1 đường thẳng d1 , d là: Trang 29/40 A x − y − z = B x − y − z + = C x + y + z + = D 14 x − y − z + = Hướng dẫn giải   Ta có d1 qua A ( 2; 2;3) có ud1 = ( 2;1;3) , d qua B (1; 2;1) có ud= ( 2; −1; )    AB =( −1;1; −2 ) ; ud1 ; ud2  =( 7; −2; −4 ) ;    ⇒ ud1 ; ud2  AB =−1 ≠ nên d1 , d chéo    Do (α ) cách d1 , d nên (α ) song song với d1 , d ⇒ nα = ud1 ; ud2  = ( 7; −2; −4 ) ⇒ (α ) có dạng x − y − z + d = Theo giả thiết d ( A, (α ) ) = d ( B, (α ) ) ⇔ d −2 = 69 d −1 69 ⇔= d ⇒ (α ) :14 x − y − z + = Câu 44 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho A (1;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) , ( b > 0, c > ) mặt phẳng ( P ) : y − z + = Xác định b c biết mặt phẳng ( ABC ) vng góc với mặt phẳng ( P) khoảng cách từ O đến ( ABC ) 1 1 C.= D b = ,c = b = ,c 2 2 Hướng dẫn giải x y z Phương trình mặt phẳng ( ABC ) có dạng + + =1 ⇔ bcx + cy + bz − bc =0 b c c − b = b=c  ( ABC ) ⊥ ( P )    −bc 1⇔ Theo giả thiết:  b2 1⇔ = = d ( O, ( ABC ) ) =   2 3   b + 2b  ( bc ) + c + b 1 ⇒c= ⇔ 3b = b + 2b ⇔ 8b 4= 2b ⇔ b= 2 Câu 45 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,mặt phẳng   qua điểm M 5; 4;3 cắt tia A b = ,c = 2 B.= b 1,= c Ox, Oy, Oz đoạn có phương trình là: B x  y  z  D x  y  z  Hướng dẫn giải Aa;0;0 , B 0; a;0 , C 0;0; a  ( a ≠ ) giao điểm mặt phẳng   tia A x  y  z 12  C x  y  z  50  Gọi Ox, Oy, Oz x y z Phương trình mặt phẳng   qua A, B, C là:    a a a Mặt phẳng   qua điểm M 5; 4;3  a  12 x y z     x  y  z 12  12 12 12 Câu 46 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , gọi (P) mặt phẳng chứa trục Oy tạo với mặt Ta có phẳng y + z + = góc 600 Phương trình mặt phẳng (P) là: Trang 30/40 x − z = A  x + z = x − y = B  x + y = Phương pháp tự luận x − 2z = D  x + z = x − z − = C  x − z = Hướng dẫn giải = ( A2 + C ≠ 0) +) Mặt phẳng (P) chứa trục Oy nên có dạng: Ax + Cz   n ( P ) n( Q ) +) Mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng y + z + = góc 600 nên cos 600 =   n( P ) n(Q )  A=C C ⇔ A2 − C =0 ⇔  A +C  A = −C x − z = Phương trình mặt phẳng (P) là:  x + z = = ⇔ C 2 ⇔= A2 + C Phương pháp trắc nghiệm +) Mặt phẳng (P) chứa trục Oy nên loại đáp án B, C +)Còn lại hai đáp án A, D chung phương trình thứ hai nên ta thử điều kiện góc phương trình thứ đáp án A thấy thỏa mãn ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) tiếp xúc với ( S ) B (α ) : x + y = 0 D (α ) : x − y = Câu 47 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hình cầu Phương trình mặt phẳng (α ) chứa trục Oz A (α ) : x − y + = 0 C (α ) : x − y = 2 = Hướng dẫn giải: Mặt phẳng (α ) chứa trục Oz có dạng : Ax + By = ( A2 + B ≠ ) A + 2B Ta có : d ( I , (α ) ) = 3⇔ = A2 + B ⇔ AB + B = ⇔ A + B = Chọn A =3, B =−4 ⇒ (α ) : x − y =0 Câu 48 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , tam giác ABC có A (1, 2, −1) , B ( −2,1, ) , C ( 2,3, ) Điểm G trọng tâm tam giác ABC Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( OGB ) ? 174 174 D 29 29 Hướng dẫn giải 1 1 Do G trọng tâm tam giác ∆ABC ⇒ G  , 2,  3 3     13   Gọi n vtpt mặt phẳng ( OGB ) ⇒ n =OG ∧ OB = − , − ,   3 3 A 174 29 B 174 29 C Phương trình mặt phẳng ( OGB ) : x + y − 13 z = ⇒ d ( A, ( OGB ) ) = 174 29 Câu 49 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hình cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = 16 2 Phương trình mặt phẳng (α ) chứa Oy cắt hình cầu ( S ) theo thiết diện đường trịn có chu vi 8π Trang 31/40 A (α ) : x − z = B (α ) : x + z = 0 C (α ) : x + z + = D (α ) : x − z = Hướng dẫn giải: ( Phương trình mặt phẳng (α ) : Ax + Cz= A2 + C ≠ ) Ta có : 2π r = 8π ⇔ r = Mà ( S ) có tâm I (1, 2,3) , R = Do R = r = ⇒ I ∈ (α ) ⇔ A + 3C = Chọn A =3, C =−1 ⇒ (α ) : x − z =0 Câu 50 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , gọi (P) mặt phẳng song song với mặt phẳng Oxz cắt mặt cầu ( x − 1) + ( y + 2) + z = 12 theo đường trịn có chu vi lớn Phương trình (P) là: A x − y + = B y − = C y + = D y + = Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu ( x − 1) + ( y + 2) + z = 12 theo đường tròn có chu vi lớn nên mặt phẳng (P) qua tâm I (1; −2;0) Phương trình mặt phẳng ( P) song song với mặt phẳng Oxz có dạng : Ay + B = Do ( P) qua tâm I (1; −2;0) có phương trình dạng: y + = Phương pháp trắc nghiệm +) Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng Oxz nên lọai đáp án D +) Mặt phẳng (P) qua tâm I (1; −2;0) nên thay tọa độ điểm I vào phương trình loại đáp án B,C Câu 51 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M (1;2;3) Gọi (α ) mặt phẳng chứa trục Oy cách M khoảng lớn Phương trình (α ) là: A x + z = D x = B x + z = C x − z = 0 Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận +) Gọi H , K hình chiếu vng M góc M mặt phẳng (α ) trục Oy Ta có : K (0; 2;0) d ( M , (α = )) MH ≤ MK K Vậy khoảng cách từ M đến mặt phẳng (α ) lớn mặt H Oy phẳng (α ) qua K vng góc với MK Phương trình mặt phẳng: x + z = Câu 52 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = 9, 2 điểm A ( 0;0; ) Phương trình mặt phẳng ( P ) qua A cắt mặt cầu ( S ) theo thiết diện hình trịn ( C ) có diện tích nhỏ ? A ( P ) : x + y + z − = B ( P ) : x + y + z − = C ( P ) : x + y + z − = D ( P ) : x − y + z − = Hướng dẫn giải: Trang 32/40 Mặt cầu ( S ) có tâm I (1, 2,3) , R = Ta có IA < R nên điểm A nằm mặt cầu = Ta có : d ( I , ( P )) R2 − r Diện tích hình tròn ( C ) nhỏ ⇔ r nhỏ ⇔ d ( I , ( P ) ) lớn  Do d ( I , ( P ) ) ≤ IA ⇒ max d ( I , ( P ) ) = IA Khi mặt phẳng ( P ) qua A nhận IA làm vtpt ⇒ ( P) : x + y + z − = Câu 53 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm N (1;1;1) Viết phương trình mặt phẳng ( P ) cắt trục Ox, Oy, Oz A, B, C (không trùng với gốc tọa độ O ) cho N tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A ( P ) : x + y + z − = B ( P ) : x + y − z + =0 C ( P ) : x − y − z + =0 D ( P ) : x + y + z − = Hướng dẫn giải: Gọi A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) giao điểm ( P ) với trục Ox, Oy, Oz x y z + = + ( a , b, c ≠ ) a b c 1 1 a + b + c =  N ∈( P)   Ta có:  NA = NB ⇔  a − = b − ⇔ a = b = c = ⇒ x + y + z − =  NA = NC  a −1 = c −1    ⇒ ( P) : Câu 54 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua hai điểm A(1;1;1) , B ( 0; 2; ) đồng thời cắt tia Ox, Oy hai điểm M , N (không trùng với gốc tọa độ O ) cho OM = 2ON A ( P ) : x + y − z − = B ( P ) : x + y − z − = C ( P ) : x − y − z + = D ( P ) : x + y + z − = Hướng dẫn giải: Gọi M ( a;0;0 ) , N ( 0; b;0 ) giao điểm ( P ) với tia Ox, Oy ( a, b > )   2b ⇒ MN ( −2b; b;0 ) = Do OM = 2ON ⇔ a = −b ( 2; −1;0 ) Đặt u ( 2; −1;0 )     Gọi n môt vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( P ) ⇒ n = u , AB  = ( −1; 2;1) Phương trình măt phẳng ( P ) : x − y − z + = Câu 55 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có đỉnh A (1; 2;1) , B ( −2;1;3) , C ( 2; −1;3) D ( 0;3;1) Phương trình mặt phẳng (α ) qua A, B đồng thời cách C , D z − 15 0; ( P2 ) : x − y − = z + 10 A ( P1 ) : x + y + 7= z − 0; ( P2 ) : x + y + 5= z + 10 B ( P1 ) : x − y + = C ( P1 ) : x − y += z − 0; ( P2 ) : x += 3z − D ( P1 ) : x + y + z= − 20 0; ( P2 ) : x + y + z= − 10 Hướng dẫn giải: Trang 33/40 Trường hợp 1: CD  ( P )    nP =AB ∧ CD =− ( 6; −10; −14 ) =−2 ( 3;5;7 ) ⇒ ( P ) : 3x + y + z − 20 = Trường hợp 2: ( P ) qua trung điểm I (1;1; ) CD    nP = AB ∧ AI = (1;3;3) ⇒ ( P ) : x + y + z − 10 = D C C I P P D Câu 56 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A ( 2;1;3) ; B ( 3;0; ) ; C ( 0; −2;1) Phương trình mặt phẳng ( P ) qua A, B cách C khoảng lớn ? A ( P ) : x + y + z − 11 = B ( P ) : x + y + z − 13 = C ( P ) : x − y + z − 12 = D ( P ) : x + y − = Hướng dẫn giải: C Gọi H , K hình chiếu C lên mp ( P ) doạn thẳng AB Ta có= : CH d ( I , ( P ) ) ≤ CK ⇒ d ( C , ( P ) ) lớn H P K B A H ≡ K Khi mặt phẳng ( P ) qua A, B vuông với mặt phẳng ( ABC )     Ta có n p = AB, AC  ∧ AB =( −9, −6, −3) ⇒ ( P ) : x + y + z − 11 = Câu 57 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng   qua điểm M 1; 2;3 cắt trục Ox, Oy, Oz A , B , C ( khác gốc toạ độ O ) cho M trực tâm tam giác ABC Mặt phẳng   có phương trình là: x y z B   1  C x  y  z 10  D x  y  z  14  Hướng dẫn giải Cách 1:Gọi H hình chiếu vng góc C AB , K hình chiếu vng góc B AC M trực tâm tam giác ABC M  BK  CH AB  CH  C Ta có :   AB  COH   AB  OM (1) (1) K AB  CO  A x  y  z 14  Chứng minh tương tự, ta có: AC  OM (2) Từ (1) (2), ta có: OM   ABC   Ta có: OM 1; 2;3 Mặt phẳng   qua điểm M 1; 2;3 có VTPT M O B A H  OM 1; 2;3 nên Trang 34/40 có phương trình là:  x 1   y  2  3 z  3   x  y  3z 14  Cách 2: +) Do A, B, C thuộc trục Ox, Oy, Oz nên A(a;0;0), B(0; b;0), C (0;0; c) ( a, b, c ≠ ) x y z Phương trình đoạn chắn mặt phẳng ( ABC ) là: + + = a b c    AM BC =    +) Do M trực tâm tam giác ABC nên  BM AC = Giải hệ điều kiện ta a, b, c  M ∈ ( ABC )  Vậy phương trình mặt phẳng: x + y + z − 14 = Câu 58 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm G (1;4;3) Viết phương trình mặt phẳng cắt trục Ox, Oy, Oz A, B, C cho G trọng tâm tứ diện OABC ? x y z A + + = 16 12 B x y z x y z C + + = + + = 12 16 12 Hướng dẫn giải D x y z + + = 12 Phương pháp tự luận +) Do A, B, C thuộc trục Ox, Oy, Oz nên A(a;0;0), B(0; b;0), C (0;0; c) xO + x A + xB + xC   xG =  y + y A + yB + yC  +) Do G trọng tâm tứ diện OABC nên  yG = O  yO + y A + yB + yC   zG =  suy ra= a 4,= b 16,= c 12 x y z + + = 16 12 Câu 59 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M (1;2;3) Mặt phẳng (P) qua M cắt +) Vậy phương trình đoạn chắn mặt phẳng ( ABC ) là: tia Ox, Oy, Oz A, B, C cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ có phương trình là: A x + y + z = B x + y + z − 18 = C x + y + z − 14 = D x + y + z − = Phương pháp tự luận +) Mặt phẳng (P) Hướng dẫn giải cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C nên A(a;0;0), B (0; b;0), C (0;0; c) ( a, b, c > ) x y z + + = a b c +) Mặt phẳng (P) qua M nên + + = a b c Phương trình mặt phẳng (P) Ta có = + + ≥ 33 ⇔ abc ≥ 162 a b c abc abc ≥ 27 Thể tích khối tứ diện OABC nhỏ = = = suy ra= a 3,= b 6,= c a b c +) Thể tích khối tứ diện OABC = V Trang 35/40 x y z + + = hay x + y + z − 18 = Câu 60 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng có phương trình Phương trình mặt phẳng (P) ( P ) x + y + z − =0 ( Q ) : x + y − z − =0 mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y + ) phẳng (α ) vuông với mặt phẳng ( P ) , ( Q ) đồng thời tiếp xúc với mặt cầu ( S ) A x + y −= 0; x + y + = B x − y −= 0; x − y + = C x − y + = 0; x − y − = D x − y += 0; x − y −= Mặt + z2 = Hướng dẫn giải Mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y + ) + z = có tâm I (1; −2;0 ) bán kính R =  Gọi nα vectơ pháp tuyến mặt phẳng (α )      Ta có : nα = nP ∧ nQ ⇒ nα = −3 ( 2; −1;0 ) = −3n1 ( −6;3;0 ) = 2 Lúc mặt phẳng (α ) có dạng : x − y + m = Do mặt phẳng (α ) tiếp xúc với mặt cầu ( S ) ⇒ d ( I , (α ) ) = 5⇔  m =1 = ⇔  m = −9 m+4 Vậy phương trình mặt phẳng (α ) : x − y + =0 x − y − = Câu 61 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = , điểm A (1;0;0 ) , B (−1; 2;0) ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + z = 25 Viết phương trình mặt phẳng (α ) vng 2 với mặt phẳng ( P ) , song song với đường thẳng AB , đồng thời cắt mặt cầu ( S ) theo đường trịn có bán kính r = 2 A x + y + z + 11= 0; x + y + z − 23= B x − y + z + 11= 0; x − y + z − 23= C x − y + z − 11= 0; x − y + z + 23= D x + y + z − 11= 0; x + y + z + 23= Hướng dẫn giải Mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + z = có tâm I (1; 2;0 ) bán kính R =  Gọi nα vectơ pháp tuyến mặt phẳng (α )      Ta có : = = = nα  nP , AB  ⇒= nα ( 4; 4;6 ) ( 2; 2;3 ) 2n1 2 Lúc mặt phẳng (α ) có dạng : x + y + z + m = Gọi J hình chiếu I lên mặt phẳng (α ) Ta có : R =r + IJ ⇒ IJ =17 ⇒ d ( I , (α ) ) = 17 ⇔ + m = 17 ⇔ m = 11 m = −23 Vậy phương trình mặt phẳng (α ) : x + y + z + 11 = x + y + z − 23 = Câu 62 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz ,cho điểm A (1;1; −1) , B (1;1; ) , C ( −1; 2; −2 ) mặt phẳng ( P ) : x − y + z + = Lập phương trình mặt phẳng (α ) qua A , vng góc với mặt phẳng ( P ) cắt đường thẳng BC I cho IB = IC biết tọa độ điểm I số nguyên A (α ) : x − y − z − = B (α ) : x + y − z − = 0 C (α ) : x + y − z − = D (α ) : x + y + z − = Hướng dẫn giải : Trang 36/40    I ( −3;3; −6 )  IB = IC  Do I , B, C thẳng hàng IB = IC ⇒    ⇒     IB = −2 IC  I  − ; ; −    3 3 Vì tọa độ điểm I số nguyên nên I ( −3;3; −6 ) Lúc mặt phẳng (α ) qua A, I ( −3;3; −6 ) vng góc với mặt phẳng ( P ) ⇒ (α ) : x − y − z − = ( P ) x + y + z − =0 , A (1;0;1) chứa giao Câu 63 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho hai mặt phẳng ( Q ) : x + y + z − =0 Lập phương tuyến hai mặt phẳng ( P ) , ( Q ) ? A (α ) : x + y + z − = C (α ) : x + y + z − 17 = trình mặt phẳng (α ) qua B (α ) : x + y + z − 16 = D (α ) : x − y + z − = Hướng dẫn giải: Gọi M , N điểm thuộc giao tuyến hai mặt phẳng ( P ) , ( Q )  x + y + z −3 = M , N thỏa hệ phương trình :  2 x + y + z − =0  y + z =−4  y =−3 Cho x = ⇒ M (7; −3; −1) 7⇒ ⇔ −13  z = −1 3 y + z =  y = −1  y + z =−3 Cho x= ⇒  ⇒ N ( 6; −1; −2 ) ⇔ −11  z = −2 3 y + z = Lúc mặt phẳng (α ) chứa điểm A, N , M ⇒ (α ) : x + y + z − 16 = Câu 64 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz ,cho đường thẳng x −1 y z +1 x y −1 z Viết phương trình mặt phẳng (α ) vng góc với d1 ,cắt d2 : = = : d1= = 2 −1 Oz A cắt d B ( có tọa nguyên ) cho AB = A (α ) :10 x − y + z + = B (α ) : x − y + z + = C (α ) : x − y + z + = D (α ) : x − y + z + = Hướng dẫn giải Do mặt phẳng (α ) vuông góc với d1 ⇒ x − y + z + m = Mặt phẳng (α ) cắt Oz A ( 0;0; −m ) , cắt d B ( m + 1, 2m, m − 1)  ⇔ 9m − 2m − = 0⇔m= 1, m = − ⇒ AB =( m + 1, 2m, 2m − 1) ⇒ 9m − 2m + = Vậy mặt phẳng (α ) : x − y + z + = Câu 65 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz ,cho tứ diện ABCD có điểm A (1;1;1) , B ( 2;0; ) , C ( −1; −1;0 ) , D ( 0;3; ) Trên cạnh AB, AC , AD lấy điểm AB AC AD + + = Viết phương trình mặt phẳng ( B ' C ' D ') biết tứ diện AB ' AC ' AD ' AB ' C ' D ' tích nhỏ ? A 16 x + 40 y − 44 z + 39 = B 16 x + 40 y + 44 z − 39 = 0 B ', C ', D ' thỏa : C 16 x − 40 y − 44 z + 39 = D 16 x − 40 y − 44 z − 39 = Trang 37/40 Hướng dẫn giải: AB AC AD AB AC AD + + ≥ 33 AB ' AC ' AD ' AB ' AC ' AD ' V AB ' AC ' AD ' 27 AB ' AC ' AD ' 27 27 ≥ ⇒ ≥ = ⇒ VAB 'C ' D ' ≥ VABCD ⇒ AB 'C ' D ' VABCD AB AC AD 64 64 AB AC AD 64   AB ' AC ' AD ' 7 7 ⇒ AB ' = AB ⇒ B '  ; ;  Để VAB 'C ' D ' nhỏ = = = AB AC AD 4 4 Áp dụng bất đẳng thức AM − GM ta có : = 7 7 Lúc mặt phẳng ( B ' C ' D ') song song với mặt phẳng ( BCD ) qua B '  ; ;  4 4 ⇒ ( B ' C ' D ') :16 x + 40 y − 44 z + 39 = 0 , (Q ) : x − y + 4z − = Câu 66 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho ( P ) : x + y − z − = Lập phương trình mặt phẳng (α ) chứa giao tuyến ( P ) , ( Q ) cắt trục tọa độ điểm A, B, C cho hình chóp O ABC hình chóp A x + y + z + = B x + y + z − = C x + y − z − = D x + y + z − = Hướng dẫn giải Chọn M ( 6;0;0 ) , N ( 2; 2; ) thuộc giao tuyến ( P ) , ( Q ) Gọi A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) giao điểm (α ) với trục Ox, Oy, Oz x y z + = + ( a , b, c ≠ ) a b c  =1  a (α ) chứa M , N ⇒  2 + + =  a b c ⇒ (α ) : Hình chóp O ABC hình chóp ⇒ OA = OB = OC ⇒ a = b = c Vây phương trình x + y + z − = Trang 38/40