Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm điểm đặc biệt của đồ thị hàm số

CHỦ ĐỀ ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN I Bài tốn tìm điểm cố định họ đường cong Xét họ đường cong (Cm ) có phương trình y = f ( x, m) , f hàm đa thức theo biến x với m tham số cho bậc m khơng q Hãy tìm điểm cố định thuộc họ đường cong m thay đổi?  Phương pháp giải: o Bước 1: Đưa phương trình y = f ( x, m) dạng phương trình theo ẩn m có dạng sau: Am + B = Am + Bm + C = o Bước 2: Cho hệ số , ta thu hệ phương trình giải hệ phương trình: A = A =   B =  B = C =  o Bước 3: Kết luận  Nếu hệ vơ nghiệm họ đường cong (Cm ) khơng có điểm cố định  Nếu hệ có nghiệm nghiệm điểm cố định (Cm ) II Bài tốn tìm điểm có tọa độ ngun: Cho đường cong (C ) có phương trình y = f ( x) (hàm phân thức) Hãy tìm điểm có tọa độ nguyên đường cong? Những điểm có tọa độ nguyên điểm cho hoành độ tung độ điểm số nguyên  Phương pháp giải: o Bước 1: Thực phép chia đa thức chia tử số cho mẫu số o Bước 2: Lí luận để giải tốn III Bài tốn tìm điểm có tính chất đối xứng: Cho đường cong (C ) có phương trình y = f ( x) Tìm điểm đối xứng qua điểm, qua đường thẳng Bài toán 1: Cho đồ thị ( C ) : y = Ax3 + Bx + Cx + D đồ thị ( C ) tìm cặp điểm đối xứng qua điểm I ( xI , yI )  Phương pháp giải:  Gọi M ( a; Aa + Ba + Ca + D ) , N ( b; Ab3 + Bb + Cb + D ) hai điểm ( C ) đối xứng qua điểm I xI a + b =  Ta có  3 2 yI  A(a + b ) + B ( a + b ) + C ( a + b ) + D = Giải hệ phương trình tìm a, b từ tìm toạ độ M, N Trường hợp đặc biệt : Cho đồ thị ( C ) : y = Ax + Bx + Cx + D Trên đồ thị ( C ) tìm cặp điểm đối xứng qua gốc tọa độ  Phương pháp giải:  Gọi M ( a, Aa + Ba + Ca + D ) , N ( b, Ab3 + Bb + Cb + D ) hai điểm ( C ) đối xứng qua gốc tọa độ a + b =  Ta có  3 2  A(a + b ) + B ( a + b ) + C ( a + b ) + D =  Giải hệ phương trình tìm a, b từ tìm toạ độ M , N Trang 1/25 Bài toán 3: Cho đồ thị ( C ) : y = Ax3 + Bx + Cx + D đồ thị ( C ) tìm cặp điểm đối xứng qua đường thẳng d := y A1 x + B1  Phương pháp giải:  Gọi M ( a; Aa + Ba + Ca + D ) , N ( b; Ab3 + Bb + Cb + D ) hai điểm ( C ) đối xứng qua đường thẳng d  (1)  I ∈ d  Ta có:    (với I trung điểm MN u d vectơ phương  MN u d = (2) đường thẳng d )  Giải hệ phương trình tìm M, N IV Bài tốn tìm điểm đặc biệt khác: Lí thuyết: Loại Cho hai điểm P ( x1 ; y1 ) ; Q ( x2 ; y2 ) ⇒ PQ = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) 2 Cho điểm M ( x0 ; y0 ) đường thẳng d : Ax + By + C = , khoảng cách từ M đến d h ( M ; d ) = Ax0 + By0 + C A2 + B Loại Khoảng cách từ M ( x0 ; y0 ) đến tiệm cận đứng x = a = h x0 − a Loại Khoảng cách từ M ( x0 ; y0 ) đến tiệm cận ngang y = b = h y0 − b Chú ý: Những điểm cần tìm thường hai điểm cực đại, cực tiểu giao đường thẳng với đường cong (C ) Vì trước áp dụng cơng thức, ta cần phải tìm tìm điều kiện tồn tìm tọa độ chúng Các tốn thường gặp: ax + b ( c ≠ 0, ad − bc ≠ ) có đồ thị ( C ) Hãy tìm (C ) hai cx + d điểm A B thuộc hai nhánh đồ thị hàm số cho khoảng cách AB ngắn  Phương pháp giải: d  ( C ) có tiệm cận đứng x = − tính chất hàm phân thức, đồ thị nằm hai phía c tiệm cận đứng Nên gọi hai số α , β hai số dương Bài toán 1: Cho hàm số y = d d d ⇒ xA = − − α < − ; y A = f ( xA ) c c c d d d  Nếu B thuộc nhánh phải xB > − ⇒ xB = − + β > − ; yB = f ( xB ) c c c  Nếu A thuộc nhánh trái x A < −  Sau tính AB = ( xB − x A ) + ( yB − y A ) = ( a + β ) − ( a − α )  + ( yB − y A )  Áp dụng bất đẳng thức Cơsi (Cauchy), ta tìm kết Bài toán 2: Cho đồ thị hàm số ( C ) có phương trình y = f ( x) Tìm tọa độ điểm M thuộc 2 (C ) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ  Phương pháp giải:  Gọi M ( x; y ) tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ d d= x + y  Xét khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ M nằm vị trí đặc biệt: Trên trục hồnh, trục tung  Sau xét tổng qt, điểm M có hồnh độ, tung độ lớn hoành độ tung độ M nằm hai trục loại khơng xét đến Trang 2/25  Những điểm cịn lại ta đưa tìm giá trị nhỏ đồ thi hàm số dựa vào đạo hàm tìm giá trị nhỏ d Bài toán 3: Cho đồ thị (C ) có phương trình y = f ( x) Tìm điểm M (C ) cho khoảng cách từ M đến Ox k lần khoảng cách từ M đến trục Oy  Phương pháp giải:  f ( x ) = kx  y = kx  Theo đầu ta có y =⇔ k x  y = −kx ⇔    f ( x ) = −kx ax + b ( c ≠ 0, ad − bc ≠ ) cx + d Tìm tọa độ điểm M (C ) cho độ dài MI ngắn (với I giao điểm hai tiệm cận)  Phương pháp giải: −d a  Tiệm cận đứng x = ; tiệm cận ngang y = c c  −d a   Ta tìm tọa độ giao điểm I  ;  hai tiệm cận  c c Bài tốn 4: Cho đồ thị hàm số (C ) có phương trình y= f ( x)=  Gọi M ( xM ; yM ) điểm cần tìm Khi đó: 2 d  a  IM =  xM +  +  yM −  = g ( xM ) c  c   Sử dụng phương pháp tìm GTLN - GTNN cho hàm số g để thu kết Bài toán 5: Cho đồ thị hàm số (C ) có phương trình y = f ( x) đường thẳng d : Ax + By + C = Tìm điểm I (C ) cho khoảng cách từ I đến d ngắn  Phương pháp giải  Gọi I thuộc (C ) ⇒ I ( x0 ; y0 ) ; y0 = f ( x0 )  Khoảng cách từ I đến d = g ( x0 ) h= ( I;d ) Ax0 + By0 + C A2 + B  Khảo sát hàm số y = g ( x) để tìm điểm I thỏa mãn yêu cầu B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Đồ thị hàm số y = (m − 1) x + − m ( m tham số) ln qua điểm M cố định có tọa độ A M (0;3) Câu B M (1; 2) C M (−1; −2) D M (0;1) Đồ thị hàm số y = x + 2mx − m + ( m tham số) qua điểm M cố định có tọa độ 1 5 1 3 B M  ;  C M  ;  D M (−1;0) 2 4 2 2 Đồ thị hàm số y = x3 − x + mx + m ( m tham số) qua điểm M cố định có A M ( 0;1) Câu tọa độ A M ( −1; ) Câu B M ( −1; −4 ) D M (1; −4 ) Biết đồ thị ( Cm ) hàm số y = x − 2mx + qua điểm M cố định m thay đổi, tọa độ điểm M A M ( −1;1) B M (1; ) Câu C M (1; −2 ) C M ( 0; −2 ) D M ( 0;3) (m + 1) x + m ( m ≠ ) qua điểm M cố định m x+m thay đổi Tọa độ điểm M Biết đồ thị ( Cm )= hàm số y Trang 3/25 Câu 1  A M  −1; −  B M ( 0;1) C M ( −1;1) D M ( 0; −1) 2  Hỏi m thay đổi đồ thị (Cm ) hàm số y = x − 3mx − x + 3m qua điểm cố định ? A Câu Câu B D 2x −1 Tọa độ điểm M thuộc đồ thị ( C ) hàm số y = cho khoảng cách từ điểm M đến x −1 tiệm cận đứng A M ( 0;1) , M ( 2;3) B M ( 2;1) 3  5  C M  −1;  D M  3;  2  2  Hỏi m thay đổi đồ thị (Cm ) hàm số y = (1 − 2m) x + 3mx − m − qua điểm cố định ? A Câu C B C D Tọa độ điểm thuộc đồ thị ( C ) hàm số y = đường tiệm cận ( C ) A ( 4;3) , ( −2;1) C ( 2;5 ) , ( 0; −1) , ( 4;3) , ( −2;1) 2x +1 mà có tổng khoảng cách đến hai x −1 B ( 2;5 ) , ( 0; −1) D ( 2;5 ) , ( 4;3) x + (1 − m) x + + m (m ≠ −2) luôn qua điểm −x + m cố định m thay đổi, xM + yM Câu 10 Biết đồ thị= (Cm ) hàm số y M ( xM ; yM ) B −3 C D −2 A −1 Câu 11 Cho hàm số y =− x + mx − x − 4m có đồ thị (Cm ) A điểm cố định có hoành độ âm (Cm ) Giá trị m để tiếp tuyến A (Cm ) vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ A m = −3 B m = −6 C m = D m = − 2 có điểm có tọa độ nguyên ? x+2 A B C D Câu 13 Trên đồ thị ( C ) hàm số y = x − x + x + có cặp điểm đối xứng qua Câu 12 Trên đồ thị (C ) hàm số y = gốc tọa độ ? A C D 3 Câu 14 Trên đồ thị (C ) hàm số y = có điểm có tọa độ số nguyên dương ? 2x −1 A B C D Câu 15 Trên đồ thị (C ) hàm số y = có điểm có tọa độ nguyên ? 3x − A B C D x Câu 16 Gọi x1 , x2 hoành độ điểm uốn đồ thị hàm số y = − x − , x1 x2 có giá trị A B B C D −2 Trang 4/25 số điểm có tọa độ nguyên 4x −1 B C D A x + 10 Trên đồ thị (C ) hàm số y = có điểm có tọa độ nguyên ? x +1 A B C 10 D x+2 Trên đồ thị (C ) hàm số y = có điểm có tọa độ nguyên ? 2x −1 A B C D 5x − Trên đồ thị (C ) hàm số y = có điểm có tọa độ nguyên ? 3x + B C D A x + 11 Trên đồ thị (C ) hàm số y = có điểm có tọa độ nguyên ? 4x + A B C D x+2 Tọa độ điểm M có hồnh độ dương thuộc đồ thị hàm số y = cho tổng khoảng cách x−2 từ M đến tiệm cận đồ thị hàm số đạt giá trị nhỏ A M (4;3) B M (3;5) C M (1; −3) D M (0; −1) Số cặp điểm thuộc đồ thị ( C ) hàm số y =x + x − đối xứng với qua điểm Câu 17 Trên đồ thị (C ) hàm số y = Câu 18 Câu 19 Câu 20 Câu 21 Câu 22 Câu 23 I ( 2;18 ) A B C D Câu 24 Trong tất điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị (C ) hàm số y = 3x + , số điểm có x −1 hồnh độ lớn tung độ A B C D x+2 Câu 25 Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận ( C ) Biết tọa x −1 độ điểm M ( xM ; yM ) có hồnh độ dương thuộc đồ thị ( C ) cho MI ngắn Khi giá trị xM − yM A B C D −2 Câu 26 Cặp điểm thuộc đồ thị (C ) hàm số y = x + x − đối xứng qua điểm I (2;18) A (1; 2) (3;34) B (3; 2) (1;34) C (0; −2) (4;74) D (1; 2) (−1; −6) Câu 27 Cặp điểm thuộc đồ thị (C ) hàm số y = x − x + x + đối xứng qua gốc tọa độ O A (3; 22) (−3; −22) C (1;10) (−1; −10) B (2;14) (−2; −14) D (0; 4) (4; 40) Câu 28 Cặp điểm thuộc đồ thị (C ) hàm số = y x + x đối xứng qua đường thẳng d : y = − x A (1; ) ( −2; −10 ) B ( 2; −1) ( −2;1) C (1; −2 ) ( −1; ) D (1; ) ( −1; −2 ) Trang 5/25 Câu 29 Tọa độ điểm M thuộc đồ thị ( C ) hàm số y = ngang ( C ) A M ( 3; ) x +1 mà có khoảng cách đến tiệm cận x−2 B M ( 5; ) 1  5  D M  4;  , M  0; −  2  2  Câu 30 Các giá trị thực tham số m để đồ thị (Cm ) hàm số y =x − x + m có hai điểm phân C M ( 5; ) , M ( −1;0 ) biệt đối xứng qua gốc tọa độ A −1 < m < B m ≠ C m > −3 D m > x −3 có đồ thị ( C ) Gọi d khoảng cách từ điểm M ( C ) đến giao x +1 điểm hai tiệm cận Giá trị nhỏ có d Câu 31 Cho hàm số y = A B C D 2 x +1 có đồ thị ( C ) I giao điểm hai đường tiệm cận ( C ) Tiếp x −1 tuyến điểm M ( C ) cắt hai tiệm cận ( C ) A B Diện tích tam Câu 32 Cho hàm số y = giác ABI A C D x−7 Câu 33 Cho điểm M thuộc đồ thị ( C ) hàm số y = , biết M có hồng độ a khoảng cách x +1 từ M đến trục Ox ba lần khoảng cách từ M đến trục Oy Giá trị có a A a = a = B D a = a = − B a = −1 x = C a = −1 a = − 2x − Câu 34 Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) Gọi M điểm thuộc đồ thị ( C ) d tổng x−2 khoảng cách từ M đến hai tiệm cận ( C ) Giá trị nhỏ d đạt A B 10 C D 11 Câu 35 Cặp điểm thuộc đồ thị (C ) hàm số y = mà chúng đối xứng qua − x + x + 3x − 3 trục tung 16  16    16    16  A  3; −   −3; −  B  3;   −3;  3 3 3     3 11  11  11    11    C  2;   −2;  D  2; −   −2; −  3 3 3   3   x + x + 15 Câu 36 Có điểm M thuộc đồ thị ( C ) hàm số y = cách hai trục tọa độ x+3 ? A B Có vơ số điểm M thỏa yêu cầu C D Không có điểm M thỏa yêu cầu Câu 37 Có điểm thuộc đồ thị (C ) hàm số y = có tọa độ nguyên ? x + 2x + A B C D Trang 6/25 Câu 38 Biết đồ thị (Cm ) hàm số y =x3 − 3(m − 1) x − 3mx + luôn qua hai điểm cố định P ( xP ; yP ) Q ( xQ ; yQ ) m thay đổi, giá trị yP + yQ A −1 C D 2x −1 Câu 39 Tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C ) hàm số y = cho khoảng cách từ điểm I (−1; 2) x +1 đến tiếp tuyến ( C ) M lớn nhất.là ( B M ( −1 + C M ( −1 + D M ( −1 − B ) ( ) , M ( −1 + ) , M ( −1 − ) , M ( −1 − ) 3;2 + 3) 3;2 + 3) ; −2 − ) A M −1 + ; + , M −1 − ; + 3;2 − 3;2 − 3;2 − 2 Câu 40 Tập hợp tất giá trị thực m để đồ thị (Cm ) hàm số y = điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ x − 4mx + 5m có hai x−2 { }   B  − ;0  \ −   13 1 4 4  D ( −∞;0 ) ∪  ;  ∪  ; +∞  2 3 3  A ( 0; +∞ ) C [1; +∞ ) 2x − có đồ thị ( C ) Biết tiếp tuyến điểm M ( C ) x−2 cắt hai tiệm cận ( C ) A B Độ dài ngắn đoạn thẳng AB Câu 41 Cho hàm số y = A B C Câu 42 Tọa độ điểm M thuộc đồ thị ( C ) hàm số y = A ( 2, ) B ( 0, )  1+ 1+  A  ,  2   x+2 cho M cách hai điểm 2x −1  1− 1−  B  ,  2   1− 1−  1+ 1+  ;  C  , , 2   2   D 2    D Không tồn điểm M Câu 43 Khoảng cách ngắn từ điểm M thuộc đồ thị ( C ) hàm số y = A B 2 C B C 2+2 D x2 + 2x − đến I (1, ) x −1 2 −2 2x +1 có đồ thị ( C ) Tổng khoảng cách từ điểm M thuộc ( C ) đến hai x +1 tiệm cận ( C ) đạt giá trị nhỏ ? Câu 44 Cho hàm số y = A D Câu 45 Gọi A, B hai điểm thuộc hai nhánh khác đồ thị ( C ) hàm số y = ngắn đoạn thẳng AB A B C x+3 , độ dài x −3 D Trang 7/25 Câu 46 Biết đồ thị (Cm ) hàm số y = x + mx − m + 2016 luôn qua hai điểm M N cố định m thay đổi Tọa độ trung điểm I đoạn thẳng MN A I (−1;0) B I (1; 2016) C I (0;1) D I (0; 2017) x+2 Câu 47 Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) Tổng khoảng cách từ điểm M thuộc ( C ) đến hai x −3 hai trục tọa độ đạt giá trị nhỏ ? A B C D x + 3x + Câu 48 Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) Tổng khoảng cách từ điểm M thuộc ( C ) đến x+2 hai hai trục tọa độ đạt giá trị nhỏ ? A B C D 2 x+4 Câu 49 Tọa độ cặp điểm thuộc đồ thị (C ) hàm số y = đối xứng qua đường thẳng x−2 d : x − 2y − = A ( 4; ) ( −1; −1) B (1; −5 ) ( −1; −1) C ( 0; −2 ) ( 3;7 ) D (1; −5 ) ( 5;3) Câu 50 Cho hàm số y = x + mx − m − có đồ thị ( Cm ) Tọa độ điểm cố định ( Cm ) A ( −1;0 ) , (1;0 ) B (1;0 ) , ( 0;1) C ( −2;1) , ( −2;3) D ( 2;1) , ( 0;1) x2 − 5x + có đồ thị (C ) Hỏi (C ) có điểm có hồnh độ 2x + tung độ số tự nhiên A B C D − x + 2mx − 2m + có đồ thị (Cm ) Gọi A điểm cố định có hồnh độ Câu 52 Cho hàm số y = Câu 51 Cho hàm số y = dương (Cm ) Khi tiếp tuyến A (Cm ) song song với đường thẳng d : y = 16 x giá trị m 63 64 x2 + 4x + Câu 53 Khoảng cách nhỏ từ điểm thuộc đồ thị ( C ) hàm số y = đến đường x+2 thẳng d : y + x + = A m = B m = C m = D m = A B C 10 D 10 x +1 có đồ thị ( C ) Tổng khoảng cách từ điểm M thuộc ( C ) đến hai x −1 tiệm cận ( C ) đạt giá trị nhỏ Câu 54 Cho hàm số y = A B C 2 D x+2 Câu 55 Tọa độ điểm M thuộc đồ thị ( C ) hàm số y = cách hai đường tiệm cận ( C ) x−2 A M ( 2;1) B M ( 0; −1) , M ( 4;3) 1  7  C M  5;  , M  −3;  5  3  D M ( −2; ) Trang 8/25 A M ( −1; −1) , M ( 3;3) x+3 cách hai trục tọa độ x −1 B M ( −1;3) C M ( −1; −1) D M ( 3;3) Câu 56 Tọa độ điểm M thuộc đồ thị ( C ) hàm số y = Câu 57 Tọa độ điểm M có hồnh độ ngun thuộc đồ thị ( C ) hàm số y = đến đường thẳng ∆ : x − y + =0 B M ( 2; ) A M ( −2;0 ) D M ( 2; −2 ) C M ( 2; ) ; M ( −2;0 ) Câu 58 Cho hàm số y = x+2 có khoảng cách x −1 ( m + 2) x − ( m − ) x + m + có đồ thị ( Cm ) Khẳng định sau khẳng định đúng? A ( Cm ) không qua điểm cố định B ( Cm ) có hai điểm cố định C ( Cm ) có ba điểm cố định D ( Cm ) có điểm cố định Câu 59 Điều kiện tham số m để đồ thị ( Cm ) hàm số y = x − ( 3m − 1) x + 2mx + m + có hai điểm phân biệt đối xứng qua trục Oy B m < C m = −2 D m ≤ −2 A m ≤ Câu 60 Đồ thị hàm số y = x + mx − 12 x − 13 có hai điểm cực trị cách trục tung khi: A m = −1 B m = C m = −1; m = −2 D m = −2 x +1 có điểm cách hai trục tọa độ? x+2 A B C D 3x − Câu 62 Tọa độ điểm thuộc đồ thị ( C ) hàm số y = cách hai tiệm cận ( C ) x−2 A M ( −1;1) ; N ( −4; −6 ) B M (1;1) ; N ( 3; ) Câu 61 Hỏi đồ thị ( C ) hàm số y = C M ( −1;3) ; N ( −3;3) D M ( −1;3) ; N ( −3;3) − x3 + x + cho hai điểm đối xứng Câu 63 Tọa độ hai điểm đồ thị ( C ) hàm số y = qua điểm M ( –1; 3) A ( −1;0 ) ; (1;6 ) B (1;0 ) ; (1;6 ) C ( 0; ) ; ( −2; ) D (1;0 ) ; ( −1;6 ) 3− x có điểm có tọa độ nguyên ? x −1 A B C D x +1 Câu 65 Tọa độ tất điểm thuộc đồ thị ( C ) hàm số y = cho tổng khoảng cách từ x−2 điểm đến tiệm cận nhỏ Câu 64 Trên đồ thị ( C ) hàm số y = A (1;1) ( ( D ( + ) B + 3;1 + ) C − 3;1 − Câu 66 Đồ thị hàm số y = ) ( ) 3;1 + − 3;1 − −3 x + nhận điểm điểm sau làm tâm đối xứng ? x +1 Trang 9/25 A K ( −1; −3) B N ( 3; − 1) C M ( −1; 3) Câu 67 Tọa độ điểm thuộc đồ thị ( C ) hàm số y = D I ( −3; −1) 2x +1 cách tiệm cận đứng trục hoành x −1 A M ( 2;1) , M ( 4;3) B M ( 0; −1) , M ( 4;3) C M ( 0; −1) , M ( 3; ) D M ( 2;1) , M ( 3; ) x+2 cho khoảng cách từ điểm x−2 M đến tiệm cận ngang lần khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng? A B C D Câu 68 Có điểm M thuộc đồ thị ( C ) hàm số y = C ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I – ĐÁP ÁN 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B C B D B C A B C C A A A D C D D D A B 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 D A B A A A C D C D D A D C B C C B C D 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 D C C B A D B D B A B A D C B A C C B B 61 62 63 64 65 66 67 68 C B C D D D B A II –HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Chọn B Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm cố định cần tìm Ta có y0 = (m − 1) x0 + − m, ∀m =  x0 − =  x0 ⇔ ( x0 − 1)m − x0 − y0 + = 0, ∀m ⇔  ⇔ ⇒ M (1; 2) y0 + = − x0 − =  y0 Phương pháp trắc nghiệm Trang 10/25 Câu Chúng ta đáp án để kiểm tra, tức tọa độ điểm M vào phương trình hàm số ln với m điểm điểm cố định Chọn C Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm cố định cần tìm Ta có y0 = x02 + 2mx0 − m + Câu  = x  2 x0 − =0 ⇒ M 1;5 ⇔ ⇔ ( x0 − 1) m + x02 + − y0 = 0, ∀m ⇔    2 4  x0 + − y0 =0 y =  Phương pháp trắc nghiệm Chúng ta đáp án để kiểm tra, tức tọa độ điểm M vào phương trình hàm số ln với m điểm điểm cố định Chọn B Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm cố định cần tìm Ta có y0 = x03 − x02 + mx0 + m, ∀m  x0 = −1  x0 + = ⇔ ( x0 + 1)m + x03 − x02 − y0 = 0, ∀m ⇔  ⇔ ⇒ M (−1; −4)  y0 = −4  x0 − x0 − y0 = Câu Câu Câu Phương pháp trắc nghiệm Chúng ta đáp án để kiểm tra, tức tọa độ điểm M vào phương trình hàm số ln với m điểm điểm cố định Chọn D Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm cố định cần tìm Ta có 2 x02 0= =  x0 2 ⇔ ⇒ M (0;3) P y0 = x0 − 2mx0 + 3, ∀m ⇔ x0 m + y0 − − x0 = 0, ∀m ⇔    y0 − − x0 =  y0 = hương pháp trắc nghiệm Chúng ta đáp án để kiểm tra, tức tọa độ điểm M vào phương trình hàm số ln với m điểm điểm cố định Chọn B Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm cố định cần tìm (m + 1) x0 + m Ta có y0= , ∀m ≠ ⇔ x0 y0 + my0= mx0 + x0 + m, ∀m ≠ x0 + m  y0 − x0 − =0  x0 = ⇒ M (0;1) ⇔ m( y0 − x0 − 1) + x0 y0 − x0 = 0, ∀m ≠ ⇔  ⇔  x0 y0 − x0 =  y0 = Phương pháp trắc nghiệm Chúng ta đáp án để kiểm tra, tức tọa độ điểm M vào phương trình hàm số ln với m điểm điểm cố định Chọn C Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm cố định cần tìm Ta có: y0 = x03 − 3mx02 − x0 + 3m, ∀m 1 − x02 = =  x0  x0 = −1  ⇔ 3(1 − x )m + x − x0 − y0 = 0, ∀m ⇔  ⇔  x0 − x0 − y0 =  y0 =  y0 = Vậy đồ thị hàm số cho qua hai điểm cố định Chọn A  2a −  Gọi M  a;  ∈ ( C ) với a ≠  a −1  Câu Trang 11/25 Tiệm cận đứng ( C ) x = Câu a = Ta có a − =1 ⇔  Vậy M ( 0;1) , M ( 2;3) a = Chọn B Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm cố định cần tìm Ta có y0 = (1 − 2m) x04 + 3mx02 − m − 1, ∀m 2 x0 − x0 + = ⇔ (2 x − x + 1)m + y0 − x + = 0, ∀m ⇔   y0 − x0 + = Câu 1   x0 = − x0 =    x0 = −1  x0 =     ⇔   y0 =  y0 = y = − y = −   4 Vậy đồ thị hàm số cho qua bốn điểm cố định Chọn C  2a +  Gọi M  a;  ∈ ( C ) với a ≠  a −1  Tiệm cận đừng tiệm cận ngang ( C ) có phương trình= x 1,= y Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng h1= a − 2a + −= a −1 a −1 Tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận nên ta có: Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang = h2 a =  a = −2  a −1 = 3 = ⇔ a −1 − a −1 + = ⇔  ⇔ h1 + h2 = ⇔ a − + a = a −1 − = a 1   a = Vậy điểm cần tìm là: ( 2;5 ) , ( 0; −1) , ( 4;3) , ( −2;1) Câu 10 Chọn C Gọi M ( xM ; yM ) điểm cố định cần tìm Ta có yM = xM2 + (1 − m) xM + + m , ∀m ≠ −2 − xM + m ⇔ − xM yM + my= xM2 + xM − mxM + + m , ∀m ≠ −2 M ⇔ ( xM + yM − 1)m − xM yM − xM2 − xM − 1= 0, ∀m ≠ −2  xM + yM − =  yM = − xM ⇔ ⇔ 2 −1 −1 − xM yM − xM − xM = − xM (1 − xM ) − xM − xM =  x = −1 ⇔ M ⇒ M (−1; 2)  yM = Vậy xM + yM = Câu 11 Chọn A Gọi A( x0 ; y0 ) , x0 < điểm cố định cần tìm Ta có y0 = − x03 + mx02 − x0 − 4m, ∀m  x0 =−2  x0 − =0 ⇔ ( x − 4)m − x − x0 − y0 = 0, ∀m ⇔  ⇒ ⇒ A(−2;10)  y0 = 10 − x0 − x0 − y0 = Trang 12/25 Lại có y′ =−3 x + 2mx − ⇒ y′(−2) =−4m − 13 Phương trình tiếp tuyến (Cm ) A(−2;10) có dạng y =− ( 4m − 13)( x + 2) + 10 hay y= (−4m − 13) x − 8m − 16 (∆) Đường phân giác góc phần tư thứ có phương trình d : y = x Vì ∆ vng góc với d nên ta có −4m − 13 =−1 ⇔ m =−3 Câu 12 Chọn A Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0 ∈  \ {−2} , y0 ∈   x0 ∈  \ {−2}  ⇒ ⇒ x0 + ∈ {−2; −1;1; 2} ⇒ x0 ∈ {−4; −3; −1;0} ∈  x +2  Vậy đồ thị (C ) có bốn điểm có tọa độ nguyên Câu 13 Chọn A Gọi A ( a ; a − 5a + 6a + 3) , B ( b ; b3 − 5b + 6b + 3) hai điểm ( C ) đối xứng qua gốc a + b = tọa độ, ta có  3 ⇒ −10a + = ⇒ a = ± 2 a + b − ( a + b ) + ( a + b ) + = Câu 14 Chọn D Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0 ∈ * , y0 ∈ *  x0 ∈  *  ⇒ ⇒ x0 − ∈ {1;3} ⇒ x0 ∈ {1; 2}  2x −1 ∈  *  ⇒ M (−1; −1), M (0; −3), M (1;3) M (2;1) Vậy đồ thị (C ) có hai điểm có tọa độ số nguyên dương Câu 15 Chọn C Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0 ∈ , y0 ∈   x0 ∈     ⇒ ⇒ x0 − ∈ {−4; −2; −1;1; 2; 4} ⇒ x0 ∈ − ;0; ;1; ;   3   3x − ∈   Do x0 ∈  ⇒ M (0; −2), M (1; 4) M (2;1) Vậy đồ thị (C ) có ba điểm có tọa độ số nguyên Câu 16 Chọn D −2 −2 Ta có y′ = x3 − x, y′′ = x − ⇒ x1.x2 = Vậy x1.x2 = 3 Câu 17 Chọn D Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0 ∈ , y0 ∈   x0 ∈    1 7 ⇒ ⇒ x0 − ∈ {−6; −3; −2; −1;1; 2;3;6} ⇒ x0 ∈ − ; − ; − ;0; ; ;1;   4 4  4x −1 ∈   Do x0 ∈  ⇒ M (0; −6) M (1; 2) Vậy đồ thị (C ) có hai điểm có tọa độ số nguyên Câu 18 Chọn D Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0 ∈ , y0 ∈  Trang 13/25  x0 ∈   ⇒ ⇒ x0 + ∈ {−9; −3; −1;1;3;9} ⇒ x0 ∈ {−10; −4; −2;0; 2;8} ∈ 1+  y0 = x0 +  ⇒ M (−10;0), M (−4; −2), M (−2; −8), M (0;10), M (2; 4) M (8; 2) Vậy đồ thị (C ) có sáu điểm có tọa độ số nguyên Câu 19 Chọn A Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0 ∈ , y0 ∈   x0 ∈   ⇒ ⇒ x0 − ∈ {−5; −1;1;5} ⇒ x0 ∈ {−2;0;1;3} 1  1 + ∈  y0 =  x0 −    x0 =⇒  x0 =−2 ⇒ y0 =0 ⇒ M (−2;0) y0 =3 ⇒ M (1;3)  x0 =0 ⇒ y0 =−2 ⇒ M (0; −2)  x0 =3 ⇒ y0 =⇒ M (3;1) Vậy đồ thị (C ) có bốn điểm có tọa độ số nguyên Câu 20 Chọn B Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0 ∈ , y0 ∈   x0 ∈  10    ⇒ ⇒ x0 + ∈ {−11; −1;1;11} ⇒ x0 ∈ −4; − ;0;  1 11  3  5 − ∈  y0 = 3 x0 +    x0 =−4 ⇒ y0 =2 ⇒ M (−4; 2)  x0 =0 ⇒ y0 =−2 ⇒ M (0; −2) Vậy đồ thị (C ) có hai điểm có tọa độ số nguyên Câu 21 Chọn D Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0 ∈ , y0 ∈   x0 ∈    5 ⇒ ⇒ x0 + ∈ {−7; −1;1;7} ⇒ x0 ∈ − ; − ; − ;  ∈ 2+  4 4  y0 = x0 +  Do x0 ∈  nên đồ thị (C ) khơng có điểm có tọa độ nguyên Câu 22 Chọn A a+2  a+2 Gọi M  a; −1 = a − + ≥4  ∈ ( C ) ; a > a ≠ , ta có d = a − + a−2 a−2  a−2 a = Dấu " = " xảy a − = ⇔ a − = ⇔  a = Kết luận M (4;3) Câu 23 Chọn B Gọi M ( x; y ) điểm đồ thị ( C ) , gọi N điểm đối xứng với M qua I, ta có N ( − x;36 − y ) Vì N thuộc ( C ) , ta có 36 − y = ( − x )3 + ( − x )2 − ⇒ x3 + x − =− ( − x ) − ( − x ) + 38 ⇔ x =2   y =x + x − Vậy có tất cặp điểm thuộc đồ thị ( C ) thỏa mãn yêu cầu đề Câu 24 Chọn A Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0 ∈ , y0 ∈  Trang 14/25  x0 ∈   ⇒ ⇒ x0 − ∈ {−8; −4; −2; −1;1; 2; 4;8} ⇒ x0 ∈ {−7; −3; −1;0; 2;3;5;9} 3+ ∈  y0 = x0 −  ⇒ M (−7; 2), M (−3;1), M (−1; −1), M (0; −5), M (2;11), M (3;7), M (5;5) M (9; 4) Vậy có điểm thỏa mãn yêu cầu đề Câu 25 Chọn A  a+2 Gọi M  a;  ∈ ( C ) với a > 0, a ≠ ; tọa độ giao điểm tiệm cận I (1;1) , ta có  a −1  a+2  MI = ( a − 1) +  − 1 = ( a − 1) + ≥  a −1  ( a − 1) 2 = a +1 Dấu " = " xảy ( a − 1) =9 ⇔  Vì M có hồnh độ dương nên − +1  a = chọn = a + , suy M ( + 1; + 1) nên xM − yM = Câu 26 Chọn A Gọi A( x A ; x3A + x A − 2), B( xB ; xB3 + xB − 2) hai điểm (C ) đối xứng qua I (2;18) (1) xI  x A + xB = x + x = Ta có:  A B ⇔ 3 yI 36 (2)  y A + yB =  x A + x A − + xB + xB − = xB =3  x =⇒ Thay (1) vào (2) ta x3A + x A − + (4 − x A )3 + 3(4 − x A ) − = 36 ⇔  A  x A =3 ⇒ xB =1 Vậy cặp điểm cần tìm A(1; 2) , B (3;34) Câu 27 Chọn C Gọi A( x A ; x3A − x A2 + x A + 4), B( xB ; xB3 − xB2 + xB + 4) hai điểm (C ) đối xứng qua gốc tọa độ (1) xO  x A + xB =  x A + xB = Ta có  ⇔ 3 2 yO (2)  y A + yB =  x A − x A + x A + + xB − xB + xB + = Thay (1) vào (2) ta  x A =−1 ⇒ xB =1 x3A − x A2 + x A + + (− x A )3 − 4(− x A ) + 9(− x A ) + = ⇔  ⇒ xA = −1  xA = Vậy cặp điểm cần tìm A(1;10) , B(−1; −10) Câu 28 Chọn D Gọi A ( a; a + a ) , B ( b; b3 + b ) hai điểm (C ) đối xứng qua đường thẳng d : y = − x hay d : x + y =  (1)  I ∈ d Ta có:    (với I trung điểm AB u d (2; −1) vecto phương d )  AB.u d = (2) Từ (1) ta có a + a + b3 + b a+b = − 2 2 ⇔ (a + b)(2a − 2ab + 2b + 3) = ⇔a= −b (3) 3    (vì 2a − 2ab + 2b + 3=  a − ab + b + =   a − b  + b + > 0, ∀a, b ) 2     2 Với AB = ( b − a;(b − a )(a + ab + b + 2) ) , từ (2) ta có 2 2(b − a ) − (b − a )(a + ab + b + 1) = Trang 15/25 ⇔ (b − a )(a + ab + b − 1) = 2 ⇒ a + ab + b − =0 (4) (Vì a ≠ b ) b =−1  a =⇒ Thay (3) vào (4) ta a − a + a − = ⇔   a =−1 ⇒ b =1 Vậy cặp điểm cần tìm A (1; ) , B ( −1; −2 ) Câu 29 Chọn C Đồ thị hàm số có phương trình tiệm cận ngang y = a = a +1  a +1  Gọi M  a; − =1 ⇔ =1 ⇔   ∈ ( C ) , a ≠ Ta có a−2 a−2  a−2  a = −1 Vậy M ( 5; ) , M ( −1;0 ) Câu 30 Chọn D Đồ thị hàm số (Cm ) có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ tồn cho tồn cho y ( x0 ) = − y (− x0 ) ⇔ x0 ≠ x0 ≠ x03 − x02 + m =− (− x0 )3 − 3(− x0 ) + m  ⇔ tồn x0 ≠ cho x02 = m ⇔ m > Câu 31 Chọn D  a −3 Giao điểm hai tiệm cận I ( −1;1) , gọi M  a;  ∈ ( C ) với a ≠ −1 ta có  a +1  16  a −3  MI = ( a + 1) +  − 1 = ( a + 1) + ≥ ⇒ MI ≥ 2  a +1  ( a + 1) 2 Câu 32 Chọn A Phương pháp tự luận  m +1   m+3 Tiệm cận x = 1, y = ⇒ I (1,1) Gọi M  m, ,  ∈ (C ) , ta tìm tọa độ A 1,  m −1   m −1  B ( 2m − 1,1) 1 m+3 IA = IB − 2m −= 1−1 2 m −1 Phương pháp trắc nghiệm ax + b Cho đồ thị hàm số (C ) : y = Gọi M điểm tùy ý thuộc ( C ) Tiếp tuyến M cắt hai cx + d tiệm cận A, B Gọi I giao điểm hai tiệm cận Khi diện tích tam giác ABI ln số Cách tính nhanh: Chọn M ( 2,3) thuộc ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến M d : y  2 x  Khi Diện tích = S A (1,5 ) , B ( 3,1) IA  4, IB  Tam giác ABI tam giác vuông I Diện tích S ABI  Câu 33 Chọn D Theo giả thiết ta có : IA.IB  x−7 vô n = 3x   = y x = x + x +  x +1 y = 3x ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  x =∨ = − − y x x x =− x + x − =    = −3 x   x + Trang 16/25 Nhắc lại: Điểm M ∈ (C ) : y = f ( x ) cho khoảng cách từ M tới Ox k lần khoảng  f ( x ) = kx cách từ M tới Oy có hồnh độ nghiệm phương trình f ( x= ) kx ⇔   f ( x ) = −kx Cách khác: a = a−7  a−7 = 3a ⇔ Gọi M  a;  với a ≠ −1 Theo đề ta có: a = − a +1  a +1   Câu 34 Chọn C  2a −  Gọi M  a;  ∈ ( C ) với a ≠ , ta có  a−2  2a − d = a−2 + −2 = a−2 + ≥ a−2 a−2 Vậy giá trị nhỏ d Câu 35 Chọn B Phương pháp tự luận 11   11   Gọi A  x A ; − x3A + x A2 + x A −  , B  xB ; − xB3 + xB2 + xB −  hai điểm (C ) đối xứng 3  3  qua trục tung (1)  xB = − x A  x A + xB =  Ta có  ⇔ 11 11 (2) − xB3 + xB2 + xB −  y A = yB − x A + x A + x A − = 3 Thay (1) vào (2) ta được:  x =−3 ⇒ xB =3 11 11 − x 3A + x A2 + x A − = − (− x A )3 + (− x A ) + 3(− x A ) − ⇔  A ⇒ xA = −3 3 3  xA =  16   16  Vậy có hai cặp điểm cần tìm A  3;  , B  −3;  3   3 Phương pháp trắc nghiệm x + x = Kiểm tra điều kiện đối xứng qua trục tung  A B kiểm tra điểm có thuộc đồ thị  y A = yB không Câu 36 Chọn C Gọi M ( xM , yM ) , ( xM ≠ −3) thỏa u cầu tốn Ta có: 15   xM = −  = + + y x  M  M xM + ⇔    y = ±x  y = − 15  M M  M Câu 37 Chọn C Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0 ∈ , y0 ∈   x0 ∈   ⇒ ⇒ x02 + x0 + ∈ {−2; −1;1; 2} ∈   x2 + 2x +   x02 + x0 + =−2 (vô nghiệm)  x02 + x0 + =1 ⇔ x0 =−1 ⇒ y0 =2 ⇒ M (−1; 2)  x02 + x0 + =−1 (vô nghiệm) M (0;1)  x0 =0 ⇒ y0 =⇒  x02 + x0 + = ⇔   x0 =−2 ⇒ y0 =1 ⇒ M (−2;1) Trang 17/25 Vậy có đồ thị (C ) có ba điểm có tọa độ số nguyên Câu 38 Chọn B Gọi ( x0 ; y0 ) điểm cố định cần tìm Ta có y0 = x03 − 3(m − 1) x02 − 3mx0 + 2, ∀m  x0 + x0 = ⇔ 3( x + x0 )m + y0 − x − x − = 0, ∀m ⇔   y0 − x0 − x0 − =  x0 = −1  x0 =  ⇔  y0 =  y0 = Suy P ( −1; ) , Q(0; 2) P ( 0; ) , Q(−1; 4) nên yP + yQ = Câu 39 Chọn C  Gọi M  x0 ;  x0 −   ∈ (C ) với x0 ≠ −1 Tiếp tuyến M có phương trình x0 +  y− x0 − = ( x − x0 ) x0 + ( x0 + 1) hay x − ( x0 + 1) y + x02 − x0 − = Khoảng cách từ I (−1;2) tới tiếp tuyến = d −3 − 2( x0 + 1) + x02 − x0 − = + ( x0 + 1) Theo bất đẳng thức Côsi: ( x0 + = + ( x0 + 1) + ( x0 + 1) 2 ( x0 + 1) + ( x0 + 1) ≥ = , d ≤ Khoảng cách d lớn ( x0 + 1) = ( x0 + 1) ⇔ (x0 + 1) = ⇔ x0 = −1 ± ( x0 + 1) ) ( ) Vậy : M −1 + ; − , M −1 − ; + Câu 40 Chọn D Đồ thị hàm số (Cm ) có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ tồn x0 ≠ x0 ≠ cho y ( x0 ) = − y (− x0 ) ⇔ tồn x0 ≠ x0 ≠ cho x02 − 4mx0 + 5m (− x0 ) − 4m(− x0 ) + 5m = − x0 − (− x0 ) − ⇔ tồn x0 ≠ x0 ≠ cho (1 − 2m) x02 + 5m = m <  5m(1 − 2m) < m >  ⇔ (1 − 2m).4 + 5m ≠ ⇔   (1 − 2m).0 + 5m ≠   m ≠  Câu 41 Chọn D   Lấy điểm M  m; +  ∈ ( C ) với m ≠ Ta có y ' ( m ) = − m−2  ( m − 2) Tiếp tuyến M có phương trình d : y =− ( m − 2) ( x − m) + + m−2   Giao điểm d với tiệm cận đứng A  2; +  m−2  Trang 18/25 Giao điểm d với tiệm cận ngang B ( 2m − 2; )   2 Ta có AB 2= ( m − ) + ≥ , suy AB ≥ 2 Dấu “=” xảy ( m − ) = 1, 2 ( m − )   nghĩa m = m = −1 Câu 42 Chọn C Phương trình đường trung trực đoạn AB y = x Những điểm thuộc đồ thị cách A B có hồnh độ nghiệm phương trình :  1− x=  x+2 = x ⇔ x2 − x −1 = ⇔  2x −1  1+ x =  1− 1−  1+ 1+   ; Hai điểm đồ thị thỏa yêu cầu toán  , ,    2 Câu 43 Chọn C Gọi M ( x; y ) thuộc ( C ) , ta có     2  1  2    −  = ( x − 1) +  x − + IM = ( x − 1; y − ) ⇒ IM = ( x − 1) +  x + +  x −   x − 1     g ( x) Mà g ( x) = ( x − 1) + ( x − 1) + 2 ( x − 1) + = ( x − 1) + 2 ⇒ IM = + 2 Đạt ( x − 1) = ( x − 1) ( x − 1) +2 ≥ 2+2  x= 1−  ⇔ ( x − 1) = ⇒    x = + Câu 44 Chọn B Phương pháp tự luận   Gọi M  xM , −  thuộc (C) Và MH, MK khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng xM +   Do xM + tiệm cận ngang Khi MH = xM + MK = MH + MK= xM + + ≥ ( Cauchy ) xM +  x =−2 ⇒ yM =3 Suy MH + MK bé ( xM + 1) =⇔  M ⇒ yM =  xM = Phương pháp trắc nghiệm ax + b Cho đồ thị hàm số ( C ) : y = Gọi M điểm thuộc đồ thị hàm số, tổng khoảng cx + d cách từ M đến tiệm cận có độ dài nhỏ ad - bc c2 Câu 45 Chọn A Gọi A điểm thuộc thuộc nhánh trái đồ thị hàm số, nghĩa x A < ⇒ với số α > , đặt 6 x A = − α , suy y A = 1+ = 1+ = 1− (1) xA − 3 −α − α Trang 19/25 Tương tự gọi B điểm thuộc nhánh phải, nghĩa xB > ⇒ với số β > , đặt xB = + β , 6 suy yB = 1+ 1+ 1+ = = ( 2) 3+ β −3 xB − β Vậy AB = ( xB − x A ) + ( y B − y A ) g (α ; β ) =(α + β ) 2 Dùng bất đẳng thức Cauchy, ta có     = ( + β ) − ( − α )  + 1 +  − 1 −    β   α   2 6 6 2 2  +  +  =(α + β ) + ( ) (α + β )   α β   αβ   36  = (α + β + 2αβ ) 1 + 2   α β   36  144 ≥ 4.144 = 48 g (α ; β ) ≥ ( 2αβ + 2αβ ) 1 + 2  = 4αβ + αβ  α β  Vậy AB ≥ 48 = Dấu đẳng thức xảy vả α = β α = β   ⇔ ⇒α = β =  (αβ ) = 144αβ = αβ 36   Vậy độ dài AB ngắn Câu 46 Chọn D Gọi ( x0 ; y0 ) điểm cố định cần tìm Ta có y0 = x04 + mx02 − m + 2016, ∀m ⇔ ( x02 − 1)m + x04 − y0 + 2016 = 0, ∀m =  x0  x0 = −1  x0 − = ⇔ ⇔   x0 − y0 + 2016 =  y0 = 2017  y0 = 2017  M (1; 2017)  M (−1; 2017)  ⇒  N (−1; 2017)  N (1; 2017) Tọa độ trung điểm I đoạn thẳng MN I (0; 2017) Câu 47 Chọn B Điểm M nằm trục Ox : M (−2;0) ⇒ d M =−2 + =2 Điểm M nằm trục tung : d M = + − 2 = 3 2 Xét điểm M có hồnh độ thỏa mãn x < ; y < − ⇒ y > (*) 3 2  Trường hợp : ≤ x ≤ Do (*) : d M = x + y > 3 2 5  Trường hợp : − < x < 0; − < y < ⇒ d M = −x −1 − −1 + ; d 'M = 3 x −3 ( x − 3) Xét điểm M có hoành độ x >  x= − Khi lập bảng biến thiên ,ta thấy hàm số nghịch biến với d 'M = ⇔  x = +    x ∈  − ;0  Vậy = d M d= M (0)   Câu 48 Chọn D Trang 20/25  3 Điểm M  0,  nằm trục Oy Khoảng cách từ M đến hai trục d =  2 3 Xét điểm M có hồnh độ lớn ⇒ d = x + y > 2 Xét điểm M có hồnh độ nhỏ : 3 • Với < x < ⇒ y > ⇒ d = x + y > 2 1 • Với − < x < 0; y > ⇒ d =− x + x + + =1 + ; d ' =− ∆ > , tức  (*) ⇔ ⇔ h(2) ≠ −6 ≠  m > + Điều kiện đủ: Gọi I trung điểm AB , ta có: m+3  x A + xB xI =    xI =   m + 3m +  ⇔ ⇒I ;   m+3   =  y I xI + m = y +m  I đối xứng qua Để hai điểm d : x − 2y − = A, B m+3 3m + − − =0 ⇔ m =−3 (thỏa điều kiện (*)) I ∈d ⇔  x =−1 ⇒ y =−1 Với m = −3 phương trình h( x) = ⇔ x − = ⇔  y= −5  x =⇒ Vậy tọa hai điểm cần tìm (1; −5 ) ( −1; −1) Câu 50 Chọn A Gọi ( x, y ) điểm cố định họ đồ thị ( Cm ) : y = x + mx − m − , ta có y = x + mx − m − 1, ∀m ⇔ ( x − 1) m + x − − y = 0, ∀m  x − =0  x =1  x =−1 ⇔ ⇔ ;  y 0= y  x − − y =0 = Vậy họ đồ thị có hai điểm cố định ( −1;0 ) , (1;0 ) Câu 51 Chọn B Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0 ∈ , y0 ∈  Trang 21/25  x0 ∈   ⇒ ⇒ x0 + ∈ {−8; −4; −2; −1;1; 2; 4;8} ⇒ x0 ∈ {−9; −5; −3; −2;0;1;3;7} 1  y0  x0 − + ∈ = 2 x0 +   Do x0 ∈  nên  x0 =0 ⇒ y0 =⇒  x0 = ⇒ y0 = − (loại) M (0;1)  x0 =  x0 =7 ⇒ y0 =⇒ ⇒ y0 = − (loại) M (7;1) Câu 52 Chọn A Gọi A( x0 ; y0 ) , x0 > điểm cố định cần tìm Ta có: y0 =− x04 + 2mx02 − 2m + 1, ∀m  x02 − x0 ( x0 > 0) = = ⇔ 2m( x02 − 1) + − x04 − y0 = 0, ∀m ⇔  ⇒ ⇒ A(1;0)   y0 = 1 − x0 − y0 = Lại có y′ = −4 x3 + 4mx ⇒ y′(1) = 4m − Phương trình tiếp tuyến (Cm ) điểm A(1;0) có dạng y = (4m − 4)( x − 1) hay y= (4m − 4) x + − 4m (∆) m − 16 = 4= m Vì ∆ song song với d nên  ⇔ ⇒m=  − 4m ≠ m ≠ Câu 53 Chọn D   Gọi M  x, x + +  ∈ (C ) x+2  Khoảng cách từ M đến d h ( M;d ) cho h( M= ;d) 3x + y + = 10 1 3x + + x + + = x+2 10 1 ( x + 2) + x+2 10 • Khi x + > : 1 Ta có 4( x + 2) + ≥ dấu xảy 4( x + 2) = ⇔ ( x + 2) = ⇒ x = − x+2 x+2 4 Vậy h ( M;d ) đạt giá trị nhỏ 10 • Khi x + < Ta có −4 ( x + ) − ≥4 ( x + 2) Dấu xảy ⇔ −4 ( x + ) = − Vậy h ( M;d ) đạt giá trị nhỏ 10 1 ⇔ ( x + 2) = ⇒ x = − x+2 Câu 54 Chọn C a +1  a +1  Gọi M  a; −1 = a −1 + ≥2  ∈ ( C ) với a ≠ ta có d = a − + a −1 a −1  a −1  Câu 55 Chọn B  a+2 Gọi M  a;  ∈ ( C ) với a ≠ ta có a −=  a−2 M ( 0; −1) , M ( 4;3) a+2 − ⇔ a −= a−2 a = Vậy ⇔ a−2 a = Câu 56 Chọn A Trang 22/25  a+3 Gọi M  a;  ∈ ( C ) với a ≠ ta có  a −1  M ( −1; −1) , M ( 3;3)  a − 2a − =0  a =−1 a+3 a = ⇔ ⇔ Vậy a −1 a = a + = Câu 57 Chọn C  a+2 Gọi M  a;  ∈ ( C ) với a ≠ ta có  a −1  a− a = + a+2  +1 2 a −a −3  a − 2a − = a −1 a= 1− = ⇔ = ⇔  1⇔  a −1 2 = a a − =   a = −2 Vậy có hai điểm thỏa yêu cầu M ( 2; ) ; M ( −2;0 ) Câu 58 Chọn C Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm cố định họ đồ thị ( Cm ) , ta có y0 = ( m + ) x03 − ( m − ) x0 + m + 7, ∀m ⇔ ( x03 − x0 + 1) m + x03 + x0 + − y0 = 0, ∀m  x03 − x0 + = ⇔ 2 x0 + x0 + − y0 = Vì hệ có nghiệm phân biệt nên họ đồ thị có điểm cố định Câu 59 Chọn B Gọi M ( x, y ) , N ( − x, y ) hai điểm thuộc đồ thị ( Cm ) đối xứng qua trục tung Ta có − x − ( 3m − 1) x − 2mx + m + x − ( 3m − 1) x + 2mx + m + = x = ⇔ x + 4mx =⇔  x m = −  Vậy m < Câu 60 Chọn B m + 72 > ∆ ' > Ta có y ' =6 x + 2mx − 12 Điều kiện  Vậy m = ⇔ ⇔m= S = m = Câu 61 Chọn C  a + a − =0 a +1  a +1  Gọi M  a, với , ta có ∈ C = a ⇔ a ≠ −   ( ) a+2  a+2  a + 3a + = Phương trình có nghiệm nên đồ thị có điểm cách hai trục tọa độ Câu 62 Chọn B a = 3a −  3a −  Gọi M  a, − ⇔ ( a − ) =1 ⇔   ∈ ( C ) với a ≠ ta có a − = a−2  a−2  a = Vậy M (1;1) ; N ( 3; ) Câu 63 Chọn C Gọi A ( a, −a + 3a + ) , B ( b, −b3 + 3b + ) hai điểm ( C ) đối xứng qua M ( –1; 3) , a + b =−2 ta có:  3 −a + 3a + − b + 3b + = a + b =−2 a + b =−2 a =0 a =−2 ⇔ ⇔ ⇔ ∨ 0 −2 b = ab = b = ( a + b ) − 3ab ( a + b ) − ( a + b ) + = Trang 23/25 Câu 64 Chọn D =  x −1 = x  x − =−2  x =−1 − x −x +1+ 2 Ta có y = = =−1 + ⇒ ⇒  x −1 = x x −1 x −1 x −1 =    x − =−1  x =0 Vậy có điểm thỏa yêu cầu toán Câu 65 Chọn D a +1  a +1  Gọi M  a; −1 = a − + ≥2  ∈ ( C ) với a ≠ Ta có d = a − + a−2 a−2  a−2 Dấu " = " xảy (2 + ) ( 3;1 + − 3;1 − ( a − 2) )  a= + Vậy hai điểm =⇔  a = −  Câu 66 Chọn D Tâm đối xứng đồ thị giao điểm hai đường tiệm cận Vậy điểm cần tìm M ( −1; 3) Câu 67 Chọn B  2a +  Gọi M  a;  ∈ ( C ) với a ≠  a −1   a − 2a + 1= 2a + a = 2a + ⇔ ⇔ a − 4a = ⇔  Ta có a − = a −1 a =  a − 2a + =−2a − Vậy điểm cần tìm là: M ( 0; −1) , M ( 4;3) Câu 68 Chọn A  a+2 Gọi M  a;  ∈ ( C ) với a ≠  a−2 a+2 Ta có a −= − ⇔ a −= a−2 ⇔ 5a − 20a + 16 = ⇔ a = Vậy có hai điểm cần tìm ⇔ ( a − 4a + 4= ) a−2 10 ± 5 Trang 24/25