1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

Hsg đs8 chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử (69 trang)

69 1 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 69
Dung lượng 1,83 MB

Nội dung

CHUYÊN ĐỀ.PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ PHẦN I.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT Chƣơng I PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC Chủ đề PHÉP NHÂN CÁC ĐA THỨC A.Kiến thức cần nhớ Muốn nhân đơn thức với đa thức ta nhân đơn thức với hạng tử đa thức cộng tích với A  B  C   AB  AC Muốn nhân đa thức với đa thức, ta nhân hạng tử đa thức với hạng tử đa thức cộng tích với  A  B C  D   AC  AD  BC  BD B Một số ví dụ Ví dụ 1: Thực phép tính : a) A   b) B   5x  y  x  y  2x 15x  y  Giải a) A   2x  2x  15 x      6 y    b) B  20 x4  10 x y  12 x y  y A  10 x  xy B  20 x4  x2 y  y Ví dụ 2: Tìm giá trị biểu thức sau: a) A   5x   x  3   x   x  b) B   x  2 y  x    x  y  y  x  x  2; y  2 Giải Tìm cách giải Nếu thay giá trị biến vào biểu thức ta số phức tạp Khi thực gặp khó khăn, dễ dẫn tới sai lầm Do cần thực nhân đa thức với đa thức thu gọn đa thức Cuối thay số Trình bày lời giải a) Ta có: A   5x   x  3   x   x    10 x  15x  14 x  21   x  28x  x  8  10 x2  15x  14 x  21  x2  28x  x   3x2  27 x  13 Thay x  1 1 vào biểu thức, ta có: A     27  13  2 2 Vậy với x  giá trị biểu thức A  b) Ta có: B   x  y  y  x    x  y  y  2x   xy  x2  y  xy  xy  x  y  xy  10xy Thay x  2; y  2 vào biểu thức ta có: B  10.2  2   40 Vậy với x  2; y  2 giá trị biểu thức B  40 Ví dụ 3: Tìm x, biết: a)4 x  x  5   x  1 x  3  23 b)  x  5 x     x  1 x    Giải Tìm cách giải Để tìm x, vế trái có thực phép nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức Vì ta khai triển rút gọn vế trái ấy, sau tìm x Trình bày lời giải a)4 x  x  5   x  1 x  3  23 x2  20 x  x2  3x  x   23 13x   23 13x  23  x  2 b)  x  5 x     x  1 x    x2  x  5x  20  x2  x  x   8x  22  8x  15 x 15 Ví dụ 4: Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào x: a) A  x  x  1  x  x     x3  x  5 b) B  x  3x  x  5   x3  3x  16   x  x  x   Giải Tìm cách giải Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào biến x, tức sau rút gọn kết biểu thức khơng chứa biến x Do để giải tốn này, thực biến đổi nhân đơn thức với đơn thức, nhân đa thức với đa thức thu gọn kết Nếu kết không chứa biến x, suy điều phải chứng minh Trình bày lời giải a) Biến đổi biểu thức A, ta có : A  x  x  1  x  x     x3  x  5 A  x  x  x3  x  x3  x  A6 Suy giá trị A không phụ thuộc vào x b) Biến đổi biểu thức B, ta có : B  x  3x  x  5   x3  3x  16   x  x  x   B  3x3  x2  5x  x3  3x  16  x3  x2  x B  3x3  3x3  x2  x2  5x  5x  16 B  16 Suy giá trị B không phụ thuộc vào x Ví dụ 5: Tính nhanh a) A  1    5741 3759 3741 5741 3759 3759.5741 b) B  6516    3150 6547 1050 6517 1050 3150.6517 Giải Tìm cách giải Quan sát kỹ biểu thức, thực trực tiếp phép tính tốn dễ dẫn đến sai lầm; ta nhận thấy nhiều số giống nhau, nghĩ tới đặt phần giống chữ Sau biến đổi biểu thức chứa chữ Cách giải gọi phương pháp đại số Trình bày lời giải a) Đặt x  1 biểu thức có dạng: ;y  5741 3749 A    x  y  y 1  x   y  xy A  y  xy  y  8xy  y  xy A y  A 3759 b) Đặt x  1 biểu thức có dạng: ;y  3150 6517 B    x  y  3x   y   12 x  xy B  y  3xy  12 x  xy  12 x  xy B  6y  B  6  6517 6517 C Bài tập vận dụng Rút gọn biểu thức sau: a) A   x  1 3x  1  5x  x  3   x   x  3 b) B   5x   x  1  3x  x  x  3  x  x  5 x   Hƣớng dẫn giải – đáp số a) Ta có: A  12 x2  x  3x   5x2  15x  x2  3x  x  12  x2  23x  13 b) Ta có: B   5x   x  1  3x  x  x  3  x  x  5 x    5x  5x  x   3x3  3x  x  x  x  5x  x  20   3x3  8x2  12 x   x3  18x2  40 x  5x3  26 x2  28x  2 Viết kết phép nhân sau dạng lũy thừa giảm dần biến x: a)  x  x  1  x  3 b)  x  3x  1   x  Hƣớng dẫn giải – đáp số a)  x  x  1  x  3  x3  x2  x  3x2  3x   x3  2x2  2x  b)  x  3x  1   x   x2  x   x3  12 x2  x  4 x3  14 x2  10 x  c)  x  3x     x  x    x  3x     x   x  x   x3  3x  x c)  x  3x     x  x   3x2  x   x3  3x2  x   x3  11x  Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến x: a)C   5x  2 x  1   x  3 5x  1  17  x  3 b) D   x  5 x  8   3x  1 x  3   x  3 Hƣớng dẫn giải – đáp số a) Ta có : C  5x2  5x  x   5x2  x  15x   17 x  51  C  50 Vậy biểu thức C  50 không phụ thuộc vào x b) D  x2  48x  5x  40  x  x  x   36 x  27  D  13 Vậy giá trị biểu thức D  13 không phụ thuộc vào giá trị biến x Tìm x, biết : a)5  x  3 x     5x  1 x    25 b)3  x   x  5   x  1 3x    13 Hƣớng dẫn giải – đáp số a)5x2  35x  15x  105  5x  10 x  x   25 41x  107  25 41x  82 x2 b)3x2  15x  21x  105  3x  3x   13 5x  103  13 5x  90 x  18 Rút gọn tính giá trị biểu thức: a) A    5x  3x      x  x   x  2 1 b) B  5x  x  y   y  y  5x  x   ; y   Hƣớng dẫn giải – đáp số a) Ta có : A  12 x   15x2  10 x  3x   x2  x  17 x2  29 x  14 Với x  2 , thay vào biểu thức ta có : A  17  2   29  2   14  68  58  14  140 b) Ta có : B  5x  x  y   y  y  5x   5x2  20 xy  y  20 xy  5x2  y 1 Thay x   ; y   vào biểu thức ta có ; 2 1  1  1 B            25  5  2 Tính giá trị biểu thức: a) A  x6  2021x5  2021x4  2021x3  2021x  2021x  2021 x  2020 b) B  x10  20 x9  20 x8   20 x  20 x  20 với x  19 Hƣớng dẫn giải – đáp số a) Với x  2020 nên ta thay 2021  x  vào biểu thức , ta có : A  x6   x  1 x5   x  1 x4   x  1 x3   x  1 x   x  1 x  x   x  x  x5  x5  x  x  x3  x3  x  x  x  x   b) Với x  19 nên ta thay 20   x  vào biểu thức, ta có : B  x10    x  1 x9    x  1 x8     x  1 x    x  1 x    x  1  x10  x10  x9  x9  x8  x8   x2  x2  x  x  1 Tìm hệ số a, b, c biết: a)2 x  ax  2bx  4c   x  20 x3  8x với x; b)  ax  b   x  cx    x3  x  với x Hƣớng dẫn giải – đáp số a)2 x  ax  2bx  4c   x  20 x3  8x  2ax4  4bx3  8cx2  x4  20 x3  8x2 1 (1) với x  2a  a     4b  20  b  5 8c  c    b)  ax  b   x  cx    x3  x   ax3  bx2  acx2  bcx  2b  2ax  x3  x2   ax3   b  ac  x2   2a  bc  x  2b  x3  x2   2 (2) với x a  a  a   2b  2  b  1     b  1 b  ac  1  1.c  c  2    2a  bc  2   1 c  Chứng minh với số nguyên n thì: A    n   n2  3n  1  n  n2  12   chia hết cho Hƣớng dẫn giải – đáp số Biến đổi đa thức, ta có : A    n   n2  3n  1  n  n2  12    2n2  n3  6n  3n2  n   n3  12n   5n2  5n  10 Đặt 2x  a  b  c Chứng minh rằng:  x  a  x  b    x  b  x  c    x  c  x  a   ab  bc  ca  x Hƣớng dẫn giải – đáp số Xét vế trái:  x  a  x  b    x  b  x  c    x  c  x  a   x2  ax  bx  ab  x2  bx  cx  bc  x  ax  cx  ca  ab  bc  ca  3x  x  a  b  c   ab  bc  ca  3x2  x.2 x  ab  bc  ca  x2 Vế trái vế phải suy điều chứng minh 10 Cho a, b, c số thực thỏa mãn ab  bc  ca  abc a  b  c  Chứng minh :  a  1 b  1 c  1  Hƣớng dẫn giải – đáp số Ta có  a  1 b  1 c  1   a  1 bc  b  c  1  abc  ab  ac  a  bc  b  c   abc  ab  bc  ca  a  b  c   abc   ab  bc  ca    a  b  c    abc  abc    Chủ đề PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ A Kiến thức cần nhớ Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) biến đổi đa thức thành tích đa thức khác Các phương pháp thường dùng: - Đặt nhân tử chung - Dùng đẳng thức - Nhóm hạng tử - Phối hợp nhiều phương pháp Có ta phải dùng phương pháp đặt biệt khác (xem chuyên đề 6) B Một số ví dụ Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a)12 x3 y  x y  3x y b)5x y  x    5xy   x  Giải Tìm cách giải Quan sát đề bài, thấy đa thức có nhân tử chung Bước Chọn hệ số ƯCLN hệ số Bước Phần biến gồm tất biến chung, biến lấy với số mũ nhỏ hạng tử Nếu có hai nhân tử đối nhau, đổi dấu hai nhân tử dấu đứng trước Trình bày lời giải a)12 x3 y  x y  3x y  3x y  x   y  b)5x2 y  x    5xy   x   5x2 y  x    5xy  x    5xy  x   x  1 Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a)100 x  y b)9  a  b    a  2b  c)8x3  27 y3 d )125  75x  x  x3 Giải Tìm cách giải Nhận thấy ví dụ đa thức có dạng đẳng thức Do vận dụng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử Trình bày lời giải a)100 x2  y  10 x  y 10 x  y  b)9  a  b    a  2b  2  3  a  b    a  2b  3  a  b    a  2b    a  7b  5a  b  c)8x3  27 y3   x  y   x2  xy  y  d )125  75x  15x  x3    x  Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x  a  b   a  b b)3a x  3a y  abx  aby c)ax  bx  cx  2a  2b  2c Giải Tìm cách giải Mỗi đa thức khơng có nhân tử chung, không xuất đẳng thức Quan sát kỹ nhận thấy nhóm hạng tử thích hợp xuất nhân tử chung Trình bày lời giải a) x  a  b   a  b   a  b  x  1 b)3a x  3a y  abx  aby  3a  x  y   ab  x  y   a  x  y  3a  b  c)ax  bx  cx  2a  2b  2c  x  a  b  c    a  b  c    x   a  b  c  Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a)a  b2  4a  4b b)  xy     x  y  2 c)  a  b2  ab   a b2  b2 c  c a 2 Giải Tìm cách giải Nhận thấy đa thức ẩn chứa đẳng thức Vậy nhóm nhằm xuất đẳng thức Trình bày lời giải a)  a  b  a  b    a  b    a  b  a  b   b)  xy   x  y  xy   x  y    x  y  2   y  2   x  y  2   y  2    x  2 y  2 x   y   c)  a  b2  ab  ab  a  b2  ab  ab   c2  a  b2    a  b2   a  b   c  a  b2    a  b2   a  b   c    a  b2   a  b  c  a  b  c    Ví dụ 5: Cho số thực a, b, c đôi phân biệt thỏa mãn a  b  c   b2  c  a   2012 Tính giá trị biểu thức M  c  a  b  Giải Tìm cách giải Từ giả thiết khơng thể tính giá trị cụ thể a, b, c Do việc quan sát nghĩ tới việc phân tích đa thức thành nhân tử để tìm mối quan hệ a, b c Từ tìm giá trị biểu thức M Trình bày lời giải Ta có : a  b  c   b2  c  a   a b  a c  b c  b a   ab  a  b   c  a  b2     a  b  ab  bc  ca   Vì a  b nên:  ab  bc  ca    b  c  ab  bc  ca    b2 a  b2 c  bc  ac  b2 a  b2 c  bc  ac  c  a  b   b2  a  c  Vậy M  2012 C Bài tập vận dụng Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a)ab  x    a  x   b)4 x3 y  8x y3  12 x3 y Hƣớng dẫn giải – đáp số a)ab  x    a  x    a  x   a  b  b)4 x3 y  8x y3  12 x3 y  x y  xy  y  3x  Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a)  xy  1   x  y  2 b)  a  b  c    a  b  c   4c 2 c)  a    36a 2 Hƣớng dẫn giải – đáp số a)  xy  1   x  y    xy   x  y  xy   x  y  2 10 Lời giải 2 2 2 Ta có: x  y  z  xz  y    x  xz  z    y  y  1   x  z    y  1 2  x  z  y 1 x  z  y  1 Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: x6  x4  x3 y3  xy Lời giải Ta có: x6  x4  x3 y3  xy3  x  x5  x3  x y3  y  = x  x3  x    y  x    x  x3  y  x   = x  x  y   x   x  xy  y  Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: x6  x4  x3  x2 Lời giải Ta có: x6  x4  x3  x2 = x  x  x  x   = x  x  x  1   x  1  x  x  x  1 x  1   x  1 = x  x  1  x  x   Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử:  a  b  c    a  b  c   4b 2 Lời giải Ta có:  a  b2  c2  2ab  2bc  2ca    a  b2  c2  2ab  2bc  2ac   4b2   2a  2c  2b2  4ac    a  2ac  c  b2    a  c   b    a  c  b  a  c  b    Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: a  b2  c   b  c  a   c  a  b2  Lời giải 2 2 2 2 Ta có: ab  ac  bc  a b  a c  b c  a  b  c   b  a  c   c  a  b  2 2 2 = a  b  c   b  a  b    b  c   c  a  b  = a  b  c   b  a  b   b  b  c   c  a  b  =  b  c   a  b2    a  b   b2  c    b  c  a  b  a  b    a  b b  c b  c  =  a  b  b  c  a  b  b  c    a  b b  c  a  c  Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử: xy  x  y   yz  y  z   zx  x  z   3xyz Lời giải Ta có:=  xy  x  y   xyz    yz  y  z   xyz    zx  z  x   xyz  = xy  x  y  z   yz  x  y  z   zx  x  y  z    x  y  z  xy  yz  zx  55 Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử: xy  x  y   yz  y  z   zx  z  x  Lời giải Ta có: = xy  x  y   yz  y  z   zx  y  z    x  y  xy  x  y   yz  y  z   zx  y  z   zx  x  y  = = x  x  y  y  z   z  y  z  x  y    x  y  y  z  x  z  4 Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử: x  y  z   y  z  x   z  x  y  Lời giải Ta có: x4  y  z   y   y  z    x  y   z  x  y  = x4  y  z   y  y  z   y  x  y   z  x  y  =  y  z   x4  y    x  y   y  z  =  y  z  x  y  x  y   x  y    x  y  y  z  y  z   y  z  =  x  y  y  z   x  y   x  y    y  z   y  z  =  x  y  y  z   x3  xy  x y  y3  y3  yz  y z  z   =  x  y  y  z  x3  z  y  x  z   y  x  z   =  x  y  y  z   x  z   x  xz  z   y  x  z   y  x  z  x  z  =  x  y  y  z  x  z   x  xz  z  y  xy  yz  Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử:  a  b  c  ab  bc  ca   abc Lời giải 2 2 2 Ta có: a b  abc  a c  ab  b c  abc  abc  bc  ac  abc =  a b  ab 2  abc    b2c  bc  abc   a 2c  ca = ab  a  b  c   bc  a  b  c   ac  a  c  = b  a  b  c  a  c   ac  a  c  =  a  c   ab  b2  bc  ac    a  c  b  c  a  b  Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử:  a  b  c    a  b  c    b  c  a    c  a  b  Lời giải 3 3 Ta có:  a  b  c    a  b  c    b  c  a    c  a  b   x  a  b  c   y  b  c  a  x  y  z  a  b  c z  c  a  b  56 3 3 3 3 3 3 =  x  y  z    x  y  z   x  y  z   x  y  y  z  z  x   x  y  z =  x  y  y  z  z  x   3.2a.2b.2c  24abc 2 Bài 12: Phân tích đa thức thành nhân tử: a  b  c   b  c  a   c  a  b  Lời giải Ta có: a  b  c   b2   b  c    a  b   c  a  b  2 2 = a  b  c   b  b  c   b  a  b   c  a  b  =  b  c  a  b  a  b    a  b  b  c  b  c  =  b  c  a  b  a  b  b  c    a  b b  c  a  c  Bài 13: Phân tích đa thức thành nhân tử: x  y  z   y  z  x3   z  x3  y  Lời giải 3 Ta có: xy3  xz  yz  x3 y  x3 z  y3 z = x  z  y   y  x  z   z  y  x  = x3  z  y   y3   z  y    y  x   z  y  x  = x3  z  y   y3  z  y   y3  y  x   z  y  x  =  z  y   x3  y    y  x   z  y  =  z  y  x  y   x  xy  y    y  x  z  y   z  yz  y  =  z  y  x  y   x  xy  y  z  yz  y  =  z  y  x  y   x  z  xy  yz    z  y  x  y  x  z  x  y  z  2 Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử:  x  y  z   x  y  z    xy  yz  zx  2 Lời giải Ta có:  x  y  z   x  y  z    xy  yz  zx    xy  yz  zx  Đặt: x2  y  z  a, xy  yz  zx  b đa thức: a  a  2b   b2  a  2ab  b2   a  b    x  y  z  xy  yz  zx  Bài 15: Phân tích đa thức  x4  y  z    x2  y  z    x2  y  z   x  y  z    x  y  z  2 thành Lời giải Đặt: x4  y  z  a, x2  y  z  b, x  y  z  c , Khi ta có: 2a  b2  2bc  c  2a  2b2  b2  2bc  c   a  b2   b  c  , 2 2 2 2 Lại có : a  b  2  x y  y z  z x  b  c  2  xy  yz  zx  , 57 nhân tử: 2 2 2 Thay vào ta : 4  x y  y z  z x    xy  yz  zx   8xyz  x  y  z  2 2 Bài 16: Phân tích đa thức thành nhân tử: c  a  b   b  a  c   a  b  c  Lời giải Ta có : c2  a  b   b2  a  b    b  c   a  b  c  = c2  a  b   b2  a  b   b2  b  c   a  b  c  =  a  b  b  c  b  c    b  c  b  a  b  a  =  a  b  b  c  b  c  a  b    a  b b  c  c  a  3 Bài 17: Phân tích đa thức thành nhân tử:  x  y  z   y  z  x   z  x  y Lời giải Ta có : z  x  y   x3   x  y    z  x   y  z  x  = z  x  y   x3  x  y   y  z  x   x  z  x  =  x  y   z  x3    z  x   y  x  =  x  y  z  x   z  zx  x    z  x  y  x   y  xy  x  =  x  y  z  x   z  zx  x2  y  xy  x    x  y  z  x  z  y  z  y  x  Bài 18: Phân tích đa thức thành nhân tử: ab  a  b   bc  b  c   ac  c  a  Lời giải Ta có : ab  a  b   bc  a  b    c  a   ac  c  a  = ab  a  b   bc  a  b   bc  c  a   ac  c  a  = b  a  b  a  c   c  c  a  b  a    a  b  b  c  a  c  3 Bài 19: Phân tích đa thức thành nhân tử:  x  y   x 1  y   y 1  x  Lời giải Ta có :  x  y   x3  x  y   1  x   y 1  x  =  x  y   x3  x  y   x3 1  x   y 1  x  =  x  y  1  x3   1  x   x3  y  =  x  y 1  x  1  x  x   1  x  x  y   x  xy  y  2 =  x  y 1  x  1  x  x  x  xy  y    x  y 1  x 1  y  x  y  1 2 2 2 Bài 20: Phân tích đa thức thành nhân tử: 4a b  2a  b   b c  c  b   4c a  2a  c  Lời giải 2 2 2 Ta có : 4a b  2a  b   b c  2a  c    2a  b   4c a  2a  c  2 2 2 2 = 4a b  2a  b   b c  2a  c   b c  2a  b   4c a  2a  c  = b2  2a  b   4a  c   c  2a  c   b2  4a  58 2 = b  2a  b  2a  c  2a  c   c  2a  c  2a  b  2a  b  =  2a  c  2a  b   2ab2  b2c  2ac  bc  =  2a  c  2a  b  b  c  2ab  2ac  bc  3 Bài 21: Phân tích đa thức thành nhân tử: x  y  z   y  z  x   z  x  y  Lời giải Ta có : z  x  y   x3   x  y    z  x   y  z  x  3 3 = z  x  y  x  x  y  y  z  x  x  z  x =  x  y   z  x3    z  x   y  x  =  x  y  z  x   z  zx  x    z  x  y  x   y  xy  x  =  x  y  z  x   z  zx  x2  y  xy  x    x  y  z  x  z  y  z  y  x  Bài 22: Phân tích đa thức thành nhân tử: bc  a  d  b  c   ac  b  d  a  c   ab  c  d  a  b  Lời giải Ta có : bc  ab  ac  bd  dc   ac  ab  bc  ad  dc   ab  ac  bc  ad  bd  = bc  ab  ac  bd  dc   ac  ab  ac  bd  dc    ac  bc  ad  bd   ab  ac  bc  ad  bd  =  ab  ac  bd  dc  bc  ac    ac  bc  ad  bd  ac  ab  =  a  d  b  c  c  b  a    c  d  a  b  a  c  b  =  b  c  b  a  ac  dc  ca  ad    b  c  b  a  c  a  d 3 Bài 23: Phân tích đa thức thành nhân tử:  a  x  y   a  y  x   x  y  a Lời giải 3 3 3 Ta có : y  a  x   x  a  x    x  y   a  x  y  = y  a  x   x  a  x   x  x  y   a  x  y  =  a  x   y  x3    x  y   x3  a3  =  x  a  x  y   x  xy  y    x  y  x  a   x  xa  a  =  x  a  x  y   x  xy  y  x  xa  a  =  x  a  x  y  y  a  y  a  x  Bài 24: Phân tích thành nhân tử: x y  xy2  xz  yz  x z  y2 z  xyz Lời giải  2 Ta có:  xy  x  y   z  x  y   z  x  y    x  y  xy  z  xz  yz 59    x  y y  z  z  x  PHƢƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a f ( x)  x4  x3  12 x2  14 x  b Q( x)  x4  3x3  x2  x  c P( x)  x4  x3  17 x2  20 x  14 d R( x)  x4  x3  5x2  x  e H ( x, y)  12 x  5x 12 y  12 y 10 xy  f T ( x, y)  x2  xy  y  x  13 y  Lời giải a Ta nhận thấy đa thức khơng có nghiệm ngun khơng có nghiệm hữu tỷ Giả sử f ( x)  ( x2  ax+b)(x  cx  d )  x  (a  c) x3  (ac  b  d ) x  (ad  bc) x  bd a  c  6 ac  b  d  14  Đồng hệ số ta được:  ad  bc  14 bd   b  1; 3  a  c  6   c  4; a  2(tm)  f ( x)  ( x  x  3)( x  x  1) +) b   ac  a  3c  14  b Cách 1: Ta nhận thấy đa thức có nhân tử x + Q( x)  x4  3x3  x2  x   ( x  1)(2 x3  ax  bx  c)  x  (a  2) x3  (a  b) x  (b  c) x  c a   3 a  b  7 a  5    b  2  Q( x)  ( x  1)( x  2)(2 x  x  4)  b  c   c  c  Cách 2: Giả sử Q( x)  (2 x2 +ax+b)(x  cx  d )  x  (2c  a) x3  (2d  ac  b) x  (ad  bc) x  bd 2c  a  3 b  2 2d  ac  b  7    d  4  Q( x)  (2 x  x  4)( x  1)( x  2) Đồng hệ số:  ad  bc   a  c  1 bd  2b  n  7 2c  p  bn  17  c  d  (2 x  x  1)2 cn  bp   20  cp  14  c  2; p  7(tm)  b  2; n  3 60 H ( x, y)   ax  by  c  dx  ey  f   adx   af  cd  x  bey  (ce  bf ) y  cf  (bd  ac) xy e Giả sử ad  12 af  cd    H ( x; y )  (3x  y  1)(4 x  y  3) be  12 ce  bf  12  cf  3  c  1; f  3  a  3; d  4; b  2; e  f T ( x, y)   x  by  c  x  ny  p   n  2, b  3, c  1, p  Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử:  x  y  xy   x y  y z  z x 2 Lời giải x  y  xy   x y  y z  z x  x  y  x y  x y  2xy  2x3 y  x y  y z  z x 2 = x4  y  x y  xy  x  y   z  x  y  =  x  y   xy  x  y   z  x  y  2 =  x  y  x  y  xy  z    x  y   x  y   z  =  x  y   x  y  z  x  y  z  Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: 81x  z  y   z  y Lời giải Ta có: 81x4  z  y   z  y  81x  z  y    z  y  =  z  y 81x  1   z  y  z  y   x  1 x  1 =  z  y  z  y  3x  1 3x  1  x  1 Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: x6  x4  x y  y  y Lời giải Ta có: x6  x4  x y  y  y = x  y  x  x y  y  x y   x3    y    x  y   x y 2 2 3 3 2 2 =  x  y  x  y    x  y  xy  x  y  xy  =  x  y   x  xy  y   x  y   x  xy  y    x  y  xy  x  y  xy  =  x2  y  xy  x  y  xy  x  y  1 Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: x  8x  63 61 Lời giải Ta có: x4  8x  63   x  ax  b  x  cx  d  Đồng hệ số ta có: x4  8x  63   x  x   x  x   Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử:  x  1   x  x  1 Lời giải Ta có:  x  1   x  x  1   x  1   x  x  1  1 4 2 2 2 =  x  1  x  x  1  x  x  1  =  x  1  x  1  x    x  x  1 2 2 =  x  x  1  x  1  1 =  x  x   x  x  1 Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x7  x5  b x7  x  c x4n  8x2n  15 Lời giải a Ta có: x7  x5   x7  x6  x5  x6   x ( x2  x  1)  ( x3  1)( x3  1)  x5 ( x  x  1)  ( x  1)( x  x  1)( x3  1)  ( x  x  1)  x5  ( x  1)( x3  1)  b x7  x2   ( x7  x)  ( x  x  1)  ( x  x  1)( x5  x  x  x  1) c x4n  8x2n  15  a  8a  15( x2n  a)  (a  3)(a  5)  ( x 2n  3)( x 2n  5) Bài 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a ( x2  y  z )( x  y  z)2  3( xy  yz  zx)2 b ( x  y)3  ( y  z)3  ( z  x)3 c ( x3  y3 )3  ( y3  z )3  ( z  x3 )3 d (a  b)3  (b  c)3  (c  a)3  8(a  b  c)3 e (a  b  c)3  (a  b  c)3  (b  c  a)3  (c  a  b)3 Lời giải a Ta có ( x  y  z)2  x2  y  z  2( xy  yz  zx)  x2  y  z  a  A  a(a  2b).3b  a  2ab  3b2  (a  b)(a  3b) Đặt   xy  yz  zx  b  A  ( x2  y  z  xy  yz  zx)[(x  y  z  3( xy  yz  zx)] 3 b Ta biết: Nếu a  b  c   a  b  c  3abc 62 x  y  a  3 Đặt  y  z  b  a  b  c   B  a  b  c  B  3abc  3( x  y )( y  z )( z  x) z  x  c  c Tương tự câu b  x3  y  a  3 3 3 3 3  y  z  b  a  b  c   B  a  b  c  B  3abc  3( x  y )( y  z )( z  x )  x3  z  c  a  b  x  3 d Đặt b  c  y  x  y  z  2(a  b  c)  ( x  y  z )  8(a  b  c ) ; D  x3  y3  z  ( x  y  z )3 c  a  z  Ta có: ( x  y  z)3  x3  y3  z  3( x  y)( y  z )( z  x)  D  3( x  y)( y  z )( z  x)  3 m  a  b  c  e Đặt n  b  c  a thì: a  b  c  m  n  p  E  (m  n  p)3  m3  n3  p3  3(m  n)(n  p)( p  m) p  c  a b   E  3.2b.2c.2a  24abc Bài 9: Cho x, y, z thuộc Z Chứng minh rằng: S   x  y  x  y  x  y  x  y   y số phương Lời giải Ta có: S  ( x  y)( x  y)( x  y)( x  y)  y  ( x  5xy  y )( x  5xy  y )  y St  t (t  y )  y  (t  y )2  ( x  5xy  y )2 (dpcm) Bài 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x4  8x3  3x2  8x  b x4  15x3  35x2  30 x  c x3  3x2 ( x2  x  1)  ( x2  x  1)3 d x  x  x  x  Lời giải a Ta có: x4  8x3  3x2  8x   4( x4  1)  8x( x2  1)  3x2  4( x2  1)2  8x( x2  1)  5x2  y  8xy  x  y  xy  10 xy  5x2  (2 y  x)(2 y  5x)  (2 x  x  2)(2 x  5x  2)  (2 x  x  2)( x  2)(2 x  1) b Ta có: x4 15x3  35x2  30 x   2( x4  4)  15x( x  2)  35x  2( x  x)2  15( x  2)  27 x  y  15 y  27 x  ( y  3x)(2 y  x)  ( x2  3x  2)(2 x  x  4)  ( x 1)( x  2)( x  4)(2 x 1) 63 c Ta có: x3  3x2 ( x2  x  1)  ( x2  x  1)3  x3  3x y  y  x ( x  y)  y( x  y)( x  y)  ( x  y)(2 x  y  xy)  ( x  y)( x  y)(2 x  y)  ( x  y)2 (2 x  y) d Ta có: x4  x3  x2  x   ( x  2)(2 x  1)(2 x2  3x  2) Bài 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a A( x)  x4  19 x3  2002 x  9779 x  11670 b B( x)  3x6  10 x5  34 x  47 x3  52 x  8x  40 Lời giải a Ta nhận thấy đa thức có hai nhân tử x - x - A( x)  ( x  2)( x  3)(ax  bx  c)  a  2; c  1945; b  9  A( x)  ( x  2)( x  3)(2x  9x  1945) b Nhận thấy đa thức có nhân tử là: x – 3x + B( x)  ( x  1)(3x  2)( x4  3x3  11x  14 x  20)  ( x  1)(3x  2)( x  x  4)( x  x  5) Bài 12: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a A  ab(a  b)  bc(b  c)  ca(c  a) b B  (a  b)3  (b  c)3  (c  a)3 c C  a(b  c)3  b(c  a)3  c(a  b)3 d D  (a  b)5  (b  c)5  (c  a)5 Lời giải Đặt x  a  b; y  b  c  x  y  a  c a A  abx  bcy  ca( x  y)  ax(b  c)  cy(a  b)  axy  cxy  xy(a  c)  (a  b)(b  c)(c  a) b B  x3  y3  ( x  y)3  x3  y3  x3  3xy( x  y)  y3  3xy( x  y)  3(a  b)(b  c)(c  a) c Ta có: C  ay  b( x  y )3  cx3  ay  b  x3  y  3xy ( x  y )   cx3  y (a  b)  x (b  c)  3bxy ( x  y )  xy  x3 y  3bxy ( x  y )  xy ( y  x )  3bxy ( x  y )  xy ( x  y )( y  x  3b)  xy ( x  y )(b  c  a  b  3b) d   xy ( x  y )(a  b  c)  (a  b)(b  c)(c  a)(a  b  c) Ta có: ( x  y)5  ( x  y)( x  y)4  ( x  y)( x2  xy  y )  ( x  y)( x  x y  y  x3 y  xy  x y )  ( x  y)( x4  y )  ( x  y)(4 x3 y  x y  xy )  x5  y  xy( x3  y )  xy( x  y)(4 x  xy  y )  x5  y5  xy( x  y)(5x2  5xy  y )  x5  y5  5xy( x  y)( x  xy  y )  D  x5  y5  ( x  y)5  x5  y5   x5  y  5xy( x  y)( x  xy  y )   5xy ( x  y )( x  xy  y )  5(a  b)(b  c)(c  a) (a  b)2  (a  b)(b  c)  (b  c)2   5(a  b)(b  c)(c  a)(a  b  c  ab  bc  ca) Bài 13: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a A  a(b3  c3 )  b(c3  a3 )  c(a3  b3 ) b B  a3 (b2  c2 )  b3 (c2  a )  c3 (a  b2 ) Lời giải 64 a Đặt x  a3  b3 ; y  b3  c3  x  y  a3  c3  A  ay  b( x  y)  cx  y(a  b)  x(b  c)  (b3  c3 )(a  b)  (a3  b3 )(b  c)  (b  c)(a  b)(b2  bc  c  a  ab  b )  (b  c)(a  b)(bc  ab  c  a )  (b  c)(a  b)(c  a)(a  b  c) b x  a  b2 ; y  b2  c  x  y  a  c Đặt B  a y  b3 ( x  y )  c x  y (a  b3 )  x (b  c )  (b  c )(a  b )  (a  b )(b  c )  (b  c)(a  b) (b  c )(a  ab  b )  (a  b )(b  bc  c )   b(a  ab  b  b  bc  c )  (a 2c  abc  b 2c  ab  abc  ac )  b(a  c)(a  b  c )   ac (a  c )  b (a  c )   (a  c )(ab  b  bc  ac  b )  (a  c)(ab  bc  ca )  B  (a  b)(b  c)(a  c)(ab  bc  ca) Bài 14: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a A  (a  b  c)3  a b3  c3 b B  x( x  y)3  y( y  x)3 c C  x4  ( x  y)4  y d D  a b4  c4  2(a 2b2  b2c2  c2 a ) Lời giải a Đặt m  a  b  c suy ra: A  m a  (b3  c3 )  (m  a )(m  ma  a )  (b  c)(b  bc  c )  (b  c)(m2  ma  a  b  bc  a )  (b  c) (m  b )  (a  c )  (ma  bc)   (b  c)  (m  b)(m  b)  (a  c)(a  c)  (a  b)(a  c)   (b  c)(a  c)(m  b  a  c  a  b)  3(b  c)(c  a)(a  b) b Đặt m  x  y B  x(m  y )3  y (m  x)3  x  m3  3my (m  y )  y   y m3  3mx(m  x)  x   m3 ( x  y )  xy ( x  y )  3mxy (m  x  m  y )  ( x  y )(m3  xy ( x  y )  3mxy )  m( x  y )(m2  xy )  m( x  y ) ( x  y )  xy   m( x  y )3  ( x  y )( x  y )3 c m x y Đặt C  (m  y)  m4  y  m4  4m3 y  6m2 y  4my3  y  m4  y  2( m4  2m2 y  y )  4my( m2  y )  2m2 y 2  2(m2  y  my )2  ( x  y )2  y  ( x  y ) y   2( x  xy  y )2 d Đặt m  a  b2  c D  (a  b  c )  4(a 2b  b 2c  c a )  m2  b (a  c )  c a   m2  b (m  b )  c a   (m  2b )2  (2ca)2  (m  2b  2ca)(m  2b2  2ca)  (a  b2  c  2b2  2ca)(a  b2  c  2b2  2ca)  (a  c)2  b2  (a  c)2  b   (a  c  b)(a  c  b)(a  c  b)(a  b  c) Bài 15: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a A  a(b  c  a)2  b(c  a  b)2  c(a  b  c)2  (b  c  a)(c  a  b)(a  b  c) b B  (a  b  c)3  (a  b  c)3  (b  c  a)3  (c  a  b)3 65 c C  ab(a  b)  b(b  c)  ca(c  a)  a3  b3  c3  2abc Lời giải a Đặt m  x  y  z; a  b  c  x; b  c  a  y; c  a  b  z  2a  y  z;2b  z  x;2c  x  y A  ( y  z ) x  ( x  z ) y  ( y  x) z  xyz  xy( x  y)  yz ( y  z )  zx( z  x)  xyz  xy(m  z )  yz (m  x)  zx(m  y)  xyz  m( xy  yz  zx)  xyz  ( x  y)( y  z )( z  x)  8abc  A  4abc b Đặt a  b  c  z; b  c  a  x; c  a  b  y  x  y  z  a  b  c B  ( x  y  z)3  x3  y3  z  3( x  y)( y  z )( z  x)  3.2c.2a.2b  24abc c Đặt a  b  c  z; b  c  a  x; c  a  b  y  2a  y  z;2b  x  z;2c  x  y Ta có: 4C  4a (b  c  a)  4b (c  a  b)  4c (a  b  c)  8abc  ( y  z )2 x  ( z  x)2 y  ( x  y)2 z  ( x  y )( y  z )( z  x)  xy ( x  y )  yz ( y  z )  zx( z  x)  ( x  y )( y  z )( z  x)  xyz  xy ( x  y )  yz ( x  y )  zx( x  y )  z ( x  y )  ( x  y )( y  z )( z  x)  xyz  ( x  y )( xy  yz  zx  z )  ( x  y )( y  z )( z  x)  xyz  ( x  y )( y  z )( z  x)  ( x  y )( y  z )( z  x)  xyz  xyz  C  xyz  (b  c  a )(c  a  b)(a  b  c) CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Ứng dụng 1: Dùng để rút gọn biểu thức Bài 1: Cho a + b + c = , Rút gọn A  a3  b3  c(a  b2 )  abc Lời giải Ta có: A  a3  b3  c(a  b )  abc  a  b3  a 2c  b 2c  abc  (a3  a 2c)  (b3  b 2c)  abc  a (a  c)  b (b  c)  abc a  c  b  A  a (b)  b (a)  abc  ab(a  b  c)  Vì a  b  c    b  c   a  Ứng dụng 2: Dùng để chứng minh Bài 2: Cho a2  b2  1; c2  d  1, ac  bd  Chứng minh rằng: ab  cd  Lời giải Ta có: ab  cd  ab.1  cd  ab(c2  d )  cd (a2  b2 )  abc2  abd  a2cd  b2cd  (abc2  a2cd )  (abd  b2cd )  ac(bc  ad )  bd (ad  bc)  (ad  bc)(ac  bd )  0(ac  bd  0) Bài 3: Chứng minh tích bốn số tự nhiên liên tiếp cộng thêm số phương 66 Lời giải Gọi số tự nhiên liên tiếp là: n ; n + ; n + ; n + ( n thuộc N* ) Theo ta có: n(n  1)(n  2)(n  3)   (n2  3n)(n2  3n  2)   (k  1)(k  1)   k  (n2  3n  1)2 (dpcm) Bài 4: Chứng minh số A  (n  1)4  n4  chia hết cho SCP khác với n nguyên dương Lời giải Ta có: A  [(n+1)2 ]2  n4   (n2  2n  1)2  n2  (n4  n2  1)  (n2  3n  1)(n2  n  1)  (n4  n2  1)  (n2  3n  1)(n2  n  1)  (n2  n  1)(n2  n  1)  (n2  n  1)(2n2  2n  1)  2(n2  n  1)2 (dpcm) Bài 5: Chứng minh với số nguyên x, ta có: (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15 (x+6) Lời giải Dùng phương pháp đặt ẩn phụ ta được: (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15 (x+6)=(x  8x  10)( x  2)( x  6) n n n3 Bài 6: Chứng minh với số nguyên n, biểu thức: A    số nguyên 3 Lời giải n n2 n3 n3  3n2  2n n(n  1)(n  2) Ta có: A      n  Z 3 6 CÔNG THỨC KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON Bài 1: Phân tích thành nhân tử: A  (a  b)5  a5  b5 Lời giải A  a5  5a4b  10a3b2  10a 2b3  5ab4  b5  a5  b5  5a 4b  10a3b2  10a 2b3  5ab4  5ab(a3  2a 2b  2ab2  b3 )  5ab[(a3  3a 2b  3ab2  b3 )  (a 2b  ab )]=5ab[(a+b)3  ab(a  b)] =5ab(a+b)[(a+b)2  ab]  5ab(a  b)(a  ab  b ) Bài 2: Cho a  b  c  Chứng minh rằng: a5  b5  c5  5abc(ab  bc  ca) Lời giải Từ: a  b  c   c  (a  b) VP  a5  b5  (a  b)5  5ab(a  b)[(a+b)2  ab]  5ab(c)[(a+b)c-ab]  5abc(ab  bc  ca)  VP(dpcm) Bài 3: Cho a  b  c  Chứng minh rằng: a  b  c a  b3  c a  b  c  Lời giải Ta có: 67 5abc(ab  bc  ca)  abc(ab  bc  ca ) (1); a3  b3  c3 3abc   abc 3 VP  a  b2  c Lại có: (a  b  c)   a  b  c  2(ab  bc  ca)   (ab  bc  ca) 2 2 VT  abc(ab  bc  ca)(2).(1)(2)  VT  VP Bài 4: CMR : (a  b)2  (b  c)2  (c  a)2 (a  b)3  (b  c)3  (c  a)3 (a  b)5  (b  c)5  (c  a)5  Lời giải Ta có: (a  b)  (b  c)  (c  a)  Đặt x  a  b; y  b  c; z  c  a  x  y  z  Ta cần chứng minh: x  y  z x3  y  z x5  y  z  Bài 5: Cho a,b số nguyên CMR số sau số phương A  (a  b)4  a  b4 Lời giải A  a  4a3b  6a 2b2  4ab3  b4  a  b4  a  b4  3a 2b2  2ab(a  b2 )  (a  b2 )2  (ab)2  2ab(a  b )  (a  b2  ab)2 (dpcm) Bài 6: Giải phương trình: ( x  2)6  ( x  2)6  x6  128(*) Lời giải Ta có: ( x  2)6  x6  x5  15x4 22  20 x3 23  15x2 24  x.25  26  x6  12 x5  60 x4  160 x3  240 x2  192 x  64 ( x  2)6  [x+(-2)]6  x6  12 x5  60 x4  160 x3  240 x2  192 x  64 VT  x6  120 x4  480 x 128  (*)  120 x4  480 x2   x  Bài 7: Cho a, b, c số nguyên, CMR: (a  b)7  a7  b7 Lời giải (a  b)7  a  7a 6b  21a5b5  35a 4b3  35a 3b  21a 2b5  7ab  b  (a  b)7  a  b7  7(a 6b  3a5b  5a 4b3  5a3b  3a 2b5  ab6 ) Bài 8: Chứng minh rằng: A  16n  15n  225 n  N Lời giải +) n   160  15.0   225  152 +) n   A  225  152 +) n   A  225 225  152 68 (dpcm) ) n   16n  (15  1)n  Cn0 1n  Cn1.1n1 Cnn  15n  (1  15n  BS (225)  (16n  15n  1)  BS (225) 225n Bài 9: Chứng minh rằng: A  (n2  1)2  (n  1)n n3 n  N * Lời giải +) n = ; n = thỏa mãn +) n   (n2  1)n  (1  n2 )n  Cn0 1n  Cn1.n2  Cn2 n4   Cnn n2n   n3  BS (n3 ) (1) Lại có: (1  n) n  Cn02  Cn12 n  Cn22 n  C n2 n2   n3   n(n  1)  3   n3  n3    BS (n )   BS (n )   n (n  1) n  BS (n3 ) 2 Từ (1), (2) ta có điều phải chứng minh 69

Ngày đăng: 21/07/2023, 20:20

w