Thông tin tài liệu
CHUYÊN ĐỀ.PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ PHẦN I.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT Chƣơng I PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC Chủ đề PHÉP NHÂN CÁC ĐA THỨC A.Kiến thức cần nhớ Muốn nhân đơn thức với đa thức ta nhân đơn thức với hạng tử đa thức cộng tích với A B C AB AC Muốn nhân đa thức với đa thức, ta nhân hạng tử đa thức với hạng tử đa thức cộng tích với A B C D AC AD BC BD B Một số ví dụ Ví dụ 1: Thực phép tính : a) A b) B 5x y x y 2x 15x y Giải a) A 2x 2x 15 x 6 y b) B 20 x4 10 x y 12 x y y A 10 x xy B 20 x4 x2 y y Ví dụ 2: Tìm giá trị biểu thức sau: a) A 5x x 3 x x b) B x 2 y x x y y x x 2; y 2 Giải Tìm cách giải Nếu thay giá trị biến vào biểu thức ta số phức tạp Khi thực gặp khó khăn, dễ dẫn tới sai lầm Do cần thực nhân đa thức với đa thức thu gọn đa thức Cuối thay số Trình bày lời giải a) Ta có: A 5x x 3 x x 10 x 15x 14 x 21 x 28x x 8 10 x2 15x 14 x 21 x2 28x x 3x2 27 x 13 Thay x 1 1 vào biểu thức, ta có: A 27 13 2 2 Vậy với x giá trị biểu thức A b) Ta có: B x y y x x y y 2x xy x2 y xy xy x y xy 10xy Thay x 2; y 2 vào biểu thức ta có: B 10.2 2 40 Vậy với x 2; y 2 giá trị biểu thức B 40 Ví dụ 3: Tìm x, biết: a)4 x x 5 x 1 x 3 23 b) x 5 x x 1 x Giải Tìm cách giải Để tìm x, vế trái có thực phép nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức Vì ta khai triển rút gọn vế trái ấy, sau tìm x Trình bày lời giải a)4 x x 5 x 1 x 3 23 x2 20 x x2 3x x 23 13x 23 13x 23 x 2 b) x 5 x x 1 x x2 x 5x 20 x2 x x 8x 22 8x 15 x 15 Ví dụ 4: Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào x: a) A x x 1 x x x3 x 5 b) B x 3x x 5 x3 3x 16 x x x Giải Tìm cách giải Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào biến x, tức sau rút gọn kết biểu thức khơng chứa biến x Do để giải tốn này, thực biến đổi nhân đơn thức với đơn thức, nhân đa thức với đa thức thu gọn kết Nếu kết không chứa biến x, suy điều phải chứng minh Trình bày lời giải a) Biến đổi biểu thức A, ta có : A x x 1 x x x3 x 5 A x x x3 x x3 x A6 Suy giá trị A không phụ thuộc vào x b) Biến đổi biểu thức B, ta có : B x 3x x 5 x3 3x 16 x x x B 3x3 x2 5x x3 3x 16 x3 x2 x B 3x3 3x3 x2 x2 5x 5x 16 B 16 Suy giá trị B không phụ thuộc vào x Ví dụ 5: Tính nhanh a) A 1 5741 3759 3741 5741 3759 3759.5741 b) B 6516 3150 6547 1050 6517 1050 3150.6517 Giải Tìm cách giải Quan sát kỹ biểu thức, thực trực tiếp phép tính tốn dễ dẫn đến sai lầm; ta nhận thấy nhiều số giống nhau, nghĩ tới đặt phần giống chữ Sau biến đổi biểu thức chứa chữ Cách giải gọi phương pháp đại số Trình bày lời giải a) Đặt x 1 biểu thức có dạng: ;y 5741 3749 A x y y 1 x y xy A y xy y 8xy y xy A y A 3759 b) Đặt x 1 biểu thức có dạng: ;y 3150 6517 B x y 3x y 12 x xy B y 3xy 12 x xy 12 x xy B 6y B 6 6517 6517 C Bài tập vận dụng Rút gọn biểu thức sau: a) A x 1 3x 1 5x x 3 x x 3 b) B 5x x 1 3x x x 3 x x 5 x Hƣớng dẫn giải – đáp số a) Ta có: A 12 x2 x 3x 5x2 15x x2 3x x 12 x2 23x 13 b) Ta có: B 5x x 1 3x x x 3 x x 5 x 5x 5x x 3x3 3x x x x 5x x 20 3x3 8x2 12 x x3 18x2 40 x 5x3 26 x2 28x 2 Viết kết phép nhân sau dạng lũy thừa giảm dần biến x: a) x x 1 x 3 b) x 3x 1 x Hƣớng dẫn giải – đáp số a) x x 1 x 3 x3 x2 x 3x2 3x x3 2x2 2x b) x 3x 1 x x2 x x3 12 x2 x 4 x3 14 x2 10 x c) x 3x x x x 3x x x x x3 3x x c) x 3x x x 3x2 x x3 3x2 x x3 11x Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến x: a)C 5x 2 x 1 x 3 5x 1 17 x 3 b) D x 5 x 8 3x 1 x 3 x 3 Hƣớng dẫn giải – đáp số a) Ta có : C 5x2 5x x 5x2 x 15x 17 x 51 C 50 Vậy biểu thức C 50 không phụ thuộc vào x b) D x2 48x 5x 40 x x x 36 x 27 D 13 Vậy giá trị biểu thức D 13 không phụ thuộc vào giá trị biến x Tìm x, biết : a)5 x 3 x 5x 1 x 25 b)3 x x 5 x 1 3x 13 Hƣớng dẫn giải – đáp số a)5x2 35x 15x 105 5x 10 x x 25 41x 107 25 41x 82 x2 b)3x2 15x 21x 105 3x 3x 13 5x 103 13 5x 90 x 18 Rút gọn tính giá trị biểu thức: a) A 5x 3x x x x 2 1 b) B 5x x y y y 5x x ; y Hƣớng dẫn giải – đáp số a) Ta có : A 12 x 15x2 10 x 3x x2 x 17 x2 29 x 14 Với x 2 , thay vào biểu thức ta có : A 17 2 29 2 14 68 58 14 140 b) Ta có : B 5x x y y y 5x 5x2 20 xy y 20 xy 5x2 y 1 Thay x ; y vào biểu thức ta có ; 2 1 1 1 B 25 5 2 Tính giá trị biểu thức: a) A x6 2021x5 2021x4 2021x3 2021x 2021x 2021 x 2020 b) B x10 20 x9 20 x8 20 x 20 x 20 với x 19 Hƣớng dẫn giải – đáp số a) Với x 2020 nên ta thay 2021 x vào biểu thức , ta có : A x6 x 1 x5 x 1 x4 x 1 x3 x 1 x x 1 x x x x x5 x5 x x x3 x3 x x x x b) Với x 19 nên ta thay 20 x vào biểu thức, ta có : B x10 x 1 x9 x 1 x8 x 1 x x 1 x x 1 x10 x10 x9 x9 x8 x8 x2 x2 x x 1 Tìm hệ số a, b, c biết: a)2 x ax 2bx 4c x 20 x3 8x với x; b) ax b x cx x3 x với x Hƣớng dẫn giải – đáp số a)2 x ax 2bx 4c x 20 x3 8x 2ax4 4bx3 8cx2 x4 20 x3 8x2 1 (1) với x 2a a 4b 20 b 5 8c c b) ax b x cx x3 x ax3 bx2 acx2 bcx 2b 2ax x3 x2 ax3 b ac x2 2a bc x 2b x3 x2 2 (2) với x a a a 2b 2 b 1 b 1 b ac 1 1.c c 2 2a bc 2 1 c Chứng minh với số nguyên n thì: A n n2 3n 1 n n2 12 chia hết cho Hƣớng dẫn giải – đáp số Biến đổi đa thức, ta có : A n n2 3n 1 n n2 12 2n2 n3 6n 3n2 n n3 12n 5n2 5n 10 Đặt 2x a b c Chứng minh rằng: x a x b x b x c x c x a ab bc ca x Hƣớng dẫn giải – đáp số Xét vế trái: x a x b x b x c x c x a x2 ax bx ab x2 bx cx bc x ax cx ca ab bc ca 3x x a b c ab bc ca 3x2 x.2 x ab bc ca x2 Vế trái vế phải suy điều chứng minh 10 Cho a, b, c số thực thỏa mãn ab bc ca abc a b c Chứng minh : a 1 b 1 c 1 Hƣớng dẫn giải – đáp số Ta có a 1 b 1 c 1 a 1 bc b c 1 abc ab ac a bc b c abc ab bc ca a b c abc ab bc ca a b c abc abc Chủ đề PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ A Kiến thức cần nhớ Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) biến đổi đa thức thành tích đa thức khác Các phương pháp thường dùng: - Đặt nhân tử chung - Dùng đẳng thức - Nhóm hạng tử - Phối hợp nhiều phương pháp Có ta phải dùng phương pháp đặt biệt khác (xem chuyên đề 6) B Một số ví dụ Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a)12 x3 y x y 3x y b)5x y x 5xy x Giải Tìm cách giải Quan sát đề bài, thấy đa thức có nhân tử chung Bước Chọn hệ số ƯCLN hệ số Bước Phần biến gồm tất biến chung, biến lấy với số mũ nhỏ hạng tử Nếu có hai nhân tử đối nhau, đổi dấu hai nhân tử dấu đứng trước Trình bày lời giải a)12 x3 y x y 3x y 3x y x y b)5x2 y x 5xy x 5x2 y x 5xy x 5xy x x 1 Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a)100 x y b)9 a b a 2b c)8x3 27 y3 d )125 75x x x3 Giải Tìm cách giải Nhận thấy ví dụ đa thức có dạng đẳng thức Do vận dụng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử Trình bày lời giải a)100 x2 y 10 x y 10 x y b)9 a b a 2b 2 3 a b a 2b 3 a b a 2b a 7b 5a b c)8x3 27 y3 x y x2 xy y d )125 75x 15x x3 x Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x a b a b b)3a x 3a y abx aby c)ax bx cx 2a 2b 2c Giải Tìm cách giải Mỗi đa thức khơng có nhân tử chung, không xuất đẳng thức Quan sát kỹ nhận thấy nhóm hạng tử thích hợp xuất nhân tử chung Trình bày lời giải a) x a b a b a b x 1 b)3a x 3a y abx aby 3a x y ab x y a x y 3a b c)ax bx cx 2a 2b 2c x a b c a b c x a b c Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a)a b2 4a 4b b) xy x y 2 c) a b2 ab a b2 b2 c c a 2 Giải Tìm cách giải Nhận thấy đa thức ẩn chứa đẳng thức Vậy nhóm nhằm xuất đẳng thức Trình bày lời giải a) a b a b a b a b a b b) xy x y xy x y x y 2 y 2 x y 2 y 2 x 2 y 2 x y c) a b2 ab ab a b2 ab ab c2 a b2 a b2 a b c a b2 a b2 a b c a b2 a b c a b c Ví dụ 5: Cho số thực a, b, c đôi phân biệt thỏa mãn a b c b2 c a 2012 Tính giá trị biểu thức M c a b Giải Tìm cách giải Từ giả thiết khơng thể tính giá trị cụ thể a, b, c Do việc quan sát nghĩ tới việc phân tích đa thức thành nhân tử để tìm mối quan hệ a, b c Từ tìm giá trị biểu thức M Trình bày lời giải Ta có : a b c b2 c a a b a c b c b a ab a b c a b2 a b ab bc ca Vì a b nên: ab bc ca b c ab bc ca b2 a b2 c bc ac b2 a b2 c bc ac c a b b2 a c Vậy M 2012 C Bài tập vận dụng Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a)ab x a x b)4 x3 y 8x y3 12 x3 y Hƣớng dẫn giải – đáp số a)ab x a x a x a b b)4 x3 y 8x y3 12 x3 y x y xy y 3x Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) xy 1 x y 2 b) a b c a b c 4c 2 c) a 36a 2 Hƣớng dẫn giải – đáp số a) xy 1 x y xy x y xy x y 2 10 Lời giải 2 2 2 Ta có: x y z xz y x xz z y y 1 x z y 1 2 x z y 1 x z y 1 Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: x6 x4 x3 y3 xy Lời giải Ta có: x6 x4 x3 y3 xy3 x x5 x3 x y3 y = x x3 x y x x x3 y x = x x y x x xy y Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: x6 x4 x3 x2 Lời giải Ta có: x6 x4 x3 x2 = x x x x = x x x 1 x 1 x x x 1 x 1 x 1 = x x 1 x x Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: a b c a b c 4b 2 Lời giải Ta có: a b2 c2 2ab 2bc 2ca a b2 c2 2ab 2bc 2ac 4b2 2a 2c 2b2 4ac a 2ac c b2 a c b a c b a c b Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: a b2 c b c a c a b2 Lời giải 2 2 2 2 Ta có: ab ac bc a b a c b c a b c b a c c a b 2 2 2 = a b c b a b b c c a b = a b c b a b b b c c a b = b c a b2 a b b2 c b c a b a b a b b c b c = a b b c a b b c a b b c a c Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử: xy x y yz y z zx x z 3xyz Lời giải Ta có:= xy x y xyz yz y z xyz zx z x xyz = xy x y z yz x y z zx x y z x y z xy yz zx 55 Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử: xy x y yz y z zx z x Lời giải Ta có: = xy x y yz y z zx y z x y xy x y yz y z zx y z zx x y = = x x y y z z y z x y x y y z x z 4 Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử: x y z y z x z x y Lời giải Ta có: x4 y z y y z x y z x y = x4 y z y y z y x y z x y = y z x4 y x y y z = y z x y x y x y x y y z y z y z = x y y z x y x y y z y z = x y y z x3 xy x y y3 y3 yz y z z = x y y z x3 z y x z y x z = x y y z x z x xz z y x z y x z x z = x y y z x z x xz z y xy yz Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử: a b c ab bc ca abc Lời giải 2 2 2 Ta có: a b abc a c ab b c abc abc bc ac abc = a b ab 2 abc b2c bc abc a 2c ca = ab a b c bc a b c ac a c = b a b c a c ac a c = a c ab b2 bc ac a c b c a b Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử: a b c a b c b c a c a b Lời giải 3 3 Ta có: a b c a b c b c a c a b x a b c y b c a x y z a b c z c a b 56 3 3 3 3 3 3 = x y z x y z x y z x y y z z x x y z = x y y z z x 3.2a.2b.2c 24abc 2 Bài 12: Phân tích đa thức thành nhân tử: a b c b c a c a b Lời giải Ta có: a b c b2 b c a b c a b 2 2 = a b c b b c b a b c a b = b c a b a b a b b c b c = b c a b a b b c a b b c a c Bài 13: Phân tích đa thức thành nhân tử: x y z y z x3 z x3 y Lời giải 3 Ta có: xy3 xz yz x3 y x3 z y3 z = x z y y x z z y x = x3 z y y3 z y y x z y x = x3 z y y3 z y y3 y x z y x = z y x3 y y x z y = z y x y x xy y y x z y z yz y = z y x y x xy y z yz y = z y x y x z xy yz z y x y x z x y z 2 Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử: x y z x y z xy yz zx 2 Lời giải Ta có: x y z x y z xy yz zx xy yz zx Đặt: x2 y z a, xy yz zx b đa thức: a a 2b b2 a 2ab b2 a b x y z xy yz zx Bài 15: Phân tích đa thức x4 y z x2 y z x2 y z x y z x y z 2 thành Lời giải Đặt: x4 y z a, x2 y z b, x y z c , Khi ta có: 2a b2 2bc c 2a 2b2 b2 2bc c a b2 b c , 2 2 2 2 Lại có : a b 2 x y y z z x b c 2 xy yz zx , 57 nhân tử: 2 2 2 Thay vào ta : 4 x y y z z x xy yz zx 8xyz x y z 2 2 Bài 16: Phân tích đa thức thành nhân tử: c a b b a c a b c Lời giải Ta có : c2 a b b2 a b b c a b c = c2 a b b2 a b b2 b c a b c = a b b c b c b c b a b a = a b b c b c a b a b b c c a 3 Bài 17: Phân tích đa thức thành nhân tử: x y z y z x z x y Lời giải Ta có : z x y x3 x y z x y z x = z x y x3 x y y z x x z x = x y z x3 z x y x = x y z x z zx x z x y x y xy x = x y z x z zx x2 y xy x x y z x z y z y x Bài 18: Phân tích đa thức thành nhân tử: ab a b bc b c ac c a Lời giải Ta có : ab a b bc a b c a ac c a = ab a b bc a b bc c a ac c a = b a b a c c c a b a a b b c a c 3 Bài 19: Phân tích đa thức thành nhân tử: x y x 1 y y 1 x Lời giải Ta có : x y x3 x y 1 x y 1 x = x y x3 x y x3 1 x y 1 x = x y 1 x3 1 x x3 y = x y 1 x 1 x x 1 x x y x xy y 2 = x y 1 x 1 x x x xy y x y 1 x 1 y x y 1 2 2 2 Bài 20: Phân tích đa thức thành nhân tử: 4a b 2a b b c c b 4c a 2a c Lời giải 2 2 2 Ta có : 4a b 2a b b c 2a c 2a b 4c a 2a c 2 2 2 2 = 4a b 2a b b c 2a c b c 2a b 4c a 2a c = b2 2a b 4a c c 2a c b2 4a 58 2 = b 2a b 2a c 2a c c 2a c 2a b 2a b = 2a c 2a b 2ab2 b2c 2ac bc = 2a c 2a b b c 2ab 2ac bc 3 Bài 21: Phân tích đa thức thành nhân tử: x y z y z x z x y Lời giải Ta có : z x y x3 x y z x y z x 3 3 = z x y x x y y z x x z x = x y z x3 z x y x = x y z x z zx x z x y x y xy x = x y z x z zx x2 y xy x x y z x z y z y x Bài 22: Phân tích đa thức thành nhân tử: bc a d b c ac b d a c ab c d a b Lời giải Ta có : bc ab ac bd dc ac ab bc ad dc ab ac bc ad bd = bc ab ac bd dc ac ab ac bd dc ac bc ad bd ab ac bc ad bd = ab ac bd dc bc ac ac bc ad bd ac ab = a d b c c b a c d a b a c b = b c b a ac dc ca ad b c b a c a d 3 Bài 23: Phân tích đa thức thành nhân tử: a x y a y x x y a Lời giải 3 3 3 Ta có : y a x x a x x y a x y = y a x x a x x x y a x y = a x y x3 x y x3 a3 = x a x y x xy y x y x a x xa a = x a x y x xy y x xa a = x a x y y a y a x Bài 24: Phân tích thành nhân tử: x y xy2 xz yz x z y2 z xyz Lời giải 2 Ta có: xy x y z x y z x y x y xy z xz yz 59 x y y z z x PHƢƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a f ( x) x4 x3 12 x2 14 x b Q( x) x4 3x3 x2 x c P( x) x4 x3 17 x2 20 x 14 d R( x) x4 x3 5x2 x e H ( x, y) 12 x 5x 12 y 12 y 10 xy f T ( x, y) x2 xy y x 13 y Lời giải a Ta nhận thấy đa thức khơng có nghiệm ngun khơng có nghiệm hữu tỷ Giả sử f ( x) ( x2 ax+b)(x cx d ) x (a c) x3 (ac b d ) x (ad bc) x bd a c 6 ac b d 14 Đồng hệ số ta được: ad bc 14 bd b 1; 3 a c 6 c 4; a 2(tm) f ( x) ( x x 3)( x x 1) +) b ac a 3c 14 b Cách 1: Ta nhận thấy đa thức có nhân tử x + Q( x) x4 3x3 x2 x ( x 1)(2 x3 ax bx c) x (a 2) x3 (a b) x (b c) x c a 3 a b 7 a 5 b 2 Q( x) ( x 1)( x 2)(2 x x 4) b c c c Cách 2: Giả sử Q( x) (2 x2 +ax+b)(x cx d ) x (2c a) x3 (2d ac b) x (ad bc) x bd 2c a 3 b 2 2d ac b 7 d 4 Q( x) (2 x x 4)( x 1)( x 2) Đồng hệ số: ad bc a c 1 bd 2b n 7 2c p bn 17 c d (2 x x 1)2 cn bp 20 cp 14 c 2; p 7(tm) b 2; n 3 60 H ( x, y) ax by c dx ey f adx af cd x bey (ce bf ) y cf (bd ac) xy e Giả sử ad 12 af cd H ( x; y ) (3x y 1)(4 x y 3) be 12 ce bf 12 cf 3 c 1; f 3 a 3; d 4; b 2; e f T ( x, y) x by c x ny p n 2, b 3, c 1, p Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: x y xy x y y z z x 2 Lời giải x y xy x y y z z x x y x y x y 2xy 2x3 y x y y z z x 2 = x4 y x y xy x y z x y = x y xy x y z x y 2 = x y x y xy z x y x y z = x y x y z x y z Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: 81x z y z y Lời giải Ta có: 81x4 z y z y 81x z y z y = z y 81x 1 z y z y x 1 x 1 = z y z y 3x 1 3x 1 x 1 Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: x6 x4 x y y y Lời giải Ta có: x6 x4 x y y y = x y x x y y x y x3 y x y x y 2 2 3 3 2 2 = x y x y x y xy x y xy = x y x xy y x y x xy y x y xy x y xy = x2 y xy x y xy x y 1 Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: x 8x 63 61 Lời giải Ta có: x4 8x 63 x ax b x cx d Đồng hệ số ta có: x4 8x 63 x x x x Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: x 1 x x 1 Lời giải Ta có: x 1 x x 1 x 1 x x 1 1 4 2 2 2 = x 1 x x 1 x x 1 = x 1 x 1 x x x 1 2 2 = x x 1 x 1 1 = x x x x 1 Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x7 x5 b x7 x c x4n 8x2n 15 Lời giải a Ta có: x7 x5 x7 x6 x5 x6 x ( x2 x 1) ( x3 1)( x3 1) x5 ( x x 1) ( x 1)( x x 1)( x3 1) ( x x 1) x5 ( x 1)( x3 1) b x7 x2 ( x7 x) ( x x 1) ( x x 1)( x5 x x x 1) c x4n 8x2n 15 a 8a 15( x2n a) (a 3)(a 5) ( x 2n 3)( x 2n 5) Bài 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a ( x2 y z )( x y z)2 3( xy yz zx)2 b ( x y)3 ( y z)3 ( z x)3 c ( x3 y3 )3 ( y3 z )3 ( z x3 )3 d (a b)3 (b c)3 (c a)3 8(a b c)3 e (a b c)3 (a b c)3 (b c a)3 (c a b)3 Lời giải a Ta có ( x y z)2 x2 y z 2( xy yz zx) x2 y z a A a(a 2b).3b a 2ab 3b2 (a b)(a 3b) Đặt xy yz zx b A ( x2 y z xy yz zx)[(x y z 3( xy yz zx)] 3 b Ta biết: Nếu a b c a b c 3abc 62 x y a 3 Đặt y z b a b c B a b c B 3abc 3( x y )( y z )( z x) z x c c Tương tự câu b x3 y a 3 3 3 3 3 y z b a b c B a b c B 3abc 3( x y )( y z )( z x ) x3 z c a b x 3 d Đặt b c y x y z 2(a b c) ( x y z ) 8(a b c ) ; D x3 y3 z ( x y z )3 c a z Ta có: ( x y z)3 x3 y3 z 3( x y)( y z )( z x) D 3( x y)( y z )( z x) 3 m a b c e Đặt n b c a thì: a b c m n p E (m n p)3 m3 n3 p3 3(m n)(n p)( p m) p c a b E 3.2b.2c.2a 24abc Bài 9: Cho x, y, z thuộc Z Chứng minh rằng: S x y x y x y x y y số phương Lời giải Ta có: S ( x y)( x y)( x y)( x y) y ( x 5xy y )( x 5xy y ) y St t (t y ) y (t y )2 ( x 5xy y )2 (dpcm) Bài 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x4 8x3 3x2 8x b x4 15x3 35x2 30 x c x3 3x2 ( x2 x 1) ( x2 x 1)3 d x x x x Lời giải a Ta có: x4 8x3 3x2 8x 4( x4 1) 8x( x2 1) 3x2 4( x2 1)2 8x( x2 1) 5x2 y 8xy x y xy 10 xy 5x2 (2 y x)(2 y 5x) (2 x x 2)(2 x 5x 2) (2 x x 2)( x 2)(2 x 1) b Ta có: x4 15x3 35x2 30 x 2( x4 4) 15x( x 2) 35x 2( x x)2 15( x 2) 27 x y 15 y 27 x ( y 3x)(2 y x) ( x2 3x 2)(2 x x 4) ( x 1)( x 2)( x 4)(2 x 1) 63 c Ta có: x3 3x2 ( x2 x 1) ( x2 x 1)3 x3 3x y y x ( x y) y( x y)( x y) ( x y)(2 x y xy) ( x y)( x y)(2 x y) ( x y)2 (2 x y) d Ta có: x4 x3 x2 x ( x 2)(2 x 1)(2 x2 3x 2) Bài 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a A( x) x4 19 x3 2002 x 9779 x 11670 b B( x) 3x6 10 x5 34 x 47 x3 52 x 8x 40 Lời giải a Ta nhận thấy đa thức có hai nhân tử x - x - A( x) ( x 2)( x 3)(ax bx c) a 2; c 1945; b 9 A( x) ( x 2)( x 3)(2x 9x 1945) b Nhận thấy đa thức có nhân tử là: x – 3x + B( x) ( x 1)(3x 2)( x4 3x3 11x 14 x 20) ( x 1)(3x 2)( x x 4)( x x 5) Bài 12: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a A ab(a b) bc(b c) ca(c a) b B (a b)3 (b c)3 (c a)3 c C a(b c)3 b(c a)3 c(a b)3 d D (a b)5 (b c)5 (c a)5 Lời giải Đặt x a b; y b c x y a c a A abx bcy ca( x y) ax(b c) cy(a b) axy cxy xy(a c) (a b)(b c)(c a) b B x3 y3 ( x y)3 x3 y3 x3 3xy( x y) y3 3xy( x y) 3(a b)(b c)(c a) c Ta có: C ay b( x y )3 cx3 ay b x3 y 3xy ( x y ) cx3 y (a b) x (b c) 3bxy ( x y ) xy x3 y 3bxy ( x y ) xy ( y x ) 3bxy ( x y ) xy ( x y )( y x 3b) xy ( x y )(b c a b 3b) d xy ( x y )(a b c) (a b)(b c)(c a)(a b c) Ta có: ( x y)5 ( x y)( x y)4 ( x y)( x2 xy y ) ( x y)( x x y y x3 y xy x y ) ( x y)( x4 y ) ( x y)(4 x3 y x y xy ) x5 y xy( x3 y ) xy( x y)(4 x xy y ) x5 y5 xy( x y)(5x2 5xy y ) x5 y5 5xy( x y)( x xy y ) D x5 y5 ( x y)5 x5 y5 x5 y 5xy( x y)( x xy y ) 5xy ( x y )( x xy y ) 5(a b)(b c)(c a) (a b)2 (a b)(b c) (b c)2 5(a b)(b c)(c a)(a b c ab bc ca) Bài 13: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a A a(b3 c3 ) b(c3 a3 ) c(a3 b3 ) b B a3 (b2 c2 ) b3 (c2 a ) c3 (a b2 ) Lời giải 64 a Đặt x a3 b3 ; y b3 c3 x y a3 c3 A ay b( x y) cx y(a b) x(b c) (b3 c3 )(a b) (a3 b3 )(b c) (b c)(a b)(b2 bc c a ab b ) (b c)(a b)(bc ab c a ) (b c)(a b)(c a)(a b c) b x a b2 ; y b2 c x y a c Đặt B a y b3 ( x y ) c x y (a b3 ) x (b c ) (b c )(a b ) (a b )(b c ) (b c)(a b) (b c )(a ab b ) (a b )(b bc c ) b(a ab b b bc c ) (a 2c abc b 2c ab abc ac ) b(a c)(a b c ) ac (a c ) b (a c ) (a c )(ab b bc ac b ) (a c)(ab bc ca ) B (a b)(b c)(a c)(ab bc ca) Bài 14: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a A (a b c)3 a b3 c3 b B x( x y)3 y( y x)3 c C x4 ( x y)4 y d D a b4 c4 2(a 2b2 b2c2 c2 a ) Lời giải a Đặt m a b c suy ra: A m a (b3 c3 ) (m a )(m ma a ) (b c)(b bc c ) (b c)(m2 ma a b bc a ) (b c) (m b ) (a c ) (ma bc) (b c) (m b)(m b) (a c)(a c) (a b)(a c) (b c)(a c)(m b a c a b) 3(b c)(c a)(a b) b Đặt m x y B x(m y )3 y (m x)3 x m3 3my (m y ) y y m3 3mx(m x) x m3 ( x y ) xy ( x y ) 3mxy (m x m y ) ( x y )(m3 xy ( x y ) 3mxy ) m( x y )(m2 xy ) m( x y ) ( x y ) xy m( x y )3 ( x y )( x y )3 c m x y Đặt C (m y) m4 y m4 4m3 y 6m2 y 4my3 y m4 y 2( m4 2m2 y y ) 4my( m2 y ) 2m2 y 2 2(m2 y my )2 ( x y )2 y ( x y ) y 2( x xy y )2 d Đặt m a b2 c D (a b c ) 4(a 2b b 2c c a ) m2 b (a c ) c a m2 b (m b ) c a (m 2b )2 (2ca)2 (m 2b 2ca)(m 2b2 2ca) (a b2 c 2b2 2ca)(a b2 c 2b2 2ca) (a c)2 b2 (a c)2 b (a c b)(a c b)(a c b)(a b c) Bài 15: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a A a(b c a)2 b(c a b)2 c(a b c)2 (b c a)(c a b)(a b c) b B (a b c)3 (a b c)3 (b c a)3 (c a b)3 65 c C ab(a b) b(b c) ca(c a) a3 b3 c3 2abc Lời giải a Đặt m x y z; a b c x; b c a y; c a b z 2a y z;2b z x;2c x y A ( y z ) x ( x z ) y ( y x) z xyz xy( x y) yz ( y z ) zx( z x) xyz xy(m z ) yz (m x) zx(m y) xyz m( xy yz zx) xyz ( x y)( y z )( z x) 8abc A 4abc b Đặt a b c z; b c a x; c a b y x y z a b c B ( x y z)3 x3 y3 z 3( x y)( y z )( z x) 3.2c.2a.2b 24abc c Đặt a b c z; b c a x; c a b y 2a y z;2b x z;2c x y Ta có: 4C 4a (b c a) 4b (c a b) 4c (a b c) 8abc ( y z )2 x ( z x)2 y ( x y)2 z ( x y )( y z )( z x) xy ( x y ) yz ( y z ) zx( z x) ( x y )( y z )( z x) xyz xy ( x y ) yz ( x y ) zx( x y ) z ( x y ) ( x y )( y z )( z x) xyz ( x y )( xy yz zx z ) ( x y )( y z )( z x) xyz ( x y )( y z )( z x) ( x y )( y z )( z x) xyz xyz C xyz (b c a )(c a b)(a b c) CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Ứng dụng 1: Dùng để rút gọn biểu thức Bài 1: Cho a + b + c = , Rút gọn A a3 b3 c(a b2 ) abc Lời giải Ta có: A a3 b3 c(a b ) abc a b3 a 2c b 2c abc (a3 a 2c) (b3 b 2c) abc a (a c) b (b c) abc a c b A a (b) b (a) abc ab(a b c) Vì a b c b c a Ứng dụng 2: Dùng để chứng minh Bài 2: Cho a2 b2 1; c2 d 1, ac bd Chứng minh rằng: ab cd Lời giải Ta có: ab cd ab.1 cd ab(c2 d ) cd (a2 b2 ) abc2 abd a2cd b2cd (abc2 a2cd ) (abd b2cd ) ac(bc ad ) bd (ad bc) (ad bc)(ac bd ) 0(ac bd 0) Bài 3: Chứng minh tích bốn số tự nhiên liên tiếp cộng thêm số phương 66 Lời giải Gọi số tự nhiên liên tiếp là: n ; n + ; n + ; n + ( n thuộc N* ) Theo ta có: n(n 1)(n 2)(n 3) (n2 3n)(n2 3n 2) (k 1)(k 1) k (n2 3n 1)2 (dpcm) Bài 4: Chứng minh số A (n 1)4 n4 chia hết cho SCP khác với n nguyên dương Lời giải Ta có: A [(n+1)2 ]2 n4 (n2 2n 1)2 n2 (n4 n2 1) (n2 3n 1)(n2 n 1) (n4 n2 1) (n2 3n 1)(n2 n 1) (n2 n 1)(n2 n 1) (n2 n 1)(2n2 2n 1) 2(n2 n 1)2 (dpcm) Bài 5: Chứng minh với số nguyên x, ta có: (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15 (x+6) Lời giải Dùng phương pháp đặt ẩn phụ ta được: (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15 (x+6)=(x 8x 10)( x 2)( x 6) n n n3 Bài 6: Chứng minh với số nguyên n, biểu thức: A số nguyên 3 Lời giải n n2 n3 n3 3n2 2n n(n 1)(n 2) Ta có: A n Z 3 6 CÔNG THỨC KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON Bài 1: Phân tích thành nhân tử: A (a b)5 a5 b5 Lời giải A a5 5a4b 10a3b2 10a 2b3 5ab4 b5 a5 b5 5a 4b 10a3b2 10a 2b3 5ab4 5ab(a3 2a 2b 2ab2 b3 ) 5ab[(a3 3a 2b 3ab2 b3 ) (a 2b ab )]=5ab[(a+b)3 ab(a b)] =5ab(a+b)[(a+b)2 ab] 5ab(a b)(a ab b ) Bài 2: Cho a b c Chứng minh rằng: a5 b5 c5 5abc(ab bc ca) Lời giải Từ: a b c c (a b) VP a5 b5 (a b)5 5ab(a b)[(a+b)2 ab] 5ab(c)[(a+b)c-ab] 5abc(ab bc ca) VP(dpcm) Bài 3: Cho a b c Chứng minh rằng: a b c a b3 c a b c Lời giải Ta có: 67 5abc(ab bc ca) abc(ab bc ca ) (1); a3 b3 c3 3abc abc 3 VP a b2 c Lại có: (a b c) a b c 2(ab bc ca) (ab bc ca) 2 2 VT abc(ab bc ca)(2).(1)(2) VT VP Bài 4: CMR : (a b)2 (b c)2 (c a)2 (a b)3 (b c)3 (c a)3 (a b)5 (b c)5 (c a)5 Lời giải Ta có: (a b) (b c) (c a) Đặt x a b; y b c; z c a x y z Ta cần chứng minh: x y z x3 y z x5 y z Bài 5: Cho a,b số nguyên CMR số sau số phương A (a b)4 a b4 Lời giải A a 4a3b 6a 2b2 4ab3 b4 a b4 a b4 3a 2b2 2ab(a b2 ) (a b2 )2 (ab)2 2ab(a b ) (a b2 ab)2 (dpcm) Bài 6: Giải phương trình: ( x 2)6 ( x 2)6 x6 128(*) Lời giải Ta có: ( x 2)6 x6 x5 15x4 22 20 x3 23 15x2 24 x.25 26 x6 12 x5 60 x4 160 x3 240 x2 192 x 64 ( x 2)6 [x+(-2)]6 x6 12 x5 60 x4 160 x3 240 x2 192 x 64 VT x6 120 x4 480 x 128 (*) 120 x4 480 x2 x Bài 7: Cho a, b, c số nguyên, CMR: (a b)7 a7 b7 Lời giải (a b)7 a 7a 6b 21a5b5 35a 4b3 35a 3b 21a 2b5 7ab b (a b)7 a b7 7(a 6b 3a5b 5a 4b3 5a3b 3a 2b5 ab6 ) Bài 8: Chứng minh rằng: A 16n 15n 225 n N Lời giải +) n 160 15.0 225 152 +) n A 225 152 +) n A 225 225 152 68 (dpcm) ) n 16n (15 1)n Cn0 1n Cn1.1n1 Cnn 15n (1 15n BS (225) (16n 15n 1) BS (225) 225n Bài 9: Chứng minh rằng: A (n2 1)2 (n 1)n n3 n N * Lời giải +) n = ; n = thỏa mãn +) n (n2 1)n (1 n2 )n Cn0 1n Cn1.n2 Cn2 n4 Cnn n2n n3 BS (n3 ) (1) Lại có: (1 n) n Cn02 Cn12 n Cn22 n C n2 n2 n3 n(n 1) 3 n3 n3 BS (n ) BS (n ) n (n 1) n BS (n3 ) 2 Từ (1), (2) ta có điều phải chứng minh 69
Ngày đăng: 21/07/2023, 20:20
Xem thêm: Hsg đs8 chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử (69 trang)
