Cộng hòa xà hội chủ nghĩa việt nam Độc lập - Tự - Hạnh phúc đề tài sáng kiến kinh nghiệm I-sơ yếu lí lịch -Họ tên : hoàng trung dơng -Sinh ngày 19 tháng 10 năm 1981 -Năm vào ngành :2005 -Ngày vào Đảng : -Chức vụ đơn vị công tác : Giáo viên - Trờng THCS Thái Hòa -Trình độ chuyên môn :Cao Đẳng S Phạm -Hệ đào tạo : Chính quy -Bộ môn giảng dạy:Toán -Ngoại ngữ -Trình độ trị -Sơ cấp -Trung cấp -Đại học :Đại Học Quốc Gia Hà Nội -Toán Tin -Sau đại học -Khen thởng :Giáo viên giỏi cấp trờng II-nội dung đề tài -Tên đề tài : Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử -Lý chọn đề tài : ,, Trong chơng trình toán học phổ thông phân tích đa thức thành nhân tử vấn đề đặc biệt quan tâm Vì đợc sử dụng nhiều giải toán đa thức, rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức phân thức, biến đổi đồng biểu thức hữu tỉ,chứng minh đẳng thức, giải phơng trình xuyên suốt trình học tập sau học sinh Đối với trình độ học sinh THCS, việc trang bị kiến thức có đào sâu suy nghĩ, rèn luyện lực t toán học Phát huy trí lực học sinh điều vô quan trọng, sở vững để em học tập toán học đợc tốt Để phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phơng pháp Việc tìm phơng pháp thích hợp cho lời giải toán đợc ngắn gọn, xác, khoa học hay tìm nhiều cách giải khác toán tất phụ thuộc vào việc tiếp thu vËn dơng kiÕn thøc cđa häc sinh Khi lùa chän phơng pháp để phân tích giúp cho học sinh phát triển t toán học, óc tìm tòi sáng tạo, kỹ vận dụng kiến thức đà học giải toán cụ thể Không phân tích đa thức thành nhân tử học sinh đợc ôn lại hay sử dụng kiến thức liên quan nh : Hằng đẳng thức, kỹ thêm bớt tách hạng tử, tính nhẩm nghiệm đa thức Nói chung ,các thủ thuật toán học để giải toán phân tích đa thức thành nhân tử đòi hỏi học sinh phải t nhiều nắm kiến thức vận dụng linh hoạt , sáng tạo kiến thức Để giúp đỡ em học sinh tiếp cận khai thác lời giải toán phân tích đa thức thành nhân tử toán áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử trình giải, nh nhằm nâng cao kiến thức cần thiết giúp em học tốt môn Toán đồng thời phát huy đợc trí tuệ học sinh Qua trình giảng dạy môn Toán mạnh dạn đa sáng kiến giải pháp thực hiƯn vỊ viƯc “ Ph¸t huy trÝ lùc cđa häc sinh qua việc phân tích đa thức thành nhân tử nhằm giúp em nắm vững số phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử, số tập nâng cao, số tập có áp dụng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử, thấy đợc công cụ đắc lực giải số loại toán Và qua nhằm phát huy trí lực học sinh, góp phần nâng cao chất lợng dạy học -Phạm vi thời gian thực : Một số phơng pháp, số toán phân tích đa thức thành nhân tử áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử môn toán lớp Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng áp dụng vào hai lớp 8A 8B trờng THCS TháI Hòa III-quá trình thực 1-Khảo sát thực tế (Giới thiệu trạng cha thực ): Qua trình nghiên cứu dự giảng dạy trờng thấy tình hình giảng dạy giáo viên học tập học sinh môn Đại số mà cụ thể phần Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng phơng pháp vào giải Toán cấp có u khuyết điểm sau : a-Ưu điểm : Giáo viên giảng dạy nhiệt tình ,luôn cải tiến phơng pháp dạy học Nhiều giáo viên sâu vào việc dạy học phơng pháp tìm lời giải toán Giáo viên đà trọng rèn luyện cho học sinh kĩ ,phơng pháp cần thiết ,thói quen cần thiết để làm toán cho khoa học ,nhanh gọn ,dễ hiểu mà không dài dòng thời gian Giáo viên hớng dẫn học sinh giải tập theo phơng pháp khác làm cho toán trở nên phong phú đa dạng Đồng thời giáo viên dẫn dắt học sinh biết ứng dụng kiến thức đà học vào việc giải toán Học sinh ham học ham tìm hiểu ,các em thờng tự tìm gặp giáo viên để hỏi toán khó b-Nhợc điểm : Một số giáo viên cha trọng rèn luyện cho học sinh số thói quen phơng pháp giải toán cha sâu cải tiến phơng pháp giải toán ,cải tiến phơng pháp dạy học Một số giáo viên biến luyện tập thành chép tập với số câu hỏi rời rạc cha phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo học sinh ,giáo viên trọng đến việc lựa chọn loại tập cho thích hợp với đối tợng học sinh cho học sinh giải theo trật tự định Một nguyên nhân thiếu sót thiếu thốn tài liệu phơng pháp dạy học sinh giải toán phân tích đa thức thành nhân tử Đối với giáo viên điều quan trọng vấn đề dạy học sinh giải toán hay giải toán để tìm lời giải mà vấn đề dạy học sinh để học sinh giải toán nµy nh thÕ nµo mµ thĨ híng dÉn häc sinh phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp phân tích hợp lí Cũng có giáo viên cha trọng vào việc hớng dẫn học sinh ứng dụng kiến thức đà học vào giải toán Một số học sinh lúng túng giải tập tập nên áp dụng phơng pháp phân tích thành nhân tử Nhiều em hiểu toán sau giáo viên giảng dạy nhng cho toán tơng tự lại không giải đợc Sở dĩ nh nhiều học sinh cha nắm vững đợc phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử.Học trớc quyên sau ,học vẹt ,do cha có phơng ph¸p khoa häc Mét sè em cha ph¸t huy hết khả học tập t ,một số em có sai sót nhng giáo viên không ý phát sửa chữa kịp thời em lại mắc phải sai sót Đôi có số giáo viên cha hớng dÉn cho häc sinh suy nghÜ tríc gi¶i mét toán nên học sinh thờng không đọc kĩ đầu mà giải thờng hay lạc ®Ị 2-Sè liƯu ®iỊu tra tríc thùc hiƯn : Líp Sè häc sinh 8A 8B 38 35 BiÕt øng dơng p2PT§TTNT Tỉng sè TØ lƯ 20 19 52,6% 54,3% Cha biÕt øng dơng p2PT§TTNT Tỉng TØ lƯ sè 18 47,4% 16 45,7% Ghi 3-Những biện pháp thực (nội dung chủ yếu đề tài ) Chơng I:Các phơng pháp -Phơng pháp đặt nhân tử chung -Phơng pháp dùng đẳng thức -Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử -Phơng pháp Phối hợp nhiều phơng pháp Chơng II : Các phơng pháp đặc biệt -Phơng pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử -Phơng pháp thêm bớt hạng tử -Phơng pháp đổi biến số ( Đặt ẩn phụ) -Phơng pháp tìm nghiệm đa thức -Phơng pháp hệ số bất định -Phơng pháp xét giá trị riêng Chơng III phát huy trí lực học sinh qua việc Phân tích đa thức thành nhân tử - Bài toán chứng minh chia hết -Bài toán chứng minh biểu thức dơng, âm, không âm -Bài toán rút gọn và tính số trị biểu thức -Bài toán chứng minh đẳng thức -Bài toán tìm giá trị biến số để biểu thức có giá trị nguyên 4-Những biện pháp thực : Chơng I:Các phơng pháp A Phơng pháp đặt nhân tử chung Khi phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp thờng làm nh sau: - Tìm nhân tử chung Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung, nhân tử khác Viết nhân tử chung dấu ngoặc, viết nhân tử lại hạng tử dấu ngoặc với dấu chúng Khi phân tích phơng pháp ta dựa vào tính chất phân phối phép nhân phép cộng đa thức: A.B + A.C =A(B +C) B Phơng pháp dùng đẳng thức áp dụng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử Kiến thức : B3 Bình phơng tổng : ( A + B )2= A2+ 2AB +B2 Bình phơng cđa mét hiƯu: ( A - B )2= A2- 2AB +B2 Hiệu hai bình phơng: A2- B2 =( A + B ).( A - B ) LËp ph¬ng cđa mét tỉng: ( A + B )3= A3+ 3A2B +3AB2+ LËp ph¬ng cđa mét hiƯu: ( A - B )3= A3- 3A2B + 3AB2- B3 Tæng hai lËp ph¬ng : A3+ B3 =( A +B )(A2 - AB + B2 ) HiƯu hai lËp ph¬ng : A3 - B3 =( A - B )(A2 + AB + B2 ) Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 8x3y6 -1 Giải : 8x3y6 - =(2xy2)3 - 13 = ( 2xy2 - ).(4x2y4 + 2xy2 + 1) VÝ dơ 2: Ph©n tích đa thức sau thành nhân tử : 25x4 + 10x2y + y2 Gi¶i : 25x4 + 10x2y + y2 = (5x2)2 + 2.5x2 y + y2 = ( 5x2 + y)2 C phơng pháp nhóm nhiều hạng tử Khi sử dụng phơng pháp ta cần nhận xét đặc điểm hạng tử kết hợp hạng tử thích hợp nhằm làm xuất dạng dẳng thức xuất nhân tử chung nhóm dùng phơng phap đà biết để phân tích đa thức thành nhân tử Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 4x 2+8xy - 3x 6y Gi¶i : 4x2+8xy - 3x - 6y = (4x2 + 8xy ) - (3x + 6y) = 4x.(x+2y) - 3(x+2y) = (x+2y)(4x-3) VÝ dơ 4: Ph©n tích đa thức sau thành nhân tử : x2 - y2+ 2xz + z2 Gi¶i : x2 - y2+ 2xz + z2=( x2 + 2xz + z2) - y2 =(x+z)2 - y2 =(x+y+z)(x-y+z) D phơng pháp Phối hợp nhiều phơng pháp Thờng đợc tiến hành theo trình tự sau : + Đặt nhân tử chung (nếu có) để biểu thức lại đơn giản dễ nhận xét + Nhóm hạng tử + Dùng đẳng thức Ví dụ 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 + 2xy + y2xz – yz Gi¶i : x2 + 2xy + y2- xz – yz = (x2 + 2xy + y2) – (xz + yz) = (x + y)2- z(x+y) = (x+y)(x+y-z) VÝ dụ 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 3x3y - 6x2y- 3xy3- 6axy2- 3a2 xy +3xy Gi¶i: 3x3y - 6x2y-3xy3- 6axy2 -3a2xy +3xy = 3xy(x2-2x-y2-2ay-a2+1) = 3xy[(x2-2x+1)- (y2+2ay+a2)] = 3xy[(x-1)2-( y+a)2] = 3xy(x-1-y-a)(x-1+y+a) Ch¬ng II : Các phơng pháp đặc biệt A phơng pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử Trong số trờng hợp phơng pháp đà học giải đợc mà ta phải nghĩ tách hạng tử thành nhiều hạng tử để áp dụng đợc phơng pháp đà biết Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2- 6x + Giải : Cách : x2- 6x + = x2 - 2x- 4x+8 =x(x-2)-4(x-2) =(x-2)(x-4) C¸ch : x2- 6x + = x2 - 6x +9-1 = (x-3)2 -12=(x-3+1)(x-3-1)= (x-2) (x-4) C¸ch : x2- 6x + = x2 - - 6x +12 =(x+2)(x-2)-6(x-2) = (x-2) (x+2-6)= (x-2)(x-4) C¸ch : x2- 6x + = x2 - 4x +4-2x+4=(x-2)2- 2(x-2)= (x-2)(x-2-2)= (x-2)(x-4) Cã nhiÒu cách tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác tổng có cách thông dụng : Một : Tách hạng tử bậc thành hạng tử dùng phơng pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung Hai : Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử đa đa thức dạng hiệu hai bình phơng Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 9x2+6x-8 Gi¶i : 9x2+6x-8 =9x2-6x+12x-8 = 3x(3x -2)+4(3x-2) =(3x -2)(3x+4) Hc : 9x +6x-8 =9x2+6x+1 – =(3x+1)2-32 =(3x+1-3)(3x+1+3) =(3x -2)(3x+4) *Chú ý : Khi tách hạng tử bậc thành hai hạng tử ta dựa vào đẳng thức đáng nhớ: mpx2 + (mq +np)x +nq = (mx +n)(px +q) Nh vËy tam thøc bËc hai :ax2+bx+c hÖ sè b = b1+ b2 cho b1 b2 = a.c Trong thùc hµnh ta lµm nh sau : - Tìm tích a.c Phân tích a.c thành tích hai thừa số nguyên cách - Chän hai thõa sè mµ tỉng b»ng b Ví dụ 3: Khi phân tích đa thức 9x2+6x-8 thành nhân tử Ta có : a = ; b = ; c = -8 TÝch a.c =9.(-8) =-72 Phân tích -72 thành tích hai thừa số khác dấu cho thừa số dơng có giá trị tuyệt ®èi lín h¬n (®Ĩ tỉng hai thõa sè b»ng 6) -72 =(-1).72 =(-2).36 = (-3).24 = (-4).12 = (-6).12 = (-8).9 Chän hai thõa sè cã tỉng b»ng 6, ®ã -6 12 Từ ta phân tích 9x2+6x-8 =9x2-6x+12x-8 = 3x(3x -2)+4(3x+4) =(3x -2)(3x+4) VÝ dô : Khi phân tích đa thức x x -6 thành nh©n tư Ta cã : a = ; b = -1 ; c = -6 + TÝch a.c =1.(-6) = -6 Phân tích -6 thành tích hai thừa số khác dấu cho thừa số âm có giá trị tuyệt đối lớn b=-1 < (để tổng hai thõa sè b»ng -1) -6 = 1.(-6) = 2.(-3) Chọn hai thừa số có tổng -1, : -3 Từ ta phân tích x2 -x -6 = x2 + 2x -3x -6 = x(x+2) -3(x+2) = (x+2)(x-3) *Chó ý : Trong trêng hỵp tam thøc bËc hai : ax2 + bx + c có b số lẻ, không bình phơng số nguyên nên giải theo cách gọn so với cách hai B Phơng pháp thêm bớt hạng tử Khi đa thức đà cho mà hạng tử đa thức không chứa thừa số chung, dạng đẳng thức nh nhóm số hạng ta phải biến đổi hạng tử để vận dụng đợc phơng pháp phân tích đà biết Ví dụ : Phân tích đa thức x4 + thành nhân tử Giải : Ta thấy x4 =(x2)2 ; = 22 Do ®ã ta cã thĨ thêm bớt vào đa thức đà cho hạng tử 4x2 x4 + = (x4 + + 4x2)– 4x2= (x2+2)2 – (2x)2 = (x2+ 2x +2)( x2- 2x +2) Ví dụ : Phân tích đa thức 64a4 + b4 thành nhân tử Giải : Ta thấy 64a4 =(8a2)2 ; b4 = (b2)2 Do ®ã ta cã thĨ thêm bớt vào đa thức đà cho hạng tử 16a2b2 64a2 + b4 = 64a4 + b4 + 16a2b2 - 16a2b2 = (8a2 + b2)2 - (4ab)2 = (8a2 + b2-4ab)( 8a2 + b2+4ab) C Phơng pháp đổi biến số ( Đặt ẩn phụ) Ví dụ : Phân tích đa thức (x2+x)2 + 4x2 + 4x - 12 thành nhân tử Giải : Ta có : (x2+x)2 + 4x2 + 4x - 12 = (x2+x)2 + 4(x2 + x) - 12 Nhận thấy đặt x2 + x = y có đa thức đơn giản y2 + 4y -12 lµ tam thøc bËc hai cđa biÕn y Ta cã : y2 + 4y -12 = y2 +6y - 2y -12 = y(y+6) -2(y+6) = (y+6)(y-2) = (x2 + x+6)( x2 + x -2) =(x2 + x+6)( x2 +2x-x -2) =(x2 + x+6)[x ( x +2)- ( x +2) ] =(x2 + x+6)(x+2)(x-1) *Chó ý : x2 + x+6 không phân tích đợc phạm vi số hữu tỉ (vì tích a.c = = 1.6 =2.3 hai thừa số có tổng - cách phần I) Ví dụ : Phân tích đa thức (x2+ 3x + 1) (x2+ 3x + 2)- thành nhân tử Giải : §Ỉt (x2+ 3x + 1) = y Ta cã : (x2+ 3x + 1) (x2+ 3x + 2)- =y(y + ) - = y2 + y - = y2 + 3y - 2y - = (y + 3)(y - 2) = (x2+ 3x + +3)( x2+ 3x + -2) = (x2+ 3x + 4)( x2+ 3x -1) ( phơng pháp hạ bậc đa thức ) D Phơng pháp tìm nghiệm đa thức Tổng quát : cho đa thức f(x); a nghiƯm cđa f(x) nÕu f(a) = nh vËy nÕu f(x) chứa nhân tử x - a a phải nghiệm đa thức -Trong đa thức với hệ số nguyên, nghiệm nguyên có phải ớc hạng tử không đổi -Nếu đa thức có tổng hệ số đa thức chứa nhân tử x-1 -Nếu đa thức có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số bậc lẻ đa thức chứa nhân tử x + Ví dụ : Phân tích đa thức x3 + 3x2 -4 thành nhân tử Giải: 10 Nếu đa thức có nghiệm a nhân tử lại cã d¹ng x + bx +c Suy ra: a.c = -4, tức a phải ớc -4 ( ± 1; ± 2; ± 4) KiÓm tra thÊy nghiện đa thức Nh đa thức chứa nhân tử x Do ta tách hạng tử đa thức làm xuất nhân tư chung x-1 C¸ch 1: x3 + 3x2 -4 = x3 - x2+ 4x2 -4 = x2(x-1) +4(x-1)(x+1) = (x-1)(x2 +4x+4)= (x-1)(x+2)2 C¸ch 2: x3 + 3x2 -4 = x3 -1+ 3x2 -3 =(x-1)(x2 + x +1) +3(x-1)(x+1) =(x-1)( x2 + x +1 +3x+3) =(x-1)(x2 +4x+4) = (x-1)(x+2)2 ë vÝ dụ ta nhận thấy tổng hệ số đa thức 1+34 = nên đa thức chứa nhân tử x-1 Do ta tách hạng tử đa thức làm xuất nhân tử chung x-1 Ví dụ 10 : Phân tích đa thức 2x3 - 5x2+ 8x-3 thành nhân tử Các ớc -3 lµ : ± ; ± mµ ± 1; không nghiệm đa thức Nh đa thức nghiệm nguyên Nhng đa thức có nghiệm hữu tỉ *Chú ý : Trong đa thức với số nguyên, nghiệm hữu tỷ có p phải có dạng q với p ớc hạng tử không đổi, q ớc dơng hạng tử cao Nh đa thức nghiệm hữu tØ nÕu cã chØ cã thĨ lµ : ;-3;2 KiĨm tra thÊy x= lµ mét nghiƯm đa thức nên đa thức chứa -1 ; - nh©n tư 11 x- hay 2x-1 Do ta tìm cách tách hạng tử đa thức để xuất nhân tử chung 2x-1 Ta có: 2x3 - 5x2+ 8x-3 =2x3 - x2-4x2+2x+6x-3 =x2(2x-1)-2x(2x-1)+3(2x-1) =(2x-1)(x2-2x-3) E Phơng pháp hệ số bất định Ví dụ 11: Phân tích đa thức 2x3-5x2+8x-3 thành nhân tử Giải : Nếu đa thức tiện phân tích đợc thành nhân tử phải có dạng (ax+b)(cx2+dx+m)=acx3+(ad+bc)x2+(am+bd)x+bm Đồng đa thức với đa thức đà cho 2x3-5x2+8x-3 , ta đợc: 2x3-5x2+8x-3 = acx3+(ad+bc)x2+(am+bd)x+bm Suy : a.c = ; ad+bc =-5 ; am+bd = ; b.m = -3 Có thể giả thiết a>0 (vì a b cã thĨ lµ ± Xét b=-1 m=3 => d=-2 thoả mÃn điều kiện => a=2 ; b=-1 ; c=1 ;d=-2 ; m=3 VËy 2x3-5x2+8x-3 = (2x-1)(x2-2x+3) F Phơng pháp xét giá trị riêng Ví dụ 12 : Phân tích đa thức P= ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a) thành nhân tử Giải : Sử dụng phơng pháp xét giá trị riêng ta có Nếu ta thay a b P= 0+ bc(b-c) + bc(c-b) =0 ,nên p chia hÕt cho a-b vai trß cđa a,b,c nh đa thức nên p chia hết cho (a-b)(b-c)(ca) Trong phép chia đó, đa thức bị chia P có bậc tập hợp biến đa thøc chia (a-b)(b-c)(c-a) cịng cã bËc ®èi víi tËp hợp biến số nên thơng số k 12 ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a)=k(a-b)(b-c)(c-a) Trong đẳng thức cho ta biến nhận giá trị riêng a=2 ; b=1 ; c=0, ta đợc : 2.1.1+0 +0 =k.1.1.(-2) = -2k => k=-1 VËy P = (a-b)(b-c)(c-a) VÝ dô 13 : Phân tích đa thức Q = (a+b+c)3-a3-b3-c3 thành nhân tử Giải : Sử dụng phơng pháp xét giá trị riêng ta có Nếu ta thay a -b th× Q= (0+c)3+b3-b3-c3=0 VËy Q chia hÕt cho (a+b) vai trò a,b,c nh đa thức nên Q chia hÕt cho (a+b)(b+c)(c+a) Trong phÐp chia ®ã, ®a thøc bị chia Q có bậc tập hợp biến đa thức chia (a+b)(b+c)(c+a) có bậc tập hợp biến số nên thơng lµ h»ng sè k (a+b+c)3-a3-b3-c3 = k(a+b)(b+c)(c+a) Cho biÕn nhËn giá trị riêng a=0; b=1; c=2 ta có : (0+1+2)3-0 -13-23 = k(0+1)(1+2)(2+0) 18 = k => k=3 VËy : (a+b+c)3-a3-b3-c3 = 3(a+b)(b+c)(c+a) *Chó ý : Khi đa thức có nhiều biến số vai trò biến nh đa thức ta sử dụng phơng pháp xét giá trị riêng nh Chơng III phát huy trí lực học sinh qua việc Phân tích đa thức thành nhân tử A Bài toán chøng minh sù chia hÕt VÝ dô : Chøng minh r»ng : x3 - x chia hÕt cho với số nguyên x Giải : Ta có P = x3 - x =x(x2 -1) = x(x+1)(x-1) V× x nguyên nên x+1,x-1 số nguyên Do đó: 13 P = (x+1) x (x-1) lµ tÝch cđa sè nguyªn liªn tiÕp sÏ chia hÕt cho VËy P 3 ∀ x ∈ Z VÝ dô : Chøng minh r»ng : x5 - 5x3 + 4x chia hết cho 120 với số nguyên x Giải : Ta cã M = x5 -5x3 + 4x = x(x4-5x2+4)=x( x4- x2-4x2+4) =x[ x2 (x2-1)-4(x2-1)]= x(x2-1) (x2-4) =(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2) M Lµ tÝch cđa sè nguyªn liªn tiÕp nªn M 2;3;4;5 Vì M M nên M ( lµ BCNN cđa 2vµ 4) VËy M 8.3.5 =120 ( 3;8;5nguyên tố đôi ) VÝ dơ : Chøng minh ®a thøc x3- x2 +x -1 chia hết cho đa thức x-1 Giải : Ta cã P = x3- x2 +x -1= x2(x-1)+(x-1) = (x-1)(x2 +1) Đa thức P chứa nhân tử x-1 nên P (x-1) Để giải toán đà phân tích đa thức bị chia thành nhân tử ( sử dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử ) để biến đa thức chia thành tích sau tiếp tục sử dụng kiến thức tính chia hết suy điều phải chứng minh Khi chøng minh mét ®a thøc chia hÕt cho đa thức khác ta có nhiều cách chứng minh VËy vÝ dơ ta cã thĨ chøng minh b»ng c¸ch thùc hiƯn phÐp chia, sè d b»ng cã thể dùng lợc đồ Hoocme tìm số d ( d ) Hoặc chứng minh nghiệm đa thức chia nghiệm đa thức bị chia Nhng cách làm dài, đơn điệu phức tạp so với cách làm ( áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử ) biến đổi đa thức thành tÝch ®ã biĨu thøc ®· cho chia hÕt cho nhân tử cho tích đà làm cho phép giải toán nhanh lời giải thông minh B Bài toán chứng minh biểu thức dơng, âm, không âm Bài toán kích thích t học sinh phải tìm đờng lối giải giải phải nắm đợc kiến thức: - Biểu thức dơng ( lớn ) tư thøc vµ mÉu thøc cïng dÊu 14 - Biểu thức không âm ( lớn ) biĨu thøc cho b»ng l thõa bËc ch½n cđa biĨu thức khác - Bên cạnh cần ý với trờng hợp biểu thức nguyên ta xét luôn dơng âm biểu thức dựa vào dấu nhân tử kết hợp với qui tắc nhân dÊu dÊu nguyªn VÝ dơ : Cho biĨu thøc P = 4x - 12x + Chứng minh P không âm với x Giải : Ta cã P = 4x -12x + = (2x)2-2.2x.3 +(-3)2 = (2x-3)2 ≥ VËy P ≥ víi ∀ x Hay biĨu thøc P kh«ng ©m víi ∀ x VÝ dơ : Chøng minh biểu thức M = âm với x Giải : x4 − x3 − x + kh«ng x + x + 3x + x + x4 − x3 − x + Ta cã : M = x + x + 3x + x + = x ( x − 1) − ( x − 1) x + x + 3x + x + ( x − 1)( x − 1) x + x + 3x + x + ( x − 1) ( x + x + 1) ( x − 1) = = ( x + 2)( x + x + 1) ( x + 2) = V× x2 +x +1 = x2 +x + 3 + =(x+ )2 + >0 ∀ x 4 Mặt khác (x-1)2 x x2 +2 > ∀ x VËy M ≥ ∀ x Hay M không âm x Với toán em phải phân tích đa thức thành nhân tử rút gọn biểu thức Qua kỹ phân tích em đợc rèn luyện phát triển với kỹ giải toán khác C Bài toán rút gọn và tính số trị biểu thức Đây toán áp dụng gần gũi việc phân tích đa thức thành nhân tử Đờng lối giải vận dụng tính chất phân thức đại số để thu thành nhân tử sau rút gọn thành nhân tử chung rèn kỹ phân tích đa thức thành nhân tử bên cạnh sử dụng số tính chất toán học khác để giải Sự kết hợp có tác dụng rèn trí t cho häc sinh gióp c¸c 15 em thÊy sù liên hệ chặt chẽ kiến thức toán học phát triển trí tuệ thông minh t logickhoa häc ë c¸c em 5x + x + 8x + VÝ dô : Cho P = a/ Rót gän P Gi¶i P = 5( x − 1) 5( x − 1) 5x + 5 = = = ( x + x ) + (7 x + 7) x( x + 1) + 7( x + 1) x+7 x + 8x + ( víi x -1; x -7) b/ Tính giá trị P víi x=2001 Gi¶i : P = 5 = = x+7 2001 + 2008 D Bài toán chứng minh đẳng thức Loại toán đờng lối giải ta phải bến đổi, rút gọn biểu thức phức tạp vế đến kết biểu thức đơn giản vế nhng có ta phải biến đổi rút gọn hai vế để đến kết giống Thực chất toán toán rút gọn biÓu thøc 5x + 5 = x + 8x + x + 5( x + 1) 5x + 5 BiÕn ®ỉi VT ta cã : VT = = = =VP ( x + 1)( x + 7) x+7 x + 8x + VÝ dô 1: Chứng minh đẳng thức sau : Giải : Vậy đẳng thức đợc chứng minh x3 + 2x Ví dụ 2: Chứng minh đẳng thức sau = (1 − x)( x − x + 4) x Giải x3 + Biến đổi VP ta cã : VP = (1 − x)( x − x + 4) ( x + 2)( x − x + 4) = = (1 − x)( x − x + 4) x+2 1− x BiÕn ®ỉi VT ta cã : VT = −2−x − ( x + 2) x+2 = = x −1 x 1 x VT =VP Vậy đẳng thức đợc chứng minh Víi häc sinh c¸c em rÊt thÝch thó víi dạng tập em cho dạng toán đà cho sẵn kết E Bài toán tìm giá trị biến số để biểu thức có giá trị nguyên 16 Để giải toán đờng lối chung tách phần nguyên để xét phần phân thức dạng đơn giản ( Phần lớn toán sau rút gọn kết phân thức đơn giản ) Tiếp thea ta dùng giá trị tử biến số để phân thức có giá trị nguyên Muốn đạt đợc giá trị nguyên tử thức phải chia hết cho mẫu thức hay nói cách khác: Mộu thúc phải ớc tử thức Từ ta tìm đợc giá trÞ cđa biÕn VÝ dơ : Cho P = 5x + x + 8x + Tìm giá trị xđể biểu thức có giá trị nguyên Giải: x+7 = x=-2 P đạt giá trị nguyên ⇔ x+7 lµ íc cđa ( ± 1; ± 5) x+7 =-1 ⇒ x=-8 Do ®ã x+7 = ⇒ x=-6 x+7 =-5 ⇒ x=-12 VËy biÕn sè nhận giá trị { -12;-8;-6;-2} P đạt giá trị nguyê Theo VD IV.3 ta cã: P= 5x + 5 = x+7 x + 8x + IV-kÕt qu¶ thùc hiƯn cã so sánh đối chứng Qua phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử học sinh biết vận dụng phơng pháp vào giải toán cho nhanh gọn dễ hiểu Trong SGk SGV Đại số đa phơng pháp mà không hớng dẫn học sinh vận dụng phơng pháp Do trình độ nhận biết học sinh khác đa phơng pháp học sinh giỏi tiếp thu nhanh em học sinh trung bình ,yếu bớc đầu tiếp thu đợc ,cũng biết vận dụng phơng pháp nhng cha linh hoạt ,các em bị nhầm ,dài dòng Sau học xong phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử thu đợc kết nh sau : Líp Sè häc sinh 8A 8B 38 35 BiÕt øng dơng p2PT§TTNT Tỉng sè TØ lƯ 31 30 81,6% 85,7% 17 Cha biÕt øng dơng p2PT§TTNT Tỉng TØ lƯ sè 18,4% 14,3% Ghi V-những kiến nghị đề nghị sau trình thực đề tài -Đề tài đợc công nhận kết phổ biến cho tất giáo viên môn Toán áp dụng vào việc giảng dạy cho học sinh -Phân phối chơng trình giảm tải phần kiến thức khác tăng số tiết phần phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử đầy đủ ứng dụng đợc nhiều toán khác chơng trình Toán THCS -Giáo viên trọng hớng dẫn học sinh học tập đầy đủ ,nhiệt tình,phát huy tính sáng tạo chủ động trọng việc làm toán Ngày 20 tháng 05 năm 2012 Giáo viên Hoàng Trung Dơng ý kiến nhận xét đánh giá xếp loại Của hội ®ång khoa häc c¬ së ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Ngày tháng năm 2012 Chủ tịch hội đồng đánh giá xếp loại Của hội đồng khoa học Ngành giáo dục đào tạo huyện 18 Ngµy tháng năm 2012 Chủ tịch hội đồng 19 ... số phơng pháp, số toán phân tích đa thức thành nhân tử áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử môn toán lớp Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng áp dụng vào hai lớp 8A 8B trờng... phơng pháp A Phơng pháp đặt nhân tử chung Khi phân tích đa thức thành nhân tử phơng pháp thờng làm nh sau: - Tìm nhân tử chung Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung, nhân tử khác Viết nhân tử. .. (x-1)(x2 +1) §a thức P chứa nhân tử x-1 nên P (x-1) Để giải toán đà phân tích đa thức bị chia thành nhân tử ( sử dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử ) để biến đa thức chia thành tích sau tiÕp