phân tích đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán

“Phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng giải toán” PHẦN ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài nghiên cứu Mơn Tốn môn khoa học nhà trường phổ thơng, Tốn học chiếm vị trí quan trọng lĩnh vực khoa học kĩ thuật ứng dụng sống hàng ngày Học tốt mơn Tốn giúp em phát triển tư duy, hình thành kĩ kĩ xảo, phát huy tính tích cực học tập Là giáo viên dạy Tốn, tơi thấy việc hướng dẫn em biết cách giải thấy ứng dụng loại tốn cần thiết Trong chương trình Đại số 8, dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử nội dung quan trọng Bài toán phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng nhiều tốn khác tính nhanh, tính giá trị biểu thức, giải phương trình, rút gọn biểu thức,…Qua việc giảng dạy mơn tốn thấy nhiều học sinh lúng túng gặp gặp tốn phân tích đa thức thành nhân tử, đặc biệt học sinh trung bình học sinh yếu, học sinh giỏi tốn phân tích đa thức thành nhân tử làm cho em thích thú, say mê học tập Vậy làm để đối tượng học sinh thích thú, say mê học dạng tốn Do đó, phạm vi đề tài này, tơi đưa phương pháp để giúp em học sinh lớp có kĩ thành thạo, có phương pháp giải tốt dạng tốn này, từ giúp em biết vận dụng dạng toán để giải tốn khác Trong chương trình Đại số 8, sách giáo khoa đưa phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử là: + Đặt nhân tử chung + Dùng đẳng thức + Nhóm hạng tử + Phối hợp nhiều phương pháp Trong thực tế có tốn dạng phức tạp áp dụng phương pháp để giải Gặp tốn em lại lúng túng làm sử dụng phương pháp để giải toán Do đó, cần thêm phương pháp khác như: phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử, phương pháp thêm bớt hạng tử, phương pháp đổi biến, phương pháp đồng hệ số Đồng thời vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để làm số dạng tập Nhằm giúp em học sinh thấy đa dạng phong phú nội dung dạng toán Đồng thời giúp em có cách nhìn nhận nhiều góc độ khác dạng tốn, từ kích thích em có tìm tịi sáng tạo, khám phá điều lạ, say mê học tập, có hứng thú học mơn Tốn nên tơi nghiên cứu đề tài “Phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng giải tốn” 1/19 “Phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng giải tốn” Mục đích nghiên cứu Tơi thực đề “Phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng giải toán” nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học; đồng thời trang bị cho em học sinh lớp cách có hệ thống phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử nhằm giúp học sinh có khả tìm cách giải nhanh chóng, xác biết ứng dụng toán phân tích đa thức thành nhân tử Thơng qua tốn phân tích đa thức thành nhân tử rèn luyện cho học sinh kĩ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử phát huy khả suy luận, phán đoán học sinh, khả vận dụng sáng tạo trình giải tập Hơn cịn giúp học sinh hiểu mơn học, có kiến thức vững vàng, có hứng thú say mê học tập, gợi cho học sinh tính độc lập tìm hiểu, tự nghiên cứu, đam mê môn học Nội dung nghiên cứu - Nghiên cứu chương trình sách giáo khoa Đại số 8, tổng hợp phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử tập vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử - Phân loại toán, dạng tập theo dạng đưa phương pháp giải cụ thể - Từ việc nghiên cứu đề tài, rút học kinh nghiệm góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy mơn Tốn; đồng thời giúp học sinh rèn luyện kĩ tư rèn luyện kĩ tính tốn, vận dụng kiến thức tốn học vào đời sống môn khoa học khác Đối tượng nghiên cứu, khách thể nghiên cứu - Học sinh lớp năm học 2018 - 2019 Thành phần tham gia nghiên cứu - Phạm vi nghiên cứu: Đề tài tập trung nghiên cứu phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử tập vận dụng - Đối tượng học sinh lớp Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Nghiên cứu từ sách giáo khoa, tài liệu sách tham khảo có liên quan - Phương pháp nêu vấn đề: Nêu vấn đề hướng dẫn giáo viên, học sinh tự học thảo luận theo nhóm học tập - Phương pháp thực nghiệm: Thực tiết dạy - Phương pháp so sánh - Phương pháp thống kê - Phương pháp phân tích, tổng hợp 2/19 “Phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng giải toán” Kế hoạch nghiên cứu Thời gian nghiên cứu đề tài từ tháng 10 năm 2018 đến hết tháng năm 2019 - Đầu tiên tơi nghiên cứu nội dung chương trình sách giáo khoa có nội dung liên quan phân tích đa thức thành nhân tử Sau tơi đọc nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo để hiểu rõ nội dung cần thể vào giảng - Hệ thống lại kiến thức lí thuyết theo tiết dạy, phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, từ đưa dạng tập phương pháp giải giúp học sinh có khả tìm cách giải nhanh chóng xác - Rút kết luận từ việc nghiên cứu đưa vào áp dụng thực tiễn 3/19 “Phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng giải toán” PHẦN NHỮNG BIỆN PHÁP ĐỔI MỚI Cơ sở lý luận Ở trường phổ thơng mơn Tốn mơn học sở, công cụ để học tốt môn học khác giải tốn hình thức chủ yếu hoạt động toán học Các toán chương trình phổ thơng phương tiện đem lại hiệu cao thay việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ vàn biết ứng dụng tốn học vào thực tiễn Vì tổ chức có hiệu việc rèn cho học sinh có kĩ giải tập tốn có vai trị định việc nâng cao chất lượng học tập học sinh Phân tích đa thức thành nhân tử nội dung kiến thức quan trọng, lý thú, phong phú, đa dạng không đơn giản với hoc sinh THCS Nội dung đưa vào chương trình Tốn 8, thật em đề cập đến từ trước với dạng tốn ngược áp dụng tính chất phân phối phép nhân phép cộng tập hợp số Với lượng thời gian tiết (từ tiết đến tiết 14) song nội dung sở vận dụng cho chương sau lớp sau phần: “Rút gọn phân thức, quy đồng mẫu số phân thức, giải phương trình,…” Vì vấn đề đặt làm để học sinh sử dụng thành thạo phương pháp, giải toán phân tích đa thức nhân tử cách xác, nhanh chóng đạt hiệu cao Để thực tốt điều đòi hỏi người giáo viên phải xây dựng cho học sinh kĩ quan sát, nhận xét, đánh giá toán đặc biệt kĩ giải toán, vận dụng toán Tùy theo đối tượng học sinh mà giáo viên xây dựng cách giải cho phù hợp sở phương pháp học, đồng thời phải mở rộng thêm cách giải khác nhằm nâng cao chất lượng học tập môn học sinh Thực trạng vấn đề nghiên cứu (cơ sở thực tiễn) Trong trình giảng dạy với lượng thời gian theo phân phối chương trình có tiết, từ tuần đến tuần nên học dạng tốn đa số học sinh cịn lúng túng việc áp dụng phương pháp, học sinh giỏi nhiều vấn đề chưa đề cập đến Qua thực tế giảng dạy, nhận thấy tình trạng học sinh giải tốn sau: + Khi gặp tốn học sinh khơng biết làm gì? Khơng biết hướng nào? Khơng biết liên hệ kiện cho đề với kiến thức học + Suy luận kém, chưa biết vận dụng phương pháp học vào dạng tốn khác + Trình bày khơng rõ ràng, thiếu khoa học, logic 4/19 “Phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng giải tốn” Tơi tìm hiểu nguyên nhân khách quan chủ quan dẫn đến đa số học sinh chưa có kĩ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử sau: - Đối với giáo viên: Chưa thật đổi phương pháp dạy học đổi chưa triệt để, giáo viên chưa tích cực tìm hiểu, sáng tạo để áp dụng phương tiện dạy học vào giảng dạy - Đối với phụ huynh: Chưa thật quan tâm đến việc học tập em theo dõi, kiểm tra, đơn đốc việc học Đa số phụ huynh thường phó mặc cho nhà trường, không kiểm tra việc học nhà việc chuẩn bị trước đến lớp - Đối với học sinh: + Học sinh có ý thức học tập khơng đồng đều, tập trung ý học + Đa số học sinh yếu kĩ tính tốn, quan sát, nhận xét, biến đổi thực hành giải toán Nguyên nhân kiến thức lớp cộng thêm việc không chủ động học tập từ đầu năm học dẫn đến việc chây lười học tập + Các em chưa có phương pháp học tập tốt, thường học vẹt, học máy móc, thiếu nhẫn nại gặp tốn khó + Khơng có thói quen tự học nhà, không học bài, không lam trước đến lớp Vì để học sinh u thích mơn Tốn, để học sinh có kĩ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử, để khơng cịn học sinh yếu môn Để giải vấn đề trên, q trình giảng dạy tơi đưa phương pháp bản, phương pháp đặc biệt thông qua tập cụ thể giúp em hiểu rõ vận dụng phương pháp giải toán phân tích đa thức thành nhân tử nhằm nâng cao chất lượng học tập cho học sinh Mô tả, phân tích giải pháp cải tiến Muốn phân tích đa thức thành nhân tử cách thành thạo nhanh chóng trước tiên phải hiểu phân tích đa thức thành nhân tử phân tích đa thức cho thành tích đa thức, đơn thức khác; sau nắm phương pháp phương pháp nâng cao để phân tích, từ vận dụng giải số tốn khác như: tính nhanh, tính giá trị biểu thức, giải phương trình, rút gọn biểu thức,… 3.1 Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp thông thường Đây phương pháp dùng cho toán phân tích mức độ đơn giản a Phương pháp đặt nhân tử chung AB + AC − AD = A ( B + C − D ) 5/19 “Phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng giải tốn” Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x − 3x b) 12x − 6x + 3x Giải a) x − 3x = x ( x − ) ( ) b) 12x − 6x + 3x = 3x 4x − 2x + Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) 5x ( x − 2y ) − 15xy ( x − 2y ) b) x ( x + y ) + 4x + 4y Giải ( ) a) 5x ( x − 2y ) − 15xy ( x − 2y ) = ( x − 2y ) 5x − 15xy = ( x − 2y ) 5x ( x − 3y ) b) x ( x + y ) + 4x + 4y = x ( x + y ) + ( x + y ) = ( x + y ) ( x + ) Nhận xét: Ở hai ví dụ việc phân tích đa thức thành nhân tử mức độ đơn giản Học sinh nhận thấy nhân tử chung Nhiều để làm xuất nhân tử chung ta cần đổi dấu hạng tử (lưu ý tới tính chất A = − ( − A ) ) Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) 10x ( x − y ) − 8y ( y − x ) b) 5x ( x − 2000 ) − x + 2000 Giải a) 10x ( x − y ) − 8y ( y − x ) = 10x ( x − y ) + 8y ( x − y ) = ( x − y ) ( 10x + 8y ) = ( x − y ) ( 5x + 4y ) b) 5x ( x − 2000 ) − x + 2000 = 5x ( x − 2000 ) − ( x − 2000 ) = ( x − 2000 ) ( 5x − 1) Lỗi thường gặp em học sinh giải tốn dạng khơng biết đổi dấu hạng tử để làm xuất nhân tử chung nên cần hướng dẫn học sinh chi tiết để em thực cách dễ dàng Tuy nhiên ví dụ nêu, em học sinh cần có chút cố gắng thực toán; phân tích đa thức cách đặt nhân tử chung tốn sau địi hỏi em phải có cố gắng định thực Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) ( a − b ) x + ( b − a ) y − b + a b) ( a + b − c ) x − ( c − a − b ) x Giải a) ( a − b ) x + ( b − a ) y − b + a = ( a − b ) x − ( a − b ) y + ( a − b ) = ( a − b ) ( x − y + 1) 6/19 “Phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng giải toán” 2 b) ( a + b − c ) x − ( c − a − b ) x = ( a + b − c ) x + ( a + b − c ) x = ( a + b − c ) x ( x + 1) Trong ví dụ vừa nêu, ý a), học sinh biết đổi dấu hạng tử thứ hai từ b − a thành a − b để xuất nhân tử chung, hạng tử thứ ba em dễ bị nhầm lẫn cho khơng có nhân tử chung cần hướng dẫn em đổi vị trí a b có nhân tử chung, nhận xét tương tự ta có cách làm tương tự ý b) b Phương pháp dùng đẳng thức Vận dụng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử, cách làm thông dụng áp dụng nhiều Để áp dụng phương pháp yêu cầu học sinh nắm vững bảy đẳng thức đáng nhớ A + 2AB + B2 = ( A + B ) ; A − 2AB + B2 = ( A − B ) ; A − B2 = ( A − B ) ( A + B ) A + 3A B + 3AB2 + B3 = ( A + B ) A − 3A B + 3AB2 − B3 = ( A − B ) A3 + B3 = ( A + B ) ( A − AB + B2 ) A3 − B3 = ( A − B ) ( A + AB + B2 ) Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x − 6x + b) − 27x c) x + x3 Giải a) x − 6x + = ( x − 3) ( ) b) − 27x = ( − 3x ) + 3x + 9x    x + = x + x + +  ÷ ÷ c) x3  x  x2  Trong ví dụ đẳng thức sử dụng tốn phân tích đa thức thành nhân tử Việc phân tích cách viết theo chiều ngược lại đẳng thức, em học sinh dễ dàng thực em thuộc biết cách vận dụng đẳng thức Tuy nhiên ví dụ sau đây, muốn áp dụng đẳng thức em phải có biến đổi làm xuất đẳng thức Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) ( x + y) − 6( x + y) + 7/19 “Phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng giải toán” b) 16a − 49 ( b − c ) Giải a) ( x + y) − ( x + y ) + = ( x + y ) − ( x + y ) + 33 = ( x + y − ) 2 b) 16a − 49 ( b − c ) = ( 4a ) − 7 ( b − c )  = ( 4a − 7b + 7c ) ( 4a + 7b − 7c ) c Phương pháp nhóm hạng tử Đối với phương pháp cần lưu ý cho học sinh nhóm hạng tử phải ý dấu trước dấu ngoặc, đặc biệt dấu trừ ngoặc Ngoài ra, đa thức có nhiều cách nhóm hạng tử thích hợp Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2 2 a) x − x − y − y 2 b) x − 2xy + y − z c) x − 3x + xy − 3y d) 2xy + 3z + 6y + xz Giải 2 2 a) x − x − y − y = ( x − y ) − ( x + y ) = ( x + y ) ( x − y ) − ( x + y ) = ( x + y ) ( x − y − 1) 2 2 2 b) x − 2xy + y − z = ( x − 2xy + y ) − z = ( x − y) − z2 = ( x − y − z ) ( x − y + z ) 2 x − 3x + xy − 3y = x − 3x ) + ( xy − 3y ) ( c) = x ( x − 3) + y ( x − 3) = ( x − 3) ( x + y ) d) 2xy + 3z + 6y + xz = ( 2xy + 6y ) + ( 3z + xz ) = 2y ( x + 3) + z ( x + 3) = ( x + ) ( 2y + z ) Ở ví dụ này, ý c ta phân tích cách nhóm khác: x − 3x + xy − 3y = ( x + xy ) − ( 3x + 3y ) = x ( x + y ) − ( x + y ) = ( x + y ) ( x − 3) d Phối hợp nhiều phương pháp Với nhiều trường hợp ta phải sử dụng phối hợp ba phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2x − 2y + y − 2xy + x 8/19 “Phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng giải toán” Giải 2x − 2y + y − 2xy + x = ( 2x − 2y ) + ( y − 2xy + x ) (Nhóm hạng tử) = 2( x − y) + ( y − x ) (Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức) = 2( x − y) + ( x − y) = ( x − y) ( + x − y) (Đặt nhân tử chung) Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: bc ( b + c ) + ca ( c − a ) − ab ( a + b ) Phương pháp chung để làm loại toán khai triển hai số ba hạng tử, giữ ngun hạng tử cịn lại để từ làm xuất nhân tử chung Trong ý a ta khai triển hai hạng tử đầu giữ nguyên hạng tử thứ ba để làm xuất nhân tử chung a + b Giải bc ( b + c ) + ca ( c − a ) − ab ( a + b ) = b 2c + bc + c 2a − ca − ab ( a + b ) = ( b 2c − ca ) + ( bc + c 2a ) − ab ( a + b ) (Khai triển hai hạng tử đầu) (Nhóm hạng tử) = c ( b − a ) + c ( b + a ) − ab ( a + b ) (Đặt nhân tử chung) = c ( b − a ) ( b + a ) + c ( b + a ) − ab ( a + b ) (Dùng đẳng thức) = ( b + a ) ( cb − ca + c − ab ) (Nhóm hạng tử) = ( b + a ) ( cb + c ) − ( ca + ab )  (Nhóm hạng tử) = ( a + b )  c ( b + c ) − a ( c + b )  (Đặt nhân tử chung) = ( a + b) ( b + c) ( c − a ) (Đặt nhân tử chung) Chú ý: Ta khai triển hai hạng tử cuối nhóm hạng tử để làm xuất nhân tử chung b + c , khai triển hai hạng tử đầu cuối để có nhân tử chung c − a Khi phối hợp nhiều phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử cần lưu ý bước sau: + Đặt nhân tử chung cho đa thức có thể, từ làm đơn giản đa thức + Xét xem đa thức có xuất đẳng thức khơng + Nếu khơng có nhân tử chung đẳng thức phải nhóm hạng tử để xuất nhân tử chung đẳng thức 9/19 “Phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng giải toán” Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta cần ý quan sát đa thức, linh hoạt phối hợp sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử học để bước phân tích rõ ràng, mạch lạc triệt để (đa thức phân tích nữa) Trên ví dụ phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp thông thường nêu sách giáo khoa Tuy nhiên với tập nâng cao dành cho học sinh giỏi không đơn sử dụng phương pháp này, mà cần sử dụng thêm số phương pháp khác nhanh chóng đưa lời giải cho tốn 3.2 Phân tích đa thức thành nhân tử vài phương pháp khác a Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x − 7x + 12 Giải Cách 1: Tách số hạng −7x thành −4x − 3x 2 Ta có: x − 7x + 12 = x − 4x − 3x + 12 = ( x − 4x ) − ( 3x − 12 ) = x ( x − ) − ( x − ) = ( x − ) ( x − 3) Cách 2: Tách số hạng 12 thành 21 − 2 Ta có: x − 7x + 12 = x − 7x + 21 − = ( x − ) − ( 7x − 21) = ( x − 3) ( x + 3) − ( x − 3) = ( x − ) ( x + − ) = ( x − 3) ( x − ) Cách 3: Tách số 12 thành −16 + 28 2 Ta có: x − 7x + 12 = x − 7x − 16 + 28 = ( x − 16 ) − ( 7x − 28 ) = ( x − 4) ( x + 4) − ( x − 4) = ( x − 4) ( x + − ) = ( x − ) ( x − 3) Cách 4: Tách số hạng −7x thành −6x − x 12 = + Ta có: x − 7x + 12 = x − 6x − x + + = ( x − 6x + ) − ( x − 3) = ( x − ) − ( x − ) = ( x − 3) ( x − − 1) = ( x − ) ( x − ) Cách 5: Tách số hạng −7x thành −8x + x 12 = 16 − Ta có: x − 7x + 12 = x − 8x + x + 16 − = ( x − 8x + 16 ) + ( x − ) = ( x − ) + ( x − ) = ( x − ) ( x − + 1) = ( x − ) ( x − 3) 10/19 “Phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng giải tốn” Qua ví dụ ta thấy có nhiều cách tách hạng tử đa thức dạng ax + bx + c ( a ≠ ) , có hai cách thơng dụng nhất, là: - Cách 1: Tách bx = b1x + b x cho b1b = ac - Cách 2: Tách c = c1 + c cho ax + bx + c tạo thành bình phương tổng hiệu Đối với đa thức có bậc ba trở lên tùy theo đặc điểm hệ số mà có cách tách riêng cho phù hợp Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x + 5x + 3x − Giải x + 5x + 3x − = x − x + 6x − 6x + 9x − = x ( x − 1) + 6x ( x − 1) + ( x − 1) = ( x − 1) ( x + 6x + ) = ( x − 1) ( x + 3) b Phương pháp thêm bớt hạng tử thích hợp Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 4x + y Giải 4x + y = 4x + 4x y + y − 4x y = ( 2x + y ) − ( 2xy ) 2 = ( 2x − 2xy + y ) ( 2x + 2xy + y ) Trong ví dụ ta thêm bớt hạng tử 4x y để làm xuất dạng khai triển bình phương tổng ta tiếp tục phân tích cách áp dụng đẳng thức Như mục đích việc thêm bớt hạng tử để xuất nhóm hạng tử cho dùng đẳng thức đặt nhân tử chung Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x + x + b) x10 + x + Giải a) Thêm bớt x ta được: x + x + = x + x + x − x + = ( x + x + x ) − ( x − 1) = x ( x + x + 1) − ( x − 1) ( x + x + 1) = ( x + x + 1) ( x − x + 1) b) Thêm bớt x + x ta được: x10 + x + = ( x10 − x ) + ( x − x ) + ( x + x + 1) 11/19 “Phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng giải toán” = x ( x ) − 1 + x ( x − 1) + ( x + x + 1)   = x ( x − 1) ( x + x + 1) + x ( x − 1) + ( x + x + 1) = ( x + x + 1)  x ( x − 1) ( x + x + 1) + x ( x − 1) + 1 = ( x + x + 1) ( x − x + x − x + x − x + 1) Các đa thức có dạng tổng quát x m + x n + m = 3k + , n = 3h + Khi tìm cách giảm dần số mũ lũy thừa ta cần ý đến biểu thức có dạng x − ; x − biểu thức chia hết cho x + x + Những đa thức phân tích thành nhân tử chứa thừa số x + x + c Phương pháp đổi biến Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) (x − 3x − 1) − 12 ( x − 3x − 1) + 27 2 b) 4x ( x + y ) ( x + y + z ) ( x + z ) + y z Giải a) (x − 3x − 1) − 12 ( x − 3x − 1) + 27 Đặt x − 3x − = y ,ta y − 12y + 27 = y − 3y − 9y + 27 = ( y − 3y ) − ( 9y − 27 ) = y ( y − ) − ( y − 3) = ( y − ) ( y − ) Thay y = x − 3x − , ta (x − 3x − − 3) ( x − 3x − − ) = ( x − 3x − ) ( x − 3x − 10 ) = ( x + x − 4x − ) ( x + 2x − 5x − 10 ) = ( x + 1) ( x − ) ( x + ) ( x − ) Trong cách giải trên, nhờ cách đổi biến y = x − 3x − ta đưa đa thức bậc x phức tạp trở thành đa thức bậc y đơn giản, nhờ phân tích thành nhân tử dễ dàng 2 b) 4x ( x + y ) ( x + y + z ) ( x + z ) + y z Nếu để nguyên đa thức khó đặt ẩn phụ nên ta phải biến đổi thêm 4x ( x + y ) ( x + y + z ) ( x + z ) + y 2z = 4x ( x + y + z ) ( x + y ) ( x + z ) + y 2z = ( x + xy + xz ) ( x + xy + xz + yz ) + y 2z Đặt x + xy + xz = m , ta được: 12/19 “Phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng giải toán” 4m ( m + yz ) + y 2z = 4m + 4myz + y 2z = ( 2m + yz ) Thay m = x + xy + xz , ta được: 4x ( x + y ) ( x + y + z ) ( x + z ) + y 2z = ( 2x + 2xy + 2xz + yz ) d Phương pháp đồng hệ số (còn gọi phương pháp hệ số bất định) Ví dụ Phân tích đa thức sau thành tích hai đa thức, đa thức bậc đa thức bậc hai x − 19x − 30 Giải Cách 1: Với phương pháp phân tích biết, ta phân tích đa thức thành hai đa thức theo yêu cầu đề Ta có: x − 19x − 30 = x + − 19x − 38 = ( x + ) − ( 19x + 38 ) = ( x + ) ( x − 2x + ) − 19 ( x + ) = ( x + ) ( x − 2x + − 19 ) = ( x + ) ( x − 2x − 15 ) Ta thấy đa thức x − 2x − 15 phân tích đề yêu cầu phân tích đa thức x − 19x − 30 thành tích hai đa thức, đa thức bậc đa thức bậc hai nên tích ( x + ) ( x − 2x − 15 ) thỏa mãn yêu cầu toán Cách 2: Theo đề x − 19x − 30 = ( x + a ) ( x + bx + c ) = x + bx + cx + ax + abx + ac = x + ( b + a ) x + ( c + ab ) x + ac Hai đa thức đồng với nên ta có: a + b =  c + ab = −19 ac = −30  Vì a,c∈ ¢ tích ac = −30 nên a,c ∈ { ±1; ±2; ±3; ±5; ±6; ±10; ±15; ±30} Với a = 2,c = −15 b = −2 thỏa mãn hệ thức Do x − 19x − 30 = ( x + ) ( x − 2x − 15 ) 3.3 Các dạng tập ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử Dạng 1: Tính nhanh Ví dụ 1: Tính hợp lí 13/19 “Phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng giải toán” a) 75.20,9 + 20,9 b) 86.15 + 150.1,4 c) 93.32 + 14.16 d) 98,6.199 − 990.9,86 Giải 2 a) 75.20,9 + 20,9 = 20,9 ( 75 + ) = 20,9.100 = 2090 b) 86.15 + 150.1,4 = 86.15 + 15.14 = 15 ( 86 + 14 ) = 15.100 = 1500 c) 93.32 + 14.16 = 93.32 + 7.2.16 = 93.32 + 7.32 = 32 ( 93 + ) = 32.100 = 3200 ( ) d) Trong ví dụ ta phân tích hạng tử đa thức để chọn nhân tử chung thích hợp, sau áp dụng tính chất phân phối phép nhân phép cộng Ví dụ 2: Tính nhanh b) 482 − 422 + 64 − 52 a) 352 − 152 98,6.199 − 990.9,86 = 98,6.199 − 99.98, = 98,6 199 − 99 = 98,6.100 = 9860 c) 72 + 144.16 + 16 − 12 2 973 + 833 d) − 97.83 180 Giải 2 a) 35 − 15 = ( 35 − 15 ) ( 35 + 15 ) = 20.50 = 100 2 2 2 b) 48 − 42 + 64 − 52 = ( 48 − 52 ) + ( − 42 ) = ( 48 − 52 ) ( 48 + 52 ) + ( − 42 ) ( + 42 ) = ( −4 ) 100 + ( −34 ) 50 = ( −4 ) 100 + ( −17 ) 100 = −21.100 = −2100 2 2 2 c) 72 + 144.16 + 16 − 12 = 72 + 2.72.16 + 16 − 12 = ( 72 + 16 ) − 122 = 882 − 122 = ( 88 − 12 ) ( 88 + 12 ) = 76.100 = 7600 ( 97 + 83) ( 97 − 97.83 + 832 ) 973 + 833 − 97.83 = − 97.83 d) 180 180 = 97 − 97.83 + 832 − 97.83 = 97 − 2.97.83 + 832 = ( 97 − 83) = 142 = 196 Trong ví dụ ta dùng đẳng thức cách hợp lí để phân tích biểu thức cho thành tích tính Ví dụ 3: Tính nhanh a) 15.64 + 25.100 + 36.15 + 60.100 14/19 “Phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng giải toán” b) 47 + 482 − 25 + 94.48 Giải a) 15.64 + 25.100 + 36.15 + 60.100 = ( 15.64 + 36.15 ) + ( 25.100 + 60.100 ) = 15.( 64 + 36 ) + 100.( 25 + 60 ) = 15.100 + 100.85 = 100.( 15 + 85 ) = 100.100 = 10000 2 2 b) 47 + 48 − 25 + 94.48 = ( 47 + 48 + 2.47.48 ) − 25 = ( 47 + 48 ) − 52 = 952 − 52 = ( 95 − ) ( 95 + 5) = 90.100 = 9000 Trong ví dụ ta thực nhóm hạng tử cách thích hợp sau áp dụng quy tắc tính nhanh Dạng 2: Tính giá trị biểu thức Ví dụ 4: Tính giá trị biểu thức a) A = a ( b + 3) − b ( + b ) a = 2003 b = 1997 2 b) B = x ( x + 2y ) − x y ( x + 2y ) + x y ( x + 2y ) x = 10 y = −5 Giải Theo cách làm thông thường, em học sinh thay giá trị biến vào biểu thức để tính giá trị Cách làm phải tính tốn vất vả cho kết Vì giáo viên gợi ý cho học sinh phân tích đa thức thành nhân tử thay số tính giá trị biểu thức a) A = a ( b + ) − b ( + b ) = ( a − b ) ( b + ) Thay a = 2003 b = 1997 vào biểu thức A, ta A = ( 2003 − 1997 ) ( 1997 + ) = 6.2000 = 12000 2 2 b) B = x ( x + 2y ) − x y ( x + 2y ) + x y ( x + 2y ) = ( x + 2y ) ( x − x y + x y ) Với x = 10 y = −5 x + 2y = Do B = Ví dụ 5: Tính giá trị biểu thức 2 a) M = 5x + 10xy + 5y − 105z x = 5; y = z = 12 2 b) N = 16x − y + 4x + y x = 1,3 y = 0,8 Giải 2 2 2 a) M = 5x + 10xy + 5y − 105z = ( x + 2xy + y ) − 105z = ( x + y ) − 105z 2 15/19 “Phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng giải toán” Thay x = 5; y = z = 12 vào biểu thức M, ta M = ( + ) − 105.122 = 5.122 − 105.122 = −100.122 = −14400 1  1  2 N = 16x − y + 4x + y = 16x + 4x + − y − y +  ÷  ÷ b) 4  4  2 1  1  =  4x + ÷ −  y − ÷ 2  2   1     1   =  4x + ÷+  y − ÷  4x + ÷−  y − ÷ 2     2    = ( 4x + y ) ( 4x − y + 1) Thay x = 1,3 y = 0,8 vào biểu thức N, ta được: N = ( 4.1,3 + 0,8 ) ( 4.1,3 − 0,8 + 1) = 6.5,4 = 32,4 Dạng Tìm x thỏa mãn điều kiện cho trước Ví dụ 6: Tìm x, biết: a) 8x ( x − 2017 ) − 2x + 4034 = b) ( x + 1) ( x − ) + 2x = Giải a) 8x ( x − 2017 ) − 2x + 4034 = ⇔ 8x ( x − 2017 ) − ( x − 2017 ) = ⇔ ( x − 2017 ) ( 4x − 1) =  x = 2017  x − 2017 = ⇔ ⇔ x =  4x − =  b) ( x + 1) ( x − ) + 2x = ⇔ ( x + 1) ( x − ) + 2x − = ⇔ ( x + 1) ( x − ) + ( x − ) = ⇔ ( x − ) ( x + 3) = Vì x + > 0, ∀x nên ( x − ) ( x + 3) = ⇔ x − = ⇔ x = Ví dụ 7: Tìm x, biết: a) ( 2x − ) − ( + 2x ) = b) x + 27 + ( x + 3) ( x − ) = Giải 16/19 “Phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng giải toán” a) ( 2x − ) − ( + 2x ) = ⇔ ( 2x − − − 2x ) ( 2x − + + 2x ) = 2 ⇔ −10.4x = ⇔x=0 b) x + 27 + ( x + ) ( x − ) = ⇔ ( x + 3) ( x − 3x + ) + ( x + 3) ( x − ) = ⇔ ( x + 3) ( x − 3x + ) + ( x − )  = ⇔ ( x + 3) ( x − 2x ) = ⇔ ( x + 3) x ( x − ) =  x = −3 ⇔ x =   x = Trong dạng tốn nhận thấy cách biến đổi đưa phương trình tích với phép biến đổi phân tích đa thức thành nhân tử, hướng dẫn em theo bước sau: Bước 1: Chuyển tất hạng tử vế trái, vế phải Bước 2: Phân tích vế trái thành nhân tử để dạng tích, chẳng hạn A.B = , từ suy A = B = Bước 3: Lần lượt tìm x từ đẳng thức A = B = kết luận Dạng 4: Chứng minh tốn số học Ví dụ 8: Chứng minh: a) 25n +1 − 25n chia hết cho 100 với số tự nhiên n b) n ( n − 1) − 2n ( n − 1) chia hết cho với số nguyên n Giải a) Ta có: 25n +1 − 25n = 25.25n − 25n = 25n.( 25 − 1) = 25n.24 Mà 24 = 4.6;25n = 25.25n −1 ⇒ 25n +1 − 25n = 100.6.25n M 100 Ta có: n ( n − 1) − 2n ( n − 1) = n ( n − 1) ( n − ) b) Vì n − 2;n − 1;n ba số tự nhiên liên tiếp nên tích chúng chia hết cho Ví dụ 9: Chứng minh: a) ( 3n − 1) − chia hết cho với số tự nhiên n b) 100 − ( 7n + 3) chia hết cho với n số tự nhiên Giải 17/19 “Phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng giải toán” a) Ta có: ( 3n − 1) − = ( 3n − − ) ( 3n − + ) = ( n − 1) ( 3n + 1) Vì ( n − 1) ( 3n + 1) chia hết cho với số tự nhiên n, nên ( 3n − 1) − chia hết cho với số tự nhiên n Ta có: 100 − ( 7n + 3) = ( − 7n ) ( 13 − 7n ) = ( − n ) ( 13 − 7n ) chia hết cho b) với n số tự nhiên PHẦN KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ Kết luận: Phân tích đa thức thành nhân tử vấn đề rộng, vận dụng nhiều tốn Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử nêu từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp giúp em học sinh trung bình, yếu nắm phương pháp bản; có kĩ biến đổi, kĩ thực hành vận dụng phương pháp phân tích thơng thường, biết trình bày giải hợp lí, có hệ thống logic Các em hứng thú học tập Các em học sinh giỏi hiểu sâu cách phân tích đa thức thành nhân tử, đặc biệt phương pháp phân tích nâng cao; biết phân loại sử dụng phương pháp phù hợp với toán; vận dụng thành thạo kĩ biến đổi, phân tích, linh hoạt biến đổi vận dụng đẳng thức Từ giúp học sinh phát triển trí tuệ, tính chăm chỉ, tính xác, lực nhận xét, phân tích phán đốn, tổng hợp kiến thức Sau thực đề tài “Phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng giải toán” Tơi nhận thấy học sinh có hứng thú học tập hơn, kết học tốt hơn, biết vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải tốn Tuy nhiên, cịn số tập ứng dụng mà chưa đưa đề tài Bởi tiếp tục nghiên cứu thêm vào năm học sau Khuyến nghị: Thông qua việc thực đề tài, thân có số kiến nghị đề nghị sau: • Đối với giáo viên: - Cần nghiên cứu kĩ nội dung dạy, có biện pháp sư phạm phù hợp với loại - Phải luôn tâm huyết với nghề, khơng ngừng tìm tịi, học hỏi nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ • Đối với nhà trường, tổ chuyên môn: - Thường xuyên tổ chức học, chuyên đề có chất lượng cao - Những điều kiện cần thiết sở vật chất phục vụ cho việc giảng dạy 18/19 “Phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng giải toán” - Cung cấp đủ tài liệu tham khảo để giáo viên trau dồi chun mơn nghiệp vụ, tích lũy kinh nghiệm, nâng cao chuyên môn nghiệp vụ Hà Nội, ngày tháng năm 2019 Tôi xin cam đoan SKKN viết Khơng chép nội dung người khác NGƯỜI VIẾT PHẦN TÀI LIỆU THAM KHẢO Một số vấn đề đổi PPDH trường THCS mơn Tốn - Bộ GD&ĐT Sách giáo khoa Toán - Bộ GD&ĐT Bài tập nâng cao số chuyên đề Toán – Bùi Văn Tuyên Toán nâng cao chuyên đề Đại số – Vũ Dương Thụy (Chủ biên) Củng cố ơn luyện Tốn – Lê Đức Thuận (Chủ biên) 19/19 ... 9/19 ? ?Phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng giải toán? ?? Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta cần ý quan sát đa thức, linh hoạt phối hợp sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử học... ba phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2x − 2y + y − 2xy + x 8/19 ? ?Phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng giải toán? ?? Giải 2x − 2y + y −... định) Ví dụ Phân tích đa thức sau thành tích hai đa thức, đa thức bậc đa thức bậc hai x − 19x − 30 Giải Cách 1: Với phương pháp phân tích biết, ta phân tích đa thức thành hai đa thức theo yêu