Đang tải... (xem toàn văn)
Phương pháp Ta thêm hay bớt cùng một hạng tử vào đa thức đã cho để làm xuất hiện n nhóm số hạng mà ta có thể phân tích được thành nhân tử chung bằng các phương pháp: Đặt nhân tử chung, d[r]
(1)Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử, ứng dụng A.Lý thuyÕt chung 1) Phân tích đa thức thành nhân tử ( thừa số ) là: Biến đổi đa thức đó thành tích đơn thức, đa thức ) Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 1) §Æt nh©n tö chung; 2) Dùng đẳng thức; 3) Nhãm nhiÒu h¹ng tø; 4) T¸ch, thªm, bít; )Phối hợp nhiều phương pháp B Néi dung Phần I: Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử I Phương pháp đặt nhân tử chung Phương pháp Tìm nhân tử chung là đơn thức, đa thức có maởt tất caỷ các hạng tử Ph©n tÝch mçi h¹ng tö thµnh tÝch nh©n tö chung vµ mét nh©n tö ViÕt nh©n tö chung ngoµi dÊu ngoÆc, viÕt c¸c nh©n tö cßn l¹i cña mçi h¹ng tö vµo dÊu ngoÆc 2.VÝ dô: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö a) –3xy + x y – 5x y b) 2x(y – z) + 5y(z – y) c) 10x (x + y) – 5(2x + 2y)y Bµi Lµm a) 3xy + x y – 5x y = xy(- + xy – 5x) b) 2x(y – x) + 5y(z – y) = 2x(y – z) – 5y(y – z) = (y – z)(2x – 5y) c) 10x (x + y) – 5(2x + 2y)y = 10x (x + y) – 10y (x + y) = 10(x + y)(x – y ) = 10(x + y)(x + y)(x – y) = 10(x + y) (x – y) 2 Bµi tËp tù luyÖn Bµi tËp 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) 12xy – 12xy + 3x b) 15x – 30 y + 20z c) x(y – 2007) – 3y(2007 - y) d) x(y + 1) + 3(y2 + 2y + 1) Bµi tËp 2: TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau a) 23,45 97,5 +23,45 5,5 -,23,45 b) 2x (x – y) + 2x (y – x ) + 2x (z – x) (Víi x = 2006 ; y = 2007 ; z = 2008) II) Phương pháp dùng đẳng thức Phương pháp Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử NguyÔn Thanh Hïng 2006 Lop8.net Trường THCS Tiên Nha n¨m (2) Sử dụng các đẳng thức để biến đổi đa thức thành tích các nhân tử luỹ thừa đa thức đơn giản + Những đẳng thức : (A + B) = A + 2AB + B (A - B) = A - 2AB + B A – B = (A + B)(A – B) (A + B) = A + 3A B + 3AB + B (A - B) = A - 3A B + 3AB - B A + B = (A + B)(A – AB + B ) A - B = (A - B)(A + AB + B ) (A + B + C) = A + B + C + 2AB + 2BC + 2CA A n – B n = (A – B)(A n 1 + A n B + … + AB n + B n 1 ) A k – B k = (A +B)(A k 1 - A k B + … - B k 1 ) A K 1 + B K 1 = (A + B)(A k – A k 1 B + A k B - … +B k ) n(n 1) n 2 n(n 1) n (A + B) n = A n + n A n 1 B A B +…+ A B + nAB n 1 + B n 1.2 1.2 n(n 1) n 2 (A - B) n = A n - n A n 1 B + A B - … +(-1) n B n 1.2 2.VÝ dô VÝ Dô Ph©n tÝch ®a thøc tµnh nh©n tö a) x + 6xy + 9y b) a – b c) (x – 3) - (2 – 3x) d) x – 3x + 3x - a) b) c) d) Bµi Lµm x + 6xy + 9y = x + 2x3y + (3y) = (x + 3y ) a – b = (a ) – (b ) = (a + b ) (a – b ) = (a + b ) (a + b) (a – b) (x – 3) - (2 – 3x) = [(x – 3) + (2 – 3x)][(x – 3) – (2 – 3x)]= (- 2x – 1)(- + 4x) x – 3x + 3x - = (x – 1) 2 2 VÝ dô Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) a + b + c – 3abc b) (a + b + c) – a – b – c Bµi Lµm a) a + b + c – 3abc = (a + b) – 3ab(a + b) + c – 3abc = ( a + b + c)[(a + b) – (a + b)c + c ] – 3abc( a + b +c) = (a + b + c)( a + b + c – ab – bc – ca) b) (a + b + c) – a – b – c = (a + b) + c + 3c(a + b)(a + b + c) – a – b –c = 3(a + b)(ab + bc + ac + c ) = 3(a + b)(b + c) (c + a) 3 3 Bµi tËp tù luyÖn Bµi Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử NguyÔn Thanh Hïng 2006 Lop8.net Trường THCS Tiên Nha n¨m (3) a) b) c) d) e) f) (x – 15) – 16 25 – (3 – x) (7x – 4) – ( 2x + 1) 9(x + 1) – 9(x + 5) – (x – 7) 49(y- 4) – 9(y + 2) Bµi Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) 8x + 27y b) (x + 1) + (x – 2) c) – y + 6xy – 12x y + 8x d) 2004 - 16 III/ Phân tích đa thức thành nhân tử, phương pháp nhóm nhiều hạng tử Phương pháp Sử dụng tính chất giao hoán, kết hợp để nhóm các hạng tử thích hợp vào nhóm AÙp dụng phương pháp phân tích đa thức khác để giải toán VÝ dô VÝ dô Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x – 3xy + x – 3y b) 7x – 7xy – 4x + 4y c) x + 6x – y + d) x + y – z – 9t – 2xy + 6zt Bµi Lµm a) x – 3xy + x – 3y = (x – 3xy) + (x – 3y) = x(x – 3y) + (x – 3y)= (x – 3y) (x + 1) b) 7x – 7xy – 4x + 4y = (7x – 7xy) – (4x – 4y) = 7x(x – y) – 4(x – y)=(x – y) (7x – 4) c)x + 6x – y + = (x + 6x + 9) – y = (x + 3) - y = (x + + y)(x + – y) d)x + y – z – 9t – 2xy + 6zt = (x – 2xy + y ) – (z – 6zt + 9t ) = (x – y) – (z – 3t) = (x – y + z – 3t)(x – y – z + 3t 2 VÝ dô Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x y + xy + x z + xz + y z + yz + 2xyz b) x y + xy + x z + xz + y z + yz + 3xyz Bµi Lµm a) x y + xy + x z + xz + y z + yz + 2xyz = (x z + y z + 2xyz) + x y + xy + xz2 + yz = z(x + y) + xy(x + y) + z (x + y) = (x + y)(xz + yz + xy + z ) = (x + y) [(xz + xy) + (yz + z )] = (x + y) [x(z + y) + z(z + y)] = (x + y)(y + z)(x + z) b) x y + xy + x z + xz + y z + yz + 3xyz = (x y + x z + xyz) + ( xy + y z + xyz) + (x z + yz + xyz) = x(xy + xz + yz) + y(xy + yz + xz) + z(xz + yz + xy) 2 2 2 Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử NguyÔn Thanh Hïng 2006 Lop8.net Trường THCS Tiên Nha n¨m (4) = (xy + yz + xz)( x + y + z) Bµi TËp Bµi tËp 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x + 3x – 9x – 27 b) x + 3x – 9x – c) x – 3x + 3x – – 8y Bµi tËp 2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x(y2 – z2) + y(z2 – y2) + z(x2 – y2) b) xy(x – y) – xz( x + z) – yz (2x + y – z ) c) x(y + z )2 + y(z + x) + z(x + y) – 4xyz d) yz(y +z) + xz(z – x) – xy(x + y) IV Phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phương pháp Phương pháp Vận dụng linh hoạt các phương pháp đã biết và thường tiến hành theo trình tự sau : - §Æt nh©n tö chung - Dùng đẳng thức - Nhãm nhiÒu h¹ng tö Ví dô: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) 5x - 45x b) 3x y – 6x2y – 3xy – 6axy2 – 3a2xy + 3xy Bµi lµm a) 5x – 45x = – 9) = 5x(x +3) (x – 3) 2 b) 3x y – 6x y – 3xy – 6axy2 – 3a2xy + 3xy = 3xy(x2 – 2y – y2 – 2ay – a2 + 1) = 3xy [( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)] = 3xy [(x – 1) – (y + a) 2] = 3xy [(x – 1) + (y + a)] [(x – 1) – (y + a)] = 3xy(x + y + a – 1) (x – y – a – 1) 5x(x2 Bµi tËp Bµi tËp Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc b) 8x (x + z) – y (z + 2x) – z (2x - y) c) [(x2 + y2)(a2 + b2) + 4abxy] – 4[xy(a2 + b2) + ab(x2 + y2)] Bµi tËp Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö (x + y + z) – x – y - z Hướng dẫn 3 3 (x + y + z ) – x – y - z =[(x + y + z) – x ] – (y + z ) = (x + y + z – x) [(x+ y + z) + (x + y + z)x + x2] – (y + z)(y2 – yz + z2) = (y+z)[ x2 + y2 + z2 +2xy + 2xz + 2yz +xy + xz + x2 + x2 – y2 + yz – z2] = (y + z)(3x2 + 3xy + 3xz + 3yz) Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử NguyÔn Thanh Hïng 2006 Lop8.net Trường THCS Tiên Nha n¨m (5) = 3(y +z)[x(x + y) + z(x+y)] = 3( x + y)(y + z)(x + z) V/ Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng c¸ch t¸ch mét h¹ng tö thµnh hai hay nhiÒu h¹ng tö Phương pháp Ta phân tích hạng tử thành tổng nhiều hạng tử thích hợp, để xuất nhóm số hạng mà ta có thể phân tích thành nhân tử phương pháp dùng đẳng thức, đặt nhân tử chung VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh thµnh nh©n tö x2 – 6x + Bµi lµm 2 Caùch 1: x – 6x + = (x – 2x) – (4x – 8) = x(x – 2) – 4(x – 2) = (x –2)(x – 4) Caùch 2: x2 – 6x + = (x2 – 6x + 9) – = (x – 3) – = (x –3 + 1)(x – – 1) = (x – 2)(x – 4) Caùch 3: x2 – 6x + = (x2 – 4) – 6x + 12 = (x – 2)(x + 2) – 6(x – 2) = (x – 2)(x + – 6) = (x – 2)(x – 4) Caùch 4: x2 – 6x + = (x2 – 16) – 6x + 24 = (x –4)(x + 4) – 6(x – 4) = (x – 4)(x + –6) = (x –4)(x – 2) Caùch 5: x2 – 6x + = (x2 – 4x + 4) – 2x + = ( x – 2) – 2(x – 2)= (x – 2)(x – – 2) = (x – 2)(x – 4) Bµi tËp Bµi : Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x2 + 7x +10 b) x2 – 6x + c) 3x2 – 7x – d) 10x2 – 29x + 10 Bµi 10: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x + 4x2 – 29x + 24 b) x + 6x2 + 11x + c) x2 – 7xy + 10y d) 4x2 – 3x – VI/ Phương pháp thêm bớt cùng hạng tử Phương pháp Ta thêm hay bớt cùng hạng tử vào đa thức đã cho để làm xuất n nhóm số hạng mà ta có thể phân tích thành nhân tử chung các phương pháp: Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, VÝ dô Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö x + 64 = x + 64 + 16x – 16x = (x + 8) – (4x) = (x2 + 4x + 8)(x – 4x + 8) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x + 4y b) x + x + Bµi lµm a) x + 4y = x + 4y + 4x y – 4x y = (x + 2y)2 – (2xy)2 = (x + 2y + 2xy)(x + 2y - 2xy) 2 b) x + x + = (x + x + x ) – (x + x + x ) + (x + x + 1) 2 = x (x + x + 1) – x (x + x + 1) + (x + x +1) 2 = (x + x + 1)(x – x +1) Bµi tËp Bµi 11: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x + x + b) x + x + c) x + x + d) x + Bµi 12: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử NguyÔn Thanh Hïng 2006 Lop8.net Trường THCS Tiên Nha n¨m (6) 3 a) x + 5x + 3x – b) x + 9x + 11x – 21 c) x – 7x + Bµi 13: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x - 5x + 8x – b) x – 3x + 3 c) x – 5x + 3x + d) x + 8x + 17x + 10 e) x + 3x + 6x + Bµi 14: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x – 2x – b) 2x – 12x + 7x – 2 c) x + x + 3 d) x + 3x + 3x + e) x + 9x + 26x + 24 f) 2x – 3x + 3x + g) 3x – 14x + 4x + * Moät soá phöông phaùp khaùc VII/ Phương pháp đặt biên số (đặt biên phụ) Phương pháp Một số bài toán phân tích đa thức thành nhân tử mà đa thức đã cho có biểu thức xuất nhiều lần Ta đặt biểu thức là biến Từ đó viết đa thức đã cho thành đa thức dễ phân tích thành nhân tử VÝ dô : Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) 6x – 11x + 2 b) (x + 3x + 1)(x + 3x – 3) –5 c) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 Bµi Lµm a) 6x – 11x + - §Æt x2 = y - Đa thức đã cho trở thành: 6y – 11y + = (3y – 1)(2y – 3) - Tr¶ l¹i biÕn cò: 2 6x – 11x + = (3x – 1) (2x – 3) = ( x – 1)( x + 1)( x )( x + 3) 2 b) (x + 3x + 1)(x + 3x – 3) –5 2 - §Æt x + 3x + = y x – 3x – = y – - Đa thức đã cho trở thành y(y – 4) – = y – 4y – = (y + 1)(y + 5) - Tr¶ l¹i biÕn cò 2 2 (x + 3x + 1)(x + 3x – 3) – = (x + 3x + + 1)(x + 3x + – 5) 2 = (x + 3x + 2)(x + 3x – 4)= (x + 1)(x + 2)(x – 1)(x + 1) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = (x + 8x + 7)(x + 8x + 15) + 15 c) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử NguyÔn Thanh Hïng 2006 Lop8.net Trường THCS Tiên Nha n¨m (7) 2 - §Æt x + 8x + = y x + 8x + 15 = y + - Đa thức đã cho trở thành : 2 y(y + 8) + 15 = y + 8y + 15 = y + 5y + 3y + 15= y(y + 5) + 3(y + 5) = (y + 5)(y + 3) - Tr¶ l¹i biÕn cò 2 (x + 1)(x + 7)(x + 3)(x + 5) + 15 = (x + 8x +7 + 5)(x + 8x + + 3) 2 = (x + 8x + 12)(x + 8x + 10) = (x + 8x + 10)(x + 2)(x + 6) Bµi tËp Bµi 14: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) (x + x) – 2(x + x) – 15 b) (x + 3x + 1)(x + 3x + 2) – c) (x + 4x + 8) + 3x(x + 4x + 8) + 2x Bµi 15: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24 b) (4x + 1)(12x – 1)(3x + 2)(x + 1) – c) 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) + 3x d) 3x – 4x + 2x – 8x + 2x – 4x + VIII/ Phương Pháp hệ số bất định Phương Pháp: Sử dụng tính chất: Hai đa thức cùng bậc thì hệ số tương ứng chúng phải a n x n + a n 1 x n 1 + + a x + a x + a = b n x n + b n 1 x n 1 + + b x + b x + b a i = b i i = 1; n VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö 2.1 Ví duï 1: A = x + 11x + 30 V× A lµ ®a thøc bËc 3, hÖ sè cao nhÊt lµ Nªn nÕu A ph©n tÝch ®îc th× A cã d¹ng A = (x + a)(x + bx + c) = x + (a + b)x + (ab + c)x + ac x + 11x + 30 = x + (a + b)x + (ab + c)x + ac §ång nhÊt hÖ sè, ta cã a b ab c 11 ac 30 Chän a = c = 15; b = -2 VËy (x + 11x + 30) = (x + 2)(x – 2x + 15) 2.2 VÝ dô 2: B = x – 14x + 15x – 14x +1 V× B lµ ®a thøc bËc 4, hÖ sè cao nhÊt lµ nªn nÕu B ph©n tÝch ®îc thµnh nh©n tö th× B cã d¹ng: B = (x + ax + b)(x + cx + d) B = x + (a + c)x + (ac + b + d)x + (ad + bc)x + bd §ång nhÊt hÖ sè, ta cã: a c 14 ac b d 15 ad bc 14 bd a 1 b c 13 d Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử hoÆc a 13 b c 1 d NguyÔn Thanh Hïng 2006 Lop8.net Trường THCS Tiên Nha n¨m (8) Do vËy B = (x – x + 1)(x – 13x + 1) hoÆc B = (x – 13x + 1)(x – x + 1) Bµi tËp Bµi 16: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x + 4x + 5x + b) 2x – 3x –7x + 6x + c) 5x + 9x – 2x – 4x – Bµi 17: T×m a, b, c a) x – 2x + 2x – 2x + a = (x – 2x + 1)(x + bx + c) b) x + 3x – x – = (x – 2)( x + bx + c) + a c) 4x + 7x + 7x – = (ax + b)(x + x +1) + c IX/ Phương pháp xét giá trị riêng Phương pháp: Khi các biến có vai trò đa thức thì ta xét giá trị riêng VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö 2.1: Ví duï 1: P = (x + y + z) - x – y – z Bµi Lµm Coi P lµ mét ®a thøc biÕn x Khi đó x = -y thì P = P (x + y) Trong P, vai trò x, y, z bình đẳng nên P (x + z) P (y + z) P = (x + y)(x + z)(y + z).Q Mà P là đa thức bậc biế x, y, z nên Q là số Víi x = ; y = z = 1, ta cã Q = VËy P = 3(x + y)(x + z)(y + z) VÝ dô 2: M = a(b + c)(b - c ) + b(c + a)(c - a ) + c(a + b)(a - b ) Bµi Lµm Coi M lµ ®a thøc biÕn a Khi a = b th× M = M (a - b) Trong M vai trò a, b, c bình đẳng nên : M (b - c) M (c - a) M = (a - b)(b –c)(c – a)N Vì M là đa thức bậc biến a nên N là đa thức bậc a Nhưng a,b,c có vai trò bình đẳng nên: N = (a + b + c)R (R lµ h»ng sè) M = (a - b)(b –c)(c – a)(a + b + c)R Chän a = 0, b = 1, c = R = VËy B = (a – b)(b – c)(c – a)(a + b + c) Bµi tËp Bµi 18: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö A = ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a) X Phương pháp tìm nghiệm đa thức Phương pháp Cho ®a thøc f(x), a lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x) nÕu f(x) = Nh vËy nÕu ®a thøc f(x) chøa nh©n tö (x - a) th× ph¶i lµ nghiÖm cña ®a thøc Ta đã biết nghiệm nguyên đa thức có phải là ước hệ số tự Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử NguyÔn Thanh Hïng 2006 Lop8.net Trường THCS Tiên Nha n¨m (9) VÝ dô: x3 + 3x - NÕu ®a thøc trªn cã nghiÖm lµ a ( ®a thøc cã chøa nh©n tö (x - a) th× nh©n tö cßn l¹i cã d¹ng x2 + bx = c suy ac = - suy a lµ íc cña - Vậy đa thức với hệ số nguyên nghiệm nguyên có phải là ước hạng tư không đổi ¦íc cña (- 4) lµ : -1; 1; -2; 2; - 4; sau kiÓm tra ta thÊy1 lµ nghiÖm cña ®a thøc suy ®a thøc chøa nh©n tö (x - 1) Do vËy ta t¸ch c¸c h¹ng tö cña ®a thøc lµm xuÊt hiÖn nh©n tö chung (x – 1) * C¸ch 1: x3 + 3x2 – = x3 – x2 + 4x2 – = x2(x – 1) + 4(x – 1) (x + 1)= (x – 1) (x2 + 4x + 4) = (x – 1) (x + 2)2 * C¸ch 2: x3 + 3x2 – = x 3– + 3x2 – = (x3 – 1) + 3(x2 – 1) = (x – 1) (x2 + x + 1) + 3(x2 – 1)= (x – 1) (x + 2)2 Chó ý: + NÕu ®a thøc cã tæng c¸c hÖ sè b»ng kh«ng th× ®a thøc chøa nh©n tö (x – 1) + NÕu ®a thøc cã tæng c¸c hÖ sè cña c¸c h¹ng tö bËc ch½n b»ng tæng c¸c h¹ng tö bËc lÎ th× ®a thøc chøa nh©n tö (x + 1) VÝ dô : * §a thøc : x3 - 5x2 + 8x – cã - + - = Suy ®a thøc cã nghiÖm lµ hay ®a thøc cã chøa thõa sè (x – 1) *§a thøc : x3 – 5x2 + 3x + cã (- 5) + = + Suy ®a thøc cã nghiÖm lµ - hay ®a thøc chøa thõa sè (x + 1) +NÕu ®a thøc kh«ng cã nghiÖm nguyªn nhng ®a thøc cã nghiÖm h÷u tû p Trong ®a thøc víi hÖ sè nguyªn nghiÖm h÷u tû nÕu cã ph¶i cã d¹ng đó p là ước hạng tử không đổi, q q là ước dương hạng tử cao VÝ dô: 2x3 – 5x2 + 8x – NghiÖm h÷u tû NÕu cã cña ®a thøc trªn lµ : (- 1); ; (-1/2) ; 1/2 ; (- 3/2) ; 3/2 ;- Sau kiểm tra ta thấy x =1/2 là nghiệm nên đa thức chứa nhân tử (x - ) hay (2x - 1) Do đó ta tìm cách tách các hạng tử đa thức để xuất nhân tử chung (2x - 1) 2x3 – 5x2 + 8x – = 2x3 – x2 – 4x2 + 2x + 6x – =x2 (2x – 1) – 2x(2x –1) + 3(2x –1) =(2x – 1)(x2 – 2x + 3) XI Phương pháp tính nghiệm tam thức bậc hai a) Phương pháp: Tam thức bậc hai ax2 +bx + c Nếu b2 – 4ac là bình phương số hữu tỷ thì có thể phân tích tam thức thành thừa số các phương pháp đã biết Nếu b2 – 4ac không là bình phương số hữu tỷ nào thì không thể phân tích tiếp b) VÝ dô: 2x2 – 7x + Víi a =2 , b =- , c = XÐt b2 - 4ac = 49 - 4.2.3 =25 = 55 Suy Ph©n tÝch ®îc thµnh nh©n tö : 2x2 - 7x + = ( x - 3)(2x - 1) Chó ý: P(x) = ax2 + bx + c = cã nghiÖm lµ x1 , x2 th× P(x) =a( x- x1)(x - x2) PhÇn 2: CÁC BAØI TOÁN ÁP DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THAØNH NHÂN TỬ I) Bµi to¸n rót gän biÓu thøc Phương pháp +Ph©n tÝch tö thøc vµ mÉu thøc thµnh nh©n tö nh»m xuÊt hiÖn nh©n tö chung +áp dụng tính chất phân thức đại số: Chia tử thức và mẫu thức cho nhân tử chung Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử NguyÔn Thanh Hïng 2006 Lop8.net Trường THCS Tiên Nha n¨m (10) Häc sinh thÊy ®îc sù liªn hÖ chÆt chÏ gi÷a c¸c kiÕn thøc gióp ph¸t triÓn t suy luËn l«gic, s¸ng t¹o 2)VÝ dô: Rót gän biÓu thøc 3x x x A= 2x3 x 4x x 2x x B= x 1 x 1 x2 1 Bµi Lµm 2 3x 3x x x x a) A = x x x x 3x 3 x ( x 1) x( x 1) ( x 1) A= 2 x ( x 1) x( x 1) 3( x 1) b) A= ( x 1)(3 x x 1) ( x 1)( x 1)(3 x 1) ( x 1)(2 x x 3) ( x 1)(2 x 3)( x 1) A= ( x 1) (3 x 1) x ( x 1) (2 x 3) x MTC = x2 - = (x + 1)(x - 1) ( x 3)( x 1) (2 x 1)( x 1) ( x 3) B = ( x 1)( x 1) B = x 2x 2x x x ( x 1)( x 1) x2 1 ( x 1)( x 1) Bµi tËp Bµi 19 Rót gän biÓu thøc a (b c) b (c a ) c (a b) A= ab ac b bc 2 x x 12 x 45 B= 3 x 19 x 33 x x y z xyz C= ( x y ) ( y z ) ( z x) B = x y z xyz ( x y ) ( y z ) ( z x) Bµi 20 Rót gän biÓu thøc 1 1 A= x( x y ) y ( x y ) x( x y ) y ( y x) 1 B= a (a b)(a c) b(b a )(b c) c(c a )(c b) Bµi 21 Cho x2 - 4x + = x4 x2 1 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A= x2 II) Bài toán giải phương trình bậc cao Phương pháp: áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để đưa phương trình tích D= Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử NguyÔn Thanh Hïng 2006 Lop8.net Trường THCS Tiên Nha n¨m 10 (11) AB = hoÆc A = hoÆc B = Ví dụ: Giải phương trình * VÝ dô 1: x3 - 7x2 + 15x - 25 = x3 - 5x2 - 2x2 + 10x + 5x- 25 = x2(x- 5) - 2x(x - 5) + 5(x - 5) = (x- 5)(x2- 2x + 5) = x x 2x x ( x 1) 0(voly ) Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = {5} * VÝ dô 2: (2x2 + 3x - 1) - 5(2x2 + 3x + 3) + 24 = §Æt: 2x2 + 3x - = t 2x2 + 3x + = t + Phương trình đã cho trở thành: t2 - 5(t + 4) + 24 = t2 - 5t + = (t - 1)(t - 4) = t t t t (1) (*) + Thay t = vµo (*), ta cã: 2x2 + 3x - = 2x + 3x - = (2x + 4x) - x - = 2x(x + 2) - (x + 2) = (x + 2) (2x - 1) = x 2 x 2 x x + Thay t = vµo (*), ta cã : 2x2 + 3x - = 2x + 3x - = (x - 1)( 2x +5) = x x 1 x x Vậy phương trình (1) có tập nghiệm: S = { -2; * VÝ Dô 3: (x + 1)(x + 2)(x + 4)(x + 5) = 40 (x + 1)(x + 5)(x + 2)(x + 4) = 40 (x2 + 6x + 5)(x2 + 6x + 8) = 40 5 ; ; 1} 2` (1) Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử NguyÔn Thanh Hïng 2006 Lop8.net Trường THCS Tiên Nha n¨m 11 (12) §Æt x2 + 6x + = t (*) x2 + 6x + = t + Phương trình đã cho trở thành: Thay t = vµo (*), ta cã: t(t + 3) = 40 t2 + 3t – 40 = (t – 5)(t + 8) = t t 8 x2 + 6x + = x2 + 6x = x x(x + 6) = x - Thay t = -8 vµo (*), ta cã: x2 + 6x + = - x2 + 6x + 13 = 25 27 x2 + 2x + + = 4 27 (x + )2 + = (V« lý) Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {0; -6} Ví dụ 4: Giải phương trình đối xứng bậc chẵn x + 3x + 4x + 3x + = (4) Ta thấy x = không là nghiệm phương trình (4) Chia hai vÕ cña (4) cho x 0, ta ®îc 1 x + 3x + + + =0 x x 1 (x2 + ) + 3(x + ) + = x x §Æt x + = t (*) x x + = t2 – x Phương trình đã cho trở thành : t + 3t + = (t + 1)(t + 2) = t 1 t 2 Thay t = - vµo (*), ta ®îc : x + = -1 x + x + = (V« nghiÖm) x Thay t = - vµo (*), ta ®îc : x + = - x + 2x + = (x + 1) = x = -1 x Vậy phương trình (4) có tập nghiệm S = {-1} *Ví dụ 5: Giải Phương trình đối xứng bậc lẻ x – x + 3x + 3x – x + = (5) Có x = - là nghiệm phương trình (5) Do đó (5) (x + 1)(x – 2x + 5x – 2x + 1) = Giải phương trình đối xứng bậc chẵn Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử NguyÔn Thanh Hïng 2006 Lop8.net Trường THCS Tiên Nha n¨m 12 (13) x4 – 2x3 + 5x2 – 2x + = (5’) Ta thÊy x = kh«ng lµ nghiÖm cña (5’) Chia c¶ vÕ cña (5’) cho x 0, ta cã: 1 1 x – 2x + - + = (x + ) – 2(x + ) + = x x x x §Æt (x + ) = t (*) x (x + ) = t – x (5’) t – 2t +3 = (t – 1) + = ( v« nghiÖm) Vậy Phương trình (5) có tập nghiêm S = {-1} Bµi tËp: Bài 22: Giải phương trình a) 2x + 3x +6x +5 =0 b) x – 4x – 19x + 106x – 120 = c) 4x + 12x + 5x – 6x – 15 = d) x + 3x + 4x + = Bài 23: giải phương trình a) x(x + 1) (x – 1)(x+ 2) = 24 b) (x – 4)(x – 5)(x – 6)(x – 7) = 1680 c) (2x + 1)(x+ 1) (2x + 3) = 18 d) 12x + 7) (3x + 2)(2x + 1) = Bài 24: giải phương trình a) (x – 6x + 9) – 15(x – 6x + 10) = b) (x + x + 1) +(x + x + 1) – 12 = c) (x + 5x) – 2x – 10x = 24 Bài 25: giải phương trình a) x - 2x + 4x – 3x + = b) x – 3x + 4x – 3x + = c) 2x – 9x + 14x – 9x + = d) x + x + x + x +x + x + = Bài 26: giải phương trình: x + 2x + 3x + 3x + 2x + = Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử NguyÔn Thanh Hïng 2006 Lop8.net Trường THCS Tiên Nha n¨m 13 (14) D KÕt luËn chung Phân tích đa thức thành nhân tử là vấn đề rộng lớn trải suốt chương trình học học sinh, nó liên quan kết hợp với các phương pháp khác tạo nên lôgic chặt chẽ toán học Các phương pháp nêu từ dễ đến khó từ đơn giản đến phức tạp giúp học sinh hiểu sâu và phát triển có hệ thống các kỹ năng, kỹ xảo ph©n tÝch Qua đó giúp học sinh phát triển trí tuệ, tính chăm chỉ, tính chính xác, lực nhận xét, phân tích phán ®o¸n, tæng hîp kiÕn thøc Trong năm qua tôi đã vận dụng phương pháp dạy phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh và thấy r»ng c¸c em rÊt hµo høng qu¸ tr×nh t×m tßi lêi gi¶i hay vµ hîp lý nhÊt, kÓ c¶ c¸c bµi tËp vËn dông rót gän biÓu thøc th× ý nghÜa cña viÖc ph©n tÝch c¸c ®a thøc tö vµ mÉu cña c¸c ph©n thøc rÊt quan träng, nã kh«ng nh÷ng giúp việc rút gọn từ phân thức (nếu có thể) mà còn giúp việc tìm tập xá định, tìm mẫu thức chung biểu thức Số học sinh nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào vận dụng vào các bµi tËp lµ 95% Trên đây là số suy nghĩ tôi vấn đề phát triển tư học sinh qua việc dạy giải bài toán ph©n tÝch ®a thøc hµnh nh©n tö Rất mong góp ý chân thành các đồng nghiệp Xin ch©n thµnh c¶m ¬n ! Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử NguyÔn Thanh Hïng 2006 Lop8.net Trường THCS Tiên Nha n¨m 14 (15)