Đề tài: Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng Phần I lời nói đầu Phân tích đa thức thành nhân tử phần quan trọng mặt kiến thức lẫn kĩ thực học sinh bậc THCS Nội dung đ-ợc giới thiệu ch-ơng trình Toán lớp coi nội dung nòng cốt ch-ơng trình Vì đ-ợc vận dụng nhiều ch-ơng sau, phần: Rút gọn phân thức, quy đồng mẫu phân thức, biến đổi đồng biểu thức hữu tỉ, giải ph-ơng trình, bất ph-ơng trình Thực tế giảng dạy cho thấy, số tiết giảng dạy cho phần không nhiều nên đa số học sinh lúng túng học sinh giỏi nhiều vấn đề kiến thức ch-a đ-ợc đề cập tới Đặc biệt kỹ phân tích đa thức thành phân tử kỹ quan trọng, nắm vững thành thạo kỹ học sinh có khả giải đ-ợc nhiều vấn đề ch-ơng trình Đại số lớp lớp nh- nhiều vấn đề Toán học khác có liên quan, tìm đ-ợc lời giải hay ngắn gọn cho toán Nh-ng nhiều lúc việc phân tích đa thức thành nhân tử thật không dễ chút nào, tr-ờng hợp đa thức cần phân tích có bậc cao, hệ số lớn, phức tạp Để giúp cho tất học sinh đại trà để bồi d-ỡng học sinh giỏi đạt kết tốt việc phân tích đa thức thành nhân tử vấn đề cần đ-ợc quan tâm Nh-ng thị tr-ờng có sách dành riêng cho chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử Đó lý đ-a đề tài Về nội dung đề tài, sau giới thiệu ph-ơng pháp có ví dụ cụ thể, đà giới thiệu tập có lời giải vận dụng tổng hợp ph-ơng pháp Tất phần đ-ợc trình bày theo lôgic Giới thiệu ph-ơng pháp b-ớc làm, ví dụ minh hoạ số tập t-ơng tự để làm thêm Với nội dung cách trình bày trên, hy vọng đề tài không tài liệu h-ớng dẫn học sinh THCS mà tài liệu tham khảo bổ ích cho bạn việc giảng dạy tr-ờng THCS sau Sinh viên: Phạm Thị Thà Lớp : CĐSP Toán Tin K48 Trang Đề tài: Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng Phần II NộI DUNG A Phân tích đa thức thành nhân tử Một số khái niệm : Đa thức Đa thức biểu thức đại số phép tính thực biến phép cộng, trừ, nhân (đa thức biểu thức nguyên ) VÝ dơ: BiĨu thøc: f(x) = 5x3- x2 + 3x + đa thức biến (ẩn) x BiĨu thøc: g(y) = 7y2+ 3y - lµ mét ®a thøc cđa biÕn (Èn) y BiĨu thøc: h(x,y) = 5x3y - 3x2y2- 2y3 + đa thức hai biến (ẩn) x y Phân tích đa thức thành nhân tử Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) biến đổi đa thức thành tích đơn thức đa thøc cã bËc nhá h¬n VÝ dơ: a) x2 – xy + x – y =(x – y)(x + 1) b) x5 + x4 + = (x2 + x + 1)(x x + 1) I Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử Để phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều ph-ơng pháp khác nhau, nh-ng th-ờng sử dụng số ph-ơng pháp thông dụng nh- sau: - Đặt nhân tử chung - Sử dụng đẳng thức đáng nhớ - Nhóm hạng tử - Phối hợp nhiều ph-ơng pháp - Tách hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử - Đổi biến số (hay đặt ẩn phụ) - Thêm bớt hạng tử - Ph-ơng pháp hệ số bất định - Tìm nghiệm đa thức Sinh viên: Phạm Thị Thà Lớp : CĐSP Toán Tin K48 Trang Đề tài: Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng Trừ số tr-ờng hợp toán đơn giản, nhiều toán toán phức tạp, có bậc cao ta phải vận dụng tổng hợp ph-ơng pháp cách linh hoạt để giải Ph-ơng pháp đặt nhân tử chung a) Ph-ơng pháp : + Tr-ớc hết, ta tìm nhân tử chung có mặt tất hạng tử đa thức + Phân tích hạng tử đa thức thành tích nhân tử chung nhân tử khác + Đ-a nhân tử chung dấu ngoặc Các hạng tử dấu ngoặc th-ơng phép chia hạng tử ®a thøc cho nh©n tư chung b) VÝ dơ: Ph©n tích đa thức sau thành nhân tử : 1) A = 5x 2y – 10xy 2) B = 2x(3y –7 z) + 6y(7z – 3y) 3) C = (y – z)(2x2y – yz) – (4yx2 + yz2)(z – y2) + 6x 2z(y2 – z) Gi¶i : 2 1) A = 5x y – 10xy Ta thÊy hạng tử đa thức chứa thừa số chung 5xy, ta cã A = 5x2y – 10xy = 5xy.x – 5xy.2y = 5xy(x - 2y) 2) B = 2x(3y – 7z) + 6y(7z – 3y) §ỉi dÊu h¹ng tư 6y(7z – 3y) = - 6y(3y – 7z), ta cã thõa sè (3y – 7z) chung : B = 2x(3y – 7z) + 6y(7z – 3y) = 2x(3y – 7z) - 6y(3y - 7z) = (3y – 7z)( 2x – 6y) = (3y – 7z).2(x – 3y) = 2(3y – 7z)(x – 3y) 3) C = (y – z)(2x2y – yz) – (4yx2 + yz2)(z – y2 ) + 6x2z(y z) Sinh viên: Phạm Thị Thà Lớp : CĐSP Toán Tin K48 Trang Đề tài: Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng §æi dÊu – (4yx + yz2)(z – y2) = (4yx + yz2)( y2 – z), ta cã thõa sè (y – z) chung: C = (y – z)(2x2y – yz) – (4yx2 + yz2)(z – y2 ) + 6x2z(y – z) = (y – z)(2x2y – yz) + (4yx2 + yz2)( y – z) + 6x 2z(y – z) = (y – z)[( 2x 2y – yz ) + (4yx + yz2) + 6x2z] = (y – z)[ 2x2y + 4yx2 + 6x2z] = (y – z)[ 2xy + 4yx2 + 6x2 z] = (y – z)[ 2x2(y + 2y + 3z)] = (y – z)[ 2x2(3y + 3z)] = (y – z) 2x2 3(y + z) = 6x2(y2 – z)(y + z) Khai th¸c toán: Nếu ý đến hạng tử biểu thức cách đặt thừa số chung , ta giải toán t-ơng tự nh- sau: Bài toán 1.1: Phân tích đa thức Q = (x + 2z)(3x + 5x2y) – (7x2 – 3x2y)(2z + x) Bài toán 1.2: Phân tích đa thức P = 3a(b – 2c) – (a – 4)(2c b2) Bài toán 1.3: Phân tích đa thức H = 3xmy – 9xny2 + 15xn+1 víi m, n N, m > n Ph-ơng pháp dùng đẳng thức a) Ph-ơng pháp: Để áp dụng ph-ơng pháp này, ta cần biến đổi hạng tử để làm xuất đẳng thức (nếu có thể) Sau dùng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử b) Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử 1) D = x2 – x + 2) E = 9(x + 5) – (x +7)2 3) F = – x3 + 9x2 27x + 27 Sinh viên: Phạm Thị Thà Lớp : CĐSP Toán Tin K48 Trang Đề tài: Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng 4) G = – 27a b Gi¶i : Ta thấy hạng tử đa thức nhân tử chung nên phân tích đa thức thành nhân tử cách đặt nhân tử chung Mặt khác ta thấy biểu thức đêù có dạng đẳng thức Vì áp dụng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử 1) D = x2 – x + = 2) 3) x 2 x 1 2 x E = 9(x + 5) – (x + 7) = [3(x + 5)] – (x + 7) = [3(x+5) + x +7][3(x+5) – (x+7)] = (4x + 22)(2x + 8) = 4(2x + 11)(x + 4) F = - x3 + 9x2 – 27x + 27 2 = ( x) 3 ( x ) ( x ) 3 = (-x +3) 4) G = – 27a3b6 = 23- (3ab2)3 = (2- 3ab2)( + 6ab2 + 9a2b4) Khai thác toán: Bằng cách dùng đẳng thức đáng nhớ , ta giải toán t-ơng tự nh- sau: Bài toán 1.1: Phân tích đa thức M= x 81y 25 Bài toán 1.2: Phân tích đa thức N= x y (x x y y ) Bài toán 1.3: Phân tích đa thức Sinh viên: Phạm Thị Thà Lớp : CĐSP Toán Tin K48 Trang Đề tài: K= x Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng 3) Ph-ơng pháp nhóm nhiều hạng tử: a)Ph-ơng pháp: Sử dụng tính chất giao hoán tính chất kết hợp phép cộng đơn thức, ta kết hợp hạng tử thích hợp thành nhóm Trong nhóm này, ta áp dụng liên tiếp ph-ơng pháp đặt nhân tử chung dùng đẳng thức để tiếp tục phân tích L-u ý: Th-ờng ta có nhiều cách nhóm hạng tử khác b)Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tö : 1) x2 – xy + x – y 2) x2 - 2xy - z2 + y + 2zt – t2 3) – x2 + 2xy – y2 Giải : Ta thấy hạng tử thừa số chung không thấy có dạng đẳng thức Vì ta nhóm hạng tử với để làm xuất nhân tử chung có dạng đẳng thức để phân tích tiếp: 1) x2 – xy + x – y * C¸ch 1: Nhãm h¹ng tư thø nhÊt víi h¹ng tư thø hai, h¹ng tư thø ba víi h¹ng tư thø t- ta cã : x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + (x – y) =(x – y)(x + 1) * Cách 2: Nhóm hạng tử thứ với hạng tử thø 3, h¹ng tư thø hai víi h¹ng tư thø t-, ta cã : x2 – xy + x – y = (x2 + x) – (xy + y) = x(x + 1) – y(x + 1) = (x + 1)(x – y) NhËn xÐt : ë vÝ dơ trªn ta đà nhóm hạng tử thích hợp để sử dụng ph-ơng pháp đặt nhân tử chung Đối với ®a thøc cã thĨ cã nhiỊu c¸ch nhãm kh¸c hạng tử thích hợp 2) x2 - 2xy - z2 + y + 2zt – t2 Sinh viªn: Phạm Thị Thà Lớp : CĐSP Toán Tin K48 Trang Đề tài: Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng Nhãm h¹ng tư thø nhÊt, thø hai víi h¹ng tử thứ t-, hạng tử thứ ba, thứ năm với hạng tử thứ sáu để có dạng đẳng thức tiếp tục phân tích, ta có : x2 - 2xy - z2 + y2 + 2zt – t2 = (x2 – 2xy + y 2) – (z2 – 2zt + t) = (x – y)2 – (z – t)2 = (x – y + z – t)(x – y – z + t) 3) – x2 + 2xy – y2 = – (x2 – 2xy + y2 ) = 32 – (x – y2) =(3 +x – y)( – x + y) NhËn xÐt : Trong cách giải trên, ta đà nhóm hạng tử cuối đa thức v đưa vo dấu ngoặc ®»ng tríc cã dÊu “ – ” ®Ĩ ph©n tÝch đa thức ph-ơng pháp dùng đẳng thức Khai thác toán: Nếu ý đến ph-ơng pháp nhóm hạng tử, ta giải toán t-ơng tự nh- sau: Bài toán 1.1: Phân tích đa thøc E = 3x3 – 75x + 6x – 150 Bài toán 1.2: Phân tích đa thức F= x (a b c)x (ab Bài toán 1.3: Phân tÝch ®a thøc G= x(y 2 z ) y(z 2 x ) ac z( x bc)x abc y ) Ph-ơng pháp phối hợp ph-ơng pháp a) Ph-ơng pháp: Để phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều ph-ơng pháp, ta nên ý chọn ph-ơng pháp theo thứ tự -u tiên nhsau : B-ớc 1: Đầu tiên ta xét xem hạng tử có xuất nhân tử chung hay không? Có nhân tử chung: áp dụng ph-ơng pháp đặt nhân tử chung Sau ta xem đa thức ngoặc toán quay lại với b-ớc tiếp tục thực đến kết cuối Sinh viên: Phạm Thị Thà Lớp : CĐSP Toán Tin K48 Trang Đề tài: Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng Nếu nhân tử chung, chun sang b-íc B-íc 2: NÕu ®a thøc có dạng hàng đẳng thức áp dụng ph-ơng pháp đẳng thức Nếu không chuyển qua b-ớc B-ớc 3: Dùng ph-ơng pháp nhóm hạng tử thích hợp để xuất đẳng thức nhân tử chung b) Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 1) 2x2 + 4x + – 2y2 2) 2a2 – 12ab + 18b2 3) 5x3z – 10x2z – 5xz3 – 5xy2z + 5xz + 10xyz2 Giải: 1) Ta thấy hạng tử ®Ịu cã thõa sè chung, ta ®Ỉt thõa sè chung tiếp tục phân tích đa thức ngc: 2x2 + 4x + – 2y2 = 2(x2 + 2x + y2) Đặt nhân tử chung 2 = [(x + 2x + 1) y ] Nhóm hạng tử thích hợp ®a thøc ngc = 2[(x + 1)2 – y2] Xuất đẳng thức = 2(x + y)(x + + y) Dùng đẳng thức Nh- thứ tự -u tiên là: Đặt nhân tử chung dùng đẳng thức nhóm hạng tử Vậy 2x2 + 4x + – 2y2 = 2(x + – y)(x + + y) 2) 2a2 – 12ab + 18b2 Cách giải t-ơng tự câu a) : 2a2 12ab + 18b2 = 2(a2 – 6ab + 9b2) = 2(a – 3b)2 3) 5x3z – 10x2z – 5xz3 - 5xy2z + 5xz + 10xyz2 = 5xz(x2 – 2x – z2 – y2 + + 2yz) = 5xz[ (x2 – 2x + 1) – (y2 – 2yz + z2)] = 5xz[(x – 1)2 – (y – z)2] = 5xz(x – – y + z)(x – + y z) Khai thác toán: Bằng ph-ơng pháp phối hợp ph-ơng pháp để phân tích đa thức thành nhân tử, ta giải toán t-ơng tự nh- sau: Sinh viên: Phạm Thị Thà Lớp : CĐSP Toán Tin K48 Trang Đề tài: Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng Bài toán 1.1: Phân tÝch ®a thøc 2 I = 3n 12 n 27 3m Bài toán 1.2: Phân tích đa thức K = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy Bài toán 1.3: Phân tích đa thức L = 7a 5c 14a c 7ac 28c 7ac 28 Ph-ơng pháp tách hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử a) Ph-ơng pháp: Có số đa thức nhân tử chung dạng đẳng thức nên việc phân tích thành nhân tử khó Vì ta nên tách hạng tử thành hai nhiều hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử dùng ph-ơng pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung ®Ĩ ph©n tÝch tiÕp b) VÝ dơ: VÝ dơ 1: Phân tích: x2 6x + Nhận xét: Đa thức không chứa thừa số chung Không có dạng đẳng thức đáng nhớ, nhóm số hạng Ta biến đổi đa thức thành đa thức có nhiều số hạng sau nhóm hạng tử lại với cách phù hợp: Cách 1: Tách số hạng thứ hai x2 6x + = x2 – 2x – 4x + = x(x – 2) – 4( x – 2) = (x )(x 4) Cách 2: Tách số hạng thø x2 - 6x + = x2 – 6x + – = (x – 3)2 – = ( x – – 1)(x – + 1) = (x – 4)( x – 2) C¸ch 3: x2 – 6x + = x2 – – 6x + 12 = ( x – 2)(x + 2) – 6(x – 2) = (x – 2)(x – 4) C¸ch 4: x2 – 6x + = x2 16 6x + 24 Sinh viên: Phạm Thị Thà Lớp : CĐSP Toán Tin K48 Trang Đề tài: Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng = ( x – 4)(4 + x) – 6(x – 4) = (x – 4)( x + – 6) = (x – 4) ( x – 2) C¸ch : x – 6x + = x2 – 4x + – 2x + = (x – 2)2 – 2( x – 2) = (x – 2)( x – – 2) = ( x – 2)(x – 4) Mặc dù có nhiều cách tách nh-ng thông dụng cách sau: * Cách 1: Tách hạng tử bậc thành hai hạng tử dùng ph-ơng pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung Tổng quát: Để phân tích tam thức bậc hai ax2 + bx + c thành nhân tử ta làm nh- sau: + Tìm tích ac + Phân tích tích ac thành tích thừa số nguyên cách + Chän hai thõa sè cã tæng b»ng b Khi hạng tử bx đà đ-ợc tách thành hạng tư bËc nhÊt VÝ dơ 2: 4x2 – 4x – Ta cã tÝch: ac = 4.( –3) = – 12 Ph©n tÝch : – 12 = –1.12 = 1.( –12) = – 2.6 = –3.4 = 3.( – 4) Chän thõa sè cã tỉng lµ : – ®ã lµ vµ (–6) 4x2 – 4x – = 4x2 + 2x – 6x – = 2x(2x + 1) – 3(2x + 1) = (2x + 1)(2x 3) * Cách 2: Tách hạng tử thứ ba thành hạng tử đ-a đa thức dạng hiệu hai bình ph-ơng 4x2 4x = 4x2 – 4x +1 – = ( 2x – 1) – 22 = ( 2x – – 2)( 2x – + 2) = (2x + 1)(2x – 3) VÝ dô 3: 3x2 – 8x + = 4x2 – 8x + – x2 = (2x – 2)2 – x2 = ( 2x – – x)(2x – + x) = (x – 2)(3x – 2) Sinh viên: 10 Phạm Thị Thà Lớp : CĐSP Toán Tin K48 Trang Đề tài: Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng cđa nã Tr-íc hÕt ta t¸ch 13x = 7x + 6x, sau nhóm hạng tử cách phù hợp xuất hiên thừa số chung đạt thừa số chung tiếp tục phân tích ta có đa thức đà đ-ợc phân tÝch: §S: h(x) = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(2x – 1) d) k(x) = 27x4 – 9x3 + 14x2 Dùng ph-ơng pháp tách hạng tử để đặt nhân tử chung e) l(x) = (x2 + x)2 + 4(x2 + x) 12 Dùng ph-ơng pháp thêm bớt hạng tử để xuất đẳng thức f) m(x) = x6 + 27 áp dụng đẳng thức g) n(x) = x4 + 3x2 + Dùng ph-ơng pháp thêm bớt hạng tử ®Ĩ xt hiƯn h»ng ®¼ng thøc h) p(x) = (x + 1)(x + )(x + 3)(x + 4) - 24 HD: Nhân sau đặt ẩn phụ: =(x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) – 24 §Ỉt t = x + 5x + §S: x(x + 5)(x + 5x + 10) Bµi 4 a) f(x) = x - x - x + x + ThÊy x4 có hệ số 1, nên f(x) = (x + ax + b) Khai triĨn vµ sư dung ph-ơng pháp đồng hệ số để tìm a, b §S: f(x) = (x2 – x -2)2 b) g(x) = x + x - x - x T-ơng tự câu a §S: g(x) = (x + x – 12)2 + 144 Bµi a) f(x) = x - 9x2 + 26x 24 Sinh viên: 58 Phạm Thị Thà Lớp : CĐSP Toán Tin K48 Trang Đề tài: Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng Do f(x) cã sè h¹ng bËc cao nhÊt x cã hƯ số 1, nên giả sử f(x) = (x + a)(x + bx + c) §ång nhÊt hệ số ta thu đ-ợc kết quả: f(x) = (x – 2)(x – 3)(x – 4) b) g(x) = x – x3 – x2 + 2x – Do g(x) cã hƯ sè cđa sè h¹ng bËc cao nhÊt 1, hệ số tự nên ta viết đ-ợc: g(x) = (x + ax 2)(x2 + bx + c) §ång nhÊt hƯ sè ta thu đ-ợc kết quả: g(x) = (x 2)(x2 – x + 1) Bµi 6: a) P = (y 5)(x 4), thay giá trị x, y vµo : P = (5,5 – 5)(14 – 4) = 0,5.10 = b) Q = ( x- 5)(x + y) §S: Q = 130 c) H = (x -1)(x2 – 4x + 5) = (x – 1)[(x – 2)2 + 1] ĐS: H = 40 Bài 7: áp dụng H§T: ( A + B) = A + 2A B + B Khai triÓn P ta cã: P= = x (x = (x 2 + 2x y 2 + y + y ) + (x y 2 z ) 2 + 2y z + y )z 2 + 2x z + z 4 + z VËy P = 10 = 100 Bài Xét tr-ờng hợp x = => ( x + b )( x + c ) = – Tõ ®ã suy ra: + b = + c = Hoặc + b = – vµ + c = Sinh viên: 59 Phạm Thị Thà Lớp : CĐSP Toán Tin K48 Trang Đề tài: Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng Bài Nhân (x + a )( x + b )( x+ c ) ta đ-ợc x + ( a + b +c ) x + ( ab + bc +ac ) x +abc Tõ ®ã ta cã: a = a + b + c b = ab + bc +ac c = abc Bài 10: áp dụng định lý Bơdu:Tìm f(1)và f(3)và xét xem có giá trị hay không.Từ suy kết luận Bài 11 a) Biến đổi:10x – 7x + a = 10x2 – 15x + 8x – 12 + 12 + a = 5x.(2x – 3) + 4.(2x – 3) + (12 + a) => 12 + a = b) 2x2 + ax +1 chia cho x – d- => f(3) = hay 3a +19 = c) áp dụng đinh lý Bơdu ta có f(1) = Từ tính a Bài 12 Vì ax3 + bx2 + c chia hết cho x + nên đa thức có nghiệm lµ – VËy ta cã – 8a + 4b + c = (*) Mặt khác, ta có ax + bx2 + c= (x2 – 1) q(x) + Víi x =1 => a + b + c = (* *) Víi x = –1 => –a + b + c = (* * *) Gi¶i hệ ph-ơng trình ta tìm đ-ợc a, b, c Bài 13: HD: Phân tích vế chứa ẩn ph-ơng trình để đ-a ph-ơng trình tích a) (x – 3)(x + 6) = x = hc x = – b) (4x + 1)(2x + 7) = Sinh viên: 60 Phạm Thị Thà Lớp : CĐSP Toán Tin K48 Trang Đề tài: x = - Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng x = - c) x(x – 6)(x – 5) = x = hc x = x = Bài 14 MTC: a - b b - c c - a Ta cã: -1 a - b c - a - a - b b - c + = - b - c b - c c - a c - a + a - b a - b b - c c - a ( a, b, c đôi kh¸c ) VËy A b - c + = a - b c - a + a - b b - c = c - a Bµi 15 B = xy xy x - y x + y x + x = - xy + xy = x VËy B - y x -x = x 2 2 + y - y - xy x + y x : x xy - x x - y -x - x x : 2 x x 2 + y - y 2 - y + y + y Bài 16: Đặt y = x + 1, ta cã: A =y = + 9y + 21y - y - 30 (y - )(y + )(y + )(y + ) 2 2 A = x (x + )(x + )(x + ) Sinh viên: 61 Phạm Thị Thà với giá trị x Lớp : CĐSP Toán Tin K48 Trang Đề tài: Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng Bµi 17: B = = x - 4x - 2x + 12x + 2 (x - x + x ) - (6 x - x ) + = 2 (x - x ) - (x - x ) + = (x 2 - x - ) = (x - )(x + ) Z th× B bình ph-ơng số nguyên Với x Bµi 18: Ta cã: n + n + n = 5n(n + 1)(n + 2) Vì n(n + 1)(n + 2) tích cđa sè nguyªn liªn tiÕp nªn n (n + )(n + ) n ( n + ) ( n + ) Bµi 19: a) C = (x + y + z)(xy + yz + xz) b) V× x , y, z số nguyên (x + y + z ) nên C Lại (x + y + z ) v× thÕ sè x, y, z ph¶i cã Ýt nhÊt mét sè ch½n xyz2 3xyz 6 C - 3xyz6 Bµi 20: Ta cã: 2 D = n (n - ) - n = (n - )(n - )(n - )n (n + )(n + )(n + ) D lu«n chia hÕt cho 3, cho 5, cho Mà số đôi D nguyªn tè cïng nªn D ( ) = Mét sè bµi tập nâng cao Bài 1: f(x) = x = x 5 + y - (x + y ) + y - (x = -5 x y (x ; + 5x y + 10x y + 2x y + 2xy = -5 x y (x + y )(x = -5 x y (x + y )(x Sinh viên: 62 Phạm Thị Thµ 2 2 + 10x y + 5xy + y ) + y ) - x y + y ) + x y (x + y ) + x y + y ) Lớp : CĐSP Toán Tin K48 Trang Đề tài: Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng Bài 2: Ta cã: a + b = a = a + 5a b + 10a b + b + 5ab a 2 + 10a b + b + 5ab + 10a b + b a + b Đặt : a = x y , b = y – z , c = z – x a + b + c = a + b = -c a + b = -c MỈt kh¸c, ta cã: a + b a a = + b a + b + b - 3ab + a b -c + c a + b + 3abc = 5abc c = -c + 10a b + 3abc -c = -c - ab V× thÕ , ta cã: A = x - y + = x - y y - z + y - z z - x z - x x + y + z - xy - yz - zx VËy: x - y + y - z = x - y + y - z z - x z - x x + y + z - xy - yz - zx Bài 3: Đặt x - = y , ph-ơng trình trở thành: (y + ) + (y - ) = 16 Rút gọn ta đ-ợc: 2y + 12y y y 4 + 6y + 6y + = 16 2 +1 = -7 = §Ỉt a = y2 , a > 0, ta cã: a2 + 6a - = Sinh viªn: 63 Phạm Thị Thà Lớp : CĐSP Toán Tin K48 Trang Đề tài: Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng (a - )(a + ) = a = a = -7 Víi a =1, ta cã y2 = y = ±1 Tõ ®ã x1 = 8; x2 = Víi a = - < (lo¹i) VËy S = {8; 6} Chó ý: Khi giải ph-ơng trình bậc bốn dạng (x + a)4 + (x + b)4 = c, ta th-ờng đặt ẩn phụ y a x b Bài 4: Đặt u = x + x - ; v = x - x Ph-ơng trình đà cho cã d¹ng: u + v = (u + v ) + u + v = 3x - 2x - Mặt khác ta lại có: u + v Nên 3 = (u + v ) - u v (u + v ) (u + v ) - u v (u + v ) = (u + v ) 3 u v (u + v ) = u = hc v = hc u + v = x + x - = hc x - x + = hc x - x - = Giải ba ph-ơng trình trên, tìm đ-ợc bốn nghiệm ph-ơng trình đà cho là: x = 1; x = ; x = -4 ; x = - Bµi 5: a) 999 999 =9 9 (9 9 1) = 0 9 ( 9 b) 49 49 Sinh viªn: 64 49 = 49(49 = ( = ( 2 1) 9 (9 9 999 1) ( 1) ( 1) ( 9 999 1) cã tËn cïng ch÷ sè 1)( 1) ( 1) 1) ) 0 0 0 Phạm Thị Thà Lớp : CĐSP Toán Tin K48 Trang Đề tài: Bài 6: Ta cã: x - y = y (x y)(x x y Vì A = x A nên Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử øng dơng cđa nã 1) x y 2 x y + 2xy + y ( 1) - x - y + x - y = x y - x - y = (x + y ) - (x + y ) ( 1) Bµi 7: a) (x + y + z) - x = (x + y ) + z = x + y 3 3 3 - y - z = (x + y ) + z + z (x + y )(x + y + z ) - x + x y (x + y ) + z 3 - x - y - y - z - z + z (x + y )(x + y + z ) - x - y - z = (x + y )(x y + x z + y z + z ) = (x + y )(y + z )(z + x ) b) 3 M = (a + b + c ) + (a - b - c ) + (b - c - a ) + (c - a - b ) Ta đặt: x = a + b - c; y = c + a - b ; z = b + a - c; x + y + z = a + b + c VËy A = (x + y + z ) - x - y 3 - z = ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) (theo c©u a) A = (b + c - a + c + a - b )(c + a - b + b + a - c )(b + a - c + b + c - a ) = c a b = a b c Bµi 8: x 2002 + x 2000 = +1 (x 2002 = x (x - x ) + (x 2001 = x (x ) V× (x ) Sinh viªn: 65 667 - 1 x - , Phạm Thị Thà 2000 - ) + x (x 667 (x ) 666 -1 + x - x ) + (x 1998 - 1 x - + x + 1) - ) + (x (x ) 666 -1 + x + 1) + (x + x + 1) nên Lớp : CĐSP Toán Tin K48 Trang Đề tài: (x ) Vậy 667 2002 x Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử vµ øng dơng cđa nã + x Bµi 9: Ta cã: A = n 2000 = n n 3 666 (x ) - 1 x - chia hÕt cho +1 + 6n vµ - 1 x - + 11n + n 2 5n + x +1 = n (n + 6n + x chia hÕt cho + 5n + x + x +1 + 6n + 11n + 6) 6n + = n n (n + ) + n (n + ) + (n + ) = n (n + )(n + n + ) = n (n + )(n + )(n + ) Ta thÊy A lµ tÝch cđa số tự nhiên liên tiếp, phải có hai số chẳn liên tiếp 2k; 2k + 2; ( k N ) Mµ 2k(2k + 2) = 4k(k + 1) M (vì k k + phải có số chẵn) Vậy A M8 Mặt khác A M3 ; ( , ) = A M( , ) A M2 Bµi 10: Ta cã (a + b + c ) Mµ a a b + b = a c + c T = (-1 ) 1995 + b vµ 2 1995 + c ab = + 2 + (a b + b c + c a ) bc ca a = b = c = + 1995 = Bµi 11: Ta cã M = (x + y ) - (x + y )(x 2 = (x + y ) (x + y ) - (x = (x + y )(x + y 2 + y ) + (x 2 + y ) + (x + 2xy - 3x - 3y + y ) 2 - xy + y ) + 2x 2 - 2xy + 2y ) = (x + y ).0 = Bài 12: T = a Sinh viên: 66 + b 4 + c Phạm Thị Thà Lớp : CĐSP Toán Tin K48 Trang §Ị tµi: = (a = (a + b + b Ta có a Và có: Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dơng cđa nã 2 2 2 + c ) - (a b 2 + a c 2 + b c ) + c ) - (a b + b c + c a ) - a b c (a + b + c ) vµ + b + c = a + b + c = 2 (a b + b c + c a ) = (a + b + c ) - (a = -(a 2 + b + b 2 + c ) + c ) = -1 b + bc + ca = - Do ®ã T = - = Bµi 13: a) a 2 = (a 3 + b ) + c (a = (a + b )(a = (a Mµ + a c - abc + b c + b 2 - ab + b ) 2 - a b + b ) + c (a - ab + b ) - a b + b )(a + b + c ) a + b + c = (a a b) Tõ - a b + b )(a + b + c ) a + b + c = (b + c ) a (a a a - b + b + b 2 (a 2 - b = 2a b Sinh viªn: 67 + a c - abc + b c + b - c 4 2 + c + c 4 + 2a c b + 2bc + c = a = 2bc - c ) + b = b + c = -a = a =0 2 = 4b c = 2a b + a + b + 2b c + c ) = (a Phạm Thị Thµ 2 + 2a c + c + a + b 2 + 2b c = + b + c ) + c Lớp : CĐSP Toán Tin K48 Trang Đề tài: Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng cđa nã Bµi 14: a) Ta cã: x 95 = x +x 64 32 + (x x b) x 10 - y 10 31 (x 31 = (x Bµi 15: Ta cã: 10 x - y 1995 10 - ax M M( x - ) x 1994 + x + x 29 + x + x + x 93 29 + + x + + x + + x + x + 1) + + x + 1) + + x + 1) 2 + x + )(x + x + 64 + x 32 + ) chia hÕt cho ®a thøc + x + - x y + x y 2 - x y + x y + xy + xy + y ) + y ) + ax - + x 1994 2 + y ) 1994 + + x - y )(x + y )(x + x + = + + x 29 29 + + x 29 - y )(x 1994 = (x - ) x V× M( x = (x - )(x 30 30 30 + x 94 + x = (x x 30 + + x 30 + x + x + x 93 + x + x 95 31 + x 31 (x 31 = (x x 94 + x 1993 + x 1993 + + ) - a x (x - )(x + + - a x (x 1992 + x 1992 1991 + x 1991 + + ) + + ) (theo bµi ra) + x 1993 + + - a x (x 1992 + x 1991 + + ) ph¶i chia hÕt cho (x – 1) + x + + - a x (x + x + + ) =(x – 1).g(x) Đặt x Đẳng th-c với x, nên víi x = 1, ta cã: M = 1995 – a.1993 = 1994 a = 1995 1993 1992 1991 1993 Sinh viên: 68 Phạm Thị Thà Lớp : CĐSP Toán Tin K48 Trang Đề tài: Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử øng dơng cđa nã Bµi 16 : Ta cã: 4 A = x (y - z ) + y (z - x ) + z (x - y ) 4 = x (y - z ) + y (z - x ) - z 4 (y - z ) + (z - x ) 4 = x (y - z ) - z (y - z ) + y (z - x ) - z (z - x ) = (y - z )(x 4 - z ) + (z - x )(y = (y - z )(x - z )(x + z )(x = (y - z )x - z )(x + xz 2 4 -z ) + z ) - (x - z )(y - z )(y + z )(y 3 + x z + z - y - yz = (y - z )(x - z ) (x - y ) + z (x - y ) + z (x = (y - z )(x - z )(x - y )(x = + xy + y 2 + z 2 2 2 + z ) -y z -z ) -y ) + zx + yz) (x - y )(y - z )(x - z ) (x + y ) + (y + z ) + (z + x ) 2 Vì x > y > z nên A > (đpcm) Phần III KếT LUậN CHUNG tr-ờng THCS, đa thức phân tích đa thức thành nhân tử nội dung kiến thức mà học sinh đ-ợc học với thời l-ợng không nhiều ch-ơng trình đại số nh-ng lại đ-ợc ứng dụng rộng rÃi xuyên suốt ch-ơng trình học tập em, học sinh th-ờng xuyên phải sử dụng đến kỹ việc xây dựng Sinh viên: 69 Phạm Thị Thà Lớp : CĐSP Toán Tin K48 Trang Đề tài: Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng số nội dung kiến thức sau việc giải toán Các ph-ơng pháp đ-ợc nêu từ dễ đến khó từ đơn giản đến phức tạp giúp học sinh hiểu sâu phát triển có hệ thống kỹ năng, kỹ xảo phân tích đa thức thành nhân tử Qua giúp học sinh phát triển trí tuệ, tính chăm chỉ, tính xác , lực nhận xét, phân tích phán đoán, tổng hợp kiến thức Trong đề tài đề cập đến đa thức ẩn chủ yếu Các tập đ-a đề tài dừng mức ví dụ minh hoạ, ch-a phải hệ thống tập vận dụng đầy đủ kiến thức đ-a ra.Ngoài có số tập tổng hợp tập nâng cao nhằm vận dụng ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử để giải Trong thời gian không dài, tài liệu tham khảo ỏi kinh nghiệm giảng dạy ch-a có Mặc dù đà cố gắng nhiều nh-ng số suy nghĩ ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng Vì mong nhận đ-ợc góp ý, giúp đỡ Thầy, Cô giáo bạn để tiếp tục nghiên cứu vận dụng đề tài cách hoàn chỉnh Nhân đây, muốn gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm Khoa Toán Tin, bạn Lớp CĐSP Toán Tin K48 đặc biệt Giảng viên.ThS.NCS.Nguyễn Quang Hoè đà trực tiếp h-ớng dẫn giúp đỡ suốt trình làm đề tài Xin chân thành cảm ơn! Đồng Hới, ngày 12 tháng 12 năm 2008 Sinh viên Phạm Thị Thà Mục lục Phần i lời nói đầu Phần II Nội dung A.phân tích đa thức thành nhân tử I Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử Sinh viên: 70 Phạm Thị Thà Lớp : CĐSP Toán Tin K48 Trang Đề tài: Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng 1.Ph-ơng pháp đặt nhân tử chung 2.Ph-ơng pháp dùng đẳng thức.4 3.Ph-ơng pháp nhóm nhiều hạng tử 4.Ph-ơng pháp phối hợp ph-ơng pháp 5.Ph-ơng pháp tách hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử 6.Ph-ơng pháp đổi biến số(hay đặt ẩn phụ).11 7.Ph-ơng pháp thêm bớt hạng tử.16 8.Ph-ơng pháp hệ số bất định 18 9.Ph-ơng pháp tìm nghiệm đa thức 21 II.Bài tập ứng dụng 25 A Giải mÉu mét sè bµi tËp………………………………………… .25 B Bµi tËp làm thêm31 I Bài tập trắc nghiệm 31 II Bài tËp tù ln………………………………………………………….32 C H-íng dÉn gi¶i…………………………………………… 35 B.øng dơng phân tích đa thức thành nhân tử I Các toán liên quan.42 1.Bài toán giải ph-ơng trình.42 2.Bài toán giải bất ph-ơng trình 44 3.Bài toán rút gọn biểu thức.46 4.Bài toán chứng minh chia hết48 II.Bài tập tổng hợp 50 III.Một số tập nâng cao.53 IV.H-ơng dẫn giải 54 Bài tập tổng hợp 58 Một sốBài tập nâng cao 60 Phần III KÕt ln chung…………………………… 68 Mơc lơc…………………………………………………… 69 Mét sè tµi liệu tham khảo 70 Sinh viên: 71 Phạm Thị Thà Lớp : CĐSP Toán Tin K48 Trang Đề tài: Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tư vµ øng dơng cđa nã Mét sè tµi liệu tham khảo Toán nâng cao chuyên đề Đại số Nhà xuất giáo dục.Vũ D-ơng Thuỵ (chủ biên)- Nguyễn Ngọc Đạm Đại số sơ cấp thực hành giải Toán Nhà xuất đại học s- phạm Hoàng Kỳ (chủ biên) Hoàng Thanh Hà Bài tập nâng cao Đại số Nhà xuất Đà Nẵng Phan Văn Đức Nguyễn Thái Hoà - Nguyễn Thế Th-ợng Nguyễn Anh Dũng 4.Toán nâng cao Đại số Nhà xuất Đại học s- phạm Nguyễn Vĩnh Cận Bài tập trắc nghiệm đề kiểm tra Toán Nhà xuất giáo dục Hoàng Ngọc H-ng Phạm Thị Bạch Ngọc 400 tập mở rộng Đai số 8.Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội D-ơng Đức Kim - Đỗ Duy Đồng Nâng cao phát triển Toán 8, tập Nhà xuất giáo dục Vũ Hữu Bình Chuyên đề bồi d-ỡng học sinh giỏi Toán THCS Đại số Nhà xuất giáo dục Nguyễn Vũ Thanh Sinh viên: 72 Phạm Thị Thà Lớp : CĐSP Toán Tin K48 Trang ... Trang Đề tài: Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng nã 4) G = – 27a b Giải : Ta thấy hạng tử đa thức nhân tử chung nên phân tích đa thức thành nhân tử cách đặt nhân tử chung... 3x2y2- 2y3 + lµ đa thức hai biến (ẩn) x y Phân tích đa thức thành nhân tử Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) biến đổi đa thức thành tích đơn thức đa thức có bậc nhỏ Ví dụ: a) x2 – xy + x... Ph-ơng pháp đặt nhân tử chung a) Ph-ơng pháp : + Tr-ớc hết, ta tìm nhân tử chung có mặt tất hạng tử đa thức + Phân tích hạng tử đa thức thành tích nhân tử chung nhân tử khác + Đ-a nhân tử chung dấu