Hsg hh8 chuyên đề đồng dạng , ta lét và liên quan (128 trang)

CHUYÊN ĐỀ ĐỒNG DẠNG , TA-LÉT VÀ LIÊN QUAN PHẦN I.TRỌNG TÂM HSG CẦN ĐẠT Chủ đề 1.ĐỊNH LÝ TA-LÉT TRONG TAM GIÁC A Kiến thức cần nhớ  Tỉ số hai đoạn thẳng Tỉ số hai đoạn thẳng tỉ số độ dài chúng theo đơn vị đo  Đoạn thẳng tỉ lệ Hai đoạn thẳng AB CD gọi tỉ lệ với hai đoạn thẳng A’B C’D có tỉ lệ thức: AB A' B' AB CD hay   CD C' D' A' B' C' D'  Định lý Ta-let tam giác Nếu đường thẳng song song với cạnh tam giác cắt hai cạnh lại định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ Trong hình bên ΔABC  AB' AC' AB' AC' B' B C' C  ;  ;   B'C'//BC  AB AC B' B C' C AB AC Định lý Ta-lét đảo Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ đường thẳng song song với cạnh lại tam giác ΔABC   Trong hình bên AB' AC'   B'C'//BC = B'B C'C   Hệ định lý Ta-lét Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh cịn lại tạo thành tam giác có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh tam giác cho Trong hình bên: ΔABC  AB' AC' B'C' = =  B'C'//BC  AB AC BC Chú ý Hệ cho trường hợp đường thẳng a song song với cạnh tam giác cắt phần kéo dài hai cạnh lại AB' AC' B' C'   AB AC BC B Một số ví dụ Trang Ví dụ Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Từ điểm E cạnh BC ta kẻ đường thẳng Ex song song với AM cắt tia CA, BA F G Chứng minh: EF  EG  2.AM Giải * Tìm cách giải - Để chứng minh EF  EG  2.AM , suy luận thông thường dựng đoạn thẳng tia EF, EG đoạn thẳng AM, biến đổi cộng trừ đoạn thẳng Chẳng hạn ví dụ này, qua A kẻ đường thẳng song song với BC, cắt EF I Dễ dàng nhận thấy EI = AM, cần chứng minh GI = IF xong Tuy nhiên để chứng minh GI = IF cách ghép vào hai tam giác khó khăn, chứng minh tỉ số có mẫu số Quan sát kỹ nhận thấy GI IF đặt mẫu số IE! Từ vận dụng định lý hệ Ta-let để chứng minh FI IG xong  IE IE Ngoài cách trên, biến đổi kết luận thành tổng tỉ số chứng minh FF EG  2 AM AM xong Do vận dụng định lý Ta-lét biến đổi linh hoạt tỷ lệ thức yêu cầu tất yếu dạng tốn * Trình bày lời giải Cách Giả sử E thuộc đoạn BM Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt EF I Ta có AMEI hình bình hành, suy EI = AM Áp dụng định lý Ta-lét, xét ΔEFC có AI // CE, AM//EF  IF FA EM   1 IE AC MC Xét GEB có AI // BE, AM // GE  IG AG EM    2 IE AB BM Từ (1) (2), kết hợp với BM = MC Suy IG = IF Ta có: EF  EG  EI  IF+EI - IG=2.EI=2.AM Cách Giả sử E thuộc đoạn BM Theo hệ định lý Ta-lét: Xét ΔEFC có EF//AM  EF EC  AM CM  3 Xét ΔABM có EG//AM  EG BE  AM BM 4 Cộng vế theo vế (3) (4) ta có: Trang EF EG EC BE EF  EG BC hay      AM AM CM BM AM BM Suy EF  EG  2.AM Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD (AB//CD) Trên tia đối tia BA lấy điểm E cho BE = CD Gọi giao điểm AC với DB DE theo thứ tự I K Chứng minh hệ thức AK AC  KC CI Giải * Tìm cách giải Nhận thấy rằng: khơng thể chứng minh trực tiếp AK AC  , nên sử KC CI dụng tỉ số trung gian Khai thác BE = CD AB//CD tự nhiên vận dụng hệ định lý Talét * Trình bày lời giải Đặt AB = a, BE = CD = b Theo hệ định lý Ta-lét Ta có: AE//CD  AB//CD   AK AE a  b   KC CD b 1 AI AB a   CI CD b AI  CI a  b AC a  b    CI b CI b Từ (1) (2) suy ra:  2 AK AC  KC CI Ví dụ Cho tam giác ABC có A  120 , AD đường phân giác Chứng minh rằng: 1   AB AC AD Giải Kẻ DE // AB, ta có: D1  A1  60; A2  60 nên tam giác ADE Suy AD = AE = DE Áp dụng hệ định lý Ta-lét: Mặt khác Suy DE CE AD CE hay   AB AC AB AC AD AE AD AD CE AE AC nên       AC AC AB AC AC AC AC 1   AB AC AD Nhận xét Những toán chứng minh đẳng thức có nghịch đảo độ dài đoạn thẳng, bạn nên biến đổi chứng minh hệ thức tương đương có tỉ số hai đoạn thẳng Ví dụ Một đường thẳng qua trọng tâm G tam giác ABC cắt cạnh AB, AC M N Chứng minh rằng: Trang a) AB AC   3; AM AN b) BM CN   AM AN Giải * Tìm cách giải Để tạo tỉ số AB AC cần vận dụng định lý Ta-let, mà hình vẽ chưa có yếu ; AM AN tố song song cần kẻ thêm yếu tố song song Kẻ đường thẳng song song với MN từ B C vừa khai thác yếu tố trọng tâm, vừa tạo tỉ số yêu cầu * Trình bày lời giải Trường hợp Nếu MN // BC, lời giải giản đơn (dành cho bạn đọc) Trường hợp Xét MN không song song với BC a) Gọi giao điểm AG BC D  BD  CD Kẻ BI // CK // MN  I ,K  AD  Xét BDI CDK có BD  CD; IBD  KCD; IDB  KDC nên BDI  CDK  g.cg   DI  DK Áp dụng định lý Ta-lét, ta có AB AI (vì MG // BI);  AM AG AC AK (vì GN // CK)  AN AG Suy AB AC 2.AD   3 AM AN AG b) Xét BM GI CN KG  ;  AM AG AN AG hay (1) (vì AD  AG ) BM CN GI  GK 2.GD BM CN     1, suy   AM AN AG AG AM AN Nhận xét Từ kết (1), thấy G trọng tâm nên AD  Vậy G AG trọng tâm ta có tốn sau: - Một đường cắt cạnh AB, AC đường trung tuyến AD tam giác ABC M, N G Chứng minh rằng: AB AC AD   AM AN AG - Nếu thay yếu tố trung tuyến hình bình hành, ta có tốn sau: Cho hình bình hành ABCD Một đường thẳng cắt AB, AD AC M, N G Chứng minh rằng: AB AD AC   AM AN AG Trang Ví dụ Một đường thẳng qua trọng tâm G tam giác ABC cắt cạnh AB, AC P, Q Chứng minh rằng: PB QC  PA QA Giải * Tìm cách giải Vẽ hình xong quan sát, nhận thấy tỉ số kết PB QC có câu b, ví dụ có ; PA QA PB QC   Do khai thác yếu tố này, kết hợp với bất đẳng thức đại số cho lời giải đẹp PA QA * Trình bày lời giải BP CQ  1 AP AQ Dựa vào ví dụ 4, ta có: Áp dụng bất đẳng thức  x  y   4xy; 2  BP CQ  BP QC BP QC Ta có:   hay     PA QA PA QA  AP AQ  Ví dụ Cho ABCD hình bình hành có tâm O Gọi M, N trung điểm BO; AO Lấy F cạnh AB cho FM cắt cạnh BC E tia FN cắt cạnh AD K Chứng minh rằng: a) BA BC   4; BF BE b) BE  AK  BC Giải * Tìm cách giải Với phân tích suy luận câu a, ví dụ câu a, ví dụ khơng q khó Tương tự câu a, có kết quả: AD AB AD AB AB BC   suy     để liên kết AK AF AK AF BF BE BE + AK với nhau, mà với suy luận BE, AK nằm mẫu số, liên tưởng tới bất đẳng thức đại số 1   cho yêu cầu Với suy luận đó, có lời giải sau: x y x y * Trình bày lời giải a) Kẻ CI //AH // EF (với I ,H  BD ) Xét AOH COI có AOH  COI (đối đỉnh); OA = OB; HAO  ICO (so le trong) Trang  AOH  COI (c.g.c)  IO  OH Áp dụng định lý Ta-lét, ta có: BA BC BH BI BH  BI BO  OH  BO  OI 2.BO        BF BE BM BM BM BM BM b) Tương tự ta có: AD AB AD AB AB BC  4    8 AK AF AK AF BF BE      BC.     AB  8  AK BE   AF BF  Áp dụng bất đẳng thức Ta có: (1) 1 (với x; y  )   x y x y 1 4       AB     (2) AF BF AF  BF AB  AF BF    Từ (1) (2) suy ra: BC.  4  AK BE  Mà  1  4BC     BC    AK BE AK  BE  AK BE  AK  BE 4BC   AK  BE  BC AK  BE Ví dụ Cho tam giác ABC nhọn có AH đường cao Trên AH, AB, AC lấy điểm D, E, F cho EDC  FDB  90 Chứng minh rằng: EF//BC (Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Quảng Ngãi, năm học 2011-2012) Giải * Tìm cách giải Để chứng minh EF//BC , suy luận cách tự nhiên cần vận dụng định lý Ta-let đảo Do cần chứng minh tỉ lệ thức AB AC Nhận thấy  AE AF để định hướng tỉ lệ thức khai thác EDC  FDB  90 cần kẻ BO  CD;CM  DB , để có đường thẳng song song vận dụng định lý Ta-let Từ có lời giải sau: * Trình bày lời giải Kẻ BO  CD;CM  DB , BO CM cắt I  D trực tâm BIC  DI  BC  I, D, A thẳng hàng DE//BI  AI AB  AD AE Trang IC//FD  AI AC AB AC suy    EF//BC AD AF AE AF (Định lý Ta-let đảo) Ví dụ Cho tam giác ABC vng cân A có BM đường trung tuyến Lấy điểm F cạnh BC cho FB=2.FC Chứng minh AF  BM Giải * Tìm cách giải Nhận thấy từ FB=2.FC suy ra: BF  mang tính chất trọng tâm tam giác Do CF gọi G trọng tâm tam giác, AH đường trung tuyến dễ dàng nhận GF // AC AH  BC nên G trực tâm tam giác ABF Do ta có lời giải sau: * Trình bày lời giải Gọi G trọng tâm tam giác ABC AG kéo dài cắt BC H  AH đường trung tuyến tam giác ABC Mặt khác, ABC vuông cân A nên AH  BC Ta có: BG  (vì G trọng tâm); GM Và BF  (giả thiết) FC  BG BF   FG//AC (theo định lý Ta-let đảo) GM FC  FG  AB nên G trực tâm ABF  BG  AF hay BM  AF Ví dụ Cho tam giác ABC Biết tồn điểm M, N cạnh AB, BC cho BM BN  AM CN BNM  ANC Chứng minh tam giác ABC vuông Giải Cách Gọi P trung điểm AM, Q giao điểm AN với CP Ta có: BM BM BN    MN //CP (định lý Ta-let đảo) PM AM CN  QCN  MNB  ANC  QCN cân Q Mặt khác PA  PM ,PQ//MN  QA  QN nên QA  QC  QN CAN vuông C  ABC vuông C Cách Dựng D điểm đối xứng N qua C  ND  CN  CD  2.CN Ta có: MB BN MB BN BN     MA CN MA 2.CN DN Trang  MN//AD (định lý Ta-let đảo)  D=N1=N2  AND cân Do đường trung tuyến AC đường cao Vậy AC  CB  ABC vng C Ví dụ 10 Cho tam giác ABC có AD đường trung tuyến Gọi M điểm tùy ý thuộc khoảng BD Lấy E thuộc AB F thuộc AC cho ME // AC; MF // AB Gọi H giao điểm MF AD Đường thẳng qua B song song với EH cắt MF K Đường thẳng AK cắt BC I Tính tỉ số IB ? ID Giải Qua D kẻ đường thẳng song song với AB, cắt tia AI P Áp dụng định lý Ta-let, cho đoạn thẳng song song ta có: DP//AB  IB AB AB HK (1)   ID DP HK DP ME//AC  AB AB BC (2)   HK BE BM HK//DP MH//AB  HK AH BM (3)   DP AD BD Từ (1), (2) (3) suy ra: IB BC BM BC IB    Vậy  ID BM BD BD ID Ví dụ 11 Cho ABC nhọn Hình chữ nhật MNPQ thay đổi thỏa mãn M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC P, Q thuộc cạnh BC Gọi giao điểm BN với CM X QN với PM Y Gọi H giao điểm XY với BC Chứng minh đường thẳng AH vng góc với BC Giải * Tìm cách giải Bài tốn có nhiều yếu tố song song, để chứng minh đường thẳng AH vng góc với BC, nên chứng minh AH song song với NP MQ Với định hướng tìm cách vận dụng định lý Ta-let đảo Chẳng hạn chứng minh AH song song với NP, cần chứng minh HP AN Bằng cách vận dụng định lý Ta-lét hệ biến đổi khéo léo dãy tỉ số nhau,  HC AC có lời giải đẹp * Trình bày lời giải Gọi Z giao điểm XY với MN tứ giác MNPQ hình chữ nhật, HP = ZM MN // BC nên: HP ZM XM MN AN     HC HC XC CB AC Do AH // NP (định lý Ta-let đảo) mà NP  BC nên AH  BC Ví dụ 12 Cho hình bình hành ABCD có I; E trung điểm BC; AD Qua điểm M tùy ý AB kẻ đường thẳng MI cắt đường thẳng AC K Đường thẳng KE cắt CD N Chứng minh rằng: AD = MN Trang Giải Gọi P giao điểm đường thẳng MI CD Gọi Q giao điểm đường thẳng KN AB Nhận thấy: IBM  ICP (g.c.g) nên BM = CP Ta có theo định lý Ta-lét AM//CP nên AM AM KA (1)   MB CP KC Nhận thấy EAQ  EDN (g.c.g) nên DN = AQ Theo định lý Ta-lét, ta có: AQ // CN nên Từ (1) (2) suy ra: DN AQ KA (2)   NC NC KC AM DN AM DN AM DN      MB NC AM  MB DN  NC AB DC Suy AM = DN Do ADNM hình bình hành suy AD = MN C Bài tập vận dụng 1.1 Cho hình bình hành ABCD có AC = 24 cm Điểm E thuộc cạnh AB cho AE  EB Điểm F trung điểm BC Gọi I, K theo thứ tự giao điểm AC với DE, DF Tính độ dài AI, IK, KC 1.2 Cho tam giác ABC có BC cạnh lớn Trên cạnh BC lấy điểm D, E cho BD =BA; CE = CA Đường thẳng qua D song song với AB cắt AC M Đường thẳng qua E song song với AC cắt AB N Chứng minh AM = AN 1.3 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi I trung điểm AH Đường vng góc với BC C cắt đường thẳng BI D Chứng minh DA = DC 1.4 Cho hình bình hành ABCD Trên đường chéo AC lấy điểm I Tia DI cắt đường thẳng AB M, cắt đường thẳng BC N Chứng minh rằng: a) AM DM CB   ; AB DN CN b) ID2  IM IN 1.5 Cho tam giác ABC vuông A Vẽ phía ngồi hai tam giác ABD ACE vng cân B E Gọi H giao điểm AB CD; K giao điểm AC BE Chứng minh rằng: Trang a) AH = AK; b) AH  BH CK 1.6 Cho hình vng ABCD, điểm E thuộc cạnh BC Gọi F giao điểm AE CD, G giao điểm DE BF a) Gọi I K theo thứ tự giao điểm AB CG DG Chứng minh IE song song với BD b) Chứng minh AE vng góc với CG 1.7 Cho tam giác ABC D điểm tùy ý AC Gọi G trọng tâm ABD Gọi E giao điểm CG BD Tính EB CA  ED CD 1.8 Cho hình bình hành ABCD, điểm E thuộc cạnh AB, điểm F thuộc cạnh BC Gọi I giao điểm CE AD, gọi K giao điểm AF DC Chứng minh EF song song với IK 1.9 Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh BC kéo dài phái C lấy điểm M Một đường thẳng  qua M cắt cạnh CA, AB N P Chứng minh BM CM không đổi M   BP CN thay đổi 1.10 Giả sử O giao điểm hai đường chéo AC BD tứ giác lồi ABCD Gọi E, F, H chân đường vng góc kẻ từ B, C O đến AD Chứng minh rằng: AD.BE.CF  AC.BD.OH Đẳng thức xảy nào? 1.11 Cho tam giác ABC vuông A Các tứ giác MNPQ AXYZ hình vuông cho M  AB;Q,P  BC; N  AC; X, Y, Z tương ứng thuộc AB, BC, AC Chứng minh MN  AX 1.12 Gọi M điểm đường trung tuyến đường trung tuyến AD tam giác ABC Gọi P giao điểm BM AC, gọi Q giao điểm CM AB Chứng minh PQ // BC 1.13 Cho tam giác ABC có AB