Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ Cách thứ nhất là : Tìm các cặp tam giác đồng dạng sau đó quy đồng mẫu số chung , để suy ra đpcm xem lời giải trong TLTK C[r]
(1)Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán đoạn thẳng tỷ lệ Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi Tên chuyên đề : Định lý thalès & các bài toán vÒ ®o¹n th¼ng tû lÖ A/ C¬ së lý thuyÕt – c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n häc sinh cÇn ph¶i biÕt : PhÇn các khái niệm liên quan đến Đoạn thẳng tỷ lệ 1.1 Tû sè cña hai ®o¹n th¼ng Tỷ số hai đoạn thẳng là tỷ số độ dài chúng theo cùng đơn vị đo Nh thờng lệ , không gây nhầm lẫn , ta dùng cùng ký hiệu AB để đoạn thẳng AB và độ dài đoạn thẳng đó Ký hiÖu tû sè cña hai ®o¹n th¼ng AB vµ CD lµ AB Trong ký hiÖu AB nµy , CD CD AB và CD có nghĩa là độ dài các đoạn thẳng AB và CD Chú ý : Tỷ số hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào đơn vị đo 1.2 Tû lÖ thøc Tỷ lệ thức là đẳng thức hai tỷ số Nếu AB , CD , EF , GH là bốn đoạn thẳng mà AB = EF thì đẳng thức đó là CD GH mét tû lÖ thøc cña c¸c ®o¹n th¼ng 1.3 C¸c tÝnh chÊt cña tû lÖ thøc AB NÕu = EF th× CD GH 1) AB GH = CD EF 2) AB = CD 3) 4) EF GH AB ± CD = CD AB = EF CD GH AB = EF CD GH EF ±GH GH = AB+ EF CD+GH = AB − EF CD −GH 5) ( NÕu CD kh¸c GH ) 1.3 Trung b×nh nh©n Đoạn thẳng AB đợc gọi là trung bình nhân hai đoạn thẳng CD & EF AB = EF hayAB2=CD EF CD AB VD NÕu h×nh vu«ng ABCD vµ h×nh ch÷ nhËt E FGH cã diÖn tÝch b»ng th× ®o¹n th¼ng AB lµ trung b×nh nh©n cña hai ®o¹n th¼ng E F & FG 1.4 Trung b×nh ®iÒu hoµ Đoạn thẳng AB đợc gọi là trung bình điều hoà hai đoạn thẳng CD và E F 1 = + AB CD EF VD : C¹nh nhá nhÊt cña tam gi¸c Ai CËp lµ trung b×nh ®iÒu hoµ cña c¹nh gãc vu«ng cßn l¹i vµ chiÒu cao thuéc c¹nh huyÒn Tam giác Ai Cập là tam giác vuông có độ dài ba cạnh là , , Nếu đặt AB = AC = thì BC = và chiều cao thuộc cạnh huyền là AH = AB AC Do đó BC 1 BC AB+ BC AB+ BC 3+4 + = + = = = = AC AH AC AB AC AB AC AB AC AB AB (§pcm) 1.5 §o¹n th¼ng tû lÖ : Lª V¨n Chung – Trêng THCS Lª V¨n ThÞnh , huyÖn Gia B×nh (2) Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán đoạn thẳng tỷ lệ Hai đoạn thẳng AB & CD đợc gọi là tỷ lệ với hai đoạn thẳng A/B/ và C/D/ có tỷ ❑ ❑ lÖ thøc : AB = A❑ B ❑ CD C D Chó ý : Hai ®o¹n th¼ng AB & CD tû lÖ víi hai ®o¹n th¼ng A/B/ & C/D/ vµ chØ AB.C/ D/ = A/B/ CD Do đó , hai đoạn thẳng AB & CD tỷ lệ với hai đoạn thẳng A/B/ và C/D/ thì ta còng cã c¸c cÆp ®o¹n th¼ng sau ®©y còng tû lÖ víi : - CD & AB tû lÖ víi C/D/ & A/B/ - AB & A/B/ tû lÖ víi CD & C/D/ - C/D/ & CD tû lÖ víi A/B/ & AB - A/B/ & C/D/ tû lÖ víi AB & CD - C/D/ & A/B/ tû lÖ víi CD & AB VD : NÕu AD , BE lµ hai trung tuyÕn vµ G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC th× V× AG = =BG nªn hai ®o¹n th¼ng AG & AD tû lÖ víi hai ®o¹n th¼ng BG & BE AD BE Hai ®o¹n th¼ng AG & BG còng tû lÖ víi hai ®o¹n th¼ng AD vµ BE 1.5 §iÓm chia ®o¹n th¼ng - §iÓm C chia ®o¹n th¼ng AB theo tû sè k > vµ chØ C thuéc ®o¹n th¼ng AB vµ CA =k CB - §iÓm D chia ngoµi ®o¹n th¼ng AB theo tû sè k ( < k ≠ ) vµ chØ D thuộc đờng thẳng AB nhng không thuộc đoạn thẳng AB và DA =k DB VD : Träng t©m G cña tam gi¸c ABC chia trung tuyÕn AD theo tû sè k = v× GA =2 Trung ®iÓm D cña c¹nh BC chia ngoµi ®o¹n th¼ng AG theo tû sè GD v× DA =3 DG PhÇn : §Þnh lý thaleS 2.1 §Þnh lý Thale s thuËn Ba đờng thẳng song song định trên hai cát tuyến đoạn thẳng tơng øng tû lÖ d d/ a A A/ Giả sử đờng thẳng d cắt ba đờng thẳng Song song a , b , c t¹i c¸c ®iÓm t¬ng ứng A , B , C và đờng thẳng d/ b B B/ cắt ba đờng thẳng a, b , c ba điểm A/ , B/ , C/ Khi đó ta có : \ AB A ❑ B❑ = BC B❑ C ❑ c C C/ 2.2 Định lý Thales đảo Cho hai đờng thẳng song song a và b định trên hai cát tuyến d & d/ các đoạn thẳng tơng ứng AB và A/B/ Nếu đờng thẳng c cắt d và d/ hai điểm tơng ứng Lª V¨n Chung – Trêng THCS Lª V¨n ThÞnh , huyÖn Gia B×nh (3) Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán đoạn thẳng tỷ lệ C (không trùng với A ) và C/ cùng phía đờng thẳng b mà ta có các đoạn AB A ❑ B❑ = BC B❑C ❑ th¼ng t¬ng øng tû lÖ Thì đờng thẳng c song song với a & b 2.3 §Þnh lý Thales tam gi¸c : 2.3 §Þnh lý ThuËn Nếu đờng thẳng song song với cạnh tam giác và không qua đỉnh đối diện thì nó chia (trong ngoài ) hai cạnh tam giác thành đoạn th¼ng t¬ng øng tû lÖ A Tam giác ABC , DE / / BC ( với D thuộc đờng thẳng AB E thuộc đờng thẳng AC ) th× AD = AE ; AD = AE ; DB = EC AB AC DB EC AB AC a 2.3.2 Hệ định lý Thales D E B C Nếu đờng thẳng song song với cạnh tam giác và không qua đỉnh đối diện thì nó tạo với hai cạnh tam giác tam giác có các cạnh tỷ lệ với các cạnh tam giác đã cho G/s đờng thẳng a song song với cạnh BC tam giác ABC nhng không qua đỉnh A cắt hai đờng thẳng AB , AC hai điểm tơng ứng D và E thì tam giác ADE cã ba c¹nh tû lÖ víi ba c¹nh cña tam gi¸c ABC 2.3 Định lý đảo Nếu đờng thẳng không qua đỉnh tam giác và chia (trong ngoài ) hai cạnh tam giác đó thành đoạn thẳng tơng ứng tỷ lệ thì nó song song với cạnh còn lại tam giác đó PhÇn : C¸c bµi to¸n c¬ b¶n ¸p dông §Þnh lý thaleS 3.1 Bµi to¸n thø nhÊt : Cho hai đờng thẳng song song cố định a và b Hai điểm A và B theo thứ tự di động trên a và b Tìm quỹ tích các điểm M cho MA =k ≠ cho trớc MB a H A A/ b K c I B B/ M M/ Lêi gi¶i : Phần thuận : Chọn điểm H trên a cho cố định lại ( hình vẽ trên ) qua H vẽ đờng thẳng vuong góc với b K Khi đó có đúng điểm I trên đờng th¼ng HK cho IH =k NÕu A vµ B theo thø tù trªn a vµ b mµ MA =k ≠ IK Lª V¨n Chung – Trêng THCS Lª V¨n ThÞnh , huyÖn Gia B×nh MB (4) Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán đoạn thẳng tỷ lệ Thì MA =IH Nên theo định lý đảo đờng thẳng IM song song với a và b MB IK Vậy điểm M nằm trên đờng thẳng qua điểm I cố định và song song với a , b Ta gọi c là đờng thẳng qua I và song song với a , b Phần đảo : Lấy trên c điểm M/ Lấy trên a điểm A/ đó đờng thẳng A/ M/ cắt b điểm B/ áp dụng định lý thuận cho ba đờng thẳng song song a, b , c vµ hai c¸t tuyÕn HK vµ A/B/ ta cã M ❑ A ❑ IH =k ❑ ❑= IK M B Vậy điểm trên c thoả mãn ĐK đã cho điểm M Vậy quỹ tích cần tìm là đờng thẳng c 3.2 Bµi to¸n thø hai : Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD Đờng thẳng qua giao điểm I hai đờng chéo và song song với hai đáy cắt các cạnh bên AD , BC các ®iÓm t¬ng øng E , F Chøng minh r»ng I lµ trung ®iÓm cña EF & E F lµ trung bình điều hoà hai đáy Lêi gi¶i : ( Xem tµi liÖu TK ) 3.3 Bµi to¸n thø ba : Cho hình thang ABCD có hai đáy AB , CD mà AB < CD Đờng thẳng qua A và song song víi BC c¾t BD t¹i E §êng th¼ng ®i qua B vµ song song víi AD c¾t AC F Chứng minh E F // CD và tính E F theo các cạnh đáy hình thang Lêi gi¶i : ( Xem tµi liÖu TK ) 3.4 Bµi to¸n thø : NÕu gãc BAC cña tam gi¸c ABC vµ gãc B/ A/ C/ cña tam gi¸c A/B/C/ b»ng bù thì tỷ số diện tích hai tam giác đó tỷ số tích các cạnh kề góc đó : S Δ ABC AB AC = S ΔA B C A❑ B❑ A❑ C❑ ❑ ❑ ❑ Lêi gi¶i : ( Xem tµi liÖu TK ) 3.5 Bµi to¸n thø n¨m : Cho tam giác ABC cố định , các điểm D , E di động trên các cạnh tơng ứng AB , AC cho AD =CE T×m quü tÝch trung ®iÓm M cña ®o¹n th¼ng DE DB EA Lêi gi¶i : ( Xem tµi liÖu TK ) 3.6 Bµi to¸n thø s¸u : ( Dùng ®o¹n th¼ng tû lÖ thø t ) Cho tríc ba ®o¹n th¼ng AB , m , n Dùng c¸c ®iÓm chia vµ chia ngoµi ®o¹n th¼ng AB theo tû sè m n Lª V¨n Chung – Trêng THCS Lª V¨n ThÞnh , huyÖn Gia B×nh (5) Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán đoạn thẳng tỷ lệ Lêi gi¶i : ( Xem tµi liÖu TK ) 3.7 Bài toán thứ bẩy( Định lý chùm đờng thẳng đồng quy) : a/ §Þnh lý thuËn : Nếu ba đờng thẳng đồng quy cắt hai đờng thẳng song thì chúng định trên hai đờng thẳng song song các đoạn thẳng tơng ứng tỷ lệ Lêi gi¶i : ( Xem tµi liÖu TK ) b/ Định lý đảo : Cho ba đờng thẳng , đó có hai đờng thẳng cắt , định trên hai đờng thẳng song song các đoạn thẳng tơng ứng tỷ lệ thì ba đờng thẳng đồng quy Lêi gi¶i : ( Xem tµi liÖu TK ) c/ Định lý đảo : Nếu hai đờng thẳng phân biệt bị cắt ba đờng thẳng đồng quy tạo thành các ®o¹n th¼ng t¬ng øng tû lÖ th× chóng song song víi Lêi gi¶i : ( Xem tµi liÖu TK ) 3.8 Bài toán thứ tám (bổ đề hình thang ) : a/ Chứng minh hai cạnh bên hình thang cắt thì đờng thẳng qua giao điểm đó và giao điểm hai đờng chéo qua trung điểm các đáy hình thang b/ Hãy nêu cách dựng cái thớc (không dùng com pa) để dựng trung điểm đoạn thẳng AB cho trớc cho đờng thẳng d song song với AB Và dựng qua điểm M cho trớc đờng thẳng song với đoạn thẳng AB cho trớc mà đã biết trung điểm I AB Lêi gi¶i : ( Xem tµi liÖu TK ) 3.9 Bµi to¸n thø chÝn : Cho góc xOy và đờng thẳng d không qua O nhng cắt hai cạnh góc đó Đờng thẳng di động a không qua O nhng cùng phơng với d , cắt Ox A và c¾t Oy t¹i B T×m quü tich trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AB Lêi gi¶i : ( Xem tµi liÖu TK ) 3.10 Bµi to¸n thø mêi ( chia mét ®o¹n th¼ng cho tríc ): Chia ®o¹n th¼ng AB cho tríc thµnh ba ®o¹n th¼ng tû lÖ víi c¸c ®o¹n th¼ng a , b , c cho tríc Lêi gi¶i : ( Xem tµi liÖu TK ) 3.11 Bµi to¸n thø mêi mét ( §Þnh lý MÐnÐlaus ): Lª V¨n Chung – Trêng THCS Lª V¨n ThÞnh , huyÖn Gia B×nh (6) Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán đoạn thẳng tỷ lệ Cho ba điểm P , Q , R theo thứ tự trên các đờng thẳng chứa các cạnh BC , CA , AB tam giác ABC nhng không trùng đỉnh nào tam giác đó Điều kiện ❑ cần và đủ để ba điểm P , Q , R thẳng hàng là PB QC RA =1 PC QA RB Lêi gi¶i : (Xem tµi liÖu TK ) 3.12 Bµi to¸n thø mêi hai ( Mét øng dông cña §Þnh lý MÐnÐlaus ): Trªn hai c¹nh AB , AD cña h×nh b×nh hµnh ABCD , lÊy hai ®iÓm t¬ng øng M , N Gäi P lµ ®iÓm cho AMPN lµ h×nh b×nh hµnh vµ Q lµ giao ®iÓm cña BN vµ MD Chøng minh r»ng ba ®iÓm C , P , Q th¼ng hµng 3.13 Bµi to¸n thø mêi ba ( §Þnh lý CÐ va ): Cho ba điểm P , Q , R theo thứ tự trên các đờng thẳng chứa các cạnh BC , CA , AB tam giác ABC nhng không trùng đỉnh nào tam giác đó Điều kiện cần và đủ để ba đờng thẳng AP , BQ , CR đồng quy song song là ❑ PB QC RA =−1 PC QA RB Chó ý : NÕu P , Q , R theo thø tù n»m trªn c¸c c¹nh BC , CA , AB cña tam gi¸c ABC nhng không trùng đỉnh nào tam giác đó thì không thể xảy trờng hợp ba đờng thẳng AP , BQ , CR song song với Do đó không dùng khái niệm độ dài đại số thì có thể phát biểu định lý Cé va nh sau : Cho ba điểm P , Q , R theo thứ tự trên các đờng thẳng chứa các cạnh BC , CA , AB tam giác ABC nhng không trùng đỉnh nào tam giác đó Điều kiện cần và đủ để ba đờng thẳng AP , BQ , CR đồng quy là PB QC RA =1 PC QA RB 3.14 Bµi to¸n thø mêi bèn ( øng dông §Þnh lý CÐ va ): Chứng minh các đờng thẳng qua đỉnh tam giác và tiếp điểm cạnh đối diện với đờng tròn nội tiếp thì đồng quy (Điểm đó đợc gọi là ®iÓm Gergonnecña tam gi¸c) 3.15 Bµi to¸n thø mêi n¨m ( øng dông §Þnh lý CÐ va ): Chứng minh các đờng thẳng qua đỉnh tam giác và tiếp điểm cạnh đối diện với đờng tròn bàng tiếp thì đồng quy (Điểm đó đợc gọi là điểm Nagel cña tam gi¸c ) 3.16 Bµi to¸n thø mêi s¸u ( øng dông §Þnh lý CÐ va ): Cho tam gi¸c ABC , mét ®iÓm D trªn c¹nh AB , mét ®iÓm E trªn c¹nh AC vµ trung điểm M cạnh BC Chứng minh DE // BC và ba đờng thẳng AM , BE , CD đồng quy Lêi gi¶i c¸c bµi to¸n 12, 13 , 14 ,15 , 16 xem tµi liÖu TK (S¸ch båi dìng thêng xuyªn chu kú 1997 -2000 cho GV THCS t¸c gi¶ TrÇn V¨n Vu«ng ) 3.17 Bài toán thứ mời bẩy ( Định lý đờng phân giác ): Đờng phân giác ( trong, ngoài ) tam giác chia (trong , ngoài ) cạnh đối diÖn thµnh hai ®o¹n tû lÖ víi hai c¹nh kÒ víi hai c¹nh Êy 3.18 Bài toán thứ mời tám ( ứng dụng Định lý đờng phân giác ): Cho tam giác ABC và điểm D cho : DA =− Đờng thẳng CD cắt đDB êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC t¹i ®iÓm thø hai lµ E Chøng minh r»ng : EA EB EC = = 3.19 Bài toán thứ mời chín ( ứng dụng Định lý đờng phân giác ): Lª V¨n Chung – Trêng THCS Lª V¨n ThÞnh , huyÖn Gia B×nh (7) Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán đoạn thẳng tỷ lệ Cho tam giác ABC, có đờng trung tuyến AD Đờng phân giác góc ADB và ADC c¾t c¸c c¹nh t¬ng øng AB , AC t¹i E , F Chøng minh r»ng EF // BC vµ EF lµ trung b×nh ®iÒu hoµ cña AD , BD 3.20 Bài toán thứ hai mơi ( ứng dụng Định lý đờng phân giác ): Cho tam giác ABC không cân A Chứng minh chân đờng phân giác ngoài góc A và chân hai đờng phân giác hai góc B , C là ba ®iÓm th¼ng hµng 3.21 Bài toán thứ hai mơi mốt ( ứng dụng Định lý đờng phân giác ): Cho tam giácABC vuông A Chứng minh : Đờng cao AH , đờng trung tuyến BD , đờng phân giác CE đồng quy và AB là trung bình nhân cña BC vµ CA 3.22 Bài toán thứ hai mơi hai (Định lý đảo định lý đờng phân giác ) Đờng thẳng qua đỉnh tam giác và chia (trong , ngoài ) cạnh đối diện thành hai đoạn tỷ lệ với hai cạnh kề hai đoạn là đờng phân giác( trong, ngoài) tam giác đó 3.23 Bài toán thứ hai mơi ba ( Quỹ tích đờng tròn Apollonius ): Quỹ tích các điểm M mà tỷ số các khoảng cách từ M đến hai điểm cố định phân biệt A & B số k ( 0< k # ) là đờng tròn có đờng kính là ®o¹n th¼ng nèi c¸c ®iÓm chia vµ chia ngoµi ®o¹n AB theo tû sè k 3.24 Bài toán thứ hai mơi t ( ứng dụng Quỹ tích đờng tròn Apollonius): Cho ba ®iÓm ph©n biÖt th¼ng hµng B , C , D Dùng tam gi¸c vu«ng ABC mµ AD là đờng phân giác góc vuông Lêi gi¶i c¸c bµi to¸n 17, 18 , 19 ,20 ,21,22,23,24 xem tµi liÖu TK (S¸ch båi dìng thêng xuyªn chu kú 1997 -2000 cho GV THCS t¸c gi¶ TrÇn V¨n Vu«ng ) PhÇn thø t Một số dạng toán định lý thales và đoạn th¼ng tû lÖ häc sinh cÇn ph¶i th«ng th¹o A) D¹ng to¸n thø nhÊt : Chøng minh ®o¹n th¼ng tû lÖ ĐVĐ : Ngời ta thờng dùng đờng song , đờng phân giác góc tam giác đồng dạng để chứng minh các đoạn thẳng tỷ lệ Trong trờng hợp ba phơng pháp trên không có hiệu lực , thì ngời ta phải tìm hai đoạn thẳng tỷ lệ thứ ba làm trung gian , để chứng minh các đoạn thẳng khác tỷ lÖ víi 1) Lợi dụng đờng thẳng song song VD : Trên cạnh AC tam giác ABC lấy điểm D , kéo dài CB đến E, cho BE = AD, ED vµ AB c¾t t¹i F Chøng minh r»ng : EF AC = FD BC Lª V¨n Chung – Trêng THCS Lª V¨n ThÞnh , huyÖn Gia B×nh (8) Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán đoạn thẳng tỷ lệ Suy xÐt : Quan s¸t bèn ®o¹n th¼ng tû lÖ vµ hai ®o¹n th¼ng b»ng cho tríc h×nh vÏ , ta thÊy muèn lµm cho ba ®o¹n E F , FD , EB cã mèi liªn hÖ , th× ph¶i tõ D dùng DG // AB , nh vËy ba ®o¹n th¼ng trªn vµ BG lµ nh÷ng đoạn thẳng tạo nên đờng song song với mét c¹nh cña tam gi¸c EDG vµ c¾t hai c¹nh tam giác đó Đồng thời bốn đoạn thẳng AC, BC , AD , BG còng cã mèi liªn hÖ nh bèn ®o¹n th¼ng nãi trªn A D F C E G B Lêi gi¶i ( Tãm t¾t ) : Tõ D dùng DG // AB ta cã EF = EB =AD = AC FD BG BG BC 2) Lợi dụng đờng phân giác góc : VD : Cho tam giác ABC vuông A , đờng cao AD ứng với cạnh huyền BC cắt đờng phân giác BE F ( E thuộc AC ) Chứng minh : DF AE = FA EC Suy xÐt : DF vµ FA lµ hai ®o¹n th¼ng tạo nên đờng phân giác góc B tam giác BAD cắt cạnh đối diện với gãc B nªn tû sè cña chóng b»ng BD : AB T¬ng tù AE vµ EC còng vËy , tû sè cña chóng b»ng AB : BC VËy muèn cã tû lÖ thøc kÕt luËn ta cÇn chøng minh : BD : AB = AB : BC là đợc Ta nhận thấy Δ DBA ∞ ΔABC mµ BD &BA ; AB & BC lµ hai cÆp c¹nh t¬ng øng cña hai tam gi¸c nãi trªn suy §PCM A E F B C D 3) Lợi dụng tam giác đồng dạng : Trong ví dụ trên ta đã dùng định lý hai tam giác đồng dạng thì các cạnh tơng ứng chúng tỷ lệ với để chứng minh các đoạn thẳng tỷ lệ 4) Lîi dông c¸c tû sè kh¸c lµm trung gian : VD : Từ điểm A ngoài đờng tròn dựng hai tiếp tuyến AB , AC với đờng tròn đó ;Trên đờng tròn lấy điểm P tuỳ ý , dựng PD vuông góc với BC , PE vu«ng gãc víi AB , PF vu«ng gãc víi AC Chøng minh r»ng : PE PD = PD PF Lª V¨n Chung – Trêng THCS Lª V¨n ThÞnh , huyÖn Gia B×nh (9) Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán đoạn thẳng tỷ lệ Suy xÐt ( C¸ch ) PE & PD lµ hai c¹nh cña tam gi¸c PED , PD & DF lµ hai c¹nh cña tam gi¸c PDF Nếu tam giác PED đồng dạng với tam giác PDF thì bốn cạnh đó tỷ lệ với Muốn chứng minh hai tam giác đó đồng dạng với thì phải chứng minh hai cặp góc tơng ứng đôi Để chứng minh hai cặp góc đôi mét th× ph¶i t×m nh÷ng cÆp gãc kh¸c lµm trung gian Từ đờng vuông góc đã cho giả thiết ta thÊy c¸c tø gi¸c PEBD vµ PDCF néi tiÕp cho nªn cã thể tìm đợc góc nội tiếp Từ tiếp tuyến đã cho giả thiết ta suy đợc góc tiÕp tuyÕn vµ mét d©y qua tiÕp ®iÓm b»ng gãc néi tiếp chắn cung mà dây đó căng B E D P A F C Suy xét (Cách ) : Nếu nối PC , PB thì từ định lý góc tiếp tuyến và dây qua tiếp điểm ta biết góc PBE = góc PCD Ta chứng minh đợc tam giác vuông PEB đồng dạng với tam giác vuông PDC , và suy PE : PD = PB : PC Với cách đó ta chững minh đợc PD : PF = PB : PC và nh qua tỷ số trung gian PB : PC ta chững minh đợc tỷ lệ thức kết luận Cách giải này đơn giản cách giải VD : Ba đờng cao AD , BE , CF tam giác ABC gặp t¹i H Chøng minh r»ng : DA.DH = DE.DF Suy xÐt : Muèn chøng minh DA.DH = DE DF ta biến đổi thành tỷ lệ thức DA : DF = DE : DH , råi chøng minh tû lÖ thøc nµy DA , DA lµ hai c¹nh cña tam gi¸c DAE DF , DH lµ hai c¹nh cña tam gi¸c DFH ta ph¶i t×m c¸ch chøng minh hai tam giác này đồng dạng với Muốn cho hai tam giác đồng dạng thì cần phải có hai góc tơng ứng đôi Vì tø gi¸c A F DC néi tiÕp nªn cã gãc DAE = gãc A FH vµ ta cã gãcADE = gãc FDH nªn ta cã thÓ chøng minh hai tam nãi trªn đồng dạng đợc A F E H B C D D¹ng to¸n thø hai : Dùng tỷ lệ thức để chứng minh hai đoạn thẳng và chứng minh hai đờng thẳng song song với 1/ Dùng tỷ lệ thức để chứng minh hai đoạn thẳng a/ phơng pháp : Chứng minh tỷ số hai đoạn thẳng tỷ số nghịch đảo cña chóng Trong c¸c bµi tËp dÔ , muèn chøng minh a=b , th× ta cã thÓ chøng minh a : b = b: a VD : Cho tam gi¸c ABC , tõ ®iÓm P trªn AB dùng PQ // BC c¾t AC t¹i Q ; tõ Q dựng QR //AB cắt BC R ; từ R dựng đờng thẳng song song với AC , đờng nµy l¹i ®i qua P Chøng minh r»ng P lµ trung ®iÓm cña AB Lª V¨n Chung – Trêng THCS Lª V¨n ThÞnh , huyÖn Gia B×nh (10) Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán đoạn thẳng tỷ lệ Chøng minh : A AP : PB = AQ : QC ; PB : PA = BR : RC Nhng AQ : QC = BR : RC suy AP : PB = PB : PA suy 2 AP =PB suy AP = PB (®pcm) P Q B C R b/ Ph¬ng ph¸p : Chøng minh hai ®o¹n th¼ng tû lÖ víi hai ®o¹n th¼ng b»ng cho tríc Muèn chøng minh hai ®o¹n th¼ng b»ng ta cã thÓ dùa vµo hai đoạn thẳng cho trớc nào đó chứng minh bốn đoạn thẳng tỷ lệ với VD muốn chứng minh x =y , mà ta đã biết a = b ta có thể chứng minh a : x =b:y VD : Từ điểm D trên đờng tròn dựng DE vuông góc với đờng kính AB ; tiÕp tuyÕn qua A vµ D c¾t t¹i C; nèi CB c¾t DE t¹i F Chøng minh r»ng : DF = FE Suy xét : Từ giả ta đã biết CD = CA , muốn chøng minh DF = FE th× ta ph¶i chøng minh CD : DF = CA : FE (1) Tû sè cña vÕ ph¶i cña (1) b»ng AB : EB Cßn tû sè ë vÕ tr¸i rÊt khã chøng minh b»ng AB : EB , CD vµ DF lµ hai c¹nh cña tam gi¸c CDF cho nªn nÕu dùng tiÕp tuyÕn qua B , c¾t CD kéo dài G thì đợc tam giác CGB đồng dạng víi tam gi¸c CDF , nh vËy tû sè ë vÕ tr¸i cña (1) b»ng CG : GB , còng b»ng CG : DG Tõ CA // DE// GB , ta suy AB : EB = CG : DG , vËy tû sè ( ) đợc chứng minh C D G F A E B c/ Ph¬ng ph¸p : Chøng h hai ®o¹n th¼ng nµy vµ mét ®o¹n kh¸c t¹o thµnh mét tû lÖ thøc Muèn chøng minh x = y mµ bµi l¹i kh«ng cho c¸c ®o¹n th¼ng b»ng , ta cã thÓ dùa vµo mét ®o¹n th¼ng a vµ chøng minh a:x=a:y VD : Cho hình thang Chứng minh giao điểm các đờng chéo chia đôi đoạn thẳng nối liền hai cạnh bên qua giao điểm và song song với đáy hình thang đó Suy xÐt : Trong h×nh vÏ kh«ng cã nh÷ng ®o¹n th¼ng b»ng , nhng ta thÊy ®o¹n BC cã liªn quan víi FE vµ EG , nªn cã thÓ dïng nã để chứng minh FE = EG V× FE // BC suy BC : FE = AB : AE T¬ng tù ta còng cã BC : EG = DC : DG VÕ ph¶i cña hai tû lÖ thøc trªn , vì là đoạn thẳng tạo nên ba đờng thẳng song song cắt hai đờng thẳng kh¸c , nªn nh÷ng ®o¹n th¼ng t¬ng øng tû lÖ víi A D G F E C B Lª V¨n Chung – Trêng THCS Lª V¨n ThÞnh , huyÖn Gia B×nh (11) Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán đoạn thẳng tỷ lệ Nhờ đó ta có : BC : FE = BC : EG và ta rút đợc FE = EG d/ Ph¬ng ph¸p : Lợi dụng phơng tích điểm đờng tròn Ngời ta còn dùng định lý sau đây : Nếu từ điểm ngoài đờng tròn , ta kẻ tới đờng tròn đó cát tuyến và tiếp tuyến , thì tiếp tuyến là trung bình nhân toàn cát tuyến và phần cát tuyến ngoài đờng tròn §Ó chøng minh hai ®o¹n th¼ng b»ng VD : Kéo dài hai dây cung AB , CD đờng tròn , chúng cắt điểm E ngoài đờng tròn đó ; dựng đờng song song với AD và qua E cắt CB kéo dài F , từ F dựng tiếp tuyến FG với đờng tròn Chứng minh FG = FE Suy xÐt : Từ định lý trên ta có : FG2 = FC FB Cho nªn nÕu chóng ta chøng minh đợc FE2 = FC FB thì FG = FE Muốn cã FE2 = FC FB th× ta ph¶i chøng minh FC FE = FE FB G F A để có tỷ lệ thức này ta phải B chứng minh FCE đồng dạng với FEB điều đó dễ chứng minh E D C 2/ Dùng tỷ lệ thức để chứng minh hai đờng thẳng song song Để chứng minh hai đờng thẳng song song với ngời ta thờng dùng hai phơng ph¸p sau ®©y : a) Ph¬ng ph¸p thø nhÊt : Lîi dông c¸c ®o¹n th¼ng tû lÖ trªn hai c¹nh cña tam gi¸c VD : Cho tam giác ABC , AD là đờng trung tuyến tam giác , dựng các đờng phân giác các góc ADB , & ADC cắt AB , AC E & F Chứng minh r»ng : EF//BC Suy xÐt : Muèn chøng minh A E F // BC ta cã thÓ chøng minh AE : EB = A F : FC (1) Tû sè ë vÕ tr¸i cña (1) cã c¸c sè h¹ng lµ hai đoạn thẳng đợc tạo thành đờng ph©n gi¸c cña gãc tam gi¸c DAB chia cạnh đối diện cho nên AD : BD T¬ng tù nh trªn ta còng chứng minh đợc tỷ số vế phải ( ) b»ng AD : CD MÆt kh¸c v× BD = DC nªn AD : BD = AD : CD đó tỷ số (1) đợc chứng minh E B F C D b) Ph¬ng ph¸p thø hai : Lª V¨n Chung – Trêng THCS Lª V¨n ThÞnh , huyÖn Gia B×nh (12) Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán đoạn thẳng tỷ lệ Lợi dụng tam giác đồng dạng để chứng minh các góc sau đó áp dụng các dấu hiệu nhận biết hai đờng thẳng song đã học lớp để suy hai đờng thẳng song song VD 10 : Từ điểm P ngoài đờng tròn dựng tiếp tuyến PA với đờng tròn đó , từ trung điểm B PA kẻ cát tuyến BCD ; PC ; PD cắt đờng tròn E và F Chøng minh r»ng FE//PA Suy xÐt : Muèn cho FE // PA th× ph¶i cã gãc BPC = gãc E , v× gãc E = gãc D vËy ta cÇn chøng minh gãc BPC = gãc D Muèn vËy ta t×m c¸ch chøng minh tam gi¸c BPC đồng dạng với tam giác BDP Hai tam giác này đã có góc PBC chung , muốn cho chúng đồng dạng cần phải chứng minh thêm : BC : BP = BP : BD , mµ BP = BA cho nªn ta cã thÓ chøng minh BC : BA = BA : BD hay BA2 = BC BD , đó chính là hệ thức lợng đờng tròn A E B C P F D C ) D¹ng to¸n thø ba : Dùng tỷ lệ thức để chứng minh các điểm thẳng hàng và đa giác nội tiếp §Ó chøng minh c¸c ®iÓm th¼ng hµng hoÆc ®a gi¸c néi tiÕp , ngêi ta dïng c¸c ®o¹n thẳng tỷ lệ để chứng minh hai tam giác đồng dạng trớc , dựa vào các cặp góc hai tam giác đó mà chứng minh kết luận bài 1/ Dùng tỷ lệ thức để chứng minh các điểm thẳng hàng : VD 11 : Chứng minh các trung điểm hai đáy hình thang , giao điểm hai đờng chéo và giao điểm hai cạnh bên kéo dài là bốn điểm th¼ng hµng Suy xÐt : Tríc hÕt ta chøng minh E , F G thẳng hàng , ta biết AGC là đờng thẳng , đó ta chứng minh đợc góc AGE = góc CGF thì ta có thể suy đợc EG và GF hợp thành đờng thẳng Để đạt đợc mục đích trên ta nghiên cứu xem tam giác AEG có đồng dạng với tam giác CFG hay không ? Vì đã có góc EAG = góc FCG cho nªn chØ cÇn chøng minh thªm tû sè AE : CF = AG : CG là đợc Quan sát hình vẽ ta thấy tam giác ADG đồng dạng với tam gi¸c CGB cho nªn AD : CB = AG : CG mµ gi¶ 1 thiết đã cho AE = AD , CF= CB suy 2 tỷ lệ thức đầu có thể chứng minh đợc H E A D G B F C Để chứng minh E , F , H thẳng hàng ta dùng phơng pháp nói trên Ta có tam giác ADH đồng d¹ng víi tam gi¸c BCH vµ ta cã AD : BC = AH : BH ta suy AE : BF = AH : BH , ta cã thªm góc EAH = góc FBH suy hai tam giác đồng dạng suy hai góc suy (đpcm) Lª V¨n Chung – Trêng THCS Lª V¨n ThÞnh , huyÖn Gia B×nh (13) Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán đoạn thẳng tỷ lệ 2/ Dùng tỷ lệ thức để chứng minh đa giác nội tiếp : VD 12 : Cho hai ®o¹n th¼ng AB vµ CD c¾t t¹i E cho : AE BE = CE DE Chøng minmh r»ng tø gi¸c ABCD néi tiếp đợc đờng tròn Suy xÐt : Từ giả thiết có thể suy đợc AE : DE = CE : BE , bèn ®o¹n th¼ng tû lÖ thøc lµ c¸c c¹nh t¬ng øng cña tam gi¸c ACE vµ tam gi¸c DBE , c¸c c¹nh Êy l¹i kÒ víi c¸c góc AEC = góc DEB (đ đ) đó hai tam giác đó đồng dạng suy góc A = góc D suy tứ giác ABCD nội tiếp đợc đờng tròn A D E C B D ) D¹ng to¸n thø t : Chøng minh c¸c quan hÖ vÒ tæng ( hiÖu ) hai tû sè 1) Chøng minh tæng ( hiÖu) hai tû sè b»ng mét h»ng sè : a/ Bµi to¸n gèc ®iÓn h×nh VD 13 : Cho tam giác ABC ; G là trọng tâm tam giác , đờng thẳng qua G cắt c¸c c¹nh AB & AC t¹i M & N Chøng minh r»ng : AB AC + =3 AM AN Suy xÐt : §Æt vÕ tr¸i cña hÖ thøc cÇn chøng minh lµ f = AB + AC Ta thÊy hai AM AN đoạn thẳng thuộc hai tỷ số đôi thuộc hai đờng thẳng khác đó là đờng thẳng AB & đờng thẳng AC Do đó chúng ta đứng trớc lựa chọn thứ đó là : Đi đâu ? Đa cùng đờng thẳng nào ? Nói cách khác là chiếu lên đờng th¼ng nµo ? Cách : Đa đờng thẳng AC ( chiếu lên đờng thẳng AC ) ! Qua B kẻ đờng th¼ngBP // MN c¾t AC P , áp dụng định lý Ta LÐt tam gi¸c ABP ta cã AB : AM = AP : AN Khi đó f = AP + AC AN đến đây ta nhận thấy cÇn ph¶i chøng minh (AP+AC) = 3AN Số liên tởng đến tỷ sè 2/3 , cã sù liªn quan đến tính chất trọng t©m tam gi¸c Gäi I lµ trung ®iÓm cña A N G M P J Q C B I E Lª V¨n Chung – Trêng THCS Lª V¨n ThÞnh , huyÖn Gia B×nh (14) Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán đoạn thẳng tỷ lệ BC , J lµ giao ®iÓm cña BP víi AG , qua I kÎ IQ// BP , qua C kÎ CE // BP XÐt tam gi¸c CBP cã đờng thẳng IQ qua trung điểm I CB lại song song với BP suy Q là trung điểm CP đó ta có AP = AQ – PQ ; AC = AQ + QC , mà PQ = QC suy AP + AC = 2AQ đó AQ f= , áp dụng tính chất trọng tâm và định lý Ta Lét vào tam giác AIQ có GN // IQ AN AI AQ AQ suy = = ⇒2 =2 =3 Tøc lµ f = (§PCM) AG AN AN Cách : Đa đờng thẳng AB ( chiếu lên đờng thẳng AB ) ! Lµm t¬ng tù nh c¸ch Tuy nhiên chúng ta nhận thấy cách cách có quanh quẩn dù có chiÕu sang AC hoÆc AB råi l¹i vÉn ph¶i quay vÒ AI V× vËy tèt nhÊt lµ chóng ta đa đờng trung tuyến AI Kẻ BJ // MN ( J thuộc AI ) Kẻ CE // MN ( E thuộc đờng thẳng AI ) Ta cã AB : AM = A J : AG AC : AN = AE : AG Do đó AJ+ AE f= V× I lµ trung AG ®iÓm cña BC suy I còng lµ trung ®iÓm cña JE suy I J = I E mµ ta cã ( A J + AE ) = ( A I – I J + AI + IE ) = 2AI AI Do đó f = =2 =3 AG (®pcm) A N G M B Lêi bµn : J C I E Trong trờng học , chúng ta luôn đợc cảnh báo sai lầm là việc sấu , ta ph¹m sai lÇm sÏ bÞ trõng ph¹t Nhng nÕu ta xem xÐt ph¬ng ph¸p häc tËp cña loµi ngêi sÏ thÊy râ r»ng ; loµi ngêi lu«n häc tËp qu¸ tr×nh ph¹m sai lÇm TrÎ phải ngã học đợc cách , chúng không ngã chẳng học đợc cách Cách giải thứ là hoàn hảo song không phải tự nhiên mà có , nó đợc hình thành quá trình lao động cách cách V× vËy , nÕu kh«ng tù m×nh lµm theo c¸ch vµ c¸ch dµi dßng , cång kÒnh th× sÏ không thể có cái gì đẻ cải tiến trở thành cách giải thứ ngắn gọn , và hay đợc Do đó trên sở vấp ngã thì ngời đã lớn lên đợc , hoàn hảo đợc là thÕ b) Khai th¸c bµi to¸n */ Mệnh đề đảo bài toán VD 13 : Cho tam giác ABC , M & N là hai điểm chuyển động trên các các cạnh AB & AB AC 3 AC t¬ng øng cho AM AN Chøng minh r»ng : §êng th¼ng MN lu«n ®i qua điểm cố định Lời giải : Là nội dung chính VD 13 : Gọi I là trung điểm BC , nối AI cắt đờng thẳng MN G , Kẻ BJ // MN ( J thuộc AI ) Kẻ CE // MN ( E thuộc đờng thẳng AI ) sau đó AI AI 3 G AG trình bày giống VD 13 đến chỗ : f = AG chÝnh lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC , tức là đờng thẳng MN luôn qua trọng tâm G tam giác ABC , Nghĩa là đờng thẳng MN luôn qua điểm cố định G đó Lª V¨n Chung – Trêng THCS Lª V¨n ThÞnh , huyÖn Gia B×nh (15) Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán đoạn thẳng tỷ lệ */ Mệnh đề tổng quát bài toán VD 13 Cho tam giác ABC , M & N là hai điểm chuyển động trên các các cạnh AB & AB AC 2012 AC t¬ng øng cho AM AN Chứng minh : Tập hợp các đờng thẳng MN đồng quy Lu ý : Thông thờng ngời ta hay chọn mệnh đề tổng quát để đề thi HSG các cấp C/ C¸c bµi to¸n t¬ng tù : Bµi : Cho tam gi¸c ABC , kÎ trung tuyÕn AD Gäi G lµ träng t©m cña tam gi¸c Một đờng thẳng quay quanh G cắt AB & AC lần lợt M & N BM CN 1 AM AN Chøng minh r»ng : Bµi : Cho tam gi¸c ABC , trung tuyÕn AD ; Gäi M lµ mét ®iÓm bÊt kú trªn BC ; qua M vẽ đờng thẳng song song với AD cắt đờng thẳng AB & AC lần lợt E & F Chøng minh r»ng : ME + MF = AD Bài : Qua điểm O tam giác ABC ta kẻ đờng thẳng song song với AB cắt AC & BC E & F , kẻ đờng thẳng song song với AC cắt AB & BC F & K , kẻ đờng thẳng song song với BC cắt AB & AC M & N Chøng minh r»ng : AF BE CN 1 a/ AB BC CA b/ Gäi diÖn tÝch c¸c tam gi¸c O FM ; OEK ; ODN ; ABC lÇn lît lµ S1 ;S2 ;S3 vµ S CMR : S = ( s1 s2 s3 ) AM BK CD 2 c/ AB BC CA d/ ( MN + FK + ED ) kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm O e/ Gọi độ dài các cạnh tam giác ABC là a , b , c Giả sử ba đoạn thẳng MN , DE , FK cùng có độ dài là y hãy tính giá trị y theo a , b , c Bµi : Cho tam gi¸c ABC , trung tuyÕn BM c¾t ph©n gi¸c CD t¹i P Chøng minh PC AC 1 r»ng : PD BC Bài : Cho hình bình hành ABCD đờng thẳng qua B , cắt các đờng thẳng AC , DC , AD lÇn lît t¹i I , M , N Chøng minh r»ng : 1 BI BM BN Bài : Cho tam giác ABC vuông A , kẻ đờng phân giác AD ; Chứng minh 1 : AD AB AC Bài : Trên cung nhỏ BC đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC lấy điểm M tuú ý , c¸c ®o¹n th¼ng AM & BC c¾t t¹i N CMR : 1 MN MB MC Chó ý : Cã hai c¸ch gi¶i kinh ®iÓn cho bµi to¸n : Lª V¨n Chung – Trêng THCS Lª V¨n ThÞnh , huyÖn Gia B×nh (16) Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán đoạn thẳng tỷ lệ Cách thứ là : Tìm các cặp tam giác đồng dạng sau đó quy đồng mẫu số chung , để suy đpcm ( xem lời giải TLTK ) C¸ch thø hai lµ : ¸p dông bµi to¸n c¬ b¶n SGK h×nh häc líp sau ®©y : Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) và điểm M trên cung BC kh«ng chøa A CMR : MA = MB + MC ( xem lêi gi¶i TLTK ) 2/ Chøng minh tæng ( hiÖu) hai tû sè b»ng mét tû sè ; tæng hai tÝch b»ng tÝch thø ba a c m b d n , ab + cd = xy , x2 = ab + cd ; x2 = a2 + cd ; x2 = a2 + c2 ; ….vµ c¸c dạng tơng tự mà vế đẳng thức hình học cần chứng minh là tổng hoÆc mét hiÖu hai tÝch , hai tû sè 1/ Nguån gèc cña d¹ng to¸n lµ : §Ó chøng minh mét ®o¹n th¼ng b»ng tæng cña hai ®o¹n th¼ng kh¸c : AB = CD + EF , ta t×m c¸ch ph©n chia ®o¹n AB thµnh hai ®o¹n bëi ®iÓm M AB = AM + MB cho AM = CD , c«ng viÖc cßn l¹i lµ chøng minh MB = EF ý tởng trên đợc sử dụng để chứng minh dạng toán ab + cd = xy theo ba bớc sau : Bớc : Chia đoạn thẳng có độ dài x thành hai đoạn điểm chia M để có : x=x1 + x2 cho x1y = ab (1) Bíc : Chøng minh hÖ thøc : x2y = cd (2) Bớc : Cộng vế (1) và (2) đợc điều phải chứng minh : x1y + x2y = ab + cd 2/ C¸c VÝ Dô : VD 14 : Chứng minh định lý Pitago : Tam giác ABC có góc A vuông , chứng minh r»ng : BC2 = AB2 + AC2 Phân tích( có chủ ý để A tìm cách vẽ thêm đợc h×nh phô mét c¸ch thÝch hîp viÖc t×m kiÕm lêi gi¶i bµi to¸n ) : LÊy ®iÓm M thuéc c¹nh BC cho BM BC = AB2 BM AB AB BC B M BMA BAC BMA 1v từ đó M chính là chân đờng cao hạ từ A xuống BC Lời giải : Hạ AM BC Vì các góc B , C nhọn cho nên M thuộc đoạn BC Ta có BM AB BMA BAC ( g g ) AB BM BC AB BC (1) T¬ng tù C CMA CAB AC CM BC (2) Cộng vế các hệ thức (1) , (2) ta đợc AB2 + AC2 = BC ( BM + CM ) = BC2 (®pcm) VD 15 : Cho hình bình hành ABCD có góc A nhọn Gọi E & F là chân các đờng vuông góc hạ từ C xuống các đờng thẳng AB và AD Chøng minh r»ng : AC2 = AB AE + AD AF Lª V¨n Chung – Trêng THCS Lª V¨n ThÞnh , huyÖn Gia B×nh (17) Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán đoạn thẳng tỷ lệ Ph©n tÝch : LÊy ®iÓm M thuéc ®o¹n AC cho AM AC = AB AE suy AM AE ABM ACE AB AC BM AC VËy ®iÓm M cÇn t×m lµ ch©n đờng vuông góc hạ từ B xuống AC Lêi gi¶i : - Gäi M lµ ch©n đờng vuông góc hạ từ B xuống AC ( các góc A và C nhän cho nªn M thuéc ®o¹n AC ) Hay AC = AM + CM - DÔ thÊy ABM ACE ( g g ) AM AC AB AE - L¹i cã ACF CBM ( g g ) E C B M A F D CM AC BC AF Từ đó với chú ý : BC = AD ta có AB.AE + AD A F = AM AC + CM AC = AC2 (đpcm) VD 16 (§Þnh lý Pt«lªmª ) : Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O Chứng minh : AC.BD = AB CD + AD BC Ph©n tÝch : Gi¶i sö ®iÓm M thuéc ®o¹n AC B cho AM BD = AB CD suy ABM đồng dạng với DBC nên ABM DBC , nh điểm M đợc xác định là giao điểm tia Bx với AC , đó tia Bx hîp víi BA mét gãc ABx DBC M A ABD DBC Lêi gi¶i : NÕu , chøng minh đơn giản , điểm M chính là giao điểm AC vµ BD NÕu ABD DBC th× ®o¹n AC sÏ tån t¹i ®iÓm M cho ABM DBC ABM DBC ( g g ) AM BD = AB CD DÔ thÊy BMC BAD ( g g ) MC BD = AD BC C D Cộng theo vế các đẳng thức trên ta đợc AC.BD = AB CD + AD BC (đpcm) VD 17 (Bµi to¸n cã néi dung sè häc ) : Cho tam giác ABC , gọi a , b , c lần lợt là độ dài các cạnh BC , CA , AB tam gi¸c , biÕt r»ng : A B 180 a/ Chøng minh r»ng : a2 + bc = c2 ( BC2 + AC AB = AB2 ) b/ H·y tÝnh c¸c gi¸ trÞ cña a , b , c ?BiÕt r»ng a , b , c lµ ba sè nguyªn liªn tiÕp Lª V¨n Chung – Trêng THCS Lª V¨n ThÞnh , huyÖn Gia B×nh (18) Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán đoạn thẳng tỷ lệ Ph©n tÝch : Gi¶ sö ®iÓm M thuéc c¹nh AB cho BM AB = BC2 suy BM BC BC AB , xÐt hai tam gi¸c BMC vµ tam gi¸c BCA ta thÊy cã chung gãc B vµ cã tû lÖ thøc trªn cho nªn chúng đồng dạng với C A 1 M B Suy : BCM BCA MÆt kh¸c theo gi¶ thiÕt A B 180 = A B C C 2 A B C1 C2 mµ theo chøng 0 minh trªn C1 A C2 A B 180 C , vayC2 180 C Mặt khác M C1 B A B 180 C Vậy góc M C2 ACM cân A , đáy là CM Vậy điểm M đợc hoàn toàn xác định trên AB cho AC = AM Lêi gi¶i : a/ Theo gi¶ thiÕt A B 180 = A B C C 2 A B C1 C2 suy gãc C lµ gãc lín nhÊt tam gi¸c suy AB > AC , suy trªn c¹nh AB tån t¹i ®iÓm M cho AC = AM hay tam giác ACM cân A , đáy là CM suy AMC ACD Tøc lµ M C2 (1) Ta sÏ chøng minh C1 A TvËy : Ta cã C C C 2 A B C 2 A B C C (2) Mặt khác theo định lý góc ngoài tam giác ta có C B M 1 (3) Thay (2) & (3 ) vào (1) ta đợc : B 2 A B C 2C 2 A C A BCM BAC ( g g ) C 1 1 suy BM BA = BC suy (AB-AC) AB = BC2 suy AB2 = BC2 + AB AC (®pcm) b/ Theo chøng minh ë phÇn a/ ta cã a2 + bc – c2 = (*) , vµ c lµ c¹nh lín nhÊt tam gi¸c ABC Suy c lµ sè nguyªn lín nhÊt ba sè nguyªn liªn tiÕp a, b , c X¶y hai trêng hîp a> b hoÆc a<b */ Nếu a>b thì c>a>b suy ba số nguyên liên tiếp đó có dạng : c = a+1 ; b = a – thay vào (*) và rút gọn ta đợc : a2 - 2a – = , đây là phơng trình bËc hai Èn sè lµ a cã biÖt thøc = 12 kh«ng ph¶i lµ sè chÝnh ph¬ng cho nªn ph¬ng tr×nh không thể có nghiệm nguyên đợc Do đó TH này bị loại */ Nếu a < b thì c>b>a đó ba số nguyên liên tiếp đó có dạng : c = b + ; a = b – Thay vào (*) và rút gọn ta đợc b2 - 3b = suy b = 0(loại ) b = ta chọn b = suy c= , a = Tho¶ m·n B§T tam gi¸c : + > > - Đáp số : Vậy độ dài các cạnh tam giác là , , VD 18 : Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn D là điểm trên cung BC không chứa đỉnh A Gọi I , H và K lần lợt là hình chiếu D trên các đờng th¼ng BC , AB , vµ AC Chøng minh r»ng : BC AB AC DI DK DH Lª V¨n Chung – Trêng THCS Lª V¨n ThÞnh , huyÖn Gia B×nh (19) Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán đoạn thẳng tỷ lệ Ph©n tÝch : Gi¶ sö M thuéc c¹nh BC cho A BM AB DI DK lại có tứ giác BKDI nội tiếp đợc đờng tròn suy ABM KDI suy DKI BAM (c/c-g) BAM DKI H ( sd DI ) DKI DBI DBI BAM Mµ (1 ) Kéo dài AM cho cắt đờng tròn điểm N , Trong I C B đờng tròn này các góc đẳng thức (1) là các M gãc néi tiÕp ch¾n c¸c cung t¬ng øng lµ BN vµ CD K suy BN CD BD CN DN / / BC N Vậy ta xác định đợc điểm N và suy xác định đD îc ®iÓm M Lời giải : Qua D kẻ đờng thẳng song song với BC , đờng thẳng này cắt đờng tròn điểm thứ hai lµ N (N cã thÓ trïng víi D ) Gäi M lµ giao ®iÓm cña AN víi BC DÔ thÊy : BM AB DI DK - DKI BAM CM AC ACM HDI ( g g ) DI DH - L¹i thÊy - Cộng vế các đẳng thức trên ta đợc ĐPCM Lêi bµn : */Trong mçi bµi to¸n nªu trªn cßn cã nh÷ng c¸ch gi¶i kh¸c vµ cã thÓ cã nhøng c¸ch gi¶i hay h¬n Tuy nhiªn ë ®©y muèn tr×nh bµy lêi gi¶i mét c¸ch tù nhiên cách phân tích có ý thức , có chủ ý để tìm cách vẽ thêm đợc hình phụ thích hợp cho bài toán Đồng thời đây chính là hội lớn đối víi c¸c em häc sinh muèn rÌn luyÖn suy nghÜ , tu vµ ý thøc cña ngßi th«ng qua hoạt động giải Toán Các em thấy đợc ngời ta lại vẽ đợc đờng phụ nh Tại SGK Toán chứng minh định lý Pitago ngời ta lại dựa vào chân đờng cao ứng với cạnh huyền , … */ Học giải Toán là học cách suy nghĩ , cách tu để tìm kiếm lời giải , không đơn là biết lời giải bài Toán đó Hầu hết các sách TK , nâng cao bán trên thị trờng sách cung cấp lời giải các bài Toán Rất sách TK cung cấp cho ngời đọc biết đợc phân tích chu đáo , cẩn thËn qu¸ tr×nh suy nghÜ t×m kiÕm lêi gi¶i bµi to¸n */ Häc sinh cÇn ph¶i ph©n biÖt sù kh¸c gi÷a b¶n nh¸p vµ b¶n tr×nh bµy lêi gi¶i chÝnh thøc B¶n nh¸p chÝnh lµ b¶n dù th¶o , ph¸c th¶o cña lêi gi¶i chÝnh thøc v× vËy kh«ng cÇn ph¶i chi tiÕt , tû mû Nhng lêi gi¶i chÝnh thøc chÝnh lµ mét v¨n b¶n mang tính KH , nên nó đòi hỏi HS pghải trình bày theo đúng quy định văn KH , từ các KH hình vẽ , các thủ tục , hình thức trình bày , dấu chấm , dấu phảy , lỗi chính tả ….đều phải đợc quan tâm cáh chu đáo cẩn thận Nếu không thì Bút xa Gà chết , mặc dù hứng giải đúng nhng không có KQ nh mong đợi (không đạt giải , Tài – Tử là , Tài mà chết sớm , tài mà tai) Mét sè bµi to¸n t¬ng tù cña dang to¸n Bài : Cho tam giác ABC có A 2 B , gọi a , b , c lần lợt là độ dài các cạnh BC , AC , AB cña tam gi¸c Chøng minh r»ng : a2 = b2 + bc Bµi : Cho tam gi¸c ABC cã gãc A b»ng 300 , gãc B b»ng 500 Chøng minh r»ng độ dài các cạnh tam giác liên hệ với hệ thức : c a b2 b Lª V¨n Chung – Trêng THCS Lª V¨n ThÞnh , huyÖn Gia B×nh (20) Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán đoạn thẳng tỷ lệ Bµi : Cho tam gi¸c ABC cã BAC 20 ; AB AC b; BC a Chøng minh r»ng : a3 + b3 = 3ab2 Bài : Cho tam giác ABC Kẻ đờng phân giác AD Chứng minh : AD2 = AB AC – BD DC Từ đó suy công thức tính đờng phân giác tam gi¸c theo c¸c c¹nh cña tam gi¸c : la bc bc lb ca ca a b c Trong đó p = Hoàn toàn tơng tự ta tính đợc : ab p p b ; lc p p c a b đó lb , lc là độ dài đờng phân giác góc p p a B vµ gãc C cña tam gi¸c Bài : Cho tam giác ABC Biết đờng phân giác ngoài góc A cắt cạnh BC kÐo dµi t¹i E Chøng minh r»ng : AE2 = EB EC – AB AC PhÇn thø n¨m Sö dông c©u thÇn chó : (( h·y ch¨m lo tèt phÇn gèc sÏ t¬i tèt phÇn )) để tìm kiếm lời giải các bài toán khó I/ Đặt vấn đề : Lời giải bài toán nào đó dù khó đến đâu là phần mà thôi Đằng sau nó là phần quan trọng đó là là phần gốc lời giải đó Phần gốc này bao gồm nhiều góc độ khác nh : Kiến thức , kỹ , phơng pháp suy nghÜ , ph¬ng ph¸p gi¶i …v…v… Giống nh cái cây , phần gốc nó không là phần thân cây trên mặt đất mà còn có phần quan trọng nằm dới mặt đất mà ngời ta gọi là rễ Vì nãi ch¨m lo phÇn gèc th× chóng ta ph¶i ch¨m lo mét c¸ch toµn diÖn c¶ gèc lÉn rÔ ( Sâu rễ bền gốc) thì phần cây đợc toi tốt , đơm hoa kết trái đợc Chóng ta b¾t ®Çu tõ bµi to¸n sau ®©y : II / Bµi to¸n gèc : Cho tam giác ABC với AM là đờng trung tuyến xuất phát từ A , I là điểm bÊt kú trªn ®o¹n th¼ng AM( ®iÓm I kh«ng trïng víi hai ®iÓm A vµ M ) , nèi BI , CI kÐo dµi lÇn lît c¾t AC & AB t¹i E & F Chøng minh r»ng : EF // BC Nhận xét : Đây là bài toán quen thuộc HS giỏi Toán , nhiên có thÓ lµ c¸ch tiÕp cËn víi bµi To¸n cña mçi ngêi kh¸c , h¬n n÷a cã thÓ l©u không động đến thì phần lớn chúng ta quên cách chứng minh nó , cha nói đến chuyện khác BT đó V× vËy , tríc hÕt chóng ta cïng chøng minh l¹i bµi to¸n nµy xem ! ĐVĐ : Khi học xong chơng trình hình học lớp chúng ta đã có công cụ nào để chứng minh hai đờng thẳng song song ? 1) Nhắc lại các dấu hiệu nhận biết hai đờng thẳng song song hình học lớp a/ Nếu đờng thẳng c cắt hai đờng thẳng a và b các góc tạo thành có cặp góc so le ( cặp góc đồng vị ) thì a và b song song víi b/ Hai đờng thẳng phân biệt cùng vuông góc với đờng thẳng thứ ba thì chúng song song víi c/ Hai đờng thẳng phân biệt cùng song song với đờng thẳng thứ ba thì chúng song song víi Những công cụ đó có phải là vạn hay không ? các công cụ này có phát huy t¸c dông víi bµi To¸n nµy hay kh«ng ? Râ rµng bµi to¸n nµy chóng ta kh«ng thể bói đâu cặp góc so le hay cặp góc đồng vị đợc , chúng ta Lª V¨n Chung – Trêng THCS Lª V¨n ThÞnh , huyÖn Gia B×nh (21) Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán đoạn thẳng tỷ lệ càng không thể tìm đợc đờng thẳng thứ ba cùng vuông góc cùng song song với BC & FE đợc Chúng ta thấy dùng các công cụ nói trên thì bó tay chấm com ! chịu chết không làm gì đợc Nhng trời phán : Đã có Ta Lét thÕ lµ tÊ c¶ l¹i bõng s¸ng ! VËy søc m¹nh cña §Þnh lý Ta lÐt lµ c¸i g× ? Em nào nói đợc ? Trả lời : - Sử dụng song song các đờng thẳng để thiết lập tỷ lệ thức - Sử dụng tỷ lệ thức để chứng minh song song Cách giải thứ : Ta sử dụng hai sức mạnh đó để giải bài toán Trớc hết ta phải kẻ thêm các đờng thẳng song song để thiết lập tỷ lệ thức mà cần Sau đó có tỷ lệ thức thì suy sa song song Có nhiều cách cách kẻ thêm đờng thẳng song song , đây thầy giáo trình bày hai c¸ch ®iÓn h×nh sau Cách : Kẻ thêm hai đờng thẳng song Qua A kẻ đờng thẳng song song với CF cắt đờng thẳng BE kéo dài D Qua B kẻ đờng thẳng song song với CF cắt đờng thẳng AM K , áp dụng định lý Ta lét tam giác EIC cã AD//CI AE AD Ta cã EC IC (1) MÆt kh¸c , v× M lµ trung ®iÓm cña BC suy CI = BK A D F E I B C M K AD AD Suy IC BK (2) Lại áp dụng định lý Ta lét tam giác IBK có AD//BK suy ta có AD AI AI AF BK IK (3) Lại áp dụng định lý tam giác ABK có FI // BK suy ta có IK FB (4) AE AF EF / / BC Từ các đẳng thức 1-4 ta suy EC FB Cách : Kẻ thêm đờng thẳng song song : Qua A kẻ đờng thẳng song song với BC cắt BE và CF kéo dài lần lợt P & Q theo định lý AE AF EF / / BC Thales ta suy AP = AQ , sau đó lại sử dựng định lý lần suy EB FC Lª V¨n Chung – Trêng THCS Lª V¨n ThÞnh , huyÖn Gia B×nh (22) Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán đoạn thẳng tỷ lệ A P Q F E I B M C Ngoài cách giải khai thác song song nh trên( có thể kẻ thêm hai đờng thẳng song song ) Ta có thể sử dụng diện tích để chứng minh Chẳng hạn ta có thể sử dụng kết sau đây chuyên đề diện tích để chứng minh FE//BC KÕt qu¶ : Cho tam gi¸c ABC , M lµ mét ®iÓm bÊt kú trªn c¹nh BC , I lµ mét điểm trên AM đó ta luôn có : S ABI BM S ACI MC S AIC AF (1) S BIC BF S AIB AE S BM (2); AIB 1 S AIB S AIC (3) S EC S CM BIC AIC Ta cã F thuéc AB , vµ I thuéc CF suy ta cã : Tõ (1) , (2) , (3) suy ®pcm Lêi bµn : 1/ So với các công cụ chứng minh hai đờng thẳng song song hình học lớp thì định lý Ta Lét đảo tam giác có tính u việt lớn có thể nói nó đã tạo cuộc cách mạng việc chứng minh hai đờng thẳng song song hình học phẳng Nó đã làm cho học sinh lớp , mở rộng tầm nhìn , tầm tu lên đẳng cấp văn hoá hẳn HS lớp ,7 Các em khôn lớn trởng thành mặt kiến thức là chỗ đó , nhng nhiều chính các em lại không ý thức đợc kh«n lín trëng thµnh cña m×nh ë chç nµo ? chÝnh v× thÕ thÇy gi¸o dµnh mét Ýt phút để phân tích cho các em thấy rõ đợc bậc thang nhận thức và tu cña chÝnh m×nh Trong thùc tÕ rÊt nhiÒu thÇy c« gi¸o còng chØ biÕt d¹y hÕt bµi này sang bài khác mà không phân tích cho HS thấy rõ đợc bậc thang quan trọng tri thức mà HS đã và bớc qua ( trí chạy qua mà không hay biết ) Nếu các em hồn nhiên chạy qua cái hay cái đẹp văn hoá , tri thức nhân loại thì đời các em thèm chóng chán Các em sÏ ch¸n trêng , ch¸n líp , ch¸n thÇy , ch¸n c« , ch¸n häc(mÆc dï suèt ngµy ®i häc thªm) , råi bá häc lóc nµo kh«ng hÒ hay biÕt §ã chÝnh lµ mét sè nhiÒu đờng dẫn HS tới tệ nạn xã hội , để đa ngời tới địa ngục lúc nào không hay biết Gây bao nhiêu đớn đau cho nhiều GĐ VN 2) Các dấu hiệu nhận biết hai đờng thẳng song song hình học lớp a) Dấu hiệu thứ nhất( Định lý Ta Lét đảo ) : Nếu đờng thẳng không qua đỉnh tam giác và chia (trong ngoài) hai cạnh tam giác đó thành đoạn thẳng tơng ứng tỷ lệ thì nó song song với cạnh còn lại tam giác đó b) Dấu hiệu thứ hai ( Tính chất đờng trung tuyến tam giác ) Lª V¨n Chung – Trêng THCS Lª V¨n ThÞnh , huyÖn Gia B×nh (23) Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán đoạn thẳng tỷ lệ Cho tam giác ABC với AM là đờng trung tuyến xuất phát từ A , I là điểm bÊt kú trªn ®o¹n th¼ng AM( ®iÓm I kh«ng trïng víi hai ®iÓm A vµ M ) , nèi BI , CI kéo dài lần lợt cắt AC & AB E & F Khi đó ta luôn có : EF // BC Chó ý : Nhê cã dÊu hiÖu thø nhÊt mµ chóng ta cã dÊu hiÖu thø hai & vµ mét đã có ( C/m hẳn hoi ) thì nó lại trở thành công cụ để giải Toán Sau ®©y lµ mét sè bµi thi HSG cÊp TØnh vµ cÊp quèc gia cã sö dông dÊu hiÖu thø hai 5/ Mét sè øng dông cña dÊu hiÖu thø hai vµo gi¶i To¸n : a) Bµi to¸n tÇm cì thi HSG cÊp TØnh : VD 19 : Cho nửa đờng tròn đờng kính AD Trên nửa đờng tròn ta lấy điểm B , trên đờng kính AD ta lấy điểm C cho AB = CD Chứng minh : Trong tam giác ABC có phân giác kẻ từ A , trung tuyến kẻ từ B và đờng cao kẻ từ C đồng quy điểm 1/ Suy xÐt : §©y lµ mét bµi to¸n thi HSG n¨m häc 1997-1998 cña tØnh B¾c Ninh , kh«ng khã l¾m nhiªn víi tinh thÇn ch¨m lo tèt phÇn gèc , sÏ tèt t¬i phÇn ngän , t«i sÏ lµm bài chút theo các bớc tìm kiếm lời giải bài Toán mà Pô li a đã nêu a/ Bíc 1- Lùa chän ph¬ng ph¸p gi¶i Trớc hết chúng ta phải đọc thật kỹ văn đầu bài , vẽ hình , ghi GT + KL , theo đúng nội dung đầu bài Tiếp đến chúng ta suy nghĩ đến việc lục lọi các phơng pháp chứng minh các đờng thẳng đồng quy điểm mà chúng ta đã biết để lựa chọn xem phơng pháp nào có khả giải đợc bài toán này Tất có phơng pháp để chứng minh các đờng thẳng đồng quy mà chúng ta đã quen thuộc đó là : - Chứng minh giao điểm hai đờng thẳng nằm trên đờng thứ ba - Dựng đờng thẳng qua giao điểm hai đờng thẳng cho trớc , chứng minh đờng thẳng này trùng với đờng thẳng thứ ba - Qua giao điểm hai đờng thẳng cho trớc dựng hai đờng thẳng khác , chứng minh hai đờng thẳng này hợp thành đờng thẳng thứ ba - Chứng minh các đờng thẳng qua điểm cố định - Lợi dụng các định lý các đờng đồng quy tam giác Chúng ta hãy để ý đến phơng pháp thứ hai đó là : Dựng đờng thẳng qua giao điểm hai đờng thẳng cho trớc , chứng minh đờng thẳng này trùng với đờng th¼ng thø ba b/ Bíc - X©y dùng kÕ ho¹ch gi¶i bµi to¸n : Để chứng minh ba đờng thẳng đồng quy thì ta phải gọi tên giao điểm ba đờng thẳng cần chứng minh Trớc gọi tên giao điểm chúng , ta phải gọi tên hai ba đờng thẳng cần chứng minh đồng quy , đó thiết phải có đờng trung tuyến ( vì ta muốn vận dụng dấu hiệu thứ – tính chất đờng trung tuyÕn ) V× vËy h×nh thµnh kÕ ho¹ch gi¶i bµi to¸n nh sau */ Gọi tên hai ba đờng thẳng cần chứng minh , đó thiết phải có đờng trung tuyến Sau đó gọi tên giao điểm của chúng */ Dựng đờng thẳng qua đỉnh còn lại tam giác và giao điểm nói trên */ Chứng minh đờng thẳng dựng này trùng với đờng thẳng thứ ba c/ Bớc - Thực kế hoạch đã đề – Thực lời giải bài toán Lª V¨n Chung – Trêng THCS Lª V¨n ThÞnh , huyÖn Gia B×nh (24) Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán đoạn thẳng tỷ lệ Lời giải : */ ĐVĐ: Gọi BM là đờng trung tuyến , AE là đờng phân giác tam giác ABC , gäi I lµ giao ®iÓm cña AE víi BM nèi CI kÐo dµi cho c¾t AB t¹i H ta sÏ chøng minh CH chính là đờng cao kẻ từ C tam giác ABC TvËy : Theo dÊu hiÖu thø hai ta cã HE // AC AH CE HB EB MÆt kh¸c v× AE lµ ph©n gi¸c nªn ta cã : CE AC AC AC ; AB CD BE AB AB CD VËy ta cã : AH AC CH / / BD HB CD (1) B H E I A M C D Mặt khác ta có ABD là góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn suy ABD 90 BD AB (2) Từ (1) và (2) suy CH tức là CH chính là đờng cao tam giác ABC Lêi bµn : */ Nhờ có dấu hiệu thứ hai chúng ta có kiện quan trọng lời giải đó là HE//AC để sau đó suy đợc tỷ số mong muốn */Muốn có đợc lời giải nh trên đòi hỏi HS phải có phần gốc vững đó lµ : - phơng pháp chứng minh ba đờng thẳng đồng quy , sau đó lựa chọn cách ĐVĐ cho phï hîp - Hai dấu hiệu nhận biết hai đờng thẳng song hình học lớp nói trên - Mét tÝnh chÊt liªn hÖ gi÷a song song vµ vu«ng gãc cña h×nh häc líp - Hệ định lý góc nội tiếp Trong kỳ thi năm đó có nhiều HS dự thi đã không làm đợc bài Toán này vì phần gốc em đó không có đủ vấn đề nói trên */ Ngoài cách ĐVĐ nh trên chúng ta có thể ĐVĐ nh sau : Gọi CH là đờng cao kẻ từ C , BM là đờng trung tuyến kẻ từ B , gọi I là giao điểm CH với BM CMR : AD lµ ph©n gi¸c cña gãc A */ Mét sè bµi tËp t¬ng tù víi VD 19 Bài : Cho tam giác ABC nhọn , có trung tuyến BM , phân giác CD , và đờng cao AH đồng quy điểm O Chứng minh : BAC 45 Bài : Cho tam giác ABC có góc A = 900 , trung tuyến BM , phân giác AD , và đờng cao CH đồng quy điểm Chứng minh : 51 Từ đó suy cách dựng tam giác có tính chất nêu trên SinB = Bµi : Cho tam gi¸c ABC AM , AD thø tù lµ trung tuyÕn vµ ph©n gi¸c cña gãc A , qua C kẻ đờng thẳng vuông góc với AD cắt AD , AK thứ tự H , K Chứng minh r»ng MH // AB & MH ®i qua trung ®iÓm cña KD Tríc chuyÓn sang bµi to¸n khã h¬n ( TÇm cì thi quèc gia ) chóng ta h·y quay trë l¹i ch¨m lo bµi to¸n gèc mét chót nh sau : B/ Ch¨m lo bµi to¸n gèc : Lª V¨n Chung – Trêng THCS Lª V¨n ThÞnh , huyÖn Gia B×nh (25) Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán đoạn thẳng tỷ lệ - Nhiều chúng ta cho bài toán gốc , nh các định lý lý thuyết ch¼ng cã g× ph¶i quan t©m, suy nghÜ c¶ §ã lµ mét quan niÖm hÕt søc sai lÇm , mµ chóng ta sÏ ph¶i tr¶ gi¸ tham dù thi HSG c¸c cÊp - ë bµi to¸n gèc nãi trªn chóng ta h·y kh¶o s¸t c¸c vÞ trÝ kh¸c cña ®iÓm I trªn đờng thẳng AM xem đó kết luận bài toán còn đúng hay không ? Trêng hîp thø nhÊt ®iÓm I n»m ®o¹n AM (®iÓm I kh«ng trïng víi A & M) chúng ta đã làm bài toán gốc Bây chúng ta khảo sát trờng hợp thứ hai : §iÓm M n»m ngoµi ®o¹n AM Trêng hîp thø hai : §iÓm I n»m ngoµi ®o¹n AM XÐt hai kh¶ n¨ng sau : Khả : Điểm I nằm trên tia đối tia AM , thì kết luận bài toán đúng , với chứng minh đơn giản nh sau : Trong trêng hîp nµy ta xÐt tam gi¸c IBC có IM là đờng trung tuyến , điểm A thuộc IM áp dụng kết đã chøng minh trêng hîp thø nhÊt tam giác IBC và đờng trung tuyÕn IM ta suy FE // BC I E F A B M C Khả thứ hai : Điểm I nằm trên tia đối tia MA , thì lại đựợc phân chia thµnh hai trêng hîp sau : Trờng hợp thứ : Điểm I thuộc tia đối tia MA cho MI = MA Khi đó tứ giác ABIC là hình bình hành ( hai đờng chéo cắt trung điểm đờng ) Vì BI // AC , cho nên không cắt AC , tức là điểm E không tồn , tơng tự ®iÓm F còng kh«ng tån t¹i Do vËy , kÕt luËn cña bµi to¸n lµ FE // BC còng sÏ kh«ng tån t¹i Trờng hợp thứ hai : Điểm I thuộc tia đối tia MA cho MI ≠ MA Ta chứng minh đợc kết luận bài Toán nh sau : ThËt vËy : Gọi P ; Q lần lợt là trung điểm BF và CE , đó MP & MQ lần lợt là đờng trung bình tam giác BFC & tam giác CBE , đó MP// FC & MQ // BE suy AP AM AQ AM AP AQ AP PF AQ QE & PF MI QE MI PF QE PF QE AP BP AQ CQ PF BP; QE CQ PF QE AB AC AB AC AB AC BC / / FE 1 PF QE BF CE BF CE 2 Hay Lª V¨n Chung – Trêng THCS Lª V¨n ThÞnh , huyÖn Gia B×nh (26) Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán đoạn thẳng tỷ lệ A M B C Q P I E F C/ Bµi To¸n tÇm cì thi quèc gia : VD 20 : Cho tam giác ABC vuông A ; có AM là đờng trung tuyến & AH là đờng cao kẻ từ đỉnh A Trên tia đối tia AM ta lấy điểm K , đờng thẳng qua H và vu«ng gãc víi AB c¾t KB t¹i E §êng th¼ng qua H & vu«ng gãc víi AC c¾t KC t¹i ®iÓm F Chøng minh r»ng : KM vµ FE vu«ng gãc víi 1/ Suy xÐt : Đây là bài toán khó tầm cỡ thi HSG Quốc gia , không dễ gì công phá đợc Tuy nhiên dù khó khăn đến phải (( Quyết chí làm nên )) A) Bíc 1- Lùa chän ph¬ng ph¸p gi¶i Trớc hết chúng ta phải đọc thật kỹ văn đầu bài , vẽ hình theo đúng nội dung đầu bài Tiếp đến chúng ta suy nghĩ đến việc lục lọi các phơng pháp chứng minh hai đờng thẳng vuông góc với mà chúng ta đã biết để lựa chọn xem phơng pháp nào có khả giải đợc bài toán này Trong bốn phơng pháp để chứng minh hai đờng thẳng vuông góc mà chúng ta đã quen thuộc đó là : Lîi dông c¸c gãc kÒ b»ng - Lîi dông c¸c gãc vu«ng cho tríc , hoÆc c¸c gãc phô - Lîi dông tam gi¸c c©n - Dïng ®o¹n th¼ng thø ba lµm trung gian Chúng ta hãy để ý đến phơng pháp thứ đó là dùng đoạn thẳng thứ ba làm trung gian , cụ thể là chúng ta chứng minh hai đờng thẳng KM và FE vuông góc với đờng thẳng (d ) nào đó , còn đờng thẳng thì song song với đờng thẳng ( d) đó B) Bíc - X©y dùng kÕ ho¹ch gi¶i bµi to¸n : Vấn đề chỗ là đoạn thẳng trung gian (d) mà chúng ta cần tìm kiếm là đờng th¼ng nµo h×nh vÏ nµy B»ng kinh nghiÖm gi¶i To¸n s½n cã ®Çu , qua thực tế đã giải nhiều bài toán chúng ta thấy gọi I là giao điểm EH với AB ; J là giao điểm HF với AC thì xuất đoạn thẳng I J , mà chúng ta đã khá quen thuộc với bài toán chứng minh I J AM ( Đờng thẳng AM chính là đờng thẳng KM ) Đến đây đơng nhiên chúng ta phải chứng minh I J // E F Vậy là chúng ta đã hình thành đợc kế hoạch giải bài toán nh sau : - Chøng minh AM I J - Chøng minh I J // FE ; Lª V¨n Chung – Trêng THCS Lª V¨n ThÞnh , huyÖn Gia B×nh (27) Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán đoạn thẳng tỷ lệ - KÕt luËn KM FE C) Bớc - Thực kế hoạch đã đề – Thực lời giải bài toán Bớc : Chứng minh AM I J để suy KM I J ( Cho HS làm – GV uốn nắn sau , ®©y chÝnh lµ mét bµi to¸n c¬ b¶n cña HH líp ) LG -Tãm t¾t : Ta cã 1 6 ( tam gi¸c AMC c©n t¹i M ) 6 4 ( cïng phô víi gãc HAC ) 4 3 ( AIH J lµ h×nh ch÷ nhËt ) VËy 3 Mµ 90 ( tam gi¸c A I J vu«ng t¹i A ) suy 90 suy AM I J Suy KM I J A J S I B C M H HI HJ Bíc : Chøng minh I J // FE Muèn vËy ta ph¶i chøng minh EI FJ ( D¹ng to¸n thứ hai , phơng pháp thứ hai , dùng tỷ lệ thức để chứng minh hai đờng thẳng song song §Ó chøng minh hai tû sè b»ng chóng ta l¹i ph¶i lîi dông mét tû sè thø ba lµm trung gian ( Ph¬ng ph¸p thø , d¹ng to¸n thø nhÊt ) K T.vËy : */ KÐo dµi BA cho c¾t KC t¹i Q , kÐo dµi CA cho c¾t KB t¹i P */ V× cã HE // CP theo tÝnh chÊt cña chùm đờng thẳng đồng quy ta có : HI EI HI AC (1) AC AP EI AP T¬ng tù v× cã H F // BQ suy H J AB (2) JF AQ §Õn ®©y ta thÊy râ Q P A AC AB J AP AQ (3) rµng ph¶i chøng minh điều này có thể có đợc là PQ // E BC , đó chính là dấu hiệu thứ hai đợc ¸p dông vµo tam gi¸c KBC víi KM lµ ®I êng trung tuyÕn , vµ ®iÓm A € KM , B mét lÇn n÷a chøng tá søc m¹nh rÊt lín H M cña dÊu hiÖu thø hai gióp chóng ta tho¸t khái sù bÕ t¾c nµy HI HJ Tõ (1) , ( ) , (3) suy EI FJ theo dÊu hiÖu thø nhÊt suy I J // FE F C Bíc : KÕt luËn Tãm l¹i ta cã KM J Mµ I J // FE Suy KM FE ( ®pcm) D/ Lời bàn : */ So với hai bài toán trên , rõ ràng là muốn giải đợc bài toán này th× ®Çu ãc cña ngêi gi¶i to¸n nhÊt thiÕt ph¶i diÔn sù lùa chän ph¬ng ph¸p giải và lập trình các bớc giải bài Toán sau đó hy vọng thực thành công đợc lời giải Đó chính là khác biệt đề thi cấp Q.gia với đề thi cấp Tỉnh , cấp Lª V¨n Chung – Trêng THCS Lª V¨n ThÞnh , huyÖn Gia B×nh (28) Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán đoạn thẳng tỷ lệ huyện , nó đòi hỏi HS phải có tu cao cấp , tự mình khám phá bài Toán ẩn mình đề thi , mà ngời đề đã cố ý dấu diếm */ VÒ mÆt kiÕn thøc , nÕu ®Çu ãc cña ngêi gi¶i to¸n nÕu kh«ng cã s½n viÖc nghiên cứu , chăm lo bài toán gốc thì không thể nghĩ đến việc kéo dài BA cho cắt KC Q , kéo dài CA cho cắt KB P , để nhận kiện quan trọng lời AC AB AP AQ xuÊt hiÖn giải đó là PQ // BC từ đó chúng ta có tỷ lệ thức trung gian đúng lúc chúng ta cần nó Nh thao tác kéo dài các đoạn thẳng , thói quen ký hiệu tên các giao điểm việc chúng ta biết chăm lo tốt phần gốc mà có đợc */ VÒ mÆt kü n¨ng gi¶i To¸n , viÖc chøng minh I J // FE chÝnh lµ d¹ng to¸n c¬ b¶n thứ hai (phơng pháp thứ hai , dùng tỷ lệ thức để chứng minh hai đờng thẳng song song ) Muốn chứng minh đợc tỷ lệ thức đó lại là dạng toán thứ - phơng pháp , lîi dông mét tû sè thø ba lµm trung gian NghÜa lµ häc sinh ph¶i thµnh th¹o d¹ng to¸n thø nhÊt th× míi hy väng thµnh th¹o d¹ng to¸n thø hai , cã bíc ®i thø nhÊt th× míi cã bíc ®i thø hai ë ®©y §K thêi gian thÇy gi¸o kh«ng lµm l¹i phần gốc cho các em đợc , thầy mong các em tự mình chăm lo phần gốc cho tốt thì hy vọng giải đợc các bài toán khó , đó là phần mà thôi ! */ Giải xong bài toán cha phải là xong cách tuyệt đối , mà nên dành thời gian để tiếp tục nghiên cứu sâu thêm bài Toán tất các góc độ nh : Suy nghĩ t×m tßi lêi gi¶i , trau råi c¸c kiÕn thøc , kü n¨ng cÇn thiÕt , thËm chÝ c¶ viÖc thay đổi , mở rộng đầu bài VD đây , tơng tự nh phần chăm lo bài toán gốc ,chúng ta có thể nghĩ đến việc khảo sát các vị trí khác điểm K trên đờng thẳng AM , không phải là trên tia đối tia AM , thì kết luận bài toán còn đúng hay không ? Có thể phân chia thành sáu trờng hợp cần khảo sát , nghiên cứu nh sau : 1/ Điểm K thuộc tia đối tia MA với MK > MA 2/ Điểm K thuộc tia đối tia MA với MK = MA 3/ Điểm K thuộc tia đối tia MA với MK < MA 4/ §iÓm K trïng víi ®iÓm M 5/ §iÓm K thuéc ®o¹n AM , nhng K kh«ng trïng víi hai ®Çu mót M & A 6/ §iÓm K trïng víi ®iÓm A Sáu trờng hợp này tôi đã nghiên cứu cẩn thận , chu đáo giáo án viết tay cña m×nh , kh«ng cã §K , thêi gian tr×nh bµy ë ®©y , rÊt mong c¸c HS vÒ nhµ tù mµy mß , tù nghiªn cøu thªm , cã nh thÕ sau nµy c¸c em míi cã hy väng thµnh Ng« Bảo Châu đợc Chúc các em thành công !!! */ Có câu chuyện thực tế nh sau : Năm học đó , ĐT toán tôi có em häc sinh tªn lµ : Vò Gi¸p Danh , quª ë CÈm B×nh , H¶i D¬ng gi¸p víi x· Phó L¬ng cña huyÖn L¬ng Tµi , nhµ ë gÇn thÞ trÊn Thøa cã §K sang trßng LVT Gia L¬ng häc , em nµy lµ mét nh÷ng häc sinh giái suÊt s¾c nhÊt nh× cña §T To¸n Khi tham dự kỳ thi chọn ĐT quốc gia Tỉnh BN , em này đã không đọc kỹ đầu bài , cho nên đã làm trờng hợp điểm K nằm trên tia đối tia MA ( đầu bài là điểm K nằm trên tia đối tia AM ) , vì giỏi hình học cho nên đã làm tốt khả trờng hợp đó : Điểm K thuộc tia đối tia MA với MK < MA Thế là mắc tội lạc đề cho nên lời giải bài toán đó không đợc điểm , dẫn đến là không đợc tuyển chọn vào ĐT QG Tỉnh , buồn , chán đời , trí muốn tự tử Hồi đó , thực là tôi cha có ĐK nghiên cứu kỹ nguyên nhân sâu sa nhầm lẫn đáng tiếc đó , đổ cho nguyên nhân là đã không đọc kỹ đầu bài Nhng khoảng 10- 15 năm sau đã tõng tr¶i nhiÒu nhiÒu n¨m c«ng t¸c cña nghÒ d¹y häc th× t«i míi ph¸t hiÖn nguyên nhân sâu xa nhầm lẫn đó chính là ngời thầy giáo đã không biết chăm lo chu đáo bài toán gốc nh đã trình bày trên Tất nhiên không đọc kỹ đầu bài cũng thuộc phần gốc nhân cách ngòi Nhng, dạy bài toán gốc ngời thầy giáo khảo sát vị trí điểm I trên đờng thẳng AM nh trên thì chắn lúc thi HS không thể có nhầm lẫn đáng tiếc Lª V¨n Chung – Trêng THCS Lª V¨n ThÞnh , huyÖn Gia B×nh (29) Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán đoạn thẳng tỷ lệ nh đợc Nhiều năm sau đó có dịp gặp lại HS này tôi đã thành thật xin lỗi em HS đó , tôi đã nói : Hồi đó thầy giáo đã không dạy kỹ bài toán gốc cho nên dẫn đến nhầm lẫn đáng tiếc em Thầy giáo thành thật xin lỗi em Và từ đó trë ®i t«i lu«n t©m niÖm mét ®iÒu lµ : M×nh ph¶i gi¸o dôc cho HS giái ý thøc ch¨m lo cách chu đáo phần gốc các lời giải các bài Toán ( nó bao gồm cái gèc nh©n c¸ch cÈn thËn cña ngêi häc sinh n÷a ) th× míi hy väng phÇn ngän t¬i tốt , đơm hoa kết trái đợc nh mong muốn ngời Một số mô hình song song khác xung quanh đờng trung truyến cña tam gi¸c cã nhiÒu øng dông gi¶i to¸n N¨m häc 2000-2001 , d¹y båi dìng HSG cÊp TØnh m«n To¸n cña huyÖn Gia Lơng cũ , tôi đã phát động phong trào tập dợt nghiên cứu Toán học học sinh đội tuyển Toán Khi nghiên cứu trờng hợp điểm K thuộc tia đối tia MA cho MA ≠ MK , thì em học sinh Nguyễn Kim Sơn đã phát mô hình song song thú vị sau đây liên quan đến đờng trung tuyến tam giác : Mô hình song song thứ hai liên quan đến đờng trung tuyến : Cho tam giác ABC , M là trung điểm cạnh BC , Trên tia đối tia MA lấy điểm K cho MK ≠ MA Qua K kẻ các đờng thẳng song song víi AB & AC lÇn lît c¾t AC & AB t¹i F & E Chøng minh r»ng : FE // BC Năm học đó , tôi thờng gọi mô hình nµy lµ §Þnh lý NguyÔn KÞm S¬n , HS sớng , động vào chất ngời : Sự khao khát đợc là ngời quan trọng , thì đã có tác dông rÊt lín kÝch thÝch sù say mª häc tËp nghiªn cøu TH cña em S¬n , kÕt qu¶ lµ em NguyÔn Kim S¬n n¨m lớp 11 , đã dành đợc huy chơng Vàng kú thi To¸n Q TÕ ë A Ten – Hy L¹p Trong sè c¸c em häc sinh giái cã rÊt nhiÒu thiªn tµi , nÕu chóng ta biÕt kh¬i d¹y th× rÊt lµ kú diÖu , ®em l¹i nh÷ng kÕt qu¶ kh«ng ngê A E F M C B K Mô hình song song thứ ba liên quan đến đờng trung tuyến : Cho tam giác ABC có đờng trung tuyến AD Đờng phân giác các góc ADB & ADC c¾t c¸c c¹nh t¬ng øng AB , AC t¹i E , F Chøng minh r»ng ; FE // BC Bµi to¸n ¸p dông rÊt thó vÞ nh sau : Cho hình thang ABCD (AB // CD , CD < AB ) Hai đờng chéo AC & BD cắt G Gọi M là trung điểm cạnh đáy AB Tia phân giác góc AMG c¾t c¸c tia AC & AD t¹i I vµ E t¬ng øng Tia ph©n gi¸c cña gãc BMG c¾t c¸c tia BD & BC t¹i c¸c ®iÓm t¬ng øng K & F Chøng minh r»ng : 1) Chứng minh các đờng thẳng AD , BC và MG đồng quy điểm 2) Giả sử AI = AE ; CMR đó ta có BK = BF HÕt - Lª V¨n Chung – Trêng THCS Lª V¨n ThÞnh , huyÖn Gia B×nh (30)