c) Chứng minh rằng hai tam giác ADE và ABC đồng dạng với nhau. Cho hình thang ABCD có đáy lớn là CD. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường chéo BD tại M và cắt CD tại I. Cho đo[r]
(1)Chuyên đề 2
Định lí Talet - Tam giác đồng dạng
1. Cho hình bình hành ABCD (AC > BD) Vẽ CE AB FC AD Chứng minh rằng: AB.AE + AD.AF = AC2.
Hướng dẫn:
o Kẻ BH AC
o Chứng minh: AHB AEC, BHC CFA
2. Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh a Gọi M, N trung điểm AB BC Các đường thẳng DN CM cắt I Chứng minh rằng: a) Tam giác CIN vuông
b)Tính diện tích tam giác CIN theo a c) Tam giác AID cân
Hướng dẫn:
a) Chứng minh: BMC CND
b)Chứng minh: ICN CDN ICN CDN
S
? S
SICN = ?
c) Gọi Q trung điểm CD Tương tự câu a, chứng minh PI = PD
3. Cho hình thang ABCD (BC // AD) với ABC ACD Tính độ dài đường chéo AC, biết đáy BC AD theo thứ tự có độ dài 12 m 27 m
Hướng dẫn:
o Chứng minh: ABC DCA AC = ?
4. Cho tam giác ABC, M trung điểm cạnh BC Từ điểm E cạnh BC ta kẻ Ex // AM, Ex cắt tia CA F tia BA G
Chứng minh rằng: FE + EG = 2AM Hướng dẫn:
o Áp dụng hệ ĐL Talet với AM // FE EG // AM
5. Cho hình bình hành ABCD Trên đường chéo AC lấy điểm I, tia DI cắt đường thẳng AB M, cắt đường thẳng BC N Chứng minh rằng:
a)
AM DM CB
AB DN CN
b) ID2 = IM.IN. Hướng dẫn:
a) Chứng minh: MBN DCN MBN MAD
b) Chứng minh: IAD ICN IAM ICD
6. Cho tam giác ABC, đường phân giác góc C cắt cạnh AB D Chứng minh rằng: CD2 < CA.CB.
Hướng dẫn:
o Lấy M thuộc BC cho: CDM A .
o Chứng minh: CDN CAD
7. Cho tam giác ABC, BD CE đường cao tam giác ABC, DF EG đường cao tam giác ADE Chứng minh rằng:
(2)b)FG // BC Hướng dẫn:
a) Chứng minh: ADB AEC
b)Chứng minh: AFG ADE
8. Cho tam giác ABC (AB < AC) Hai Đường cao BD CE cắt H a) So sánh góc BAH góc CAH
b)So sánh đoạn thẳng BD CE
c) Chứng minh hai tam giác ADE ABC đồng dạng với Hướng dẫn:
b)Chứng minh: ADB AEC
c) Tương tự câu a Bài
9. Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường chéo BD M cắt CD I Qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt cạnh CD K Qua K kẻ đường thẳng song song với BD cắt BC P Chứng minh MP // DC
Hướng dẫn:
o Áp dụng hệ ĐL Talet với AB // DI KP // BD
10.Cho đoạn thẳng AB, gọi O trung điểm AB Vẽ phía AB tia Ax By vng góc với AB Lấy C Ax, D By cho góc COD 900. a) Chứng minh tam giác ACO đồng dạng với tam giác BDO
b)Chứng minh rằng: CD = AC + BD
c) Kẻ OM vng góc CD M, gọi N giao điểm AD với BC Chứng minh rằng: MN // AC
Hướng dẫn:
b)Kéo dài CO cắt DB E Chứng minh DCE cân D
c) Áp dụng hệ ĐL Talet với AC // BD
CN CM NBMD.
11.Cho tam giác ABC với AB = cm, AC = cm, BC = cm Gọi G trọng tâm tam giác ABC, O giao điểm hai tia phân giác tam giác ABC Chứng minh rằng: GO // AC
Hướng dẫn:
o Áp dụng tính chất đường phân giác ABC ABD tính chất
đường trung tuyến
12.Cho ABC có A 30 Dựng bên tam giác BCD Chứng minh rằng:
AD2 = AB2 + AC2. Hướng dẫn:
o Dựng tam giác ACE BE = AD
13.Cho hình vng ABCD Trên BC lấy M cho:
1 BM BC
3
Trên tia đối tia CD lấy điểm N cho
1 CN BC
2
Cạnh AM cắt BN I CI cắt AB K Gọi H hình chiếu M AC Chứng minh K, M, H thẳng hàng
Hướng dẫn:
o Áp dụng hệ ĐL Talet với AB // CE, AB // NE BK // CN để chứng minh BM = BK
(3)14.Cho hình thoi ABCD có góc 600 Gọi M điểm thuộc cạnh AD. Đường thẳng CM cắt đường thẳng AB N
a) Chứng minh rằng: AB2 = DM.BN. b)BM cắt DN P Tính số đo góc BPD Hướng dẫn:
a) Áp dụng hệ ĐL Talet với AM //BC tính chất dãy tỉ số b)Dựa theo câu a chứng minh: NBD BDM
15.Cho ABC, điểm M nằm cạnh BC
Chứng minh rằng: MA.BC < MC.AB + MB.AC Hướng dẫn:
o Áp dụng hệ ĐL Talet với MD // AC bất đẳng thức tam giác ADM 16.Cho tam giác ABC (AB = BC) Trên cạnh AC chọn điểm K nằm A C
Trên tia đối tia CA lấy E cho: CE = AK Chứng minh rằng: BK + BE > BA + BC
Hướng dẫn:
o Lấy F đối xứng B qua C Chứng minh: ABK = CFE
17.Cho tam giác ABC Gọi M điểm nằm tam giác Chứng minh tống khoảng cách từ M đến ba cạnh tam giác có giá trị khơng đổi M thay đổi vị trí tam giác
Hướng dẫn:
o Dựa vào đẳng thức: SABC = SMAB + SMBC + SMCA
18.Cho tam giác ABC Qua điểm O tùy ý tam giác, ta kẻ đường AO, BO, CO cắt BC, CN, AB M, N P Chứng minh rằng:
OM ON OP AMBNCP .
Hướng dẫn:
o Tính tỉ số:
OBC ABC
S S
,
OAB ABC
S S
,
OAC ABC
S S
áp dụng hệ ĐL Talet 19.Cho ABC có đường cao BD CE Chứng minh rằng: AED ACB
Hướng dẫn:
o Chứng minh: ADB AEC AED ACB
20.Cho ABC có đường phân giác AD
Chứng minh rằng: AD2= AB.AC – DB.DC. Hướng dẫn:
o Chứng minh: AEB ACD
o Chứng minh: ACD BED
21.Cho tam giác ABC, gọi D trung điểm AB Trên cạnh AC lấy điểm E cho AE = 2EC Gọi O giao điểm CD BE Chứng minh rằng:
a) Diện tích tam giác BOC diện tích tam giác AOC b)BO = 3EO
Hướng dẫn:
a) Chứng minh: SACD = SBCD, SAOD = SBOD
b)Chứng minh: OEC OBC
S S
3
(4)
Hướng dẫn:
o Áp dụng hệ hệ ĐL Talet với EF // BC CF // AB
23.Cho hình vng ABCD Trên cạnh AB lấy M.Vẽ BH vng góc với CM Vẽ HN DH Chứng minh rằng:
a)DHC NHB
b)AM.NB = NC.MB Hướng dẫn:
b)Chứng minh: HCB BCM, kết hợp kết câu a
24.Cho hình bình hành ABCD Gọi M, N trung điểm BC, AD Gọi K điểm nằm C D Gọi P, Q theo thứ tự điểm đổi xứng K qua tâm M N
a) Chứng minh Q, P, A, B thẳng hàng
b)Gọi G giao điểm PN QM Chứng minh GK qua điểm I cố định K thay đổi đoạn CD
Hướng dẫn:
a) Chứng minh: AQ // DK BP // CK
b)Chứng minh: HP = HQ, I trung điểm HK I trung điểm MN
25.Cho tứ giác ABCD Đường thẳng qua A song song với BC cắt BD P đường thẳng qua B song song với AD cắt AC Q.Chứng minh: PQ // CD Hướng dẫn: