Phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû baèng caùc phöông phaùp thoâng thöôøng: - Ñaët nhaân töû chung (thöøa soá chung).. - Duøng haèng ñaúng thöùc ñaùng nhôù.[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THAØNH NHÂN TỬ A CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) biến đổi đa thức thành tích đơn thức đa thức
Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp thông thường: - Đặt nhân tử chung (thừa số chung)
- Dùng đẳng thức đáng nhớ - Nhóm nhiều hạng tử
Phân tích đa thức thành nhân tử vài phương pháp khác (bổ sung) - Tách hạng tử thành nhiều hạng tử
- Thêm bớt hạng tử
- Đặt ẩn phụ (còn gọi đổi biến số) - Dùng phương pháp hệ bất định - Tìm nghiệm đa thức
- Quy tắt HORNER (Hót - Nơ)
B MỘT SỐ BÀI TỐN:
I PHƯƠNG PHÁP THÊM BỚT, TÁCH, NHÓM HẠNG TỬ
Bài1 Phân tích đa thức thành nhân tử A = x2y2(y - x) + y2x2(z - y) - z2x2(z - x)
Cách 1: Khai triển hai ba số hạng, chẳng hạn khai triển hai số hạng đầu nhóm số hạng làm xuất thừa số chung z - x
A = x2y3 – x3y2 + y2z3 – y3z2 – z2x2(z – x)
= y2(z3 – x3) – y3(z2 – x2) – z2x2(z – x)
= y2(z – x)(z2 + zx + x2) – y3(z – x)(z + x) – z2x2(z – x)
= (z – x)(y2z2 + y2zx + x2y2 – y3z – y3x – z2x2)
= (z – x)[y2z(z – y) – x2(z – y)(z + y) + y2x(z – y)
= (z – x)(z – y)(y2z – x2z – x2y + y2x)
= (z – x)(z – y)[z(y – x)(y + x) + xy(y – x)] = (z – x)(z – y)(y – x)(xy + xz + yz)
Cách 2: Để ý rằng: (z – y) + (y – x) = (z – x) Do ta có: A = x2y2(y – x) + y2z2(z – y) – z2x2[(z – y) + (y – x)]
= x2y2(y – x) + y2z2(z – y) – z2x2(z – y) – z2x2(y – x)
= (y – x)(x2y2 – z2x2) + (z – y)(y2z2 – z2x2)
= (y – x)x2(y – z)(y + z) + (z – y)z2(y – x)(y + x)
= (y – x)(z – y)(- x2y – x2z +yz2 + xz2)
= (y – x)(z – y)[xz(z – x) + y(z – x)(z + x)] = (y – x)(z – y)(z – x)(xz + yz +xy)
Bài Phân tích đa thức thành nhân tử a) a3 + b3 + c3 -3abc
(2)Lời giải:
a) Các hạng tử đa thức đa thức cho khơng chứa thừa số chung, khơng có dạng đẳng thức đáng nhớ nào, khơng thể nhóm số hạng Do ta phải biến đổi đa thức cách thêm bớt hạng tử để vận dụng phương pháp phân tích biết
a3 + b3 + c3 = (a3 + 3a2b +3ab2 + b3) + c3 – (3a2b +3ab2 + 3abc)
= (a + b)3 +c3 – 3ab(a + b + c)
= (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab]
= (a + b + c)(a2 + 2ab + b2 – ac – bc + c2 – 3ab]
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc)
b) Cách 1: Đặt x – y = a , y – z = b, z – x = c a + b + c = Khi theo câu a ta có: a3 + b3 + c3 – 3abc = hay a3 + b3 +c3 =3abc
Vaäy: (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 3(x – y)(y – z)(z – x)
Cách 2: Để ý rằng: (a + b)3 = a3 + 3ab(a + b) + b3 (y – z) = (y – x) + (x – z)
(x – y)3 + (y –z)3 + (z – x)3 =
= [(y – x) + ( x – z)]3 + (z – x)3 + (x – y)3
= (y – x)3 + 3(y – x)(x – z){(y – x) + (x – z)] + (x – z)3 – (x – z)3 – (y – x)3 Bài 3: Tách hạng tử thành nhiều hạng tử.
X3 – 7x –
Caùch 1: Tách số hạng -7x thành – x – 6x, ta coù: X3 – 7x – = x3 – x – 6x –
= x(x – 1)(x + 1) – 6(x + 1) = (x + 1)( x2 – x – 6)
= (x + 1)(x + 2)(x – 3) Cách 2: Tách số hạng – = – 14 ,ta coù:
X3 – 7x – = x3 + – 7x – 14
= (x + 2)(x2 – 2x + 4) – 7( x + 2)
= (x + 2)(x2 – 2x + 3)
= (x + 2)(x + 1)(x – 3) II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHU
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử. a) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12
b) 4x(x + y)(x + y + z) (x + z) + y2z2
Giaûi: a) Đặt x2 + x + = y ta coù x2 + x + =y +1
Ta coù: (x2 + x + 1)(x2 + x +2) – 12 = y(y + 1) – 12
= y2 + y – 12
= ( y – 3)(y + 4)
(3)= (x – 1)(x + 2)(x2 + x +5)
b) 4x(x + y)( x + y + z)(x + z) +y2z2
= 4x(x + y +z)(x + y)( x + z) +y2z2
= 4(x2 + xy + xz)(x2 + xz + xy + yz) + y2z2
Đặt: x2 + xy + xz = m, ta coù
4x(x + y)(x + y + z)(x + y) + y2x2 = 4m(m + yz) + y2z2
= 4m2 + 4myz + y2z2
= ( 2m + yz)2
Thay m = x2 +xy +xz, ta được:
4x(x +y)(x + y +z)(x + z) + y2z2 = (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2
* DẠNG ĐẶC BIỆT
Xét Q(x) = ay2 + by + c Nếu có số m, n cho m.n = a.c, m + n = b thì ay2 + by + c = ay2 + (m + n)y + m.n/a hay ay2 + by + c =a(y + m/a)(y + n/a) (*) nói riêng a = y2 + by +c = ( y + m)(y +n).Trong trường hợp a, b, c nguyên trước hết phân tích hai số nguyên m.n cho giá trị tuyệt đối m và n nhỏ b sau chọn m, n thoả mãn m + n = b.
Da thức dạng: P(x) = ax4 + bx2 + c
Cách giải: Đặt biến phụ y = x2 áp dụng HĐT (*).
Ví dụ: Phân tích P(x) = 6x4 + 19x2 + 15 thành nhân tử. Giải: Đặt y = x2 ,có Q(y)= 6y2 + 19y + 15
Tìm m, n cho m.n = 90 m + n = 19 với m < 19, n < 19 Vì 90 = 6.15 = 9.10 nên chọn m = 9, n = 10, ta có:
6y2 + 19y + 15 = 6y2 + 9y + 10y + 15
= 3y(2y + 3) + 5(2y +3) = (2y + 3)(3y + 5)
Do doù P(x) = 6x4 + 19x2 + 15 = ( 2x2 + 3)(3x2 + 5)
Đa thức dạng P(x) = (x +a)(x + b)(x + c)(x + d) + e với a + b = c + d
Cách giải: Đặt biến phụ y = (x + a)(x + b) y = (x + c)(x + d) hoặc
y2 = x2 + (a + b) x
Ví dụ: Phân tích P(x) = (x +1)(x + 2)(x +3)(x +4) – 15 thành nhân tử.
Giải: Với a = 1, b = 4, c = 2, d = a + b = =c + d Biến đổi:
P(x) = (x + 1)(x + 4)( x + 2)( x + 3) – 15 = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) – 15
Đặt y = x2 + 5x + P(x) trở thành Q(y) = y(y + 2) – 15
= y2 +2y – 15
= y2 – 3y + 5y – 15
= y(y – 3) + 5( y – 3) = (y – 3)(y +5)
(4)Tổng quát: Nếu đa dạng P(x) = (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2) thoả
mãn a1b1 = c1d1 a1b2 + a2b1 = c1d2 +c2d1 đặt y =(a1x + a2)(b1x + b2) biến
đổi
Đa thức dạng: P(x) = (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2)
với a1b1 = c1d1 a2b2 = c2d2
Ví dụ: Phân tích P(x) = (3x +2)(3x – 5)(x – 9)(9x + 10) + 24x2 thành nhân
tử
Giải: Dễ thấy a1b1 =3.3 = 9.1 = c1d1 a2b2 = 2.(-5) =(-1).10 =c2d2
P(x) = (9x2 – 9x – 10)(9x2 + 9x – 10) + 24x2
Đặt y = (3x +2)(3x – 5) = 9x2 – 9x – 10 P(x) trở thành:
Q(y) = y(y + 10x) = 24x2
Tìm m.n = 24x2 m + n = 10x ta chọn m = 6x , n = 4x
Ta được: Q(y) = y2 + 10xy + 24x2
= (y + 6x)(y + 4x)
Do doù P(x) = ( 9x2 – 3x – 10)(9x2 – 5x – 10).
Đa thức dạng: P(x) = ax4 +bx3 + cx2 + kbx + a với k = k = -1
Cách giải: Đặt y = x2 + k biến đổi P(x) dạng chứa hạng tử ay2 +
bxy sử dụng HĐT (*).
Ví dụ: Phân tích P(x) = 2x4 + 3x3 – 9x2 – 3x + thành nhân tử. Giải: Đặt y = x2 – suy y2 = x4 – 2x2 + 1
Biến đổi P(x) = 2(x4 – 2x2 + 1) + 3x3 – 5x2 – 3x
= 2(x2 – 1)2 + 3x( x2 – 1) – 5x
Từ Q(y) = 2y2 + 3xy – 5x2
Tìm m, n cho m.n = - 10x2 m + n = 3x chọn m = 5x , n = - 2x
Ta coù : Q(y) = 2y2 + 3xy – 5x2
= 2y2 – 2xy + 5xy – 5x2
= 2y(y – x) + 5x(y – x) = ( y – x)( 2y – 5x)
Do doù , P(x) = (x2 – x – )(2x2 + 5x – 2).
Đa thức dạng: P(x) = x4 + bx3 + cx2 + dx + e với e = d2/b2
Cách giải: Đặt biến phụ y = x2 + d/b biến đổi P(x) dạng chứa hạng
tử y2+ bxy sử dụng HĐT (*).
Ví dụ: Phân tích P(x) = x4 - x3 – 10x2 + 2x + thành nhân tử. Giải: Dễ thấy b = 1, d = 2, e =4 đặt y = x2 – suy y2 = x4 – 4x2 + 4
Biến đổi P(x) = x4 – 4x2 + – x3 – 6x2 + 2x
= (x2 – 2)2 – x(x2 – 2) – 6x2
Từ Q(y) = y2 – xy – 6x2
Tìm m, n cho m.n = - 6x2 m + n = - x chọn m = 2x, n = -3x
Ta coù Q(y) = y2 + 2xy – 3xy – 6x2
(5)= (y + 2x)(y – 3x)
Do doù, P(x) = (x2 + 2x – 2)(x2 – 3x – 2).
* Nếu đa thức P(x) có chứa ax4 thì xét đa thức Q(x) = P(x)/a theo cách
treân
Đa thức dạng P(x) = (x + a)4 + ( x + b)4 +c
Cách giải: Đặt biến phụ y = x + ( a + b)/2 biến đổi P(x) dạng mx4 + nx2 + p
Ví dụ: Phân tích P(x) = (x – 3)4 + ( x – 1) 4 – 16 thành nhân tử.
Giải: Đặt y = x – lúc dó P(x) trở thành Q(y) = (y – 1)4 + ( y + 1) 4 – 16
= 2y4 + 12y2 – 14
= 2(y2 + 7)( y2 – 1)
= 2(y2 + 7)(y – 1)(y + 1)
Do doù P(x) = 2(x2 – 4x + 11)(x – 3)(x – 1).
BÀI TẬP: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
1) A(x) = (48x2 + 8x – 1)(3x2 + 5x + 2) – 4
2) B(x) = (12x – 1)(6x – 1)(4x – 1)(3x – 1) – 330 3) C(x) = 4(x2 + 11x + 30)( x2 + 22x + 120) – 3x2
4) D(x) = (7 – x)4 + ( – x)4 –
5) E(x) = x4 – 9x3 + 28x2 – 36x + 16
6) F(x) = x4 – 3x3 – 6x2 + 3x + 1
IV PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH
Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x3 – 19x – 30 b) x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1 Giải:
a) Kết tìm phải có dạng: (x + a)(x2 + bx + c) = x3 + (a +b)x2 + (ab +c)x + ac
Ta phải tìm a, b, c thoả mãn:
x3 – 19x – 30 = x3 + (a +b)x2 + (ab +c)x + ac
Vì hai đa thức đồngnhất , nên ta có: a + b =
ab + c = 19 ac = - 30
Vì a,c thuộc số ngun vá tích ac = - 30, a, c ước - 30 hay a,c = ±1, ±2, ±3, ±5, ±6, ±10, ±15, ±30
a = 2, c = 15 b = - thoả mãn hệ Đó số phải tìm tức x3 – 19x – 30 = (x + 2)(x2 – 2x – 15)
(6)(x2 + ax + b)( x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad +bc)x +bd
Đồng đa thức với đa thức cho, ta có
x4 + 6x3 +7x2 + 6x + =x4 +(a + c)x3 + (ac + b +d)x2 + (ad + bc)x +bd
a + c = ac + b + d =7 ad + bc = bd =
Từ hệ tìm được: a = b = d = , c =
Vaäy: x4 + 6x3 +7x2 + 6x + = (x2 + x + 1)(x2 + x + 5).
V TÌM NGHIỆM CỦA ĐA THỨC
Nếu đa thức P(x) có nghiệm x = a ta phân tích P(x) thành tích hai thừa số (x – a) Q(x)
P(x) = (x – a) Q(x)
Muốn tìm thừa số Q(x), ta chia đa thức cho nhị thức (x – a)
Nếu đa thức P(x) có hai nghiệm phân biệt x = a x = b ta phân biệt đa thức P(x) thành tích ba thừa số (x – a), (x – b) Q(x)
P(x) = (x – a)(x – b) Q(x)
Muốn tìm Q(x), ta chia đa thức P(x) cho tích số (x – a)(x – b) = x2 + (a + b)x
+ab, ta có thương phép chia Q(x)
Nếu đa thức P(x) có nghiệm số kép x1 = x2 = a thìsao?
Thế nghiệm số kép?
Giả sử P(x) có nghiệm x = a suy P(x) = (x – a)Q(x) Q(x) lại có nghiệm x = a suy Q(x) = (x – a) R(x) Do đó, ta có: P(x) = (x – a)2R(x).
Ta nói đa thức P(x) có nghiệm kép x1 = x2 = a
Vậy: Nếu đa thức P(x) có nghiệm kép x1 = x2 = a P(x) = (x – a)2R(x) Ví dụ: Phân tích đa thức P(x) = x3 – 2x – thành nhân tử
Giải: Ta nhận thấy đa thức P(x) = x3 – 2x – có số nghiệm x = 2
Do đó, ta có P(x) = ( x – 2)Q(x)
Chia đa trhức P(x) = x3 – 2x – cho nhị thức x – , ta thương số là
Q(x) = x2 + 2x +2 = (x + 1)2 +1
Suy P(x) = (x – 2)(x2 + 2x + 2)
Vậy P(x) = x3 – 2x – = ( x- 2)(x2 + 2x + 2) Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
P(x) = x4 + x3 – 2x2 – 6x –
Giải: Ta nhận thấy đa thức P(x) có nghiệm phân biệt -1 Vì P(-1) = P(2) =
(7)Chia đa thức P(x) cho tam thức (x + 1)(x – 2) = x2 – x – , ta thương
đúng phép chia là: Q(x) = x2 + 2x + = (x + 1)2 + 1
Suy ra: P(x) = (x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 2)
Vaäy : P(x) = (x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 2).
VI QUY TẮT HÓT – NƠ (HORNER)
Quy tắt Hót – Nơ giúp chia nhanh đa thức cho nhị thức bậc
Bài toán: Giả sử chia đa thức
P(x) = a0xn + a1xn -1 + a2xn – + a3xn – + … + an chia nhị thức x - a
Bậc đa thức thương Q(x) nhỏ bậc P(x) đơn vị Q(x) = b0xn – + b1xn – + b2xn – + …… + bn -
Số dư r số bậ r < bậc (x – a)
Ta có: a0xn + a1xn – + a2xn – + … + an = (x – a)(b0xn -1 + b1xn – + … + bn – 1) + r
Cân hệ số, ta có: b0 = a0
b1 = a1 + ab0
b2 = a2 + ab1
b3 = a3 + ab2
……… bn – = an – + abn -
r = an + abn -1
Ta xếp thành bảng sau:
a0 a1 a2 ……… an - an
a b0 = a0 b1 = a1 +ab0 b2 = a2 +ab1 bn – = an -1 + abn - r = an + abn -1 Ví dụ: Phân tích đa thức P(x) = 3x4 – 4x3 + thành nhân tử.
Giải: Ta có P(1) = – + =
Suy ra, đa thức P(x) chia hết cho (x – 1) P(x) = (x – 1)Q1(x)
Ta xác định Q1(x) quy tắt Hót – Nơ
3 -4 0
1 -1 -1 -1 r = p(1)
(8)Do Q1(x) = 3x3 – x2 – x –
Nhận xét raèng Q1(x) = suy Q1(x) = (x – 1)Q2(x)
Ta xác định Q2(x) cách sử dụng quy tắt Hót – Nơ:
3 -1 -1 -1
1
Suy ra: Q2(x) = 3x2 + 2x + 1, không phân tích thành nhân tử
Do đó, ta có: P(x) = 3x4 – 4x3 + = (x – 1)2(3x2 + 2x + 1).
CHUYÊN ĐỀ 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ A CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) biến đổi đa thức thành tích đơn thức đa thức
Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp thông thường: - Đặt nhân tử chung (thừa số chung)
- Dùng đẳng thức đáng nhớ - Nhóm nhiều hạng tử
Phân tích đa thức thành nhân tử vài phương pháp khác (bổ sung) - Tách hạng tử thành nhiều hạng tử
- Thêm bớt hạng tử
- Đặt ẩn phụ (còn gọi đổi biến số) - Dùng phương pháp hệ bất định - Tìm nghiệm đa thức
- Quy tắt HORNER (Hót - Nơ)
B MỘT SỐ BÀI TỐN:
I PHƯƠNG PHÁP THÊM BỚT, TÁCH, NHĨM HẠNG TỬ
Bài1 Phân tích đa thức thành nhân tử A = x2y2(y - x) + y2x2(z - y) - z2x2(z - x)
Cách 1: Khai triển hai ba số hạng, chẳng hạn khai triển hai số hạng đầu nhóm số hạng làm xuất thừa số chung z - x
A = x2y3 – x3y2 + y2z3 – y3z2 – z2x2(z – x)
= y2(z3 – x3) – y3(z2 – x2) – z2x2(z – x)
= y2(z – x)(z2 + zx + x2) – y3(z – x)(z + x) – z2x2(z – x)
= (z – x)(y2z2 + y2zx + x2y2 – y3z – y3x – z2x2)
= (z – x)[y2z(z – y) – x2(z – y)(z + y) + y2x(z – y)
(9)= (z – x)(z – y)[z(y – x)(y + x) + xy(y – x)] = (z – x)(z – y)(y – x)(xy + xz + yz)
Cách 2: Để ý rằng: (z – y) + (y – x) = (z – x) Do ta có: A = x2y2(y – x) + y2z2(z – y) – z2x2[(z – y) + (y – x)]
= x2y2(y – x) + y2z2(z – y) – z2x2(z – y) – z2x2(y – x)
= (y – x)(x2y2 – z2x2) + (z – y)(y2z2 – z2x2)
= (y – x)x2(y – z)(y + z) + (z – y)z2(y – x)(y + x)
= (y – x)(z – y)(- x2y – x2z +yz2 + xz2)
= (y – x)(z – y)[xz(z – x) + y(z – x)(z + x)] = (y – x)(z – y)(z – x)(xz + yz +xy)
Bài Phân tích đa thức thành nhân tử c) a3 + b3 + c3 -3abc
d) (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 Lời giải:
a) Các hạng tử đa thức đa thức cho khơng chứa thừa số chung, khơng có dạng đẳng thức đáng nhớ nào, nhóm số hạng Do ta phải biến đổi đa thức cách thêm bớt hạng tử để vận dụng phương pháp phân tích biết
a3 + b3 + c3 = (a3 + 3a2b +3ab2 + b3) + c3 – (3a2b +3ab2 + 3abc)
= (a + b)3 +c3 – 3ab(a + b + c)
= (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab]
= (a + b + c)(a2 + 2ab + b2 – ac – bc + c2 – 3ab]
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc)
b) Cách 1: Đặt x – y = a , y – z = b, z – x = c a + b + c = Khi theo câu a ta có: a3 + b3 + c3 – 3abc = hay a3 + b3 +c3 =3abc
Vaäy: (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 3(x – y)(y – z)(z – x)
Cách 2: Để ý rằng: (a + b)3 = a3 + 3ab(a + b) + b3 (y – z) = (y – x) + (x – z)
(x – y)3 + (y –z)3 + (z – x)3 =
= [(y – x) + ( x – z)]3 + (z – x)3 + (x – y)3
= (y – x)3 + 3(y – x)(x – z){(y – x) + (x – z)] + (x – z)3 – (x – z)3 – (y – x)3 Bài 3: Tách hạng tử thành nhiều hạng tử.
X3 – 7x –
Cách 1: Tách số hạng -7x thành – x – 6x, ta coù: X3 – 7x – = x3 – x – 6x –
= x(x – 1)(x + 1) – 6(x + 1) = (x + 1)( x2 – x – 6)
= (x + 1)(x + 2)(x – 3) Cách 2: Tách số hạng – = – 14 ,ta có:
(10)= (x + 2)(x2 – 2x + 4) – 7( x + 2)
= (x + 2)(x2 – 2x + 3)
= (x + 2)(x + 1)(x – 3) II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHU
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử. c) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12
d) 4x(x + y)(x + y + z) (x + z) + y2z2
Giaûi: a) Đặt x2 + x + = y ta coù x2 + x + =y +1
Ta coù: (x2 + x + 1)(x2 + x +2) – 12 = y(y + 1) – 12
= y2 + y – 12
= ( y – 3)(y + 4)
Do đó: (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 = (x2 + x – 2)(x2 + x + 5)
= (x – 1)(x + 2)(x2 + x +5)
b) 4x(x + y)( x + y + z)(x + z) +y2z2
= 4x(x + y +z)(x + y)( x + z) +y2z2
= 4(x2 + xy + xz)(x2 + xz + xy + yz) + y2z2
Đặt: x2 + xy + xz = m, ta coù
4x(x + y)(x + y + z)(x + y) + y2x2 = 4m(m + yz) + y2z2
= 4m2 + 4myz + y2z2
= ( 2m + yz)2
Thay m = x2 +xy +xz, ta được:
4x(x +y)(x + y +z)(x + z) + y2z2 = (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2
* DẠNG ĐẶC BIỆT
Xét Q(x) = ay2 + by + c Nếu có số m, n cho m.n = a.c, m + n = b thì ay2 + by + c = ay2 + (m + n)y + m.n/a hay ay2 + by + c =a(y + m/a)(y + n/a) (*) nói riêng a = y2 + by +c = ( y + m)(y +n).Trong trường hợp a, b, c nguyên trước hết phân tích hai số nguyên m.n cho giá trị tuyệt đối m và n nhỏ b sau chọn m, n thoả mãn m + n = b.
Da thức dạng: P(x) = ax4 + bx2 + c
Cách giải: Đặt biến phụ y = x2 áp dụng HĐT (*).
Ví dụ: Phân tích P(x) = 6x4 + 19x2 + 15 thành nhân tử. Giải: Đặt y = x2 ,có Q(y)= 6y2 + 19y + 15
Tìm m, n cho m.n = 90 m + n = 19 với m < 19, n < 19 Vì 90 = 6.15 = 9.10 nên chọn m = 9, n = 10, ta có:
6y2 + 19y + 15 = 6y2 + 9y + 10y + 15
= 3y(2y + 3) + 5(2y +3) = (2y + 3)(3y + 5)
Do doù P(x) = 6x4 + 19x2 + 15 = ( 2x2 + 3)(3x2 + 5)
(11)Cách giải: Đặt biến phụ y = (x + a)(x + b) y = (x + c)(x + d) hoặc
y2 = x2 + (a + b) x
Ví dụ: Phân tích P(x) = (x +1)(x + 2)(x +3)(x +4) – 15 thành nhân tử.
Giải: Với a = 1, b = 4, c = 2, d = a + b = =c + d Biến đổi:
P(x) = (x + 1)(x + 4)( x + 2)( x + 3) – 15 = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) – 15
Đặt y = x2 + 5x + P(x) trở thành Q(y) = y(y + 2) – 15
= y2 +2y – 15
= y2 – 3y + 5y – 15
= y(y – 3) + 5( y – 3) = (y – 3)(y +5)
Do doù P(x) = (x2 +5x + 1)(x2 + 5x + 9)
Tổng quát: Nếu đa dạng P(x) = (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2) thoả
mãn a1b1 = c1d1 a1b2 + a2b1 = c1d2 +c2d1 đặt y =(a1x + a2)(b1x + b2) biến
đổi
Đa thức dạng: P(x) = (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2)
với a1b1 = c1d1 a2b2 = c2d2
Ví dụ: Phân tích P(x) = (3x +2)(3x – 5)(x – 9)(9x + 10) + 24x2 thành nhân
tử
Giải: Dễ thấy a1b1 =3.3 = 9.1 = c1d1 a2b2 = 2.(-5) =(-1).10 =c2d2
P(x) = (9x2 – 9x – 10)(9x2 + 9x – 10) + 24x2
Đặt y = (3x +2)(3x – 5) = 9x2 – 9x – 10 P(x) trở thành:
Q(y) = y(y + 10x) = 24x2
Tìm m.n = 24x2 m + n = 10x ta chọn m = 6x , n = 4x
Ta được: Q(y) = y2 + 10xy + 24x2
= (y + 6x)(y + 4x)
Do doù P(x) = ( 9x2 – 3x – 10)(9x2 – 5x – 10).
Đa thức dạng: P(x) = ax4 +bx3 + cx2 + kbx + a với k = k = -1
Cách giải: Đặt y = x2 + k biến đổi P(x) dạng chứa hạng tử ay2 +
bxy sử dụng HĐT (*).
Ví dụ: Phân tích P(x) = 2x4 + 3x3 – 9x2 – 3x + thành nhân tử. Giải: Đặt y = x2 – suy y2 = x4 – 2x2 + 1
Biến đổi P(x) = 2(x4 – 2x2 + 1) + 3x3 – 5x2 – 3x
= 2(x2 – 1)2 + 3x( x2 – 1) – 5x
Từ Q(y) = 2y2 + 3xy – 5x2
Tìm m, n cho m.n = - 10x2 vaø m + n = 3x choïn m = 5x , n = - 2x
Ta coù : Q(y) = 2y2 + 3xy – 5x2
= 2y2 – 2xy + 5xy – 5x2
= 2y(y – x) + 5x(y – x) = ( y – x)( 2y – 5x)
(12)Đa thức dạng: P(x) = x4 + bx3 + cx2 + dx + e với e = d2/b2
Cách giải: Đặt biến phụ y = x2 + d/b biến đổi P(x) dạng chứa hạng
tử y2+ bxy sử dụng HĐT (*).
Ví dụ: Phân tích P(x) = x4 - x3 – 10x2 + 2x + thành nhân tử. Giải: Dễ thấy b = 1, d = 2, e =4 đặt y = x2 – suy y2 = x4 – 4x2 + 4
Biến đổi P(x) = x4 – 4x2 + – x3 – 6x2 + 2x
= (x2 – 2)2 – x(x2 – 2) – 6x2
Từ Q(y) = y2 – xy – 6x2
Tìm m, n cho m.n = - 6x2 vaø m + n = - x choïn m = 2x, n = -3x
Ta coù Q(y) = y2 + 2xy – 3xy – 6x2
= y(y + 2x) – 3x(y + 2x) = (y + 2x)(y – 3x)
Do doù, P(x) = (x2 + 2x – 2)(x2 – 3x – 2).
* Nếu đa thức P(x) có chứa ax4 thì xét đa thức Q(x) = P(x)/a theo cách
treân
Đa thức dạng P(x) = (x + a)4 + ( x + b)4 +c
Cách giải: Đặt biến phụ y = x + ( a + b)/2 biến đổi P(x) dạng mx4 + nx2 + p
Ví dụ: Phân tích P(x) = (x – 3)4 + ( x – 1) 4 – 16 thành nhân tử.
Giải: Đặt y = x – lúc dó P(x) trở thành Q(y) = (y – 1)4 + ( y + 1) 4 – 16
= 2y4 + 12y2 – 14
= 2(y2 + 7)( y2 – 1)
= 2(y2 + 7)(y – 1)(y + 1)
Do doù P(x) = 2(x2 – 4x + 11)(x – 3)(x – 1).
BÀI TẬP: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
7) A(x) = (48x2 + 8x – 1)(3x2 + 5x + 2) – 4
8) B(x) = (12x – 1)(6x – 1)(4x – 1)(3x – 1) – 330 9) C(x) = 4(x2 + 11x + 30)( x2 + 22x + 120) – 3x2
10) D(x) = (7 – x)4 + ( – x)4 –
11) E(x) = x4 – 9x3 + 28x2 – 36x + 16
12) F(x) = x4 – 3x3 – 6x2 + 3x + 1
IV PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH
Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x3 – 19x – 30 b) x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1 Giải:
a) Kết tìm phải có dạng: (x + a)(x2 + bx + c) = x3 + (a +b)x2 + (ab +c)x + ac
Ta phải tìm a, b, c thoả mãn:
x3 – 19x – 30 = x3 + (a +b)x2 + (ab +c)x + ac
(13)a + b = ab + c = 19 ac = - 30
Vì a,c thuộc số ngun vá tích ac = - 30, a, c ước - 30 hay a,c = ±1, ±2, ±3, ±5, ±6, ±10, ±15, ±30
a = 2, c = 15 b = - thoả mãn hệ Đó số phải tìm tức x3 – 19x – 30 = (x + 2)(x2 – 2x – 15)
b) Dễ thấy ±1 nghiệm đa thức nên đa thức khơng có nghiệm ngun, khơng có nghiệm hữu tỉ Như nến đa thức cho phân tích thành nhân tử phải có dạng:
(x2 + ax + b)( x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad +bc)x +bd
Đồng đa thức với đa thức cho, ta có
x4 + 6x3 +7x2 + 6x + =x4 +(a + c)x3 + (ac + b +d)x2 + (ad + bc)x +bd
a + c = ac + b + d =7 ad + bc = bd =
Từ hệ tìm được: a = b = d = , c =
Vaäy: x4 + 6x3 +7x2 + 6x + = (x2 + x + 1)(x2 + x + 5).
V TÌM NGHIỆM CỦA ĐA THỨC
Nếu đa thức P(x) có nghiệm x = a ta phân tích P(x) thành tích hai thừa số (x – a) Q(x)
P(x) = (x – a) Q(x)
Muốn tìm thừa số Q(x), ta chia đa thức cho nhị thức (x – a)
Nếu đa thức P(x) có hai nghiệm phân biệt x = a x = b ta phân biệt đa thức P(x) thành tích ba thừa số (x – a), (x – b) Q(x)
P(x) = (x – a)(x – b) Q(x)
Muốn tìm Q(x), ta chia đa thức P(x) cho tích số (x – a)(x – b) = x2 + (a + b)x
+ab, ta có thương phép chia Q(x)
Nếu đa thức P(x) có nghiệm số kép x1 = x2 = a thìsao?
Thế nghiệm số kép?
Giả sử P(x) có nghiệm x = a suy P(x) = (x – a)Q(x) Q(x) lại có nghiệm x = a suy Q(x) = (x – a) R(x) Do đó, ta có: P(x) = (x – a)2R(x).
Ta nói đa thức P(x) có nghiệm kép x1 = x2 = a
Vậy: Nếu đa thức P(x) có nghiệm kép x1 = x2 = a P(x) = (x – a)2R(x) Ví dụ: Phân tích đa thức P(x) = x3 – 2x – thành nhân tử
Giải: Ta nhận thấy đa thức P(x) = x3 – 2x – có số nghiệm x = 2
(14)Chia đa trhức P(x) = x3 – 2x – cho nhị thức x – , ta thương số là
Q(x) = x2 + 2x +2 = (x + 1)2 +1
Suy P(x) = (x – 2)(x2 + 2x + 2)
Vậy P(x) = x3 – 2x – = ( x- 2)(x2 + 2x + 2) Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
P(x) = x4 + x3 – 2x2 – 6x –
Giải: Ta nhận thấy đa thức P(x) có nghiệm phân biệt -1 Vì P(-1) = P(2) =
Do P(x) = (x – 1)(x – 2)Q(x)
Chia đa thức P(x) cho tam thức (x + 1)(x – 2) = x2 – x – , ta thương
đúng phép chia là: Q(x) = x2 + 2x + = (x + 1)2 + 1
Suy ra: P(x) = (x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 2)
Vaäy : P(x) = (x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 2).
VI QUY TAÉT HÓT – NƠ (HORNER)
Quy tắt Hót – Nơ giúp chia nhanh đa thức cho nhị thức bậc
Bài toán: Giả sử chia đa thức
P(x) = a0xn + a1xn -1 + a2xn – + a3xn – + … + an chia nhị thức x - a
Bậc đa thức thương Q(x) nhỏ bậc P(x) đơn vị Q(x) = b0xn – + b1xn – + b2xn – + …… + bn -
Số dư r số bậ r < bậc (x – a)
Ta coù: a0xn + a1xn – + a2xn – + … + an = (x – a)(b0xn -1 + b1xn – + … + bn – 1) + r
Cân hệ số, ta coù: b0 = a0
b1 = a1 + ab0
b2 = a2 + ab1
b3 = a3 + ab2
……… bn – = an – + abn -
r = an + abn -1
Ta xếp thành bảng sau:
a0 a1 a2 ……… an - an
a b0 = a0 b1 = a1 +ab0 b2 = a2 +ab1 bn – = an -1 + abn - r = an + abn -1 Ví dụ: Phân tích đa thức P(x) = 3x4 – 4x3 + thành nhân tử.
Giải: Ta có P(1) = – + =
(15)P(x) = (x – 1)Q1(x)
Ta xác định Q1(x) quy tắt Hót – Nô
3 -4 0
1 -1 -1 -1 r = p(1)
=
Do Q1(x) = 3x3 – x2 – x –
Nhận xét Q1(x) = suy Q1(x) = (x – 1)Q2(x)
Ta xác định Q2(x) cách sử dụng quy tắt Hót – Nơ:
3 -1 -1 -1
1
Suy ra: Q2(x) = 3x2 + 2x + 1, khơng phân tích thành nhân tử
(16)