a/ Chứng minh rằng các đường thẳng AC, BD, EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.. b/ Gọi giao điểm của AC với DE và BF theo thứ tự là M và N.[r]
(1)TRƯỜNG THCS LAM SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG – LẦN NĂM HỌC 2014 - 2015 Môn thi: Toán lớp Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (2 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 5x2 - 26x + 24 c) x2 + 6x + 3 x x x b) d) x4 + 2015x2 + 2014x + 2015 Bài 2: (1,5 điểm) a) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến: 7 3x 4 (6 x + 7)(2 x – 3) – (4 x + 1) x y b) Tính giá trị biểu thức P = x y Biết x – y = c) Tìm số dư phép chia biểu thức thức x 10 x 21 A x y (x + y ≠ 0, y ≠ 0) x x x x 8 2015 cho đa 4xy 1 : y x y x y xy x Bài (1,25 điểm): Cho biểu thức a) Tìm điều kiện x, y để giá trị A xác định b) Rút gọn A c) Nếu x; y là các số thực làm cho A xác định và thoả mãn: 3x + y2 + 2x – 2y = 1, hãy tìm tất các giá trị nguyên dương A? Bài : (2 điểm) Giải các phương trình sau: a) x3 - 2x2 - 5x + = c) + = + x +5 x+ x +10 x +24 x +3 x −18 b) |5 −3 x|=3 x − d, x2 – y2 + 2x – 4y – 10 = với x,y nguyên dương Bài : (2,75 điểm) Cho hình vuông ABCD Qua A vẽ hai đường thẳng vuông góc với cắt BC P và R, cắt CD Q và S a) Chứng minh Δ AQR và Δ APS là các tam giác cân b) QR cắt PS H; M, N là trung điểm QR và PS Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật c) Chứng minh P là trực tâm Δ SQR d) Chứng minh MN là đường trung trực AC e) Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng Bài : (0,5 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015 b) Cho hai số a,b thỏa mãn điều điều kiện a + b = Chứng minh a + b + ab 3 - Hết -1 (2) HƯỚNG DẪN CHẤM THANG ĐIỂM 2 Bài a) 5x - 26x + 24 = 5x - 6x - 20x + 24 = x(5x - 6) - 4(5x - 6) = (5x - 6)(x 0,5 điểm (2 - 4) 3 điểm) 0,5 điểm 1 1 1 1 3 BÀI NỘI DUNG x 1 x x x 3. x 3. x .1 2 = = 2 c) x2 + 6x + = x2 + x + 5x + = x(x + 1) + 5(x + 1) = x 1 x 5 b) x d) x4 + 2015x2 + 2014x + 2015 = x4 + x3 + x2 – x3 – x2 – x + 2015x2 + 2015x +2015 = x2 (x2 + x + 1) – x(x2 + x + 1) + 2015(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 – x + 2015) 7 Bài 3x (1,5 a) ( x + 7)(2 x – 3) – (4 x + 1) = 12x2 – 18x + 14x - 21 – 12x2 + điểm) 77 7x – 3x + = b) x2 – 2y2 = xy x2 – xy – 2y2 = (x + y)(x – 2y) = 2y y y Vì x + y ≠ nên x – 2y = x = 2y Khi đó A = y y y P( x) x x x x 2015 x 10 x 16 x 10 x 24 2015 c) Đặt t x 10 x 21 (t 3; t 7) , biểu thức P(x) viết lại: 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm P ( x) t t 3 2015 t 2t 2000 Do đó chia t 2t 2000 cho t ta có số dư là 2000 Bài a) Điều kiện: x y; y 0 0,25 điểm (1,25 b) A = 2x (x+y) 0,5 điểm điểm) c) Cần giá trị lớn A, từ đó tìm tất các giá trị 0,25 điểm nguyên dương A Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = 2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) =1 2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + = A + (x – y + 1)2 = A = – (x – y + 1)2 2 (do (x – y + 1) 0 (với x ; y) A x y 0 2x x y 2 x y;y 0 + A = (x y 1)2 1 2x x y 1 x y;y 0 + A = x y Từ đó, cần cặp giá trị 0,25 điểm (3) 21 x y x và y, chẳng hạn: + Vậy A có thể có giá trị nguyên dương là: A = 1; A = Bài a) x3 - 2x2 - 5x + = x3 - x2 - x2 + x - 6x + = (x - 1)(x2 - x - 6) 0,5 điểm (2 x 1 điểm) x = (x - 1)(x + 2)(x - 3) = x 3 5 x 3x x 3 x x 0 x b) 0,5 điểm c) ĐKXĐ: x ≠ -1; -4; -6; 0,25 điểm x 1 x x x x 3 x 1 1 x 1 x x x x x x 3 x 1 x 3 x 1 x 1 x 3 x 1 x x 1 x 3 x 1 x 3 x x 0 x x 0 x = x = (thỏa mãn điền kiện) Vậy tập nghiệm phương trình: S = d, x2 – y2 + 2x – 4y – 10 = với x,y nguyên dương x2 - y2 + 2x - 4y - 10 = (x2+2x+1) - (y2+4y+4) – = (x+1)2 - (y+2)2 = (x – y - 1)(x + y + 3) = Vì x, y nguyên dương Nên x + y + > x – y – > x + y + = và x – y – = x = 3; y=1 Phương trình có nghiệm dương (x , y) = (3 ; 1) Bài Vẽ đúng hình, cân đối đẹp (2,75 a) a) Δ ADQ = Δ ABR vì chúng là hai điểm tam giác vuông (2 góc có cạnh t.ư vuông góc) và DA = BD (cạnh hình vuông) Suy AQ=AR, nên Δ AQR là tam giác vuông cân Chứng minh tương tự ta có: Δ ABP = Δ ADS đó AP =AS và Δ APS là tam giác cân A b) AM và AN là đường trung tuyến tam giác vuông cân AQR và APS nên AN SP và AM RQ 0,25 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm Mặt khác : PAN PAM = 450 nên góc MAN vuông Vậy tứ giác AHMN có ba góc vuông, nên nó là hình chữ nhật (4) c) Theo giả thiết: QA RS, RC SQ nên QA và RC là hai đờng cao 0,25 điểm Δ SQR Vậy P là trực tâm Δ SQR d) Trong tam giác vuông cân AQR thì MA là trung điểm nên AM = 0,25 điểm QR ⇒ MA = MC, nghĩa là M cách A và C Chứng minh tương tự cho tam giác vuông cân ASP và tam giác vuông 0,5 điểm SCP, ta có NA = NC, nghĩa là N cách A và C Hay MN là trung trực AC e) Vì ABCD là hình vuông nên B và D cách A và C Nói cách khác, bốn điểm M, N, B, D cùng cách A và C nên chúng phải nằm trên đường trung trực AC, nghĩa là chúng thẳng hàng Bài a) A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015 = y2 + 4xy - 2y + 13x2 - 16x + (0,5 2015 0,25 điểm 2 2 điểm = y + 2y(2x - 1) + (2x -1) + 9x - 12 x + 2015 = (y + 2x - 1) + (3x - 2) + 2010 Chứng tỏ A 2010, dấu " =" xảy và (x = ; y = ) Vậy A = 2010 (x = ; y = ) 1 b) Ta có a3+ b3 + ab (1) a3+b3+ab - 0 (a+b)(a2+ b2-ab) + ab- 0,25 điểm 2 0 a +b - 0 (vì a + b =1) 2a2+2b2-1 0 2a2+2(1-a)2-1 0 (vì b = 1- a) 1 4 a a 2a2+2 - 4a + 2a2 - 0 4(a2- a + ) 0 (2) đpcm (5) TRƯỜNG THCS LAM SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (4,0 điểm) Phân tích thành nhân tử: a/ a2 – 7a + 12 b/ x4 + 2015x2 + 2014x + 2015 c/ x3 + y3 + z3 – 3xyz d/ (x2 - 8)2 + 36 Bài 2: (4,0 điểm) Tìm x, biết: x 12 a/ ; x 4 c/ ; Bài 3: (2,0 điểm) : x b/ 4 ; x x x x 1 d/ 2011 2012 2013 2014 a 4a a/ Cho A = a 2a 4a Tìm a Z để A là số nguyên b/ Tìm số tự nhiên n để n5 + chia hết cho n3 + Bài 4: (2,0 điểm) a b3 c a/ Tìm a, b, c biết 5a - 3b - 4c = 46 và b/ Tìm số hữu tỉ a và b biết: a + b = ab = a : b (b 0) Bài 5: (2,0 điểm) 1 2 a/ Cho a + b + c = và a b c = Tính a b c 1 1 b/ Cho a + b + c = 2014 và a b a c b c 2014 a b c Tính: S = b c a c a b Câu 6: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc A nhỏ 90 Trên nửa mặt phẳng không chứa điểm C, bờ là đường thẳng AB vẽ AF vuông góc với AB và AF = AB Trên nửa mặt phẳng không chứa điểm B, bờ là đường thẳng AC vẽ AH vuông góc với AC và AH = AC Gọi D là trung điểm BC Trên tia đối tia DA lấy điểm I cho DI = DA Chứng minh rằng: a/ AI = FH ; b/ DA FH Bài 7: (2 điểm)Cho hình bình hành ABCD có E, F thứ tự là trung điểm AB, CD a/ Chứng minh các đường thẳng AC, BD, EF cắt trung điểm đường b/ Gọi giao điểm AC với DE và BF theo thứ tự là M và N Chứng minh EMFN là hình bình hành A x 1 x 3 x x 10 Bài 8: (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ của: x HẾT - (6) HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN MÔN: TOÁN Bài 1: (4 điểm) a/ a2 – 7a + 12 = a2 – 3a – 4a + 12 = a(a – 3) – 4(a – 3) = (a – 3)(a – 4) b/ x + 2015x + 2014x + 2015 = x4 + x3 + x2 + 2014x2 + 2014x + 2014 – x3 + = x2(x2 + x + 1) + 2014(x2 + x + 1)–(x – 1)(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x4 + 2014 – x + 1) = (x2 + x + 1)(x4– x + 2015) 3 3 c/ x + y + z – 3xyz = (x + y) – 3xy(x + y) + z3 – 3xyz = = (x + y + z)3 – 3z(x + y)(x + y + z) – 3xy(x + y + z) = (x + y + z)[(x + y + z)2 – 3z(x + y) – 3xy] = (x + y + z)[x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx – 3zx – 3zy – 3xy] = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) d/ (x2 - 8)2 + 36 = (x2+ 6x+10)(x2 -6x +10) Bài 2: (4 điểm) 2 x 12 x 16 x 24 a/ Vậy x = -24 1 15 15 1 : x : x x : x 4 4 15 Vậy x = 15 b/ 4 x 4 c/ Xét trường hợp: * Nếu x 5/3 ta có: 3x - = 3x = x = (t/m ĐK trên) * Nếu x < 5/3 ta có: 3x-5 = - 3x = x = 1/3 (t/m ĐK xét) Vậy x = ; x = 1/3 x x x x 1 x x x x 1 1 1 1 1 2011 2012 2013 2014 d/ 2011 2012 2013 2014 x 2015 x 2015 x 1015 x 2015 2011 2012 2013 2014 1 x 2015 0 2011 2012 2013 2014 1 1 x 2015 0 x 2015 vì 0 2011 2012 2013 2014 Vậy x = - 2015 Bài 3: (2,0 điểm) a/ Rút gọn A = a a = 1; a = a nguyên Để A nguyên b/ n5 + n3 + n2 (n3 + 1) - (n2 - 1) (n3 + 1) (n + 1)(n - 1) (n3 + 1) (7) (n + 1)(n - 1) (n + 1)(n2 – n + 1) (n - 1) (n2 – n + 1) (vì n + 0) + Nếu n = thì 1 + Nếu n > thì (n - 1) < n(n - 1) + < n2 – n + nên không thể xảy n - n2 – n + Vậy giá trị n tìm là n = Bài 4: (2,0 điểm) a/ Ta có: a b c 5a 3b 4c 20 10 12 24 a b c 5a 3b 4c 20 10 12 24 Vì 5a - 3b - 4c = 46 nên: a b c 46 52 2 26 26 Suy a - = - a = -3; b + = - b = -11; c - = -12 c = - Vậy a = -3; b = - 11 ; c = - b/ Ta có a + b = ab a = ab - b = b(a-1) Do đó: a : b = b(a - 1) = a - nên a + b = a - b = -1 và a = -1(a - 1) a = -a + 2a = a = 0,5 Vậy a = 0,5 ; b = -1 Bài 5: (2,0 điểm) a/ Phân tích giả thiết để suy đfcm 1 Phân tích a b c Phần nào có a+b+c thì thay = 1 1 b/ Ta có: a b a c b c 2011 a + b + c = 2014 a = 2014- (b + c); b = 2014-(a + c); c = 2014 - (a + b) Do đó: 2014 b c 2014 a c 2014 a b S b c a c a b 2014 2014 2014 1 1 1 b c a c a b 1 2014 b c a c a b 2014 1 2014 = Vậy S = - Câu 6: (3,0 điểm) H K A F B D C (8) a/ - Xét BDI và CDA có: DB = DC (gt), BDI CDA (đối đỉnh), DA = DI (gt) BDI = CDA (c.g.c) BI = CA (2 cạnh tương ứng), BID CAD (2 góc tương ứng) Mặt khác góc này vị trí so le nên suy BI//AC - Xét ABI và FAH có: AB=AF (gt), ABI FAH (cùng bù với BAC ), BI = AH (cùng = AC) ABI = EAH (c.g.c) AI = FH (2 cạnh tương ứng) b/ Gọi K là giao điểm DA và FH ta có: BAI FAK 900 , mà AFH BAI hay AFK BAI nên AFH FAK 90 - Xét AFK có AFH FAK 90 FKA 900 AK FK AI FH (vì I, K thuộc đường thẳng AD, K thuộc EH) Bài 7: (2 điểm) a/ E A // - Hình vẽ: - Gọi O là giao điểm hai đường chéo hình bình hành M ABCD, ta có O là trung điểm BD O - Chứng minh BEDF là hình bình hành - Có O là trung điểm BD nên O là trung điểm N EF // // D - Vậy EF, BD, AC đồng quy O F OM OA b/ Xét ABD có M là trọng tâm, nên ON OC - Xét BCD có N là trọng tâm, nên - Mà OA = OC nên OM = ON - Tứ giác EMFN có OM = ON và OE = OF nên là hình bình hành Bài 8: (1 điểm) A x x x x x 12 10 // B C Đặt x x = t A t t t 10 t 6t t 3 1 A t Min 1 đạt t = -3 A x Min 1 đạt x x = -3 13 13 x2 - 7x + = x = 2 ;x= (9) PGD&ĐT THỌ XUÂN TRƯỜNG THCS LAM SƠN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN THỨ BA - NĂM HỌC 2014-2015 Môn thi: Toán Lớp Thời gian làm bài: 150 phút Bài (3,5 điểm) Phân tích các đa thức thành nhân tử: x 1) 18x3 - 25 2) a(a + 2b)3 - b(2a + b)3 3) (x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + Bài (2,5 điểm) x 1 x 3 : Cho biểu thức: A = x x 2 x x 1) Hãy tìm điều kiện x để giá trị biểu thức A xác định 2) Chứng minh giá trị biểu thức xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị biến x Bài (3,0 điểm) 1) (1,5 điểm) Cho a, b, c đôi khác thoả mãn: ab + bc + ca = 2 a b b c c a a b2 c Tính giá trị biểu thức: A = x y a b x y a b 2) (1,5 điểm) Cho Chứng minh với số nguyên dương n ta có: xn + yn = an + bn Bài (3,0 điểm) 1) Tìm x: x x x 4 x a) b) (x2 – 5x + 6) x = 2) Tìm x, y biết: 7x2 + y2 + 4xy – 24x – 6y + 21 = Bài (3,0 điểm) 1) (1,5 điểm) Tìm dư chia x2015 + x1945 + x1930 - x2 - x + cho x2 - 2) (1,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = (x2 + 3x + 4)2 Bài (5,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm cạnh AD, BC Đường chéo AC cắt đường chéo BD O và các đoạn BE, DF P, Q 1) Chứng minh rằng: P là trọng tâm tam giác ABD 2) Chứng minh rằng: AP = PQ = QC (10) 3) Lấy M thuộc đoạn DC Gọi I, K theo thứ tự là các điểm đối xứng M qua tâm E, F Chứng minh I, K thuộc đường thẳng AB 4) Chứng minh: AI + AK không đổi M thuộc đường thẳng AB HẾT PGD&ĐT THỌ XUÂN TRƯỜNG THCS LAM SƠN Bài HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG CẤP TRƯỜNG LẦN THỨ BA - NĂM HỌC 2014-2015 Môn: Toán Lớp Câu Nội dung x 9x 25 18x3 - 25 = 2x 2 2 2 x 3x x 5 5 3 a(a + 2b) - b(2a + b) = a[(a + b) + b]3 - b[a + (a + b)]3 = a[(a + b)3 + 3(a + b)2b + 3(a + b)b2 + b3] - b[a3 + 3a2(a + b) + + 3a(a + b)2 + (a + b)3 = a(a + b) + 3ab(a + b)2 + 3ab2(a + b) + ab3 - a3b - 3a2b(a + b) – - 3ab(a + b)2 - b(a + b)3 = a(a + b) + 3ab2(a + b) + ab3 - a3b - 3a2b(a + b) - b(a + b)3 = (a + b)[a(a + b)2 + 3ab2 -ab(a - b) - 3a2b -b(a + b)2] = (a + b)(a3 + 2a2b + ab2 + 3ab2 - a2b + ab2 - 3a2b - a2b - 2ab2 - b3] = (a + b) (a3 - 3a2b + 3ab2 - b3) = (a + b)(a - b)3 Đặt A = (x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + A = (x – 2)(x – 5)(x – 4)(x – 5) + = (x2 – 7x + 10)(x2 – 7x + 12) + = (x2 – 7x + 11 – 1)(x2 – 7x + 11 + 1) + = (x2 – 7x + 11)2 – + = (x2 – 7x + 11)2 Biểu điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 1,0 7 49 11 x2 – 7x + 11 = x2 – 2x 2 7 5 x = = 7 7 x x 2 7 7 x x Vậy A = a) Giá trị biểu thức A xác định với điều kiện: 0,5 0,5 (11) x 0 2 x 0 x 4 x 0 x 1 x 1 x 1 x Với x 1 , ta có: x 1 x 4x2 A = ( x 1)( x 1) 2( x 1) 2( x 1) ( x 1) ( x 3)( x 1) 4( x 1)( x 1) 2( x 1)( x 1) = 2 (6 x x x x 3).2 = =4 Vậy giá trị biểu thức xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị biến Ta có: + a2 = ab + bc + ca + a2 = a(a + b) + c(a + b) = (a + b)(c + a) Tương tự: + b2 = (b + a)(b + c) và + c2 = (c + a)(c + b) n n n Nếu b – y = y b x a y a b x y b a x b x y a b y a Nếu x + a = y + b n Do đó: xn + yn = bn + an = an + bn Vậy trường hợp, ta có: xn + yn = an + bn 0,5 0,5 0,5 (b c) (c a) 1 Do đó: A = ( a b)( a c)(b a )(b c)(c a)(c b) Từ x2 + y2 = a2 + b2 (x2 – a2) + (y2 – b2) = (x – a)(x + a) + (y – b)(y + b) = Bởi vì: x + y = a + b x – a = b – y, vào ta có: (b – y)(x + a) + (y – b)(y + b) = (b – y)[(x + a) – (y + b)] = b y 0 x a y b a b 1,0 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 x x x 4 x 1.a) 1.b) (1) Vế trái luôn luôn không âm với x nên 4x x 0 x nên x + > 0, x + > 0, x + > x x 1, x x 3, x x Do đó: (1) x + + x + + x + = 4x x = Vậy x = (x2 – 5x + 6) x = (1) Điều kiện: – x ⇔ x ≤1 (*) (1) ⇒ x2 – 5x + = √ 1− x = ⇒ (x – 2)(x – 3) = – x = ⇒ x = x = x = Các giá trị x = 2, x = không thỏa mãn điều kiện (*) Vậy x = 0,25 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 (12) 7x2 + y2 + 4xy – 24x – 6y + 21 = y2 + 4xy – 6y + 7x2 – 24x + 21 = y2 + 2y(2x – 3) + (2x – 3)2 + 3x2 – 12x + 12 = (y + 2x – 3)2 + 3(x2 – 4x + 4) = (y + 2x – 3)2 + 3(x – 2)2 = y x 0 x 0 (vì (y + 2x – 3)2 và 3(x – 2)2 0) x 2 y Vậy x = 2; y = -1 2015 1945 1930 0,5 0,5 Đặt f(x) = x + x + x - x - x + cho x – Gọi thương chia f(x) cho x2 – là Q(x), dư là ax + b Ta có: f(x) = (x2 – 1).Q(x) + ax + b Đẳng thức trên đúng với x nên: - Với x = ta được: f(1) = a + b a + b = (1) - Với x = -1 ta được: f(-1) = -a + b -a + b = (2) Từ (1) và (2) suy ra: a = 1, b = Dư phải tìm là x + 3 +4− Ta có: A = x2 + 3x + = x2 + 2x + = x+ + 2 4 2 3 7 Với x, ta có: x + ≥ ⇒ x+ + ≥ >0 2 4 49 ⇒ A≥ = =12, 25 3 Dấu “=” xảy x+ =0 ⇔ x=− 2 Vậy minA = 12,25 x = ( ) 2 0,5 () ( ) ( ) () 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 1 Vì ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC, BD cắt O là trung điểm đường Ta có: AO, BE là trung tuyến ABD Mà: AO cắt BE P nên P là trọng tâm ABD 2 1 AP AO AC AC 3 Theo câu 1) P là là trọng tâm ABD CQ AC Tương tự, ta có: AC Do đó: PQ = AC – AP – CQ = 0,5 0,5 0,5 0,5 (13) Vậy AP = PQ = QC Vì I đối xứng với M qua E nên EI = EM Ta có: AE = ED, EI = EM AMDI là hình bình hành AI // MD (1) Chứng minh tương tự, ta có: BK // MC (2) Từ (1), (2) và (3) suy I, A, B, K thẳng hàng hay I, K thuộc đường thẳng AB KMI có E, F là trung điểm MI, MK EF là đường trung bình KMI EF= KI KI = 2.EF Suy AI + AK = IK = 2.EF (4) BF // AE và AF = AE Tứ giác ABFE là hình bình hành EF = AB (5) Từ (4) và (5) suy ra: AI + AK = 2.AB không đổi M di động trên cạnh CD Ghi chú: Nếu học sinh làm cách khác mà đúng thì cho điểm tối đa 0,5 0,5 0,5 0,5 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Môn thi: Toán Lớp Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ Mà SỐ 01 Câu (3,0 điểm) Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a) 12x3 + 16x2 - 5x - b) (x2 - x + 1)2 - 5x(x2 - x + 1) + 4x2 Câu (3,0 điểm) a) Chứng minh rằng: Nếu x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx thì x = y = z a b2 c a c b 2 b) Cho ba số a, b, c khác thoả mãn: b c a c b a Chứng minh a = b = c Câu (4,0 điểm) Giải các phương trình: a) 2x 2x =4 (1) x 3 x x 9 0 6 x x x b) 2 Câu (4,0 điểm) 2 1 1 x y 8 y a) Cho x, y > thoả mãn x + y = Chứng minh rằng: x 2015 x3 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = , với x là số nguyên Câu (6,0 điểm) Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt BD E và cắt CD K Qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt AC F và cắt CD I Chứng minh rằng: a) DK = CI b) EF // CD c) AB2 = CD.EF (14) HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014 – 2015 Môn : Toán Lớp PGD & ĐT THỌ XUÂN ĐỀ Mà SỐ 01 Câu Nội dung a) 12x3 + 16x2 - 5x - = 12x3- 6x2 + 22x2 - 11x + 6x - = 6x2(2x -1) + 11x(2x - 1) + 3(2x - 1) = (2x - 1)(6x2 + 11x + 3) = (2x - 1)(6x2 + 9x + 2x + 3) = (2x - 1)[3x(2x + 3) + (2x + 3)] = (2x - 1)(2x + 3)(3x + 1) b) A = (x2 - x + 1)2 - 5x(x2 - x + 1) + 4x2 §Æt x2 - x + = y, ta cã A = 4x2 - 5xy + y2 = (4x - y)(x - y) = (4x - x2 + x - 1)(x -x2 + x - 1) = (x2 - 5x + 1)(x2 - 2x + 1) = (x - 1)2(x2 - 5x + 1) 21 21 x x = (x - 1) a) Ta có: x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx 2x2 + 2y2 + 2z2 = 2xy + 2yz + 2zx x2 – 2xy + y2 + y2 – 2yz + z2 + z2 – 2zx + x2 = (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = (1) 0 Ta có : (x – y) 0, (y – z) , (z – x)2 0 x y 0 y z 0 z x 0 Do đó: (1) x y z Đặt x = a2c, y = b2a, z = c2b Ta được: x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx Áp dụng kết câu a) ta được: (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = x=y=z a2c = b2a = c2b ac = b2; bc = a2; ab = c2 a = b = c (đpcm) a b c Cách 2: Đặt x = b , y = c , z = a Khi đó xyz = 2 0,25 0,5 1,5 0,5 0,25 0,25 0,5 1,0 0,5 0,25 2,0 a b c a c b 2 Cách Ta có: b c a c b a a4c2 + b4a2 + c4b2 = abc(a2c + c2a + b2c) 0,25 0,5 0,25 b) Có thể chứng minh hai cách sau: Điểm 1,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 (15) Ghi chú: Nếu học sinh làm cách khác mà đúng thì cho điểm tối đa ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Môn thi: Toán Lớp Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ Mà SỐ 02 Câu (2,0 điểm) x y z 3xyz 2 Rút gọn biểu thức: B = ( x y ) ( y z ) ( x z ) Câu (4,0 điểm) a) Tìm số dư phép chia đa thức (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + cho x2 + 8x + 12 b) Tìm số nguyên x cho x3 - 2x2 + 7x - chia hết cho x2 + Câu (4,0 điểm) Giải các phương trình: 3 1 3 x x x 0 4 a) 3 x 3 x x x 2 x x b) Câu (4,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ các biểu thức a) A = x x x 14x 8x b) B = 3x 6x Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A M, D tương ứng là trung điểm BC, AM H là hình chiếu M trên CD AH cắt BC N, BH cắt AM E Chứng minh rằng: a) Tam giác MHD đồng dạng với tam giác CMD b) E là trực tâm tam giác ABN Câu (2,0 điểm): Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD Gäi M lµ trung ®iÓm cña c¹nh CD vµ N lµ mét điểm trên đờng chéo AC cho BNM 90 Gọi F là điểm đối xứng A qua N Chứng minh r»ng FB AC ĐỀ Mà SỐ 02 Câu HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI Môn : Toán Lớp Nội dung Ta có: x3 - y3 - z3 - 3xyz = (x - y)3 + 3xy(x - y) - z3 - 3xyz = (x - y - z)3 + 3(x - y)z(x - y - z) + 3xy(x - y - z) = (x - y - z)[(x - y - z)2 + 3xz - 3yz + 3xy)] = (x - y - z)(x2 + y2 + z2 -2xy - 2xz + 2yz + 3xz - 3yz + 3xy) = (x - y - z)(x2 + y2 + z2 + xy - yz + xz) (x + y)2 + (y - z)2 + (x + z)2 Điểm 2,0 0,25 0,25 (16) Ghi chú: Nếu học sinh làm cách khác mà đúng thì cho điểm tối đa Môn thi: Toán Lớp ĐỀ Mà SỐ 03 Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (2 điểm)Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) (x + y + z) – x3 – y3 – z3 b) x4 + 2015x2 + 2014x + 2015 10 x x A : x x x x x2 Bài 2: (2,5 điểm) Cho biểu thức: a Rút gọn biểu thức A b Tính giá trị A , Biết |x| = c Tìm giá trị x để A < d Tìm các giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên 1 1 + + = x +9 x +20 x + 11 x+30 x +13 x +42 18 Bài : (2 điểm) a) Giải phương trình : b) Cho a , b , c là cạnh tam giác Chứng minh : A= a b c + + ≥3 b+c − a a+c −b a+b − c Bài 4: (3,5 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F là hình chiếu B và D xuống đường thẳng AC Gọi H và K là hình chiếu C xuống đường thẳng AB và AD a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? b) Chứng minh : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ Mà SỐ 03 x y z x y3 z3 Bài 1: (2 điểm) a) (x + y + z) – x3 – y3 – z3 = y z x y z x y z x x y z y yz z2 = y z 3x 3xy 3yz 3zx = =3 y z x x y z x y = x y y z z x (1 điểm) 4 b)x + 2015x + 2014x + 2015 = (x - x) + (2015x +2015x+2015) = x(x3- 1) + 2015 (x2+x+1) = x(x -1) (x2+x+1) )+ 2015 (x2+x+1) = (x2+x+1) [x(x -1) + 2015] = (x2+x+1) (x2 –x + 2015) (1 điểm) 10 x x A :x x x x x2 Bài 2: (2,5 điểm) Biểu thức: 1 A x a) Rút gọn kết qủa: (0,75 điểm) 1 1 x x x 2 b) (0,25 điểm) ⇒ A= A= c) A < ⇔ x - >0 ⇔ x >2 (0,75 điểm) (0,25 điểm) (17) d) A Z ⇔ −1 ∈Z x −2 ⇔ x-2 Ư(-1) ⇔ x-2 { -1; 1} ⇔ x {1; 3} (0,5 điểm) Bài 3: (2 điểm) a) (1đ) x2+9x+20= ( x+4)( x+5) ; x2+11x+30 = ( x+6)( x+5) ; x2+13x+42 = ( x+6)( x+7) ; (0,25 điểm) (0,25 điểm) ĐKXĐ : x ≠ − ; x ≠ −5 ; x ≠ − ; x ≠ −7 ¿ 1 1 + + = Phương trình trở thành : ( x+ 4)(x +5) (x+5)( x +6) ( x+6)(x +7) 18 ¿ 1 1 1 − + − + − = x + x +5 x +5 x +6 x+ x +7 18 1 − = (0,25 điểm) x + x +7 18 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0 Từ đó tìm x=-13; x=2; b) (1đ) Đặt b+c-a = x >0; c+a-b = y >0; a+b-c = z >0 y+z x+ z x+ y ; b= ; c= ; 2 y+z x+z x+ y y x x z y z vào ta A= x + y + z = ( x + y )+( z + x )+( z + y ) Từ đó suy A (2+2+2) hay A (0,25 điểm) (0,25 điểm) Từ đó suy a= [ (0,25 điểm) Thay ] (0,25 điểm) Bài 4: (3,5 điểm) a)Ta có : BE AC (gt); DF AC (gt) ⇒ BE // DF Chứng minh : BEO DFO( g c g ) ⇒ BE = DF Suy : Tứ giác : BEDF là hình bình hành b) Chứng minh: ∠ ABC= ∠ ADC ⇒ ∠ HBC= ∠ KDC điểm) ⇒ Δ CHB ∽ Δ CKD(g-g) ⇒ (0,5 điểm) (0,25 điểm) (0,25 Chứng minh : Δ CFD ∽ Δ AHC(g-g) ⇒ (1 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm) AF AD = ⇒ AD AK=AF AC AK AC Mà : CD = AB ⇒ (0,25 điểm) CH CB = ⇒CH CD=CK CB CK CD c)Chứng minh : Δ AFD ∽ Δ AKC(g-g) ⇒ (0,25 điểm) CF CD = AH AC CF AB = ⇒ AB AH=CF AC AH AC (0,25 điểm) (0,25 điểm) Suy : AB.AH + AD.AK = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (0,25 điểm) (18) H C B F O E A D K GIẢI MỘT SỐ ĐỀ THI Đề Bài 1: a) Thực phép chia: (x - 2x - 4) : (x2 + 2x + 2) b) Xác định a cho ax3 - 2x - chia hết cho x - c) Tìm nghiệm đa thức: x3 - 2x - a b c Bài 2: a) Tính S = (c a)(a b) (a b)(b c) (b c)(c a) 1 1 b) Chứng minh (3n 2)(3n 5) 3n 3n 150 150 150 150 47.50 c) Tính 5.8 8.11 11.14 Bài 3: Giải các phương trình x 1 x x 5 x 3 x x x x x x(x x 1) a) b) 1993 1995 1997 Bài 4: Cho ABC vuông A Vẽ phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD vuông cân B, ACE vuông cân C CD cắt AB M, BE cắt AC N a) Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng; các tứ giác BCE; ACBD là hình thang b) Tính DM biết AM = 3cm; AC = cm; MC = 5cm c) Chứng minh AM = AN Bài 5: Cho M là điểm nằm ABC , từ M kẻ MA’ BC, MB’ AC, MC’ AB MA ' MB ' MC ' hb hc = (A’ BC; B’ AC; C’ AB) Chứng minh rằng: h a (Với ha, hb, hc là ba đường cao tam giác hạ từ A, B, C xuống ba cạnh ABC ) Bài giải Bài 1: a) Thực phép chia: (x3 - 2x - 4) : (x2 + 2x + 2) = x - b) Xác định a cho ax3 - 2x - chia hết cho x - Vì ax3 - 2x - chia hết cho x - nên x = là nghiệm đa thức ax3 - 2x - , nên ta có: a 23 - 2 - = 8a - = a = c) Tìm nghiệm đa thức: x3 - 2x - Nghiệm đa thức là các giá trị x để (19) x 2x 0 x 0 x - 2x - = (x + 2x + 2)(x - 2) = +) x - = x = 2+) x2 + 2x + (x2 + 2x + 1) + = (x + 1)2 + = : Vô nghiệm Vì (x + 1)2 + > với x Bài 2: a b c a(b c) b(c a) c(a b) (c a)(a b)(b c) a) S = (c a)(a b) (a b)(b c) (b c)(c a) a(b c) b(c a) c(a b) ab ac bc ab ac bc 0 (c a)(a b)(b c) (c a)(a b)(b c) (c a)(a b)(b c) = 1 1 b) Chứng minh (3n 2)(3n 5) 3n 3n 1 1 3n (3n 2) Ta có: 3n 3n (3n 2)(3n 5) (3n 2)(3n 5) (3n 2)(3n 5) 150 150 150 150 47.50 c) Tính : 5.8 8.11 11.14 150 150 150 150 47.50 = áp dụng câu b ta tính 5.8 8.11 11.14 Bài 3: Giải các phương trình x 1 x1 x(x 1)(x x 1) x(x 1)(x x 1) 4 4 x(x x 1) x(x x 1) x(x x 1) (1) a) x x 1 x x 1 x(x x 1) ĐKXĐ: x(x4 + x2 + 1) x Vì x4 + x2 + > (1) x(x + 1)(x2 - x + 1) - x(x - 1)(x2 + x + 1) = x(x3 - 1) - x(x3 + 1) = x4 - x - x4 - x = - 2x = x = - x 5 x 3 x 7 x 5 x 3 x 1 1 0 1993 1995 1997 b) 1993 1995 1997 x = 2000 Bài 4: Cho ABC vuông A Vẽ phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD vuông cân B, ACE vuông cân C CD cắt AB M, BE cắt AC N a) Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng; các tứ giác BCE; ACBD là hình thang b) Tính DM biết AM = 3cm; AC = cm; MC = 5cm c) Chứng minh AM = AN Giải D A a) Chứng minh DAB + BAC + CAE = 1800 M D, A, E thẳng haøng N E b) Ñaët AB = c, AC = b BD // AC (cùng vuông góc với AB) MC AM AC AM AC neân MD MB BD MB + AM AC + BD AM AC AM AC AC AB AM AB AC + BD AB AC AB AC AB (1) B C (20) AM(AC + AB) = AC AB 3(4 + AB) = AB AB = 12 cm MB = cm MC AM MC.MB 5.9 MD 15 MA Từ MD MB cm c) AB // CE (cùng vuông góc với AC) nên AN AB AN AB NC CE NC + AN AB + CE AN AB AB AC AN AC AB + AC AB + AC (2) Từ (1) và (2) suy ra: AM = AN Bài 5: Cho M là điểm nằm ABC , từ M kẻ MA’ BC, MB’ AC, MC’ AB MA ' MB ' MC ' h h hc = b (A’ BC; B’ AC; C’ AB) Chứng minh rằng: a (Với ha, hb, hc là ba đường cao tam giác hạ từ A, B, C xuống ba cạnh ABC ) Giải Kẻ đường cao AH, ta có: A MA ' MA ' SMBC AH SABC (1) MB' SMCA MC ' SMBA hb SABC (2) và h c SABC (3) B' C' Tương tự: Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế, ta có: M MA ' MB' MC ' SMBC SMCA SMBA hb hc SABC SABC SABC SMBC SMCA SMBA SABC 1 S S ABC ABC = A' B H C ĐỀ Câu a) Trong ba số a, b, c có số dương, số âm và số 0; ngoài còn biết thêm a b (b c) Hỏi số nào dương, số nào âm, số nào b) Cho x + y = Tính giá trị biểu thức A = x3 + y3 + 3xy Câu 2: a) Giải phương trình: x 1 a b c 0 b c c a a b b) Giả sử a, b, c là ba số đôi khác và a b c 0 2 Chứng minh rằng: (b c) (c a) (a b) BAC Câu 3: Cho tam giác ABC; gọi Ax là tia phân giác , Ax cắt BC E Trên tia Ex lấy điểm H cho BAE ECH Chứng minh rằng: a) BE EC = AE EH b) AE2 = AB AC - BE EC (21) Câu 4: Cho tứ giác ABCD Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt BD E; từ B kẻ đường thẳng song song với AD cắt AC F Chứng minh rằng: EF // DC híng dÉn gi¶i C©u 1: a b (b c) a) V× nªn a vµ b v× NÕu a = b = hoÆc b = c V« lÝ NÕu b = a = V« lÝ c = a = b3 mµ a víi mäi a b > a < b) V× x + y = A = x3 + y3 + 3xy = x3 + y3 + 3xy (x + y) = (x + y)3 = a b c b ab + ac - c a b c = + 0 a-c b-a (a - b)(c - a) b-c C©u 2: b) Từ b - c c - a a - b a b ab + ac - c (a - b)(c - a)(b - c) (1) (Nhân hai vế với b - c ) (b - c) b c bc + ba - a c a ac + cb - b 2 Tương tự, ta có: (c - a) (a - b)(c - a)(b - c) (2) ; (a - b) (a - b)(c - a)(b - c) (3) Cộng vế (1), (2) và (3) ta có đpcm C©u 3: a) Ta cã BAE b) A HCE (g.g) BE AE BE.EC AE.EH EH EC (1) BAE HCE (g.g) ABE = CHE = CHA ABE BAE HAC (g.g) AE AB AB.AC AE.AH AC AH (2) C B E H x Trõ (1) cho (2) vÕ theo vÕ ta cã : AB AC - BE EC = AE.AH - AE EH AB AC - BE EC = AE (AH - EH) = AE AE = AE2 C©u 4: Goïi O laø giao ñieåm cuûa AC vaø BD B A OE OA = a) Vì AE // BC OB OC (1) OB OF = BF // AD OD OA (2) O E F D OE OF = Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: OD OC EG // CD C ĐỀ (22) Bài 1: Cho phân thức: 2x P = x x 20 x 1,5 a) Tìm TXĐ P b) Rút gọn P c) Tính giá trị P Bài 2: So sánh A và B biết: a) A = 2002 2004 và B = 20032 b) A = 3.(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) và B = 264 Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn AC Hạ CE vuông góc với AB, CF vuông góc với AD và BG vuông góc với AC Chứng minh: a) ACE ABG và AFC CBG b) AB AE + AD AF = AC2 Bài 4: Cho hình thoi ABCD cạnh a, có  = 600 Một đường thẳng qua C cắt tia đối tia BA và DA M và N a) Chứng minh: Tích BM DN có giá trị không đổi b) Gọi K là giao điểm BN và DM Tính số đo góc BKD Bài 5: Tìm nghiệm nguyên phương trình 4(x + y) = 11 + xy Giải Bài 1: a) Đkxđ: x2 + x - 20 (x - 4)(x + 5) x và x - 2x 2x b) P = x x 20 (x 4)(x 5) Nếu x > P = x 2 Nếu x < P = x x 1,5;(x 5) x 1,5 x 1,5;(x 5) c) x 6,5 x 3,5 2 20 Với x = 6,5 thì P = x 6,5 11,5 115 23 2 2 2 2 x 3,5 8,5 17 Với x = 3,5 thì P = Bài 2: a) A = 2002 2004 = (2003 - 1)(2003 + 1) = 20032 - < 20032 A < B b) Ta có: A = 3.(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) = (22 - 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) = (24 - 1)( 24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) = (28 - 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) = (216 - 1)(216 + 1)(232 + 1) = (232 - 1)(232 + 1) = 264 - < 264 A < B Bài 3: AE AC = AB AEC AG Ta coù AGB AB AE = AC AG (1) (23) AF CG CG = CB AD (vì CB = AD) AFC AC CGB AF AD = AC CG (2) Coäng (5) vaø (6) veá theo veá ta coù: AB AE + AF AD = AC AG + AC CG AB AE + AF AD = AC(AG + CG) = AC AC Vaäy: AB AE + AD AF = AC2 Bµi 4: MB CM = a) BC // AN BA CN (1) CM AD = CD// AM CN DN (2) MB AD = MB.DN = BA.AD = a.a = a Từ (1) và (2) suy BA DN MBD = BDN b) MBD vaø BDN coù = 120 MB MB CM AD BD = = = 600 BD BA CN DN DN (Do ABCD laø hình thoi coù A neân AB = BC = CD = DA) MBD BDN = BDK Suy M1 = B1 MBD vaø BKD coù BDM vaø M1 = B1 neân BKD = MBD = 120 đề A x 7x x2 C©u 1: Cho a) Rót gän A b) Tìm x để A = c) Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên C©u 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x + 1)2 = 4(x2 + 2x + 1) 1 1 C©u 3: Cho a, b, c tho· m·n: a b c a b c TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A = (a3 + b3)(b3 + c3)(c3 + a3) 1 C©u 4: Cho ABC cã A 2B 4C 4 Chøng minh: AB BC CA C©u 5: Cho ABC c©n t¹i A cã BC = 2a, M lµ trung ®iÓm cña BC LÊy D, E theo thø tù thuéc AB, B AC cho: DME a) Chứng minh rằng: tích BD CE không đổi b) Chøng minh r»ng DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BDE c) Tính chu vi ADE ABC là tam giác Híng dÉn 1 1 a +b a +b 1 1 + =0 + + =0 ab c(a + b + c) a b c a + b + c a b c a b c C©u 3: Tõ c(a + b + c) + ab = Û (a + b)(b + c)(c + a) = abc(a + b + c) Từ đó suy : A = (a3 + b3)(b3 + c3)(c3 + a3) = ( a + b)(b + c)(c + a) B = C©u : (a + b) VÏ tia CM (M AB) cho ACM (24) CAM vµ CBM lµ c¸c tam gi¸c c©n AB AB AM AB AM AB BM 1 BC AC CM CM CM CM AB AB 1 1 AB BC CA (v× BM = CM) BC AC B 2 4 C 3 C©u : M =B a) Ta coù DMC = DME + CME = B + BDM , maø DME (gt) CME = BDM B = C neân , kết hợp với ( ABC caân taïi A) suy BDM A 3 A CME (g.g) BD BM = BD CE = BM CM = a CM CE không đổi DM BD DM BD = = b) BDM CME ME CM ME BM = BMD (do BM = CM) DME DBM (c.g.c) MDE BDE E I D H K B hay DM laø tia phaân giaùc cuûa M C c) chứng minh tương tự ta có EM là tia phân giác DEC keû MH CE ,MI DE, MK DB thì MH = MI = MK DKM = DIM DK =DI EIM = EHM EI = EH Chu vi AED laø PAED = AD + DE + EA = AK +AH = 2AH (Vì AH = AK) MC a ABC là tam giác nên suy CH = AH = 1,5a PAED = AH = 1,5 a = 3a đề x −1 x +3 Câu : Giải phương trình: a) x −2 + x −4 + (x − 2) (4 − x) x − y ¿2 z − x ¿2 +¿ Câu : Cho x + y + z = Rút gọn : y − z ¿ + ¿ ¿ x2 + y2 + z2 ¿ Câu : Chứng minh không tồn x thỏa mãn : a) 2x4 - 10x2 + 17 = b) x4 - x3 + 2x2 - x + = b) DB 6x2 - x - = Câu : Cho tam giác ABC, điểm D nằm trên cạnh BC cho DC = ; OA điểm O nằm trên đoạn AD cho OD Gọi K là giao điểm BO và AC Tính tỉ số AK : KC Câu : Cho tam giác ABC có góc nhọn, trực tâm H Một đường thẳng qua H cắt AB, AC thứ tự P và Q cho HP = HQ Gọi M là trung điểm BC Chứng minh tam giác MPQ cân M Hướng dẫn giải (25) Câu 2: Từ x + y + z = x2 + y2 + z2 = - 2(xy + yz + zx) (1) Ta có: (x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 = 2(x2 + y2 + z2 ) - 2(xy + yz + zx) (2) Từ (1) và (2) suy ra: (x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 = - 6(xy + yz + zx) (3) Thay (1) và (3) vào biểu thức A ta có: - 2(xy + yz + zx) 6(xy + yz + zx) A= Câu 3: 17 25 a) 2x4 - 10x2 + 17 = 2( x4 - 5x2 + ) = 2(x4 - 2 x2 + )2 + = 9 2(x2 - )2 + = Vì 2(x2 - )2 + > với x nên không tồn x để 2x4 - 10x2 + 17 = b) x4 - x3 + 2x2 - x + = (x2 + 1)(x2 - x + 1) = Vì vế phải luôn dương với x nên không tồn x để x4 - x3 + 2x2 - x + = Câu 4: Từ D kẻ DM // BK áp dụng định lí Talét vào AOK ta có: AK AO KM OD (1) A K M KM CD CK DB (2) Tương tự, CKB thì: AK Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: CK O B Câu Goïi giao ñieåm cuûa AH vaø BC laø I Từ C kẻ CN // PQ (N AB), Tứ giác CNPQ là hình thang, có H là trung điểm PQ, hai cạnh bên NP và CQ đồng quy A nên K là trung điểm CN MK là đường trung bình BCN MK // CN MK // AB (1) H là trực tâm ABC nên CH A B (2) B Từ (1) và (2) suy MK CH MK là đường cao CHK (3) Từ AH BC MC HK MI là đường cao CHK (4) Từ (3) và (4) suy M là trực tâm CHK MH CN MH PQ MPQ có MH vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên cân M D C A N P H Q K M I C Đề m n n 1 n 1 Câu 1: a) Tìm các số nguyên m, n thoả mãn b) Đặt A = n3 + 3n2 + 5n + Chứng minh A chia hết cho với giá nguyên dương n trị (26) c) Nếu a chia 13 dư và b chia 13 dư thì a2+b2 chia hết cho 13 Câu 2: Rút gọn biểu thức: a) A= b) B= bc ca ab (a b)(a c) + (b c)(b a) + (c a)(c b) 1 x x x x 1 1 2 : x x x x 1 1 Câu 3: Tính tổng: S = 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 2009.2011 Câu 4: Cho số x, y, z, thoả mãn điều kiện xyz = 2011 Chứng minh biểu thức sau 2011x y z không phụ thuộc vào các biến x, y, z : xy 2011x 2011 yz y 2011 xz z 69 x 67 x 65 x 63 x 61 x Câu 5: Giải phương trình: 1942 1944 1946 1948 1950 Câu 6: Cho ABC tam giác đều, gọi M là trung điểm BC Một góc xMy = 600 quay quanh điểm M cho cạnh Mx , My luôn cắt cạnh AB và AC D và E Chứng minh : BC a) BD.CE= b) DM, EM là tia phân giác BDE và CED c) Chu vi ADE không đổi Giải n2 n 1 m n 1 = n + n 1 1) a, Thùc hiÖn chia §Ó m nguyªn víi n nguyªn n + lµ íc cña Hay n + 1; -1 Khi đó : n + = n = Z ( t/m) n + = -1 n = -2 Z (t/m) Víi n = m = Víi n = -2 m = - VËy b, A = n3 + 3n2 + 3n +1 + 2n +2 = (n+ 1) +2(n+1) = … = n ( n +1) (n+ 2) + 3( n+1) Khi đó : 3(n+1) n( n +1) (n+ 2) lµ tÝch cña sè nguyªn d¬ng liªn tiÕp nªn tån t¹i mét sè lµ béi cña c, a = 13k +2, b = 13q +3 a2 + b2 = ( 13k +2 )2 + ( 13q + 3) = = 13( 13k2 +4k +13 q2 + 4q +1) 13 (a b)(a c)(b c) bc ca ab 2) a) A= (a b)(a c) (b c)(a b) (a c)(b c) = … = (a b)(a c)(b c) = 2 1 x x x x (x ) 3(x ) x = x x ; x x x b) Ta cã: 1 x x x x Tö thøc: = 1 3 x x 3 x x x x = (x ) 3(x ) x x x 3 x 2 (27) 1 x x x x = MÉu thøc: 1 x3 3 x x x Rót gän ta cã: B = 3( x + ) x 1 1 1 1 1005 (1 ) (1 ) 3 2009 2011 2011 2011 3) S = 2011x y z xy.xz y z 4) 2011 2011x xy xyz y yz z zx = xyz x yz xy xyz y yz z zx = xy xz xy (xz+ z +1) + 1+ z +zx + z = 1+ z +zx 1+ z + xz = không đổi 1+ z +zx 69 x 67 x 65 x 63 x 61 x 1 1 1 1 1 0 1942 1944 1946 1948 1950 5) x = 2011 CEM 6) a,Chøng minh BMD BC BC A V× BM = CM = BD.CE = x BMD MED b, Chøng minh D B y E 2 M ˆ C ˆ Từ đó suy D1 D , đó DM là tia phân giác góc BDE Chøng minh t¬ng tù ta cã EM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CED c, Gäi H, I, K lµ h×nh chiÕu cña M trªn AB, DE, AC Chøng minh DH = DI, EI = EK Chu vi b»ng 2.AH PHÒNG GD&ĐT THỌ XUÂN TRƯỜNG THCS XUÂN PHÚ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2014-2015 MÔN THI: TOÁN LỚP – VÒNG Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x 2013x 2012 x 2013 x2 2x x2 A 1 x 8 x x x x x2 Rút gọn biểu thức sau: Câu (4,0 điểm) (28) Giải phương trình sau: (2 x x 2013)2 4( x x 2012) 4(2 x x 2013)( x x 2012) 3 Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x 2x 3x y Câu (4,0 điểm) Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho x dư 10, f(x) chia cho x dư 24, f(x) chia cho x thương là 5x và còn dư Chứng minh rằng: a(b c)(b c a ) c (a b)(a b c) b(a c )(a c b) Câu (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F cho AE = AF Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC hai điểm M, N Chứng minh tứ giác AEMD là hình chữ nhật Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh rằng: AC = 2EF 1 = + 2 Chứng minh rằng: AD AM AN Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn abc 1 Chứng minh : 1 a (b c ) b (c a ) c (a b) -Hết -PHÒNG GD&ĐT THỌ XUÂN TRƯỜNG THCS XUÂN PHÚ Câu KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2014-2015 MÔN THI: TOÁN LỚP – VÒNG Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề Hướng dẫn giải Ta có (4.0 điểm) 0,5 x 2013x 2012 x 2013 x x 2013x 2013x 2013 (2.0 điểm) 0.5 x x 1 x x 1 2013 x x 1 2 0.5 x x 1 x x 2013 2 Kết luận 0.5 x 2013x 2012 x 2013 x x 1 x x 2013 (29) x 0 ĐK: x 2 0.25 Ta có x2 2x 0.25 x2 2 A 1 2x 8 4x 2x x x x 2 x2 x x0.25 2x2 x 2 2 x2 2( x 4) 4(2 x) x (2 x) (2.0 điểm) x2 x ( x 1)( x 0.5 2x2 2) x( x 2) x ( x 1)( x 2) 2 x2 x2 2( x 2)( x 4) 2( x 4) ( x 4)(2 x) x3 x x x x 1 x( x 4)( x 1) x 1 0.5 2( x 4) x x ( x 4) 2x x 1 A x với Vậy 0.25 x 0 x 2 Câu (4.0 điểm) Đặt: 0.25 a 2 x x 2013 b x x 2012 Phương trình đã cho trở thành: 0.5 a 4b 4ab (a 2b) 0 a 2b 0 a 2b (2.0 điểm) Khi đó, ta có: 0.5 x x 2013 2( x x 2012) x x 2013 2 x 10 x 4024 11x 2011 x 2011 11 0.5 Vậy phương trình có nghiệm x (2.0 điểm) 0.25 2011 11 Ta có 0.5 3 y3 x 2x 3x 2 x 4 xy (1) (30) 15 (x 2) y 4x 9x 2x 0.516 3 (2) Từ (1) và (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên suy y = x + Thay y = x + vào pt ban đầu và giải phương trình tìm x = -1; từ đó tìm hai cặp số (x, y) thỏa mãn bài toán là: (-1 ; 0) KL Câu y x2 0.25 0.5 0.25 (4 điểm) Giả sử f(x) chia cho x thương là 5x và còn dư là ax b Khi đó: 0.5 f ( x) ( x 4).( x) ax+b Theo đề bài, ta có: (2.0 điểm) f (2) 24 f ( 2) 10 2a b 24 2a b 10 a 0.5 b 17 Do đó: f ( x) ( x 4).( x) x+17 Vậy đa thức f(x) cần tìm có dạng: f ( x ) x 47 x 17 0.5 0.5 Ta có: a(b c )(b c a ) c (a b)(a b c )2 b(a c)(a c b ) 0 (1) Đặt: (2.0 điểm) xz a a b c x x y b c a y b a c b z yz c Khi đó, ta có: 0.25 0.5 (31) VT(1) xz xy yz yz xz xy 2 y x ( x y )( x y ).z 2 2 x z x z y z z y 0.5 y x ( x y ) z 2 2 1 10.25 ( x z ) y ( z y ).x ( x y ).z 4 1 ( x y ).z ( x y ).z 00.25 VP(1) 4 (đpcm) KL:… 0.25 Câu (6 điểm) E A (2.0 điểm) B H F D C M N = ABF Ta có DAM (cùng phụ BAH ) AB = AD ( gt) BAF = ADM = 900 0.75 (ABCD là hình vuông) ΔADM = ΔBAF (g.c.g) => DM=AF, mà AF = AE (gt) Nên AE = DM Lại có AE // DM ( vì AB // DC ) Suy tứ giác AEMD là hình bình hành Mặt khác DAE = 90 0.5 0.5 (32) (gt) Vậy tứ giác AEMD là hình chữ nhật 0.25 Ta có ΔABH ΔFAH (g.g) AB BH = AF AH hay BC BH = AE AH ( AB=BC, 0.5 AE=AF) Lại có HAB = HBC (cùng phụ ABH ) 0.5 ΔCBH ΔEAH (2.0 điểm) (c.g.c) SΔCBH BC = SΔEAH AE , mà SΔCBH =4 SΔEAH (gt) 0.5 BC =4 AE nên (2.0 điểm) BC2 = (2AE)2 BC = 2AE E là trung điểm AB, F là trung điểm AD Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm) Do AD // CN (gt) Áp dụng hệ định lý ta lét, ta có: 0.5 AD AM = CN MN AD CN = AM MN 0.5 Lại có: MC // AB ( gt) Áp dụng hệ định lý ta lét, ta có: 0.5 MN MC AB MC = = AN AB AN MN AD MC = hay AN MN 2 0.5 CN + CM MN AD AD CN CM + = + = = =1 MN MN AM AN MN MN (Pytago) (33) 2 AD AD + =1 AM AN 1 2 AM AN AD 0.5 (đpcm) Câu điểm Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với a, b, c R và x, y, z > ta có a b2 c a b c x y z x yz (*) Dấu “=” xảy a b c x y z Thật vậy, với a, b R và x, y > ta có a b2 a b x y x y (**) 2.0 điểm 0.75 a y b x x y xy a b bx ay 0 (luôn đúng) Dấu “=” xảy a b x y Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có a2 b2 c2 a b c2 a b c x y z xy z xyz Dấu “=” xảy a b c x y z Ta có: 0.5 (34) 1 2 1 a b c a (b c ) b (c a ) c (a b) ab ac bc ab ac bc Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có 2 1 1 1 1 1 2 a b c a b c a b c ab ac bc ab ac bc 2(ab bc ac ) 1 1 2 a b c (Vì abc 1 ) Hay 1 2 10.25 1 a b c ab ac bc ab ac bc a b c 1 3 Mà a b c nên 1 2 a b c ab ac bc ab ac bc 0.25 Vậy 1 0.25 a (b c ) b (c a) c ( a b) (đpcm) Điểm toàn bài TRƯỜNG THCS XUÂN PHÚ (20 điểm) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG - VÒNG MÔN: TOÁN Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ BÀI Bài 1) (2 điểm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử: (x2 -2x)( x2 -2x- 1) - b) Đa thức f(x) = 4x3 +ax +b chia hết cho các đa thức x-2; x+1 Tính 2a-3b Bài 2) (2 điểm) a) Cho an = 1+2+3+…+ n Chứng minh an + an+1 là số chính phương 10n 9n b) Chứng minh với số tự nhiên n thì phân số 20n 20n tối giản Bài 3) (3 điểm) P a) Cho x3 +y3+z3 =3xyz Hãy rút gọn phân thức xyz x y y z z x 14 54 94 17 4 b) Tìm tích: M= 11 19 Bài 4) (4 điểm) (35) 1 2 a) Cho x = by +cz; y = ax +cz; z = ax+by và x +y + z 0; xyz 0 CMR: a b c 1 yz xz xy 0 P x y z b) Cho x y z , tính giá trị biểu thức: P Bài 5: (3 điểm).Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức P x 1 x2 x x2 : x x 1 x x x2 x b) Tìm x để P<1 c) Tìm giá trị nhỏ P x>1 Bài 6: (3 điểm).Cho hình vuông ABCD, gọi E, F thứ tự là trung điểm AB, BC a) CMR: CE vuông góc với DF b) Gọi M là giao điểm CE và DF Chứng minh AM = AD Bài 7: (3 điểm).Cho tam giác ABC Vẽ ngoài tam giác các hình vuông ABDE, ACFH a) Chứng minh EC = BH; EC BH b) Gọi M, N thứ tự là tâm các hình vuông ABDE, ACFH Gọi I là trung điểm BC Tam giác MNI là tam giác gì? Vì sao? Bài Ý a b a b a Hết ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Nội dung (x+1)(x-3)(x -2x +2) Điểm điểm điểm Đa thức f(x) = 4x3 +ax +b chia hết cho các đa thức x-2; x+1 nên: f(2) = => 32+2a+b =0(1) f(-1) = => -4 –a +b = (2) Từ (1) và (2) ta tìm a = -12; b = -8 Vậy 2a-3b = Ta có an+1= +2 +3 +…+ n + n + an+ an+1 = 2(1+ + +…+ n) + n + n( n 1) = 2 +n+1 = n2 +2n+1=(n+1)2 là số chính phương Gọi d là ƯCLN 10n2 +9n+4 và 20n2 +20n+9 2 10n 9n 4d 20n 18n 8d 2n 1d 2 20n 20n 9d 20n 20n 9d => d là số tự nhiên lẻ Mặt khác 2n+1 d => 4n2 +4n +1 d => 20n2 +20n+5 d=> d mà d lẻ nên d = Vậy phân số trên tối giản điểm Từ x3 +y3+z3 =3xyz x + y +z = x=y=z TH1: x + y +z =0=> x+y = -z; x+z= -y; y +z = -x Khi đó P = -1 1.5 điểm điểm TH2: x=y=z Khi đó P = (36) Nhận xét n4 +4 = [(n-1)2 +1][(n+1)2 +1] Do đó: b 4 1 1 M= 2 2 2 1 16 1 18 1 1 2 1 20 1 1 20 401 18 2 Từ gt => 2cz+z = x +y => 2cz = x+y –z => a c điểm x y z x yz 2z c 1 2z 2z c 1 x y z 2x 2y 1 ; 2 a x y z b x y z Tương tự Khi đó a b c 1 1 1 0 3 3 xyz Từ x y z => x y z 1.5 điểm b điểm Khi đó: 1 1 yz xz xy xyz xyz xyz xyz xyz 3 x y z x y z y z xyz x ĐKXĐ: x 0 và x 1; x -1 P a x2 Với x 0 và x 1; x -1, rút gọn P ta có P = x x2 P<1 <=> x <1 điểm 1điểm b 1 x 2 x x x 1 2 1 0 0 x x x x 1 x 1 Vậy với x<1 và x 0 và x -1, thì P<1 x2 x 1 1 x x 2 x x x Ta có : P = x c x 1 Khi x>1 thì x-1>0 Áp dụng bđt Cosi, ta có : điểm 2 x , dấu « = » xảy x =2 Vậy GTNN P x = A E B F M a 1.5 điểm N D K C C/M CBE = DCF (c-g-c) => C1 D1 (37) 0 Lại có : C1 C2 90 D1 C2 90 => ĐPCM Gọi K là trung điểm CD c/m Tứ giác AECK là hbh suy AK // 1.5 điểm CE Goi N là giao điểm AK và DF Tam giác DCM có DK = KC và KN //CM b nên N là trung điểm DM Vì CM DM (câu a), KN //CM nên KN DM Tam giác ADM có AN là đường cao đồng thời là trung tuyến nên là tam giác cân A => AM = AD 1.5 điểm H E A N F K M a O D B I C C/m EAC= BAH(c-g-c) => EC = BH, AEC ABH Gọi K và O thứ tự là giao điểm EC với BA và BH Xét AEK và OBK có AEK OBK ; AKE OKB nên EAK BOK => BOK 90 Vậy EC BH Ta có MI//EC, MI = 1/2EC 1.5 điểm IN//BH ; IN=1/2 BH b Mà EC BH và EC = BH nên MI = IN và MI IN Vậy MIN vuông cân I TRƯỜNG THCS XUÂN PHÚ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG NĂM HỌC 2013- 2014 MÔN THI: TOÁN - LỚP Thời gian: 150 phút (không tính thời gian giao đề) Câu 1: (2,5 điểm ) 2 a) Phân tích đa thức a (b c) b (c a) c (a b) thành nhân tử (38) 3 b) Cho các số nguyên a, b, c thoả mãn ( a b) (b c) (c a) 210 Tính giá trị biểu thức Câu 2: (2,5 điểm) 2 a) Giải phương trình nghiệm nguyên: x y 3 xy b) Giải phương trình: (6 x 8)(6 x 6)(6 x 7) 72 Câu 3: (2,5 điểm) 2 a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P ( x 2012) ( x 2013) b) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z 3 Chứng minh rằng: 1 x x y y z z Câu 4: (2,5 điểm)Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M trên cạnh AC Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM D, cắt tia BA E a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC b) Chứng minh điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD+CM.CA có giá trị không đổi c) Kẻ DH BC H BC Gọi P, Q là trung điểm các đoạn thẳng BH, DH Chứng minh CQ PD Câu Nội dung chính 2 2 2 a) Ta có a (b c) b (c a) c ( a b) a (b c) b (c a) c (b c c a ) (b c)(a c ) (c a)(b c ) (b c)( a c)( a c) (c a)(b c )(b c) (b c)( a c)( a c b c) (b c)( a c)(a b) (2,5đ) b) Đặt a b x; b c y ; c a z x y z 0 z ( x y ) 3 3 3 Ta có: x y z 210 x y ( x y ) 210 3xy ( x y ) 210 xyz 70 Do x, y , z là số nguyên có tổng và xyz 70 ( 2).( 5).7 nên x, y, z 2; 5; 7 A a b b c c a 14 2 a) x y 3 xy (2,5đ) 2 Ta có: ( x y) 0 x y 2 xy xy 2 xy xy 1 2 Lại có: ( x y ) 0 x y xy xy xy xy x, y Z xy 3; 2; 1; 0;1 Suy xy 1 Mà ( x, y ) ( 2;1); (1; 2); (2; 1); ( 1; 2);(1;1) Lần lượt thử ta là nghiệm phương trình Điểm 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 b) (6 x 8)(6 x 6)(6 x 7) 72 2 Đặt x t Ta có (t 1)(t 1)t 72 (t 1)t 72 t t 72 0 0,5 0,5 t 9t 8t 72 0 t (t 9) 8(t 9) 0 (t 9)(t 8) 0 (39) Mà t nên t 0 t 9 t 3 x x 5 x ; 3 PT có nghiệm là a) Ta có: P ( x 2012) ( x 2013)2 x 4024 x 4048144 x 4026 x 4052169 1 2 x x 8100313 2 x 8100312,5 8100312,5 x x 0,25 0,5 0,5 0,25 Vậy Min P 8100312,5 1 1 1 P x x y y z z x( x 1) y ( y 1) z ( z 1) b) Đặt 1 1 1 1 1 1 x x 1 y y 1 z z 1 x y z x 1 y 1 z 1 1 1 1 Áp dụng BĐT a b c a b c và a b a b với a, b, c dương, dấu xảy (2,5đ) a b c 1 1 1 1 1 1 1 ; 1 ; 1 Ta có x x y y z z 1 1 1 1 1 1 1 P 1 y z x y z x 1 y 1 z 1 x y z x Bởi 1 1 3 9 3 = x y z 4 x y z 4 (ĐPCM) 0,25 0,25 0,5 0,25 E D A M Q B P I H C a) Chứng minh EA.EB = ED.EC Chứng minh EBD đồng dạng với ECA (g-g) EB ED EA.EB ED.EC - Từ đó suy EC EA b) Kẻ MI vuông góc với BC ( I BC ) Ta có BIM đồng dạng với BDC (g-g) BM BI BM BD BI BC BC BD (1) 0,25 0,25 0,5 CM CI CM CA CI BC BC CA Tương tự: ACB đồng dạng với ICM (g-g) (2) Từ (1) và (2) suy BM BD CM CA BI BC CI BC BC ( BI CI ) BC (không đổi) 0,25 0,25 (40) c) Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (g-g) BH BD BP BD BP BD DH DC DQ DC DQ DC 0,25 - Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (c-g-c) BDP DCQ o o mà BDP PDC 90 DCQ PDC 90 CQ PD 0,25 0,25 0,25 (41)